Ascension d`un ballon stratosphérique

Ascension d’un ballon stratosphérique
Auteur : Fabrice Gély
Site Internet : http://gely.fr.st
Un ballon stratosphérique tel que ceux envoyés par les
élèves de l’option MPI du lycée Duby est constitué
d’une enveloppe en latex renfermant un certain volume
d’hélium, qui entraîne une nacelle. Celle-ci abrite
différents capteurs (température, pression…), ainsi
qu’un émetteur radio qui transmet au sol les résultats
des mesures pendant le vol.
La masse de l’ensemble(enveloppe + hélium + nacelle
+ divers) est m = 8,0 kg.
ballon de
diamètre d
Au décollage, le diamètre de l’enveloppe de latex est
voisin de 2,6 m. On considèrera qu’il reste constant au
cours du vol.
On choisit de modéliser la valeur de la force de
1
frottement f R ainsi : fR  0 .Cx .S.v 2 , où :
2
 0 = 1,22 kg.m-3 est la masse volumique de l’air,

 S est la surface offerte par la section du ballon (qui
vaut donc r 2 ),
 v est la valeur de la vitesse.
1)
Quelle est l’unité de Cx ? Justifier.
2)
Citer et projeter sur l’axe (Oz) les différentes
forces s’appliquant à l’ensemble du ballon.
3)
Montrer que le mouvement du ballon obéit à
l’équation différentielle
 .C .S
dv z
  
  0 x v 2z   0  1 g
dt
2m
 m

4)
On utilise la méthode d’Euler avec un pas
t = 0,25 s.
On appellera vn la valeur de la vitesse du ballon à
l’instant tn, et vn+1 la valeur de sa vitesse à l’instant
tn1  tn  t .
Déduire de la question précédente que l’on a
vn1  vn  0,071vn2  0,99
5)
Calculer et tracer l’évolution de la vitesse entre
t = 0 et t = 3,0 s. Déduire du tracé une valeur
approchée de la vitesse limite.
nacelle
L’enveloppe de latex sera considérée comme une
sphère de diamètre d. Son volume sera noté  .
Dans la prise en compte des frottements dus à l’air et
de la poussée d’Archimède, on ne tiendra compte que
de l’enveloppe de latex. En effet, en raison de son
faible volume, la nacelle est peu soumise à ces forces.
Le ballon stratosphérique sera représenté par un point
M, correspondant au centre d’inertie de l’ensemble. Le
mouvement du ballon sera étudié sur un axe (Oz)
vertical, dirigé vers le haut. En t = 0, le point M
représentant notre ballon se trouve en O. Le ballon est
alors lâché sans vitesse initiale.
On notera vz la composante de la vitesse sur l’axe
(Oz), az la composante de son accélération.
On rappelle que le volume d’une sphère de rayon r est
4
égal à r 3 .
3
On prendra g = 9,81 m.s-2.
Cx = 0,70 est le coefficient de traînée,
A partir de l’équation différentielle, exprimer
littéralement la vitesse limite du ballon vlim.
Calculer sa valeur. Celle-ci est-elle en accord
avec la valeur déterminée au 5) ?
Lors de la montée, la pression atmosphérique baisse,
et, par conséquent, le volume de l’enveloppe de latex
augmente. En général aux alentours de 35 km
d’altitude, le ballon finit par éclater. Ensuite, il
redescend, sa chute étant freinée par l’ouverture d’un
petit parachute.
6)
7)
En considérant que la vitesse limite calculée
précédemment est atteinte immédiatement après
le décollage, et se conserve pendant toute
l’ascension, calculer la durée de celle-ci.
8)
En conservant les mêmes hypothèses, tracer
l’allure de l’évolution de z(t) pendant l’ascension
du ballon.
En réalité, la masse volumique de l’air diminuant lors
de la montée, le volume  de l’enveloppe augmente,
sa surface S aussi, donc les valeurs de la poussée
d’Archimède et de la force de frottement évoluent. Voici
9)
En observant le graphe ci-dessus, décrire
qualitativement comment, dans la réalité, la
vitesse d’ascension évolue lors de la montée.
10) Proposer une explication à l’évolution de la valeur
de la vitesse lors de la descente.
11) Evaluer la valeur de la vitesse de la nacelle lors
de son impact avec le sol.
un profil de vol réel reconstitué à partir des mesures
effectuées en vol :
Correction
On sait que fR 
1)
2fR
1
0 .Cx .S.v 2 , et donc C x 
2
0 .S.v 2
 si fR s’exprime en N (c'est-à-dire, par la 2ème loi de Newton, en kg.m.s-2),

si 0 s’exprime en kg.m-3,
 si S s’exprime en m2,
 si v s’exprime en m.s-1,
alors
2fR
s’exprime en
kg.m.s2
0 .S.v 2
kg.m3 .m2 .m2 .s2
Cx est donc une grandeur sans dimension.
2)
, c'est-à-dire qu’il n’a pas d’unité (tout se simplifie).
Référentiel : le référentiel terrestre, que nous supposerons galiléen.
Système : le ballon (enveloppe + nacelle) de masse m
Repère mathématique : axe (Oz) vertical orienté vers le haut.
Conditions initiales : OM  0  z  0   0 , et V  0  Vz  0   0
Inventaire des forces : le poids P mg , la poussée d’Archimède FA 0 g , la force de résistance du fluide
1
fR  0 .Cx .S.v 2z de direction verticale, dirigée vers le bas.
2
3)
On applique la 2ème au loi de Newton au système (on peut le faire puisque le référentiel est considéré galiléen) :
dv
1
fR  FA  P  ma , avec a a z Ainsi, il vient  0 .Cx .S.v 2z  0 g  mg  maz . Puisque az  z , on obtient
dt
2
 .C .S
dv z
dv
1
  
  0 x v 2z   0  1 g .
m z   0 .Cx .S.v 2z  0 g  mg , c'est-à-dire
dt
2m
dt
2
 m

4)
On considèrera que
 .C .S
v  vn
dv z v n1  v n
  
  0 x v 2z   0  1 g . Par suite,

Ainsi, n1
t
2m
dt
t
 m

  .C .S
   
vn1  vn    0 x v 2z   0  1 g  t .
2m
 m
 

2
2
3
  4  d 3

 .C  d 
4 d
d
En remplaçant S par    ,  par    , il vient : v n1  v n  0 x    t  v 2z   0     1 gt ,
 m 3 2

2m  2 
3 2
2


2
3


1,22  0,70  2,6 
1,22 4  2,6 

 0,05  v 2z  
 
 1  9,81 0,05
c'est-à-dire, numériquement : v n1  v n 



2  8,0
8,0 3  2 
 2 


Finalement, vn1  vn  0,071v2z  0,99
5)
On calcule ainsi les valeurs de la vitesse entre t = 0,00 s et t = 1,00 s :
tn (s)
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
vn (m/s)
0
1,0
1,9
2,6
3,1
3,4
3,6
3,7
3,7
3,7
3,7
3,7
3,7
On trace le graphe suivant :
6
Vz (m/s)
5
4
3
2
1
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
t (s)
La vitesse tend vers 3,7 m.s-1. C’est la valeur de la vitesse limite.
6)
Lorsque la vitesse limite vlim est atteinte, on a vz = cste et donc
et donc v lim 
A.N. : vlim
 .C .S 2
dv z
  
  0  1 g  0
 0 . Par suite,  0 x v lim
2m
dt
 m

2mg  0  
 1 .

0 .Cx .S  m

3


4  2,6 
 1,22   

2  8,0  9,81
3  2 

 = 3,7 m.s-1.



1
2 

8,0
 2,6  

1,22  0,70   



 2  

Cette valeur est en accord avec celle déterminée au 5).
7)
Si la vitesse d’ascension est constante, la durée T correspondant à l’altitude h est T 
A.N. : T 
35000
= 9,5.103 s, soit environ 2h 40 min.
3,7
h
.
v lim
8)
L’évolution de l’altitude z du ballon au cours du temps serait donc la suivante :
35
30
z (km)
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
t (m in)
9)
La pente de la courbe (de la tangente à la courbe en tout point, pour être précis) augmentant légèrement au cours
du temps, on en déduit que la vitesse d’ascension augmente.
10) Lors de la descente, la valeur de la vitesse diminue au cours du temps. On peut penser que le parachute est
d’autant plus efficace que l’air est dense, c’est pourquoi il freine d’autant mieux la chute que l’on se rapproche du
sol !
11) La valeur de la vitesse recherchée est égale à la valeur absolue du coefficient directeur à la tangente à la courbe
au moment de l’impact. On utilise les points A et B pour calculer cette vitesse, notée vimpact :
z  zA
0  30
= 24 km.h-1 (ou 6,7 m.s-1).
vimpact  B

tB  t A
2,75  1,5
A
B