RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE ET

RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE
ET TRANSFORMATION CONTINUE.
PAR
EMILE LEMOIISTE À PARIS,
Tous les géomètres ont pu remarquer que, dans un très grand
nombre de cas, un théorème, une formule, se rapportant au triangle,
étant donnés, il y avait des théorèmes, des formules analogues
paraissant se relier aux premières; il me semble donc étonnant
que Ton n'ait jamais songé à chercher si des lois permettaient de
déduire ces théorèmes ou ces formules les uns des autres.
C'est une de ces lois fort simple, la seule qui nous ait paru
avoir vraiment de l'importance, que nous allons donner ici sous le
nom de règle des analogies ou de transformation continue.
Expliquons d'abord les notations dont nous ferons usage.
A, Bt G\ a, bt c désigneront les angles et les côtés d'un
triangle ABG\ r, ra, r^, rc les rayons des quatre cercles tangents
aux trois côtés ; *p, 8, jR, le périmètre, la surface, le rayon du
cercle circonscrit; co l'angle de Brocard; 8, 8 ft , 86, 8C les quantités
4B + r, 4fi-r a , *R-rb) 4fi-r fl .
THÉORÈME.
Si l'on a démontré une formule entre les éléments du triangle,
par exemple,
f(a, b, c, A, JB, C, r,ra, rb, rc> 2p, 8,R, 8,8ai 86l SÔ9 *>...) = 0.. .(1),
la formule suivante
f(a,-b,-c, -A} ir-B, 7T-C, ra, r,-rG, -rb) -2(p-a) s
- Sf - fi, - 8fl, - 8, _ SG, - Sb...) = 0...(2)
sera également vraie.
C'est la formule (2) que nous appellerons la transformée
continue en A de la formule (1). Il est évident qu'il y a aussi des
transformées continues en B et en G.
156
EMILE LBMOINB.
Démonstration.
Toute formule (1) entre les éléments d'un triangle revient
évidemment à une identité <£ (A, B, G) = 0 entre les trois angles
de ce triangle, car si Ton exprime tous les éléments du triangle
que contient (1) en fonction de a et des angles At B, (7, puis que
Ton remplace dans (1) chaque élément par sa valeur ainsi exprimée,
a disparaîtra à cause de l'homogénéité et il restera une formule
d'identité <j>(A,£,C) = Q ne contenant que A, B, G.
Gela posé il est clair que $(A,B,G) = Q restera une identité si
l'on remplace A, 5, G par trois angles quelconques A', J3', G', pourvu
que l'on ait A' + B' + & = TT. Si l'on suppose que A', B', G' sont
des fonctions de A, B} G on peut en tirer
et en remplaçant dans l'expression des éléments du triangle qui
entrent dans (1) A, B, G par ces valeurs, ils deviendront d'autres
éléments d'un triangle dont les angles seront A'} B', (7; (1) se
transformera donc en une formule où entreront les éléments d'un
triangle général dont les angles seront A', Bf, G'; on aura ainsi
une nouvelle formule entre les éléments d'un triangle quelconque.
Il est clair que cette méthode donne lieu à une variété infinie
de transformations, mais nous n'en avons trouvé jusqu'ici qu'une
qui soit pratiquement féconde, simple et utile, c'est celle que nous
obtenons en posant
A=-A'
et c'est elle que nous appelons la transformation continue en A.
Si l'on posait
on aurait la transformation continue en B, etc.
Il reste à établir que les éléments a,b,c, v^r^r^r^ 2p,
2(0-aX2(0-&),2(0-cX S, R, S, 8a,86,Sc, «, etc. de ABC
deviennent alors respectivement a, —6, — c, ra, r, —rG} —rbt — 2(p— a),
-2p, 2(0-0X2(0-6), -S, --K, -Sa, -8, -Sc, -S&, - », etc.
RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TKCANGLE.
157
La chose est aisée ; en effet, en désignant par £ ce que devient os
après
transformation, la formule - —7 = 2R (puisque
a est la
1
V1
sin A
^
quantité linéaire invariable qui disparaît) devient -
sin. ^ — -^-/
Ai
n
donc R devient — R: les formules ——^= - —7*= 2R deviennent
sm B sin U
donc -—7- ™. = -—7- T=T-= — 2JS : donc 6 et c deviennent
sin (TT - jB) sm (TT - G)
'
— & et — c.
S = ^bcsinA donne ^ = i(-- &). (— c)sin(— A)\ donc $ devient — 8 ; les formules S =pr = (p — a) ra = (p — 6) r& = (p — c) rc
montrent que ?*, r ft , ?^&, ?-c deviennent ra, r> —r0) —rb> puisque
p, p — a, p — b, p — c deviennent évidemment — (p — a), — p, p — c,
p — b.
On a cotg CD = cotg A + cotg 5 + cotg G
d'où
COf 9 u> = cotg (- ^L) + cotg (TT - B) + cotg (TT — 0);
donc G) devient — <w etc., etc.
Notre théorème se trouve ainsi établi.
On peut arriver à la transformation continue par voie géométrique, c'est même ainsi que nous y sommes parvenus et c'est
aussi de là que nous avons tiré son nom de transformation continue. Nous allons indiquer la méthode.
Kg- (1).
Kg. (2).
Considérons un triangle AEG fig. (1) et une propriété générale
quelconque de ce triangle ; elle aura évidemment lieu quelle que
soit la position de A sur BA en supposant J3, G fixes ainsi que la
droite sur laquelle est le point A. Si la droite G A se meut dans
le sens GBA en tournant autour du point (7, après que G A sera
158
EMILE LEMOINB.
devenue parallèle à SA, A se trouvera au-dessous de GB comme
dans la figure (2) et la propriété générale du triangle ABC
fig. (1) appartiendra certainement aussi au triangle ABG fig. (2).
Seulement les noms des éléments considérés par rapport à la
figure (1) pourront être changés dans la figure (2). Cela devient
évident par continuité. Ainsi, par exemple, ce qui est. l'angle G du
triangle de la figure (1) sera par continuité TT — G du triangle de la
figure (2), ce qui est l'angle B du triangle de la figure (1) sera
TT — B du triangle de la figure (2), le rayon r du cercle inscrit du
triangle de la figure (1) deviendra par continuité le rayon ra du
cercle exinscrit tangent au côté BG et au prolongement des
deux autres, du triangle de la figure (2) etc., etc.
Il suit de là qu'une propriété générale de la figure (1) qui
est également une propriété générale de la figure (2), puisque
c'est une propriété générale du triangle, pourra avoir un autre
énoncé dans le cas de la figure (1) que dans le cas de la figure (2),
II serait très facile d'établir que la loi de dérivation ainsi
obtenue est précisément celle que nous venons d'établir analytiquement sons le nom de transformation continue. Nous n'avons
parlé d'abord que de transformation de formules, mais il est
évident par tout ce qui précède, que les énoncés des théorèmes
non réduits en formules peuvent subir une transformation identique. Il n'y a pas à insister là-dessus.
Nous allons donner quelques exemples qui montreront l'usage
et la fécondité de notre transformation: nous ferons remarquer
aussi qu'une formule à laquelle on fait subir la transformation
continue se reproduit quelquefois identiquement; ainsi:
a = 6cos C + ccosJS; -.—-r = - —^ = ^~ri= 2jR etc., etc.
sm A sm B sm G
Les formules ci-dessous donnent par transformation continue
en A respectivement les formules:
(6 - c) (c - a) (a - 6) = (rô - rc) (rc-ra) (ra - rb)
crG= 2p (2R-r)
arbrc + brGra + crarb = 2SS
ar + brG + crb = 2 (p-a)(2R
arbrc + brrb 4- crrc =
RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE,
159
i?V + crc2 = 2p (2RS — pz)
- araz + 6rc2 + en2 = 2 (p - a) [2ESft - (p - a)2]
= 8 (p - a)3 [8J22 H- 222ra + 3?V - (p - a)2]
r8 + r&8 + ?-08 = Sa3 — 12JK (p — a)2
a
.
& .
c
2/rt7^
N
a
.
6
o-n
' 'b
c _
-w
1e?V
' ' G *J
as H- 6S + c3 =
- a3 + 63+ c3 = 2 (p- a) [(p - a)2 - 6JBrfl + Srfl8J
Sa (p - a) = 2rS
ap + 6(|)-o) + o(p-6)=: 2r A
* (p - 6)2 = 2ra2 [Sa2 - (p - a)2]
^1
+OOSJ5+ COS(7= 1 +-^
M
COS J. — COS^ — COS(7=1 — -^
Ces formules, prises au hasard parmi un très grand nombre
d'autres que nous avons données dans de précédents mémoires,
suffisent pour montrer la facilité avec laquelle notre transformation donne de nouveaux résultats dont beaucoup auraient été, sans
elle, bien difficiles à prévoir.
Ce que nous avons dit suppose implicitement que les éléments
de la formule que l'on traite par transformation continue, sont
déterminés sans ambiguïté possible, c'est-à-dire qu'ils ne contiennent point de radicaux, car ces radicaux entraînent analytiquement un double signe ; s'il y a des radicaux dans l'expression
considérée il faut discuter le cas particulier qui se présente ; ainsi,
la formule sin y = A/ —-
j-^- - - semble donner par trans-
formation continue en A : — sin — = A/ ^--
^-
'-9 ce qui serait
inexact, mais le radical comportant implicitement le double signe,
160
EMILE LEMOINE.
la transformation continue en A correspond ici au signe — et l'on
«. ,.
. . f A\
/(p - 6) (p -c)
a effectivement sm ( — -^ ) = — A/ ^~±-•
Par rapport à la transformation continue les points remarquables, droites, courbes, formules, théorèmes relatifs au triangle
se divisent en quatre catégories :
1°. La transformation continue faite en A, en B et en G les
reproduit sans modification, comme nous l'avons déjà remarqué.
Exemples : le point de Le moine*, la formule
a = b cos 0 + c cos B, etc.
2°. La transformation faite en A, en B ou en G donne des
résultats différents entre eux et différents du premier.
Exemples : le point dont les coordonnées normales sont b + c,
c + a, a -f b donne ainsi que nous le verrons plus loin respectivement les points dont les coordonnées normales sont b + c, a — c,
a — b; b — c, a+c, b — a ; c — 6, c— a, a + b. Ce sont les transformés continus en A, en B et en G du point donné b + c, c-f a,
a+b.
ara + brb + crc = 2p (2J2 — r), qui donne respectivement :
ar + brc + crb=2(p- a) (ZR -f ra)
arc + br + cra = 2(p- b) (2r 4- rb)
arb + bra + cr=2(p-c')(2R + rc).
Les 13 formules citées plus haut comme exemples donnent aussi
chacune trois autres formules par transformation continue.
3°. La transformation continue faite soit en A, soit en 5, soit
en G reproduit une fois sans modification le point, la formule etc.
Les deux autres donnent toutes deux un résultat pareil, mais
différent du point, de la formule etc. sur lesquels on opère la
transformation.
Exemple: la formule (b — c)rbrG = 3(rb — rc) se reproduit par
transformation continue en A et, par transformation continue soit
en jB, soit en (7, elle donne :
* On appelle point de Le moine le point dont les distances aux trois côtés d'un
triangle sont proportionnelles à ces côtés.
RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE.
161
4°. La transformation continue faite soit en A, soit en J5, soit
en 0 donne un même résultat mais différent de celui que l'on
transforme.
Exemple: le point dont les coordonnées normales sont
sin(J. -f 60), sin(5+ 60), sin ((7+60) devient par les trois transformations continues en A, en B, en Ole point dont les coordonnées
normales sont sin (A- 60), sin (B -60), sin (0-60).
(Voir
plus loin la définition du point transformé continu d'un point
donné,)
Je n'ai point rencontré de cas où la transformation continue
donne des combinaisons autres de résultats, comme serait celle-ci
par exemple :
La formule se reproduit par une des transformations et par
les deux autres donne des résultats différents et différents entre
eux.
NOUVELLE TRANSFORMATION ANALYTIQUE DEDUITE DE LA
TRANSFORMATION CONTINUE.
Supposons que les coordonnées normales absolues d'un point
M soient exprimées par les fonctions 019 (/>2, (j>3, ABC étant le
triangle de référence. On aura :
001 + 60a + C0a = 2flf
(3).
Appelons (j>ia, 92^, ç>m ce que deviennent respectivement fa,
</>2, <£3 par transformation continue en A. Appliquons maintenant
la transformation continue en A à l'égalité précédente (3), on aura:
afaa - 602» - c^sa = - 2$.
Cette égalité prouve qu'il y a un point dont les coordonnées
normales absolues sont — <£la, faa, <£3a. Ce point Ma est ce que
nous appelons le point transformé continu en A de M.
On déduit de ce qui précède :
Si Ton a une équation en coordonnées normales :
$(œ>y,z, a,6,c,...) = 0,
sa transformée continue en A sera :
£(-0,y,*, a,-6,-c, ...) = 0.
Si des calculs opérés avec diverses équations ont conduit à un
certain théorème, les diverses équations de ce calcul transformées
o. p.
11
162
EMILE LBMOINE.
en A conduiront directement à la démonstration de ce théorème
transformé en A. Il est clair qu'il n'est nullement besoin de
passer par ces transformations successives et qu'il suffit d'opérer
la transformation sur le résultat final.
Si l'on emploie les coordonnées barycentriques on verra facilement que Ma, transformé continu en A du point M, qui a pour
coordonnées barycentriques t^, ^2, i|r3, aura pour coordonnées
tyia> tym, ^3» en désignant par ^ia, i^afl, ty3a ce que deviennent
tyu ^2, ^3 par transformation continue en A et aussi que l'équation
•^(a,/3,7, a,6,c, ...) = 0
aura pour transformée continue en A
^(a,/3,y, a,-b,-c, ...) = 0.
En coordonnées cartésiennes (CS axe des #, C4 axe des y)
le point transformé continu Ma du point Jtf" dont les coordonnées sont X, T aura pour coordonnées Xa, — Ta en désignant
par Xa, Ta ce que deviennent les fonctions X, Y en y faisant la
transformation continue en A.
• L'équation
JF(Z, Y, a, b, c,,..) = 0 devient F(X, - F, a, - 6,-c) = 0.
Remarquons encore qu'un point Jtf simplement marqué sur le
plan n'a pas de transformé continu, cela n'a pas de sens, il faut que
l'on donne ses coordonnées en fonction des éléments du triangle ;
il ne peut donc y avoir de construction générale pour déduire Ma
de M ; la construction dépend, dans chaque cas, exclusivement des
fonctions qui définissent les coordonnées de M.
Voici les principales propriétés générales, faciles à démontrer,
de la transformation continue; quelques-unes rentrent l'une dans
l'autre.
1. La droite de l'infini a pour transformée la droite de l'infini.
2. Les ombilics du plan se transforment l'un dans l'autre.
3. Le degré d'une courbe ainsi que sa classe se conservent.
4. Un cercle, une parabole ont pour transformés un cercle,
une parabçle.
5. Les transformées des tangentes à une courbe sont les
tangentes à la courbe transformée au point transformé du point
de contact ; d'où les droites qui enveloppent une courbe se transforment en droites qui enveloppent la transformée de la courbe.
RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE.
163
6. Si n droites concourent en F leurs transformées concourent
en Va transformé de V.
7. Si n points sont sur une droite L les transformés de ces
n points sont sur La transformée de L.
8. Si les longueurs de deux droites ou les valeurs des
tangentes de deux angles sont dans un rapport numérique indépendant des éléments du triangle de référence, ce rapport se
conservera dans la transformation.
9. Les divisions harmoniques, l'homographie, l'homologie,
l'involution, l'orthologie se conservent.
10. Des droites parallèles ou perpendiculaires se transforment en droites parallèles ou perpendiculaires.
11. Les foyers ou les sommets d'une courbe se transforment
en les foyers ou en les sommets de la transformée.
12. Les valeurs des rapports aiiharmoniques des divisions
transformées se déduisent par transformation continue des valeurs
des rapports anharmoniques des divisions données.
13. La polaire d'un point par rapport à une conique se transforme en la polaire du point transformé par rapport à la conique
transformée.
14. La distance de deux points transformés, la distance d'un
point transformé à une droite transformée se déduisent par transformation continue de la distance des deux points donnés ou de la
distance du point donné à la droite donnée^ etc.
Nous concluons de ce qui précède que toutes les fois qu'un
géomètre fera un travail sur le triangle et qu'il aura trouvé un
résultat, il devra y appliquer la transformation continue car il y
trouvera souvent l'avantage d'arriver, sans aucune peine, à de
nouvelles propriétés, quelquefois assez difficiles à prévoir.
Ex emp les: 1°. M. F u h r m a n n a d on n é dans le j ournal Mathesis
1890, p. 105 un très intéressant travail sur un cercle associé à un
triangle où. il énonce de nombreuses propriétés fort curieuses de
ce nouveau cercle ; la transformation continue montre immédiatement qu'il y a trois autres cercles qui jouissent de propriétés
analogues et auxquels le mémoire en entier peut être appliqué
avec les modifications indiquées par la transformation continue.
2°. Par un point 0 du plan d'un triangle ABC je mène les
antiparallèles à BC, ÇA, AB qui coupent respectivement BC, ÇA,
AB en 3 points et les autres côtés en 6 points. On a ce théorème:
11—2
164
EMILE LEMOINE.
Si 0 est le point dont les coordonnées normales sont
ara (2B - rfl), brb (2fi - r&), crc (2JB - rc),
les 6 points considérés forment un hexagone dont les côtés sont
tangents au cercle inscrit de ABC. (Voir Bulletin de la Société
mathématique de France, Tome XIV., page 122, Problème viii.)
Par transformation continue en A on voit immédiatement que :
Si 0 est le point dont les coordonnées normales sont
- ar (ZB + r), brG (ZB - rc\ crb (ZB - rb),
les 6 points forment un hexagone dont les côtés sont tangents cm
cercle ex-inscrit de ABC qui est tangent à BG et au prolongement
des deux autres côtés.
3°. Si Ton suppose démontrée la formule
on en tire immédiatement par transformation continue en A la
formule
p2-az = rrb + rrG + rbrc etc., etc.
La transformation continue s'applique au tétraèdre, nous
n'indiquerons que la transformation fondamentale dont tout
dérive.
Si dans une formule quelconque représentant ivne propriété
générale d'un tétraèdre dont nous appellerons a, a' ; 6, V ; c, c
les trois couples d'arêtes opposées, on laisse a, b, c, arêtes d'une
même face, invariables, et que l'on change a', b', cf respectivement en
- a', — b't — c', la nouvelle formule sera encore exacte.
KEFEBT :
E. Lemoine, Congrès de Marseille, association française pour
V avancement des sciences, 1891, pages 118 — 130.
Congrès de Besançon, association française etc. 1893,
Applicationau tétraèdre de la transformation continue.
„ •
Mathesis, 1892, pages 58—64, 81 — 92.
,,
Nouvelles Annales de Mathématiques, pages 20 — 36,
1893.
„
Journal de Mathématiques élémentaires, publié par
M. de Longchamps, 1892, pages 62, 91, 103.
A. Poulain, Journal de Mathématiques élémentaires, publié par
M. de Longchamps, 1892, pages 110, 136, 151.
Ch. Michel, Journal de Mathématiques élémentaires, publié par
M. de Longchamps, 1893, pages 29 — 33.