RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE ET

RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE
ET TRANSFORMATION CONTINUE.
PAR
EMILE LEMOIISTE À PARIS,
Tous les géomètres ont pu remarquer que, dans un très grand
nombre de cas, un théorème, une formule, se rapportant au triangle,
étant donnés, il y avait des théorèmes, des formules analogues
paraissant se relier aux premières; il me semble donc étonnant
que Ton n'ait jamais songé à chercher si des lois permettaient de
déduire ces théorèmes ou ces formules les uns des autres.
C'est une de ces lois fort simple, la seule qui nous ait paru
avoir vraiment de l'importance, que nous allons donner ici sous le
nom de règle des analogies ou de transformation continue.
Expliquons d'abord les notations dont nous ferons usage.
A, Bt G\ a, bt c désigneront les angles et les côtés d'un
triangle ABG\ r, ra, r^, rc les rayons des quatre cercles tangents
aux trois côtés ; *p, 8, jR, le périmètre, la surface, le rayon du
cercle circonscrit; co l'angle de Brocard; 8, 8ft, 86, 8C les quantités
4B + r, 4fi-ra, *R-rb) 4fi-rfl.
THÉORÈME.
Si l'on a démontré une formule entre les éléments du triangle,
par exemple,
f(a, b, c, A, JB, C, r,ra, rb, rc> 2p, 8,R, 8,8ai 86l SÔ9 *>...) = 0.. .(1),
la formule suivante
f(a,-b,-c, -A} ir-B, 7T-C, ra, r,-rG, -rb) -2(p-a)s
- Sf - fi, - 8fl, - 8, _ SG, - Sb...) = 0...(2)
sera également vraie.
C'est la formule (2) que nous appellerons la transformée
continue en A de la formule (1). Il est évident qu'il y a aussi des
transformées continues en B et en G.

156 EMILE LBMOINB.
Démonstration.
Toute formule (1) entre les éléments d'un triangle revient
évidemment à une identité <£ (A, B, G) = 0 entre les trois angles
de ce triangle, car si Ton exprime tous les éléments du triangle
que contient (1) en fonction de a et des angles At B, (7, puis que
Ton remplace dans (1) chaque élément par sa valeur ainsi exprimée,
a disparaîtra à cause de l'homogénéité et il restera une formule
d'identité <j>(A,£,C) = Q ne contenant que A, B, G.
Gela posé il est clair que $(A,B,G) = Q restera une identité si
l'on remplace A, 5, G par trois angles quelconques A', J3', G', pourvu
que l'on ait A' + B' + & = TT. Si l'on suppose que A', B', G' sont
des fonctions de A, B} G on peut en tirer
et en remplaçant dans l'expression des éléments du triangle qui
entrent dans (1) A, B, G par ces valeurs, ils deviendront d'autres
éléments d'un triangle dont les angles seront A'} B', (7; (1) se
transformera donc en une formule où entreront les éléments d'un
triangle général dont les angles seront A', Bf, G '; on aura ainsi
une nouvelle formule entre les éléments d'un triangle quelconque.
Il est clair que cette méthode donne lieu à une variété infinie
de transformations, mais nous n'en avons trouvé jusqu'ici qu'une
qui soit pratiquement féconde, simple et utile, c'est celle que nous
obtenons en posantA=-A'
et c'est elle que nous appelons la transformation continue en A.
Si l'on posait
on aurait la transformation continue en B, etc.
Il reste à établir que les éléments a,b,c, v^r^r^r^ 2p,
2(0-aX2(0-&),2(0-cX S, R, S, 8a,86,Sc, «, etc. de ABC
deviennent alors respectivement a, —6, — c, ra, r, —rG} —rbt — 2(p— a),
-2p, 2(0-0X2(0-6), -S, --K, -Sa, -8, -Sc, -S&, - », etc.

RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TKCANGLE. 157
La chose est aisée ; en effet, en désignant par £ ce que devient os
après transformation, la formule - —
7 = 2R
(puisque a est la
1 sin A V1 ^
quantité linéaire invariable qui disparaît) devient -
sin. ^ — -^-/
Ai n
donc R devient — R: les formules — — ^= - —
7*=
2R deviennent
sm B sin U
donc - — 7 - ™. = - — 7 - T=T-= — 2JS : donc 6 et c deviennent
sin (TT - jB) sm (TT - G) '
— & et — c.
S = ^bcsinA donne ^ = i(-- &). (— c)sin(— A)\ donc $ de-
vient — 8 ; les formules S =pr = (p — a) ra = (p — 6) r& = (p — c) rc
montrent que ?*, rft, ?^&, ?-c deviennent ra, r> —r0) —rb> puisque
p, p — a, p — b, p — c deviennent évidemment — (p — a), — p, p — c,
p — b.
On a cotg CD = cotg A + cotg 5 + cotg G
d'où COf 9 u> = cotg (- ^L) + cotg (TT - B) + cotg (TT — 0);
donc G) devient — <w etc., etc.
Notre théorème se trouve ainsi établi.
On peut arriver à la transformation continue par voie géomé-
trique, c'est même ainsi que nous y sommes parvenus et c'est
aussi de là que nous avons tiré son nom de transformation con-
tinue. Nous allons indiquer la méthode.
Kg- (1). Kg. (2).
Considérons un triangle AEG fig. (1) et une propriété générale
quelconque de ce triangle ; elle aura évidemment lieu quelle que
soit la position de A sur BA en supposant J3, G fixes ainsi que la
droite sur laquelle est le point A. Si la droite G A se meut dans
le sens GBA en tournant autour du point (7, après que G A sera

158 EMILE LEMOINB.
devenue parallèle à SA, A se trouvera au-dessous de GB comme
dans la figure (2) et la propriété générale du triangle ABC
fig. (1) appartiendra certainement aussi au triangle ABG fig. (2).
Seulement les noms des éléments considérés par rapport à la
figure (1) pourront être changés dans la figure (2). Cela devient
évident par continuité. Ainsi, par exemple, ce qui est. l'angle G du
triangle de la figure (1) sera par continuité TT — G du triangle de la
figure (2), ce qui est l'angle B du triangle de la figure (1) sera
TT — B du triangle de la figure (2), le rayon r du cercle inscrit du
triangle de la figure (1) deviendra par continuité le rayon ra du
cercle exinscrit tangent au côté BG et au prolongement des
deux autres, du triangle de la figure (2) etc., etc.
Il suit de là qu'une propriété générale de la figure (1) qui
est également une propriété générale de la figure (2), puisque
c'est une propriété générale du triangle, pourra avoir un autre
énoncé dans le cas de la figure (1) que dans le cas de la figure (2),
II serait très facile d'établir que la loi de dérivation ainsi
obtenue est précisément celle que nous venons d'établir analyti-
quement sons le nom de transformation continue. Nous n'avons
parlé d'abord que de transformation de formules, mais il est
évident par tout ce qui précède, que les énoncés des théorèmes
non réduits en formules peuvent subir une transformation iden-
tique. Il n'y a pas à insister là-dessus.
Nous allons donner quelques exemples qui montreront l'usage
et la fécondité de notre transformation: nous ferons remarquer
aussi qu'une formule à laquelle on fait subir la transformation
continue se reproduit quelquefois identiquement; ainsi:
a = 6cos C + ccosJS; -. — -r = - — ^ = ^~ri= 2jR etc., etc.
sm A sm B sm G
Les formules ci-dessous donnent par transformation continue
en A respectivement les formules:
(6 - c) (c - a) (a - 6) = (rô - rc) (rc-ra) (ra - rb)
crG= 2p (2R-r) ar + brG + crb = 2 (p-a)(2R
arbrc + brGra + crarb = 2SS arbrc + brrb 4- crrc =

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i?V + crc2 = 2p (2RS — pz)
- araz + 6rc2 + en2 = 2 (p - a) [2ESft - (p - a)2]
= 8 (p - a)3 [8J22 H- 222ra + 3?V - (p - a)2]
r8 + r&8 + ?-08 = Sa3 — 12JK (p — a)2
a . & . c 2/rt7^
N a . 6 c _
o-n -w 1e?V
' ' b ' ' G *J
as H- 6S + c3 =
- a3 + 63+ c3 = 2 (p- a) [(p - a)2 - 6JBrfl + Srfl8J
Sa (p - a) = 2rS ap + 6(|)-o) + o(p-6)=: 2r A
* (p - 6)2 = 2ra2 [Sa2 - (p - a)2]
^1 M
+OOSJ5+ COS(7= 1 +-^ COS J. — COS^ — COS(7=1 — -^
Ces formules, prises au hasard parmi un très grand nombre
d'autres que nous avons données dans de précédents mémoires,
suffisent pour montrer la facilité avec laquelle notre transforma-
tion donne de nouveaux résultats dont beaucoup auraient été, sans
elle, bien difficiles à prévoir.
Ce que nous avons dit suppose implicitement que les éléments
de la formule que l'on traite par transformation continue, sont
déterminés sans ambiguïté possible, c'est-à-dire qu'ils ne contien-
nent point de radicaux, car ces radicaux entraînent analytique-
ment un double signe ; s'il y a des radicaux dans l'expression
considérée il faut discuter le cas particulier qui se présente ; ainsi,
la formule sin y = A/ — - j-^- - - semble donner par trans-
formation continue en A : — sin — = A/ ^- - ^ - '-9 ce qui serait
inexact, mais le radical comportant implicitement le double signe,