I- Définition:

PARALLELOGRAMME
I- Définition:
Sur la figure ci-contre:
(AB) est parallèle à (DC)
(AD) est parallèle à (BC)
ABCD est un parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux
II- Propriété des diagonales:
1) Propriété:
Soit ABCD un parallélogramme et O le point d'intersection
de ses diagonales
Alors:
O est le milieu de [AC]
O est le milieu de [BD]
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu
Remarques:
1) O est le centre de symétrie du parallélogramme
2) O s'appelle le centre du parallélogramme
2) Exemple d'utilisation:
Soit RSTU un parallélogramme de centre I.
On donne: RT = 7,8 cm et SI = 2,1 cm
Calculer RI et SU (Justifier)
RI = RT : 2 = 7,8 : 2 = 3,9 cm
SU = 2 x SI = 2 x 2,1 = 4,2 cm
car:
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur
milieu
III- Propriété des côtés:
1) Propriété:
Soit ABCD un parallélogramme.
Alors:
AB = DC et AD = BC
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur
1
2) Exemple d'utilisation:
EFGH est un parallélogramme tel que:
EF = 5,1 cm et FG = 2,7 cm
Compléter: HG = ... cm et EH = ... cm (Justifier)
HG = 5,1 cm et EH = 2,7. cm car:
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même
longueur
3) Construction avec le compas:
[AB]et [AD] étant donnés, construire le point C tel que
ABCD soit un parallélogramme
On trace;
- un arc de cercle de centre D, de rayon AB
- un arc de cercle de centre B, de rayon AD
Le point C est à l'intersection de ces deux arcs
IV- Propriété des angles:
1) Propriété:
Soit ABCD un parallélogramme.
Alors:
1) A = C et B = D
2) A + B = 180°;
B + C = 180°;
C + D = 180°
D + A = 180°
Dans un parallélogramme:
- les angles opposés sont égaux
- deux angles consécutifs sont supplémentaires
2) Exemple d'utilisation:
Soit IJKL un parallélogramme tel que:
I = 58 °
1) Compléter K = ... ° (Justifier)
2) Calculer J (Justifier)
1) K = 58° car:
Dans un parallélogramme, deux angles opposés sont égaux
2) J = 180 - 58 = 122°ccar:
Dans un parallélogramme deux angles consécutifs sont
supplémentaires
2
V- Quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu:
1) Propriété:
Soient [AC] et [BD] deux segments ayant le même milieu
Alors ABCD est un parallélogramme
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un
parallélogramme
2) Exemple d'utilisation:
Soit DEF un triangle.
1) Construire:
G symétrique de D par rapport à F
H symétrique de E par rapport à F
2) Montrer que DEGH est un parallélogramme
1) On obtient la figure ci-contre
2) Par construction des symétriques, on a:
F milieu de [DG]
F milieu de [EH]
Donc DEGH est un parallélogramme car:
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu,
alors ce quadrilatère est un parallélogramme
VI- Quadrilatère ayant deux côtés parallèles et de même longueur:
1) Propriété:
Soient [AB] et [CD] deux segments parallèles et de même longueur
Cas 1
Cas 2
ABCD est un parallélogramme
ABCD n'est pas un parallélogramme (c'est un
quadrilatère croisé)
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce
quadrilatère est un parallélogramme.
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2) Exemple d'utilisation:
Sur la figure ci-contre:
C est le milieu de [BD]
BCEF est un parallélogramme
Montrer que CDEF est un parallélogramme.
Comme BCEF est un parallélogramme, alors BC = EF
car: Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la
même longueur.
Comme C est le milieu de [BD], alors BC = CD
Comme BC = EF et BC = CD, alors EF = CD
De plus, comme BCEF est un parallélogramme, on a (BC)
parallèle à (EF), donc, comme B, C, D sont alignés, (CD)
parallèle à (EF)
Finalement, on a donc:
CD = EF et (CD) parallèle à (EF)
Donc CDEF est un parallélogramme car:
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de
même longueur, alors ce quadrilatère est un
parallélogramme.
VII - Exercices:
Exercice 1:
Soit STUV un parallélogramme
La parallèle à (TV) passant par S coupe (UV) en I et (TU) en J
1) Faire une figure
2) Montrer que JTVS est un parallélogramme
3) Montrer que TU = SV et JT = SV
4) Montrer que T est le milieu de [JU]
Exercice 2:
Sur la figure ci-contre:
LMN est un triangle tel que MLN = 62 ° et LM = 4,5 cm
I est le milieu de [MN]
K est le symétrique de L par rapport à I
1) Montrer que LNKM est un parallélogramme.
2) Compléter: NK = ... cm (Justifier)
3) Compléter MKN = ... ° (Justifier)
4) Calculer LNK (Justifier)
Exercice 3:
Montrer que FGHI est un parallélogramme
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PARALLELOGRAMME - CORRECTION DES EXERCICES
Exercice 1:
1) On obtient la figure ci-contre
2) Comme STUV est un parallélogramme,
alors:
(SV) est parallèle à (TU), donc à (JT)
Comme (SV) est parallèle à (JT) et (JS) est
parallèle à (TV) d'après l'énoncé, alors JTVS
est un parallélogramme
3) Comme STUV est un parallélogramme,
alors TU = SV
car: Dans un parallélogramme, les côtés
opposés ont la même longueur
Comme JTVS est un parallélogramme, alors
JT = SV d'après la même propriété.
4) Comme TU = SV et JT = SV, alors TU =
JT
Les points J, T, U sont alignés, et JT = SV,
donc T est le milieu de [JU]
Exercice 2:
1) I est le milieu de [MN] et de [LK]
Donc LNKM est un parallélogramme car: Si
les diagonales d'un quadrilatère se coupent en
leur milieu, ce quadrilatère est un
parallélogramme
2) NK = 4,5 cm car: Dans un
parallélogramme, les côtés opposés ont la
même longueur
3) MKN = 62 ° car: Dans un
parallélogramme les angles opposés sont
égaux.
4) LNK = 180 - 62 = 118° car: Dans un
parallélogramme, deux angles consécutifs
sont supplémentaires
Exercice 3:
D'après le codage, les angles FGI et GIH sont
égaux, donc (FG) est parallèle à (IH) car: Si
deux droites coupées par une sécante forment
des angles alternes internes égaux, alors ces
droites sont parallèles
On a alors: (FG) est parallèle à (IH) et FG =
IH (d'après le codage).
Donc FGHI est un parallélogramme car: Si
un quadrilatère non croisé a deux côtés
parallèles et de la même longueur, alors ce
quadrilatère est un parallélogramme
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