Déterminant (mathématiques)

Déterminant (mathématiques)
Vous lisez un « article de qualité ».
Pour les articles homonymes, voir Déterminant.
Article connexe : Calcul du déterminant d'une matrice.
En mathématiques, le déterminant fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations
linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues.
Il se révèle un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des
endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres,
les propriétés d’indépendance linéaire de certaines
familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel,
par exemple dans la formule de changement de variables
dans les intégrales multiples.
Comme pour de nombreuses opérations, le déterminant
peut être défini par une collection de propriétés (axiomes)
qu'on résume par le terme « forme n-linéaire alternée ».
Cette définition permet d'en faire une étude théorique
complète et d'élargir ses champs d'applications. Le déterminant peut aussi se concevoir comme une généralisation
à l'espace de dimension n de la notion d'aire ou de volume
Fig. 1. Le Japonais Kowa Seki introduit le premier des détermiorientés.
nants de taille 3 et 4, à la même époque que l'Allemand Leibniz.
Un domaine spécifique de l'algèbre est consacré à l'étude
du déterminant et de ses généralisations : il s’agit de
l'algèbre multilinéaire.
1
Histoire des déterminants
nais Kowa Seki et l'Allemand Leibniz en donnèrent les
premiers exemples presque simultanément.
Les déterminants furent introduits en Occident à partir du XVIe siècle, soit bien avant les matrices, qui
n'apparaissent qu'au XIXe siècle. Il convient de rappeler que les Chinois furent les premiers à utiliser des tableaux de nombres et à appliquer un algorithme maintenant connu sous le nom de procédé d'élimination de
Gauss-Jordan.
Leibniz étudie de nombreux systèmes d'équations linéaires. En l'absence de notation matricielle, il représente
les coefficients inconnus par un couple d'indices : il note
ainsi ij pour ai,j. En 1678, il s’intéresse à un système
de trois équations et trois inconnues et donne, sur cet
exemple, la formule de développement suivant une colonne. La même année, il écrit un déterminant de taille 4,
correct aux signes près[2] . Leibniz ne publie pas ses tra1.1 Premiers calculs de déterminants
vaux, qui semblent avoir été oubliés avant que les résultats soient redécouverts indépendamment une cinquanDans son sens originel, le déterminant détermine l'unicité taine d'années plus tard.
de la solution d'un système d'équations linéaires. Il fut in- À la même période, Kowa Seki publie un manuscrit sur
troduit dans le cas de la taille 2 par Cardan en 1545 dans les déterminants, où il énonce une formulation générale
son Ars Magna, sous forme d'une règle pour la résolution difficile à interpréter. Celle-ci semble donner des forde systèmes de deux équations à deux inconnues[1] . Cette mules correctes pour des déterminants de taille 3 et 4,
première formule porte le nom de regula de modo.
et de nouveau des signes erronés pour les déterminants de
L'apparition des déterminants de taille supérieure de- taille supérieure[3] . La découverte restera sans lendemain,
mande ensuite plus de cent ans. Curieusement, le Japo- à cause de la coupure du Japon avec le monde extérieur.
1
2
1.2
2
PREMIERS EXEMPLES : AIRES ET VOLUMES
Déterminants de taille quelconque
En publiant ses trois traités sur les déterminants en 1841
dans le journal de Crelle, Jacobi donne une véritable noEn 1748, un traité d'algèbre posthume de MacLaurin re- toriété à la notion[10] . Pour la première fois, il présente
lance la théorie des déterminants, avec l'écriture correcte des méthodes de calcul systématiques, sous forme algode la solution d'un système de quatre équations et quatre rithmique. Il devient également possible d'évaluer des déterminants de fonctions avec la naissance du jacobien.
inconnues[4] .
En 1750, Cramer formule les règles qui permettent de
résoudre un système de n équations et n inconnues, mais
sans en donner la démonstration[5] . Les méthodes de calcul des déterminants sont alors délicates, puisque fondées
sur la notion de signature d'une permutation[6] .
Les mathématiciens s’emparent de ce nouvel objet, avec
des articles de Bézout en 1764[7] , de Vandermonde en
1771[8] (étonnamment ne donnant pas le calcul du déterminant de la matrice de Vandermonde actuelle[Note 1] ;
c'est un exemple célèbre d'application de la loi de Stigler).
En 1772, Laplace établit les formules de récurrence portant son nom. L'année suivante, Lagrange découvre le lien
entre le calcul des déterminants et celui des volumes[9] .
De 1832 à 1844, les travaux de Grassmann, fondent
l'algèbre extérieure et donnent un sens plus général
aux déterminants au travers de la représentation des
grassmanniennes.
Le cadre matriciel est introduit par les travaux de Cayley
et Sylvester. Cayley est également l'inventeur de la notation des déterminants par des barres verticales ; il établit
la formule de calcul de l'inverse.
La théorie s’étoffe par l'étude de déterminants ayant des
propriétés de symétrie particulières et par l'introduction
du déterminant dans de nouveaux champs des mathématiques, comme le wronskien pour les équations différentielles linéaires.
Gauss utilise pour la première fois le mot « déterminant »,
dans les Disquisitiones arithmeticae en 1801. Il l'emploie
pour ce que nous qualifions aujourd'hui de discriminant
d'une forme quadratique binaire et qui est un cas particulier du déterminant moderne. Il est également près
d'obtenir le théorème sur le déterminant d'un produit[10] .
En 1867, Lewis Carroll, publie An elementary treatise
on determinants : with their application to simultaneous
linear equations and algebraical geometry, dans lequel
il énonce dix-sept propriétés dont sept sont, d'après lui,
originales[13] .
1.3
2 Premiers exemples : aires et volumes
Mise en place de la notion moderne de
déterminant
Cauchy emploie le premier le mot déterminant dans son Les calculs d'aires et de volumes sous forme de détersens moderne. On peut ainsi lire dans son article de syn- minants dans des espaces euclidiens apparaissent comme
thèse de plus de quatre-vingts pages sur cette question :
des cas particuliers de la notion générale. Cette vision des
déterminants permet une approche plus géométrique de
leurs propriétés.
« M. Gauss s’en est servi avec avantage
dans ses Recherches analytiques pour découvrir les propriétés générales des formes du second degré, c'est-à-dire des polynômes du second degré à deux ou plusieurs variables, et il
a désigné ces mêmes fonctions sous le nom de
déterminants. Je conserverai cette dénomination qui fournit un moyen facile d'énoncer les
résultats ; j'observerai seulement qu'on donne
aussi quelquefois aux fonctions dont il s’agit
le nom de résultantes à deux ou à plusieurs
lettres. Ainsi les deux expressions suivantes,
déterminant et résultante, devront être regardées comme synonymes[11] . »
Elle représente une synthèse des connaissances antérieures, ainsi que des propositions nouvelles comme le
fait que l'application transposée ne modifie pas le déterminant ainsi que la formule du déterminant d'un produit.
Binet propose également une démonstration cette même
Fig. 2. Le déterminant des vecteurs X et X' est l'aire bleue orienannée. Plus tard, Cauchy jette les bases de l'étude de la
tée.
[12]
réduction d'endomorphismes .
2.2
Déterminant de trois vecteurs dans l'espace euclidien
3
Fig. 4. Somme des aires de deux parallélogrammes adjacents.
Fig. 3. Démonstration géométrique du fait que Det(X,X') = y'xyx' (y'>y et x>x').
La figure 4, dans le plan, illustre un cas particulier de
cette formule. Elle représente deux parallélogrammes adjacents, l'un défini par les vecteurs u et v (en vert), l'autre
2.1 Déterminant de deux vecteurs dans le par les vecteurs u' et v (en bleu). L'aire du parallélogramme défini par les vecteurs u+u' et v (en gris) est égale
plan euclidien
à la somme des aires des deux parallélogrammes précéSoit P le plan euclidien orienté usuel. Le déterminant des dents, à laquelle est enlevée l'aire d'un triangle, et ajoutée l'aire d'un autre triangle ; les deux triangles se corresvecteurs X et X ′ est donné par l'expression analytique
pondant par translation. La formule suivante est vérifiée :
det(u + u′ , v) = det(u, v) + det(u′ , v).
′
x x Ce dessin correspond à un cas particulier de la formule
= xy ′ − yx′
det(X, X ′ ) = y y′ de bilinéarité puisque les orientations ont été choisies de
façon que les aires aient le même signe, mais il aide à en
ou, de façon équivalente, par l'expression géométrique
saisir le contenu géométrique.
det(X, X ′ ) = ∥X∥ · ∥X ′ ∥ · sin θ
2.1.2 Généralisation
dans laquelle θ est l'angle orienté formé par les vecteurs
Il est possible de définir la notion de déterminant dans
X et X ′ .
un plan euclidien orienté muni d'une base orthonormale
directe B, en utilisant les coordonnées des vecteurs dans
cette base. Le calcul de déterminant donne le même ré2.1.1 Propriétés
sultat quelle que soit la base orthonormale directe choisie
• La valeur absolue du déterminant est égale à l'aire pour le calcul.
du parallélogramme défini par X et X ′ (en effet,
∥X ′ ∥ sin θ est la longueur de la hauteur du parallélogramme associée au côté X et l'aire du parallélo- 2.2 Déterminant de trois vecteurs dans
l'espace euclidien
gramme est ∥X∥ × ∥X ′ ∥ sin θ ).
• Le déterminant est nul si et seulement si les deux Soit E l'espace euclidien orienté usuel de dimension 3. Le
vecteurs sont colinéaires (le parallélogramme de- déterminant de trois vecteurs de E est donné par
vient une ligne).
Cette annulation apparaît comme un test de
proportionnalité des composantes des vecteurs par
produit en croix.
x
det(X, X ′ , X ′′ ) = y
z
x′
y′
z′
′
x′′ y
y ′′ = x ′
z
z ′′ ′
x
y ′′ ′
−
y
′′ z
z
′
x
x′′ ′
+
z
′′ y
z
x′′ y ′′ = x(y ′ z ′′ − y ′′ z ′ ) − y(x′ z ′′ − x′′ z ′ ) + z(x′ y ′′ − x′′ y ′ )
• Le déterminant des vecteurs X et X ′ est stricte= xy ′ z ′′ + x′ y ′′ z + x′′ yz ′ − xy ′′ z ′ − x′ yz ′′ − x′′ y ′ z.
ment positif si et seulement si la mesure de l'angle
entre ces deux vecteurs est comprise dans l'intervalle Ce déterminant porte encore le nom de produit mixte ;
]0, π[ .
un procédé visuel pour retrouver cette formule est connu
sous le nom de règle de Sarrus.
′
′
• L'application déterminant (X, X ) 7→ det(X, X )
est bilinéaire : la linéarité par rapport au premier
vecteur s’écrit det(aX + bY, X ′ ) = a det(X, X ′ ) + 2.2.1 Propriétés
b det(Y, X ′ ) et celle par rapport au second vec• La valeur absolue du déterminant est égale au
teur s’écrit det(X, aX ′ + bY ′ ) = a det(X, X ′ ) +
volume du parallélépipède défini par les trois vecb det(X, Y ′ ).
4
2
PREMIERS EXEMPLES : AIRES ET VOLUMES
Le déterminant est au contraire négatif s’il est nécessaire
d'appliquer en plus une symétrie, c’est-à-dire si le cube
unité ne peut être obtenu qu'en déformant le parallélépipède, puis en observant le résultat de cette déformation
dans un miroir.
2.4 Approche intuitive du déterminant
d'une application linéaire
Une application linéaire est une application qui transforme les coordonnées d'un vecteur de manière linéaire.
Par exemple dans l'espace de dimension 3, l'application
est linéaire si les coordonnées x, y et z d'un vecteur ont
pour image x', y' et z' avec :
Fig. 5. Illustration de la trilinéarité, det(u+u', v,w) = det(u, v,w)
+ det(u', v,w).
x′ = ax + by + cz
y ′ = dx + ey + f z
z ′ = gx + hy + iz
teurs.
• Le déterminant est nul si et seulement si les trois où a, b, c, d, e, f, g, h et i sont des nombres.
vecteurs sont contenus dans un même plan (parallélépipède « plat »).
• L'application déterminant est trilinéaire : notamment
det(aX+bY, X ′ , X ′′ ) = a det(X, X ′ , X ′′ )+b det(Y, X ′ , X ′′ ).
Une illustration géométrique de cette propriété est don- Fig. 7. Exemple d'applications linéaires : la première transforme
née dans la figure 5, par deux parallélépipèdes adjacents, le cube jaune en un volume vert et la seconde en un volume aplati
rouge.
c'est-à-dire possédant une face commune.
Fig. 6. Il est possible de passer du cube jaune au parallélépipède
vert par déformation continue. Ce n'est pas possible pour le parallélépipède rouge qui est l'image miroir du vert.
La figure 7 illustre deux cas de telles applications linéaires. Dans le premier cas, le cube jaune est transformé
en un parallélépipède illustré en vert. Dans le deuxième
cas, le cube jaune est transformé en un volume aplati,
un carré rouge (c'est-à-dire que certains des sommets du
cube initial ont la même image par l'application linéaire).
Ces deux cas correspondent à des situations différentes
en mathématiques. La première fonction du déterminant
est de fournir un moyen de séparer ces cas.
Pour être plus précis, le déterminant d'une application linéaire est un nombre, qui représente un facteur multiplicatif pour les volumes. Si le cube jaune est de volume
2.3 Interprétation du signe du détermi- 1, alors le volume de l'image du cube vert est la valeur
nant : orientation
absolue du déterminant de la première application. La
deuxième application a un déterminant nul, ce qui corArticle détaillé : orientation (mathématiques).
respond à un aplatissement des volumes.
Le déterminant est positif s’il est possible de déformer
Dans le plan, le signe du déterminant s’interprète comme continûment le cube jaune pour obtenir le vert. Il est au
le signe de l'angle orienté.
contraire négatif s’il est nécessaire d'y appliquer en plus
Dans l'espace à trois dimensions, le cube unité sert de une symétrie.
référence. Son déterminant vaut un. Un parallélépipède
non plat possède un déterminant positif s’il est possible de
l'obtenir en déformant continûment, sans jamais l'aplatir,
le cube unité.
En fait cette propriété n'est pas uniquement vraie pour
le cube unité jaune. Tout volume transformé par une application linéaire est multiplié par la valeur absolue du
déterminant.
3.2
Déterminant et réduction
Le déterminant existe pour les applications linéaires d'un
espace dans lui-même dans le cas de toutes les dimensions
finies. En effet, la notion de volume peut être généralisée :
ainsi un « hypercube » ayant ses arêtes de longueur 2 dans
un espace euclidien de dimension n aurait un déterminant
(sorte d'« hypervolume ») de 2n . En revanche, si l'espace
est de dimension infinie, alors le déterminant n'a plus de
sens.
3
Cadre d'utilisation
3.1
5
pavage est un pavage de parallélépipèdes de couleur
verte, remplissant également tout l'espace. Ceci signifie que tous les vecteurs de l'espace sont des vecteurs images. Notamment, le vecteur B est bien recouvert par l'un des volumes verts. Il est image d'un
vecteur X du volume jaune correspondant.
• En revanche, si le déterminant est nul, alors l'image
du pavage ne remplit pas l'espace entier. Dans
l'exemple du cube aplati rouge, elle ne remplit qu'un
plan. Certains vecteurs ne sont jamais atteints, les
autres sont l'image de plusieurs vecteurs à la fois.
Déterminant et équations linéaires
Article détaillé : Règle de Cramer.
Il existe un cas de calcul numérique très fréquent pour les
ingénieurs, les physiciens ou les économistes. Il s’agit de
la résolution d'un système d'équations linéaires. Si le système possède autant d'équations que de variables, on peut
espérer avoir l'existence et l'unicité d'une solution. Mais
ce n'est pas toujours le cas, par exemple en cas de répétition de la même équation, plusieurs solutions conviendront.
Plus généralement, pour un système de n équations et n
inconnues, le déterminant indique si les images par u remplissent l'espace entier ou seulement un sous-espace.
3.2 Déterminant et réduction
Les applications linéaires apparaissent non seulement en
géométrie élémentaire mais aussi dans de nombreux domaines avancés comme certaines résolutions d'équations
différentielles, la définition d'algorithmes rapides ou la
Plus précisément, à un système de n équations et n in- résolution de problèmes théoriques. Il est important de
connues peut être associé un déterminant. L'existence et comprendre leur comportement.
l'unicité de la solution est obtenue si et seulement si le Un outil d'analyse fécond consiste à répertorier les
déterminant est différent de 0. Ce problème est l'origine axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte
historique de l'introduction des déterminants.
comme une dilatation, multipliant les longueurs des vecIl est possible, non seulement de garantir l'existence et
l'unicité de la solution, mais la règle de Cramer fournit
un calcul exact de la solution à l'aide de déterminants.
Cette méthode n'est ni la plus rapide, ni la plus simple,
elle est peu pratiquée pour les calculs explicites, elle est
néanmoins utile pour établir certains résultats théoriques,
telle que la dépendance par rapport aux paramètres.
3.1.1
Lien avec l'aplatissement des volumes
teurs par une constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre et les vecteurs auxquels il s’applique
vecteurs propres.
Le phénomène d'aplatissement des volumes peut être mesuré par un déterminant. Il correspond au cas où, selon
une certaine direction, les vecteurs sont multipliés par un
rapport de dilatation égal à 0 (valeur propre nulle). Plus
généralement, toutes les valeurs propres peuvent être obtenues par le calcul d'un déterminant à paramètre, appelé
polynôme caractéristique.
Un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues peut
être mis sous forme d'une équation linéaire u(X) = B où X
= (x, y, z) est un vecteur dont les composantes sont les inconnues du système, u une application linéaire de l'espace
et B un vecteur. La résolution du système peut être formulée de façon géométrique : le vecteur B est-il l'image
d'un certain vecteur X par u ? Ce dernier est-il unique ?
Le déterminant de u apporte la réponse : l'existence et
l'unicité sont obtenues si et seulement s’il est non nul.
La figure 7 permet une approche intuitive de ce résultat.
Il suffit de considérer un pavage de l'espace par le cube
jaune et ses images par des translations selon les trois directions. Une famille de cubes jaunes adjacents remplit
alors tout l'espace.
Fig. 8. Jacobien.
• Si le déterminant n'est pas nul, alors l'image de ce
6
3.3
4
Déterminant et intégrale multiple
Ainsi que le montre l'approche intuitive, le déterminant
caractérise la modification de volume d'un parallélépipède par un endomorphisme. L'intégrale multiple est un
outil de détermination des volumes dans le cas général. Elle utilise la notion de déterminant dans le cadre
du changement de variables. Il prend alors le nom de
jacobien. Il peut être imaginé comme le rapport des
volumes élémentaires avant et après changement de variables, en usant de la terminologie des éléments différentiels.
DÉFINITION DU DÉTERMINANT
4.1 Généralisation à une dimension quelconque
Les notions de parallélogramme et de parallélépipède
sont généralisées à un espace vectoriel E de dimension
finie n sur ℝ. À n vecteurs x1 , ..., xn de E est associé
un parallélotope. Il est défini comme la partie de E formée par l'ensemble des combinaisons des xi à coefficients
compris entre 0 et 1
{
n
∑
}
ti xi ∀i, 0 ≤ ti ≤ 1 .
P = x=
Plus précisément, le comportement d'une application
i=1
différentiable au voisinage d'un point est au premier
ordre, analogue en termes de modification de volume, à Il convient de voir dans ce parallélotope une sorte de pavé
une application linéaire ayant comme déterminant le ja- oblique.
cobien.
Lorsque l'espace est muni d'un produit scalaire, il est possible de définir le volume de ce parallélotope, parfois appelé son hypervolume pour souligner que la dimension
de l'espace concerné n'est pas forcément 3. Il vérifie les
propriétés suivantes :
• les volumes de deux pavés adjacents par une face,
s’ajoutent
Fig. 9. Exemple du pendule de longueur variable, sans amortissement. En bleu et en rouge sont représentées deux solutions particulières, dans l'espace des phases. L'aire formée par les deux
solutions reste constante au cours du temps.
3.4
• la multiplication d'un des vecteurs définissant le pavé
par une constante induit la multiplication du volume
par cette constante
• le volume d'un pavé formé par la répétition du même
vecteur (ce qui constitue un cas particulier de pavé
plat), est nul.
Déterminant et amortissement dans les Un changement de produit scalaire sur l'espace E modifie
les mesures de longueurs, angles, et par conséquent de voéquations différentielles
lumes. Cependant la théorie des déterminants montrera
En physique, notamment en mécanique du point, qu'à une constante multiplicative près, il n'existe qu'une
l'équation différentielle linéaire d'ordre deux est fré- unique méthode de calcul des volumes dans un espace
quente. Elle se présente sous la forme y ′′ = ay ′ + vectoriel de dimension n.
by + c , dans laquelle a , b , c peuvent être des co- En reprenant un espace vectoriel sans structure particuefficients constants ou plus généralement des fonctions lière, la notion de déterminant a pour objectif de donner
(par exemple du temps). Le terme a est appelé facteur un sens intrinsèque au « volume » du parallélotope, sans
d'amortissement.
référence à un produit scalaire par exemple, c'est-à-dire
Cette équation différentielle est associée à un détermi- de construire une fonction f, qui à x1 , ..., xn associe un
nant, appelé wronskien. Il s’interprète comme une aire réel, et vérifie les propriétés précédentes. Une telle applidans le plan (y, y') appelé espace des phases par les phy- cation est appelée une forme n-linéaire alternée.
siciens. Cette aire reste constante au cours du temps si le
terme d'amortissement est nul, elle décroît de façon expo4.2 Formes n-linéaires alternées
nentielle s’il est strictement positif. S'il n'est pas toujours
possible d'exhiber une solution explicite, le wronskien est
Article détaillé : Application multilinéaire.
toujours calculable.
Le wronskien peut être généralisé à toutes les équations
La notion de forme n-linéaire alternée généralise les
différentielles linéaires.
propriétés précédentes. Elle se définit comme une application de En dans ℝ, qui est :
4
Définition du déterminant
• linéaire en chaque variable. Ainsi pour des vecteurs
x1 , ..., xn, x'i et deux scalaires a et b
4.4
Déterminant d'une matrice
7
f (x1 , . . . , xi−1 , axi +bx′i , xi+1 , . . . , xn ) = af (x1 , . . . , xn )+bf (x1 , . . . , x′i , . . . xn )
• alternée, signifie qu'elle s’annule à chaque fois
qu'elle est évaluée sur un n-uplet contenant deux
vecteurs identiques
[∃i ̸= j, xi = xj ] ⇒ f (x1 , . . . , xn ) = 0.
L'article détaillé procède à l'étude systématique des
formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n.
Le résultat principal est la possibilité de ramener le calcul
de l'image de (x1 , ..., xn ) à celui d'images des vecteurs de
base par n-linéarité. En outre le caractère alterné permet
de changer l'ordre des vecteurs, de sorte qu'il suffit de
connaître l'image f (e1 , ..., en ) des vecteurs d'une base,
pris dans l'ordre, pour connaître f. Remettre les vecteurs
dans l'ordre fait intervenir la notion de permutation.
Théorème
L'ensemble des formes n-linéaires alternées sur un espace
vectoriel E de dimension n constitue un espace vectoriel
de dimension 1.
De plus, si (e1 , . . . , en ) est une base de E, on peut expri- Fig. 10. Gottfried Leibniz introduit les premiers déterminants de
mer l'image d'un n-uplet de vecteurs par
taille 3 et plus.
f((x1 , . . . , xn )
=
)
∏n
∑
σ∈Sn ε(σ)
j=1 Xσ(j),j f (e1 , . . . , en )
[Note 2]
En physique, on rencontre souvent la formule de Leibniz
exprimée à l'aide du symbole de Levi-Civita, en utilisant
la convention d'Einstein pour la sommation des indices :
avec Xij la i-ème composante de xj .
det(A) = εi1 ···in A1 i1 · · · An in .
4.3
Déterminant d'une famille de n vecFormule de changement de base
teurs dans une base
Si B et B' sont deux bases de E, les applications déterminants correspondantes sont proportionnelles (avec un
On suppose E muni d'une base B = (e1 , . . . , en ) . rapport non nul)
L'application déterminant en base B est l'unique forme
n-linéaire alternée sur E vérifiant det B (e1 , . . . , en ) = 1
det B ′ (x1 , . . . , xn ) = det B ′ (B) × det B (x1 , . . . , xn ).
, abrégé en det B (B) = 1.
Définition
Il faut se représenter cette quantité comme une sorte de
Ce résultat est conforme à l'interprétation en termes de
volume de pavé, relativement à la base B.
volume relatif.
Formule de Leibniz
Soient x1 ,…,xn des vecteurs de E. Il est possible de représenter ces n vecteurs par n matrices colonnes, formant par 4.4 Déterminant d'une matrice
juxtaposition une matrice carrée X.
Article détaillé : Calcul du déterminant d'une matrice.
Le déterminant de x1 ,…,xn relativement à la base B vaut
alors
Soit une matrice A = (aij) carrée d’ordre n à coefficients
réels. Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être
det
xn )
=
∑ B (x1 , . . . ,∏
n
identifiés à des éléments de l'espace vectoriel ℝn . Ce der[Note 2]
.
σ∈Sn ε(σ)
j=1 Xσ(j),j
nier est muni d'une base canonique.
Cette formule porte parfois le nom de Leibniz. Elle pré- Il est alors possible de définir le déterminant de la masente peu d'intérêt pour le calcul pratique des détermi- trice A comme le déterminant du système de ses vecnants, mais permet d'établir plusieurs résultats théoriques. teurs colonnes relativement à la base canonique. Il est
8
4
DÉFINITION DU DÉTERMINANT
noté det(A) puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de même déterminant. Cette valeur commune est appelée
référence.
déterminant de u.
Par définition même, le déterminant dépend de façon li- Le déterminant de u est la valeur par laquelle u multiplie
néaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes les déterminants de vecteurs
sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut 1.
Enfin il vérifie la formule de Leibniz :
det(A) =
∑
σ∈Sn
ε(σ)
∏n
i=1
aσ(i),i
[Note 2]
.
det B (u(x1 ), . . . , u(xn )) = det u × det B (x1 , . . . , xn ).
Démonstration de ces deux propriétés
Ce déterminant se note fréquemment avec des barres verticales :
On introduit l'application du,B qui à x1 , ..., xn associe

m1;1
 ..
det  .
 m1;1
m1;n
..

..
=
.

.
mn;1
mn;n
···
..
.
···
···
..
.
···
m1;n .. .
. mn;n du,B (x1 , . . . , xn ) = det B (u(x1 ), . . . , u(xn ))
C'est une forme n-linéaire alternée et sa valeur sur les vecteurs de B, qu'on note du,B (B) , est justement le déterLa présentation matricielle apporte une propriété es- minant de la matrice représentative de u dans la base B.
sentielle : une matrice a le même déterminant que sa La forme du,B est donc proportionnelle au déterminant
transposée
en base B, le rapport de proportionnalité se calculant en
prenant l'image des vecteurs de B
mn;1
( )
det A = det tA ,
du,B = du,B (B) × det B
ce qui signifie que le déterminant de A se voit aussi
comme le déterminant du système des vecteurs lignes, re- Ce qui signifie, pour un n-uplet de vecteurs
lativement à la base canonique.
Formule du déterminant de la transposée - démonstration
det B (u(x1 ), . . . , u(xn )) = du,B (B)×det B (x1 , . . . , xn )
En appliquant la formule de Leibniz à la transposée
det(tA) =
∑
ε(σ)
n
∏
ai,σ(i)
i=1
σ∈Sn
On effectue un changement d'indice en posant j = σ(i)
. Par bijectivité de σ , cela conduit à
det(tA) =
∑
σ∈Sn
Il reste à prouver que si B' est une autre base de E, du,
B(B) est identique à du, B'(B'). Pour cela on utilise la
formule de changement de base dans les deux membres
de (1).
ε(σ)
n
∏
aσ−1 (j),j
j=1
Notamment, les endomorphismes de déterminant 1
conservent le déterminant des familles de vecteurs. Ils
forment un sous groupe de GL(E), noté SL(E) et appelé
groupe spécial linéaire. Dans un espace réel de dimension 2, ils se conçoivent comme les applications linéaires
conservant les aires orientées, en dimension trois les volumes orientés.
Une deuxième réindexation s’impose : prendre τ = σ −1 . On démontre que ce groupe est engendré par les
L'application qui à σ associe son inverse est une bijection transvections, dont la matrice dans une base adaptée est
de Sn , on peut donc effectuer ce changement d'indice et de la forme
ainsi


1
n
n
 1 λ

∏
∏
∑
∑


ε(τ )
aτ (j),j= det A .
ε(τ −1 )
aτ (j),j =
det(tA) =

..

 = In + λEij .
j=1
j=1
τ ∈Sn
τ ∈Sn




1
1
4.5
Déterminant d'un endomorphisme
Par construction même du déterminant des endomorSoit u un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimen- phismes, deux matrices semblables ont même détermision finie. Toutes les matrices représentatives de u ont le nant.
(1)
5.2
Propriétés de morphisme et d'annulation
5
Propriétés
9
Quitte à effectuer le choix d'une base, il est possible
d'énoncer ces propriétés dans le cadre matriciel.
5.1
Caractère n-linéaire alterné
L'application déterminant sur les familles de vecteurs est
une forme multilinéaire alternée. Utiliser cette propriété
sur une matrice demande d'exprimer le système de vecteurs colonnes, ou de vecteurs lignes.
Par exemple si la matrice A admet pour colonnes C 1 , ...,
Cn avec Ci de la forme Ci = aC 'i + C ' 'i
det(C1 , C2 , . . . , aCi′ +Ci′′ , . . . , Cn ) = a det(C1 , . . . , Ci′ , . . . , Cn )+det(C1 , C2 , . . . , Ci′′ , . . . , Cn ).
Voici l'effet des opérations élémentaires sur les colonnes
de la matrice :
• multiplier une colonne par a, entraîne la multiplication du déterminant par la même valeur ;
• échanger deux colonnes, entraîne la multiplication
Fig. 12. Augustin Louis Cauchy prouve que le déterminant constidu déterminant par –1 ;
tue un morphisme de groupes.
• ajouter à une colonne une combinaison linéaire des
5.2
autres colonnes ne modifie pas le déterminant.
Propriétés
de
d'annulation
morphisme
et
Notamment, si toutes les colonnes sont multipliées par a,
Cas d'annulation des déterminants
le résultat est une multiplication par an du déterminant
det(a × M ) = an × det M.
En revanche, il n'existe pas de formule simple exprimant
le déterminant de la somme A + B de deux matrices. En
effet, appliquer la multilinéarité par rapport aux colonnes
demande d'écrire les colonnes de la somme comme Ai +
Bi, puis d'appliquer n fois la propriété de linéarité. Finalement, le déterminant de A + B se scinde en une somme
de 2n déterminants hybrides det(A1 , A2 , B3 , A4 , ..., Bn),
formés d'un certain nombre de colonnes de A et de B.
Cependant, cette somme peut s’écrire assez simplement
à l'aide des mineurs de A et de B[14] .
Il est possible d'effectuer également des opérations élémentaires sur les lignes, qui ont les mêmes propriétés que
les opérations sur les colonnes. Opérer sur les lignes suivant la technique du pivot de Gauss fournit une méthode
systématique de calcul des déterminants ; c'est la méthode
la plus efficace en règle générale, et on montre[Note 3] que
son temps de calcul est de l'ordre de O(n3 ), c'est-à-dire
en gros proportionnelle au cube du nombre de lignes de
la matrice.
• le déterminant d'un système de n vecteurs est nul si
et seulement si ce système est lié (et ceci est valable
quelle que soit la base de référence)
• le déterminant d'une matrice (ou d'un endomorphisme) est nul si et seulement si cette matrice (ou
endomorphisme) est non inversible.
Ces propriétés expliquent le rôle essentiel que peuvent
jouer les déterminants en algèbre linéaire. Ils constituent
un outil fondamental pour prouver qu'une famille de vecteurs est une base.
Démonstration du cas d'annulation
• si le système est lié, une colonne est combinaison
linéaire des autres. Par une opération élémentaire, il
est possible de se ramener à un déterminant ayant
une colonne nulle, donc nul.
• si le système est libre, il est possible de le considérer
comme une base B' et lui appliquer la formule de
changement de bases : detB(B ').detB ' (B)=1.
10
5 PROPRIÉTÉS
Propriété de morphisme
• det(M × N ) = det M × det N
• ainsi si M est inversible alors det M −1
(det M )−1
=
• et le déterminant est un morphisme de groupes de
GLn(ℝ) dans (ℝ*, ×).
Démonstration de la propriété de morphisme
La double application de la formule pour
l'image d'une famille de vecteurs donne le résultat, en prenant les vecteurs images des vecteurs de la base B eux-mêmes
det(uv) = det B (u(v(e1 )), . . . , u(v(en ))) = det u. det B (v(e1 ), . . . , v(en )) = det u det v.
Il existe une généralisation de la formule de déterminant
d'un produit pour le cas de deux matrices rectangulaires :
c'est la formule de Binet-Cauchy.
5.3
Cofacteurs et formule de récurrence
Fig. 13. Pierre-Simon de Laplace.
Article détaillé : Comatrice.
Formules de Laplace
Soit A une matrice carrée de taille n, et A(x) la matrice
dont les coefficients sont les mêmes que ceux de A, sauf
le terme d'indice i, j qui vaut ai, j+x (c'est la modification
d'un des coefficients de la matrice, toutes choses égales
par ailleurs). Par la formule de linéarité pour la j-ème colonne, il est possible d'établir
Si n > 1 et A est une matrice carrée de taille n alors il
est possible de calculer son déterminant en fonction des
coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet
ainsi de ramener le calcul du déterminant à n calculs de
déterminants de taille n – 1.
Formules de développement :
...
a1,j−1
a1,j+1
...
a1,n •
par
rapport
à
=
..
.. ∑n
.. la colonne j : det A
a
Cof
;
.
.
.
i,j i=1 i;j
. . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,n ∑n
A+xCof
. ai;j Cofi,j .
• par rapport
à la ligne
i :: det
A = i,jj=1
= det
. . . ai+1,j−1 ai+1,j+1
. . . ai+1,n
..
..
.. .
.
. de
Comatrice
et calcul
l'inverse
...
an,j−1
an,j+1 . . .
an,n La comatrice de A, est la matrice constituée des cofacLe terme noté Cofi, j est appelé cofacteur d'indice i, j. Il teurs de A. Elle généralise les formules de développement
se calcule de la façon suivante : en notant M(i, j) le déter- du déterminant par rapport aux lignes ou colonnes
minant de la sous-matrice déduite de M par suppression
la ligne i et la colonne j, le cofacteur est (–1)i+j fois M(i,
j).
A × tcomA = tcomA × A = det A × In .
a1,1
..
.
i+j ai−1,1
det A(x) = det A+x(−1) ai+1,1
..
.
an,1
Il admet les interprétations suivantes :
La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire de A. Notamment si A est inver• augmenter de x le coefficient d'indice i, j de la ma- sible, l'inverse de A est un multiple de la matrice complétrice (toutes choses égales par ailleurs) revient à aug- mentaire. Cette approche offre une formule de la matrice
menter le déterminant de x fois le cofacteur corres- inverse, ne nécessitant que des calculs de déterminants
pondant ;
• le cofacteur est la dérivée du déterminant de la ma1 t
comA.
A−1 =
trice A(x).
det A
6.1
5.4
Corps commutatifs
Variations de la fonction déterminant
La formule de Leibniz montre que le déterminant d'une
matrice A s’exprime comme somme et produit de composantes de A. Il n'est donc pas étonnant que le déterminant
ait de bonnes propriétés de régularité.
5.4.1
Déterminant dépendant d'un paramètre
11
6.1 Corps commutatifs
Les différentes définitions et propriétés de la théorie des
déterminants s’écrivent de façon identique dans le cadre
des espaces vectoriels complexes et des matrices à coefficients complexes. Il en est de même sur tout corps commutatif, sauf pour le paragraphe « variations de la fonction déterminant » qui n'a alors pas de sens.
Si t 7→ A(t) est une fonction de classe Ck à valeurs dans
6.2 Anneaux commutatifs
les matrices carrées d'ordre n, alors t 7→ det A(t) est également de classe Ck .
6.2.1 Modules libres de dimensions finies
La formule de dérivation s’obtient en faisant intervenir les
colonnes de A
La quasi-totalité de la théorie des déterminants peut encore être étendue aux matrices à coefficients dans un
anneau commutatif A et aux modules libres de dimension
n
∑
d
finie′ sur A. Le seul point de divergence est la caractérisa(det(A1 (t), . . . , An (t))) =
det(A1 (t), . . . , Ai−1 (t), Ai (t), Ai+1 (t), . . . , An (t)).
tion de l'annulation des déterminants.
dt
i=1
Ainsi une matrice à coefficients dans un anneau commuCette formule est formellement analogue à la dérivée d'un tatif A est inversible si et seulement si son déterminant est
produit de n fonctions numériques.
inversible dans A.
La question de l'algorithme de calcul du déterminant est
Application déterminant sur l'espace des ma- à reprendre. En effet, la méthode du pivot de Gauss detrices
mande d'effectuer des divisions, ce qui n'est pas possible
dans l'anneau A lui-même. Les formules de Leibniz ou de
• L'application qui à la matrice A associe son déter- Laplace permettent de faire un calcul sans division, mais
minant est continue.
restent très coûteuses. Il existe des algorithmes bien plus
Cette propriété présente des conséquences topolo- raisonnables, dont le temps d'exécution est d'ordre O(n4 ) ;
giques intéressantes : ainsi le groupe GLn(ℝ) est un notamment, l'algorithme du pivot de Gauss s’adapte dans
ouvert, la loi de multiplication des matrices en fait le cas d'un anneau euclidien, cette adaptation est décrite
un groupe de Lie, et le sous-groupe SLn(ℝ) est un dans l'article sur le théorème des facteurs invariants[15] .
fermé dans GLn(ℝ).
5.4.2
• Cette application est différentiable et même C∞ .
Le développement limité à l'ordre 1 du déterminant au voisinage de A s’écrit det(A + H) =
det A + tr(tCom(A).H) + o(∥H∥), c'est-à-dire que
dans Mn(ℝ) muni de son produit scalaire canonique, la comatrice s’interprète comme le gradient
de l'application déterminant ∇ det(A) = Com(A).
Notamment pour le cas où A est l'identité det(I +
H) = 1 + tr(H) + o(∥H∥)
∇ det(I) = I.
Le caractère différentiable permet d'affirmer que
SLn(ℝ) est aussi un groupe de Lie.
• Elle est aussi polynomiale, ce qui fait de GLn(ℝ) une
variété algébrique.
6.2.2 Modules projectifs de type fini
Soient A un anneau commutatif, M un module projectif
de type fini et f un endomorphisme de M. Il existe un
module N sur A tel que le module P = M ⊕ N est libre
de type fini (c'est-à-dire de dimension finie). Soit alors g
l'endomorphisme de P défini par g(x, y) = (f(x), y). Alors
le déterminant g du module libre de type fini P ne dépend que de f (et non de N). On l'appelle déterminant
de f. Plusieurs des propriétés élémentaires du déterminant s’étendent à ce degré de généralité.
6.3 Corps non commutatifs
Ces formules portent parfois le nom d'identités de Jacobi.
6.3.1 Déterminant de Dieudonné
Elles sont établies dans l'article Comatrice.
6
Généralisation aux espaces vectoriels sur d'autres corps et aux
modules
Soient D un corps (non nécessairement commutatif) et E
un espace vectoriel à droite de dimension finie non nulle
sur D.
On sait que le groupe linéaire GL(E) est engendré par la
réunion de l'ensemble des transvections et de l'ensemble
des dilatations de E.
12
7
On note G l'abélianisé du groupe D* des éléments non
nuls de D : groupe quotient de D* du groupe D par le
groupe dérivé D(D*) de D*. On note θ le morphisme
canonique de D sur G = D*/D(D*). Si D est commutatif,
alors G = D*/{1}, et donc il s’identifie canoniquement à
D*.
Soit f une dilatation de E. L'ensemble des points fixes
de f est un hyperplan vectoriel H de E et il existe une
unique droite vectorielle L de E non incluse dans E qui
est stable par f (f(L) ⊆ L). Soit v un vecteur non nul de
L. Il existe un unique élément non nul a de D tel que f(v)
= va. L'élément θ(a) de G ne dépend que de f, et non pas
de v. Notons-le ρ(f).
NOTES ET RÉFÉRENCES
Pout élément f de EndD(E), le norme réduite de f n'est
autre que le déterminant de f considéré comme élément
de EndL(E 0 ). Cet élément ne dépend que de f (et non pas
de L), et il appartient à K. Si D = ℍ, alors la norme réduite
d'un élément de Endℍ(E) est un nombre réel positif ou
nul.
6.4 Formule de composition
Le résultat suivant[16] peut servir à établir des formules de
composition sur les normes.
Soient A un anneau commutatif et n2 matrices Mi,j (1
≤ i, j ≤ n) à coefficients dans A, carrées d'ordre m et qui
Il existe un unique morphisme de groupes φ de GL(E) commutent entre elles. Alors, la matrice par blocs (carrée
dans G tel que, pour toute transvection f de E, φ(f) = 1 et d'ordre mn)
tel que pour toute dilatation f de E, φ(f) = ρ(f). Pour tout


élément f de GL(E), on appelle déterminant de DieudonM1,1 M1,2 · · · M1,n
né (en), ou déterminant de f, l'élément φ(f) de G. Pour un
 M2,1 M2,2 · · · M2,n 


endomorphisme f de E qui n'appartient pas à GL(E), le
 ..
..
.. 
..
 .
.
déterminant de Dieudonné de f est défini comme étant 0.
.
. 
En adjoignant 0 à G comme élément absorbant (on proMn,1 Mn,2 · · · Mn,n
longe la multiplication par 0.g = g.0 = 0 pour tout g dans
G), on obtient un morphisme surjectif de monoïdes de a même déterminant que la matrice (carrée d'ordre m)
EndD(E) dans G ∪ {0}.
D(M₁,₁, … , Mn,n), où D(X₁,₁, … , Xn,n) est le polynôme
On suppose que D est le corps ℍ des quaternions de en les indéterminées Xi,j (homogène de degré n et à coHamilton. Alors le groupe dérivé de ℍ* est le groupe des efficients entiers) égal au déterminant de la matrice
quaternions de norme 1, qui n'est autre que la sphère unité
S 3 de ℝ4 . La fonction a ↦ ║a║ de ℍ* dans ℝ*₊ est un
morphisme de groupes surjectif de noyau S 3 , et par passage au quotient on obtient un isomorphisme de ℍ*/S 3 sur
ℝ*₊. Ainsi le déterminant d'un élément de GL(E) s’identifie à un nombre réel strictement positif.

X1,1
 X2,1

 ..
 .
X1,2
X2,2
..
.
···
···
..
.

X1,n
X2,n 

.. .
. 
Xn,1
Xn,2
···
Xn,n
7 Notes et références
6.3.2
Norme réduite
On note D un corps (commutatif ou non) et soit K le
centre de D. On suppose que la dimension de D sur K
est fini. Soit E un espace vectoriel de dimension finie non
nul sur D. La K-algèbre EndD(E) des endomorphismes
de E est simple et centrale (son centre est K). Il y a donc
une notion de norme réduite Nrd f d'un endomorphisme
f de E, c'est alors un élément de K. Si D est commutatif (c'est-à-dire si EndD(E)D = K), la norme réduite d'un
élément de EndD(E) = EndK(E) est alors le déterminant.
La norme réduite d'un élément d'une algèbre simple
centrale sur K généralise le déterminant d'un endomorphisme d'un espace vectoriel sur un corps commutatif.
7.1 Notes
[1] « La grande notoriété n'est assurée en mathématiques
qu'aux noms associés à une méthode, à un théorème, à
une notation. Peu importe d'ailleurs que l'attribution soit
fondée ou non, et le nom de Vandermonde serait ignoré de
l'immense majorité des mathématiciens si on ne lui avait
attribué ce déterminant que vous connaissez bien, et qui
n'est pas de lui ! » Victor-Amédée Lebesgue, conférence
d'Utrecht, 1837.
[2] Notations : Sn désigne l'ensemble des permutations de
{1, · · · , n} et ε(σ) la signature de la permutation σ (1
pour une permutation paire, −1 pour une permutation impaire).
Soit L un élément maximal (pour la relation d'inclusion)
[3] Pour plus de détails, se reporter au paragraphe concernant
de l'ensemble des sous-corps commutatif de D (il en
la complexité du temps de calcul.
existe), et alors L contient D. Par exemple, si D est le
corps ℍ des quaternions, on peut prendre pour L le corps
ℂ des nombres complexes. Soit alors E 0 le L-espace vec- 7.2 Références
toriel sous-jacent à E, et EndD(E) est une sous-K-algèbre
unitaire de EndL(E 0 ), et on peut donc considérer tout [1] (en) Eberhard Knobloch (de), « Determinants », in I.
Grattan-Guinness (ed.), Companion Encyclopedia of the
élément de EndD(E) comme un élément de EndL(E 0 ).
13
History and Philosophy of the Mathematical Sciences,
Londres, 1994 (ISBN 0415037859), p. 766-774.
[2] (de) E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül, Hildesheim, 1980.
[3] (en) Yoshio Mikami, The Development of Mathematics in
China and Japan (1913), 2e éd. Chelsea Pub. Company
1974.
[4] (en) C. B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley,
1968.
[5] (en) Gabriel Cramer, Introduction to the analysis of algebraic curves, 1750.
[6] (de) Moritz Cantor, Geschichte der Mathematik, Teubner,
1913.
[7] Étienne Bézout, « Recherches sur le degré des équations
résultantes de l’évanouissement des inconnues, et sur le
moyens qu’il convient d’employer pour trouver ces équations », Mém. Acad. Roy. Sci Paris, 1764, p. 288-338 [lire
en ligne].
[8] Alexandre-Théophile Vandermonde, « Mémoire sur
l'élimination », Hist. de l'Acad. Roy. des Sciences, Paris,
1772, 2e partie, p. 516-532.
[9] Joseph-Louis Lagrange, « Nouvelle solution du problème
du mouvement de rotation d'un corps de figure quelconque
qui n'est animé par aucune force accélératrice », Nouveaux
mémoires de l'Académie royale des sciences et des belleslettres de Berlin, 1773, p. 579-616.
[10] L'essentiel des informations de ce paragraphe provient de
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Matrices and determinants », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..
[11] Augustin Louis Cauchy, Mémoire sur les fonctions qui
ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes
contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment adressé en 1812 et publié dans
le Journal de l'École Poytechnique, XVIIe Cahier, Tome
X, Paris, 1815 [lire en ligne].
[12] A. L. Cauchy, Application du calcul des résidus à l’intégration des équations différentielles linéaires à coefficients
constants, 1826 [lire en ligne].
[13] (en) Charles L. Dodgson, An elementary treatise on determinants, Introduction.
[14] (en) Marvin Marcus, « Determinants of sums », The College Mathematics Journal 21(2), 1990, p. 130-135.
[15] Voir aussi : (en) Günter Rote, « Division-Free Algorithms
for the Determinant and the Pfaffian : Algebraic and Combinatorial Approaches », sur Université libre de Berlin (document sur les algorithmes sans division).
[16] N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9,
lire en ligne), p. III.112-113, (en) N. Bourbaki, Elements
of Mathematics : Algebra I, Chapters 1-3, Springer, 1990
(ISBN 978-3-54064243-5), p. 546-547.
8 Voir aussi
8.1 Articles connexes
Algèbre
• Déterminant de Hankel, lié aux récurrences linéaires
• Résultant de deux polynômes, et le discriminant qui
en est un cas particulier
• Mineur, lié au calcul du rang
• Polynôme caractéristique
• Règle de Cramer
• Pfaffien d'une matrice antisymétrique
• Immanant d'une matrice
• Permanent
Analyse
• Wronskien
• Jacobien
• Hessien, lié à l'étude des points critiques
• Déterminant fonctionnel (en), généralisation en dimension infinie
Géométrie
• Déterminant de Gram
• Forme volume
• Orientation
• Produit mixte
• Propriétés métriques des droites et plans
Autres déterminants particuliers
• Déterminant de Vandermonde
• Déterminant circulant
• Problème du déterminant maximal de Hadamard
(en)
Chimie
• Déterminant de Slater
14
8.2
8
Bibliographie
• (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition]
• Henri Cartan, Cours de calcul différentiel : avec
exercices, Hermann, coll. « Méthodes », 2007, 355
p. (ISBN 978-2705667023)
• Pierre Gabriel, Matrices, géométrie, algèbre linéaire
[détail des éditions]
Pour une introduction matricielle basée sur les
transvections.
• Joseph Grifone, Algèbre linéaire, Cépaduès, 2011,
4e éd., 448 p. (ISBN 978-2854289626)
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
8.3
Liens externes
• Déterminants, sur le site Mathématique du secondaire de Xavier Hubaut
• Formes multilinéaires et déterminant, sur le site lesmathematiques.net
•
Portail de l’algèbre
La version du 29 juin 2006 de cet article a été reconnue
comme « article de qualité », c'est-à-dire qu'elle répond
à des critères de qualité concernant le style, la clarté, la
pertinence, la citation des sources et l'illustration.
VOIR AUSSI
15
9
Sources, contributeurs et licences du texte et de l’image
9.1
Texte
• Déterminant (mathématiques) Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_(math%C3%A9matiques)?oldid=
125835893 Contributeurs : Vincent Ramos, R, Symac, Orthank, OsMoSe, VincentP, Archibald, Phe, MedBot, Mbenoist, Xmlizer, HB,
Phe-bot, Psychoslave, Bibi Saint-Pol, Touriste, Escaladix, Bap, TNico, Sbrunner, Theon, Thesaurus, Bayo, YS1, Pseudomoi, Claudius,
Chris93, Foulmetal, Lmaltier, Dchoulette, RobotQuistnix, YurikBot, Gene.arboit, Stocha, Oxyde, Flo, Litlok, Loveless, Michelbailly,
Fapae~frwiki, Un brice, Jean-Luc W, Altrensa, Esprit Fugace, SashatoBot, Pld, Peps, Liquid-aim-bot, Salle, Sakharov, Gemini1980,
Thijs !bot, Deep silence, JAnDbot, Nono64, Sebleouf, Dfeldmann, Van Rijn, CommonsDelinker, Eybot, Numbo3, Rei-bot, Zorrobot,
DodekBot~frwiki, Gerakibot, Liorek, AlnoktaBOT, Scrabble, TXiKiBoT, VolkovBot, ZX81-bot, Skiff, Ambigraphe, Ziwi, Chouca,
Lepsyleon, Kelam, JymD, PetitDej, ALDO CP, Dumontierc, Ficbot, Cgolds, HerculeBot, Nicolae Coman, Jaipasdepseudo, LaaknorBot,
CUSENZA Mario, LinkFA-Bot, Luckas-bot, Nallimbot, Georg-Johann, Anne Bauval, Scoopfinder, Cantons-de-l'Est, Ziron, Xqbot,
Alex-F, Jean de Parthenay, Xentyr, MastiBot, Coyote du 57, Twinsen4, AstaBOTh15, Hexbinmos, EmausBot, HRoestBot, Ebrambot,
ManiacParisien, Fortelle65, Movses-bot, OrlodrimBot, K. Thomas, René Vápeník, Lebronj23, Jitrixis, Ramzan, Roll-Morton, Addbot,
ScoopBot et Anonyme : 43
9.2
Images
• Fichier:Arithmetic_symbols.svg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a3/Arithmetic_symbols.svg Licence : Public domain Contributeurs : Travail personnel Artiste d’origine : Cette image vectorielle a été créée avec Inkscape par Elembis, puis modifiée
à la main.
• Fichier:Augustin_Louis_Cauchy.JPG Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Augustin_Louis_Cauchy.JPG
Licence : Public domain Contributeurs : ? Artiste d’origine : ?
• Fichier:Determinant_(1).jpg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/53/Determinant_%281%29.jpg Licence :
CC-BY-SA-3.0 Contributeurs : Transferred from fr.wikipedia Artiste d’origine : Jean-Luc W
• Fichier:Determinant_de_vecteur_dim_2.jpg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Determinant_de_
vecteur_dim_2.jpg Licence : CC-BY-SA-3.0 Contributeurs : Transferred from fr.wikipedia Artiste d’origine : Jean-Luc W
• Fichier:Determinant_de_vecteur_dim_2_egalite_geometrique.png Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/
Determinant_de_vecteur_dim_2_egalite_geometrique.png Licence : CC BY-SA 3.0 Contributeurs : Travail personnel Artiste d’origine :
Hexbinmos
• Fichier:Deux_parallelogrammes-det.png
Source
:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Deux_
parallelogrammes-det.png Licence : CC-BY-SA-3.0 Contributeurs : Own work ; loosely based on Image:Deux parallelogrammes.png ;
Artiste d’origine : Jean-Luc W
• Fichier:Disambig_colour.svg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Disambig_colour.svg Licence : Public domain Contributeurs : Travail personnel Artiste d’origine : Bub’s
• Fichier:Déterminant-3D.jpg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/D%C3%A9terminant-3D.jpg Licence :
CC-BY-SA-3.0 Contributeurs : ? Artiste d’origine : ?
• Fichier:Fairytale_bookmark_gold.svg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/66/Fairytale_bookmark_gold.svg
Licence : LGPL Contributeurs : File:Fairytale bookmark gold.png (LGPL) Artiste d’origine : Caihua + Lilyu for SVG
• Fichier:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Gottfried_Wilhelm_
von_Leibniz.jpg Licence : Public domain Contributeurs : /gbrown/philosophers/leibniz/BritannicaPages/Leibniz/LeibnizGif.html Artiste
d’origine : Christoph Bernhard Francke
• Fichier:Jacobien.jpg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Jacobien.jpg Licence : CC-BY-SA-3.0 Contributeurs : http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Jacobien.jpg Artiste d’origine : Jean-Luc W
• Fichier:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Nuvola_apps_
edu_mathematics_blue-p.svg Licence : GPL Contributeurs : Derivative work from Image:Nuvola apps edu mathematics.png and Image:
Nuvola apps edu mathematics-p.svg Artiste d’origine : David Vignoni (original icon) ; Flamurai (SVG convertion) ; bayo (color)
• Fichier:Orientation-déterminant.jpg
Source
:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Orientation-d%C3%
A9terminant.jpg Licence : CC-BY-SA-3.0 Contributeurs : http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Orientation-d%C3%A9terminant.jpg
Artiste d’origine : Jean-Luc W
• Fichier:Pierre-Simon_Laplace.jpg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/Pierre-Simon_Laplace.jpg Licence : Public domain Contributeurs : This image appears identical to the cover image used by Gillispie et al. They cite the portrait as
an 1842 posthumous portrait by Madame Feytaud, courtesy of the Académie des Sciences, Paris. Artiste d’origine : Sophie Feytaud (fl.1841)
• Fichier:Seki.jpeg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Seki.jpeg Licence : CC-BY-SA-3.0 Contributeurs :
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~{}history Artiste d’origine : upload by F. Lembrez
• Fichier:Transvection-1.jpg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6c/Transvection-1.jpg Licence : CC-BY-SA3.0 Contributeurs : ? Artiste d’origine : ?
• Fichier:Transvection-2.jpg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/98/Transvection-2.jpg Licence : CC-BY-SA3.0 Contributeurs : ? Artiste d’origine : ?
• Fichier:Wronskien.png Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e1/Wronskien.png Licence : Public domain Contributeurs : Travail personnel Artiste d’origine : F. Lembrez
9.3
Licence du contenu
• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0