Déterminant (mathématiques)

Déterminant (mathématiques)
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Article connexe : Calcul du déterminant d'une matrice.
En mathématiques, le déterminant fut initialement in-
troduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations
linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues.
Il se révèle un outil très puissant dans de nom-
breux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des
endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres,
les propriétés d’indépendance linéaire de certaines
familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel,
par exemple dans la formule de changement de variables
dans les intégrales multiples.
Comme pour de nombreuses opérations, le déterminant
peut être défini par une collection de propriétés (axiomes)
qu'on résume par le terme « forme n-linéaire alternée ».
Cette définition permet d'en faire une étude théorique
complète et d'élargir ses champs d'applications. Le déter-
minant peut aussi se concevoir comme une généralisation
à l'espace de dimension nde la notion d'aire ou de volume
orientés.
Un domaine spécifique de l'algèbre est consacré à l'étude
du déterminant et de ses généralisations : il s’agit de
l'algèbre multilinéaire.
1 Histoire des déterminants
Les déterminants furent introduits en Occident à par-
tir du XVIesiècle, soit bien avant les matrices, qui
n'apparaissent qu'au XIXesiècle. Il convient de rappe-
ler que les Chinois furent les premiers à utiliser des ta-
bleaux de nombres et à appliquer un algorithme main-
tenant connu sous le nom de procédé d'élimination de
Gauss-Jordan.
1.1 Premiers calculs de déterminants
Dans son sens originel, le déterminant détermine l'unicité
de la solution d'un système d'équations linéaires. Il fut in-
troduit dans le cas de la taille 2 par Cardan en 1545 dans
son Ars Magna, sous forme d'une règle pour la résolution
de systèmes de deux équations à deux inconnues[1]. Cette
première formule porte le nom de regula de modo.
L'apparition des déterminants de taille supérieure de-
mande ensuite plus de cent ans. Curieusement, le Japo-
Fig. 1. Le Japonais Kowa Seki introduit le premier des détermi-
nants de taille 3 et 4, à la même époque que l'Allemand Leibniz.
nais Kowa Seki et l'Allemand Leibniz en donnèrent les
premiers exemples presque simultanément.
Leibniz étudie de nombreux systèmes d'équations li-
néaires. En l'absence de notation matricielle, il représente
les coefficients inconnus par un couple d'indices : il note
ainsi ij pour ai,j. En 1678, il s’intéresse à un système
de trois équations et trois inconnues et donne, sur cet
exemple, la formule de développement suivant une co-
lonne. La même année, il écrit un déterminant de taille 4,
correct aux signes près[2]. Leibniz ne publie pas ses tra-
vaux, qui semblent avoir été oubliés avant que les résul-
tats soient redécouverts indépendamment une cinquan-
taine d'années plus tard.
À la même période, Kowa Seki publie un manuscrit sur
les déterminants, où il énonce une formulation générale
difficile à interpréter. Celle-ci semble donner des for-
mules correctes pour des déterminants de taille 3 et 4,
et de nouveau des signes erronés pour les déterminants de
taille supérieure[3]. La découverte restera sans lendemain,
à cause de la coupure du Japon avec le monde extérieur.
1

22 PREMIERS EXEMPLES : AIRES ET VOLUMES
1.2 Déterminants de taille quelconque
En 1748, un traité d'algèbre posthume de MacLaurin re-
lance la théorie des déterminants, avec l'écriture correcte
de la solution d'un système de quatre équations et quatre
inconnues[4].
En 1750,Cramer formule les règles qui permettent de
résoudre un système de néquations et ninconnues, mais
sans en donner la démonstration[5]. Les méthodes de cal-
cul des déterminants sont alors délicates, puisque fondées
sur la notion de signature d'une permutation[6].
Les mathématiciens s’emparent de ce nouvel objet, avec
des articles de Bézout en 1764[7], de Vandermonde en
1771[8] (étonnamment ne donnant pas le calcul du dé-
terminant de la matrice de Vandermonde actuelle[Note 1] ;
c'est un exemple célèbre d'application de la loi de Stigler).
En 1772, Laplace établit les formules de récurrence por-
tant son nom. L'année suivante, Lagrange découvre le lien
entre le calcul des déterminants et celui des volumes[9].
Gauss utilise pour la première fois le mot « déterminant »,
dans les Disquisitiones arithmeticae en 1801. Il l'emploie
pour ce que nous qualifions aujourd'hui de discriminant
d'une forme quadratique binaire et qui est un cas par-
ticulier du déterminant moderne. Il est également près
d'obtenir le théorème sur le déterminant d'un produit[10].
1.3 Mise en place de la notion moderne de
déterminant
Cauchy emploie le premier le mot déterminant dans son
sens moderne. On peut ainsi lire dans son article de syn-
thèse de plus de quatre-vingts pages sur cette question :
« M. Gauss s’en est servi avec avantage
dans ses Recherches analytiques pour décou-
vrir les propriétés générales des formes du se-
cond degré, c'est-à-dire des polynômes du se-
cond degré à deux ou plusieurs variables, et il
a désigné ces mêmes fonctions sous le nom de
déterminants. Je conserverai cette dénomina-
tion qui fournit un moyen facile d'énoncer les
résultats ; j'observerai seulement qu'on donne
aussi quelquefois aux fonctions dont il s’agit
le nom de résultantes à deux ou à plusieurs
lettres. Ainsi les deux expressions suivantes,
déterminant et résultante, devront être regar-
dées comme synonymes[11]. »
Elle représente une synthèse des connaissances anté-
rieures, ainsi que des propositions nouvelles comme le
fait que l'application transposée ne modifie pas le déter-
minant ainsi que la formule du déterminant d'un produit.
Binet propose également une démonstration cette même
année. Plus tard, Cauchy jette les bases de l'étude de la
réduction d'endomorphismes[12].
En publiant ses trois traités sur les déterminants en 1841
dans le journal de Crelle,Jacobi donne une véritable no-
toriété à la notion[10]. Pour la première fois, il présente
des méthodes de calcul systématiques, sous forme algo-
rithmique. Il devient également possible d'évaluer des dé-
terminants de fonctions avec la naissance du jacobien.
De 1832 à1844, les travaux de Grassmann, fondent
l'algèbre extérieure et donnent un sens plus général
aux déterminants au travers de la représentation des
grassmanniennes.
Le cadre matriciel est introduit par les travaux de Cayley
et Sylvester. Cayley est également l'inventeur de la nota-
tion des déterminants par des barres verticales ; il établit
la formule de calcul de l'inverse.
La théorie s’étoffe par l'étude de déterminants ayant des
propriétés de symétrie particulières et par l'introduction
du déterminant dans de nouveaux champs des mathéma-
tiques, comme le wronskien pour les équations différen-
tielles linéaires.
En 1867,Lewis Carroll, publie An elementary treatise
on determinants : with their application to simultaneous
linear equations and algebraical geometry, dans lequel
il énonce dix-sept propriétés dont sept sont, d'après lui,
originales[13].
2 Premiers exemples : aires et vo-
lumes
Les calculs d'aires et de volumes sous forme de déter-
minants dans des espaces euclidiens apparaissent comme
des cas particuliers de la notion générale. Cette vision des
déterminants permet une approche plus géométrique de
leurs propriétés.
Fig. 2. Le déterminant des vecteurs Xet X' est l'aire bleue orien-
tée.

2.2 Déterminant de trois vecteurs dans l'espace euclidien 3
Fig. 3. Démonstration géométrique du fait que Det(X,X') = y'x-
yx' (y'>y et x>x').
2.1 Déterminant de deux vecteurs dans le
plan euclidien
Soit Ple plan euclidien orienté usuel. Le déterminant des
vecteurs Xet X′est donné par l'expression analytique
det(X, X′) = 
x x′
y y′
=xy′−yx′
ou, de façon équivalente, par l'expression géométrique
det(X, X′) = ∥X∥·∥X′∥ · sin θ
dans laquelle θest l'angle orienté formé par les vecteurs
Xet X′.
2.1.1 Propriétés
•La valeur absolue du déterminant est égale à l'aire
du parallélogramme défini par Xet X′(en effet,
∥X′∥sin θest la longueur de la hauteur du parallé-
logramme associée au côté Xet l'aire du parallélo-
gramme est ∥X∥×∥X′∥sin θ).
•Le déterminant est nul si et seulement si les deux
vecteurs sont colinéaires (le parallélogramme de-
vient une ligne).
Cette annulation apparaît comme un test de
proportionnalité des composantes des vecteurs par
produit en croix.
•Le déterminant des vecteurs Xet X′est stricte-
ment positif si et seulement si la mesure de l'angle
entre ces deux vecteurs est comprise dans l'intervalle
]0, π[.
•L'application déterminant (X, X′)7→ det(X, X′)
est bilinéaire : la linéarité par rapport au premier
vecteur s’écrit det(aX +bY, X′) = adet(X, X′)+
bdet(Y, X′)et celle par rapport au second vec-
teur s’écrit det(X, aX′+bY ′) = adet(X, X′) +
bdet(X, Y ′).
Fig. 4. Somme des aires de deux parallélogrammes adjacents.
La figure 4, dans le plan, illustre un cas particulier de
cette formule. Elle représente deux parallélogrammes ad-
jacents, l'un défini par les vecteurs u et v (en vert), l'autre
par les vecteurs u' et v (en bleu). L'aire du parallélo-
gramme défini par les vecteurs u+u' et v (en gris) est égale
à la somme des aires des deux parallélogrammes précé-
dents, à laquelle est enlevée l'aire d'un triangle, et ajou-
tée l'aire d'un autre triangle ; les deux triangles se corres-
pondant par translation. La formule suivante est vérifiée :
det(u+u′, v) = det(u, v) + det(u′, v).
Ce dessin correspond à un cas particulier de la formule
de bilinéarité puisque les orientations ont été choisies de
façon que les aires aient le même signe, mais il aide à en
saisir le contenu géométrique.
2.1.2 Généralisation
Il est possible de définir la notion de déterminant dans
un plan euclidien orienté muni d'une base orthonormale
directe B, en utilisant les coordonnées des vecteurs dans
cette base. Le calcul de déterminant donne le même ré-
sultat quelle que soit la base orthonormale directe choisie
pour le calcul.
2.2 Déterminant de trois vecteurs dans
l'espace euclidien
Soit El'espace euclidien orienté usuel de dimension 3. Le
déterminant de trois vecteurs de Eest donné par
det(X, X′, X′′) = 
x x′x′′
y y′y′′
z z′z′′ 
=x
y′y′′
z′z′′ 
−y
x′x′′
z′z′′ 
+z
x′x′′
y′y′′ 
=x(y′z′′ −y′′z′)−y(x′z′′ −x′′ z′) + z(x′y′′ −x′′y′)
=xy′z′′ +x′y′′z+x′′ yz′−xy′′z′−x′yz′′ −x′′ y′z.
Ce déterminant porte encore le nom de produit mixte ;
un procédé visuel pour retrouver cette formule est connu
sous le nom de règle de Sarrus.
2.2.1 Propriétés
•La valeur absolue du déterminant est égale au
volume du parallélépipède défini par les trois vec-

42 PREMIERS EXEMPLES : AIRES ET VOLUMES
Fig. 5. Illustration de la trilinéarité, det(u+u', v,w) = det(u, v,w)
+ det(u', v,w).
teurs.
•Le déterminant est nul si et seulement si les trois
vecteurs sont contenus dans un même plan (parallé-
lépipède « plat »).
•L'application déterminant est trilinéaire : notam-
ment
det(aX+bY, X′, X′′ ) = adet(X, X′, X′′ )+bdet(Y, X′, X′′).
Une illustration géométrique de cette propriété est don-
née dans la figure 5, par deux parallélépipèdes adjacents,
c'est-à-dire possédant une face commune.
Fig. 6. Il est possible de passer du cube jaune au parallélépipède
vert par déformation continue. Ce n'est pas possible pour le pa-
rallélépipède rouge qui est l'image miroir du vert.
2.3 Interprétation du signe du détermi-
nant : orientation
Article détaillé : orientation (mathématiques).
Dans le plan, le signe du déterminant s’interprète comme
le signe de l'angle orienté.
Dans l'espace à trois dimensions, le cube unité sert de
référence. Son déterminant vaut un. Un parallélépipède
non plat possède un déterminant positif s’il est possible de
l'obtenir en déformant continûment, sans jamais l'aplatir,
le cube unité.
Le déterminant est au contraire négatif s’il est nécessaire
d'appliquer en plus une symétrie, c’est-à-dire si le cube
unité ne peut être obtenu qu'en déformant le parallélépi-
pède, puis en observant le résultat de cette déformation
dans un miroir.
2.4 Approche intuitive du déterminant
d'une application linéaire
Une application linéaire est une application qui trans-
forme les coordonnées d'un vecteur de manière linéaire.
Par exemple dans l'espace de dimension 3, l'application
est linéaire si les coordonnées x, y et z d'un vecteur ont
pour image x', y' et z' avec :
x′=ax +by +cz
y′=dx +ey +fz
z′=gx +hy +iz
où a,b,c,d,e,f,g,het isont des nombres.
Fig. 7. Exemple d'applications linéaires : la première transforme
le cube jaune en un volume vert et la seconde en un volume aplati
rouge.
La figure 7 illustre deux cas de telles applications li-
néaires. Dans le premier cas, le cube jaune est transformé
en un parallélépipède illustré en vert. Dans le deuxième
cas, le cube jaune est transformé en un volume aplati,
un carré rouge (c'est-à-dire que certains des sommets du
cube initial ont la même image par l'application linéaire).
Ces deux cas correspondent à des situations différentes
en mathématiques. La première fonction du déterminant
est de fournir un moyen de séparer ces cas.
Pour être plus précis, le déterminant d'une application li-
néaire est un nombre, qui représente un facteur multipli-
catif pour les volumes. Si le cube jaune est de volume
1, alors le volume de l'image du cube vert est la valeur
absolue du déterminant de la première application. La
deuxième application a un déterminant nul, ce qui cor-
respond à un aplatissement des volumes.
Le déterminant est positif s’il est possible de déformer
continûment le cube jaune pour obtenir le vert. Il est au
contraire négatif s’il est nécessaire d'y appliquer en plus
une symétrie.
En fait cette propriété n'est pas uniquement vraie pour
le cube unité jaune. Tout volume transformé par une ap-
plication linéaire est multiplié par la valeur absolue du
déterminant.

3.2 Déterminant et réduction 5
Le déterminant existe pour les applications linéaires d'un
espace dans lui-même dans le cas de toutes les dimensions
finies. En effet, la notion de volume peut être généralisée :
ainsi un « hypercube » ayant ses arêtes de longueur 2 dans
un espace euclidien de dimension naurait un déterminant
(sorte d'« hypervolume ») de 2n. En revanche, si l'espace
est de dimension infinie, alors le déterminant n'a plus de
sens.
3 Cadre d'utilisation
3.1 Déterminant et équations linéaires
Article détaillé : Règle de Cramer.
Il existe un cas de calcul numérique très fréquent pour les
ingénieurs, les physiciens ou les économistes. Il s’agit de
la résolution d'un système d'équations linéaires. Si le sys-
tème possède autant d'équations que de variables, on peut
espérer avoir l'existence et l'unicité d'une solution. Mais
ce n'est pas toujours le cas, par exemple en cas de répé-
tition de la même équation, plusieurs solutions convien-
dront.
Plus précisément, à un système de néquations et nin-
connues peut être associé un déterminant. L'existence et
l'unicité de la solution est obtenue si et seulement si le
déterminant est différent de 0. Ce problème est l'origine
historique de l'introduction des déterminants.
Il est possible, non seulement de garantir l'existence et
l'unicité de la solution, mais la règle de Cramer fournit
un calcul exact de la solution à l'aide de déterminants.
Cette méthode n'est ni la plus rapide, ni la plus simple,
elle est peu pratiquée pour les calculs explicites, elle est
néanmoins utile pour établir certains résultats théoriques,
telle que la dépendance par rapport aux paramètres.
3.1.1 Lien avec l'aplatissement des volumes
Un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues peut
être mis sous forme d'une équation linéaire u(X) = Boù X
= (x,y,z) est un vecteur dont les composantes sont les in-
connues du système, uune application linéaire de l'espace
et Bun vecteur. La résolution du système peut être for-
mulée de façon géométrique : le vecteur Best-il l'image
d'un certain vecteur Xpar u? Ce dernier est-il unique ?
Le déterminant de uapporte la réponse : l'existence et
l'unicité sont obtenues si et seulement s’il est non nul.
La figure 7 permet une approche intuitive de ce résultat.
Il suffit de considérer un pavage de l'espace par le cube
jaune et ses images par des translations selon les trois di-
rections. Une famille de cubes jaunes adjacents remplit
alors tout l'espace.
•Si le déterminant n'est pas nul, alors l'image de ce
pavage est un pavage de parallélépipèdes de couleur
verte, remplissant également tout l'espace. Ceci si-
gnifie que tous les vecteurs de l'espace sont des vec-
teurs images. Notamment, le vecteur Best bien re-
couvert par l'un des volumes verts. Il est image d'un
vecteur Xdu volume jaune correspondant.
•En revanche, si le déterminant est nul, alors l'image
du pavage ne remplit pas l'espace entier. Dans
l'exemple du cube aplati rouge, elle ne remplit qu'un
plan. Certains vecteurs ne sont jamais atteints, les
autres sont l'image de plusieurs vecteurs à la fois.
Plus généralement, pour un système de n équations et n
inconnues, le déterminant indique si les images par urem-
plissent l'espace entier ou seulement un sous-espace.
3.2 Déterminant et réduction
Les applications linéaires apparaissent non seulement en
géométrie élémentaire mais aussi dans de nombreux do-
maines avancés comme certaines résolutions d'équations
différentielles, la définition d'algorithmes rapides ou la
résolution de problèmes théoriques. Il est important de
comprendre leur comportement.
Un outil d'analyse fécond consiste à répertorier les
axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte
comme une dilatation, multipliant les longueurs des vec-
teurs par une constante. Ce rapport de dilatation est ap-
pelé valeur propre et les vecteurs auxquels il s’applique
vecteurs propres.
Le phénomène d'aplatissement des volumes peut être me-
suré par un déterminant. Il correspond au cas où, selon
une certaine direction, les vecteurs sont multipliés par un
rapport de dilatation égal à 0 (valeur propre nulle). Plus
généralement, toutes les valeurs propres peuvent être ob-
tenues par le calcul d'un déterminant à paramètre, appelé
polynôme caractéristique.
Fig. 8. Jacobien.