DM Optique physique : Mesure de la distance angulaire entre les

DM Optique physique : Mesure de la distance angulaire entre les composantes
d'une étoile double
pour le lundi 20/02
Introduction
Plus de la moitié des étoiles visibles dans le ciel sont en fait des étoiles doubles, voire multiples : ce ne sont pas des étoiles
uniques mais un groupement de plusieurs étoiles proches, en orbite les unes autour des autres. Parmi ces systèmes, ceux composés
de deux étoiles, appelés étoiles doubles, sont les plus simples à étudier et font donc l'objet d'un grand intérêt. L'étude des orbites
des deux étoiles permet par exemple de remonter à leurs masses.
On appelle composantes d'une étoile double les deux étoiles qui constituent l'étoile double. Dans la plupart des cas, il est
impossible de distinguer ces deux composantes à l'oeil nu. Il est donc nécessaire d'utiliser une lunette astronomique ou un
téléscope an de pouvoir les observer. Deux exemples de ces observations sont présentés sur les gures suivantes.
Figure
2 Observation de l'étoile double Sirius, dans la
constellation du Grand Chien, à l'aide du télescope spatial
Chandra. Sirius est l'étoile la plus brillante du ciel Terrestre, et
est distante de 8,6 années-lumières de la Terre.
Figure 1 Observation de l'étoile double 61 Cygni, dans la
constellation du Cygne, à l'aide d'un télescope amateur. 61 Cygni est distante de 11,4 années-lumière de la terre.
Si l'on observe la gure 1, il semble que les deux composantes de 61 Cygni sont très proches, c'est-à-dire que la distance qui
les sépare est du même ordre de grandeur que leur diamètre. Ce n'est pas du tout le cas : ces deux étoiles sont séparées d'environ
100 unité astronomiques, c'est-à-dire 100 fois la distance Terre-Soleil alors que leur diamètre est environ 0,7 fois celui du soleil.
Cette fausse impression vient du fait que les tâches lumineuses observées sur un cliché d'observation céleste ont une taille bien
plus grande que la taille réelle d'une étoile dans le ciel. Ceci est du à la diraction des rayon lumineux provenant de l'étoile
lorsqu'il entrent dans le système d'observation, par exemple un téléscope ou une lunette astronomique. Cet eet est étudié dans
la partie 2 du devoir.
Sur la gure 2 on voit apparaitre une autre type d'artefact 1 : on a l'impression que l'étoile la plus brillante émet de la
lumière dans 6 directions privilégiées de l'espace. Cet eet est une fois de plus dû à la diraction de la lumière par le système
d'observation.
Dans ce devoir nous nous intéresserons à la possibilité d'observer ces étoiles doubles à l'÷il nu ou avec une lunette astronomique, puis à la mesure de leur séparation angulaire à l'aide d'une technique interférométrique.
Données :
Rayon du soleil : RS = 696000 km
Rayon de la terre : RT = 6400 km
Unité astronomique = distance terre-soleil : 1 ua = 150.106 km
Année-Lumière : 1 AL = 9, 5.1012 km
Distance focale du cristallin de l'÷il humain au repos : fC0 = 22 mm
Diamètre de la pupille d'un ÷il humain, dans des conditions de vision normales : dp = 4 mm
Séparation angulaire des composantes de 61 Cygni : C = 30, 700
Séparation angulaire des composantes de Sirius : S = 8, 100
Remarque : Les deux dernières données sont des angles, données en seconde d'arc. On rappelle qu'une minute d'arc (notée
10 ) est égale à un 60eme de degré, et qu'une seconde d'arc est (notée 100 ) est égale à un 60eme de minute d'arc.
1. Un "artefact" est une perturbation systématique du signal mesuré, pouvant amener à de fausses conclusions.
1
1
Séparation angulaire des composantes d'une étoile double
B
Dans le domaine de l'observation astronomique on a recours à des angles pour caractériser
la taille apparente d'un objet dans le ciel, ou la distance apparente entre deux objets dans
le ciel.
A
ε
T
Dans le cas d'une étoile double, dont nous noterons les deux composantes A et B , on
appelle séparation angulaire l'angle entre les droites (AT ) et (BT ), où T est la position
d'un observateur terrestre.
A l'aide de données trouvées dans l'introduction, justier que les deux étoiles et la
Terre peuvent être considérées comme ponctuelles dans ce problème.
1)
Terre
Expliquez comment on peut estimer la distance réelle entre les deux composantes
d'une étoile double à partir de leur séparation angulaire, et d'une autre donnée que l'on
précisera. Une critique de la méthode employée est également attendue.
2)
Figure
3 Schéma expliquant la
notion de séparation angulaire entre
deux étoiles. La gure n'est pas (du
tout) à l'échelle.
2
A l'aide de données trouvées dans l'introduction, estimer la distance réelle entre les
deux composantes de Sirius, en unité astronomiques.
3)
Limite de résolution d'un instrument optique : application à l'observation
d'étoiles doubles
Dans ce paragraphe on considère un système optique simple, permettant de faire l'image d'objets situés à l'inni. Ce système
est présenté sur la gure 4, et peut modéliser soit l'oeil humain, soit la lentille d'entrée d'une lunette astronomique. Il est constitué
d'une lentille convergente (L) et d'un écran (E) situé dans le plan focal de la lentille (L). La distance focale de la lentille (L) est
notée f 0 .
Figure 4 Système optique étudié.
Figure 5 Le même système, mais équipé d'un diaphragme
en entrée.
2.1 Observation d'un objet ponctuel situé à l'inni : eet de la diraction
On observe un objet ponctuel A situé sur l'axe optique, à l'inni. Il émet une lumière monochromatique de longueur d'onde λ.
2 des rayons après la traversée
1) Recopiez sur votre copie la gure 4. Représentez les rayons incidents sur (L) et la marche
de la lentille.
On place un diaphragme circulaire (D) devant la lentille, de manière à ne sélectionner que les rayons proches de l'axe optique,
comme représenté à la gure 5. Le diamètre du diaphragme est noté a.
2) Quel peut être l'intérêt d'utiliser ce diaphragme ? A quoi correspond-t-il dans le cas de l'÷il humain ?
3) Recopiez sur votre copie la gure 5. A l'aide d'une construction géométrique et de vos connaissances sur le phénomène de
diraction, tracer le parcours des rayons issus de A, et montrer que l'on observe sur l'écran une tâche lumineuse dont le diamètre
d est donné par :
d=2
2. Dans le cas de rayons lumineux, "marche" est synonyme de "trajet"
2
λf 0
a
4) A l'aide des données numériques indiquées au début du sujet et de vos connaissances, estimer la taille de la tâche lumineuse
sur la rétine d'une personne observant une étoile à l'÷il nu.
2.2 Observation d'une étoile double : résolution angulaire
On observe maintenant une étoile double à l'aide du système présenté à la gure 4. Les deux étoiles sont considérées ponctuelles
et à l'inni, notées A et B , et on note leur séparation angulaire. L'axe optique du système d'observation est dirigé vers l'étoile
A.
1) A l'aide d'une construction géométrique, montrer que la distance D entre les images des deux étoiles sur l'écran est donnée
par :
D = f 0
2) On ajoute un diaphragme de diamètre a à l'entrée du système. A quelle condition les deux tâches lumineuses correspondant
aux images des étoiles sur l'écran ne se superposent-elles pas ? En déduire une condition sur pour pouvoir distinguer les deux
étoiles sur l'écran. Aucune construction géométrique n'est ici demandée.
3) Un modèle plus précis du phénomène de diraction montre que pour qu'un instrument d'optique puisse distinguer deux
objets ponctuels, il faut que leur séparation angulaire respecte :
> min = 1.22
λ
a
min est appelé résolution angulaire du système optique. Évaluer numériquement min en secondes d'arc pour l'÷il humain.
On prendra λ = 800 nm. Peut-on distinguer les composantes de 61 Cygni et de Sirius à l'÷il nu ?
2.3 Observation d'étoiles doubles à l'aide d'une lunette astronomique
Une lunette astronomique est constituée de deux lentilles minces convergentes, l'une notée L1 et appelée "objectif", de focale
f10 = 1 m, et l'autre notée L2 et appelée "oculaire", de focale f20 = 2 cm. Le plan focal image de L1 est confondu avec le plan
focal objet de L2 . Le centre optique de L1 est noté O1 et celui de L2 est noté O2 . Le foyer image de L1 est noté F10 et foyer objet
de L2 est noté F2 . Le diamètre d'entrée de la lunette est a = 10 cm.
Figure 6 Lunette astronomique, et rayons incidents paral- Figure 7 Lunette astronomique, et rayons incidents inclinés
lèles à l'axe optique.
par rapport à l'axe optique.
Recopiez sur votre copie la gure 6 et représentez le trajet de rayons incidents parallèles à l'axe optique à travers la lunette.
Recopiez sur votre copie la gure 7 et représentez le trajet de rayons incidents inclinés d'un angle α par rapport à l'axe
optique à travers la lunette.
1)
2)
On note α0 l'inclinaison des rayons émergents de la lunette par rapport à l'axe optique. Le grossissement angulaire G de la lentille
α0
est déni par G = .
α
f10
3) Montrez que : G =
. Application numérique. Indication : On se place dans les condition de Gauss : α, α0 << π/2
f20
4) Quelle est la séparation angulaire apparente des composantes de 61 Cygni et Sirius lorsqu'on les observe a travers cette
lunette ? L'oeil humain peut-il alors les distinguer ?
5) On est en fait limité par la résolution angulaire de la lunette elle-même. Estimer numériquement cette résolution angulaire
et conclure quand à l'observation des composantes de 61 Cygni et Sirius à l'aide de cette lunette. Quel est l'intérêt de construire
de grands télescopes ?
3
3
Mesure de la séparation angulaire des composantes d'une étoile double par
interférométrie
On utilise la lunette précédente que l'on dirige vers les deux composantes d'une étoile double, notées A et B , que l'on suppose
ponctuelles et à l'inni. Elles émettent une même lumière supposée monochromatique de longueur d'onde λ = 0, 6µm.
La face d'entrée de la lunette est masquée par un écran, représenté en gure 8, percé de deux nes fentes d'Young, notées S1
et S2 , parallèles entre elles et perpendiculaires au plan de la gure 8. On peut faire varier varier la distance, notée e, entre ces
deux fentes.
Toute l'étude qui suit est menée dans le plan focal image de L1 , ainsi la présence de l'oculaire n'a pas d'importance dans
cette partie.
On dispose la lunette de sorte que A et B soient soient dans le plan de la gure 8, et symétriques par rapport à l'axe optique.
Celui-ci fait donc un angle /2 avec la direction de A et un angle −/2 avec la direction de B . Trois rayons issus de A sont
représentés sur la gure 8.
On prendra nair = 1
Figure 8 Système de mesure interférométrique de séparation angulaire entre composantes d'une étoile double.
1) Les deux étoiles constituent-elles des sources cohérentes ? Que peut-on en déduire concernant l'éclairement dans le plan
focal de L1 ?
2.a) On suppose dans un premier temps que seule l'étoile A est présente. Recopiez sur votre copie la gure 8 et tracez les
rayons issus de A passant par S1 et S2 et arrivant au point M.
0
2.b) Calculer la diérence de marche entre ces deux rayons en fonction de e, f1 , et x, l'abscisse du point M.
0
2.c) En déduire l'éclairement au point M , en fonction de e, f1 , , x, λ et I0 , l'intensité lumineuse issue d'une fente lorsqu'elle
est éclairée uniquement par A.
0
2.d) Déterminer l'interfrange, ainsi que la position de la frange d'ordre p = 0, en fonction de λ, f1 , e et .
3) On considère maintenant que les fentes sont éclairées uniquement par B . Calculer l'éclairement au point M , en fonction
de e, f10 , , x, λ et I0 . On supposera que l'intensité lumineuse issue des deux étoiles est la même.
0
4.a) En déduire l'éclairement au point M, en fonction de e, f1 , , x, λ et I0 , lorsque les fentes sont éclairées par les deux
étoiles.
4.b) En déduire le contraste du système de franges et montrer que les franges disparaissent pour pour certaines valeurs de e.
4.c) Application numérique : déterminer emin , la plus petite valeur de e pour laquelle le contraste s'annule, lorsque l'on
observe Sirius.
4.d) Expliquer comment utiliser ces résultats pour mesurer la distance angulaire entre les deux composantes de Sirius. Au
vu des résultats de la partie 2, Conclure quand à l'intérêt de cette méthode.
FIN DU SUJET
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