Les intersections des bissectrices intérieures d`un

Les intersections des bissectrices intérieures d’un parallélogramme sont les sommets d’un
rectangle.
1. MNOP est un parallélogramme
2
A X
=
(angles alternes-internes)
2 2
A C
= (
A
et
C
sont de même amplitude donc leur moitié aussi)
Donc
2
X C
= (transitivité de l’égalité)
Puisque
2
X C
=, ils sont correspondants : bA // bC.
Il en va de même pour bB // bD.
MNOP est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles, MNOP est un
parallélogramme.
2. MNOP est un rectangle
B C 180
+ = °
(angles consécutifs d’un prgm sont supplémentaires).
2
B 2 B
= ⋅
et
1
C 2 C
= ⋅
(définition de la bissectrice)
Donc :
2 1
2 B 2 C 180
⋅ + ⋅ =⇔
°
(remplacement)
(
)
2 1
2 1
2 B C 180
B C 90
⇔ ⋅ + = °
⇔ + = °
(par calcul)
Dans le triangle BOC, deux des trois angles (
2 1
B et C
) sont complémentaires (leur somme
fait 90°). Le troisième angle (
1
O
) fait donc 90° (somme des angles d’un triangle égale 180°).
1 2
O O
= (opposés par le sommet)
MNOP est un parallélogramme ayant un angle droit (
2
O 90
= °
).
MNOP est un rectangle.