4PCSI — Année 2013-2014 — Informatique: TP — 8 & 15 avril 2014
Exercice 3. — (Nuages de points). Ecrire un programme demandant à l’utilisateur :
1) les coordonnées de 3 points, et qui place ces trois points dans un graphique.
2) un entier N, les coordonnées de Npoints, et qui place ces trois points dans un graphique.
Exercice 4. — (Mouvement brownien). Il s’agit ici de modéliser le mouvement aléatoire d’une particule
en suspension dans un fluide, appelé mouvement brownien. La modélisation proposée est la suivante :
äA l’étape 0: la particule (le point) a pour co-
ordonnées (0,0) (tant qu’à choisir une origine
dans le plan, autant qu’elle facilite les calculs
ultérieurs).
äDe l’étape nà l’étape n+ 1 : la particule
parcourt un segment de longueur 1, dans une
direction formant un angle aléatoire θn(com-
pris entre 0et 2π) avec l’axe (Ox).
äLe nombre d’étapes (donc de segments par-
courus par la particule) sera un entier Nsaisi
au clavier par l’utilisateur.
2. Approximation aux moindres carrés : droite de régression
Nous avons vu en cours sur un exemple comment détermi-
ner la droite approchant “au mieux” (au sens des moindres
carrés) les 3 points du plan de coordonnées (0,0),(1,1) et
(2,1).¶
Le but est de généraliser cette construction, et de construire
un programme donnant la droite de régression (“y=ax +b”)
pour un nuage de points quelconques du plan. Pour cela, il
“suffit” de généraliser les calculs vus en cours à un nombre
de points quelconques, et d’obtenir aet ben traduisant la
nullité d’un produit scalaire.
Dans l’hypothèse où vous ne sauriez pas comment faire pour y parvenir, voici un énoncé utile :
Propriété — Soit (xi, yi)i=1,...,n un nauge de npoints du plan. La droite de régression de ce
nuage de points a pour équation y=ax +b, où aet bsont solutions du système :
(n
∑
i=1
xi)a+nb =
n
∑
i=1
yi
a(n
∑
i=1
x2
i)x+b(n
∑
i=1
xi)=
n
∑
i=1
xiyi
Exercice 5. — A l’aide de cette propriété, écrire un programme construisant la droite de régression associée
à un nuage de npoints du plan (nétant choisi par l’utilisateur), et faisant apparaître sur le même graphique le
nuage de points et la droite de régression. Ce travail pourra être décomposé en plusieurs étapes, par exemple :
äSaisie de n, et des coordonnées des npoints ;
äCalcul des différentes sommes intervenant dans le système de la propriété ci-dessus ;
äRésolution du système (utilisez ce que vous avez déjà fait !) ;
äGraphiques.