corrigé du partiel

1
LM300
« Histoire des Mathématiques »
niveau L3
---
Printemps 2012–2013
L’ENSEIGNANT : David Aubin
– Examen partiel –
13 mars 2012, de 16h00 à 18h00, amphi 41A.
Corrigé
Partie 1 : Le pont-aux-ânes [total : 8 pts]
a) L’enseignement des mathématiques fait partie du curriculum traditionnel des universités
médiévales. Les discplines mathématiques définissent ce qu’on appelle le quadrivium
(géométrie, arithmétiqiue, astronomie et musique) qui est enseigné aux étudiants de niveau
intermédiaire (après le trivium et avant les spécialités avancées comme la théologie, la
médecine ou le droit).
Le œuvres d’Euclide sont connues à partir de traduction de l’arabe dès le 13e siècle.
Auparavant, on utilise surtout des ouvrages abrégés comme ceux de Boèce, même si le nom
d’Euclide est connu et respecté. Mais jusqu’à la Renaissance, Euclide est considéré comme
étant trop difficile pour l’enseignement des mathématiques qui reste généralement assez
rudimentaire.
b) Enoncé :
Exposition :
Détermination :
On peut aussi considérer que la première partie de la phrase (« menons les droites » jusqu’à
« (dem. 2) ») fait partie de la construction.

2
Construction :
Démonstration : tout le reste de l’extrait sauf la conclusion.
Conclusion :
c) Commentons la preuve d’Euclide en insistant sur les points demandés :
• Le principe général de cette preuve consiste à construire deux triangles égaux dont
les angles seront égaux, de là on déduit que les angles de la base sont égaux.
• Les remarques entre parenthèse ont été rajoutées au texte par le traducteur Peyrard
et font ressortir le caractère progressif des Éléments d’Euclide : les expression (dem.
2), (4) et (not. 3) indique que l’auiteur se sert, repectivement, de la demande 2, de la
proposition 4 et de la notion commune 3. La demande 2 exprime qu’un segment de
droit peut être prolongé arbitrairement. La proposition 4 qui n’a pas été vue en cours
se déduit facilement de la preuve : il s’agit du théorème bien connu selon lequel
deux triangles ayant deux côtés égaux et les angles entre ces côtés égaux sont égaux.
La notion commune 3 est aussi élémentaire : elle exprime le fait que si on retranche
une grandeur égale de deux grandeurs égales, les restes sont aussi égaux.
• Euclide établit d’abord l’égalité des triangles  et  en utilisant la proposition
4. En effet, ces deux triangles ont un angle en commun, l’angle , et les côtés
formant cet angle dans les deux triangles sont égaux deux à deux :
(*) = (par hypothèse) et = (par construction).
On déduit les égalités suivantes : =
=
=
• La prochaine étape de la preuve consiste à prouver que les triangles  et  sont
égaux. Pour cela, Euclide utilise d’abord la notion commune 3 pour montrer que les
côtés sont égaux = [puisque = et = ; des grandeurs
égales auquelles on retranche une grandeur égale par (*)]. Puiis il s’appuie encore
sur la proposition 4 en utilisant le fait que l’on a deux paires de côtés égaux deux à
deux faisant deux angles égaux [il s’agit des côtés  et  et de la base 
communue aux deux triangles et des angles =.
De là on déduira l’égalité des deux autres angles de chacun des triangles, à savoir
= et =.

3
• La troisième et dernière étape de la preuve consiste donc à vérifier à l’aide de la
notion commune 3 appliquée aux angles, cette fois-ci, que l’on a bien montré
l’égalité des angles sur la base  du triangle isocèle.
En d’autres termes, =BH ==, ce qu’il
fallait démonter.
d) La réciproque de la proposition 5 s’énonce ainsi : « Si deux angles d’un triangle sont égaux
entre eux, alors les côtés opposés à ces angles égaux seront aussi égaux entre eux ».
La preuve se fait par l’absurde. On suppose que ce n’est pas le cas : que les angles  et
 sont égaux, mais que les côtés  et  ne le sont pas (voir figure). Supposons que 
soit le plus grand, on place le point  sur  de sorte que =. Par la proposition
précédente, nous aurons que les angles sur la base du triangle  sont égaux, c’est-à-dire
=. Or, nous aurons donc AB = +> ==B,
ce qui contredit l’hypothèse. Par conséquent =, ce qu’il fallait démontrer.

4
Partie 2 : le cercle et l’équation du 2nd degré d’Euclide à Descartes
[total : 11 pts]
Dans un premier temps, concentrons-nous sur le cas où  passe par le centre .
Notons = ; = et =.
a) Ce qu’il faut démontrer s’exprime par :
×=×()=
()=
ou =+
ou encore = 0.
b) Il s’agit bien évidemment d’une équation du second degré en  dont la solution sera :
=±+ 4
2=
2± 2+
c) Pour prouver le théorème, il suffit donc que la solution de l’équation algébrique ait un sens
géométrique. Or, les deux racines de l’équation sont l’une positive et l’autre négative, car le
terme sous la racine est nécessairement plus grand que (2
). En géométrie, seulela racine
positive a donc un sens. Donc :
=
2+ 2+
Mais on peut interpréter cette équation géométriquement en écrivant :
=++
car les rayons du cercles ==2
. En utilisant le théorème de Pythagore sur le
trangle rectangle , on s’aperçoit que cette relation est exacte. Comme on sait que
= est bien solution de l’équation du second dégré données plus haut, il en résulte que
l’expression ×= qui a servi à définir l’équation est satisfaite. C’esr ce qu’il fallait
démontrer.

5
d) Dans la Géométrie publiée en 1637, Descartes utilise la même figure pour montrer que toute
équation algébrique du second degré se réduit à un problème géométrique dans le plan
qu’on peuit résoudre à l’aide de figures tracées à la règle et du compas. Ce sont ces
problèmes qu’il appelle les « porblèmes plans ». Inversement, tout problème plan donne
lieu, après simplification, à des expressions algébriques du second degré.
Nous allons maintenant analyser la preuve donnée par Euclide toujours dans le cas où  passe par
le centre  du cercle. Cette preuve est essentiellement basée sur trois propositions, notées ici (18.3),
(6.2) et (47.1). La proposition (18.3) énonce que la tangente du cercle est perpendiculaire au rayon.
e) Etudions d’abord la proposition (6.2). Dans la preuve, Euclide s’en sert pour écrire : « puisque
la droite  est coupée en deux parties égales au point , et que la drote  lui est ajoutée,
le rectangle sous ,, avec le quarré de , est égal au quarré de  ». En d’autres
termes : ×+=.
En notant === et = ; on aura :
×+=(2+)×+=+ 2+= (+)=.
f) La proposition (47.1) est bien connue : c’est le théorème de Pythagore.
g) Pour montrer le théorème, il faut établir que ×=. Pour y arriver, on s’assure
d’abord que l’angle  est droit à cause de la proposition (18.3) et qu’on peut donc
appliquer le théorème de Pytahgore au triangle . Ensuite, on utilise la proposition (6.2) et
le théorème de Pythagore (47.1) pour écrire :
×+==+.
Puisque les rayons sont égaux =, on simplifie et on a alors :
×=,
ce qu’il fallait démontrer.
Dans le cas où où  ne passe pas par le centre du cercle, enfin, Euclide dénote par  le centre du
cercle et par Z le centre du segment AG qui est aussi l’intersection entre AG et sa perpendiculaire
passant par E. La proposition (6.2) lui permet de montrer, comme plus haut, que : ×+=
.
h) La différence avec plus haut, c’est qu’on ne peut plus utiliser l’égalité ==. Mais on
a, comme tout à l’heure : ×+=.
Or, += et += grâce au théorème de Pythagore. En ajoutant
 de chaque côté de l’égalité, on obtient donc :