09 - Quadrilatères - la Haute Tour de Sorcellerie

Chap 09 - Quadrilatères
(Définition, propriétés, construction et démonstrations)
I)−−−−−−−−−−−−−−−− Parallélogramme
1)−−−−−−−−− Définition
−−−−−−−−−
Définition
−
: Un parallélogramme est un quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles deux à
deux.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°1 p 212 (à l’oral) + n°37 p 215
2)−−−−−−−−−
Propriétés
−−−−−−−−
Propriété
−
: Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :
– ses cotés opposés sont parallèles deux à deux
– ses diagonales se coupent en leur milieu
– ses cotés opposés ont la même longueur
– ses angles opposés ont la même mesure
– ses angles consécutifs sont supplémentaires
– il a un centre de symétrie qui est l’intersection de ses diagonales
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°40 et 43 p 215
3)−−−−−−−−−−−−
Construction−−−− d’un
−−−−−−−−−−−−−−−−
parallélogramme
Construire ci-dessous le parallélogramme CINQ tel que C I =5cm,I N =3cm et C I N =44°
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°20 et 24 p 213
4)−−−−−−−−−−
Démontrer
−−−−−−
qu’un−−−−−−−−−−− quadrilatère
−−−
est
−−−
un−−−−−−−−−−−−−−−− parallélogramme
−−−−−−−−
Propriété
−
:
– Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors c’est un parallélogramme
– Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélo-
gramme
– Si un quadrilatère −−− non
−−−−−−
croisé a ses cotés opposés de même longueur alors c’est un parallélo-
gramme
– Si un quadrilatère
−−−−
non
−−−−−−
croisé a deux cotés opposés paralléles et de même longueur alors c’est
un parallélogramme
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°28 à 31 p 214
1

II) −−−−−−−−− Rectangle
1)−−−−−−−−− Définition
−−−−−−−−−
Définition
−
: Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°1 p 229
2)−−−−−−−−−
Propriétés
−−−−−−−−
Propriété
−
: Un rectangle est un parallélogramme particulier. Il a donc toutes les propriétés d’un
parallélogramme vues ci-dessus.
De plus si un quadrilatère est un rectangle alors :
– ses quatre angles sont droits
– ses diagonales ont la même longueur
– il a deux axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés)
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°2 p 229 + n°15 et 16 p 231
3)−−−−−−−−−−−−
Construction−−−− d’un
−−−−−−−−−
rectangle
Construire ci-dessous le rectangle RECT tel
que RE = 6cm et RC = 10 cm :
Construire ci-dessous le rectangle MNPQ tel
que MN = 6cm et N M P =40° :
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°18, 19 et 21 p 231
4)−−−−−−−−−−
Démontrer
−−−−−−
qu’un−−−−−−−−−−− quadrilatère
−−−
est
−−−
un−−−−−−−−− rectangle
−−−−−−−−
Propriété
−
:
– Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle.
– Si un parallélogramme a−−− un angle droit, alors c’est un rectangle.
– Si un parallélogramme a ses diagonales qui ont la même longueur, alors c’est un rectangle.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°3 p 229 + n°9 p 230 + n°39 p 232
2

III) −−−−−−− Losange
1)−−−−−−−−− Définition
−−−−−−−−−
Définition
−
: Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°4 p 229
2)−−−−−−−−−
Propriétés
−−−−−−−−
Propriété
−−
: Un losange est un parallélogramme particulier. Il a donc toutes les propriétés d’un
parallélogramme vues ci-dessus.
De plus si un quadrilatère est un losange alors :
– ses quatre côtés ont la même longueur
– ses diagonales sont perpendiculaires
– il a deux axes de symétrie (ses diagonales)
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°5 p 229 + n°24 et 25 p 231
3)−−−−−−−−−−−−
Construction−−−− d’un
−−−−−−−−
losange
Construire ci-dessous le losange LYON tel que
LY = 5cm et LO = 9 cm :
Construire ci-dessous le rectangle ABCD tel
que AC = 7cm et B AC =30° :
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°26 et 28 p 231
4)−−−−−−−−−−
Démontrer
−−−−−−
qu’un−−−−−−−−−−− quadrilatère
−−−
est
−−−
un−−−−−−− losange
−−−−−−−−
Propriété
−
:
– Si un quadrilatère a ses quatre côtés qui ont la même longueur, alors c’est un losange.
– Si un parallélogramme a deux côtés−−−−−−−−−− consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
– Si un parallélogramme a ses diagonales qui sont perpendiculaires, alors c’est un losange.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°6 p 229 + n°11 et 12 p 230
3

IV) −−−−− Carré
1)−−−−−−−−− Définition
−−−−−−−−−
Définition
−
: Le carré est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur et dont les
quatre angles sont droits.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°7 p 229
2)−−−−−−−−−
Propriétés
−−−−−−−−
Propriété
−
: Un carré est à la fois un parallélogramme, un rectangle et un losange. Il cumule donc
toutes leurs propriétés.
−−−−−−−−−
Remarque
−
: On notera notamment que :
– le point d’intersection de ses diagonales est un centre de symétrie du carré, comme pour le parallélo-
gramme
– ses diagonales sont des axes de symétrie, comme pour le losange
– les médiatrices de ses côtés sont des axes de symétrie, comme pour le rectangle
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°32 p 232
3)−−−−−−−−−−−−
Construction−−−− d’un
−−−−−
carré
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°33 et 34 p 232
4)−−−−−−−−−−
Démontrer
−−−−−−
qu’un−−−−−−−−−−− quadrilatère
−−−
est
−−−
un−−−−− carré
−−−−−−−−
Propriété
−
: Pour démontrer qu’un quadrilatère est un carré, il faut montrer que c’est un rectangle
ET un losange.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°13 et 14 p 230
V) −−−−−−−− Synthèse
−−−−
DM −−−− pour
−−
le
−−−−−−−−−−−−−−−−
..............................
−−
: n°92 p 221 + n°83 p 237
B: Envoyer votre travail par mail à l’adresse [e-mail]
Il faut 3 trois fichiers :
– un fichier geogebra avec la construction du n°92 p 221 nommé NOM_Prenom_p221_n92
– un fichier geogebra avec la construction du n°83 p 237 nommé NOM_Prenom_p237_n83
– un fichier texte avec les réponses aux questions écrites nommé NOM_Prenom_p221_n92_et_p237_n83
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