Techno - Infty08

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REPUBLIQUE TUNISIENNE
Ministère de l’Enseignement Supérieur
Concours Nationaux d’Entrée aux
Cycles de Formation d’Ingénieurs
Session : Juin 1999
Concours en Technologie
Epreuve de Physique
Durée : 4 heures Date : 7 juin 1999 Heure: 8 h Nb pages : 8
Barème : Partie A : 5,5/20; Partie B : 5,5/20; Partie C : 4,5/20; Partie D : 4,5/20
l'usage d'une calculatrice ( non-programmable ) est autorisé
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le problème comporte différentes parties largement indépendantes entre elles, les candidats peuvent les
résoudre dans l'ordre qui leur convient, en respectant néanmoins la numérotation des questions.
Les vecteurs sont notés dans ce problème par des lettres en " gras" par exemple : →
v ↔ v.
- constante de gravitation : G = 6,7 × 10-11 N m2 kg-2
- une année lumière : = 9,5 × 1015 m
- célérité de la lumière : c = 3 × 108 ms-1
- une seconde d'arc : 1” = 5 × 10-6 rad
✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫✫
A – Mesure de la masse d'une étoile d’un doublet
La majorité des étoiles sont associées en couples (doublet), voire en systèmes multiples (à peine 40 des
étoiles de la galaxie sont solitaires, comme le Soleil ). Les étoiles doubles occupent une place de choix dans
l'astronomie d'observation, car elles offrent un moyen direct de mesurer des masses stellaires.
On se propose d'étudier dans cette partie un doublet dans un référentiel R supposé galiléen.
Pour cela, on assimile les deux étoiles formant le doublet à deux points matériels M1 et M2 de
masses respectives m1 et m2. Chacun des deux éléments n’est soumis qu’à la force de gravitation
exercée par l’autre.

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A.1. Montrer que l’on peut attacher au centre de masse noté C du doublet un référentiel galiléen
qu'on notera R*.
A.2. On posera : r = M1M2 , µ =
21
21 mm m m + et v = R
dt
dr, appelée vitesse relative.
a. Exprimer l'énergie cinétique Ec* du doublet dans R* en fonction de µ et v.
b. Donner l'expression vectorielle de la force d'interaction entre les deux étoiles en fonction
de r, m1, m2 et G. En déduire l'expression de l'énergie potentielle Ep correspondante.
c. Ecrire alors l'expression de l'énergie mécanique Em* du doublet dans R*.
A.3. a. Exprimer le moment cinétique Lc* en C du doublet dans R* en fonction de r, v et µ.
b. Montrer que les trajectoires des deux étoiles sont planes.
A.4. On suppose que les deux étoiles M1 et M2 décrivent des orbites circulaires de rayons R1 et R2
et de même centre C supposé fixe dans le référentiel R.
a. Ecrire la relation qui existe entre les vecteurs CM1 et CM2. En déduire une relation entre
les rayons R1 et R2.
b. Montrer que la période T de révolution de chaque étoile est donnée par la formule suivante
()
21
3/2
mmG
d 2
T+
π
= où d = R1 + R2.
A.5. Le système binaire visuel d’Alpha du Centaure est situé à 4,2 années lumière de la Terre. Les
deux étoiles sont séparées de la distance angulaire β = 17,6” ( angle sous lequel on les observe
depuis la Terre) et mettent 80 années à accomplir une période.
Déterminer la masse de chaque étoile sachant que le rapport entre les rayons des deux orbites
est ε = R1/R2 = 1,23.
B- Pouvoir séparateur d’un télescope
On s’intéresse dans cette partie au passage d’une onde plane progressive monochromatique de longueur
d’onde λ à travers une ouverture de forme quelconque percée dans un écran opaque situé dans le plan (xoy).
On admettra que les ondes se propagent dans un milieu homogène et isotrope assimilable au vide.
L’observation de l’onde diffractée se fait dans le plan (XOY), les axes OZ et oz sont confondus (cf fig.1).
B.1. a. Décrire une expérience simple mettant en évidence le phénomène de diffraction.
b. Enoncer le principe d’Huygens-Fresnel.
B.2. On intercale entre l’écran d’observation et l’ouverture diffractante une lentille convergente de
distance focale image f ’. Où doit-on placer la lentille pour obtenir sur l’écran (XOY) une
figure de diffraction de Fraunhofer dite à l’infini ?

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B.3. On suppose maintenant que l’ouverture est une fente infiniment allongée selon oy et de largeur
a selon ox : ses bords sont situés en x = -a/2 et x = +a/2 ( cf fig.2). La répartition de l'onde
diffractée est telle que l'on peut se limiter à la diffraction dans le plan (xoz).
L’onde plane monochromatique arrive sous une incidence θ0, angle que fait son vecteur d’onde
avec l’axe oz (cf fig.3).
Dans le cadre de la diffraction de Fraunhofer, établir l’expression de l’intensité de l’onde
diffractée I(u) dans une direction repérée par l’angle θ.
On posera λθθ
=0
sin-sin
u et on appellera I0 l’intensité de l’onde diffractée dans la direction
de l’onde incidente.
B.4. Tracer avec soin le graphe I(u) et comparer l’intensité du 1er maximum secondaire à celle du
maximum principal. On admettra qu'un maximum secondaire se situe approximativement au
milieu de l'intervalle qui sépare deux minima successifs.
B.5. On suppose que les angles θ et θ0 restent faibles, à quelle distance X0 de O observe-t-on le
maximum principal sur un écran placé dans le plan focal image d'une lentille convergente de
distance focale image f ’ ?
Evaluer, en fonction de f ’, λ et a, la largeur ∆X0 de la tache principale : distance séparant les
deux premiers minimums nuls.
o
Fig.3
y
x
O
Y
X
Z
o
Fig.1
o
x
y
z
Fig.2
θ0
θ
x
O
X
Z

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Le télescope utilisé pour les observations astronomiques peut être modélisé par une fente de largeur a devant
laquelle se trouve une lentille convergente de distance focale image f ’ ( cf. fig.4). L’observation des objets
lointains se fait dans le plan focal image de la lentille.
On définit le pouvoir séparateur (noté α) du télescope comme la plus petite valeur de distance angulaire
correspondant à l'observation de deux images distinctes. A cause de la diffraction, on ne verra qu’une seule
tache lumineuse si la distance angulaire entre les deux étoiles est inférieure à α.
On observe à l’aide de ce télescope une étoile double dont les deux composantes E1 et E2 émettent des ondes
supposées planes, de même intensité I0 et de même longueur d’onde λ. On désigne par β, appelé distance
angulaire, l’angle sous lequel on voit les deux étoiles depuis le télescope.
B.6. On suppose que le télescope est orienté de façon que les deux étoiles soient symétriques par
rapport à l’axe optique oz (cf fig.4).
Donner, en fonction de f ’ et β (supposé faible), l’expression de la distance d0 séparant les
deux maxima principaux observés dans le plan focal de la lentille.
B.7. En adoptant le critère de Rayleigh* et en utilisant le résultat de la question B.5/, exprimer le
pouvoir séparateur α du télescope en fonction de λ et a.
* Critère de Rayleigh : Deux taches de diffraction peuvent être séparées si le maximum
principal de l’une est confondu avec le premier minimum nul de l’autre.
En réalité, le collecteur de lumière pour un télescope est un miroir concave de diamètre D. C'est ce miroir qui
limite le front d'onde et joue le rôle d'une ouverture diffractante. Le pouvoir séparateur (en radian) est donné
alors par la formule suivante : α D
ë
1,22 ×= .
B.8. a. Calculer le pouvoir séparateur du télescope spatial Hubble sachant que le diamètre du
miroir collecteur est D = 2,4 m et qu’il opère à une longueur d’onde λ = 480 nm.
En déduire la distance minimale entre deux étoiles situées à 4,2 années lumière de la Terre
(dans le système d’Alpha du Centaure) pour qu’elles puissent être distinguées par Hubble.
b. Le pouvoir séparateur d’un télescope opérant dans le visible à la surface de la Terre est
limité à environ 1” à cause des turbulences de l’atmosphère. Cette valeur correspond à un
miroir d’environ 10 cm de diamètre. Pourquoi utilise-t-on alors des télescopes de grands
diamètres (3 m à 10 m) pour observer le ciel dans le visible ?
o
E2
✹
✹
E1
x
O
X
Z
Fig.4 β

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La fente de largeur a décrite dans la question B.3/, éclairée par une onde plane monochromatique de
longueur d’onde λ arrivant sous une incidence θ0, porte maintenant un filtre de coefficient de transmission en
amplitude t(x).
B.9. Donner l’expression de l’onde diffractée I’(u) dans la direction θ pour t(x) = cos 
π
a
x.
On posera λθθ
=0
sin-sin
u et on désignera par I’0 l’intensité de l’onde diffractée dans la
direction de l’onde incidente.
On donne ∫
π
π−
π
=ϕ
ϕ
ϕ
2/
2/ 2
m-1
2
m
cos 2
d
im
e cos .
B.10. Les courbes donnant 0
I)u(I ( relative à une fente sans filtre) et 0 'I )u('I ( relative à une fente
avec filtre ) en fonction de u sont représentées sur la figure 5 :
Expliquer pourquoi l'ajout d'un tel filtre permet de distinguer deux étoiles très voisines
d'intensité très différentes non résolues avec une fente parfaitement transparente (sans filtre).
C - Radioastronomie
La lumière visible n'est qu'une petite fraction du spectre électromagnétique, la partie invisible du spectre doit
contenir une quantité importante d'information en provenance des objets célestes. Il est impératif pour les
astronomes de développer des techniques d'observation qui exploitent tout le spectre électromagnétique.
C.1. Les premières observations astronomiques faites depuis la Terre dans le domaine invisible ont
été réalisées en ondes radio (longueur d'onde de l'ordre du mètre). Pourquoi ?
C.2. En utilisant la formule donnant le pouvoir séparateur d'un télescope ( Partie B, question 8),
calculer, en secondes d'arc, le pouvoir séparateur d'un télescope de diamètre 10 m opérant à
une longueur d'onde de 1 m. Conclure.
I / I0
I' / I'0
Fig.5
/a /a /a /a /a /a
u