ENS option MP

ENS option MP
Planche 1 Informatique
Soit A un alphabet (fini).
Montrer que {ww, w ∈ A∗ } n’est pas rationnel.
Soit B = (Q, q0 , F, δ) un automate fini déterministe complet (δ est une fonction de Q × A dans
Q). Pour tout mot w de A∗ , on note fw la fonction de Q dans Q définie par fw (q) = δ(q, w).
Soient L un langage rationnel et f une fonction de Q dans Q.
Montrer que Lf = {w, fw = f } est rationnel.
Montrer que R(L) = {w, ww ∈ L} est rationnel.
Montrer que S(L) = {w, w|w| ∈ L} est rationnel.
|w|
Montrer que T (L) = {w, w2 ∈ L} est rationnel.
On dit qu’un sous-ensemble E de N est hh parfaitement périodique ii s’il existe n0 et p dans N tels
que pour tout n > n0 , n + p ∈ E ⇔ n ∈ E.
2|w|
À l’aide de cette notion, généraliser (montrer, par exemple, que U (L) = {w, w2
rationnel).
∈ L} est
Planche 2 Ulm - Lyon - Cachan
Soient F une application de classe C 1 sur Rn , à valeurs dans Rn , L et
P deux applications de
classe C 1 sur R à valeurs dans Mn (C), telles que ∀x ∈ Rn , dL(x) F (x) = L(x)P (x)−P (x)L(x).
Soit x, définie sur R à valeurs dans Rn , la solution de l’équation différentielle x0 (t) = F x(t)
avec, pour condition initiale, x(t0 ) = x0 .
k
Montrer que ∀k ∈ N, tr L x(t)
est constant.
Montrer que le spectre de L x(t) ne dépend pas de t.
Planche 3 Ulm - Lyon - Cachan
Soit n > 1. On munira Mn (C) d’une norme judicieusement choisie. Montrer que ∃r > 0, ∃C > 0,
tels que,
tout couple
pour
(A, B) de matrices inversibles, si k A − In k 6 r et k B − In k 6 r,
−1 −1
alors ABA B − In 6 C k A − In k . k B − In k.
On dit qu’un sous-groupe G de GLn (C) est discret si, pour tout l de G, il existe ε > 0 tel que
G ∩ B(l, ε) = {l}.
Soient A et B deux matrices inversibles non permutables, telles que A soit diagonalisable à
valeurs propres simples et ∃r > 0, k A − In k 6 r et k B − In k 6 r. Déduire de la question
précédente que si r est assez petit, le groupe engendré par A et B n’est pas discret.
Planche 4 Ulm - Lyon - Cachan
On donne un entier n > 0 et, dans I = [0, 1], n + 1 points distincts x0 , . . . , xn . Si f est continue
de I dans R, on désigne par k f k∞ la borne supérieure de f sur I.
Montrer que, si f et ε > 0 sont donnés, il existe un polynôme Q ∈ R[X] tel que k f − Q k∞ 6 ε
et ∀` ∈ {0, . . . , n}, f (x` ) = Q(x` ).
Donner des exemples de sous-espace vectoriels de Mn (R) dont seul l’élément nul soit diagonalisable. Peut-on en majorer la dimension ?
Planche 5 Ulm Lyon - Cachan
Que peut-on dire des matrices symétriques ?
Soient A et B symétriques d’ordre n, de valeurs propres respectives (λi ) et (µi ).
n
X
Montrer que
(λi − µi )2 6 tr(A − B)2 .
i=1
Planche 6 Ulm Lyon - Cachan
Montrer que si A est carrée d’ordre 2, réelle et de trace nulle, il existe B de diagonale nulle
orthogonalement semblable à A.
Montrer cette propriété dans le cas général (on pourra utiliser f (M ) = max(mii − mjj )).
i,j
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup
7 Ulm
On note Gn l’ensemble des polynômes de Cn−1 [X] de terme constant nul et de coefficient du
terme de degré 1 non-nul.
Pour tout (P, Q) ∈ G2n , montrer qu’il existe un unique polynôme P ∗ Q tel que X n divise
P ◦ Q − P ∗ Q.
Montrer que (Gn , ∗) est un groupe.
Soit N une matrice nilpotente de taille n ; montrer que, pour tout l ∈ N∗ , il existe Nl nilpotente
de taille n telle que (In + Nl )l = In + N . Montrer que Nl tend vers 0 quand l tend vers +∞.
Planche 8 Ulm
Soit G un sous-groupe abélien de SLn (C).
Montrer que l’adhérence G de G est un sous-groupe abélien.
Caractériser G lorsque G est un sous-groupe monogène de SLn (C).
Planche 9 Lyon
Si p est continue de R dans R et intégrable sur R+ , montrer que y 00 + py = 0 admet des solutions
non bornées.
Planche 10 Lyon
On donne l’équation différentielle y 0 = y 2 − x ; étudier la solution maximale (I, φ) du problème
√
de Cauchy (x0 , y0 ) avec x0 > 0 et |y0 | 6 x0 ; on montrera que sup I = +∞, que inf I ∈ R, que
φ tend vers −∞ en sup I et inf I.
Tracer l’allure générale d’une telle solution.
√
Montrer qu’il n’existe pas ε > 0 tel que φ(x) > ε − x pour x assez grand.
Planche 11 Lyon
Pour P ∈ C[X] et r > 0, montrer que m(r) = sup | P (z) | est atteint en un point de module r.
| z |6r
Planche
Sup
12 Lyon
Soit f continue, positive et bornée de R dans R.
Z x+t
1
On note mf (x, t) =
f (u)du et Mf (x) = sup mf (x, t).
2t x−t
t>0
Montrer que f (x) 6 Mf (x) 6 sup f (x).
x∈R
Montrer que si f est uniformément continue, Mf l’est aussi.
Montrer que si f est continue, Mf l’est aussi
Planche
Sup
13 Cachan
Que dire des solutions de u00 = −f avec u(0) = u(1) = 0, où f ∈ C 0 ([0, 1], R) ?
1
; ∀n de [1, N ], on pose Fn = f (nh). On note F le vecteur de
Soient N ∈ N et h =
N +1
coordonnées Fn et u, de coordonnées (u1 , . . . , uN ) vérifiant :
1
∀n ∈ [1, N ], (H) − 2 (un+1 − 2un + un−1 ) = Fn , u0 = uN +1 = 0.
h
Donner le rapport avec les solutions de l’équation différentielle et trouver u.
Mettre (H) sous la forme Au = F , où A est une matrice carrée.
Montrer que si AX est à coefficients négatifs, alors X l’est aussi, puis
que A est
X en déduire
1
inversible et que les coefficients αij de A sont positifs et vérifient 0 <
αij 6 ·
8
i,j
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Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche 14 Cachan
Le but de l’exercice est de montrer qu’une fonction continue sur une partie convexe compacte C
d’un espace vectoriel E, à valeurs dans C, admet un point fixe.
On choisit d’abord E = Rn , et C la boule unité fermée centrée en 0.
En supposant que l’on dispose d’un théorème du point fixe pour toute fonction C 1 , continue de
B(0, 1) fermée dans B(0, 1 − ε) fermée (pour tout ε > 0), montrer qu’il en est de même pour une
fonction C 1 , continue de B(0, 1) fermée dans B(0, 1) fermée.
Montrer que l’on peut généraliser aux fonctions seulement continues.
Montrer que l’on peut généraliser à un compact convexe.
Planche 15 Cachan
Soit A une matrice de taille n antisymétrique réelle. Montrer que les solutions de X 0 = AX
vivent dans un espace affine dirigé par l’image de A et qu’elles ont une norme constante.
On choisit n = 3 : montrer que les solutions parcourent des cercles (en entier).
Planche 16 Cachan
Pour z0 donné dans C, on définit une suite (zn ) par zn+1 = zn2 +c où c ∈ C. Montrer que l’ensemble
Kc des complexes z0 tels que la suite (zn ) soit bornée est compact (on pourra montrer dans un
premier temps que si | z0 | > 2 + | c | la suite (| zn |) tend vers +∞).
ENS option PC
Planche 17
n
Volume de Sn = {(x1 , . . . , xn ) ∈ R , xi > 0,
n
X
xi < 1}.
i=1
Planche Sup 18
Soit P ∈ R[X] non constant ; montrer que si a est racine multiple de P , alors a est racine de P 0 .
Trouver tous les P ∈ R[X] tels que ∀x ∈ R, P (x)P 00 (x) 6 P 02 (x).
Planche 19 Ulm - Lyon
Caractériser l’ensemble E des matrices symétriques et positives.
Soit u une application de classe C 1 sur R à valeurs dans E.
Montrer que, si tr(u0 + u2 ) > 0, alors ∃(a, b) ∈ R∗2
+ tel que ∀t ∈ R, l’une des valeurs propres λ(t)
a
de u(t) est supérieure ou égale à
·
b+t
Imaginer une application u telle que l’une au moins des valeurs propres de u(t) soit plus petite
a
que
·
b+t
Planche 20 Ulm - Lyon
On définit f de classe C 1 sur R2 par f (x, y) = x&y où & est une loi associative, possède un
neutre noté e, et pour laquelle tout élément est inversible.
Montrer qu’il existe un C 1 -difféomorphisme φ de R dans R, tel que φ(x&y) = φ(x) + φ(y) (on
pourra supposer que φ existe et on cherchera à l’exprimer en fonction de f ).
Planche Sup 21 Ulm - Lyon
On dit qu’une famille F de vecteurs d’un R-espace vectoriel E de dimension finie n > 1, est en
position générale, si toute famille de n vecteurs distincts de F est une base de E.
Donner un exemple de famille infinie en position générale sur R2 puis sur Rn . Rn peut-il se
décomposer comme réunion finie d’hyperplans ?
Planche 22 Lyon - Cachan
Montrer que h, bornée et de classe C 1 de R2 dans R, telle que ∃(a, b) ∈ R2 , ∀(x, y) ∈ R2 , h(x, y) = a
est nulle.
Que se passe-t-il si on remplace a et b par des fonctions de x et y ?
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Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
∂h
+b
∂x
Planche 23 Lyon - Cachan
z
Soient u et φ de classe C de R dans C, 2π-périodiques. Montrer que l’équation v(x)−
2π
admet une unique solution pour chaque z pris dans un ensemble à déterminer.
1
Z
2π
u(x−t)v(t)dt
0
Planche 24 Lyon
Soit φ de classe C ∞ de RZ dans R dont toutes les dérivées successives sont bornées. Donner la
+∞
2
limite en +∞ de I(λ) =
e−λx φ(x)dx.
−∞
En donner un équivalent en +∞ et un développement asymptotique.
École Polytechnique option MP
Planche 25
I) Soit A une matrice symétrique réelle d’ordre n et W un sous-espace de Rn de dimension k tel
que pour ∀w ∈ W, t wAw > 0. Montrer que A a au moins k valeurs propres strictement positives.
Soit A une matrice symétrique réelle d’ordre n. Montrer l’équivalence entre les deux propositions
suivantes :
A est définie positive.
Tous les mineurs principaux de A (les déterminants des sous-matrices carrées extraites de A en
gardant les mêmes indices de ligne et de colonne) sont strictement positifs.
II) Soit (un ) une suite définie par récurrence : u0 et u1 sont dans Z/pZ (p entier naturel
quelconque), et ∀n, un+2 = 2un+1 + un (les opérations d’addition et de multiplication se font
donc dans Z/pZ). Cette suite peut-être être périodique ?
Planche Sup 26
On considère la suite de Fibonacci définie par u0 = 0, u1 = 1 et un+1 = un + un−1 pour n > 1.
Déterminer un en fonction de n.
Montrer que, pour (n, p) ∈ N2 , on a p|n ⇒ up |un .
Montrer que, pour (p, q) ∈ N2 , on a up∧q = up ∧ uq .
Planche Sup 27
I) Soient n matrices A1 , . . . , An de GLn (Z), S = {A1 , . . . , Ak } ; on suppose que ∀i ∈ [1, n], Ai S = S.
X
k
Ai ≡ 0 [k].
Montrer que tr
i=1
Soit G un groupemultiplicatif
fini de Mn (R).
X X
Montrer que si tr
A = 0, alors
A = 0.
A∈G
A∈G
II) Montrer que l’équation xn + nx = 1 admet une solution unique xn ∈ R∗ ; trouver la limite
et un équivalent de (xn ).
X
Donner la nature de la série
n! 1 − xn .
n
n>0
Planche 28
Soit A une partie de C. Pour n > 1, on note Pn,A l’ensemble des polynômes unitaires de degré
n à racines dans A.
Pour z ∈
/ A, minorer {| P (z) | , P ∈ Pn,A }.
Montrer que si A est fermée, Pn,A l’est aussi.
Que dire de Pn,A si A est compacte ? Ouverte ?
Planche 29
I) Soit Q une forme quadratique, et φ la forme polaire associée. Trouver une condition nécessaire
et suffisante pour que le cône isotrope de Q soit égal au noyau de φ.
II) Soit A une matrice symétrique telle que ses coefficients diagonaux soient ses valeurs propres.
Montrer que A est diagonale.
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c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup
30
On dit qu’une suite (un ) est hh presque de Cauchy ii si :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, | un+1 − un | < ε.
Trouver une suite presque de Cauchy qui ne soit pas de Cauchy.
Soient I un intervalle de R, (an ) et (bn ) deux suites de I telles que lim | an − bn | = 0. Montrer
n→+∞
qu’il existe une suite (xn ) presque de Cauchy, telle que ∀k ∈ N, ∃j ∈ N, (ak , bk ) = (xj , xj+1 ).
Montrer que f , de I dans R, est uniformément continue si et seulement si elle transforme toute
suite presque de Cauchy en une suite presque de Cauchy.
Si, de plus, I est borné, montrer que f est uniformément continue si et seulement si elle transforme
toute suite de Cauchy en une suite presque de Cauchy.
Donner un exemple de fonction continue mais pas uniformément continue.
Montrer que la fonction hh racine ii est uniformément continue sur R+ .
Construire une suite presque de Cauchy dont l’ensemble des valeurs d’adhérence soit R tout
entier.
Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite presque de Cauchy est un intervalle.
Planche 31
I) On note S la sphère unité de R3 , A1 , . . . An , B1 , . . . Bn , C1 , . . . Cn , des points de S.
n
n
n
X
X
X
2
2
P Bk =
P Ck2 .
Montrer qu’il existe P ∈ S tel que
P Ak =
k=1
k=1
k=1
Quel est l’ensemble des solutions possibles dans chaque cas ?
y
1
x
II) Montrer que f , défini sur Ω = {(x, y) ∈ R2 , x2 +y 2 > 1} par f (x, y) =
x+ 2
,
y−
,
2
x + y2
x2 + y 2
est un C 1 -difféomorphisme et déterminer son image.
Planche 32
Montrer que, si (Sn ) est une suite de matrices de Mn (K), commutant 2 à 2 et toutes nilpotentes,
il existe un vecteur X non nul vérifiant ∀n ∈ N, Sn X = 0.
Soit (Sn ) une suite de matrices de Mn (K), commutant 2 à 2 et qui possèdent un vecteur propre
commun ; montrer qu’il existe un vecteur propre commun a la suite (t Sn ).
Planche 33
I) Donner la nature de la série de terme général f (n), où f est C 1 de [1, +∞[ dans R∗+ et telle
f 0 (t)
que lim
= −∞.
t→+∞ f (t)
Donner un équivalent du reste de la série.
II) Que dire d’une matrice A telle que, pour toute matrice P inversible, P A est symétrique ?
Planche 34
1 ·
na(n)
II) On dit que deux permutations de Sn , c1 et c2 sont conjuguées, s’il existe une permutation s
telle que c1 = s ◦ c2 ◦ s−1 .
Soient c1 et c2 deux cycles, P1 et P2 leurs matrices associées ; montrer que c1 et c2 sont conjugués
si et seulement si P1 et P2 sont équivalentes.
Même question si c1 et c2 sont deux permutations quelconques.
I) Pour n ∈ N∗ , on note a(n) le plus grand diviseur premier de n. Donner la nature de
Planche
Sup
X
35
I) On note u, v, w les racines de X 3 + pX + q ∈ C[X] ; trouver le polynôme unitaire de degré
minimal dont u2 + v 2 , v 2 + w2 , etw2 + u2 sont les racines.
0 −1
II) Résoudre dans M2 (R), X 2 =
.
1 0
L’officiel de la taupe numéro 
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Planche 36
Trouver le cercle d’aire maximale inclus dans le losange dont les sommets ont pour coordonnées
(a, 0), (−a, 0), (0, b) et (0, −b).
Montrer qu’il existe une ellipse d’aire strictement supérieure à l’aire de ce cercle, incluse dans le
losange.
Donner l’équation de l’ellipse d’aire maximale.
2
Soit K un compact, convexe,
√ symétrique de R , contenant le disque unité et tel qu’il existe A
dans K vérifiant k OA k > 2. Montrer qu’il existe une ellipse contenue dans K d’aire strictement
supérieure à π.
Planche
Sup I
37
I) Montrer que P , à coefficients dans Q, irréductible dans Q[X], n’a que des racines simples dans
C.
deg(P )
Soit P dans Q[X] ayant une racine x de multiplicité strictement supérieure à
; montrer
2
que x ∈ Q.
Soit P dans Q[X],de degré 2n + 1, ayant une racine de multiplicité n ; montrer que P a au moins
une racine dans Q.
II) Que peut-on dire de A réelle, antisymétrique d’ordre n et telle que A3 = 0 ?
Planche 38
On note E l’ensemble des suites réelles dont laX
somme des termes converge absolument et F
l’application qui, à une telle suite (xn ), associe
| xn |.
Trouver l’ensemble A des suites telles que f admet une dérivée en (xn ) suivant tout vecteur de
E.
Montrer que A est d’intérieur vide. F est-elle différentiable ?
Planche
Sup
39
Soit un sous-espace V de Mn (R) formé de matrices de déterminant nul ; montrer que
dim V 6 n(n − 1).
Planche 40
Dans un espace euclidien E de dimension n, on donne des vecteurs unitaires u0 , . . . , un non tous
situés dans un même demi-espace fermé (c’est-à-dire défini par `(X) > 0, où ` est une forme
linéaire non nulle).
Lorsque n = 2, montrer que ||u0 + u1 + u2 || < 1.
n
X Dans le cas général, donner une majoration de ui .
i=0
Planche 41
Dans R3 , on considère une quadrique Q d’équation q(X)+`(X) = 0, où q et ` sont respectivement
une forme quadratique et une forme linéaire sur R3 ; on suppose que Q n’est pas incluse dans un
plan.
À quelle condition, portant sur q et `, la quadrique Q est-elle réunion d’une famille de droites
(on pourra remarquer que Q passe par O) ?
Planche
Sup
42
Quels sont les sous-espaces vectoriels de Mn (R) engendrés respectivement par les groupes
GLn (R), SLn (R), On (R), SOn (R) ?
L’officiel de la taupe numéro 
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École Polytechnique − ESPCI option PC
Planche 43
0
I) Déterminer un polynôme annulateur de A = 1/t
1/t2
II) Montrer que, si y est une solution bornée de y 00 +
t
0
1/t
x
1 + x3
!
t2
t
puis calculer An .
0
y = 0, alors lim y 0 = 0.
x→+∞
Montrer qu’il existe une solution non bornée.
III) Soient f et g les projecteurs orthogonaux sur F et G respectivement, sous-espaces de Rn .
Montrer que f ◦ g est diagonalisable (on pourra commencer par n = 2 et n = 3).
Planche
Sup II
44
+∞
X
xn ·
(3n)!
n=0
II) Soient deux espaces vectoriels E et F de dimensions respectives n et p, (e1 , . . . , en ) une base
de E, (f1 , . . . , fp ) une base de F .
Calculer la dimension de G = V ect (ei , fj ), i ∈ [1, n], j ∈ [1, p] .
Que peut-on dire de G ? Comment caractérise-t-on un hyperplan ? Trouver une forme linéaire
dont le noyau soit G.
I) Calculer
Planche
Sup III
45
n Y
k
1
I) Pour f continue de [0, 1] dans R, calculer lim
.
1+ f
n→+∞
n n
k=1
II) φ défini sur Rn [X] par φ(P )(X) = XP 00 (X) + P 0 (X) est-il diagonalisable ?
À quelle(s) condition(s) l’équation différentielle λxy 00 + λy 0 + y = 0 admet-elle des solutions
polynomiales ?
III) Cours : l’union et l’intersection de deux sous-espaces vectoriels en sont-elles ? On démontrera
les résultats énoncés.
Planche
Sup II
46
Z
x
−t2
Z
π/4
2
2
e−x / cos θ dθ.
0
0
Z +∞
2
2
Montrer que f + g est constante et en déduire
e−t dt.
I) On donne f (x) =
e
dt et g(x) =
0
II) Soit M ∈ GLn (R).
Montrer qu’il existe O orthogonale et T triangulaire supérieure telles que M = OT (on pourra
s’inspirer du théorème d’othonormalisation de Schmidt).
Planche Sup I et II 47
I) Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimension finie, a ∈ L(E, F ) et b ∈ L(F, G).
Montrer que rg(b ◦ a) = rg a ⇔ Im a ∩ Ker b = {0}.
II) Soit f de classe C 1 sur un intervalle I ⊂ R ; déterminer l’équation de la tangente en tout
point de la courbe de f .
Montrer que si f est C 2 et convexe, la tangente est, en tout point, au dessous de la courbe.
III) Existe-t-il des matrices complexes non diagonalisables ?
Donner un exemple.
Planche
Sup II
48
I) Soit A = (aij ) une matrice symétrique réelle de taille n telle que
n
X
aij = 1.
i=1
Montrer que
 1est valeur propre simple de A.
1
.
Soit W =  ..  et X 0 = AX.
1
0
L’officiel que
de la

Page 
Montrer
(Xtaupe
|W ) numéro
est constant.
Résoudre le système différentiel X 0 = AX.
2
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
École Polytechnique − ENS Cachan option PSI
Planche 50
Z
+∞
Pour f ∈ L1 (R, R), on pose F (x) =
| f (t + x) − f (t) | dt.
−∞
Donner l’ensemble de définition de F .
Étudier sa parité et sa limite en +∞.
Planche
Sup
51
On donne une fonction f continue et injective d’un intervalle I ⊂ R dans R. On note
T = {(x, y) ∈ I 2 , x < y}.
Pour t ∈ [0, 1], on pose u(t) = (1 − t)x1 + tx2 et v(t) = (1 − t)y1 + ty2 où (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) sont
dans T .
Montrer que ∀t ∈ [0, 1], u(t), v(t) ∈ T et en déduire que f est strictement monotone.
Soit f dérivable sur I telle que ∃(a, b) ∈ I 2 , f 0 (a)f 0 (b) < 0 ; à l’aide de la question précédente,
montrer que ∃c ∈ ]a, b[, f 0 (c) = 0.
Quel théorème peut-on ainsi montrer ?
Déterminer f , deux fois dérivable de R dans R, ne s’annulant pas et telle que | f 00 | = f .
Planche 52
n n
On donne f (x) = (−1) x +
n
X
ck xn−k et (a1 , . . . , an ) ∈ Rn .
k=1
Donner une condition nécessaire pour qu’il existe une matrice M dont le polynôme caractéristique
et les coefficients diagonaux soient, respectivement, f et (a1 , . . . , an ).
Montrer que cette condition est suffisante.


a1
1
0
...
0
.. 
..

.
 0
. 
a2 1

 .
.
.
.


On cherchera M sous la forme  ..
..
.. ..
0  et on pourra utiliser la famille


..


.
1
0
... 0
−λn . . . . . . −λ2 an
k
Y
U0 = 1, Uk =
(X − ai ) pour k ∈ [1, n].
i=1
Montrer que A et B, carrées d’ordre n à coefficients complexes, telles que rg(AB − BA) 6 1 ont
une valeur propre commune.
Planche 53
On note E l’espace vectoriel des applications de classe C 2 de [0, 1] dans C, nulles en 0 et en 1, et
F l’espace vectoriel des applications continues de [0, 1] dans C.
On munit ces espaces de la norme de la convergence uniforme.
Montrer que l’application φ, définie par φ(f ) = f 00 est un isomorphisme de E dans F .
Z 1
Soit g ∈ F . Montrer que G(x) =
| x − t | g(t)dt est de classe C 2 sur [0, 1] et calculer G00 .
0
Trouver une application k de [0, 1]2 dans C telle que :
Z 1
−1
∀g ∈ F, φ (g)(x) =
k(x, t)g(t)dt.
0
Existence et calcul de sup φ−1 (g) ∞ .
k g k∞ 61
Trouver la borne supérieure de k sur [0, 1]2 .
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup
54
On cherche toutes les fonctions f , strictement croissantes et bijectives de R dans R, vérifiant
f (x) + f −1 (x) = 2x.
Donner des exemples et montrer que f est continue.
Montrer que ∃d ∈ R, Sd = {x ∈ R, f (x) = x + d}∅ et que ∀x ∈ Sd , x + d ∈ Sd .
Soit x ∈ Sd et d0 < d ; montrer que si x 6 y < x + (d − d0 ), alors y ∈
/ Sd0 ; montrer ensuite que la
condition x 6 y suffit (on pourra s’intéresser à n tel que x + n(d − d0 ) 6 y 6 x + (n + 1)(d − d0 )).
Soit d0 < d00 < d, tels que Sd et Sd0 soient non vides ; montrer que Sd00 est aussi non vide.
Montrer que toutes les solutions du problème sont de la forme f (x) = x + d.
Planche
Sup
55
I) Montrer que P ∈ R[X], positif, peut s’écrire comme somme des carrés de deux polynômes.
II) Montrer que l’équation xex = n admet une unique solution xn et trouver un équivalent de
xn en +∞
Trouver un équivalent en +∞ de yn = xn − ln n.
Planche 56
Soit C une matrice complexe de taille n ; on note C ∗ = t C̄.
Montrer que si A vérifie A∗ = A et ∀X ∈ Cn , t X̄AX > 0, alors elle est inversible.
Dans cette question on suppose que B = B ∗ ; montrer que A−1 B a ses valeurs propres réelles et
en déduire que det A 6 | det(A + iB)|.
Dans cette question on suppose que la partie imaginaire de t XBX est négative ; montrer que
l’inégalité précédente est toujours vraie.
On suppose que B = B ∗ et que n > 1 ; montrer que l’on peut améliorer l’inégalité en
det A + | det B| 6 | det(A + iB)|.
Planche
Sup
57
Soient f continue et dérivable sur R, I un intervalle de R, (x, y) ∈ I 2 . On pose φ(t) =
f (x) − f (t)
x−t
f (y) − f (t)
; on remarque que φ et ψ sont continues sur I\{x, y}, prolongeables par
y−t
continuité en x et y.
Donner la définition d’un intervalle, montrer que φ(I) et ψ(I) en sont et qu’ils sont d’intersection
non vide.
Montrer que f 0 vérifie le théorème des valeurs intermédiaires (on pourra s’intéresser à φ(I)∪ψ(I)).
f (x)
On suppose f p fois dérivable sur R et on suppose qu’il existe n < p tel que lim
= 0.
x→∞ xn
On veut montrer que ∃c ∈ R, f (p) (c) = 0 ; justifier que l’on peut se contenter d’étudier le cas
n = p − 1.
Écrire la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre p − 1 en a.
On suppose que f (p−1) (a) > 0 ; montrer que ∃d ∈ R, f (p) (d) < 0.
Montrer l’existence de c.
et ψ(t) =
Concours Commun Centrale − Supélec option MP
Planche 58
cos(ax) − 1
1
Pour α > 1 on pose a = α et on définit φ sur ]0, π] par φ(x) =
· On admet que
sin x
2
1 )x
n
sin
(n
+
X
2
cos(kx) =
−1·
x
2
2 sin
k=1
2
Z 1
dt ·
Pour x ∈ ]1, +∞[, on note I(x) =
1
+
tx
0
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Z
π
Déterminer la limite en +∞ de Jn =
φ(x) sin (n + 1 )x dx.
2
O
n Z π
X
sin(aπ)
Montrer que
cos(ax) cos(kx)dx = 1 Jn + π −
et en déduire la convergence de
2
2
2a
k=1 0
X (−1)n−1
·
2 2
n
α
−
1
k=1
Calculer la somme de cette série.
X (−1)k
Montrer que
converge et que sa somme vaut I(α).
1 + kα
k>1
Planche Sup 59
Soit f de classe C 1 sur R, vérifiant f (0) = f (1) = 0, f 0 (0) ∈ ]−1, 0[ et ∀x ∈ ]0, 1[, f (x) ∈ ]−x, 0[.
Faire un schéma de la situation sur [0, 1].
Soit (xn ) définie par x0 ∈ [0, 1] et xn+1 − xn = f (xn ).
Que dire de la suite si x0 = 0 ou si x0 = 1 ? Si x ∈ ]0, 1[ ?
1
Montrer que ∃n0 ∈ N, n > n0 ⇒ ∃!φ(n) ∈ N, xφ(n)+1 6 n < xφ(n) .
Trouver un équivalent de φ(n) en +∞.
Planche 60
I) Soient A et B complexes, carrées d’ordre n et n’ayant chacune
qu’une
seule valeur propre.
A C
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que M =
soit diagonalisable.
0 B
II) Montrer que si A ∈ Mn (R) vérifie At AA = In , alors A = In .
Montrer que si A ∈ Mn (C) vérifie At AA = In , alors A est diagonalisable.
Planche 61 avec Maple
I) Trouver une équation cartésiennede l’ensemble C des points equidistants dans R3 du plan
x=z
P : x + y + z = 0 et de la droite D :
.
y=0
Représenter cette surface à l’aide du logiciel. Que peut-on dire ?
Isoler la partie quadratique de l’équation trouvée et retrouver l’observation faite. Déterminer les
caractéristiques de C.
II) Montrer que l’ensemble des matrices symétriques Sn (R) et celui des matrices antisymétriques An (R) sont supplémentaires et orthogonaux dans Mn (R) muni du produit scalaire
(A|B) = tr(At B).
On note E l’ensemble des matrices équidistantes de Sn (R) et de An (R). Montrer que
E = {A ∈ Mn (R), tr(A2 ) = 0}. Est-il fermé ? Borné ? Préciser son intérieur.
Planche
Sup
62
On note fn (x) = −1 +
n
X
xk
·
k
k=1
Montrer que ∀n > 1, ∃xn ∈ ]0, 1[, fn (xn ) = 0.
Montrer que (xn ) est croissante et déterminer sa limite l.
Montrer que ∃b > 0, ∃q ∈ ]0, 1[, xn − l < bq n .
Planche 63 avec Maple
Pour x > 0 on définit les suites de fonctions u(n, x) par u(0, x) = x, u(n+1, x) = u(n, x)2 +u(n, x)
ln u(n, x)
et v(n, x) =
·
2n
Calculer les 20 premiers termes des deux suites pour x = 2.
Que peut-on conjecturer ?
Montrer que la série de terme générale v(n+1, x)−v(n, x) est convergente et en déduire l’existence
1
de a(x) tel que v(n, x) − a(x) = o n .
2
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Montrer que u(n, x) ∼ exp a(x)2n lorsque n tend vers l’infini.
X 1
1 On admet que a(x) = ln x +
n+1 ln 1 + u(n, x) ; montrer que a est continue sur ]0, +∞[.
2
n>0
Tracer le graphe de ln x +
20
X
1
n+1
n=0
2
ln 1 +
1 sur [0, 20] ; commenter l’allure de la courbe.
u(n, x)
1
X
1 à 2 termes, lorsque x tend
u(n, x)
2
n=0
vers l’infini, avec Maple, puis, sans l’aide de Maple, un développement asymptotique à trois
termes de a(x).
Donner un développement asymptotique de
1
n+1
ln 1 +
Planche Sup 64
Soient f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G) où E, F et G sont de dimension finie. Montrer que
rg(g ◦ f ) 6 min(rg f, rg g)
On choisit E = G = Rp et F = Rn .
On suppose g ◦ f = IdRp ; trouver la nature et le rang de f ◦ g.
On suppose que f ◦ g est un projecteur de Rn ; donner son rang ainsi que les rangs de f et g.
Planche 65 avec Maple
Montrer que 3, 7 et 13 peuvent s’écrire comme une somme de 4 carrés d’entiers.
Montrer que (x2 + y 2 + z 2 + w2 )(x02 + y 02 + z 02 + w02 ) s’écrit comme le produit des quatre facteurs
suivants :
xx0 + yy 0 + zz 0 + ww0 ; xy 0 − yx0 − zw0 + wz 0 ; xz 0 − yw0 − zx0 + wy 0 ; xw0 − yz 0 − zy 0 + wx0 .
En déduire la décomposition en somme de quatre carrés de :
273 = 3 × 7 × 13.
p−1
} ; montrer que les classes des
Soient p un nombre premier impair et x ∈ A = {0, 1, . . . ,
2
x2 + 1 dans Z/pZ sont deux à deux distinctes.
Montrer que ∃(x, y) ∈ A2 , x2 + 1 = y 2 .
Montrer qu’il existe un entier m, strictement inférieur à p, tel que mp s’écrive comme la somme
de quatre carrés.
Planche Sup 66
On dit que f , de R dans R, vérifie la propriété P si et seulement si elle admet une limite à droite
et à gauche en tout point a ; on notera respectivement f (a+ ) et f (a− ).
Montrer que toute fonction continue et toute fonction continue par morceaux vérifient P .
Soit f vérifiant P et Σ = {y ∈ R, f (y + ) + f (y − ) > 0}.
Montrer que, pour a ∈ Σ :
f (a+ ) + f (a− )
+
−
∃η > 0, ∀y ∈ ]a − η, a + η[\{a}, | f (y ) + f (y ) | 6
·
2
En déduire l’existence de η ∈ Q tel que :
f (a+ ) + f (a− )
+
−
∀y ∈ ]a − η, a + η[\{a}, | f (y ) + f (y ) | 6
·
2
Montrer que les points de discontinuité de f sont dénombrables.
Planche 67
I) Rappeler la définition d’une fonction convexe de Rn dans R.
Soit f convexe ; montrer que si B est une partie bornée de Rn alors f (B) est bornée.
Soient S la sphère unité, B la boule fermée unité pour la norme euclidienne. Soit M = sup f (x) ;
x∈S
montrer que f (u) > (1 + kuk) − M kuk.
Montrer que f est continue en 0.
n
Montrer que f est continue
Z πsur R . Peut-on avoir mieux ?
cos(nx) − cos(ny)
II) Existence de In (y) =
dx.
cos(x) − cos(y)
0
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Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche 68
Z
+∞
e−x dt est C 1 sur R∗ .
+
1 + t2
0
1
Montrer que g vérifie y 00 + y = x ·
Z +∞
sin t dt est C 1 sur R∗ et vérifie la même équation que g.
Montrer que f (x) =
+
t
+x
0
Montrer que g(x) =
Déterminer les limites de f et g en +∞.
Z
Montrer que f = g et en déduire la valeur de f (x) =
0
+∞
sin t dt.
t
Planche 69
Montrer que si u et v sont deux endomorphismes qui commutent, les sous-espaces propres de u
sont stables par v.
Soit Gn un sous-groupe de GLn (C) dont toutes les matrices vérifient A2 = In . Montrer que
toutes les matrices de Gn sont diagonalisables et que Gn est commutatif.
Montrer qu’il existe P inversible telle que ∀A ∈ Gn , P −1 AP est diagonale (on pourra procéder
par récurrence).
Montrer que Gn est de cardinal fini de la forme 2d avec d 6 n.
Montrer qu’il n’existe aucun isomorphisme liant Gn ⊂ GLn (C) et Gm ⊂ GLm (C) pour nm.
Planche
Sup
70 avec Maple
Étudier la courbe C d’équation Y 2 = X 3 − X.
Construire un polynôme F non nul (à deux indéterminées), que doit annuler un couple (a, b) de
scalaires, pour que les droites d’équation Y = a(X + 1) et Y = bX aient en commun un point
de C.
Étudier alors la courbe d’équation F (X, Y ) = 0 ; on mènera notamment l’étude locale en (0, 0),
celle des branches infinies et on donnera l’allure de la courbe.
Planche 71
On désigne par E l’espace vectoriel complexe des fonctions 2π-périodiques définies
et continues
Z 2π
1
f (t)g(t)dt.
sur R, à valeurs complexes, et on le munit du produit scalaire hermitien (f |g) =
2π 0
Quelles sont les valeurs propres et les sous-espaces propres de Φ qui, à f ∈ E, associe Φ(f ) défini
Z x+π/2
1
par Φ(f )(x) =
f (t)dt ?
π x−π/2
Pour (f, g) ∈ E 2 , exprimer Φ(f )|g à l’aide des coefficients de Fourier exponentiels de f et g.
Pour N > 0, on désigne par SN l’endomorphisme de E qui à f associe la somme à l’ordre N de
sa série de Fourier.
Montrer que |||Φ − Φ ◦ SN||| tend vers 0.
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Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Concours Commun Centrale − Supélec option PC
Planche 72
!
x
I) Dans R3 euclidien, trouver le lieu S des points équidistants de l’axe Oz et de D = { 1 − x , x ∈ R}.
0
Trouver toutes les droites affines incluses dans S.
S est-il une réunion de droites affines ?
II) Soient a, b et c, trois endomorphismes d’un espace E de dimension finie n > 1, vérifiant
a ◦ b − b ◦ a = c, a ◦ c = c ◦ a et c ◦ b = b ◦ c.
Montrer que a est non inversible (on pourra raisonner par l’absurde et utiliser la trace).
Montrer que Ker c est stable par a et b.
Montrer que a, b et c ont au moins un vecteur propre commun (on pourra utiliser les
endomorphismes induits sur Ker c).
Montrer, par récurrence sur n, que a, b et c peuvent être représentés par des matrices triangulaires
supérieures.
Planche
Sup
73
I) Soit θ ∈ R. Pour n ∈ N, on définit An ∈ Mn (R) de coefficient général aij par aii = 2 cos θ,
aij = −1 si j = i + 1 ou si j = i − 1, tous les autres étant nuls. Calculer le déterminant de An .
II) Soit P ∈ R[X], on dit que P est positif si, pour tout x de R, P (x) > 0. Le but de l’exercice
est de montrer que tout polynôme P positif peut s’écrire sous la forme P = A2 + B 2 , avec
(A, B) ∈ R[X]2 .
Soit P un polynôme positif non constamment nul, montrer que toute racine réelle de P est de
multiplicité paire.
Soit P un polynôme positif de degré 2, montrer que P peut s’écrire sous la forme P = A2 + B 2 .
Soit A, B, C et D quatre polynômes de R[X] ; le produit du polynôme A2 + B 2 par C 2 + D2
peut-il s’écrire comme la somme des carrés de deux polynômes de R[X] ? Conclure.
Soit (A, +, .) un anneau commutatif. Soit G = {a2 + b2 , (a, b) ∈ A2 }. G est-il stable par somme ?
Par produit ?
Planche
Sup
74
Représenter Γ : x2 + 2xy + 4y 2 − 1 = 0.
Afin de décrire la courbe, on utilise le paramétrage normal x(t), y(t) (le vecteur dérivé est de
norme 1).
Donner une équation vérifiée par les coordonnées du vecteur T~ défini dans le repère de Frénet.
~ en fonction de x et y.
En déduire les coordonnées des vecteurs T~ et N
~
dT
Donner une équation vérifiée par les coordonnées du vecteur
·
dt
~
dT
En déduire les coordonnées de
en fonction de x et y.
dt
Donner le rayon de courbure
de Γ en fonction de x et
y.
√
√
1
1
Soit le paramétrage 1 − √ cos( 3t), √ sin( 3t) .
3
3
Calculer le rayon de courbure en tout point de la courbe plane ainsi définie. Vérifier que ce
paramétrage correspond à la courbe Γ.
Vérifier que l’expression de la courbure est identique à celle déjà obtenue.
Planche 75
x=u
I) Préciser les points réguliers de la surface S d’équations y = uv
z = v2
Donner une équation cartésienne du plan tangent P à S en M0 (1, 1, 1). Donner des conditions
sur u et v pour que M (u, v) ∈ S ∩ P .
Montrer que S ∩ P est la réunion d’une droite et d’une courbe dont on précisera la nature.
(
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Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
II) Déterminer le rang de M =
0 C
L α
∈ Mn+1 (R), où C est une matrice-colonne, L une
matrice-ligne et α un réel.
Si rg M = 2, M est-elle diagonalisable ?
Planche
Sup II
76
Z
I) Ensemble de définition et continuité de f (x) =
0
+∞
2
e−xt dt.
1 + t2
Trouver la limite de f en +∞.
Montrer
que f vérifie une équation différentielle du premier ordre et en déduire la valeur de
Z
+∞
2
e−u du.
0
II) Étude complète et tracé de ρ(θ) = tan θ.
Planche
Sup II
77
I) Donner le développement en série entière de f (x) = ln(1 + x + x2 ).
∂2f
∂2f
2
2
II) Soit f de classe C sur R à valeurs dans R et vérifiant
+ 2 = 0.
∂x2
∂y
∂g
∂f
∂g
∂f
=
et
=−
Montrer qu’il existe g de classe C 2 sur R2 à valeurs dans R, telle que
∂x
∂y
∂y
∂x
(on pourra utiliser deux intégrales).
Z 2π
Montrer que φ(r) =
f (r cos θ, r sin θ)dθ est de classe C 1 (on se placera sur [−R, R] et on
0
∂f
∂f
).
+
utilisera Mr = sup ∂y x2 +y 2 6R ∂x
Montrer que rφ0 (r) = 0 et conclure que φ est constante.
Z 2π
Qu’en est-il de
f (a + r cos θ, b + r sin θ)dθ ?
0
Planche 78 avec Maple
N
X
e−nx ·
∀N > 2, on note SN =
n2 − 1
n=2
Tracer simultanément S2 , S5 , S10 , S20 ; comment semble se comporter Sn en +∞ ? Pour quelles
valeurs de x a-t-elle une limite, que l’on notera f (x) en +∞ ?
Montrer que f est continue sur son ensemble de définition et calculer f (0). Montrer que f est
C 2 sur R∗+ .
Z +∞
Calculer
f (x)dx.
0
Planche
Sup I
79 avec Maple
I) Montrer que, si (Un ) et (Vn ) sont deux suites de réels et si Vn ne s’annule jamais,
Un
Un − Vn = o(Vn ) ⇔ lim
= 1.
n→+∞ Vn
On note f (x) = x + ln x ; montrer qu’il existe un unique réel xn tel que f (xn ) = n ; en donner
un équivalent en +∞ et faire un développement limité à 3 termes.
II) Convergence, pour p ∈ {2, 3, 4} de la série de terme général Un = sin(π(1 + np )1/p ).
On remplace p par un réel compris strictement entre 0 et 2 ; donner une valeur approchée de la
somme partielle d’ordre N , et faire une conjecture quant à la convergence de la série.
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Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup I
80
I) Montrer que l’ensemble des similitudes vectorielles d’un espace E euclidien, est un groupe
pour la loi ◦.
Montrer qu’une similitude vectorielle conserve l’orthogonalité.
Réciproquement, soit f un endomorphisme de E qui conserve l’orthogonalité. Soient m, n deux
vecteurs unitaires de E ; montrer que ||f (m)|| = ||f (n)||.
Montrer que ∃a > 0, ∀x ∈ E, ||f (x)|| = a||x|| et en déduire que f est une similitude vectorielle.
II) Montrer que les matrices de A2 = {M ∈ Mn (C), M 0, M 2 = 0} sont toutes semblables.
Même question pour n = 3.
Planche
Sup
81 avec Maple
Montrer que l’équation ex = xn avec n > 2 possède une unique solution xn sur [0, n].
Calculer les xn pour n ∈ {10p, p ∈ [1, 10]}. Que peut-on dire de la suite (xn ) ? Montrer ce
résultat.
On notera l la limite de la suite (xn ).
a
b
1
A l’aide des valeurs calculées, déterminer a et b réels tels que xn − l = n + 2 + o 2 .
n
n
Trouver un développement asymptotique de la suite à l’ordre 5.
Montrer que l’équation possède une unique solution yn sur [n, +∞].
Étudier la suite (yn ).
Planche 82 avec Maple
√
√
I) Tracer la courbe d’équation f (x, y) = y 2 (5 + 2y) − 3x2 (y + 2) = 0.
−−→
Déterminer ses points doubles et les points pour lesquels grad f = 0. Que remarque-t-on ?
1
1
1
Tracer la surface S d’équation
+
+
= 1.
x−y y−z
z−x
Déterminer sa directrice d, puis donner son équation dans un repère orthonormé direct du type
(O, v1 , v2 , d).
Trouver la courbe Cs intersection de S et d’un plan orthogonal et faire le lien avec la courbe
étudiée en premier lieu.
Planche
Sup I
83
π π
I) Résoudre y 0 (x) = y(x) tan x − cos2 x sur ]− , [.
Z +∞ 2 2
√ dx
II) Trouver p ∈ N tel que ∀n > p, In =
existe.
xn + x−n
0
Étudier la convergence de (In ) et en donner un équivalent en +∞.
Planche 84 avec Maple
Z 1
P (x)
p
φ(P ) =
dx est-elle définie sur R2n−1 [X] ?
−1
1 − x2
Montrer que φ est une forme linéaire.
Pour n = 4, calculer les images par φ des vecteurs de la base canonique.
n
(2k − 1)π πX
P cos
est une forme linéaire.
Montrer que ψ, définie par ψ(P ) = n
n
k=1
Pour n = 4, calculer les images par ψ des vecteurs de la base canonique.
Conclure.
Montrer que la famille définie par :
T0 = 1, T1 = X et Tp+1 (X) = 2XTp (X) − Tp−1 (X) est une base de R2n−1 [X].
Montrer que Tp (cos t) = cos(pt) puis calculer φ(Tp ) et ψ(Tp ).
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c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche Sup 85
I) Montrer que Z(i) = {a + ib, (a, b) ∈ Z2 } est un anneau commutatif. Donner ses éléments
inversibles.
2
Montrer que ∀(x, y) ∈ Z(i) × Z(i)∗ , ∃(q, r)
yq + r avec | r | < | y |.
∈2 Z(i)2 , x =
2
x + y + z − 2y − 4z = 0
II) Caractériser la courbe Γ d’équations
x+y+z−1=0
Déterminer l’équation cartésienne de l’ensemble F des droites passant par O et un point de Γ.
Planche 86 avec Maple
Z
+∞
2
e−t
Soit (fn ) définie par fn (x) =
−x2 /tn
dt ; calculer fn (0).
0
Calculer f2 (x) pour x ∈ {1, 2, 3, 4, 5} puis dans le cas général.
Tracer fn pour n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} et pour x ∈ [0, 3]. Commenter.
Donner le domaine de définition de fn et étudier la continuité de fn sur son domaine de définition.
Montrer que fn est dérivable sur R∗+ .
Trouver une équation différentielle vérifiée
√ par f2 ; retrouver ce résultat par calcul direct (on
effectuera le changement de variable t = xu).
Planche 87 avec Maple
On note (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn et on définit f par ∀i ∈ [1, n − 1], f (ei ) = ei+1 et
f (en ) = e1 .
Donner une procédure qui permet d’écrire la matrice A de f .
Donner le polynôme caractéristique de A et le factoriser dans R[X].
On définit les Ri comme les sous-espaces associés aux polynômes réels de cette décomposition :
2
par exemple, si P = (X − a)(X 2 + αX + β), R1 = Ker(f − aId) et R2 = Ker(f
L + αf + βId).
Donner une base de chacun de ces sous-espaces. Montrer que E =
Ri et donner la
représentation matricielle de f dans une base adaptée à cette décomposition.
Factoriser le polynôme caractéristique de A dans C[X] et réduire f (on donnera la nouvelle
matrice et la matrice de passage).
Trouver un lien entre les deux réductions effectuées.
Planche 88
1/3
I) Soit f (x) = (x + sin x)
−x
1/3
Z
+∞
.
f (x)dx converge-t-elle ? Converge-t-elle absolument ?
0
0
II) Résoudre l’équation différentielle y = tan y, donner les intervalles de définition des solutions
maximales et tracer les courbes intégrales.
Concours Commun Centrale − Supélec option PSI
Planche Sup II 89
I) Soient f et g deux endomorphismes auto-adjoints tels que f 3 = g 3 .
Montrer que Ker f = Ker g puis que f = g.
Qu’en est-il si f 2 = g 2 au lieu de f 3 = g 3 ?
II) Montrer que l’application qui, à P (X) ∈ Rn [X], associe P (X) + P (X − 1), conserve le degré.
Discuter du nombre de solution(s) de P (X) + P (X − 1) = Q(X) où Q est un polynôme connu.
Quelle est la forme de l’espace solution S de P (X) + P (1 − X) = Q(X) ? Donner S.
Planche
Sup II
90 avec Maple
Z +∞
dt
I) Montrer que In =
2 n existe pour n > 1 et calculer les trois premiers termes.
−∞ (3 + t )
Trouver une formule de récurrence permettantPde calculer In et calculer les 20 premiers termes.
Étudier la suite (In ). Quelle est la nature de
In ?
II) Tracer Cb : 3x2 + 4y 2 + 2bx − b2 = 0 pour b = 1 et b = 2.
Reconnaı̂tre
b et la caractériser : foyers, excentricité, etc. Donner son équation polaire.
Z Z Cp
Calculer
x2 + y 2 dxdy sur le domaine K délimité par Cb .
K
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup I
91
!
1
0
0
I) Soient x un irrationnel et Ax = 0 cos(2πx) − sin(2πx) .
0 sin(2πx) cos(2πx)
Montrer que Ex = {Anx , n ∈ Z} est un groupe commutatif pour ×, isomorphe à (Z, +). En est-il
de même pour x rationnel ?
II) Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel normé E, vérifiant ∀x ∈ E, k u(x) k 6 k x k.
Montrer que E est somme directe de Im(u − IdE ) et de Ker(u − IdE ).
p
1 X k
Montrer que vp (x) =
u (x) tend vers v(x) quand p tend vers +∞, puis que v est un
p+1
k=0
endomorphisme dont on déterminera les éléments caractéristiques. Montrer que (vp ) converge
dans L(E).
Planche 92 avec Maple
Résoudre y 00 = (1 + x)y 0 + y et tracer quelques courbes pour y(0) = 1.
Donner le développement de Taylor à l’ordre 16 de la solution vérifiant y(0) = y 0 (0) = 1. Quelle
conjecture peut-on émettre ?
On note In le nombre d’applications f de [1, n] dans lui-même, vérifiant f ◦ f = Id. Montrer que
In+2 = In+1 + (n + 1)In .
Calculer In pour n ∈ [1, 15].
X In
xn est non nul.
Montrer que le rayon de convergence R de
n!
1
Pour x ∈]−R, R[, montrer que la somme F (x) de cette série vaut
· Donner In en fonction
x+x2 /2
e
de R et n et vérifier avec Maple.
Planche 93
P
P
I) Montrer que, si (an ) est une suite réelle convergeant vers 0,
an et
an + an+1 ont même
comportement.
Que dire si (an ) ne tend pas vers 0 ?
1
·
II) Convergences simple et uniforme sur R de la suite de fonctions (fn ) définie par fn (x) =
1 + |x − n|
Z
Calculer
fn2 .
R
Soit g continue de RZdans R, de carré intégrable.
Montrer que lim
fn g = 0 (on s’attachera à démontrer l’existence des intégrales mises en
n→+∞
jeu).
R
Planche 94 avec Maple
Soit fA défini sur M2 (R) par fA (M ) = AM − M A où A est une matrice fixée. Écrire la base
canonique de M2 (R) et la matrice de
cette base.
fA dans
0 α
Dans cette question, on choisit A =
; montrer que A est diagonalisable si et seulement
1 β
si fA l’est.
Dans lecas général, montrer que si A et I2 sont libres, A est semblable à une matrice de la forme
0 α
; déterminer α et β.
1 β
Montrer que A est diagonalisable si et seulement si fA l’est.
Planche 95
Z n t
n
X
k
x
x
I) Montrer la convergence simple sur ]0, 1[, de la suite de fonctions (fn ) définie par fn (x) =
−
k
t
1
k=1
Cette convergence est-elle
√ uniforme ?
II) Montrer que g(x) = x2 − 1 est un C 1 -difféomorphisme de ]1, +∞[ dans R∗+ .
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Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Z
+∞
pdx
après avoir justifié son existence.
1
x x2 − 1
+∞
X
∗
p m
Pour m ∈ N , justifier l’existence de Sm =
, puis calculer sa limite quand m
2 − m2
n
n
n=m+1
tend vers +∞.
Calculer
Planche
Sup I
96
I) Résoudre dans C, (z + 1)n = e2ina et en déduire une factorisation de P (X) = (X + 1)n − e2ina .
n−1
Y
En déduire, à l’aide de P (0), la valeur de
sin a + kπ .
n
k=0
A A2
II) Trouver les matrices A ∈ Mn (R) telles que B =
soit diagonalisable.
0 A
2A 2A2
Même question si B =
.
3A 2A
Planche 97 avec Maple
Z
1
Justifier l’existence de I(x) =
ln t ln(1 − tx )dt.
0
X
1
Montrer que I(x) =
2 · Tracer I(x).
k(kx
+
1)
n>1
Est-elle dérivable ? Monotone ? Montrer qu’elle tend vers +∞ en 0.
A
Donner sa limite en +∞ et montrer qu’elle y est équivalente à 2 où A est une somme.
x
−2
Écrire une procédure permettant de calculer A à 10 près.
Planche 98 avec Maple
Arc sin x
et étudier sa monotonie sur I.
3
Donner le plus grand intervalle ouvert J sur lequel f est infiniment dérivable et l’équation
différentielle d’ordre 2, notée (E), vérifiée par f sur J.
Montrer que f est développable en série entière sur ] − R, R[, où R est à préciser, et exprimer sa
somme. Calculer les coefficients d’ordre 3, 5, 7 de la somme associée à f
Donner l’ensemble des solutions de (E).
√
3
Trouver g continue sur ] − 1, 1[, solution de (E) et vérifiant g(0) =
· Est-elle continue en −1 ?
2
en 1 ?
Donner l’intervalle de définition I de f (x) = sin
Planche 99
I)
P On posea f (x) = ln | x | si x est non nul et f (0) = 0 ; étudier, selon a, la convergence de
f cos(n ) .
Z +∞
t
II) Pour quels entiers n, In =
dt est-elle définie ?
sin
t
+ tn
0
Donner la limite I de (In ) sous forme d’une intégrale.
Calculer lim n(In − I) (on pourra faire un changement de variable).
n→+∞
Planche
Sup
100 avec Maple
1
1
= Xn + n ·
X
X
Trouver une relation entre Pn , Pn+1 et Pn+2 .
Expliciter les Pn pour 0 6 n 6 15 et représenter les 7 premiers.
Quel est le degré de Pn ? Son coefficient dominant ? Trouver ses racines (on pourra poser X = eiθ ).
Montrer que ∀n ∈ N, ∃!Pn ∈ R[X], Pn X +
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c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup
Planche
Sup II
101 avec Maple
n Y
ln(k) − p 1
. Tracer les couples [n, u(n, p)] pour 1 6 n 6 100,
On donne u(n, p) = p
2p + 1 k=1 ln(k) + p + 1
p = 0, 5 et p = 150. Que peut-on conjecturer pour la limite ? Le prouver sur Maple et au tableau.
Soit F de classe C 1 sur [a, b] ⊂ R et deux fois dérivable sur ]a, b[ ; montrer que :
(b − a)2
(on pourra utiliser φ(x) = F (x)−F (a)−F 0 (x)(
∃c ∈]a, b[ tel que F (b) = F (a)+F 0 (b)(b−a)+F 00 (c)
2
où A est constante judicieusement choisie).
n
X
π cos kπ · Tracer [n, a(n)] pour 1 6 n 6 100. Que peut-on conjecturer
On donne a(n) =
2n
2n
k=1
pour la limite l ? Le montrer et donner un équivalent de l − a(n).
102
I) Montrer que si f , endomorphisme d’un espace E de dimension finie, est diagonalisable, alors
Ker f et Im f sont supplémentaires dans E. La réciproque est-elle vraie ?
II) Donner l’équation générale d’une conique f (x, y) = 0.
Soient
Pla parabole d’équation f (x, y) = 0 et D la droite passant par A(a, b) et dirigée par
α
u=
; montrer que D est tangente à P si et seulement si f (a + αt, b + βt) = 0 admet une
β
racine double.
Donner la ou les parabole(s) passant par ω(1, 1) et ω 0 (2, 0), tangente(s) à Ox et Oy.
Planche 103 avec Maple
On note An la matrice dont les coefficients diagonaux valent alternativement −1 et 1 et dont
tous les autres coefficients valent 1.
Déterminer les valeurs propres et les dimensions des sous-espaces propres associés de An pour
2 6 n 6 8. Quelle conjecture faire sur la dimension des sous-espaces propres de An ?
On suppose n > 6 ; minorer, en fonction de n, la dimension des sous-espaces propres associés à
une valeur propre multiple.
Déterminer les termes diagonaux de A2n et en déduire sa trace.
Donner toutes les valeurs propres de An .
Planche 104
I) Soient (an ) et (bn ) deux suites réelles positives.
1
converge.
nbn
1
Si lim an = lim bn = +∞, la série de terme général
converge-t-elle ?
n→+∞
n→+∞
abnn
II) Soit f de classe C n de R dans R.
n 1 X n
Étudier lim
(−1)n−k f (a + kh).
k
h→+∞ hn
k=1
Montrer que si lim bn = +∞, la série de terme général
n→+∞
Planche 105 avec Maple
Z
t
s(1 − s)ds
3
Dans R euclidien, on pose L(t) =
0
Z 1
·
s(1 − s)ds
0
Expliciter L(t) sur [0, 1], l’étudier et tracer sa courbe
Soient A1 (−1, 1, −1), A2 (−1, −1, 1), A3 (1, −1, −1), A4 (1, 1, 1).
Déterminer les ni (ai , bi , ci ) et les di pour i ∈ {1, 2, 3, 4} tels que < ni |Aj > +di = δij pour
j ∈ {1, 2, 3, 4}.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
On pose fi (x, y, z) =< ni |Ai > +di et G(x, y, z) =
4
X
4
X
L fi (x, y, z) ; calculer
fi (x, y, z) puis
i=1
i=1
expliciter G(x, y, z)
Tracer la surface d’équation G(x, y, z) = 1 ; est-ce une quadrique ? Le segment [A1 A2 ] lui
appartient-il ?
Déterminer les points critiques de G(x, y, z).
Montrer que G(x, y, z) admet un maximum et un minimum sur le compact ∆ = (x, y, z), i ∈ {1, 2, 3, 4}, 0
et les déterminer.
Concours Commun Mines − Ponts option MP
Planche 106
I) Soit une suite (un ) strictement positive et convergente vers 0 ; on note vn =
Sn =
n
X
un+1
où
Sn
uk .
k=0
Montrer que
P
un et
P
vn ont même nature.
II) Montrer que A, antisymétrique d’ordre 2n, est semblable à
C
0
0
0
où C est inversible
d’ordre pair.
Planche
Sup I et II
107
I) Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme P de degré 2n+1 à coefficients entiers, vérifiant :
P (1) = 1, ∀k ∈ [0, n], P (k) (0) = 0 et ∀k ∈ [1, n], P (k) (1) = 0.
II) Soit (un ) une suite réelle vérifiant :
u0 = 0 ; u1 = 1 ; ∀p > 0, u2p > u2p+1 ; (u2p ) est strictement croissante ; (u2p+1 ) est strictement
décroissante.
Montrer qu’il existe un réel a qui n’est pas élément de la suite.
Montrer que ce résultat reste vrai pour une suite quelconque et en déduire un résultat connu.
Z 1
n
III) Soit un =
f (t) dt où f est continue, strictement positive sur [0, 1]. Quelle est la nature
0
un+1
1/n
(on pourra montrer que si lim vn = 1, (vn ) tend
de la suite de terme général vn = u
n→+∞
n
aussi vers 1) ?
Planche
Sup II
108
I) Soit A ∈ Mn (C) dont le polynôme caractéristique est scindé et à racines simples ; montrer
que (In , A, . . . , An−1 ) est libre.
Soit B ∈ Mn (C) telle que AB = BA ; montrer que B est combinaison linéaire de la famille
(In , A, . . . , An−1 ).
II) Montrer qu’il existe un unique réel xn dans [nπ, (n + 1)π], tel que th xn = cotan xn .
π
π
Montrer que xn = nπ + + o(1). Donner un équivalent de nπ + − xn .
4
4
Planche 109
Z
I) Pour x ∈
/ {−1, 0, 1}, on pose In (x) =
0
π
cos(nt)
dt.
1 + x − 2x cos(nt)
2
Relier I1 et I0 .
1
Simplifier In+2 (x) − 1 + x In+1 (x) + In (x).
En déduire In .


1 a b c
0 1 d e 
II) CNS pour que A = 
soit diagonalisable.
0 0 2 f
0 0 0 2
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
III) Cours : pour une série entière de rayon de convergence strictement positif, où y a-t-il
convergence uniforme ? Que se passe-t-il si la convergence est uniforme sur tout le disque de
convergence ? Quel outil permettrait de le montrer ?
Planche
Sup III
110
I) Ensemble de définition de f (x) =
1
Z
Calculer f (−1) et
0
+∞
X
ln 1 + 1 xn dx.
n
n=1
(−1)E(1/x)
dx où E est la fonction partie entière. Donner un équivalent
x
de f en x = 1.
II) Soit A ∈ Mn (R) telle que t A = −A.
Montrer que si n est impair, alors A n’est pas inversible.
Montrer que si n est pair, det A > 0. Sous quelle(s) condition(s) l’inégalité est-elle stricte ?
III) Soient deux matrices A et B telles que det A et det B soient premiers entre eux.
Montrer qu’il existe deux matrices U et V telles que AU + BV = In .
Planche 111
Z
1
I) Montrer que, pour le produit scalaire (P |Q) =
P (t)Q(t)dt, l’application φ définie par
−1
φ(P )(X) = (1 − X 2 )P 00 (X) − 2XP (X) est un endomorphisme autoadjoint de Rn [X].
Montrer que φ est diagonalisable et trouver ses valeurs propres.
II) Développer f (x) = ln(x2 − 5x + 6) en série entière et déterminer son rayon de convergence.
Planche
Sup I et II
112
I) On suppose que P (X) =
n
X
p
ak X k ∈ Z[X], admet une racine rationnelle q avec p ∧ q = 1.
k=0
Montrer que p divise a0 et q divise an .
Montrer qu’une racine rationnelle d’un polynôme unitaire à coefficients entiers est entière et
divise a0 .
Le polynôme X 3 − X − 1 admet-il des racines rationnelles ? Réelles ?
Factoriser 3X 3 + 8X 2 + 12X − 5 dans R[X].
II) Tracer r(θ) = a(1 + cos θ), calculer sa longueur et l’aire intérieure.
!
!
1 j j2
0 0 0
III) Montrer que
j j2 1
est semblable à 0 0 1 .
j2 1 j
0 0 0
X
n
1
IV) Convergence, suivant α, de
cos α .
n
Planche
Sup II
113
I) Déterminer les bornes et les extrema (absolus) éventuels de −
n
X
xi ln xi sur Dn = {(x1 , . . . , xn ) ∈ (R∗+ )
i=1
II) Soit G un groupe multiplicatif et G0 le sous-groupe engendré par les éléments de la forme
xyx−1 y −1 .
Si H est un sous-groupe de G, montrer que G0 est un sous-groupe de H si et seulement si
2
xHx−1 = H pour tout x ∈ G0 et Hxy = Hyx pour tout (x, y) ∈ G0 .
Planche
Sup II et III
114
exp(x2 ) − 1
I) Montrer que f , définie par f (x) =
si x0 et f (0) = 0, est développable en série
x
entière sur son ensemble de définition.
Montrer que f est strictement croissante, puis qu’elle admet une bijection réciproque notée g.
Faire un développement limité en 0 à l’ordre 3 de g.
II) Soient a et b deux complexes ; montrer que f (z) = az + bz̄ est un endomorphisme de C
considéré comme R-espace vectoriel.
Donner sa matrice dans la base (1, i) et son noyau.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe

a1
 . 
III) Soit V =  ..  un vecteur d’un espace E euclidien de dimension n. On note M la matrice

an
de coefficient m(i, j) =< ai |aj > et G son déterminant.
n
Y
Montrer que G > 0 puis que G 6
k ai k.
k=1
IV) Soit f continue de [0, 1] dans R vérifiant f (1) = 0.
Étudier la convergence uniforme de la suite de terme général fn (x) = xn f (x).
À quelle condition, nécessaire et suffisante, la série des fn converge-t-elle uniformément ?
Planche 115
I) Ensemble de définition D de f (x) =
X (−1)n xn
·
n(1 + xn )
n>1
1
Calculer f (x) + f x et étudier la continuité de f sur D.
II) Résoudre dans Mn (R), M 5 = M 2 , tr M = n.
Planche
Sup I
116
2
2
I) Calculer sup inf x + tx et inf sup x + tx .
x∈[0,1]
t∈R
t∈R
x∈[0,1]
Les comparer.
II) Montrer que l’ensemble S des suites (xn )n∈Z qui admettent une limite en +∞ et −∞ est un
espace vectoriel.
Montrer que T , l’application qui à (xn ) associe (yn ) définie par yn = xn+1 + xn−1 est un
endomorphisme de S. Donner son noyau.
0 1
A quelle condition sur λ, A =
est-elle diagonalisable ?
−1 λ
xk
Pour (xk ) ∈ S, que doit vérifier Uk =
pour que (xk ) soit dans Ker(T − λId) ?
xk+1
En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de T .
Planche 117
I) Pour tout triplet de complexes (z, p, q) de parties réelles strictement positives, on note :
Z +∞
Z 1
−t z−1
Γ(z) =
e t dt et B(p, q) =
tp−1 (1 − t)q−1 dt.
0
Montrer que
0
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
= B(p, q).
II) Trouver les sous-espaces de R3 stables par
−1
1
1
k
−1
0
!
−k
0 .
−1
Planche 118
Z
1
I) On munit R3 [X] du produit scalaire (P |Q) =
P (t)Q(t)dt.
−1
Orthonormaliser la base canonique par le procédé de Schmidt.
Trouver l’adjoint u∗ de u(P ) = P + P 00 .
√
Pour P unitaire, montrer que k P k∞ 6 2 2.
Z +∞ √
x ln x
II) Existence et calcul de
dx.
(1 + x2 )
0
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Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche 119
Z
+∞
I) Ensemble de définition Df de f (x) =
0
sin2 t e−xt dt.
t2
f Est-elle continue sur Df ?
Montrer que f est dérivable sur Df \{0}. Calculer f (x).
II) Soit n + 1 réels x0 < x1 < . . . < xn ; montrer qu’il existe une unique famille de réels λk telle
que :
Z 1
n
X
P (t)
p
∀P ∈ Rn [X],
dt =
λk P (xk ).
t(1 − t)
0
k=0
Planche 120
I) Soit E un espace préhilbertien réel ; montrer que toute forme linéaire de la forme f (x) = (a|x)
est continue sur E.
Z 1
P (t)Q(t)dt ; ` ∈ E ∗ , définie par
On munit E = R[X] du produit scalaire (P |Q) =
0
`(P ) = P (0), est-elle continue ?
Existe-t-il Q tel que `(P ) = (P |Q) pour tout P ?
Si H est le noyau de `, déterminer H ⊥ puis (H ⊥ )⊥ .
Mêmes questions, si l’on remplace R[X] par R2 [X].
II) Donner le rayon de convergence et calculer la somme de
+∞
X
n
an x , où an =
0
n=0
Planche
Z
1
tn dt.
1 + t2
Sup III
121 Z
I) Déterminer lim
n→+∞
n
0
x+1
dx.
x e + x2 + x + 1
n x
II) Quel est le type de convergence de la série de terme général
(−1)n
nα + (−1)n
f (x, 2x) .
où α décrit R∗+ ?
III) Soit f de classe C 1 de R2 dans Rp ; déterminer d
dx
IV) Soit A ∈ Mn (R) telle que A2 = −In ; montrer quedet A =1. Montrer que n est pair et que
0 −1
A est semblable à une matrice à blocs diagonaux J =
.
1 0
Planche 122
I) Montrer queZ :
Γ(x) = lim
n→+∞
0
n
n
nx n!
tx−1 1 − t dt = lim
·
n
n→+∞ Y
n
(x + k)
k=1
n+1/2 −n
un+1
converge.
ln u
n
n!
En déduire qu’il existe un réel c tel que n! ∼ cnn+1/2 e−n .
1
Calculer Γ
et en déduire la valeur de c.
2
II) Pour N nilpotente, comparer Ker N et Ker(eN − In ).
n
On note un =
e
; montrer que
P
Concours Commun Mines − Ponts option PC
Planche
Sup I
Z
123
1
dx p
p
·
2
2
0
1+x
+
1
−
x
p
p
1 + x2
1 − x2
II) Prolonger h(x) =
−
en 0.
x2
x2
h est-elle développable en série entière ?
Si oui, donner ce développement.
I) Calculer
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche Sup I 124
I) Montrer que toute matrice P ∈ GLn (R) peut s’écrire P = ΩT , où Ω est réelle orthogonale, T
réelle triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs et qu’une telle décomposition est
unique (on pourra s’inspirer du théorème d’orthonormalisation de Schmidt).
n X
n
Y
2
2
Soit A ∈ Mn (R), montrer que (det A) 6
(aij ) .
i=1
j=1
1
Z
II) Définition, dérivabilité et calcul de f (x) =
0
t−1 x
t dt.
ln t
Planche Sup I 125
I) Soit A de coefficient ai,j , avec ai,i = ai,i+1 = an,1 = 1, tous les autres étant nuls.
Montrer que A est inversible et que son inverse s’exprime comme un polynôme en A que l’on
explicitera.
+∞
X
xn ·
II) Définition, continuité et équivalent en 1 de
1 − x2n
n=1
Planche
Sup I
126
I) On note xn le premier maximum sur R∗+ de fn (x) =
n
X
sin(kx)
k=1
k
.
Trouver lim fn (xn ).
n→+∞
II) Soit u un endomorphisme diagonalisable d’un C-espace vectoriel E de dimension n ; donner
une CNS pour que u admette un nombre fini de sous-espaces stables.
Planche 127
Z
+∞
dx
est-elle définie ? Donner lim In . Trouver une relation de
n→+∞
(1
+
x3 ) n
0
1 récurrence liant les In et en déduire que ∃α ∈ R, In = O α .
n
II) Les trois endomorphismes u, v, w, de Mn (R), définis par :
u(M ) = M P, v(M ) = P M, w(M ) = M P − P M , où P est une matrice de projecteur, sont-ils
diagonalisables ?
I) Quand In =
Planche 128
I) Montrer qu’un endomorphisme de rang 1 d’un espace E de dimension finie n’est pas
diagonalisable si et seulement si son noyau contient
R son image.
II) Cours : théorème de dérivation sous le signe .
Arc sin x
III) Développement en série entière en 0, de f (x) = sin
·
3
Planche 129
I) Quels sont les éléments propres de T , défini sur R[X] par T (P )(X) = (8+3X)P −(5X−X 2 )P 0 +(X 2 −X 3
Est-il injectif ? Surjectif ?
II) Cours : que dire de la dérivabilité des séries de fonctions ?
Z +∞
e−t dt.
III) Ensemble de définition, continuité, dérivabilité et équivalents aux bornes, de f (x) =
x2 + t 2
0
Planche 130
!
3 1 −1
I) Trouver les sous-espaces stables par M = 1 1 1 .
2 0 2
II) Soit f de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs dans R+ .
Z +∞
n
n f (t) dt si sup(f ) < 1, puis si sup(f ) > 1, enfin si f (0) = 1 et f 0 < 0.
Calculer lim
n→+∞
0
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup II
131
+∞
Arc tan(tx)
dt.
t(1 + t2 )
0
II) Caractériser l’ensemble K des points de coordonnées (x, y) vérifiant ax2 + 2bxy + cy 2 = 0,
(a, b, c) ∈ R3 .
Z
I) Ensemble de définition et calcul de
Planche 132
I) Soit P ∈ Mn (R) diagonalisable ; l’endomorphisme u de Mn (R) qui, à M , associe
u(M ) = P M − M P , est-il diagonalisable ?
II) Montrer que M ∈ Mn (C) de rang 2 et de trace nulle est diagonalisable. Décrire ses éléments
propres.
Que se passe-t-il dans Mn (R) ?
Z +∞
2
2
2
III) Existence et calcul de f (a) =
ex +a /x dx.
0
Planche Sup I 133
I) Déterminer les paraboles tangentes à Ox en (1, 0) et à Oy en (0, 2).
√
a + (−1)n n
II) Pour a ∈ R, donner la nature de la série de terme général
·
√
a + (−1)n+1 n + n
Planche Sup II 134
I) Calculer les coefficients de la série de Fourier de f , continue, 2π-périodique, définie sur [−π, π]
x2
par f (x) = 1 − 2 ·
π
X 1
X 1 X
1
En déduire les valeus de
2,
2 et
4 ·
n
(2n
−
1)
n
n>1
n>1
n>1


1 −1 0
0
0
0 
0 1
II) Soit A = 
; calculer An .
0 0 −1 0 
0 0
0 −1
Planche
Sup II
135
Z
I) Montrer que f (x) =
+∞
e−t
0
1 − cos(xt)
dt est de classe C 2 sur R et en déduire une expression
t2
de f .
II) Soit P un polynôme à coefficients réels, de degré n, tel que, pour tout entier k 6 n, P (k) ∈ Z.
Montrer que ∀m ∈ Z, P (m) ∈ Z.
Planche
Sup II
136
+∞
Z
2
cos(xt)e−t
I) Ensemble de définition de f (x) =
/2
dt.
0
Écrire f à l’aide
des fonctions usuelles.
1 + x1 y1
x1 y2
...
..
x2 y1
.
1 + x2 y2
II) Calculer ..
..
..
.
.
.
xn y1
...
xn yn−1
.
xn−1 yn 1 + xn yn x1 yn
..
.
Planche Sup I 137
1
I) Intégrer x2 y 00 + 3xy 0 + y = x sur R∗+ (on pourra faire le changement de variable x = et ).
II) Montrer que A ∈ Mn (K) est inversible si et seulement si il existe un polynôme annulateur
de A valant 1 en 0.
III) Cours : CNS pour qu’une matrice A soit diagonalisable.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche 138
n
I) Montrer que Pn (x) = x +
n−1
X
αi xi où α0 > 0 et ∀i0, αi > 0, ne s’annule qu’une seule fois
i=0
sur R∗+ .

1
1

2

Montrer que A = 
3
.
 ..
0
..
.
0
..
.
..
.

0
.. 
.


0  admet une unique valeur propre strictement positive.

1
...
..
.
..
.
0 ... 0
n 0 ... 0 1
R
II) Cours : théorème de dérivation sous le signe .
Z
n
III) Étudier la convergence des séries de terme général an et (−1) an où an =
X
Rayon de convergence et somme de
an xn .
0
1
1 + t2 n
dt.
2
n>0
Planche 139
1
1 − tx
π t dt.
0 cos
2
II) On note M = A − cIn où c est un complexe de module strictement inférieur à 1 et A une
matrice complexe, carrée d’ordre n, dont les valeurs propres sont des racines nième de l’unité.
Montrer que M est inversible et expliciter M −1 .
Montrer que A = P (M ) où P ∈ Cn−1 [X].
Z
I) Ensemble de définition de F (x) =
Planche 140
un
I) On définit la suite (un ) par u0 = 1, u1 = 0 et un+2 = un+1 +
; déterminer le rayon de
n+2
P
convergence et la somme de
un xn .
II) Trouver les matrices A ∈ Mn (R), telles que At AA = In .
Planche
Sup I
141
Z
I) Étudier f (x) =
x2
x
dt ·
ln t
II) Donner une (ou plusieurs) CNS sur A ∈ Mn (R), pour que B =
A
0
A
A
soit diagonalisable.
Planche 142
Z
+∞
dt
est définie sur R∗+ .
x
t(e − 1)
Y est-elle continue ? Intégrable ?
II) Déterminer les éléments propres de M = (δin + δjn ).
M est-elle diagonalisable ? Était-ce prévisible ?
I) Montrer que f (x) =
√
t
Planche 143
Z
+∞
dx
existe.
+ 1)(x3 + n3 )
0
Donner la limite et un équivalent de (Un ) en +∞.
II) Soit uId un endomorphisme d’un espace E de dimension finie impaire ; existe-t-il un
hyperplan H de E stable par u ?
I) Montrer que ∀n ∈ N, Un =
L’officiel de la taupe numéro 
p
(x3
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup II
144
Z 1
X
I) Étudier Un =
(1 − x5 )n dx et
Un α.
0
n>0
II) Soit A un point fixé dans le plan. Trouver le lieu des centres des cercles passant par A et
π
avec la droite (OA).
dont les tangentes passant par O font un angle de
3
Planche Sup I 145
I) Soient deux matrices A et B données dans Mn (C) ; trouver M ∈ Mn (C) telle que
M + tr(M )A = B.
+∞
X
1
II) Montrer que f (x) =
est continue sur R∗+ .
2
n+n x
n=1
Y est-elle dérivable ? Donner un équivalent de f en 0+ et +∞.
III) Cours : théorèmes d’intégration terme à terme.
Planche Sup II 146
I) Soit (un ) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général un converge.
n
n
1 X
1X
uk et wn = 2
kuk .
Étudier les suites et les séries de terme général vn = n
n
k=1
k=1
II) On donne, dans le plan, une courbe C ne passant pas par l’origine. On note M 0 le projeté
orthogonal de O sur la tangente à C en M et M 00 le projeté orthogonal de O sur la normale à
C en M .
Soit C 0 le lieu des points M 0 ; montrer que, pour tout point M la droite (M 0 M 00 ) est normale à
C 0 en M 0 .
Planche Sup II 147
n I) Nature de la série de terme général un = cos πn4 ln3
.
n
−
1
X xi yj
II) B(X, Y ) =
est-il un produit scalaire sur Rn ?
i+j
16i,j6n
Concours Commun Mines − Ponts option PSI
Planche 148
I) Trouver l’ensemble de définition de f (x) =
+∞
X
eiλn x où (λ ) est une suite réelle. Calculer les
n
n2
n=1
Z T
1
limites en 0 et +∞ de
f (t)dt.
2T −T
II) L’application φA , définie par φA (P ) = (AP )(n) où A ∈ Rn [X] est-elle un endomorphisme de
Rn [X] ? Est-elle diagonalisable ?
Planche
Sup I
149
θ −1
I) Étudier la courbe d’équation ρ(θ) = sin
.
2
On précisera notamment les branches infinies.
II) Montrer que f défini par :
f (P )(X) = (X − a)(X − b)P 0 (X) − (2nX − n(a + b) + c)P (X) est un endomorphisme de C2n [X]
dont on déterminera les éléments propres.
Planche Sup I 150
I) Soient P ∈ Rn [X] et a0 , . . . , an des réels
deux à deux distincts.
Montrer que P (X + a0 ), . . . , P (X + an ) est une base de Rn [X].
Z +∞
th(3x) − th(2x)
II) Calculer
dx.
x
0
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup III et IV
151
I) Cours : nature de la conique d’équation 3x2 − 4y 2 = 1.
Nature et dimension de l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2
sans second membre.
−n2 x2 − 2nx − 2 + n4 −nx
II) Convergence simple de la série de terme général (fn ) donné par fn (x) =
e
.
nα
Étudier la convergence normale sur R∗+ puis sur [1, +∞[.
!
−2 2 −1
est-elle inversible ?
III) P =
1 2 2
2 1 −2
1
Calculer son inverse à l’aide de P .
3
IV) Intersection de la surface x2 + 2y 2 − 3z 2 = 1 et du plan y + 2z = 0.
Planche
Sup II
152
A B
I) Pour (A, B) ∈ Mn (K), on pose C =
.
B A
Montrer que χC (X) = χA (X) + χB (X) χA (X) − χB (X) .
√
II) Calculer une primitive de 2 + tan2 x.
+∞
X
(−1)n
III) Calculer
·
3n
+
2
n=0
Planche
Sup I
153
I) Soit f continue par morceaux sur R, à valeurs dans K, telle que ∀(a, b) ∈ R2 , a 6 b ⇒ f (a+b−x) = f (x)
Z b
Z b
a+b
Montrer que
xf (x)dx =
f (x)dx.
2
a
Z π a ix
xe
Calculer
dx.
1
+
cos2 x
−π
II) Soit M = (mij ) avec m1n = an , ∀i ∈ [2, n], mi,i−1 = ai−1 , tous les autres coefficients étant
nuls.
Donner des conditions sur les ai pour que M soit diagonalisable et la diagonaliser.
Planche 154
Z
1
I) Soit A ∈ Rn [X] tel que
A(t)dt0.
0
Z 1
Z
Montrer que u(P ) = A
P (t)dt − P
0
1
A(t)dt définit un endomorphisme de Rn [X].
0
Donner les valeurs et vecteurs propres de u ; est-il diagonalisable ?
P xn
·
II) Rayon de convergence et somme de
3n + 2
Planche
Sup I
155
I) Trouver tous les polynômes de R[X] tels que :
∀z ∈ C, P (z 2 ) = P (z)P (z − 1).
√
1
1
II) On définit f (x) = (1 + 1 − 2x) sur [0, ] et on note φn le composé nième de la fonction
2
2
réciproque de f .
Étudie les convergences simple et uniforme de (φn ).
Z 1/2
Calculer lim
φn (x)dx.
n→+∞
0
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup II
156
+∞
X
X
(−1)k−1
I) Soit an =
; donner le rayon de convergence R de
an xn (on pourra remarquer
k
n>1
k=n
Z 1
1
que =
tk−1 dt).
k
0
Faire l’étude en R et −R puis calculer la somme pour | x | < R.


1 2 ... n − 1
n
..


.
0 1
n − 1
. .
.. 
..
..

.
.
II) Pourquoi A = 
.
.
.
.
.  est-elle inversible ? Trouver son inverse.
.

..
..
 ..
.
.
2 
0 ... ...
0
1
III) Prouver que la surface d’équations r(t) =
de révolution.
Planche
Sup III
1
1
, z(t) =
est contenue dans une quadrique
sh t
th t
157
I) Soit f continue et 2π-périodique de R dans R.
Z 2π
Z +∞
1
sin t dt = π ·
−int
Soit cn =
f (t)e
dt. On rappelle que
2π 0
t
2
0
Z T
X
sin(ωt)
1
dt =
cn einx .
Montrer que ∀ω < 0, π lim
f (x + t)
T →+∞ −T
t
| n |<ω
II) Soit u un endomorphisme nilpotent d’un espace E de dimension n, dont le noyau est de
dimension 1.
Montrer que 0 6 dim Ker uk+1 − dim Ker uk 6 1.
III) Cours : qu’est-ce que la représentation paramétrique d’un plan dans un espace euclidien de
dimension 3 ? Comment trouver deux vecteurs libres dans le plan d’équation ax+by +cz +d = 0 ?
Planche
Sup II
158
I) Développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 de f (x) =
x
·
sin x
sin x
x , montrer que√f est développable en série entière au
2
voisinage de 0 et que son rayon de convergence R vérifie
6 R 6 π.
2
n
X
II) Trouver une condition sur la famille (a0 , . . . , an ) pour que φ(P, Q) =
P (ak )Q(ak ) définisse
En écrivant f (x)g(x) = 1, avec g(x) =
k=0
un produit scalaire sur Rn [X].
n
Calculer la distance de X à F = {P ∈ Rn [X],
n
X
P (ak ) = 0}.
k=0
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche 159
A 2A
I) Soit A ∈ Mn (R) ; à quelles condition B =
est-elle diagonalisable ?
0 3A
II) Convergence simple et/ou uniforme sur [0, 1] de la suite de fonctions (fn ) définies par
nx(x2 + 1)e−x
·
fn (x) =
nx + 1
Z
1
Limite, si elle existe, de la suite de terme général
fn (t)dt.
0
Planche
Sup
Z Z160
dxdy
2
2
2
2 où D = {(x, y) ∈ d , y > 0, 2y > x}.
D 1+x +y
II) Déterminer la dimension de F , le sous-espace de l’espace des fonctions de ] − 1, 1[ dans R,
engendré
r par :
r
1−x
1+x
1
x
f1 =
, f4 = p
·
, f2 =
, f3 = p
1+x
1−x
x2 − 1
x2 − 1
En donner en une base.
√
III) Calculer une primitive de (t + t2 − 1)3 .
I) Calculer
Concours Communs Polytechniques option MP
Planche Sup II 161
I) Soient (fn )n∈N et f définies de X ⊂ C dans C ; montrer que, s’il existe une suite réelle
(an ) positive, de limite nulle, telle que ∀x ∈ X, ∀n ∈ N, |fn (x) − f (x)| 6 an , (fn ) converge
uniformément vers f sur X.
1
(fn ) définie par fn (z) = z n converge-t-elle uniformément sur le disque fermé D0 0,
? Sur le
2
disque ouvert D(0, 1) ?
II) Soit P ∈ R[X], scindé ; on veut montrer que P 0 est scindé.
Énoncer le théorème de Rolle.
Si x0 est zéro de P de multiplicité m, quelle en est la multiplicité dans P 0 ? Prouver le résultat
énoncé.
Planche
Sup I
162
0
I) Résoudre y (x) − tan(x)y = −(cos x)2 .
II) Soient a ∈ R∗ , u un vecteur unitaire de R3 euclidien.
Montrer que fa , défini par fa (x) = x + a < x, u > u, est un endomorphisme de R3 et qu’il existe
un unique réel non nul a0 tel que ∀x ∈ R3 , k fa0 (x) k = k x k.
Donner la nature de fa0 (on pourra s’intéresser à fa20 ).
Montrer que fa est un endomorphisme symétrique et déterminer ses éléments propres.
Planche
Sup I
163
t − 1 t2 − t ,
·
t
t+1
II) Donner les éléments propres de f défini sur Mn (C) par :
f (M ) = −M + tr(M )In . Est-il diagonalisable ?
I) Étudier l’arc paramétré par
Planche
Sup I
164
x
y = 2x
x −1
1
II) Trigonaliser la matrice 0
0
0
I) Résoudre y −
2
L’officiel de la taupe numéro 
sur l’intervalle ]1, +∞[.
!
0 0
0 −1 .
1 2
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup I
165
I) Soient E un K-espace vectoriel, (f, g) ∈ L(E)2 tels que f ◦ g = Id.
Montrer que Ker g ◦ f = Ker f , Im f ◦ g = Im g et E = Ker f ⊕ Im g.
Z +∞
dx · Montrer qu’il existe une suite de fonctions (f ) telle que
II) Soit In =
n
1
+
xn
0
Z 1
b
1
In =
fn (t)dt et qu’il existe deux réels a et b tels que In = a + n + o n au voisinage
0
de +∞.
Planche 166
e−nx
I) Pour n > 1, on pose fn (x) = (−1)n+1 x ·
+∞
X
Montrer que f (x) =
fn (x) ést définie sur R+ .
n=1
P
Montrer que fn (x) converge uniformément sur son domaine de définition et qu’elle n’y converge
pas normalement.
!
0 −b −c
II) Polynôme caractéristique de A = b 0 −a où (a, b, c) ∈ R3 .
c a
0
√
2
2
2
On pose r = a + b + c . Montrer que les puissances de A sont de la forme hn A ou kn A2 où
(hn ) et (kn ) sont deux suites que l’on exprimera en fonction de r et de n, en discutant selon la
parité de n.
1 − cos r 2
sin r
Montrer que eA = I3 + r A +
A .
r2
Planche 167
I) Valeurs et vecteurs propres de A =
0
1
0
0
0
1
1
0
0
!
∈ Mn (C).
Est-elle diagonalisable ?
Éléments propres de B = aI3 + bA + cA2 , (a,p
b, c) ∈ C3 .
II) Ensemble de définition D de f (x, y) = xy 1 − x2 − 2y 2 .
Montrer que {(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = 0} est constitué de deux segments et d’une courbe que l’on
explicitera.
Montrer que D est un fermé borné de R2 .
Calculer les extrema de f (on pourra remarquer que l’on peut restreindre l’étude à U = {(x, y) ∈ R2 , x > 0
Planche
Sup I
168
I) Montrer que, si u et v sont deux endomorphismes d’un espace de dimension finie,
| rg u − rg v | 6 rg(u + v) 6 rg u + rg v.
Existe-t-il deux endomorphismes u et v de R2 tels que rg u < rg(u + v) ?
3
II) Résoudre y 00 + y = cos x par la méthode de variation de la constante.
Planche 169
I) Montrer que la suite (fn ), définie par fn (x) = (1 + x2 )
Z 1
sur [0, 1]. Calculer lim
fn (x)dx.
n→+∞
nex + xe−x
, converge uniformément
n+x
0
II) Sur E, espace vectoriel de base e = (e1 , . . . , en ), on définit f par ∀i ∈ [1, n], f (ei ) = ei +
n
X
ek .
k=1
Donner la matrice de f dans e.
Déterminer les deux sous-espaces propres de f . Est-il diagonalisable ?
Calculer le déterminant de f . Est-il injectif ?
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup
170
I) Donner la matrice, dans la base canonique de Rn [X], de φ défini par φ(P )(X) = P (X)−P (X−1).
En déduire son noyau et son image.
II) Soit f continue sur [a, b], de classe C 2 sur ]a, b[, à valeurs dans R et vérifiant ∃c ∈ ]a, b[, f (a) = f (b) = f
Montrer qu’il existe x0 ∈ ]a, b[ tel que f 00 (x0 ) = 0.
À l’aide d’une formule de Taylor bien choisie, montrer qu’il existe (x1 , x2 ) ∈ ]a, b[2 tels que
f 0 (x1 ) = f 0 (x2 ) = 0, f 00 (x1 ) > 0 et f 00 (x2 ) 6 0. Retrouver alors le résultat précédent.
Soit u définie sur le disque unité D de R2 , à valeur dans R et telle qu’il existe (x, y) ∈ D2 vérifiant
u(x, y) = u(0, 0) = 0.
−−→
−−→
Montrer qu’il existe z1 et z2 tels que grad u(z1 ) = grad u(z2 ) = ~0.
∂2u
∂2u
Montrer qu’il existe z0 tel que ∆u(z0 ) =
(z
)
+
(z0 ) = 0.
0
∂x2
∂y 2
Planche 171
I) Justifier la convergence de la série de Fourier de f , 2π-périodique, définie sur [−π, π[ par
f (t) = cos(at), a ∈ R\Z. Quel est le type de cette convergence ? Déterminer la série de Fourier
de f .
II) Donner la forme quadratique associée à la conique d’équation x2 + y 2 + 4xy − y = 0 ainsi
que sa matrice représentative.
Donner son équation réduite et ses éléments caractéristiques.
Planche
Sup I
172
I) Pour une famille de n réels distincts (xk ) de [0, π], on pose p =
Y
(cos xi − cos xj ).
16i<j6n
Combien p comporte-t-il de facteurs ?
Pour (i, j) ∈ [1, 4]2 , écrire la matrice M de coefficient général mij = cos (j − 1)xi . Montrer que
mij est un polynôme en cos xi .
Calculer det M en fonction de p et montrer que | det M | < 24.
II) Montrer, grâce à une majoration simple, que, pour α < 0, la série de terme général
1
un =
diverge.
n(ln n)α
En utilisant une comparaison série-intégrale, étudier la convergence de cette série pour α > 0.
Planche 173
X
I) Montrer que si (un ) est une suite réelle décroissante de limite nulle,
un converge. Montrer
n>0
+∞
X
que uk 6 | un+1 |.
k=n+1
II) On note f l’application qui, à P ∈ Rn [X], associe le reste de la division euclidienne de AP
par B où A et B sont fixés dans Rn [X].
Montrer que f est un endomorphisme ; est-ce un isomorphisme ?
On suppose A et B premiers entre eux ; donner les valeurs propres de f . Est-il diagonalisable ?
Planche Sup 174
I) Établir la continuité sur R2 de f , définie par :
xy
si (x, y)(0, 0) et f (0, 0) = 0.
f (x, y) = p
x2 + y 2
Admet-elle en tout point des dérivées partielles ?
II) Donner le rang de B = t ComA en fonction de celui de A.
On se place dans le cas où rg A = n − 1 ; soit C ∈ Mn (K) telle que AC = CA = 0 ; montrer que
∃λ ∈ K, C = λB.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Concours Communs Polytechniques option PC
Planche Sup 175
2π I) Soit z(t) = 2eit − e−2it ; vérifier que z(−t) = z(t) et montrer que z t +
= e2iπ/3 z(t).
3
2π
Comment construire géométriquement les points d’affixe z(−t) et z t +
? Montrer que
3
2
| z(t) | = 5 − 4 cos(3t).
On note Γ le lieu des points M (t) d’affixe z(t) ; trouver les trois points d’intersection de Γ avec
le cercle-unité et montrer que ces trois points sont les sommets d’un triangle équilatéral.
π
Construire Γ pour t ∈ [0, ].
3
√
Montrer que y = 3x est tangente à Γ en un point dont on précisera le paramètre. Construire
Γ.
Z 1
1+n
II) Limite de la suite de terme général an =
n dx.
0 (1 + x)
Planche 176
I) Soit (an )n∈N définie par a0 = −4, a1 = 2, a2 = 4, et ∀n ∈ N, an+3 = an+2 + an+1 − an . On
n−1
X
bk .
pose bn = an+1 − an . Montrer que ∀n ∈ N, bn+2 − bn = 0, puis que ∀n ∈ N, an = −4 +
k=0
Déterminer la suite (bn )n∈N puis la suite (an )n∈N .
On souhaite retrouver ce résultat grâce aux séries entières.
Montrer que ∀n ∈ N, | an | < 2n+2 .
P
Montrer que le rayon de convergence R de
an xn est non nul.
+∞
X
−4 + 6x + 6x2
1
Soit ρ = min( , R) et x ∈ ]−ρ, +ρ[. On pose S(x) =
ak xk . Montrer que S(x) =
2
(x + 1)(x − 1)2
k=0
a
b
c
et qu’il existe 3 réels a, b, c tels que S(x) =
+
· Déterminer la suite (an )n∈N .
+
2
x − 1 (x − 1)
x+1
!
a
II) Soit A ∈ M3 (R) et X = b un vecteur propre de t A.
c
f désigne l’endomorphisme associé à A.
Montrer que P d’équation ax + by + cz = 0 est stable par f .
Planche
Sup
177
−−→ −→
I) Dans le plan euclidien usuel, muni de son repère canonique, calculer (AB|AC) où A, B, C sont
1
3 points distincts d’abscisses respectives a, b, c de l’hyperbole H d’équation y = x ·
Montrer que ABC est rectangle en A si et seulement si a2 bc = −1.
~ de la tangente en A à H.
Donner un vecteur directeur V
~ est orthogonal à la droite (BC).
Montrer que ABC est rectangle en A si et seulement si V
On note A0 le symétrique de A par rapport à O. Montrer que si ABC est rectangle en A, alors
A0 est sur le cercle K circonscrit au triangle ABC. (on pourra montrer que A0 BC est rectangle
en A).
On suppose que A0 est sur K et distinct de B et C ; on écrit l’équation de K sous la forme
x2 + y 2 + 2ux + 2vy + w = 0 (u, v, w réels) ; calculer, u, v et w en fonction de a et b. Que peut-on
dire du triangle ABC ?
II) Montrer que fp−1 , où fp (x) = x3 + px avec p ∈ R∗+ , est C 1 .
On suppose fp−1 de classe C ∞ .
Donner le développement limité à l’ordre 5 de fp−1 en 0.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche 178
!
3 2 −2
sont 4 et −5. Montrer que M est
2 0 4
I) Montrer que les valeurs propres de M =
−2 4 0
diagonalisable et donner ses sous-espaces propres.
Montrer que le point O appartient à Q d’équation :
3x2 + 8yz + 4xy − 4xz + y + z = 0.
Trouver une équation du plan tangent à Q en O.
On note (e1 , e2 , e3 ) une base orthonormale de vecteurs propres de M ; trouver l’équation de Q
dans le repère (O, e1 , e2 , e3 ) sous la forme 4X 2 + 4Y 2 − 5Z 2 = a, où a est un réel à déterminer.
Caractériser la surface.
(−1)n x2n
II) Trouver le rayon de convergence de la série de terme général
puis calculer la
2n(2n − 1)
somme de la série.
Planche
Sup
179
I) Soient (f1 , . . . , fk ) endomorphismes de E un C-espace vectoriel, tels que f1 + . . . + fk = IdE
et pour ij, fi ◦ fj = 0.
Calculer fi ◦ (f1 + . . . + fk ) et en déduire que fi est un projecteur.
Dire pourquoi Im f1 ⊕+ . . .⊕Im fk est une somme directe et montrer que E = Im f1 ⊕+ . . .⊕Im fk .
Soit une base B adaptée à la décomposition de E. Déterminer la matrice dans B de
f = a1 f1 + . . . + ak fk puis calculer f p en fonction de p, des ai et des fi .
Montrer que (f1 , . . . , fk ) est une famille libre et que (IdE , f, . . . , f k−1 ) est une famille liée.
n
X
1 ·
II) Cours : convergence et limite de
k+n
k=1
Planche
Sup II
180
3
an+1 = bn
4
3
bn+1 = an + cn ; on
I) On définit trois suites (an ), (bn ), (cn ) par a0 = a, b0 = b, c0 = c et

4


1
c
(an + bn )
n+1 =
4
!
an
note Xn = bn .
cn
Montrer qu’il existe A ∈ M3 (R) telle que Xn+1 = AXn .
A est-elle diagonalisable ?
!
1
0
0
Trouver P inversible telle que P −1 AP = 0 −1/4
0
.
0
0
−3/4
Montrer que φ, définie par φ(M ) = P −1 M P est continue sur M3 (R).
Montrer que (An ) converge vers Q représentant un projecteur dont on déterminera le noyau et
l’image.
Montrer que (an ), (bn ), (cn ) convergent.
II) Nombre de solutions sur [0, 2π[ de α cos x + sin x = 2, α ∈ R.





Planche
Sup II
181
Z
1
I) On donne la suite de terme général an =
tn
p
1 − t2 dt
0
Calculer a0 et a1 (on pourra poser t = sin x).
n+1
an et qu’en +∞, an ∼ an+1 .
n+4
Montrer que la suite de terme général
n(n + 1)(n + 2)an an+1 est constante. En déduire un
P
équivalent de an et la nature de
an .
Montrer que (an ) est décroissante, que an+2 =
L’officiel de la taupe numéro 
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c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Montrer que
X
Z
an =
0
n>0
2iπ/7
II) On note ω = e
S et T .
1
r
X
1+t
dt, puis calculer
an .
1−t
n>0
, S = ω + ω 2 + ω 4 , T = ω 3 + ω 5 + ω 6 ; calculer S + T et ST et en déduire
Planche Sup II 182
I) Pour 1 6 j 6 p 6 n, on note (Mj ) une famille de matrice de Mn (C) vérifiant Mj2 = −In et
Mj Mk = −Mk Mj pour kj.
Trouver un polynôme annulateur de Mj , prouver qu’elle est diagonalisable et que ses valeurs
propres possibles sont i ou −i.
Montrer que n est pair et que −i et i sont valeurs propres de Mj , les sous-espaces propres associés
ayant même dimension.
Calculer le déterminant de Mj .
Déterminer une telle famille de matrices pour n = 2 et n = 4.
n
1 Y
II) Trouver la limite en +∞ de Pn = n
(k + n)1/n .
k=1
Planche Sup I 183
I) Montrer que l’ensemble Ea des applications f de classe C 1 sur R3 , à valeurs dans R3 et
vérifiant :
∀t ∈ R∗+ , ∀(x, y, z) ∈ R3 , f (tx, ty, tz) = ta .f (x, y, z)
est un sous-espace vectoriel de C 1 (R3 ).
∂f
Montrer que, si f ∈ Ea est C 2 ,
∈ Ea−1 .
∂x
Montrer que ∀f ∈ E0 , f (x, y, z) = f (0, 0, 0).
Que peut-on en déduire sur E0 ?
∂f
∂f
∂f
+y
+z
= ta f (x, y, z) ; montrer que g, donnée par
Soit f de classe C 1 , telle que x
∂x
∂y
∂z
g(t) = f (tx, ty, tz) − ta .f (x, y, z) est dérivable sur R∗+ et que tg 0 = ag ; en déduire que f ∈ Ea .
La réciproque est-elle vraie ?
II) Donner les valeurs propres et espaces propres de φ défini sur E, espace euclidien, par
φ(x) = x − (x|a)b où a et b sont unitaires, libres et non orthogonaux.
Concours Communs Polytechniques-option PSI
Planche 184
I) Existe-t-il, dans R3 euclidien, un plan tangent à la surface d’équation x2 + y 2 − z 2 = 1 et
!
1
perpendiculaire au vecteur 2 ?
3
II) Trouver les solutions développables en série entière de l’équation xy 00 + 2y 0 + xy = 0 et en
déduire l’ensemble des solutions sur [0, π].
Planche Sup II 185
I) Exprimer x2 + y 2 + z 2 en fonction de x + y + z et de xy + yz + xz.
Trouver toutes les matrices carrées d’ordre 3 de R vérifiant :
A3 − A2 − 2A = 0,
= 6, tr(A2 ) = 12 et det(A) = 8.
Z xtr(A)
2
t
x2
e
e
II) Montrer que
4 dt 6
3 ·
x
2
Z x2 tt2
e dt = O ex
En déduire que
en +∞.
4
3
t
x
2
Z x
x2
2
En déduire que
et dt ∼ e en +∞.
2x
2
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup II
186
Z +∞
I) Existence de
ln(th x)dx.
0
Z +∞
X
Montrer que
ln(th x)dx = −
0
n>0
1 ·
1 + 2n
n
II) Montrer que P n(X) = X + X − 1 a une unique racine rn sur ]0, 1[ et étudier la suite (rn ).
Planche 187
I) Montrer que, si A et B sont deux matrices symétriques réelles à valeurs propres positives,
tr(AB) 6 tr A tr B.
Z +∞
1 − cos(xt)
II) Trouver l’ensemble de définition D de f (x) =
dt.
t2 (1 + t2 )
0
Montrer que f est continue sur D puis qu’elle est de classe C 2 .
Montrer que ∃(a, b) ∈ R2 , f (x) − f 00 (x) = ax + b (on ne cherchera pas à expliciter a). Expliciter
f.
Planche Sup I et II 188
I) Soit f ∈ L(E), nilpotent d’ordre k. Montrer que Id − f est inversible et donner son inverse
en fonction de f .
Résoudre U (P ) = X n , où U (P ) = P − P 0 pour P ∈ Rn [X].
xy
pour
II) Étudier la continuité et le caractère C 1 de f définie sur R2 par f (x, y) = p
x2 + y 2
(x, y)(0, 0) et f (0, 0) = 0.
+∞
X
(−1)n−1 n
1
III) Montrer que f (x) =
2
2 est C sur R.
x +n
n=1
Planche Sup I 189
I) Soient g, de classe C 1 sur R2 à valeurs dans R et V définie sur R2 par V (x, y) = (1+xy+x2 )g(x, y), (1+x
−−→
Déterminer une condition nécessaire sur g pour que V = grad (f ) où f est de classe C 2 de R2
dans R2 .
Vérifier que cette condition est suffisante et déterminer f .
II) Montrer que, si K = C, A ∈ Mn (K) telle que At AA = In , est diagonalisable. Pour K = R,
calculer A.
Planche 190
I) Soit f de classe C 1 sur [0, 1], à valeurs dans R, vérifiant f (1) = 0.
Z 1
Z 1
2
Montrer que
f (t) dt 6 4
t2 f 0 (t)2 dt.
0
0
A A
où A ∈ Mn (C).
II) Soit B =
0 A
Calculer B n , puis, pour P ∈ C[X], exprimer P (B) en fonction de P (A) et P (A0 ).
Montrer que, si B est diagonalisable, A l’est aussi et que ce n’est possible que si A = 0.
Planche
Sup III
191
Z
+∞
I) Prouver l’existence de I =
0
Montrer que I =
x dx.
sh x
+∞
X
2
2 ·
(2n
+
1)
n=0
II) Montrer que, si A ∈ Mn (R) est non nulle et symétrique, alors
tr(A2 )
(tr A)2
6 rg A.
III) Tracer ρ(θ) = cos(2θ).
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup II
192
(−1)n
·
x2 + n3/4
Vérifier les convergences simple, absolue, uniforme et normale de la série de fonctions ainsi définie.
Soit f sa somme.
Montrer la continuité puis la dérivabilité de f .
II) Reconnaı̂tre la courbe C définie dans R3 par z = 0 ; xy = 1.
Donner les équations paramétriques de la droite passant par (0, 0, k) et un point M0 de C.
5 −4
III) M =
est-elle diagonalisable ?
2 −1
I) Donner l’ensemble de définition de fn (x) =
Planche 193
(−1)n .
nα
II) Soit E euclidien de dimension n > 2. Montrer que f , défini par f (x) = (u|x)v − (v|x)u, où
u et v sont deux vecteurs donnés, est un endomorphisme de E.
Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f a n − 2 colonnes nulles.
Trouver les valeurs propres de f . Est-il diagonalisable ?
I) Pour α ∈ R∗+ , donner la nature de
Planche
Sup I
P
ln 1 +
194
I) Soit f un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension finie, tel que f + f 4 = 0 ;
montrer que E = Im f ⊕ Ker f .
+∞
X
1
II) Justifier que la série de terme général uk =
est convergente. On note an =
uk .
1 + k2
k=n+1
P
n
Montrer que
an x converge pour tout x ∈] − 1, 1[.
Déterminer le rayon de convergence de la série précédente.
Planche
Sup II
195
√
√
1
1
< n+1− n< √ ·
I) Montrer que √
2 n
2 n+1
Monotonie et convergence de la suite de terme général :
n
X
√
√1 − 2 n.
un =
k
k=1
2u2n+1
1
, u1 = 1, un+2 = u
·
n
2
Étudier la monotonie, puis la convergence, de (un ).
II) On donne u0 =
Planche 196
I) Résoudre le système X 0 =
II) Nature de
X
−3/2
−1
3/2
2
0
−6
1/2
1
9/2
!
X.
1 − th n.
n>0
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup
197
tann n
·
n!
tann (np)
Nature, selon p, de la série de terme général
·
(np)!
!
2 1 −2
II) Donner le rang de A = 1 0 −1 puis donner le rang de A−I3 . A est-elle diagonalisable ?
1 1 −1
!
a 0 α
Trouver une matrice inversible P et les réels a, b, c, α, β tels que P −1 AP = 0 b β .
0 0 c
1
2
2
2
III) Dessiner S = {M (x, y), 6 x + y 6 4, y > 0, y 6 1 + 2x}.
4
xdy
ydx
Calculer l’intégrale sur le hh contour ii de 2
− 2
·
2
x +y
x + y2
I) Nature de la série de terme général
Concours divers option MP
Planche
Sup
198 ENTPE − EIVP
Z
I) Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme A ∈ Rn [X] vérifiant ∀P ∈ Rn [X], P (0) =
Montrer que A est de degré n.
II) Montrer que si p est un entier premier au moins égal à 5, p2 − 1 est divisible par 24.
III) Montrer que ∀P ∈ K[X], P (X) − X divise P P (X) − X.
Planche
Sup I
1
A(t)P (t)dt
0
199 ENTPE − EIVP
I) Soit f de classe C 2 sur R, bornée et telle que f 0 et f 00 soient bornées. Montrer, à l’aide d’une
2
formule de Taylor, que k f 0 k∞ 6 4 k f k∞ k f 00 k∞ .
II) Montrer que, si (Pn ) est une suite de fonctions polynomiales de R+ dans R, convergeant vers
f , f est aussi une fonction polynomiale.
Planche
Sup II
Planche
Sup
200 ENSIIE
Z +∞
exp(−t) exp(itx)
√
I) Montrer que f (x) =
dt est définie sur R.
t
0
Montrer que f est dérivable sur R et donner f 0 . Donner alors une relation entre f et f 0 (on
pourra faire une intégration par parties).
En déduire f .
II) Dans R3 muni du produit scalaire canonique, donner une base orthonormale du plan H
d’équation x + y + 2z = 0 et préciser la projection orthogonale sur H.
201 ENSIIE
Z
I) On cherche les fonctions f continues sur R, vérifiant ∀x ∈ R, f (2x) =
x
(x − t)f (2t)dt + 1.
0
Montrer que f est dérivable et calculer f 0 .
En déduire que f vérifie une équation diférentielle du second degré et conclure.
x a b c a x b c
II) Résoudre = 0.
b a x c
c b a x
III) Rappeler la définition d’une norme et montrer que :
∀(x, y) ∈ E 2 , | k x k − k y k | 6 k x − y k.
L’officiel de la taupe numéro 
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c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche 202 Télécom SudParis
I) Soit A et B symétriques réelles telles que B = A3 + A + In .
Montrer que A ∈ R[B].
sin x
II) Montrer que √ admet sur R∗+ une intégrale convergente.
x
Planche
Sup
203 Mines d’Albi, Alès, etc.
√
Z
3
Arc tan t2 dt.
t2
1
∗
∗
II) Soient y et z deux formes linéaires non nulles d’un K-espace vectoriel E. Montrer que
∃x ∈ E, y ∗ (x)0 et z ∗ (x)0.
I) Calculer
Planche 204 Mines d’Albi, Alès, etc.
Z +∞
ln(1 + x2 t2 )
I) Montrer que
dt = π ln(1 + | x |).
1 + t2
0
II) La matrice qui a des 1 sur la dernière ligne, la première et la dernière colonne et des 0 partout
ailleurs est-elle diagonalisable ?
Étudier ses éléments propres.
Planche 205 ENSSAT
I) Calculer les coefficients de Fourier de f impaire, 2π-périodique, définie sur ]0, π[ par f (t) = 1
et f (0) = 0.
X (−1)p X
X 1
1
Calculer
,
et
·
2p + 1
(2p + 1)2
p2
p>0
p>0
p>1
II) Soit A ∈ GL6 (K) vérifiant (A2 + 1)(A3 − 3A2 + 2A) = 0 et tr A = 8. Quel peut-être le
polynôme caractéristique de A ?
Est-elle diagonalisable sur C ? Sur R ?
Concours divers option PC
Planche
Sup II
206 ENTPE − EIVP
I) Pour tout n > 1, pour tout x ∈ R, on pose fn (x) =
n
X
(n2 + k x )−1/2 . Étudier la converge
k=1
simple de la suite (fn ) pour x 6 0, pour 0 < x < 2, pour x = 2 puis pour x > 2.
II) Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, f et g deux endomorphismes de E vérifiant
f + g = idE et rg(f ) + rg(g) 6 dim E.
Montrer que f et g sont des projecteurs.
Sup II
207 ENTPE − EIVP
x − 1 −x
I) Résoudre y 00 + 3y 0 + 2y =
e .
x2
II) Écrire la matrice dans la base canonique de R3 de la projection orthogonale sur le plan
d’équation 2x − 3y + z = 0.
Planche
Planche 208 ENSIIE
I) Cours : théorème de diagonalisation des matrices symétriques réelles ; nature de la matrice de
passage ; montrer que les vecteurs propres sont orthogonaux.
II) Trouver f , 2π-périodique, dérivable, à valeurs dans R et telle que ∃λ ∈ R, f 0 (x) = f (x + λ)
(on pourra utiliser les coefficients de Fourier).
Planche 209 Télécom Sudparis
P
x
I) Montrer que f (x) = (−1)n−1 ln 1 + n est C 1 sur R+ .
II) Soit u ∈ L(E) vérifiant 2u3 + 5u2 − 3u = 0 ; exprimer un en fonction de u2 , u et Id.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche Sup I 210 Télécom Sudparis
I) Montrer que si A ∈ Mn (R) vérifie A2 = 0, alors rg A 6 2.
Résoudre M 3 = A + In pour n = 3. Z
+∞
2
x
2
exp −t −
II) Ensemble de définition de f (x) =
dt.
t
0
f est-elle C 1 sur cet ensemble ?
Planche
Sup II
211 Navale
1 1 I) Trouver M ∈ M2 (R), M + M =
.
1 1
2n
X
√1 ·
II) Donner un équivalent en l’infini de
k
k=n
2
Planche Sup I 212 ICNA
I) Trouver toutes
Z les fonctions continues sur R telles que :
x
∀x ∈ R, f (x) +
(x − t)f (t)dt = 1
0
II) Montrer que u(P ) = P 0 et v(P )(X) = P (X) + P (X + 1) définissent deux endomorphismes
de Rn [X].
Donner leurs éléments propres. Sont-ils diagonalisables ?
Planche Sup I 213 Mines Albi, Alès, etc
I) Résoudre f 00 (x) + f (−x) = x.
II) Pour A fixée dans Mn (C) on définit l’endomorphisme u par u(M ) = M A ; comparer les
valeurs propres de A et u.
Même question pour v(M ) = AM .
Planche Sup I 214 Mines Albi, Alès, etc
I) Trouver λ ∈ C tel que P = X 4 −2X 2 +λX +3 ait deux racines de produit égal à 1. Déterminer
alors l’ensemble des racines. P
II) Rayon de convergence de
E(en )z n .
III) Cours : définition d’un produit scalaire.
Planche
Sup
215 Mines Albi, Alès, etc
x(t) = sin(2t) cos2 t
I) Étude et tracé de
y(t) = cos(2t) sin2 t
II) Matrice de la projection orthogonale sur le plan 2x + y − z = 0 dans R3 .
Planche Sup I 216 ENSSAT
I) Montrer que Ker f = Ker f 2 ⇔ Ker f ∩ Im f = {0}.
II) Étudier la suite (an ) définie
par a0 > 0, an+1 = ln(1 + an ).
P
Rayon de convergence de
an xn . Converge-t-elle pour x = −1 ?
Concours divers option PSI
Planche Sup I 217 ENSAM
I) avec Maple : montrer que B = (X − 1)3−k (X + 1)3+k −36k63 est une base de R6 [X] et
décomposer (X 2 + X + 1)2 sur cette base.
Déterminer λ pour que f , définie par f (P ) = (X + 1)P 0 + (2X + λ)P soit une bijection de R6 [X].
II) Convergence de la série de terme général (−1)n an où
Z 1p
an =
1 − t2 tn dt, et calcul de sa somme.
0
Etablir une relation entre an et an+2 .
Convergence de la série de terme général an et calcul de sa somme.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup II
1
· Montrer que ∀n > 2, 0 < un <
·
n−1
P
P
1
Montrer qu’en +∞, un ∼ n · Convergence de
un et (−1)n un .

√ 
3
1
−√ 6
1
II) avec Maple : étudier f de matrice  √1
6 .
3
√
4
6 − 6
2
I) Soit un =
e
218 ENSAM
−un
n
Planche 219 ENSAM
I) avec Maple : donner les coefficients de Fourier de f , 2π-périodique, définie sur ]−1, 1] par
f (x) = x7 .
Calculer ses sommes partielles jusqu’à l’ordre 5 et dessiner sur un même graphe sa courbe et les
séries partielles jusqu’à l’ordre 30. Commenter.
II) Soit A ∈ M2 (Z) telle que ∃p ∈ N∗ , Ap = I2 .
Montrer que A12 = I2 .
Planche Sup I 220 ENSAM
I) avec Maple : calculer a tel que P (X) = X 4 − 2X 3 + aX 2 + 2X − 1 ait une racine d’ordre au
moins 3.
II) Soient f et g continues et 2π-périodique de R dans R, un = an (f ) et vn = an (g).
+∞
X
Ensemble de définition et continuité de h(x) =
un vn cos(nx).
n=1
h est-elle somme de sa série de Fourier ?
Planche
Sup II
221 ENSAM
M M
I) Montrer que A =
où M ∈ Mn (R) est non inversible, est diagonalisable si et
M M
seulement si M l’est.
Que peut-on dire des polynômes annulateurs de M et A ?
II) avec Maple : déterminer a, b, c tels que les primitives de
ax4 + bx + c
f (x) =
soient des fonctions rationnelles.
(x + 1)3 (x − 2)4
Planche 222 ENSAM
I) avec 
Maple : trouver Atriangulaire inférieure telle que :
3 2 1 1 2
2 3 2 1 1


At A =  1 2 3 2 1 , la diagonale de A ne contenant que des termes positifs ou nuls.
1 1 2 3 2
2 1 1 2 3
ln n
II) Étudier la convergence de la série de terme général fn définie sur ]0, 1] par fn (x) = xn n ·
Z 1
Existence et calcul de I =
ln x ln(1 − x)dx.
0
Planche Sup I 223 ENSAM
I) avec Maple : on note x(n) et y(n) respectivement, les parties réelle et imaginaire de
(2i + 3n)n + (−1)n 2i
z(n) =
·
(4in + 5)n + 6 Monter que x(n) et y(n) sont convergentes.
Représenter les 10 premiers z(n) dans le plan complexe
Déterminer les z(n) tels que |z − 3 + i| 6 3.
II) Montrer que f défini par f (P ) = (X 2 − 1)P 0 − (2nX + k)P où k ∈ R, est un endomorphisme
de R2n [X].
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Déterminer les éléments propres de f ; est-il diagonalisable ?
Montrer qu’il existe une unique famille (a−n , . . . , a0 , . . . , an ) telle que ∀P ∈ R2n [X], P =
n
X
al (x−1)n−l (
l=−n
f est il bijectif ?
Sup I
224 ENTPE − EIVP
!
−1 1 −1
est semblable à une matrice dont un seul coefficient est
I) Montrer que A =
2 −2 2
−3 3 −3
non nul.
II) Soient E euclidien et f de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs dans E.
n−1
k + 1 0 k + 1
1X
|f
.
Limite de la suite de terme général Vn = n
f
n
n
k=0
n−1
X
k + 1 2
1
1
Montrer que Vn − n
f k |f 0
6 n sup k f 0 k .
n
n
Planche
k=0
Planche 225 ENSIIE
I) Soit M orthogonale d’ordre n, de coefficient mij ; montrer que :
X
n
n
n X
n X
X
mij 6 n 6
| mij | 6 n3/2
i=1 j=1
i=1 j=1
(on pourra introduire la base canonique (e1 , . . . , en ) de Rn ).
On note f l’endomorphisme de matrice M dans la base canonique et on pose s =
X
n
n X
f (s)|s et m2ij .
i=1 j=1
II) Ensemble de définition et continuité de f (x) =
+∞
X
e−x
√
n
n
X
ei . Calculer
i=1
.
n=0
Donner un équivalent de f en 0+ et sa limite en +∞.
Planche 226 ENSIIE
X
I) Convergence de
(−1)n Arc cos 1 − Arc cos 12 .
n
n
n>1
II) Soit N ∈ Mn (C) nilpotente d’indice p et A ∈ Mn (C) commutant avec N . Donner le spectre
et le polynôme caractéristique de N .
On suppose A inversible ; montrer que A−1 N est nilpotente et en déduire que det(A−1 N +In ) = 1.
Montrer que det(A + N ) = det A.
On ne suppose plus A inversible ; montrer que ∃M ∈ Mn (C), AM = (A + N )p et en déduire
que det(A + N ) = det A.
Planche 227 Navale
I) Pour a réel quelconque, trouver les fonctions f vérifiant :
1
lim f (x) = 0 et f (x + 1) + f (x) = a ·
x→+∞
x
II) Soient A ∈ GLn (R) et U ∈ On (R) telles que A−1 U A ∈ On (R).
Montrer que t AA est une matrice scalaire.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche Sup I 228 Navale
I) Soient A ∈ GLn (R) de coefficient aij , B de coefficient bij = aij − 1. On note a0ij les coefficients
de A−1 .
X
0
aij .
Montrer que det B = det A 1 −
1l ei,j6n
II) Calculer
+∞
X
1
·
n
3
(3n
+
2)
n=0
Planche Sup I 229 Télécom SudParis
I) Résoudre y 00 + y = cos3 x.
2
II) Trouver un polynôme annulateur de M ∈ M2 (R) vérifiant M + M =
1 1
.
1 1
Planche 230 Mines d’Albi, Alès, etc.
I) Donner la forme polaire de q, définie sur R3 par :
2
q(X) = k X k − δ(X|A), où δ ∈ R et A est un vecteur fixé.
!
1
Pour δ = 1 et A = 1 , trouver une base orthogonale pour q et donner la nature de la quadrique
1
associée.
II) Montrer que u, défini par u(P )(X) = P 0 − XP 00 est un endomorphisme de Rn [X] dont la
seule valeur propre possible est 0.
Concours Banque PT
Planche
Sup I
231 Groupe Cachan
I) Donner, en fonction de ceux de P , le degré et le coefficient dominant de φ(P )(X) =
1
P (X+1)+P (X−
2
Montrer que ∃!Pn ∈ Rn [X], φ(Pn )(X) = X n . Calculer P0 , P1 , P2 , P3 .
(k)
Pour n > 1, exprimer Pn0 en fonction de Pn−1 et en déduire Pn en fonction de Pn−k , pour
k 6 n. Montrer que Pn et n ont même parité.
II) Cours : théorème de Jordan-Dirichlet.
Planche Sup III 232 Groupe Cachan
x
I) Donner la différentielle de f (x, y) = y ·
Trouver une fonction v telle que (y 2 −x)y 0 = y ⇔ dv = 0 (on pourra utiliser (y 2 −x)dy−ydx = 0).
Donner les courbes Ck d’équation v(x, y) = k et tracer C1 .
+∞
X
2
II) Calculer S =
·
(4k + 1)(4k + 3)
k=0
III) Cours : définir un espace vectoriel.
Planche
Sup
233 Groupe Cachan
Z
1
b
Soit f C de [a, b] dans R ; montrer que lim
sin(nt)f (t)dt = 0.
x
Montrer que φ, définie sur ] − 2π, 2π[\{0} par φ(x) =
, est prolongeable par continuité
2 sin x
2
sur [−2π, 2π] et qu’ainsi prolongée, elle est C 1 sur ] − 2π, 2π[.
p+1
p
sin(
x)
X
2
∗
Montrer que, pour p ∈ N ,
cos(nx) =
·
2 sin x − 1
n=1
2 2
Pour n ∈ N∗ , trouver (a, b) ∈ R2 tels que :
n→+∞
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
a
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
1
=
n2
Z
π
0
+∞
X
1 ·
(ax + bx) cos(nx)dx. En déduire
n2
n=1
2
Planche 234 Groupe Cachan
I) Montrer que f , défini par f (P )(X) = (X − a)(b − X)P 0 + nXP est un endomorphisme de
Rn [X].
Pour ab, calculer α et β en fonction de a et b, tels que :
β
nt − λ
α
=
+
·
t−a t−b
(t − a)(t − b)
Pour a = b, calculer γ et δ en fonction de a et b, tels que :
γ
nt − λ
δ
=
+
·
2
t
−
a
(t − a)
(t − a)2
Déterminer les éléments propres de f . Est-il diagonalisable ?
II) Cours : critère des séries alternées.
Planche 235 Groupe Cachan
I) On note Tt la tangente au point M (t) de la courbe C d’équations paramétriques x(t) = t, y(t) = t2 , z(t
Déterminer un paramétrage de la surface S engendrée par la réunion des droites Tt . Trouver les
points de S où la normale est nulle.
Donner l’équation du plan tangent à S en un point régulier et montrer qu’il ne varie pas le long
d’une génératrice.
Comment nomme-t-on ce type de surface ?
II) Cours : théorème de Dirichlet ; coefficients de Fourier ; qu’est-ce qu’une fonction C 1 par
morceaux ? À quelle(s) condition(s) un endomorphisme est-il diagonalisable ? Citer une condition
suffisante. Une matrice symétrique réelle est-elle diagonalisable ?
Planche
Sup I
236 Groupe Cachan
I) Soient f et g deux projecteurs d’un C-espace vectoriel E, vérifiant ∃(λ, µ) ∈ C, f ◦g−g◦f = λf +µg.
On suppose λ ∈
/ {0, 1}.
Montrer que f ◦ g(x) ∈ Im g et que Im f ⊂ Im g.
Montrer que f ◦ g = f et que λ + µ = 0 ; en déduire que f = g = 0.
Étudier les cas λ = 0 et λZ= 1.
+∞
e−t sin2n tdt.
II) Convergence de In =
0
Calculer I0 et donner une méthode pour calculer In .
Planche 237 Groupe Cachan

 0
2e4t
x (t) = 2x(t) + y(t) +
I) Résoudre
1 + et .

0
y (t) = x(t) + 2y(t)
4
II) Soit A ∈ Mn (R). Pour (a, b, c, d) ∈ R , calculer det
a, b, c, d.
X
III) Étudier
n>2
Planche
Sup
aA
cA
bA
dA
en fonction de det A et
1 ln n .
ln n
238 ENSAM-CCP
1
I) Pour n ∈ N, montrer que fn (x) = nxn+1 − (n + 1)xn − admet une unique racine positive
2
xn .
Étudier la monotonie de (xn ) et conclure quant à sa convergence.
II) Avec Mathematica : déterminer a et b réels, tels que (1+i) soit racine de P (X) = X 4 +X 3 +aX 2 +21/2 X
déterminer les autres racines de P , puis l’écrire comme un produit de facteurs irréductibles.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup II
239 ENSAM-CCP
π−x
I) Tracer le graphe de f , 2π-périodique, définie sur ]0, 2π[ par f (x) =
et f (0) = 0. Calculer
2
ses coefficients de Fourier.
Énoncer le théorème de Dirichlet.
+∞
X
Soit, pour x ∈ ]0, 2π[, Rn (x) =
ap (f ) cos(nx) + bp (f ) sin(nx) .
p=n+1
sin n + t
2 dt.
Montrer que Rn (x) =
t
x
2 sin
2
I)I Avec Mathématica : trouver le polynôme P de plus bas degré tel que P (X +1)−P (X) = X 10 .
n
X
Calculer
k 10 .
Z
π
k=0
Planche Sup 240 ENSAM-CCP
I) Résoudre sur R, y 00 + 9y = 2 cos x cos(3x).
!
5 8 −2
II) avec Maple : A = 2 1 −3 est-elle inversible ?
1 5 3
Montrer que F = {B ∈ M3 (R), AB = 0} est un sous-espace vectoriel et donner sa dimension.
Mêmes questions pour G = {C ∈ M3 (R), CA = 0}.
F et G sont-il égaux ? Sinon, donner F ∩ G.
Planche
Sup II
241 ENSAM-CCP
Z
+∞
I) avec Maple : trouver a tel que I(a) =
1 − tha (x)dx converge.
0
Calculer I(a) pour a variant de 1 à 10.
II) Montrer que, dans une base orthonormée bien choisie, l’équation d’une parabole est y 2 = 2px ;
faire un dessin et donner les éléments caractéristiques.
Trouver 3 points distincts A, B, C, intersections de tangentes issues de 2 points de la parabole.
z1 − z2 z2 − z3
Montrer que si
est réel, les points d’affixe z1 , z2 , z3 , z4 sont cocycliques.
z1 − z3 z2 − z4
Montrer que le foyer F de la parabole est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
Planche Sup I 242 ENSAM-CCP
I) Étudier la courbe d’équations paramétriques x(t) = 3t2 , y(t) = 2t3 .
Déterminer les droites à la fois tangentes et normales à la courbe.
II) avec Maple : montrer que f (x, y) = xy ln(x2 + y 2 ) est prolongeable par continuité en 0.
Tracer la surface et déterminer les extremums.
Planche Sup I 243 ENSAM-CCP
1
I) Soit P (X) = 1 +
; factoriser Q(X) = (X + 1)P (X) − X + 2 puis calculer P (n + 1).
X +1
II) avec Maple : trouver l’équation différentielle du second ordre à coefficients
polynômiaux de
√
degré au plus égal à 2 et second membre nul, vérifiée par f (x) = (x − x + 1)1/3 .
Développer f en série entière.
Planche
Sup I
244 ENSAM-CCP
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
I) Montrer que
k2 =
·
6
k=1
1
0
... 0 n − 1
..
..
. . n − 2 0
1
.. .
..
..
Calculer Dn = ..
.
. 0
. .
...
0 1
1 0
n − 1 n − 2 ... 1
1 L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
II) avec Maple : on note f la série de Fourier coı̈ncidant sur [0, 2π] avec P (t) =
6
X
αk tk , an (f )
k=0
et bn (f ) ses coefficients de Fourier.
+∞
X
1
1 et
∗
Calculer P pour que a0 (f ) = 0, an (f ) = 6 , ∀n ∈ N et bn (f ) = 0. En déduire
n6
n
k=1
+∞
X
1 · Tracer P et f sur [0, 2π].
12
n
k=1
Planche Sup II 245 ENSAM-CCP
I) Dans le repère (O, i, j, k) de R3 , on donne la nappe paramétrée :
(
x = u2 + uv + v 2
N:
y =u+v
z = u3 + v 3
Déterminer les points singuliers et le plan tangent à N en un point régulier.
Montrer que N est contenue dans la surface d’équation z = 3xy −2y 3 et retrouver le plan tangent
à N par une autre méthode.
II) avec Maple : résoudre sur des intervalles convenables l’équation différentielle (x+1)y 0 = (x−1)y+x.
Tracer quelques courbes intégrales.
Y a-t-il des solutions sur R ? Si oui, la ou les tracer.
Que dire des tangentes en x = 1 ?
Planche 246 Mines d’Albi, Alès, etc
Z +∞
I) Convergence et valeur de
t sin te−nt dt.
0
II) Pour quelle valeur de a ∈ R, la surface d’équation :
ax2 + ay 2 + az 2 − 2xy − 2yz − 2xz = 1 est-elle un ellipsoı̈de ?
Planche
Sup II
Planche
Sup I et III
247 Mines d’Albi, Alès, etc
!
1 a a
I) À quelle(s) condition(s) sur a, M =
1 1 −1 est-elle diagonalisable ? La diagonaliser
−1 0 2
dans ce cas et calculer M n .
II) Résoudre x(x2 − 1)y 0 + 2y = x2 . Quelle est la structure de l’ensemble solution ? Existe-t-il
des solutions maximales ?
248 Mines d’Albi, Alès, etc
!
2 1 1
I) Soit A = 0 2 1 ; calculer An .
0 0 2
p
X
II) Rayon de convergence de
cos(π n2 + n + 1).
n>0
Z
x2
III) Ensemble de défintion et continuité de f (x) =
x
dt ·
ln t
Calculer f 0 et dresser le tableau de variation de f .
Donner les limites en 0 et +∞, un équivalent de ln x en 1, dont on déduira la limite de f en 1.
Planche 249 Mines Albi, Alès, etc
Z 1
dx
p
I) Existence de I =
·
2
−1 (2 − x ) 1 − x2
Z 1
dt
Montrer que I = 2
2 et la calculer à l’aide du changement de variable u = Arc tan t).
0 2 − sin t
II) Dans l’espace affine euclidien orienté, reconnaı̂tre :
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
D = {M (x,r
y, z), x + y = 1, z = 0}, puis montrer que la distance d’un point N (a, b, c) à D s’écrit
(a + b + 1)2
2
d(N, D) = c +
·
2
On note ∆ la droite passant par O et dirigée par ~k ; donner une équation de S = {M (x, y, z), d(M, D) = d(
Quelle est sa nature ?
Concours Commun ENSSAT options PT − TSI
Planche
Sup I
250
I) Soit E = C ([a, b], C). Montrer que F = f ∈ E,
0
Z
b
f (x)dx = 0 et G, ensemble des fonctions
a
constantes, sont des sous-espaces de E.
Montrer que F ∩ G = {0}. De quelle application F est-il le noyau ?
1
, z ∈ C. Calculer f (eiθ ).
II) Soit f (z) =
2+z
Développer f en série entière et en déduire le développement en série de Fourier de g(θ) =
sin θ
·
5 + 4 cos θ
Planche 251
I) Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n, à coefficients dans K. Démontrer que
tr(AB) = tr(BA).
Définir la trace d’un endomorphisme en dimension finie.
II) Soit l’équation différentielle 4xy 00 + 2y 0 + y = 0.
Déterminer les solutions y(x) développables en série entière en 0. Pour x > 0, expliciter ces
solutions à l’aide de fonctions usuelles.
√
Rechercher une solution sur ]0, +∞[, de la forme y(x) = L(x) cos( x) et en déduire la solution
générale sur ]0, +∞[.
√
À l’aide du changement de variable t = x, déterminer de nouveau la solution générale sur
]0, +∞[.
Planche Sup I 252
I) Résoudre y 00 + y = cos x sur R.
II) Donner une équation réduite de la quadrique d’équation dans le repère orthonormé canonique :
7x2 − 2y 2 + 4z 2 + 4xy + 20xz + 16yz − 36x + 72y − 108z + 36 = 0.
Préciser sa nature géométrique (on notera B la base attachée au repère initial, B 0 la base attachée
au nouveau repère, on rangera les valeurs propres par ordre croissant et on choisira les vecteurs
de B 0 de première coordonnée positive).
Étudier la transformation de R3 qui transforme B en B 0 .
Planche 253
I) Pour quelles valeurs de n, f défini sur Rn [X] par :
f (P )(X) = (2X + 1)P − (X 2 − 1)P 0 , est-il un endomorphisme ?
Écrire la matrice, dans la base canonique, de la restriction g de f à R2 [X].
Montrer que g est diagonalisable
P et la diagonaliser.
II) Rayon de convergence de (ch n)xn .
Nature de la série aux bornes de l’intervalle de convergence.
Concours ATS
Planche Sup II 254
I) Trouver Ker A et Im A où A est la matrice carrée d’ordre 3 ne comportant que des 1.
Diagonaliser A (on donnera deux méthodes).
II) Factoriser P (X) = X 6 + 1.
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche
Sup II
255
n!
I) Déterminer la nature de la série de terme général Un = n ·
n
a b
n
II) Si A =
∈ M2 (R), calculer A pour n ∈ N.
b a
Planche
Sup
256
I) Calculer A = X 4 + (3X − 1)3 + (X − 1)2 + 2X + 5 en X = 1 − 31/3 .
√
II) Étudier la suite donnée par u0 = 0 et un+1 = 2un + 36.
Planche
Sup I
Z
I) Calculer
0
II) Soit A =
Planche
1
257 ENSIIE
dx
√
·
(x + 2) x + 1
!
3 −1 1
0 2 0 ; calculer An .
1 −1 3
Sup
258
1
1
I) f (x) =
− x est-elle prolongeable par continuité en 0 ? Est-elle dérivable en 0 ?
ln(1 + x)
n X
n
k 2 en fonction de n.
II) Calculer F2 =
k
k=0
n X
n
Par un calcul analogue, trouver F3 =
k3 .
k
k=0
Concours TSI
Planche 259 Centrale
avec Maple : on donne f , 2π-périodique, définie sur [−π, π] par f (t) = cos(at) où 0 < a < 1.
1
2
Tracer f sur une période, pour a = et a = ·
2
3
f est-elle continue ? Dérivable ?
Calculer ses coefficients de Fourier dans le cas général.
+∞
+∞
X
X
(−1)n
1
Calculer
et
·
a2 + n2
a2 + n2
n=1
n=1
Planche 260 Centrale
I) Montrer que 0 est valeur propre de u, l’endomorphisme de R3 de matrice A =
4
8
−2
1
3
−1
−3
−5
1
!
puis montrer que Ker u ⊂ Im u.
Sans chercher les autres valeurs propres, montrer que u n’est pas diagonalisable.
Déterminer les valeurs propres à l’aide de la trace.
u est-il trigonalisable ?
!
0 1 0
Montrer que A est semblable à B = 0 0 0
0 0 8
0
Résoudre X (t) = AX(t). Que peut-on dire des courbes intégrales ? Comment sont les deux plans
des deux courbes intégrales ?
X 1
·
II) Existence et calcul de
n3n
n>1
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Planche 261 Centrale
I) Sur quel(s) intervalle() (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0 est-elle intégrable ?
En donner les solutions polynomiales puis les solutions sur R.
II) Montrer que φ(P, Q) = P (0)Q(0) + P 0 (1)Q0 (1) + P 00 (1)Q00 (1) définit un produit scalaire que
R2 [X].
Déterminer une base orthonormale de R2 [X] puis calculer la distance de X 2 à R1 [X].
Planche 262 Centrale
I) Rayon de convergence de
X
(−1)n
n>0
xn ·
2n + 1
Pour | x | < 1, peut-on calculer avec Maple g(x) =
X
X x2n+1
2n+1
et f (x) =
?
(−1)n x
2n + 1
2n + 1
n>0
n>0
Sont-elles définies sur ]−1, 1[ ?
Calculer f 0 et g 0 puis f et g.
X
n
·
Calculer
(−1)n x
2n + 1
n>0
II) Peut-on trouver une solution de x2 y 00 + 4xy + 2y =
1
sous forme de série entière ?
1−x
Planche 263 Centrale
cos2 t + ln sin t
I) Étudier et tracer
cos t sin t
Calculer la longueur de la courbe entre les deux points de rebroussement.
!
1 1
1
II) Trouver une valeur propre évidente de M =
1 1
1
et donner son ordre de
2 −2 −2
multiplicité grâce au théorème du rang.
M est-elle diagonalisable ?
Planche 264 Centrale
Valeurs et vecteurs propres de A =
0
1
0
0
0
1
!
−1/4
1/4 .
0
Est-elle diagonalisable ?
Montrer qu’il existe an , bn , cn tels que An = an A2 + bn A + cn I3 et en déduire que la limite de
An en +∞ est un projecteur.
Planche Sup II 265 CCP
√
I) On admet qu’au voisinage de 0+ , Arc cos(1 − x) ∼ 2x.
π
1 Montrer que, pour α > 0 et n ∈ N∗ , un = Arc cos 1 − α ∈ ]0, [.
2
n
r
P
P
k
Montrer que ∃k ∈ R∗+ , un ∼
un et (−1)n un .
α · Étudier
n
II) On définit une suite de polynômes (Pn ) par P0 = 2, P1 = X et Pn+2 (X) = XPn+1 (X)−Pn (X).
Calculer P2 et P3 .
1
1
Montrer que Pn (z + z ) = z n + n et montrer que les solutions vérifient z 4n = 1, z 2n 1.
z
Donner les racines de P1 et P2 puis étudier le cas général.
Planche Sup II 266 CCP
1
I) On donne u0 = 0 et ∀n > 1, un = sin √ ·
n X
un xn et étudier la convergence en −R et R.
Donner le rayon de convergence R de f (x) =
n>1
Soit g(x) =
X
n
(un − un−1 )x ; montrer que g(1) = 0 et en déduire la limite en 1 de (1 − x)f (x).
n>1
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
Donner les variations de f .
θ
II) On donne ρ(θ) = cos ; calculer ρ(θ + 3π) ; qu’en déduit-on ? Pourquoi peut-on restreindre
3
3π
l’intervalle d’étude à [0,
]?
2
3π
Faire un tableau de variation et donner les tangentes en 0 et
·
2
Donner la tangente au point d’intersection de la courbe et de l’axe (Ox).
Planche 267 CCP
Z
1
ln x dx et calcul pour α = −1.
α
0 (1 − x)
√
II) Nature de la surface S d’équation 3x2 + y 2 + 2xy 3 + 4z 2 = 4 et donner ses élements
caractéristiques.
Nature des intersections de S avec les plans
√ x0y,2yOz et zOx et préciser leurs caractéristiques.
0
2
2
Montrer que S d’équation 3x + y − 2xy 3 + 4z = 4 est l’image de S par symétrie par rapport
à un plan à déterminer.
I) Existence, suivant α, de
Planche
Sup I
268
I) Montrer que f (x) =
√
1−
x2
Z
définit un quart de cercle sur [0; 1] et en déduire
1
p
1 − x2 dx.
0
Calculer cettermême intégrale avec le changement de variable x = sin t, que l’on justifiera.
Z 1
4
1 − x dx en fonction de l’intégrale précédente (on pourra faire un changement
Exprimer
4 0
Z 1 Z xp
2
1 − x dy dx.
de variable). Calculer
0
0
(
x=t
II) Montrer que σ, d’équations paramétriques y = t cos θ où a ∈ R∗+ , est contenu dans σ 0 ,
z = a sin θ
2 2
2
2 2
d’équation a (x − y ) = x z .
A(0, 0, α), α ∈ R, est il un point de σ 0 ? De σ ?
On coupe σ par un plan d’équation cartésienne z = z0 : quelle est la nature de la coupe ? (on
discutera suivant la valeur de z0 ).
On coupe σ par un plan d’équation cartésienne x = x0 : quelle est la nature de la coupe ? (on
discutera suivant la valeur de x0 ).
Planche 269 CCP 4 −6
I) Montrer que A =
est diagonalisable et la diagonaliser. On note P la matrice de
3 −5
passage et D la matrice diagonale.
Trouver Y ∈ M2 (R) telle que Y 3 = D et X ∈ M2 (R) telle que X 3 = A (on pourra poser
X = P Y P −1 ).
un
II) Soit u0 = 0 et un+1 =
+ (−1)n . Calculer u1 , u2 , u3 .
2
P
Montrer que ∀n ∈ N, | un | 6 2 et en déduire que le rayon de convergence R de
un xn est
supérieurX
ou égal à 1.
X
Calculer
(−1)n xn . On pose f (x) =
un xn .
n>0
Calculer f (x) −
n>0
x
f (x) et simplifier l’expression obtenue.
2
L’officiel de la taupe numéro 
Page 
c MMXII Éditions Officiel de la Taupe
ENS − option MP
Planche 1
Sup
Planche 7 Ulm-Lyon-Cachan
Ulm-Lyon-Cachan
I) Dites moi ce que vous savez sur les principes de la thermodynamique.
II) On considère deux enceintes adiabatiques de même volume,
l’une vide, l’autre remplie de n moles de gaz parfait monoatomique,
séparées par une paroi ﬁxe et adiabatique. On ouvre une petite fuite
dans la paroi et le gaz s’écoule de manière quasi-statique adiabatique.
On referme la fuite quand la pression est la même dans les deux
enceintes. Déterminer l’état ﬁnal (pression, température dans les
deux enceintes). ndlr : le même exercice a été posé à Centrale.
Planche 2 Ulm-Lyon-Cachan
On considère un récipient cylindrique de rayon R = 1 m et de hauteur
h = 10 cm, contenant de l’eau, de conductivité
thermique
0, 6 S.I.
1 dP est
de
0,
6 S.I.
L’absorbance α de la lumière déﬁnie par α = P dx
Un faisceau laser, de puissance P = 1 W et de diamètre = 1 mm,
pénètre verticalement par l’axe du cylindre. Les deux faces circulaires
perpendiculaires à l’axe sont adiabétiques, alors que la couronne
parallèle à l’axe est maintenu à temperature ambiante Ta = 25 ◦ C.
1. Trouver le champ des températures en régime stationnaire.
2. Quelle est la diﬀérence de température entre le bord et le bord
du faisceau laser, ainsi que le centre du laser et le bord du faisceau ?
Que se passe-t-il en réalité lorsqu’un ﬂuide est chauﬀé de façon non
homogène, comment ici. Voir, si nécessaire, les indications 1.
Planche 3 Ulm-Lyon-Cachan
On considère un ﬁl de longueur L, de diamètre D, de conductivité
thermique κ et électrique γ, parcouru par un courant d’intensité I. Il
est plongé dans un milieu extérieur de température à T , avec lequel
il peut échanger de la chaleur par convection, avec h le coeﬃcient
associé. Les deux extrémités du ﬁl sont enﬁn ﬁxées à la température
Te . Déterminer le proﬁl de température en régime permanent. Au
cours de l’oral : existe-t-il une intensité I telle que T soit uniforme
dans le ﬁl ? Donner la tension à appliquer aux bornes du ﬁl pour que
I atteigne cette valeur. Si l’on modiﬁe I, discuter du sens dans lequel
se font les transferts thermiques au niveau des extrémités du ﬁl.
Planche 4 Ulm-Lyon-Cachan
Énoncer le principe de Huyghens-Fresnel.
Calculer l’éclairement dû à une fente ﬁne (condition de Fraunhofer).
Contre un miroir parfaitement réﬂéchissant, on dispose un matériau
constitué d’atomes qui absorbent les photons. On éclaire ce matériau
avec un laser de diamètre 1 mm, par des impulsions de 10 ns. On
connaı̂t la section eﬃcace du matériau. Grâce à Huyghens-Fresnel,
calculer l’éclairement dû au rayonnement du matériau.
Planche 5 Ulm-Lyon-Cachan
I) Que savez-vous sur les équations de Maxwell ?
Tous les termes ont été trouvés expérimentalement sauf un, lequel ?
Réponse du candidat : c’est le courant de déplacement, pour la conservation de la charge. Question : retrouver l’équation de conservation de la charge.
II) On a deux rails, reliés par un générateur et une tige qui peut
0 perpendiculaire
glisser sur les rails. On met le tout dans un champ B
au plan du tableau. Décrire le mouvement de la tige ? On ajoute
ensuite un frottement solide. Même question.
À la ﬁn, l’examinateur dit qu’en fait le montage était un moteur
linéaire ; question : trouver le rendement.
Planche 6 Ulm-Lyon-Cachan
Les plaques du condensateur ont une
surface A >> e2 .
e
1) Trouver la charge de chaque plaque
2) On élève la plaque de gauche à
T = 1100 K. Il apparaı̂t un courant entre les plaques, et on suppose que la
charge située entre les plaques est uniformément répartie. Trouver I = f (U ).
U
3) Application numérique (sans calculette) : A = 1 cm2 , e = 1 mm,
U = 100 V. Calculer I, puis la puissance fournie par le générateur.
Commentaires et interprétation.
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 47
1. Évaluer la masse de la Tour Eiﬀel.
2. On suppose que je me lève un matin et que je trouve une corde
verticale au pied de mon lit. Cette corde ne touche pas le sol et monte
dans le ciel. Où j’habite ? Cette corde est-elle plus grande que la Tour
Eiﬀel ? Estimer sa longueur.
Planche 8
Sup
Ulm
Un enfant joue sur une balançoire et il augmente l’amplitude de ses
oscillations. Est-il possible qu’il fasse un tour complet ?
Planche 9 Sup PCSI Ulm
On dispose de deux cymbales, distantes
de e. On ferme l’interrupteur. Puis :
e
- Premier cas : on ouvre l’interrupteur,
on tire sur les cymbales jusqu’à ce
qu’elles soient distantes de 2e.
- Deuxième cas : on garde l’interrupteur
fermé, et idem.
- Troisième cas : on garde l’interrupteur fermé, il y a en plus une
résistance dans le circuit. Et idem.
Dans chacun des deux premiers cas, calculer le travail fourni par
l’opérateur. Dans le troisième cas, dire qui fournit l’énergie dissipée
dans la résistance (par rapport au cas numéro 2).
Planche 10 Ulm
Comment fonctionne le hula hoop ?
Pour ceux qui ne connaissent pas le hula hoop :
http ://www.dailymotion.com/video/x6b452 la-reine-du-hula-hoop
Voir, après avoir au moins essayé de modéliser, les indications 2.
Planche 11
Sup PCSI
Ulm
On considère un condensateur plan dont les deux armatures sont
reliées par un ressort. Peut-il avoir une capacité négative ?
Si rien ne vient, consulte l’indication 3.
ENS − option PC
Planche 12 Ulm
On éclaire de la poudre de fer α à l’aide d’un
laser à rayons X et on observe le résultat à
l’aide d’un détecteur. La ﬁgure ci-contre décrit
ce qui observé sur le détecteur. Expliquer. Que
peut-on en déduire ? Indication 4.
Planche 13 Ulm
Sont mis à disposition du candidat un formulaire d’analyse vectorielle
et toutes les données thermodynamiques relatives à l’eau et à la
vapeur d’eau, viscosité, masse volumique, etc. Ensuite, l’examinateur
prend une bouteille d’eau et en verse sur une plaque chaude. Une
bulle, d’un centimètre environ, lévite pendant un temps assez long
avant de disparaı̂tre. Expliquer.
Planche 14 Ulm
Condensateur à armatures cylindriques, écart très inférieur au rayon,
champ magnétique parallèle à l’axe du cylindre. On décharge instantanément. Calculer le moment cinétique. (à exprimer sous forme
d’intégrale).
Planche 15 Ulm
Expliquer qualitativement, puis quantitativement, la raison de l’aplatissement des pôles terrestres. Donner un ordre de grandeur de cet
aplatissement.
Planche 16
Sup
Ulm
Détente d’un gaz à travers une conduite.
Les deux récipients sont
adiabatiques, P2 < P1 .
Trouver T2 , dans le cas du
P1, T1
gaz parfait d’abord, puis
dans le cas du modèle de
Van der Waals.
P2, T2
∂T
On
∂P H
l’exprimera en fonction de Cp , la capacité caloriﬁque à pression
constante et de α, le coeﬃcient de compressibilité isobare.
On introduira le coeﬃcient de Joule-Thomson, CJT =
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
Planche 17 Cachan-Lyon
I) Leçon. Déﬁnir les milieux diélectriques linéaires homogènes isotropes. En utilisant le formalisme complexe, présenter le sens physique
de la susceptibilité diélectrique d’un tel milieu.
II) On place une tige métallique de longueur 2l entre 2 murs distants
de 2l. On rapproche ensuite un des murs de l’autre d’une distance x.
Deux situations peuvent alors se produire :
- la barre se comprime en restant droite ;
- la barre se courbe.
Déterminer, à l’aide de modèles et d’approximations simples, laquelle
des deux situations va avoir lieu, et si nécessaire, la compression
limite xl à laquelle on observe un changement de comportement.
Sup I
Cachan-Lyon
Planche 18
I) Leçon : Dans quelle mesure peut-on se ramener à l’étude d’un
oscillateur harmonique ? Discuter le rôle et les eﬀets du frottement.
Illustrer votre exposé par des exemples.
II) On étudie un geyser, qui évolue de manière cyclique ainsi :
- 44 tonnes d’eau se dégagent en 4 minutes ;
- La cavité se remplit pendant 20 minutes ;
- Il ne se passe rien pendant 90 minutes (l’eau chauﬀe).
On donne la température dans la roche en fonction de la profondeur
z : T (z) = T0 + αz.
1. Mettre en évidence l’existence d’une profondeur limite pour que
le phénomène se produise.
2. Donner à cette hauteur le volume de la cavité.
Planche 19 Cachan-Lyon
I) Leçon : rayonnement dipolaire. On s’intéressera particulièrement
aux questions de symétries et de puissances.
II) On s’intéresse à un condensateur plan auquel on aurait comblé
le vide entre les armatures par un diélectrique élastique. Étudier la
caractéristique de ce dipôle.
Planche 20 Sup Cachan-Lyon
I) Leçon : décrire les deux principes de la thermodynamique, illustrer
avec le contact entre deux solides.
II) Soit une plaque photo (= lame semi-transparente) inclinée d’un
angle α par rapport à un miroir. On éclaire le miroir en incidence
normale puis inclinée de 45 ◦ . Décrire ce que l’on observe sur la
plaque.
Planche 21 Cachan-Lyon
I) Leçon : la mécanique des ﬂuides utilise deux approches, l’une
locale, l’autre globale à l’aide de bilans. Vous exposerez l’intérêt de
ces deux approches à l’aide d’un ou deux exemples.
II) Une fusée, de section apparente S et de masse m0 , pénètre à la
vitesse v0 dans un nuage de débris, assimilé à un milieu de masse
volumique ρ. les particules s’agglomèrent à la fusée lorsqu’elles entre
en contact avec elle. On considère qu’aucune force externe ne s’exerce
sur le nuage ou la fusée. Déterminer le mouvement à l’aide d’une
relation de conservation (pas demandé aussi explicitement).
Solution du candidat en 5.
Planche 22 TP Cachan-Lyon
Étude de la biréfringence d’un barreau de plexiglas.
Matériel : deux polariseurs, une lame de verre, une diode laser, une
photodiode, un voltmètre, deux barreaux de plexiglas de longueurs
distinctes (20 et environ 5 cm), deux écrans.
Énoncé : Cette épreuve nécessite l’utilisation d’une diode laser
émettant un rayonnement dont la longueur d’onde dans le vide est
λ = 532 nm. On rappelle qu’il ne faut jamais regarder directement
nu le faisceau laser, ni ses réﬂexions spéculaires. Seule la lumière
diﬀusée peut être observée sans danger.
1) En utilisant la réﬂexion spéculaire à l’angle de Brewster sur une
lame de verre, déterminer sommairement l’axe de polarisation des
polariseurs.
L’objectif de cette épreuve est d’étudier la transmission du faisceau
laser dans des barreaux de plexiglas, le plexiglas étant un milieu
anisotrope. On commencera par étudier le barreau le plus long de
longueur 200, 0 mm.
2) Montrer expérimentalement l’existence de deux directions de
polarisation orthogonales, les lignes neutres, pour lesquelles l’état
de polarisation n’est pas modiﬁé durant la traversée du barreau.
Qu’appelle-t-on axe lent ? Axe rapide ? Déﬁnir la biréfringence.
3) On placera les lignes neutres à 45 ◦ de l’axe vertical et on utilisera
une polarisation incidente verticale. Observer la lumière diﬀusée
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 49
latéralement, interpréter. Proposer deux méthodes de mesure de la
biréfringence et discuter leur précision.
Reprendre ce travail avec les autres barreaux. Qu’ont-ils de particulier, qu’évoquent-ils pour vous ? Quelles peuvent être les applications
de ces éléments optiques ?
Vue de dessus
Vue de face
Polarisateur
E tube de plexiglas
C
R
A
axe du LN
N
polariseur
tube de plexiglas
laser
nœuds
(dans la lumière diffusée)
Le bilan du TP par le candidat en 6.
Planche 23 Chimie Cachan-Lyon
I) Leçon. Acido-basicité des alcools et synthèse de Williamson des
éthers-oxydes (+mécanisme).
II) A) Sur le Bore
A1) Déduire de la conﬁguration électronique du bore les diﬀérents
degrés d’oxydation qu’il peut prendre.
Atome
B
Al
Ga
In
Tl
Ray. atom. (pm) E 1re ionisation (eV) Électronégativité (Pauling)
87
118
136
156
156
8,3
5,99
6
5,79
6,11
2,04
1,61
1,81
1,78
1,8
A2) Justiﬁer, à l’aide de ces données, le nom de métalloı̈de donné au
bore. Réponse en 21.
B) Diagramme d’Ellingham de B2 O3 /B
a) Rappeler l’approximation d’Ellingham.
∆rGo(T) (kJ.mol-1)
1000
2000
980
3000
4000
5000 T(K)
1823
CO2
-200
B2O3
-400
C
•D
••
-600
-800
B
A
•
CO
Bore
Cgraphite
Figure : Élaboration du carbure de brome
b) Donner les équations d’oxydation de C en CO et de B en B2 O3 /B
(avec 1 mole d’O2 ).
c) Justiﬁer qualitativement les ruptures de pente en A, B, C, D.
Expliquer qualitativement la forte pente après D.
d) Calculer les pentes de OA et OB.
e) Écrire l’équation de réduction de B2 O3 /B par le carbone.
Montrer, en étudiant l’aﬃnité chimique ou l’enthalpie libre standard
de réaction, que pour PCO = 1 bar environ, cette réduction ne
peut avoir lieu qu’à partir d’une certaine température T1 , que l’on
déterminera graphiquement.
Données thermodynamiques, supposées indépendantes de T :
Élément/composé
B(s) B2 O3 (s) C(s) (graphite) O2 (g) CO (g) CO2 (g)
∆f H◦ (kJ.mol−1 )
0
−1272, 8
0
0
−110, 5 −393, 5
S ◦ (J.K−1 .mol−1 )
5,9
54,0
5,7
205,2 197,7
213,0
C ◦p (J.K−1 .mol−1 ) 11,1
62,9
8,5
29,4
29,1
37,1
Temp. fusion (K)
2348
723
∆fus H◦ (kJ.mol−1 ) 50,2
22,0
Temp. d’ébullition 4273
2133
∆vap H◦ (kJ.mol−1 ) 480,0
322,2
Planche 24 Chimie Cachan-Lyon
I) Leçon. C-alkylation des carbonyles, Addition des organomagnésiens, lithiens et cuprates sur les α−énones.
II) Structure de l’hypochlorite, chlorite, chlorate, perchlorate. Conversion degré chlorimétrique/concentration en eau de Javel. Dosages
pour déterminer la composition d’une solution d’hypochlorite, chlorure et chlorate.
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
Planche 28 Chimie Ulm
Planche 25 Chimie Cachan-Lyon
I) Leçon. Aldéhydes et cétones. C-alkylation, additions conjuguées
sur les α−énones grâce à organolithiens/magnésiens/cuprates lithiés.
Commentaire du candidat en 8.
II) Énantiotropie et monotropie
On s’intéresse à certaines molécules qui peuvent présenter des formes
cristallines diﬀérentes à l’état solide. Donner un exemple classique.
On a l’équation : AS BS avec µ◦A < µ◦B .
1. Lequel est le plus stable ? Démonstrer.
2. a) Qui de A ou B (C ou D) est le plus stable ?
b) Comment obtenir sélectivement A ou B à l’état liquide/solide ?
Quels sont les problèmes possibles ? séparation ?
c) De A et B, lequel a la température de fusion la plus basse ?
Démonstration graphique en superposant le(s) potentiel(s) chimique(s) à l’état liquide sur le graphe de A et B.
µo
µo
B
C
A
D T
T
3. a) Le graphe ci-contre est relatif
aux composés A et B. Attribuer les
courbes, expliquer.
4. Application : étain blanc ou gris
(Snb /Sng )
On donne Sg = 27 J.mol−1 .K−1 ;
Sb = 25 J.mol−1 .K−1 ;
◦
= 21.2 kJ.mol−1 à 25 ◦ C.
∆r Hb→g
Lequel est le plus stable à température ambiante ?
E
T
Chimie Cachan-Lyon
I) Leçon. Interprétation microscopique du rôle de la température et
de la concentration sur la vitesse d’un processus. Remarque : Un
processus constitue en l’interprétation de collisions microscopique.
II) Synthèse d’un herbicide sélectif.
Cl
On donne le nom de la molécule :
Cl
OH
O
O
1. Représenter la molécule (isomère 2,4 dicholoro. . . ) puis l’isomère
3,5 dicholoro... Comment distinguer expérimentalement ces deux
isomères ? Comment les qualiﬁe-t-on ?
2. On part du phénol, que l’on met avec du dichlore dans un solvant
protique et polaire.
2.a) La réaction suit-elle un mécanisme ionique ou radicalaire ?
Justiﬁer.
2.b) Proposer un mécanisme pour cette transformation, en justiﬁant
soigneusement l’orientation.
2.c) Proposer une synthèse du produit ﬁnal.
Planche 27
Sup
Chimie Ulm
I) Synthèse de B =1-bromoéthanoate de phényle à partir de phénol
et d’éthanal. Discussion sur la sélectivité de certaines étapes.
O
On met A=
dans du toluène, on ajoute NaH puis B.
Qu’obtient-t-on ? Discuter la sélectivité des diﬀérentes étapes.
On remplace le toluène par la pyrrolidine. On observe une très bonne
sélectivité. Expliquer.
II) Dessiner le diagramme (P, T ) de l’eau pure. L’examinateur prend
une bouteille d’eau minérale et montre que celle-ci est très loin
d’être pure. Dessiner le diagramme (P, T ) de cette eau. Discuter
les diﬀérentes hypothèses d’étude, notamment au point triple et
au point critique. À votre avis, quel est l’ordre de grandeur de la
variation de température d’ébullition ? Conclusion sur l’importance
de la modiﬁcation du diagramme (P, T ).
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
H
En mélangeant toluène, AlCl3 , HCl et CO, on obtient le paraméthylbenzaldéhyde. Expliquer.
En mélangeant le paraméthylbenzaldéhyde et l’aniline, on obtient un
composé jaune. Donner sa structure, expliquer sa couleur.
Le benzène et le diphényl forment un liquide presque idéal mais ne
sont pas miscibles à l’état solide. Pourquoi ?
Lequel des deux a la température de fusion la plus élevée ? Donner le
diagramme binaire Liquide-Solide à pression constante et l’équation
des courbes.
Planche 29 Chimie Ulm
O
I) Chimie Organique.
Synthèse de l’aspirine
OH
O
à partir d’acétal et de phénol.
O
I
Sup
n’est pas stable ?
Cl
Tous les solvants, composés inorganiques requis peuvent être utilisés.
II)Thermochimie. Expliquer le plafond nuageux , c’est à dire le fait
que tous les nuages commencent à la même altitude sur une vaste
zone.
•
Planche 26
O
Pourquoi
Page 51
Planche 30 TP Cachan-Lyon
Étude sur les tensioactifs
• Partie 1 : étude d’un transfert de phase
Partie théorique : on donne un graphe de l’absorbance de KMnO4
(pic à 525 nm). Rappeler la loi de Beer-Lambert et ses conditions de
validité. Déterminer (525) grâce au graphe. Justiﬁer le choix de ce
pic pour eﬀectuer les mesures qui vont suivre.
On place dans un erlenmeyer 20 mL de KMnO4 à 4.10−4 M et 20 mL
de cyclohexane. On agite, on prélève la phase aqueuse et on mesure
son absorbance. On en déduit naq (MnO−
4 ). On refait la même chose
en ajoutant 10 mL de Bu4 NBH4 . Quel est le rôle de Bu4N+ ?
NB : l’absorbance a continué à descendre durant la deuxième mesure,
en ce qui me concerne, alors que je n’avais prélevé que la phase
aqueuse, donc je n’ai pas la moindre idée de ce qui se passait...
• Partie 2 : L’alcool benzilique est oxydé en benzaldéhyde par les
ions ClO− qui sont eux-mêmes réduits en Cl− . Donner les 1/2
équations électroniques et l’équation bilan. Prélever précisément
10 mmol d’acide benzilique et 25 ml d’acétate d’éthyle, puis les
placer dans un ballon bicol avec réfrégirant. Agiter. Ajouter goutte
à goutte 21 mmol de ClO présents dans l’eau de javel à 0,5 M en
utilisant l’ampoule de coulée. Une fois l’ajout terminé, ajouter 0,6 g
de Bu4 NBr (pas sûr) et fermer le ballon. Laisser agiter pendant 30
minutes. Séparer ensuite les phase aqueuse et organique et laver deux
fois avec 20 mL d’acétate d’éthyle la phase aqueuse. Laver la phase
organique avec 20 mL d’hydrogénosulﬁte de sodium. Réunir les deux
phases et les sécher avec MgSO4 anhydre. Évaporer le solvant à
l’évaporateur rotatif, peser le produit, déterminer le rendement.
Il y avait ensuite une chromatographie à faire avec CH2 Cl2 comme
éluant et un test à la DNPH dont ils demandaient l’intérêt ; dans
quel ordre il fallait mettre les réactifs et en quoi c’était important.
• Partie 3 : diluer 0,87 g et 0,29 g d’un solide, qui moussait si on
le secouait trop, dans des ﬁoles jaugées de 100 mL ; prélever 25 mL
des deux solutions et faire un suivi conductimétrique lorsqu’on leur
ajoutait de l’eau à la burette
• Partie 4 : des cristaux violets et un suivi spectrométrique d’une
réaction avec une prise de l’absorbance toute les 30 secodes pendant
7 minutes... pas fait par le candidat.
Voir les commentaires du candidat, franchement drôles, en 9.
ENS Cachan−École Polytechnique − option PSI
Planche 31
On cosidère un câble coaxial rectiligne d’axe Oz constitué :
- d’une âme conductrice de rayon a et reliée au potentiel V0 ;
- d’une masse extérieure conductrice reliée au potentiel nul et de
rayon intérieur b et de rayon extérieur c ;
- d’une gaine isolante située entre l’âme et la masse, de rayon intérieur
a et de rayon extérieur b.
On note 0 r la permittivité à l’intérieur de la gaine, r = 2, 25.
I On travaille en régime électrostatique :
I-a Calculer le champ et le potentiel à l’intérieur de la gaine.
2π0 r
est une capacité linéique. Application
I-b Montrer que χ =
ln(b/a)
numérique.
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
I-c À quelles conditions géométriques peut-on considérer le câble
r 0 S
comme un condensateur plan. Monter alors que C = e ·
II- On travaille en régime magnétostatique.
Le câble est parcouru par un courant I (I dans le sens +z dans l’âme
et −z dans la masse).
II-a Donner les expressions de densités surfaciques de courant dans
la gaine et la masse en fonction de I, a, b et c.
II-b Donner le champ magnétique dans tout l’espace.
II-c On suppose que toute l’énergie est emmagasinée
dans la gaine.
µ0 b ln a .
Montrer que l’inductance linéique vautλ =
2π
Il y avait une troisième partie sur la combinaison des champs E et
B, non traitée.
Planche 32 Temps d’évaporation
On considère un bécher de hauteur h = 5 mm contenant une hauteur
e0 = 2 mm d’eau.
On considèrera que le problème est unidimentionnel et que la
température demeure uniforme à T0 = 25 ◦ C.
On note n(z) la concentration volumique en molécule d’eau sous la
phase vapeur.
En dehors du bécher et en particulier en z = h l’hygrométrie est
Peau
avec
de 50%. On déﬁnie l’hygrométrie comme le rapport
Psat (T )
Psat (T0 ) = 31,7 mbar.
En z = e(t) on considère qu’on a quasi-équilibre entre la phase vapeur
et liquide.
On déﬁnit D le coeﬃcient de diﬀusion de l’eau sous phase vapeur.
On donne D = 2, 81.10−5 .
1) Quel est le moteur de l’évaporation ? Donner l’unité de D. (réponse
en 14.) Énoncer la loi de Fick, expliquer sa signiﬁcation physique,
donner son domaine de validité.
2) Exprimer n(e) et n(h), exprimer n(z) pour z dans [e, h].
3) En eﬀectuant un bilan, donner une equation diﬀérentielle dont
e(t) est solution. En déduire le temps d’évaporation.
4) Justiﬁer l’approximation des régimes quasi-stationaires.
Planche 33 Sup
1) Démontrer la troisième loi de Képler et la formule de l’énergie
mécanique dans le cas d’un mouvement circulaire de rayon a. On
admet cette formule pour une ellipse. En déduire l’énergie mécanique
en fonction de a et T .
Exprimer l’énergie mécanique en fonction de l’énergie cinétique.
Oralement : Avez-vous une idée de la démonstration pour un mouvement elliptique ?
Un satellite doit atteindre Mercure. On néglige les interactions avec
les planètes devant celle du Soleil.
Le satellite suit cette trajectoire :
a. orbite de la Terre ;
b. allumage des moteurs pour passer sur une orbite dont le périhélie
est l’aphélie de Mercure ;
c. allumage des moteurs pour passer sur l’orbite de Mercure ;
d. rencontre avec Mercure.
2) Faire un schéma des parcours et justiﬁer les trajectoires.
Calculer la vitesse avant et après le premier allumage des moteurs.
3) On modélise une planète par une sphère
d’inﬂuence dans laquelle s’applique l’intéraction gravitationnelle. Le rayon de cette
•
v→1
sphère est R∞ . On étudie la trajectoire
d’un satellite entrant dans cette sphère.
α
Justiﬁer que le mouvement est plan. Trouver une relation entre v1 et v2 , respectiveRoo
ment les vitesses d’entrée et de sortie de la
sphère. Comment s’appelle cet eﬀet ?
On propose un autre trajet :
a. orbite de la Terre ;
b. allumage des moteurs pour passer sur l’orbite de Vénus, considérée
comme circulaire ;
c. rencontre avec Vénus ;
d. allumage des moteurs pour passer sur une orbite dont le périhélie
est l’aphélie de Mercure ;
e. passage sur l’orbite de Mercure ;
f. rencontre avec Mercure.
Comparer les deux trajets d’un point de vue énergétique. Quels sont
les avantages et inconvénients du deuxième trajet ?
Connaissez-vous une sonde ayant utilisé cet eﬀet ?
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 53
Planche 34
On s’intéresse au champ magnétique au voisinage de Mercure. Ce
champ provient de trois sources :
M ;
- le champ créé par Mercure B
S ;
- le champ créé par le Soleil B
E.
- le champ créé par un ﬂux d’électrons provenant du Soleil B
Z
Br
Ucapteur
U0
Bθ
θ
Bcapteur
−αB0
αB0
O
O
-U0
1) Le ﬂux d’électrons provenant du Soleil est isotrope et crée un
E correspondant.
courant d’intensité totale I0 . Calculer le champ B
On ne prendra pas en compte ce champ dans la suite.
2) On modélise la planète Mercure comme un dipôle magnétique
d’axe Oz de moment magnétique M0 . On place un capteur de champ
π
magnétique en θ = , sur la surface de Mercure. On mesure un
2
champ B0 = 0, 5 Tesla. Calculer M0 . On donne RMercure = 2500 km.
3) On considère que le Soleil est assez loin de Mercure pour considérer
S = Buz est uniforme. Montrer qu’il existe un lieu sur lequel
que B
soit Bθ = 0, soit Br = 0 où Br et Bθ sont les composantes du champ
total en coordonnées sphériques. Calculer B pour que ce lieu soit la
surface de Mercure. Tracer les lignes de champ magnétique dans ces
deux cas.
4) On considère à nouveau B quelconque. On place deux capteurs
sur la surface de Mercure. Le capteur 1 mesure le champ magnétique
Br , le capteur 2 mesure le champ magnétique Bθ . On place dans
cette question les deux capteurs à θ = 70◦ et on règle α = 1.
a) Les deux capteurs aﬃchent un signal nul. Que dire de B ?
b) Le capteur 1 aﬃche une tension positive et le capteur 2 aﬃche
une tension nulle. Que dire de B ?
c) Caractériser B dans toutes les autres combinaisons possibles des
capteurs.
5) Trouver le meilleur couple (α, β) pour que la mesure de B se fasse
sur trois intervalles égaux de longueur ∆B0 à déterminer.
Planche 35
Le Michelson comme spectromètre.
On éclaire un Michelson dont les deux miroirs sont symétriques par
rapport à la séparatrice (il fallait comprendre lame d’air et e = 0).
On observe l’image d’interférences à l’inﬁni (dans le plan focal image
d’une lentille). On chariote l’un des miroirs à l’aide d’un moteur
et on a x = vt où x est la distance entre les deux miroirs. On
place au niveau de l’écran un détecteur donnant une image s(t)
proportionnelle à l’éclairement E(x). Les deux voies reçoivent une
intensité égale depuis la source.
x peut varier de −Lmax à +Lmax (10 cm).
1)a) On éclaire avec une source monochromatique. Donner la formule
de s(t).
1)b) Donner la fréquence et la période du signal. Peut-on l’observer
à l’oscilloscope ? (à l’oral : peut-on l’observer à l’oeil nu ?)
On éclaire maintenant avec deux sources de nombres d’ondes σ1 et
σ1 + σ2
·
σ2 et on pose ∆σ = σ1 − σ2 et σ0 =
2
2)a) Donner E(x) en fonction de σ0 et ∆σ. Le tracer. Pour quelles
valeurs xn a-t-on brouillage ?
2)b) Quelle valeur ∆σ peut-on mesurer au minimum ?
Application : peut-on distinguer les deux raies du doublet jaune du
sodium (λ = 580, 0 nm et λ = 580, 6 nm).
2)c) Combien de raies peut-on voir entre deux battements ?
3)
étendue émettant un spectre rectangulaire
On prend une source
∆σ
∆σ
σ0 −
; σ0 +
.
2
2
3)a) Valeur de E(x). Valeur de x1 et x−1 premiers minimums
d’éclairement.
3)b) Valeur minimum de ∆σ.
Application à la raie verte du mercure (λ = 546, 0 nm).
Question orale : que se passe-t-il si l’on remplace le doublet de
longueur d’onde par les deux raies étendues (chacune ayant un
spectre étendu) ?
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
École Polytechnique − option MP
Planche 36 Sup
On a une lentille obtenue en coupant un
cylindre de rayon R, d’indice n. Trouver le
foyer. Commentaires du candidat en 11.
L
e
Planche 37
On a une plaque, inﬁniment ﬁne, posée verticalement en équilibre sur
le sol, avec un coeﬃcient de frottement f , une légère perturbation
latérale la fait vaciller. Que se passe-t-il ?
Planche 38 Sup
On considère un disque dans le plan (xOy), centré en O. D’une part,
quatre ressorts sont ﬁxés en quatre points du périmètre (avec un
écart d’un quart de cercle entre chaque point), et d’autre part à une
même masse ponctuelle m, initialement placée en O. On écarte la
masse m d’une petite distance par rapport à O. De plus, on met
le disque en rotation à vitesse uniforme autour de l’axe (Az), où A
est le point d’attache de l’un des ressorts. Déterminer l’équation du
mouvement de m.
Planche 39
On dispose parallèlement deux conduites parallélépipédiques, séparées
par une feuille de métal d’épaisseur
e. Les caractéristiques du métal
sont connues. Il circule un même
ﬂuide dans les deux conduites, à
la même vitesse mais en sens contraire. On connaı̂t les caractéristi
ques du ﬂuide et la température à
l’entrée des conduites. Trouver les
proﬁls de température.
e<< a<< b << L
v
métal
→
-v
•
b
Planche 40 Sup
On accroche deux tiges au plafond, sans masse, de
longueur l, avec une masse m au bout de chacune.
On ajoute deux autres tiges sans masse de même
longueur l au niveau de chaque masse (les tiges
X
forment un losange). À la jonction des deux tiges m
du bas, on place une masse m , reliée au sol par
un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle.
On fait tourner l’ensemble à vitesse angulaire ω
autour de l’axe de symétrie. On appelle α l’angle
entre les tiges du haut et la verticale. Déterminer
le(s) angle(s) α de(s) position(s) d’équilibre.
Z
ω
Y
O
α
m
A
m'
k
Planche 41 Sup
On considère une enceinte cylindrique de section S fermée par un
piston mobile de masse m. L’enceinte et le piston sont calorifugés.
À l’instant initial, l’enceinte contient 1 g d’hélium et l’ensemble est
à l’équilibre.
1. On appuie brusquement sur le piston de façon à le faire descendre
d’une hauteur δ et on le maintient en position. Déterminer le nouvel
état du gaz à l’équilibre.
2. Calculer la variation d’entropie.
3. À partir de la position précédente, avec δ petit, on lâche le piston.
Déterminer la période des oscillations.
Planche 42 Sup sauf PCSI Chimie
1. Donner la conﬁguration électronique de l’état fondamental de
l’aluminium.
2. Donner le nombre d’électrons de valence.
3. Quel est l’ion susceptible de se former ?
L’aluminium solide est un métal cristallisé dans une structure cubique à faces centrées de paramètre de maille a = 405 pm et de
masse molaire M = 27 g.mol−1 .
4. Représenter une maille conventionnelle cfc et calculer le rayon
métallique de l’aluminium.
5. Donner la coordinence et le nombre d’atomes par maille.
6. Calculer la masse volumique de l’aluminium.
7. Al3+ (aq) est susceptible de donner le précipité Al(OH)3 (s). Comment appelle-t-on un tel composé sachant que Al(OH)−
4 (aq) peut se
former en solution ?
8. Écrire les deux équilibres concernant cet élément.
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Planche 43 Sup Chimie
L’exercice porte sur le mercure de nombres d’oxydation 0, I et II.
Couple Hg(OH)2 /Hg() Hg2+ /Hg22+ Hg2+ /Hg() Hg22+ /Hg()
E0
0,0977
0,91
0,85
0,80
Couple
E0
L
→
e
a
Les espèces considérées dans la solution sont Al(s), Al3+ (aq),
Al(OH)3 (s) et Al(OH)−
4 (aq). La concentration totale en aluminium
dissout est c = 1, 0.10−2 mol.L−1 . On travaille à 25 ◦ C.
9. Quel est le nombre d’oxydation de l’aluminium dans chacune des
espèces envisagées ?
10. Calculer le pH de précipitation et de redissolution de Al(OH)3 (s) ?
11. Écrire les demi-réactions d’oxydoréduction à considérer selon le
pH envisagé et tracer le diagramme potentiel-pH de l’aluminium.
Préciser l’espèce prédominante dans chaque zone du diagramme.
12. On rappelle les équations des droites du diagramme Π − pH
de l’eau pour les couples respectifs H2 O/H2 : E = −0, 06pH et
O2 /H2 O : E = 1, 23 − 0, 06pH.
L’aluminium métal est-il stable en solution aqueuse ? En réalité,
il se recouvre d’ue couche d’alumine (Al2 O3 ) qui le protège de la
corrosion. Comme s’appelle ce phénomène ?
Données : Ks (Al(OH)3 (s)) = 10−32 , K(Al(OH)3 (s) / Al(OH)−
4 (aq) )=40
N = 6, 02.1023 mol−1 .
Page 55
02 /H2 O
1,23
Zn(OH)2 /Zn
-1,249
1. On se place en solution aqueuse acide. Donner la demi-équation
du couple Hg2+ /Hg22+ .
2. On a une solution contenant Hg22+ à pH= 0 dans laquelle on
dissout de l’oxygène de l’air. Justiﬁer qualitativement l’oxydation de
Hg22+ et écrire l’équation de la réaction d’oxydation de Hg22+ par O2 .
3. Industriellement, pour compenser cette oxydation, on ajoute du
mercure liquide dans la solution de Hg22+ .
• Écrire la réaction qui régit ce qui se passe alors.
• Donner la valeur de la constante d’équilibre de cette réaction.
4. Application : on a une solution contenant 0, 1 mol.L−1 de Hg22+ .
Hg22+ s’oxyde au contact de l’air et lorsque tout l’oxygène a disparu
on a 0, 02 mol.L−1 de Hg2+ .
• Calculer la concentration restante de Hg22+ dans le mélange.
• On ajoute quelques gouttes de mercure liquide dans la solution.
Donnez la concentration de Hg2+ restante dans le mélange sachant
qu’il reste du mercure liquide à la ﬁn de la réaction. Donnez le
pourcentage de Hg2+ disparu.
Planche 44 Chimie
Thermochimie avec du cuivre et du dichlore.
On commence par faire un tableau de données, vide, avec les enthalpies de formation standard et les entropies standard de Cl2 (g) ,
Cu (s) , CuCl (s) et CuCl2 (s) .
∆f H ◦ ?
S◦ ?
Cl2 (g) Cu (s) CuCl (s) CuCl2 (s)
?
?
?
?
?
?
?
?
Le tableau complété se trouve en 10.
1. Quelles valeurs connaissez-vous ?
2. Après avoir complété le tableau : quelles sont les unités utilisées
pour les valeurs données ?
On travaille sur la plage de températures 0 − 500◦ C.
3. Calculer l’enthalpie libre standard (en fonction de T ) des réactions
de formation de CuCl (s) et CuCl2 (s) à partir de Cu et Cl2 (g) , pour
une mole de Cl2 (g) , en utilisant une approximation appropriée.
4. Que fait-on dans le cadre de l’approximation d’Ellingham ?
5. Tracer l’enthalpie libre standard en fonction de la température,
pour les deux réactions.
6. On s’intéresse ensuite à une troisième réaction qui donne CuCl2 (s)
à partir de CuCl (s) et Cl2 (g) .
Calculer l’enthalpie libre standard ; la tracer avec les précédentes.
7. Relier l’enthalpie libre standard à la pression en dichlore à
l’équilibre, puis le rapport entre la pression en dichlore et l’endroit
où on se trouve sur le diagramme.
8. Ensuite, on prend un morceau de cuivre et on augmente peu à peu
la pression en Cl2 (g) , à température ﬁxée. Que se passe-t-il ?
9. Comment CuCl (s) va-t-il avoir tendance à réagir ?
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
École Polytechnique-ESPCI − option PC
Planche 54
Planche 45
On considère une corde de piano de longueur L selon l’axe (Ox), ﬁxée
à ses deux extrémités, parcourue par un courant continu I et placée
= B0ex . La corde est horizontale au
dans un champ magnétique B
repos.
Étudier son mouvement si on lui imprime un très léger mouvement
selon ey .
Après les calculs : quel type d’onde peut se propager ?
La solution du candidat en 12.
Planche 46 Défaut sur un ﬁl
Soit un ﬁl, cylindrique, de longueur L, de section de rayon a << L.
1. On considère que le ﬁl a une conductivité γ. Calculer sa résistance.
2. On considère maintenant qu’au centre du ﬁl, il y a un défaut :
une tranche ﬁne du conducteur est de conductivité σ sur une petite
longueur b et de conductivité σ sinon. Calculer sa résistance.
3. On considère maintenant que ce défaut n’est plus une tranche du
barreau mais possède une forme sphérique : il y a au centre du ﬁl
de conductivité σ une sphère de rayon b de conductivité σ . Calculer
la densité de courant volumique en tout point du ﬁl. On supposera
b << a << L.
Planche 47
On modélise l’aile d’avion par un cylindre, de rayon a = 1 m et de
longueur L >> a, qui se déplace à la vitesse V0 = 100 km/h.
Montrer que l’on peut supposer l’écoulement incompressible.
Calculer le champ de vitesses, de pression, la force linéique exercée
sur l’aile.
Planche 48
On enroule plusieurs couches d’un ﬁl d’épaisseur autour d’un
cylindre de rayon r, puis on laisse tomber le cylindre sans vitesse
initiale. Comment choisir pour que l’eﬀet yoyo soit maximal ?
Planche 49
Soient deux plaques conductrices de longueur L, largeur b, séparées
par une distance a, reliées À leurs extrémités transversales formant
une bobine très allongée.
On considère que L >> b >> a.
Déterminer l’énergie magnétique stockée après un court courant I.
En déduire la force entre les deux plaques dans les deux cas :
• un générateur idéal de tension impose une intensité constante I.
• le circuit est livré à lui même.
Planche 50
On considère une bulle qu’on charge électriquement à 100 V. Elle
éclate. Donner le potentiel de la goutte d’eau formée.
Par la suite, estimer à partir de quel potentiel électrique la goutte
devait éclater.
Planche 51
On considère une sphère de rayon a, et d’épaisseur h avec h << a. Elle
est dotée d’une conductivité γ. La sphère est en contact avec un ﬁl
cylindrique de rayon b, avec b << a, celui-ci se situant diamétralement
de part et d’autre de la sphère.
Déterminer la résistance de la sphère.
Planche 52
Synthèse de cet molécule à partir de benzène
et de toute autre molécule minérale ou solvant.
Structure du complexe avec/sans les doubles
liaisons entre les cycles. Stabilité du complexe sans les doubles liaisons en fonction de
l’ion 2+ des atomes entre Ti et Zn.
Planche 53
HCHO
O
HCl
A
P(C6H5)3
CO2C2H5
O
B
F
C
EtNH2
E
PCl3
D
1) KOH
2) H2O, H+
Déterminer A, B, C, D, E et F.
Commentaires et réponses du candidat en 13.
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 57
Sup
Chimie
I) Combustion de l’octane
Dans cette partie, on s’intéresse à l’étape de combustion du mélange
air-carburant, qui fait partie du cycle de fonctionnement d’un moteur à explosion. On considère un mélange gazeux constitué de
n = 0, 0400 mol d’air et de n = 2, 10 mol d’octane C8 H18 , se trouvant, à la suite d’une phase de compression, dans les conditions suivantes : V0 = 0, 125 L ; T0 = 673 K et P0 = 18, 4 bar. Le gaz subit
alors la transformation suivante : une étincelle provoque la combustion isobare, instantanée, de toute l’essence ; cette évolution est
également adiabatique pour l’ensemble du système réactif.
Données : R = 8, 314 J.K−1 .mol−1 ;
∆f H ◦ à 298 K (kJ.mol−1 )
Cpm (J.K−1 .mol−1 )
C8 H18 (g) CO2 (g) H2 O (g)
−209
−394
−242
190
37
34
1) Écrire et équilibrer la réaction de combustion de l’octane avec le
dioxygène de l’air.
2) Calculer l’enthalpie standard de cette réaction à 298 K.
3) Calculer l’enthalpie standard de cette réaction à T0 .
L’air est composé, en pourcentage molaire, de 20% de O2 et de 80%
de N2 .
4) Justiﬁer que l’énergie thermique dégagée par la combustion de
l’octane sert à échauﬀer les gaz de combustion de T0 à T1 .
5) Faire un bilan - molaire - des espèces présentes en début puis en
ﬁn de combustion.
6) Calculer la température T1 en ﬁn de combustion.
II) Chimie organique
O
Cl
+
Cl
COOEt
NaH
COOEt puis neutralisation
(10.1)
1) NaOH, H2O
2) H+, ∆
(10.2) + CO2
Planche 55 TP : Un Michelson un peu modiﬁé
Matériel : Michelson, lunette, papier cartonné blanc ou noir, ﬁltre
vert, ﬁltre jaune, lames biréfringentes escamotables intégrées au
Michelson (devant les miroirs), lampe à vapeur de mercure, lampe
de poche, papier semi-transparent pour avoir une lumière diﬀuse.
Expérience : Tout d’abord régler la lunette et faire l’autocollimation
tour à tour sur le miroir ﬁxe et le miroir mobile du Michelson.
Ensuite régler le Michelson pour observer les anneaux avec une lampe
au mercure. (avec e = 0 et α = 0). Une fois les anneaux observés,
régler le miroir mobile de façon à ce que les anneaux restent inchangés
quel que soit l’angle sous lequel l’observateur les regarde. On obtient
un réglage avec α proche de 0. Diminuer ensuite e jusqu’à ce que les
anneaux se transforment en 4 à 5 franges. Là je ne me souviens plus
de ce qu’il fallait faire. Je sais que j’ai dû utiliser un ﬁltre pour isoler
la raie verte, puis un autre pour isoler le doublet jaune.
Une fois sur le doublet jaune, il fallait repasser aux anneaux et
montrer que l’on avait un brouillage des anneaux pour (je ne suis
plus sûr) δ = p + 1/2 avec p ∈ N. Il fallait faire les mesures des e lors
du brouillage et les reporter sur un graphe. La molette pour charioter
était munie de deux verniers cylindriques (un précis et un très précis)
indépendants dont j’ai été incapable de me servir : les mesures devait
être eﬀectuées avec le vernier très précis, mais il n’était pas gradué
sur une distance suﬃsamment grande pour eﬀectuer toute la série
de mesures, il fallait donc aussi bouger le réglage plus grossier, mais
cela faisait perdre les repères...
Il fallait ensuite se placer à e proche de 0, puis passer en lumière
blanche et trouver les anneaux. Il y avait une série de questions sur
la couleur de la frange centrale, ce que l’on pouvait en déduire quant
aux réﬂexions, la raison pour laquelle les interférences était seulement
à proximité immédiate de e = 0, et d’autres. Une fois les interférences
obtenues en lumière blanche, il fallait ajouter un polariseur entre
la source et la séparatrice, refaire une autocollimation sur les deux
miroirs en même temps pour superposer les deux images du réticule,
sans qu’elles soient confondues avec le réticule lui-même. On ajoutait
alors deux lames biréfringentes avant chaque miroir et il fallait
déterminer leur biréfringence.
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Concours Commun Centrale-Supélec − option MP
Planche 56 Avec Maple
On s’intéresse à la cuisson au barbecue
de deux modèles de saucisse :
diamètre dS = 2 cm
− la saucisse de Strasbourg (S)
longueur lS = 10 cm
diamètre dT = 4 cm
− la saucisse de Toulouse (T )
longueur lT = 20 cm.
1. Commenter en conﬁrmant ou inﬁrmant les diﬀérentes propositions
suivantes, en justiﬁant votre réponse.
(a) Le volume d’une saucisse (T ) est 8 fois plus important que celui
d’une saucisse (S), donc il en est de même des capacités caloriﬁques.
Le temps de cuisson de (T ), noté tT , est donc 8 fois plus long que
celui de (S), noté tS .
(b) La puissance thermique de (T ) est 8 fois plus importante que
1
celle de (S) donc tT = tS .
8
d
(c) La vitesse de cuisson v = τ est constante donc tT = 2tS .
d2
(d) Le coeﬃcient de diﬀusivité D = τ est constant donc tT = 4tS .
d est une longueur caractéristique de la géométrie de la saucisse.
2. La braise du barbecue est assimilée à un corps noir. En ne considérant que les échanges radiatifs, déterminer l’équation diﬀérentielle
vériﬁée par T , la température de la saucisse, supposée homogène.
Déterminer le temps de cuisson à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
3. Le fait que les saucisses soient collées les unes aux autres
augmente-t-il le temps de cuisson ou le diminue-t-il ?
Planche 57 Sans Maple
On étudie le circuit ci-contre où O
est un oscillateur délivrant une tension sinusoı̈dale d’amplitude 10 V et
de fréquence 1 kHz, M est décrit
plus bas, F est un ﬁltre passe-bas,
I est un intégrateur et V est un
voltmètre.
M
Um
Uo
M
Um
F
Uf
I
Us
V
Us
Multiplieur
y
X
z=kxy, k=0,1V-1
Us
Re
X
Us
X
Rx
Um
But de l’exercice : on dispose de résistances étalons Re et on veut,
à l’aide de ce montage, mesurer la valeur de la résistance Rx en
mesurant la tension de sortie Us à l’aide du voltmètre V .
1. Sachant que F laisse passer des éventuelles composantes continues et le signal de plus basse fréquence, déterminer l’équation
diﬀérentielle qui porte sur Us .
2. L’intégrateur doit-il être inverseur ?
3. Décrire le fonctionnement du montage. Déterminer quelle valeur
prendre pour Re par gamme de mesure de Rx .
Évaluer l’incertitude de mesure de Rx .
Planche 58 Avec Maple
On appelle oscillateur paramétrique toute grandeur X(t) dont
l’évolution est donnée par une équation diﬀérentielle de la forme :
d2 X
dX
+α
+ ω02 (t)X = 0
dt
dt2
R
L
Figure 1.
X, k
uC(t)
C0
Fonctionnement du multiplieur.
L’impédance d’entrée en inﬁnie.
L’impédance de sortie est nulle.
La tension de saturation est US .
Le multiplieur fonctionne si | us (t) | < US
On a alors us (t) = ku(t)v(t)
uS(t)
uP(t)
X, k
u
v
uS(t)
1. Montrer que le circuit représenté en ﬁgure 1 permet de réaliser un
oscillateur paramétrique. Calculer α et ω0 en fonction de R, L, C0 ,
uP (t) et k.
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 59
uP(t)
h
t
t2
uS(t)
Expliquer qualitativement l’évolution de uS (t) donnée ci-contre.
On mettra en évidence des modes
de fonctionnement diﬀérents.
t
t1
t2
3. On suppose que uP (t) = UP cos(ωP t) et que uC (t) = UC cos(Ωt+ϕ)
avec LCΩ2 = 1.
Calculer la puissance instantanée p(t) fournie par le multiplieur.
Calculer la valeur moyenne < p(t) > sur une période telle que
τ >> 1/Ω et τ >> 1/ω0 ·
À quelle condition, liant ωP et Ω, cette puissance est-elle non nulle ?
À quelle condition y a-t-il apport de puissance au système ? Comparer avec les modes de fonctionnement de la question précédente.
Planche 59
Un canon à neige pulvérise une goutte d’eau spérique à la température
Ti = 10 ◦ C à la température Te = −15 ◦ C. On note R le rayon
de la goutte et on suppose que sa température est uniforme. La
goutte reçoit de l’air des échanges thermiques modélisés par un ﬂux
conducto-convectif dΦ = h(T − Te )dS.
1. Calculer le temps nécessaire pour que la goutte atteigne la
température de surfusion Ts = −5 ◦ C.
On suppose que l’eau reste à l’état liquide.
2. À T = −5 ◦ C, l’état de surfusion est rompu. Calculer alors la
fraction massique de glace qui se forme.
On pourra supposer la transformation adiabatique.
3. Calculer le temps nécessaire à la solidiﬁcation du reste de l’eau.
Planche 60
z
Uo
<=>
Uo
O
2. Entre les instants 0 et t2 ,
on applique une tension
uP (t) = h cos(ωP t)
et pour t > t2 on a uP (t) = 0,
comme donné ci-contre.
Sup
Soit un circuit résistif passif (C) alimenté par un générateur de
tension idéal, une inductance L due aux ﬁls, et un interrupteur K.
Le circuit (C) délivre une puissance moyenne P0 . Le générateur de
tension idéal a une tension eﬃcace U0 et une fréquence f .
1- Exprimer la resistance R du circuit (C).
2- À partir d’un instant t = t0 , l’interrupteur K se comporte comme
un condensateur de capacité C. On appelle u(t) la tension aux bornes
de ce condensateur. À partir du moment où u(t) atteint la valeur
ud , une étincelle se produit entre les deux bornes du condensateur.
Établir l’équation diﬀérentielle vériﬁée par u(t) et les conditions
initiales adéquates.
3- Montrer que la tension u(t) passe par deux étapes avec deux phases
diﬀérentes.
Planche 61
On donne une onde incidente
z
Z
de champ : =E
exp j(ωt − kX) .
E
i
0i
L’espace z < 0 est un conducteur parfait et pour z > 0 on
pellicule
45°
a le vide. On cherche l’onde
x
α
réﬂéchie sous la forme
conducteur parfait
exp j(ωt − kZ) .
=E
E
r
0r
1. L’onde incidente est polarisée suivant uZ .
X
.
1.a. Déterminer E
0r
2
1.b. Déterminer la moyenne temporelle < E(M, t) > de E(M,
t) 2 ,
où E(M, t) est le champ électrique total en M à l’instant t.
2. Mêmes questions avec une onde incidente polarisée suivant uY .
3. On place une pellicule photographique qui forme un angle α avec le
conducteur et on suppose qu’elle ne perturbe pas le champ électrique
2 > est maximal.
calculé plus tôt. Elle est impressionnée là où < E
3.a. Que se passe-t-il dans chacun des deux cas ?
3.b. L’oeil distingue les détails de plus de 0, 5 mm ; comment placer
la pellicule (i.e. comment choisir α) pour que l’on puisse y distinguer
les détails ?
2 > qui
4. Dire, sans calcul, ce qu’il se passerait si c’était < B
causait l’impression de la pellicule. Commenter.
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Concours Commun Centrale-Supélec − option PC
Sup
Planche 62
On considère le système optique suivant : deux lentilles successives
(L1 ) et (L2 ) de distances focales respectives a et −a (a > 0) et de
centre O1 et O2 , distants de e.
1) Construire dans le cas particulier e = 3a les points F et F , foyers
objet et image du système optique. Calculer dans le cas général O1 F
et O2 F en fonction de e et a.
2) On place un objet AB perpendiculairement à l’axe optique où A
est au foyer objet de la lentille (L1 ). Tracer l’image de AB par le
système optique et calculer le grossissement en fonction de e et a.
3) On pose f = F1 F et f = F2 F . Déterminer f et f en fonction de
e et a.
4) Pour quelles valeurs de O1 A l’image de A est-elle réelle ?
Ta(x,t)
Te
Planche 63
I) Le chauﬀe-eau est constitué
de deux plaques, de longueur
eau
v
T(x,t)
v
L et de largeur l, séparées
e
d’une distance e. L’une est
isolante (celle du bas), l’autre
isolant
L
est appelée absorbeur .
L’absorbeur réalise des transferts thermiques, vériﬁant la loi de
Newton, avec l’eau et l’air (à température constante et uniforme Te ),
avec les coeﬃcients respectifs h et h . L’eau circule avec une vitesse
constante v. La puissance fournie par le Soleil à l’absorbeur vaut P .
On néglige la conductivité thermique de la plaque et de l’eau et la
chaleur massique de la plaque.
1) Montrer que T et Ta sont reliées par la relation
Ta (x, t) = Te + αT (x, t).
Exprimer Te et α.
2) Montrer que Ta et T sont reliées par l’équation diﬀérentielle :
dT
dT
+
. Exprimer K.
K.(Ta − T ) = v
dx
dt
3) On suppose le régime stationnaire établi, dans toute la suite de
l’exercice. Que devient l’équation diﬀérentielle ?
4) Déterminer T (L) en fonction de T0 la température en x = 0.
5) Calculer le rendement η, déﬁni comme la puissance fournie divisé
par la puissance reçue par l’eau. Formulaire :
loi de Newton → puissance reçue par unité de surface : h(T − T )
II) On modélise un atome d’hydrogène par un proton de charge +e
et un nuage électronique de densité volumique de charge
ρ(r) = −K. exp(−r/δ).
uniforme à l’atome. On suppose en
On applique un champ E
première approximation que la forme et la densité de charge du nuage n’évoluent pas au cours du mouvement. Montrer qu’il apparaı̂t
un moment dipolaire p.
Planche 64 Sup II
I) On a deux disques en rotation autour de l’axe Oz, de même
rayon a. Le disque 1 (D1 ) est à la cote z = 0 et le deuxième
(D2 ) à z = e, on a a >> e, donc on peut négliger les eﬀets de
bords en r = a. Entre les deux disques il y a un ﬂuide visqueux
incompressible, de masse volumique ρ et de viscosité η. D1 tourne à
la vitesse angulaire ω1 et D2 à la vitesse ω2 . On donne le champ des
vitesses : v (M, t) = v(z, t).eθ (schéma associé : le viscosimètre).
1) justiﬁer la forme du champ de vitesse : v (M, t) = r.ω(z, t).eθ .
Commentaire sur la réponse attendue en 15.
2) Si on a v(z), la force exercée par une couche de ﬂuide sur celle
dv
au-dessus est dF = η.
· dS.eθ . On considère un petit volume
dz
élémentaire du ﬂuide compris entre r et r + dr, θ et θ + dθ et z
et z + dz. Quelles sont les forces qui s’appliquent sur ce volume
élémentaire ?
3) a) Appliquer le TMC au petit élément de ﬂuide pour trouver
l’équation de diﬀusion.
b) On se place en régime permanent. On a ω1 et ω2 qui sont
constantes. Trouver ω.
c) Quel est le couple que le ﬂuide exerce sur le disque 1 ? Déﬁnir un
coeﬃcient de frottement entre les 2 disques.
d) Application numérique. Calculer f . Données pour l’huile de ricin :
ρ = 0, 965 g.cm−3 , η = 1015 mPa.s.
e) Vériﬁer que l’on est bien en régime laminaire.
4) L’ensemble du système est initialement au repos. À t = 0 on a
ω2 = Ω et ω1 = 0. Déterminer l’ordre de grandeur de la mise en
place du régime permanent.
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 61
II) Un corps de capacité caloriﬁque m.cp passe de sa température
initiale T0 à la température Tf en étant mis en contact avec successivement n sources de chaleur de température (Ti )1in à pression
Ti+1
constante égale à P0 . On note α =
· Déterminer ∆S, Se et Sc
Ti
en fonction de n, α, m.cp , T0 et Tf . Que se passe-t’il si n tend vers
l’inﬁni ?
Planche 65 Optique avec logiciel.
1) Représenter le dispositif de deux fentes diﬀractantes à l’inﬁni avec
une lentille de distance focale f = 1 m. La hauteur des fentes est très
grandes par rapport à leur largeur a, les deux fentes sont distantes
de b. Les fentes sont éclairées par une lampe à vapeur de sodium (de
longueur d’onde : 589,0 et 589,6 nm)
2) Calculer l’intensité diﬀractée sur un point M (x, y) de l’écran en
fonction de a et b.
3) On dispose d’un logiciel qui montre la ﬁgure de diﬀraction des
fentes (i.e. des fentes d’Young verticales) et sur lequel on peut faire
des mesures de distance et des zooms.
a) Calculer a.
b) Calculer b.
c) Cette ﬁgure met-elle en évidence le doublet du sodium ?
Proposer un autre dispositif interférentiel qui le mette en évidence.
Planche 66
Sup
On a un pendule de masse m, de longueur l, attaché à un chariot de
masse M .
1) Le chariot est ﬁxe. Rappeler sans démonstration le type de
mouvement du pendule, ainsi que la pulsation ω0 caractéristique de
ce mouvement.
2) Le chariot peut glisser sans frottement, et on note x l’abscisse de son
barycentre. Trouver deux équations
−θ0
diﬀérentielles liant x(t) et θ(t). Les
intégrer avec θ(0) = θ0 , x(0) = 0,
m
dθ
dx
(0) = 0 et
(0) = 0. Étudier
M
dt
dt
le mouvement si M >> m et si
d
D
M << m. On introduira ω1 = ω0 .
3) Le chariot est initialement collé à un mur, et le pendule est lâché
d’un angle θ(0) = −θ0 . On note t0 l’instant où le pendule passe à
la verticale. Étudier le mouvement pour t < t0 et t > t0 . Tracer θ(t)
et x(t).
4) Un autre mur est en x = D. trouver le temps t1 où le chariot
rencontre ce mur. Y a-t-il collision ? Quel est le mouvement pour
t > t1 ?
.
Planche 67
Sup
Avec logiciel de tracé de courbes.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O, x, y, z). On
considère une particule de charge q positive et de masse m. Elle
possède une vitesse initiale v0 contenue dans le plan Oxy et évolue
= Buz ,
= Euy et B
dans un espace où règnent les champs E
uniformes et constants dans le temps. On néglige l’action de la
pesanteur et la particule se trouve à l’origine à l’instant initial. On
E
pose ω = qB/m et u = .
B
I / 1) Quelles sont les dimensions de ω et u ?
2) Déterminer un système d’équations diﬀérentielles vériﬁées par
x(t), y(t) et z(t).
Le logiciel informatique est calibré pour avoir ω = 1 U.S.I. et
u = 1 U.S.I. ; il trace y en fonction de x, ẋ(t) et ẏ(t). On peut changer
les paramètres, à savoir la vitesse initiale ainsi que la position initiale.
II/ 1) Résoudre le système pour v0 = 0.
2) Déterminer la trajectoire de la particule et donner les caractéristiques importantes de son mouvement.
3) Calculer la vitesse moyenne de dérive de la particule.
La particule est désormais soumis à une force de frottements ﬂuides,
modélisée par F = −f mv .
III/ 1) Quelle est la dimension de f ?
2) Déterminer le nouveau système diﬀérentiel.
IV / A l’aide du logiciel :
1) Observer l’inﬂuence de f sur la trajectoire, en faisant varier f de
0, 1 à 0, 5.
2) Calculer la vitesse de dérive au bout d’un temps long.
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Planche 68
I) On dispose d’une barre cylindrique de longueur L dont les
extrémités sont en contact avec des sources aux températures T1
et T2 . La paroi latérale est calorifugée.
1) En régime permanent, établir la loi T (x).
2) On coupe les thermostats T1 et T2 , et on isole thermiquement la
barre (même aux extrémités). Déterminer la température ﬁnale de
la barre.
3 )Calculer la variation d’entropie de la transformation précédente.
Quel est le signe du résultat attendu ? On justiﬁera par des considérations physiques et non mathématiques.
II) Dans un milieu neutre, une distribution uniforme de courants
j1 (M ) engendre un champ magnétique uniforme B1 (M ). Une nappe
j1 (M ).t
(D) de courants variables j1 (M, t) =
engendre un champ
τ
B1 (M ).t
magnétique de la forme B1 (M, t) =
τ
1) Quelle approximation permet de valider cette hypothèse ?
2)Montrer que (D) est responsable de la création d’un champ
électrique uniforme.
Planche 69
I) Une bouteille cylindrique de hauteur l, de rayon a contient de
l’eau liquide à T0 = 0 ◦ C et elle est placée à l’instant t = 0 dans
un congélateur où règne une température constante Te = −15 ◦ C.
À l’instant t, on a de la glace pour r appartenant à [R(t); a]. La
puissance échangée à la paroi de la bouteille est h(T e − Ta (t)) où
Ta (t) est la température en r = a et h une constante. On a c :
capacité caloriﬁque de l’eau, λ : conductivité thermique de l’eau.
1/ Donner l’équation aux dérivées partielles vériﬁée par T (r, t). On
se place dans l’A.R.Q.S. Quelle hypothèse cela nécessite-t’il ?
2/ Donner l’expression de T en fonction de Ta (t), T0 , a, R, r puis en
fonction de Ta (t), Te , a, R, h, r, λ.
3/ En déduire l’équation vériﬁée par R(t).
II) Un ﬂuide s’écoule dans une canalisation cylindrique de section
S1 . À partir d’un certain point, cette section est agrandie et passe
brutalement à S2 . A la surface S1 , la pression est P1 , uniforme, et
v1 = v1ex . À la surface S2 , la pression est P2 , uniforme, et v2 = v2ex .
1/ justiﬁer l’existence de zones mortes où le ﬂuide a une vitesse nulle.
2/ Calculer la puissance dissipée par les actions de viscosité lors du
passage de cet évasement.
Planche 70 Chimie
On s’intéresse à la formation de deux composés B et C aux propriétés
intéressantes vis-à-vis de la mise en œuvre de polymères.
1) Proposer la formation du 4-bromométhylbenzène à partir du
benzène et de tout autre réactif nécessaire à cette réaction. On
détaillera le mécanisme de chacune des réactions en justiﬁant la
régiosélectivité observée.
2) Ce composé est soumis à la suite de réactions suivantes :
a) hydrogénation par H2 sur catalyseur métallique ;
b) action d’une base concentrée à chaud ;
c) ozonation suivie d’un traitement par (CH3 )2 S ;
d) réduction par NaBH4 ;
e) action d’acide sulfurique concentré à chaud ;
f) ozonation suivie d’un traitement (CH3 )2 S, obtention de A.
Indiquer la nature des intermédiaires formés et la nature de A ;
détailler les mécanismes des réactions b) et e). On justiﬁera notamment la conformation nécessaire pour la réaction b).
Le spectre RMN1H de A est le suivant :
Déplacement δ (ppm)
Type de signal
Intégration
9,65
Singulet
2H
2,92
Multiplet
1H
2,79
Doublet de doublets
2H
1,12
Doublet
3H
3) a) Interpréter les signaux, et expliquer notamment la présence de
doublet de doublets.
b) A est réduit par NaBH4 puis déshydraté de nouveau par l’action
d’acide sulfurique concentré. On obtient un composé B de formule
brute C4 H8 . Donner la représentation de B et son nom dans la
nomenclature IUPAC.
4) a) Proposer la formation de l’acrylate de méthyle
H
O
| C : H2 C === C − C −O − CH3
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 63
à partir de 3-bromopropène et de méthanol.
b) On fait réagir B sur C à chaud, donner le mécanisme correspondant et justiﬁer cette réaction dans le cadre de l’approximation des
orbitales frontières, à l’aide du logiciel Hückel.
5) B et C sont deux monomères faciles à mettre en pratique dans
des réactions de polymérisation.
a) Justiﬁer que ces deux composés soient propices à une polymérisation de type anionique.
b) Donner le motif de répétition du poly-acrylate de méthyle.
c) Le composé B polymérise, soit suivant une addition (1,2), (3,4) ou
(1,4). Dans ce dernier cas, on observe des conformations de type cis et
trans. Représenter l’unité de répétition de chacun de ces polymères.
II) On place dans un récipient, initialement vide, du carbamate
d’ammonium qui se dissocie en ammoniac et dioxyde de carbone
selon la réaction :
NH2 COONH4 (s) 2NH3 (g) + CO2 (g). Le tableau ci-dessous fournit la pression dans le récipient en fonction de la température :
T ◦ (K) 283 291 298 304 309 313 318
P (bar) 0,038 0,069 0,116 0,174 0,243 0,298 0,413
Déterminer l’enthalpie standard de réaction ainsi que l’entropie
standard.
Concours Commun Centrale-Supélec − option PSI
Planche 71
Transformateur 5 kV, 220 V de puissance Pa = U I = 35 kVA avec
U , I les valeurs eﬃcaces. On a des pertes fer de 300 W et des pertes
Joule de 300 W.
I 1) Calculer I1 et I2 .
I 2) On choisit les enroulements tels que la densité volumique de
courant soit dans les deux bobinages j = 2 V.mm−2 . Montrer que
l’on a des pertes Joule égales de chaque côté.
I 3) Calculer les résistances de chaque bobinage, leur section et leur
longueur. (le cuivre a une résistivité de 1, 7.10−8 Ω.m).
II 1) On a une carcasse ferromagnétique de section S = 400 mm2 et
de longueur moyenne L = 1, 5 m. Le cuivre a une masse volumique de
8, 1 g.cm−3 . Calculer la puissance volumique dissipée par pertes fer.
II 2) On a la règle de Boucherot : U1 = 4, 44.f.Bmax .S.N1 . Calculer N1 et N2 . Expliquer d’où provient la formule. (f = 50 Hz,
Bmax = 1 T et on considère le milieu linéaire homogène et isotrope).
II 3) On ouvre au secondaire. On a alors le courant magnétisant
au primaire. Calculer la perméabilité magnétique relative minimum
telle que im ≤ 5 %. I1 , où I1 est le courant nominal.
Planche 72
Sup II
I) On considère un ﬂuide compressible se propageant dans une cavité
résonnante de direction x. On ne prend pas en compte les eﬀets de
la pesanteur. On fait l’approximation unidirectionnelle. On se place
dans le cadre de l’approximation acoustique.
1) Rappeler ce que cela signiﬁe. Donner les équations de propagation
pour la vitesse et la surpression acoustique.
2) On considère une onde se propageant dans le milieu comme la
somme de deux OPPH se propageant en sens inverse. On obstrue la
cavité en x = 0 et en x = L. Donner la forme de la vitesse.
3) a) On applique une surpression brève et intense à l’entrée de la
cavité. Décrire ce qui se passe.
b) On considère qu’une onde stationnaire à la pulsation ω0 crée un
son dans la cavité pendant une durée τ jusqu’à devenir inaudible.
Montrer que ce phénomène est compatible avec la présence de
frottements ﬂuides.
II) On s’intéresse à la réaction R − Cl + HO− R − OH + Cl−
où R-Cl est le composé 1-chloro-2-isopropyl-5-cyclohexane où le
substituant isopropyle est CH3 − CH − CH3 . Cette réaction peut
être décomposée en 3 actes simples :
R − Cl → R+ + Cl− de constante de vitesse k1 ;
R+ + Cl− → R − Cl de constante de vitesse k2 ;
R+ + HO− → R − OH de constante de vitesse k3 .
1) Donner la formule semi-développée de R − Cl. Combien y a-t-il
de carbones asymétriques ?
2) Donner la structure d’un carbocation. Donner les diﬀérents alcools
envisageables pour R−OH. Caractériser leur isomérie.
3) Écrire la loi de vitesse pour cette réaction en considérant que R+
est un carbocation. Cette réaction admet elle un ordre ?
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
Planche 73
On considère le circuit
K1
K3
suivant : Les interrupteurs
i3(t)
L
i1(t)
suivent une loi périodique
R
de période T = 2π/ω. On U0
i (t)
i2(t) c
i4(t)
uc(t)
pose θ = ωt et δ ∈ [0, π].
K2
K4
La loi des interrupteurs
est la suivante :
0 θ δ : K1 ouvert, K2 fermé, K3 ouvert et K4 fermé ;
δ θ π : K1 fermé, K2 ouvert, K3 ouvert et K4 fermé ;
π θ π + δ : K1 ouvert, K2 fermé, K3 fermé et K4 ouvert ;
π + δ θ 2π : K1 fermé, K2 ouvert, K3 fermé et K4 ouvert.
1) Tracer le chronogramme uc (θ).
2) Justiﬁer le fait que l’on puisse trouver θ0 de manière à avoir
+∞
an cos(n(θ − θ0 )) où : i) an = 0 si n = 2p ;
uc (θ − θ0 ) =
n=0
4U0
ii) an = nπ cos(nδ/2) si n = 4p + 1 ;
4U0
iii) an = − nπ cos(nδ/2) si n = 4p + 3.
3) Choisir θ pour annuler a3 . Montrer qualitativement que uc (t) est
quasi sinusoı̈dal.
4) Calculer la valeur eﬃcace de uc (t) et la comparer à la valeur
eﬃcace de son fondamental. Conclure. Calculer U0 pour que cette
valeur eﬃcace soit de 220 V.
5) On règle de plus R = Lω. Justiﬁer le fait que le courant est quasi
sinusoı̈dal dans la charge et calculer sa valeur eﬃcace.
6) Donner dans cette approximation le chronogramme de ic (θ) ainsi
que celui de i1 (θ), i2 (θ), i3 (θ) et i4 (θ).
7) Donner l’expression de la puissance moyenne reçue par la charge.
Planche 74 Sup Physique-chimie
I) On étudie un microscope mécanique composé par une masse m
suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à vide quasi-nulle.
Le ressort est suspendu à une distance d de la surface du matériau
étudié. On néglige la pesanteur et on a une force F dérivant de
l’énergie potentielle U (z).
1) Donner l’équation diﬀérentielle du second ordre donnant z.
2) Donner la position d’équilibre de la masse ze .
On se place maintenant au voisinage de ze . On pose z = ze + ε.
Donner l’équation diﬀérentielle en ε. À quelle condition la position
d’équilibre est-elle stable ?
B
A
avec A = 10−88 et B = 10−29 .
3) a)On prend U (z) = 7 −
z
z
Donner l’expression de F . On donne la courbe de F sur Maple (sans
dire que c’est elle).
Pour quelle valeur zm a-t-on un extrémum ? Comment peut-on
retrouver ze à partir de cette courbe ?
b) A-t-on attraction ou répulsion pour z >> zm et z << zm ?
c) À quels termes respectifs de l’énergie potentielle correspondent
ces comportements ?
II) Le bleu de Prusse est un précipité [Fe(CN)6 ]3 Fe4 obtenu par
réaction de Fe(CN)4−
sur Fe3+ selon
6
4−
[Fe(CN)6 ]3 Fe4 (s)
3 Fe(CN)6 +4 Fe3+ On s’intéresse à la chimie et l’électrochimie des espèces utilisées pour
3−
−
cette synthèse : Fe2+ , Fe3+ , Fe(CN)4−
6 , Fe(CN)6 , CN , HCN.
On a une solution avec [Fe2+ ] = [Fe3+ ] = 1 mol.L−1 .
1)Quel est le potentiel d’une électrode de platine plongeant dans
la solution ? Faire un schéma de l’expérience. Donner la valeur du
potentiel de l’électrode au calomel saturée en KCl.
2) On rajoute de l’acide HCN et l’on veut avoir [HCN] << [CN− ].
a) Donner la valeur du pH telle que cette condition soit valable.
Comment imposer le pH de la solution ?
b) Donner le potentiel apparent du couple Fe3+ /Fe2+ en présence
des ions cyanure.
3) On a une concentration c = 10−2 mol.L−1 d’acide HCN. A-t-on
une concentration en ion cyanure mortelle (1 µg.L−1 ) ?
4) Si une personne est empoisonnée, vaut-il mieux lui donner des
ions Fe3+ ou Fe2+ à concentration égale ?
Données : E ◦ (Fe2+ / Fe) = −0, 44 V ; E ◦ (Fe3+ / Fe2+ ) = +0, 77 V ;
Ks ([Fe(CN)6 ]3 F e4 ) = 3, 2.10−41
3+ + 6CN− Kd1 = 10−42
Fe(CN)3−
6 Fe
2+ + 6CN− Kd2 = 10−35
Fe(CN)4−
6 Fe
HCN H+ CN− Ka1 = 6, 3.10−10
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 65
Concours Commun Mines-Ponts − option MP
Planche 75 Sup I
I) Question de cours : Forces centrales, états liés et états de diﬀusion.
II) Exercice : L’ionosphère est un plasma dans lequel nous supposerons les ions ﬁxes et la densité locale de charge nulle. On considère de plus que règne dans ce plasma un champ magnétique sta 0 dirigé selon uz (champ magnétique tertionnaire et uniforme B
restre). On s’intéresse à la propagation d’un champ électromagnétique
B]
dans ce plasma selon une direction perpendiculaire au champ
[E;
magnétique terrestre. On notera n le nombre d’électrons par unité
de volume.
1) Écrire les équations de Maxwell dans le plasma et donner une
interprétation physique pour chacune de ces équations.
2) Réécrire ces équations dans le domaine des complexes.
3) Établir l’équation du mouvement d’un électron.
4) Montrer que le terme faisant intervenir B est négligeable dans
l’équation précédente (on précise que k reste de l’ordre de ω/c).
5) Établir l’expression du vecteur densité de courant dans le plasma.
et k (où k est le vecteur d’onde).
6) Donner deux relations entre j, E
7) On suppose que k est dirigé selon uy . Projeter ces équations selon
Ox, Oy et Oz.
8) Premier cas. Ez est non nul : déterminer la polarisation de l’onde.
Établir la relation de dispersion.
9) Second cas. Ez = 0 : déterminer la polarisation de l’onde.
Établir la condition nécessaire pour que l’onde se propage dans le
plasma sans s’atténuer.
Planche 76
Sup
x
I) On considère une corde, de masse
m2
négligeable, liée en O (origine d’un
m1
repère (O, ex , ey )) ﬁxe et en un point
A de l’axe Ox, où est suspendue une
y
A
masse M . Cette corde est plombée
M2
M1
par deux petites masses m1 et m2 , O
M
très petites devant M .
Au repos, on appelle M1 et M2 les points de l’axe Ox où sont environ
les masselottes. On note l1 = OM1 , l0 = M1 M2 et l2 = M2 A. On
suppose de plus que pour de petites oscillations, les mouvements
des masselottes sont verticaux, et qu’au repos, leurs ordonnées sont
quasi-nulles. Regarder le schéma.
1. Déterminer l’équation qui donne les pulsations propres des petites
oscillations des masselottes.
2. Que dire si m1 = m2 = m et l1 = l0 = l2 , et :
dy1
dy2
a) y1 (0) = a = −y2 (0) et
(0) =
(0) = 0 ;
dt
dt
dy2
dy1
(0) =
(0) = 0.
b) y1 (0) = a = y2 (0) et
dt
dt
II) On considère le schéma ci-contre.
R2
Le circuit est alimenté par deux tene
sions e1 et e2 . On appelle i l’intensité 1
R1
- ∞
qui circule à travers l’impédance z.
+
L’ampliﬁcateur opérationnel est sup- e2
R4
R1
posé idéal.
R3
1. Montrer que ce circuit se comporte comme une source de courant
Z
i pour une relation entre R1 , R2 , R3
et R4 que l’on déterminera.
2. Quelle est l’expression de i alors obtenue ?
Planche 77
Sup I
Question de cours : Interféromètre de Michelson en lame d’air.
I) Un satellite de masse m est en orbite circulaire, de rayon r0 , autour
de la Terre, de masse M , à vitesse v0 .
1/ Exprimer v0 et Em en fonction de r0 (Remontrer la formule de
Em fournie dans les données pour le cas circulaire).
2/ On augmente la vitesse du satellite de δv0 avec δv0 très petit et
très petit devant v0 . Quelle est la nouvelle trajectoire ? Exprimer sa
GmM
pour une trajectoire elliptique.
période. Données : Em = −
2a
II) Un laser de puissance P envoie une onde plane progressive.
Comment obtenir l’amplitude des champs électrique et magnétique ?
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
Concours Commun Mines-Ponts − option PC
Planche 78
I) On dispose d’un photo-récepteur et d’une vitre d’épaisseur e
devant lui, face au Soleil. On considère que le photo-récepteur est
un corps noir. La vitre est transparente pour le domaine du visible
et totalement absorbante pour le domaine de l’infra rouge. On note
h le coeﬃcient pour la diﬀusion par convection entre l’air et la vitre,
σ la conductivité de la vitre et λ le coeﬃcient de diﬀusion. On note
φ la puissance surfacique émise par le Soleil.
Calculer, en régime stationnaire, la température du photo-récepteur
dans les deux cas suivants :
- le photo-récepteur est collé à la vitre ;
- il y a un espace entre la vitre et le photo-récepteur.
II) On considère deux rails conducteurs et parallèles sur lesquels reposent perpendiculairement deux résistances T1 et T2 , de résistance
R/2. Ces deux résistances se déplacent le long des rails, sans frottement. Ces deux points sont respectivement liés à O1 et O2 par un
ressort (k, 0 ). Les rails et les résistances sont dans le même plan.
On applique un champ magnétique uniforme et constant selon la
verticale.
Que se passe t-il qualitativement ?
Quelles sont les équations qui régissent le mouvement de T1 et T2 ?
Planche 79
Sup I
I) Soit un référentiel
galiléen (O, x, y, z). On considère la distribution
πx
ρ(x) = ρ0 cos a si | x | < a
de charge :
ρ(x) = 0 si | x | a
a) Déterminer le potentiel électrostatique en tout point sachant qu’il
est nul à l’inﬁni.
b) Une charge ponctuelle q, de masse m, est située initialement
en (−a, 0, 0) avec une vitesse v0 = v0 ux (v0 > 0). Arrivera-t-elle à
traverser la distribution de charges ?
II) Un milieu solide de conductivité thermique λ, de capacité thermique massique c et de masse volumique µ occupe tout l’espace.
a) Une sphère centrée en O, de rayon a, émet par unité de volume
une puissance p > 0 uniforme, le reste de l’espace n’émettant rien.
Sachant que la température à l’inﬁni est T0 , donner la température
T en tout point de l’espace.
b) On ajoute en un point O une seconde sphère identique, mais
émettant une puissance volumique p = −p. Donner le proﬁl des
isothermes.
Planche 80
I) Question de cours : puissance instantanée et puissance moyenne
dans un circuit en régime sinusoı̈dal forcé.
de la forme : B
= B0 sin(k0 x)uy .
II) On cherche à créer un champ B
1. Montrer que ce champ ne vériﬁe pas les équations de Maxwell.
2. On considère le système suivant : on place des paires d’aimant
face à face de part et d’autre de l’axe (Ox) (de telle sorte que tout
aimant nord ait un aimant sud en face, de l’autre côté de l’axe).
On suppose de plus que le nombre de paires est suﬃsamment grand
pour considérer que le champ résultant du système ne dépend pas de
z. On se restreint (mentalement) à deux paires d’aimants. On note
O le centre de ces deux paires (intersection des axes (Ox) et (Oy)).
le champ créé par ces deux paires ?
a) Quelles sont les symétries de B,
de la forme : B
= f (x, y)ux + B0 g(y) sin(k0 x)uy ,
b) On cherche B
avec g(0) = 1. Quelles sont les propriétés de f et g ?Montrer que
g (0) = 0.
c) Donner les équations diﬀérentielles vériﬁées par f et par g. Trouver
f et g.
donnée au début peutd) Sous quelle hypothèse la formule de B
elle être une bonne approximation du champ créé par le système
constitué par les aimants ?
3. a) On suppose l’approximation valable. On envoie une particule
(électron) à la vitesse v0 = v0 ux dans le système. Montrer que le
mouvement de la particule est plan.
b) Donner les équations diﬀérentielles vériﬁées par les composantes
vx , vy et vz de la vitesse de l’électron. À quelle condition le mouvement est-il périodique ?
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 67
Planche 81 Sup II
I) On considère en O une sonde émettant une onde électrique plane
monochromatique polarisée suivant (Oz) se propageant selon (Oy)
dans le sens positif. En O situé sur l’axe (Oy), à une distance d de
O, on place un cadre M N P Q carré de côté a constitué de n ﬁls de
→
cuivre. On utilise un vecteur normal à ce cadre noté −
n . On note
→
−
θ = (−
u→
x , n ).
1. Donner l’expression du champ électrique.
2. Trouver les caractéristiques du cadre pour optimiser la réception
de l’onde.
II) Question directement à l’oral : Mouvement d’une particule dans
un potentiel newtonien de type gravitationnel.
Commentaires en 16.
Planche 82 Sup II
I) Question de cours. Principe de Huyghes-fresnel. Quelle est l’unité
en M(asse)L(ongueur)T(emps)I(ntensité) ?
du champ magnétique B
II) Les deux compartiments contiennent une mole du même gaz parfait,
dans des états initiaux identiques. Il
P0
P0
n’y a pas de frottement au niveau de
R T0
T0
la paroi mobile. Tandis que que la
V0
V0
résistance R chauﬀe le compartiment
A
B
A de T0 à T1 , le compartiment B reste
paroi mobile
au contact d’un thermostat à T0 .
1. Qu’est-ce qu’un thermostat ?
2. Que sont devenus pressions, volumes et températures lors du
nouvel équilibre ?
3. Calculer les chaleurs échangées respectivement par chaque compartiment.
4. Calculer l’entropie crée.
III) La grande sphère, de centre O, a
r
un rayon R et une masse volumique
O
O'
ρ'
ρ. La petite cavité sphèrique, de cenR
tre O , a un rayon r et une masse
volumique ρ . Calculer le champ à
ρ
l’intérieur de la petite sphère.
Planche 83
I) On considère la propagation d’une onde électromagnétique dans
le vide selon l’axe (Oz) et délimitée par lesplans
d’équation z = 0
:E
= E0 sin πz cos(kx − ωt)ey
et z = a. On done le champ E
a
Le milieu est-il dispersif ? Donner une condition sur ω pour qu’il y ait
propagation de l’onde. Donner vitesse de phase et vitesse de groupe.
Déterminer l’expression du champ magnétique B.
En déduire l’expression de la valeur moyenne (temporelle et spatiale)
de la densité volumique d’énergie électromagnétique et du vecteur de
Poynting. En déduire la vitesse de transport de l’énergie.
On considère maintenant la superposition de deux ondes du même
type que la précédente (même amplitude et expression analogue)
et de pulsations respectives ω1 = ω + ∆ω/2 et ω2 = ω − ∆ω/2
tot , ainsi que la vitesse de
avec ∆ω << ω. Donner l’expression de E
déplacement de son enveloppe. Les deux ondes superposées peuvent
elles avoir le même vecteur d’onde ?
II) On considère un climatiseur en fonctionnement réversible entre
une pièce et l’air extérieur à température T0 = 300 K et disposant
d’une puissance de 280 Watts. Il faut 10 000 s pour faire passer la
température de la pièce de T0 à T1 = 295 K. Déterminer la capacité
caloriﬁque C de la pièce.
Planche 84 Sup
Un point matériel M est soumis à une force centrale f = f (r)er , où
−−→
OM
er =
, O étant un point ﬁxe de l’espace. On sait que la norme de
OM
vitesse vaut k/r. Déterminer f (r). Le mouvement peut-il être plan ?
Le mouvement peut-il être rectiligne ?
Planche 85
I) Écoulement axisymétrique. On considère un écoulement dont le
champ de vitesse, invariant par rotation autour d’un axe Oz, se met
sous la forme : v = vr (r, z)ur + vz (r, z)uz .
−
→ tel que v = rot
1) Montrer qu’il existe A
(A) ; A = (Ψ(r, z)/r)uθ .
2) A et B étant deux points de l’axe Oz, on déﬁnit Σ la surface
tubulaire (i.e. présentant une invariance par rotation autour de l’axe
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
Oz) comprise entre les disques DA (centré sur l’axe en zA , orthogonal
à l’axe et de rayon rA ) et DB (centré sur l’axe en zB , orthogonal à
l’axe et de rayon rB ). Montrer que le débit à travers Σ s’exprime
simplement en fonction de Ψ(r, z).
II) On considère un solénoı̈de constitué de N spires par unité de
longueur, de rayon a, orienté selon Oz et de longueur 2. En son
centre O, se trouve une spire de rayon b << a, dont la normale est
inclinée d’un angle α par rapport à Oz, et parcourue par une intensité
I. Calculer le ﬂux magnétique créé par la spire à travers le solénoı̈de.
Planche 86
Sup II
I) Cours : Exposé sur les phénomènes de diﬀusion. Analogies.
II) On considère un coin AOB composé de deux tiges, de longueur L
et 2L, donc de masse m et 2m, en
k, l0
rotation par rapport à O, où la liaiO 2m, 2L
son pivot est parfaite. Le coin est atB
m, L
taché en B à un ressort de longueur
x
A
à vide 0 et de raideur k.
Initialement, on a un équilibre de sorte que OB soit horizontal. On
perturbe légèrement le système en tirant sur le ressort ; on considère
que la perturbation est faible : B se déplace suivant un axe vertical.
Déterminer l’équation diﬀérentielle du mouvement.
.
.
Planche 87 Épreuve mixte
1. Préliminaires théoriques
1.1 Dispersion d’une onde
−
→
−
→
On considère une onde plane de vecteur d’onde k ∗ , on note k ∗ = k ∗ .
∗
∗
On note |(k )| = k(ω) et |(k )| = α(ω). Donner l’expression du
terme propagatif. Si α est non-négligeable, comment est transformé
le signal ? À partir d’une superposition de deux OPPH, déﬁnir les
vitesses de phase et de groupe. Donner l’expression théorique de vϕ .
L
1.2 Étude d’un réseau
On étudie le réseau ci-contre. Lorsque Zc est correctement choisi, l’imvs
C/2
ve
ZC
C/2
pédance de l’ensemble faut Zc . On
dit que le réseau est en charge forcée.
On admet que cela fonctionne pourdes fréquences f < fc avec
1
et qu’on a alors : ZC = L fc = √1
2 · On admet
C
π LC
f
1−
fc
également qu’a la traversée du quadripôle, le signal acquiert un
déphasage supplémentaire de ϕ dont on ne demande pas d’exprimer
l’expression littérale générale.
1.3 Étude d’une chaı̂ne de quadripôles
Un quadripôle se compose de deux condensateurs en parallèle reliés
par une inductance, comme cela apparaı̂t sur la ﬁgure ci-dessus.
L’ensemble est monté en paralquadripôle
quadripôle
vs
ve
lèle avec une résistance ZC pour
1
n
avoir le système en charge forcée.
Donner, par analogie avec ce qui a été fait au 1.1, la vitesse de groupe
au n-ième dipôle.
2. Partie expérimentale
On dispose d’une telle série de quadripôles disposés dans une boı̂te
qui en contient 20 en chaı̂ne. Il existe entre chaque quadripôle deux
bornes permettant de l’isoler et d’eﬀectuer des mesures. Il est relié à
un multiplieur sur lequel on fait entrer deux signaux, une enveloppe
ainsi qu’une porteuse. Il est également nécessaire de ﬁxer ZC avant
d’eﬀectuer les mesures de vitesse de groupe.
1. Mesurer L et C dans un quadripôle. Annoncer les incertitudes.
Tracer ZC = g(f ) (On dispose ici d’un LCR-mètre et de la boı̂te
contenant la chaı̂ne. L’examinateur présente brièvement le matériel.
On note que l’on peut faire fonctionner le LCR-mètre à diﬀérentes
fréquences entre 100 Hz et 10 kHz)
2. Mesurer la vitesse de groupe pour une plage de fréquences assez
large. De quelle manière est-on limité ? Comment y remédier ?
Ici, on dispose de deux oscilloscopes, et il est nécessaire de stabiliser le
signal pour pouvoir en étudier l’enveloppe. Il faut ﬁnalement utiliser
la fonction trigger. Par ailleurs, l’examinateur passe plusieurs fois
dans les rangs, pour poser à chaque fois une nouvelle énigme, sans
se soucier de savoir si la précédente a été résolue, ce qui n’était
évidemment pas le cas. Enﬁn, il ne faut pas confondre déphasage
et retard entre deux signaux.
3. Montrer que la vitesse peut se mettre sous la forme
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 68
vg = a 1 −
f
fc
2
Deux autres questions n’ont pas été traitées. Dernière question :
Donnez à présent vos valeurs pour une étendue assez large de
fréquences, sachant qu’il vous reste dix minutes... .
Concours Commun Mines-Ponts − option PSI
Planche 88 Sup
I) Question de cours. Miroir sphérique et lentilles minces dans
les conditions de Gauss. Images réelles et virtuelles. Relations de
conjugaison.
II) a) Quelle est la période de révolution d’un satellite de masse m
en orbite circulaire de rayon R ?
b) Calculer l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et l’énergie
électrique. Discuter des signes.
c) On fait passer le satellite d’une orbite circulaire de rayon R1 à
une orbite de rayon R2 > R1 en passant par une orbite de passage
∆E2
∆E1
et
lors du passage de l’orbite R1 à
elliptique H. Calculer
E1
E2
H et de l’orbite H à R2 .
III) On a trois fentes ﬁnes de largeur ε, séparées d’une distance a.
On place devant la fente centrale une lame d ’épaisseur e et d’indice
n.
a) Montrer que l’éclairement est
2πεθ
(1 + 4 cos2 ψ + 4 cos ψ cos ϕ)
E = E0 sinc2
λ
2πe(n − 1)
2πaθ
et ϕ =
·
avec ψ =
λ
λ
π
b)Que se passe-t-il pour ϕ = 0 [2π] et ϕ =
[π].
2
Planche 89
I) Question de cours : diﬀraction d’un faisceau parallèle par un réseau
en transmission. Qu’observe-t-on en lumière blanche ?
II) Un tube à essai est rempli d’eau salée et surmonté d’une membrane inﬁniment souple. Sa hauteur est très supérieure à son rayon.
on applique une ddp U entre la membrane et l’autre extrémité.
Quelle est alors la forme de la membrane ?
On ajoute un faisceau laser qui traverse le tube. Étudier.
Planche 90
Sup II
I) Question de cours. Impédance d’une onde acoustique. Coeﬃcients
de réﬂexion/transmission d’une onde plane progressive harmonique
sur un dioptre.
II) 1) Calculer la vitesse horizontale à donner
à un satellite pour avoir une orbite d’altitude
z
ω
h = 300 km. Donner la période.
2) On a commis une erreur ∆v/v = 10−4
lors du lancement de ce satellite. Quelle sera
α
l’erreur commise sur la période ? Sur le rayon ?
III) Tourniquet hydraulique. Établir l’équation diﬀérentielle régissant le mouvement du
tourniquet et la résoudre.
Planche 91
I) Question de cours. Conversion électronique : ordre de grandeur
des puissances intervenantes, nécessité de la commutation et des
systèmes de stockage ; interrupteurs, condensateurs, bobines.
II) On place une boule isolante de rayon R dans un champ électrique
constant.
1. Expliquer pourquoi on peut modéliser cette boule par deux boules
de charges ±ρ dont les centres sont distants de a. Indication en 17.
2. Calculer le champ électrostatique en tout point de l’espace.
3. Étudier le cas a → 0.
Planche 92
Sup I
I) Question de cours. Applications pratiques des lentilles divergentes.
II) On considère un conducteur en cuivre de section s = 2, 5 mm2 ,
de résistivité ρ = 1, 7.10−8 Ω.m−1 , entouré d’un isolant de conductivité thermique K = 3, 5.10−3 W.K−1 .m−1 et de rayon extérieur
r = 3, 5 mm. Quelle est la densité de courant maximale pouvant traverser le conducteur pour que celui-ci ne dépasse pas la température
de 50 ◦ C, l’extérieur étant à 20 ◦ C.
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
x
Planche 93
I) Question de cours : Pression - notion élémentaire de viscosité.
II) a) Quelles équations, analogues à celles de Maxwell pour l’électromagné tisme, peut-on écrire pour lier le champ gravitationnel g
et le potentiel gradient V ?
b) En déduire l’expression de la densité volumique d’énergie gravitationnelle ug .
c) Soit une planète homogène de masse M et de rayon R. Déterminer
l’expression de Ug , énergie propre totale de gravitation de cette
planète.
d) Donner un ordre de grandeur de Ug pour la Terre.
Données : MT ∼ 1024 kg, RT = 6, 4.106 m
e) La Force du mal possède une arme permettant de faire exploser
la Terre en huit petites planètes de même taille. Déterminer l’énergie
nécessaire déployée par cette arme. Les terriens ont-ils une arme
suﬃsamment puissante (Énergie dégagée par une bombe H ∼ 109 J)
vériﬁe
III) Il existe des milieux dans lesquels, le champ électrique E
−−→
E
=
∆E
, où λ est une constante réelle.
λ2
a) Quelle est la dimension de λ ?
L’espace est divisé en deux parties. Le vide constitue la partie x < 0,
tandis qu’un milieu remplit la partie x > 0.
est de la forme : E
= E0 ux à l’extérieur
On suppose que le champ E
= E(x)ux dans le milieu.
du milieu et E
b) Déterminer E(x).
c) En déduire la répartition volumique de charge ρ, et vériﬁer
l’homogénéité.
d) λ est petit ; on peut donc considérer le milieu comme vide de
charge, et ne considérer qu’une répartition surfacique de charge σ.
Déterminer σ.
Planche 96 Sup I
I) On considère le circuit électrique
R
i(t)
ci-contre.
1. Rappeler la déﬁnition d’un générateur idéal.
C
L
À t = 0, on ferme l’interrupteur. E
r
2. En notant u(t) la tension aux
bornes de la résistance r, déterminer
les conditions initiales du circuit.
3. Reprendre l’étude précédente en déterminant les valeurs des intensités aux bornes de la bobine, du condensateur, de i(t) et u(t),
etc. au bout d’un temps très long.
4. Déterminer l’équation diﬀérentielle régissant la valeur de u(t) dans
le circuit. Quelle condition doivent satisfaire R, r, L et C pour obtenir
un régime pseudopériodique ?
II) On considère une source ponctuelle mono-chromatique S, placée
dans le plan focal objet d’une lentille L1 convergente. Derrière cette
lentille, on place un dispositif constitué de deux fentes inﬁniment
ﬁnes F1 et F2 parallèles et séparées d’une distance a, puis une lentille
convergente L2 de distance focale f .
(Oy)
Concours Communs Polytechniques − option MP
Planche 94 Sup I
I) On considère une bille, de masse m et de rayon b, placée dans un
ﬂuide de masse volumique ρ et de viscosité η. La bille est suspendue
à un ressort de raideur k et de longueur à vide 0 . La bille subit de
la part du liquide une force de frottements ﬂuides donnée par la loi
de Stokes f = −6πηbv , en plus de la poussée d’Archimède.
1. Soit e la longueur à l’équilibre du ressort. Exprimer e − 0 en
fonction des données du système.
2. On note z l’allongement du ressort par rapport à sa position
d’équilibre. Montrer que z vériﬁe une équation diﬀérentielle de la
forme : z̈ + 2λż + ω02 z = 0, et exprimer λ et ω0 .
3. À quelle condition, liant ω0 et λ, obtient-on des oscillations ?
4. Calculer dans ce cas la période T des pseudo oscillations.
5. Si le mouvement a lieu dans l’air et que l’on néglige tout frottement
ﬂuide, donner la période du mouvement T0 .
6. Exprimer η en fonction de T , T0 , b et m.
En déduire un protocole expérimental pour déterminer η.
II) Un cadre rectangulaire métallique P QRS, de longueur 2a et de
hauteur 2b, est placé à côté d’un ﬁl inﬁni parcouru par un courant
i(t).
1. Calculer le champ magnétique B(M
) créé par le courant traversant
le ﬁl en tout point M du plan P QRS.
2. Calculer le ﬂux du champ B(M
) à travers le cadre P QRS.
3. Calculer la f.e.m. induite dans le cadre.
Planche 95
Sup I
I) On dispose d’une lunette constituée d’un objectif qui est une
lentille convergente de focale f1 = 100 cm de centre O1 , et d’un
oculaire qui est une autre lentille convergente de focale f2 = 2, 5 cm
de centre O2 . On observe Mars, dont le diamètre est 6800 km et dont
la distance à la Terre varie entre 56 et 400 millions de kilomètres.
1) Déterminer l’angle apparent minimal de Mars (en l’absence de
lunette).
2) La lunette est en réglage afocal. Que peut-on en déduire sur la
position des lentilles ?
3) On considère un faisceau lumineux de rayons issus de Mars,
parallèles entre eux et formant un angle α avec l’axe optique. Faire
un tracé de ces rayons à travers la lunette.
4) Calculer A B la taille de l’image intermédiaire de Mars dans la
lunette.
5) Quelles diﬀérences y a-t-il entre une lunette astronomique et un
télescope ?
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 69
M
II) Une barre OM de masse m, de longueur
θ
2l, posée quasi-verticalement sur le sol se
+
→
k
met à tomber en restant dans le plan
2l
→
g →
(Oxy). (Voir le schéma.)
i
y
1) Dans un premier temps, on envisage un
O →
j
mouvement sans glissement.
L’extrémité basse de la barre, en O reste donc ﬁxe. On connaı̂t J
le moment d’inertie de la barre autour de l’axe (Oz). Exprimer la
= Rxi + Ryj en fonction de m, l, J, g et θ.
réaction du support R
2) Déﬁnir les conditions pour qu’il y ait, ou non, glissement en O.
L2
L1
F1
(Oz)
a
S
F2
e
f'
écran
On place un écran dans le plan focal image de L2 . L’axe optique est
noté (Oz), celui-ci est perpendiculaire à un axe (Oy).
Partie A
1. Construire le trajet suivi par des rayons lumineux en provenance
de S. On note M le point de convergence des deux rayons. Pourquoi
M est-il unique ?
2. Déterminer la diﬀérence de marche ∆L(M ) entre les deux rayons.
3. En déduire l’expression de l’intensité lumineuse au point M .
4. Quelle est l’allure de la ﬁgure d’interférence obtenue ?
Partie B
On introduit à présent une lame d’épaisseur e et d’indice de réfraction
n derrière F2 .
1. Quelle est la nouvelle expression de la diﬀérence de marche ?
2. La ﬁgure d’interférences a-t-elle été déplacée vers le haut ou vers
le bas de l’écran ?
Partie C
On remplace la source ponctuelle monochromatique S par une nouvelle source, émettant cette fois-ci de la lumière blanche. On suppose
c
que l’indice n de la lame obéit à la loi de Cauchy : n(λ) = n0 + 2
λ
avec C > 0.
1. Rappeler les longueurs d’onde délimitant le domaine visible, notées
λ1 et λ2 .
2. Montrer que y est une fonction de l’ordre d’interférence p(M ) et
de λ.
3. En s’appuyant sur les valeurs de y(p = 0, λ1 ) et y(p = 0, λ2 ),
déterminer l’allure de la ﬁgure d’interférences et de la frange centrale.
Planche 97
I) La barre AB, de longueur 2l, est appuyée sur
un mur en B, et posée sur le sol en A. Il y a
glissement sans frottement en A et B ; le centre de
gravité G est distant de l de A et B. Le repérage
de la position de la barre se fait en polaire à partir
de O, l’intersection mur/sol.
1. Expliquez pourquoi il y a mouvement.
/R).
2. Calculer v(B), v(G), a(G), Ω(R
3. Calculer l’énergie cinétique de la barre.
4. Calculer l’énergie potentielle sachant que Ep = 0
mur
B
G
O
θ
sol
A
pour θ = 0.
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
5. Quand n’y a-t-il plus contact en B ?
II) Un courant de densité
de courant j circule entre
deux plans inﬁnis dans les
+a
directions x et y.
-a
uz
uy
ux
Déterminer
le champ magnétique B en tout point de l’espace sachant
j u pour z appartenant à [−a, a]
que j = 0 x
0 ailleurs
j0 est uniforme et stationnaire.
−−→
−
→ −
→
.
On donne, si α est scalaire, rot (αV
) = α.rot V
+ (grad α) ∧ V
_
Planche 98 Sup II
I) Thermique.
On considère un microprocesseur refroidi à l’aide d’un radiateur
à ailettes et d’un ventilateur. Le système sera le radiateur. Il
reçoit de la part du microprocesseur un ﬂux Φu . On suppose que
la température du radiateur T (t) est uniforme, et la température
extérieure est constante et vaut T0 . On donne la capacité du radiateur C, sa surface totale S et son coeﬃcient de convection h.
1.a. Eﬀectuer un bilan thermique du système durant dt et trouver
une relation entre tous les paramètres.
b. Écrire l’équation diﬀérentielle que satisfait T (t).
c. En déduire l’expression de T (t) en supposant que T (t = 0) = T0 .
d. Exprimer la température du radiateur après un long moment.
e. Expliquer l’intérêt du ventilateur.
2. Le microprocesseur s’arrête de fonctionner et le nouveau coeﬃcient
de convection du radiateur est h .
a. Refaire un bilan thermique durant dt.
b. En déduire T (t) et sa représentation graphique.
A(m)
k
II) On considère le système ci-contre.
Le mobile A, de masse m est acl0
croché à un ressort de raideur k et
x
a
de longueur à vide l0 .
O
A est soumis à une force de frottement sec F = ε.f.ı avec
⎧
⎨ ε = +1 si dx < 0
dt
⎩ ε = −1 si dx > 0
dt
On notera f = kb. À t = 0, A est éloigné de a = 9b du point O et il
est laché sans vitesse initiale.
dx
dx
1. En distinguant les cas
> 0 et
< 0, prévoir le comportement
dt
dt
du mobile.
2. Déterminer où s’arrête le mobile et à quel instant.
3. Représentation graphique de x(t).
4. Faire un bilan énergétique.
Concours Communs Polytechniques − option PC
Page 70
g
S1
A1•
S2
A2•
R3
II) On considère le circuit ci-contre
comportant un ampli-op en régime
saturé (non-linéaire).
Trouver l’équation diﬀérentielle liant
+
V1 et V2 .
V2
V1
Tracer le cycle d’hystérésis de ce cirR2
R1
cuit.
Donner l’allure de V1 en fonction de t.
Donner l’expression de la période T de V1 .
R1
et τ = R3 C.
On posera β =
R 1 + R2
Planche 101
I) Un ﬂuide incompressible s’écoule dans un réservoir de hauteur h
et de rayon R comprenant un capillaire de rayon a et de longueur L
à son extrémité. On se place en régime stationnaire.
1 - Exprimer la relation entre Pext , PA , vA , ρ, g, h, où A est le point
à l’entrée du capillaire. On néglige ensuite le terme en vA . On donne
le débit volumique Q = πa2 (PA − Pext )/8ηL
2-a. Quelle est la nature du terme πa2 /8ηL ?
2-b. Quelle équation diﬀérentielle vériﬁe h ?
3. En déduire la valeur numérique de η.
4. On pose x = VA2 /gh. Que représente x ? Calculer xmax .
II) 1. Donner la déﬁnition et l’expression de l’interfrange pour les
trous d’Young.
2. Donner, sans calcul, la formule reliant l’intensité de la tache à la
largeur de la fente b.
3. On observe une tache de 36 mm en éclairant des trous d’Young,
distants de a et de largeur b, par une lumière de longueur d’onde
632, 8 nm. L’écran est à 2 m et l’interfrange est de 5 mm. Donner les
valeurs de a et b.
Planche 102
I) L’espace est divisé en trois zones, séparées par deux plans inﬁnis.
Chaque zone est à une valeur de potentiel V diﬀérente : V = V0
constante, V = V0 (1 − (x/a)3 ), et V = 0. Déterminer le champ
électrique dans chaque zone. Étudier la continuité de E et de V
pour en déduire la distribution des charges. Calculer la densité volumique et surfacique de charges. Donner une relation mathématique
avec la densité de charges déterminée précédemment, puis retrouver
l’équation de Poisson. Étudier la neutralité. Déﬁnir un conducteur
parfait et montrer que la zone 3 en était un.
II)on donne un entonnoir dans lequel un tuyau verse de l’eau.
Trouver la résultante des forces de pression, puis la force à exercer
par l’opérateur pour maintenir le tuyau sur l’entonnoir.
Planche 103 Chimie
Question de cours : acides minéraux de Brönsted et de Lewis en
chimie organique (rôle de réactif, catalyseur).
Exercice : Le diagramme potentiel pH du titane.
Pour le tracé de ce diagramE
me, les espèces prises en comp10
5
pH
te sont : Ti(s), Ti2+ , Ti3+ ,
0
Ti(OH)3 (s) et TiO2 (s). On
Ti3+
donne :
_
-0,5
E ◦ (Ti2+ /Ti(s)) = −1, 63 V ;
E ◦ (Ti3+ /Ti2+ ) = −0, 37 V
_
E ◦ (Ti02 (s)/ Ti2+ ) = −0, 17 V -1,0
et pKs (Ti(OH)3 = 35.
Le diagramme ci-contre est -1,5 _
tracé pour une concentration
en chaque espèce dissoute de
-2,0 _
c = 0, 01 mol.L−1
_
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
∆h
→
_
Planche 99 Sup I
I) Étude de l’objectif d’un appareil photo.
Soit L une lentille convergente de distance focale 135 mm.
1. On positionne un objet à 3 mètres de la lentille. À quelle distance
doit-on positionner l’écran pour avoir une image nette ?
2. L’écran mesure 10 cm sur 15 cm. Quelle taille du ciel peut-on
observer ? On pourra chercher à répondre en déterminant deux angles
α et β.
3. La lune a un diamètre apparent de θ = 51 . Quel rayon aura
l’image circulaire de la lune sur l’écran ? Et sur des photographies
de 15 cm sur 22, 5 cm ?
II) On considère deux cylindres coaxiaux de rayons respectifs
R1 < R2 et de hauteurs identiques h. Le cylindre intérieur est chargé
à la charge q0 , le cylindre extérieur n’étant pas chargé. Un gaz isolant
sépare les deux cylindres. À la suite d’un ﬂash, on suppose que le gaz
devient conducteur. Il est alors caractérisé par sa conductivité γ.
1. Expliquer qualitativement pourquoi le gaz devient conducteur.
Que se passe-t-il après le ﬂash ?
à l’intérieur du cylindre de rayon R1 , entre
2. Calculer le champ E
les deux cylindres et à l’extérieur du système. Calculer j et obtenir
à l’aide de considération de symétrie.
B
3. Avec l’équation de Maxwell-Ampère, trouver une équation diffé entre les deux cylindres.
rentielle vériﬁée par E
En déduire l’expression de la charge du cylindre intérieur en fonction
du temps, puis celle de la charge du cylindre extérieur.
4. Déterminer l’évolution au cours du temps de l’énergie électromagnétique totale d’un cylindre de rayon r tel que R1 < r < R2 .
Planche 100 Sup II
I) On considère un ﬂuide, de masse
volumique ρ, en écoulement stationnaire dans la tuyère ci-contre.
1. Exprimer le débit volumique Dv
en fonction de ∆h, S1 , S2 et g.
1) Calculer le pH de début de précipitation de Ti(OH)3 (s).
2) Calculer E ◦ (Ti02 (s)/ Ti3+ ). Calculer l’équation des frontières
associées aux couples IV/III
3) Placer les espèces dans les diﬀérents domaines du diagramme en
justiﬁant le raisonnement utilisé.
4) À une solution de HCl, Ti2+ , on ajoute progressivement une
solution de soude. Décrire le(s) phénomène(s) observé(s).
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
Planche 104 Chimie
I) Spectroscopie dans le visible et spectrocolorimétrie
II) Synthèse du DDT (bis para. . . . . . .)
a) On protone le trichloroéthanal pour former le composé E+ . À quoi
sert cette réaction ? citer un acide utilisé en phase organique.
b) On fait réagir E+ sur le chlorobenzène. On forme F, majoritairement, et F’. À quel grand type de réaction appartient l’action de E+
sur le chlorobenzène ? Donnez le mécanisme de la réaction. Discutez
de la possibilité d’une autre réaction sur le chlorobenzène. Préciser
la structure de F et F’. Cette réaction est facile à suivre en spectroscopie IR expliquez.
c) On protone F et F’ que l’on fait réagir avec le chlorobenzène.
Classer les produits obtenus par ordre de présence décroissant. Parmi
ceux-ci, lesquels sont énantiomères ? Lequel est dédoublable ?
Concours Communs Polytechniques − option PSI
_
_
_
_
_
Planche 108
_
Page 71
I) On dispose de deux cordes mises bout à bout en x = 0 ; elles
oscillent verticalement.
1. Donner les paramètres à ﬁxer pour pouvoir étudier le phénomène.
2. Faire un schéma de la situation pour une portion de corde.
3. Démontrer l’équation de propagation.
4. Conditions en x = 0.
5. On se place en régime sinusoı̈dal, sur la corde 1 il y a uniquement
une onde incidente et une onde réﬂéchie, d’amplitude Z1 , et sur la
corde 2 il y a juste une onde transmise d’amplitude Z2 . Déterminer
les coeﬃcients de transmission t et de réﬂexion r.
E
II) On étudie le nickel.
_
Concentration : c = 0, 01 mol.L−1 .
_
D
Les éléments solides sont : NiO2 , 1,2 _
_
Ni2 O3 , Ni, Ni(OH)2 , et les ions
_
sont : Ni2+ .
_
1. Placez les éléments sur le graphe.
_
2. Donner la constante de solu_
bilité de Ni(OH)2 .
0,0 _
3. Déterminer le potentiel normal
_
de la réaction des espèces de degrés
_
d’oxydation les plus élevés.
-0,6 _
pH
E ◦ (Ni2+ /Ni) = −0, 25 V ;
7
0
3,6
◦
2+
E (NiO2 /Ni ) = 1, 59 V ;
E ◦ (Ni2 O3 /Ni2+ ) = 1, 74 V ; pKs (Ni(OH)2 ) = 16.
_
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Planche 107
_
Planche 106
I) A. Un moteur d’inertie J fournit une force contre-électromotrice E et possède une résistance globale R. On suppose qu’à tout
moment il est possible de connaı̂tre la tension U aux bornes du
moteur, l’intensité I qui le traverse et sa vitesse de rotation Ω.
Donner un protocole expérimental permettant de montrer que l’on a
E = ΦΩ, où Φ est une constante que l’on supposera à présent connue.
Donner ensuite un protocole expérimental permettant de connaı̂tre
Γf par une simple mesure d’une grandeur électrique. En déduire un
protocole expérimental permettant de connaı̂tre J.
B. On considère une masse M (m) suspendue à un
z
ﬁl inextensible enroulé autour d’un cylindre mis +
en mouvement par le moteur.
1) Donner la relation entre Ω, R (le rayon du
cylindre) et z en prenant en compte les convenM
tions du schéma.
II) Le Cuivre. M = 64 g.mol−1 ; N = 6, 0.1023 mol−1 ; Paramètre
de maille : a = 3, 60.10−10 m ; H2 SO4 : première acidité forte :
pKa2 = 2, 0.
1) Citer deux applications du cuivre et les propriétés qui les permettent.
2) Le cuivre cristallise selon une maille cubique à faces centrées.
Combien y a-t-il d’atomes de cuivre par maille ?
3) En déduire la masse volumique du cuivre.
4) Le cuivre peut donner en solution E
les espèces suivantes : Cu, Cu2+ , Cu2 O,
(3)
(2)
Cu(OH)2 .
Donner les domaines de prédominance
pH
5
des espèces dans le graphique ci-contre.
(4)
(1)
Il est tracé pour des concentrations en
espèces dissoutes c = 10−2 mol.L−1 .
5) La réaction de lixiviation du cuivre est :
Cu(OH)2 (s) + 2H3 O+ (aq) Cu2+ (aq) + 2H2 O
Donner l’expression de la constante de réaction K.
6) Quelle est la valeur du pH à partir de laquelle on a une concentration en Cu2+ de 1, 0.10−4 mol.L−1 ?
7) On prépare une solution d’acide sulfurique de concentration ca .
Donner un protocole expérimental qui permet d’en déduire simplement le pH de la solution.
_
Planche 105 Laplacien en cylindriques en 18.
I) On a un écoulement dans un cylindre vertical de rayon a. On note
v = v(r, θ, z, t)ez , ρ la masse volumique, η la viscosité dynamique.
∂v
→
−
−−→ −−→
On rappelle l’équation (1) : ρ
+ (v .grad )v = −grad P + η ∆v .
∂t
1. Rappeler la signiﬁcation des termes de (1).
On se place en régime stationnaire.
2. On suppose l’écoulement incompressible. Rappeler la loi générale
de l’écoulement. En déduire que v ne dépend que de r. Montrer que
le terme de dérivée convective est nul.
3. Montrer que P dépend uniquement de z. Trouver une équation difdP
dP
et de r. En déduire que
= C te .
férentielle en v, dépendant de
dz
dz
1 dP 2
(r − a2 ) (écoulement de Poiseuille).
4. Montrer que v(r) =
4η dz
dP
5. Montrer que le débit peut s’écrire sous la forme Q = −K
·
dz
Exprimer K.
6. Commenter qualitativement l’évolution de la pression dans un
tube de section constant avec un débit constant. Rappeler Bernoulli
pour un écoulement potentiel. Commenter.
7. Hauteur dans les tubes dans le cas d’un écoulement
parfait, puis dans le cas d’un écoulement de Poiseuille.
II) I. N2 + 3H2 2NH3 ∆r G◦ = −92 + 0, 2T
1. Déterminer la variance du système.
2. Commenter l’eﬀet d’une augmentation isobare de la température.
3. Commenter l’eﬀet d’une augmentation isotherme de la pression.
II. 1. Donner le nombre d’oxydation de N dans : NO, NH3 , NO−
3 ,
NHO3 , etc.
2. Donner leur représentation de Lewis. Données : Z(H)=1, Z(O)=8,
Z(N)=7.
III. 1. Rappeler les grands principes de la conductimétrie et de la
ph-métrie (électrodes, procédés expérimentaux, détection de l’équivalence, etc.)
2. Une équation bilan. Vaut-il mieux utiliser la pH-métrie ou la
conductimétrie pour cette réaction ?
E
1
IV. 1. Donner les équations re2
−
−
(1)
dox de NO/NO−
2 et NO2 /NO3 .
2. Placer les espèces sur le diagramme E−pH fourni. Commen(2)
ter l’allure des droites.
(3)
E ◦ (NO/NO−
2 ) = 1, 2 V ;
−
pH
E ◦ (NO−
2 /NO3 ) = 0, 835 V.
2) On note T la force de tension du ﬁl. Relier g, m, T et z.
3) Relier T et Ω.
4) En déduire une équation diﬀérentielle vériﬁée par z. On ne
demandera pas de la résoudre.
Sup I
I) Calorimétrie de l’eau. On donne :
∆Hfusion = 3, 34.105 J.Kg−1 ; ∆Hvaporisation = 2, 26.106 J.Kg−1
Chaleur massique de l’eau : ce = 4, 185.103 J.Kg−1 .K−1
Chaleur massique de la glace : cg = 2, 06.103 J.Kg−1 .K−1
Chaleur massique de la vapeur d’eau : cv = 1, 85.103 J.Kg−1 .K−1
On dispose de m1 = 100 g de glace à la température T1 = 273 K,
m2 = 250 g d’eau liquide à la température T2 = 273 K et m3 = 500 g
de vapeur d’eau à la température T3 . On travaille à la pression
constante 1 bar.
1. Donner le principe de fonctionnement, faire un schéma, décrire
protocole expérimental et dispositif extérieur pour mesurer par
calorimétrie.
2. Donner la déﬁnition d’adiabatique. Quelle grandeur faut-il utiliser
pour la transformation ? Justiﬁer.
3. On ne met que m1 et m2 dans le calorimètre. Déterminer
température et masse ﬁnales.
4. Même chose avec m1 , m2 et m3 .
II) Interféromètre de Michelson
1. Donner le principe, décrire le montage et faire un schéma.
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
2. Décrire le protocole expérimental et le dispositif expérimental pour
obtenir des franges circulaires.
3. Déterminer le rayon Rk de la k-ième frange.
Concours Divers − option PT
Planche 109 Sup I ENS Cachan
I) On prend un bidon d’un litre, on verse 200 cm3 d’eau en ébullition,
à T1 = 100◦ C. On laisse la vapeur chasser progressivement tout
l’air avant de fermer hermétiquement le bidon. On attend alors que
l’ensemble atteigne la température T0 = 20◦ C.
1. Le mélange ﬁnal est-il constitué de vapeur ou d’eau uniquement,
ou bien les deux ?
2. Donner la pression ﬁnale.
3. Qu’observe-t-on alors ?
II) On considère une onde E, dans le vide, telle que :
= E0 cos(ωt − k(x cos α + y sin α))ez + E0 sin(ωt − k(x cos α + y sin α))v
E
1. L’onde se propage-t-elle ? Est-elle plane ?
2. Que vaut k ? Démontrez-le.
3. On place deux bobines planes possédant N
spires chacune, et de surface S. On suppose que
est uniforme au voisinage des spires.
le champ B
Quelle est la condition pour que cette condition
soit vérifée ?
4. On mesure deux tensions U1ef f et U2ef f aux
bornes des deux bobines. Expliquer ce phénomène.
5. Faut-il mettre le voltmètre en mode AC ou
DC ? Expliquer pourquoi.
6. On mesure U1 /U2 , comment obtenir α ?
→
v
y
→
u
α x
y
x
Planche 110 CCP ENSAM
I) Donner l’équation locale de Poynting. (voir réponse en 19.)
Comment la retrouver avec un bilan ? Y a t-il une autre façon de la
→
−
E.
Détailler le sens de Eem , Π .
retrouver ? Expliquer le signe + de J.
II)On considère un cylindre conducteur plongé dans champ E.
Une charge q est alors soumise à la force de Coulomb, le poids est
négligeable.
Montrer qu’il existe une vitesse limite. Quelle relation y a-t-il entre
? Entre J et V ? Donner l’expression de la conductivité du
J et E
conducteur.
Planche 111 CCP ENSAM
I) Un conducteur cylindrique de rayon R, de conductivité thermique
λ et de conductivité électrique γ, est parcouru par un courant I.
Il est entouré d’une gaine de rayon intérieur R et d’épaisseur a, de
conductivité thermique k. La température en r = R + a est T0 .
Trouver la température T (r) dans la gaine et dans le conducteur.
II) Quel est le champ créé par un plan parcouru par un courant
surfacique uniforme ?
Planche 112
Sup
CCP ENSAM
I) Un cylindre de rayon R1 , de charge linéique λ1 , parcouru par le
courant I est entouré par une gaine cylindrique contenue entre les
rayons R2 et R3 , de charge linéique λ2 . Les conducteurs sont parfaits
1. qu’est-ce qu’un conducteur parfait ?
2. Calculer les charges surfaciques σ1 et σ2 . Calculer le champ
dWE
·
électrique entre R1 et R2 . Calculer l’énergie linéique
dz
3. Calculer le champ magnétique entre R1 et R2 . Calculer l’énergie
dWB
linéique
· Calculer le produit de ces deux énergies, que remardz
que-t-on ?
4. Déﬁnir le vecteur de Poynting et le calculer. Calculer son ﬂux.
II) Modèle de l’Hydrogène : un électron (masse me , charge qe )
gravite autour d’un proton (masse mp , charge −qe ) sur une orbite
circulaire de rayon r à la vitesse uniforme v.
h
, trouver le lien entre
1. Si le moment cinétique vaut L0 = n.
2π
n, h, r, v.
2. Vériﬁer que l’on peut négliger la force de pesanteur en donnant
les ordres de grandeur des dimensions d’un atome). Quel lien a-t-on
entre r,v et qe ?
3. Prouver que r = n2 .r0 . Dire ce que vaut r0 et vériﬁer l’homogénéité.
4. Calculer l’énergie mécanique de l’électron.
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 72
Planche 113 CCP ENSAM
I) On souhaite déterminer quel ion se forme lors de l’oxydation de
Hg : Hg+ ou Hg22+ . On réalise à cet eﬀet une pile, dont chaque
demi-pile est constituée de Hg(+I) , mais l’une à 10.103 mol.L−1
et l’autre à 2, 5.103 mol.L−1 . On mesure une fem de 18 mV. Montrer
que c’est suﬃsant pour démontrer quel ion se forme.
= sin(t − x/v)ez . La
II) On a B
y
P
N
spire M N P Q, de résistance R et
→
v
d’inductance L négligeable, est en
b
mouvement à vitesse constante v.
M
Déterminer la résultante des forces
→ Q
a
B
x
dues au champ magnétique.
Planche 114
Sup I
CCP ENSAM
I) Un proton de masse mp se trouve dans un ﬂuide, dans le plan
= B0ez . Il est soumis à des frottements
xOy. Il y règne un champ B
v
ﬂuides f = −mp τ (v est sa vitesse). On donne τ = 6.10−5 s.
1) Trouver un autre temps caractéristique et en déduire si les
frottements sont négligeables ou non.
2)Trouver les équations diﬀérentielles en vx et vy . Résoudre en posant
V = vx + ivy .
3)En déduire x(t) et y(t).
Bombardement de questions pendant l’exposé de l’exercice : masse
du proton ? Masse molaire du proton ? Déﬁnition du temps caractéristique ? À quoi correspond-il physiquement ici ? Trajectoire de la
particule ici (au vu de mon résultat) ? Trajectoire s’il n’y a pas de
frottement ? etc.
II) Michelson en lame d’air. Étude du doublet du sodium.
1)Rappelez les réglages du Michelson.
2)Comment peut-on observer les interférences ici avec une source
étendue ?
3)Calculez l’éclairement en fonction de la diﬀérence de marche et des
longueurs d’onde (diﬀérence et moyenne des 2).
Autre série de questions durant l’exposé : quelle ﬁgure observe-t-on ?
Où sont les interférences ? etc.
Planche 115 CCP ENSAM
I) Physique. On considère un laser émettant un faisceau de rayons
sensiblement parallèles. On appelle ω0 le diamètre du laser, λ la
longueur d’onde des rayons, ω la distance à l’axe, P la puissance
du laser. L’éclairement
ε(ω) suit une loi gaussienne, telle que :
ω 2
·
ε(ω) = ε0 . exp − ω
0
Données : λ = 652, 8 nm, ω0 = 1 mm, P = 5 mW.
1. Tracer ε(ω) et déterminer ε0 .
2. On munit ce système d’un système afocal tel qu’après le passage
au travers du système, ω0 = 10 cm. Donner la valeur de l’éclairement.
3. On considère le faisceau comme une onde plane. Quelle erreur
commet-on sur l’éclairement ?
II) Chimie. Soit la réaction CH4 + 2H2 O 4H2 + CO2 . La réaction
a lieu à P = 75 bar et T = 800 ◦ C. Tous les corps sont gazeux. On
donne les ∆Hf◦ à 298 K :
-pour CH4 : −74, 9 kJ/mol ;
-pour H2 O : −241, 8 kJ/mol ;
-pour H2 : 0 kJ/mol ;
-pour CO2 : −393, 5 kJ/mol.
1. Discuter de l’inﬂuence de la pression sur l’équilibre. On justiﬁera
soigneusement avec l’aﬃnité.
2. Même chose avec la température.
Planche 116 CCP ENSAM
Une spire circulaire de masse m, de rayon a et de résistance r est
suspendu à un ﬁl sans torsion en un point O1 de l’axe Oz. Elle est
= B0ex , uniforme et constant,
plongée dans un champ magnétique B
n) entre le champ
On repère la position de la spire par l’angle α = (B,
et la normale au plan de la spire. À l’instant t = 0, on a α = 0 (La
spire est dans le plan yOz). On lance la spire à cet instant avec une
1
vitesse angulaire α̇0 . On donne le moment d’inertie J = M a2 .
2
1. Déterminer l’équation du mouvement de la spire.
dα
? Sans connaı̂tre la relation
2. Quelle est la relation liant α et
dt
α(t), déterminer la relation liant m, a, B0 , r, α̇0 et αf , l’angle pris
par la spire lorsqu’elle s’arrête.
3. Montrer graphiquement qu’il n’existe qu’une seule valeur pour αf .
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
Planche 117 CCP ENSAM
I) On donne ue onde plane progressive frappant un conducteur
parfait en x = 0. Déterminer l’onde réﬂéchie.
II) Un biberon, rempli de lait, est constitué de deux cylindres
coaxiaux de rayons respectifs R1 < R2 . Soit λV la conductivité
thermique du verre et C la capacité du lait. On place le biberon
dans un four à micro-ondes.
1. Déterminer T (r) la température du verre. Que pensez vous de
l’évolution de la température ? Indication en 20.
2. On considère à présent T1 (t) la température du lait variant en
fonction du temps. Soit P la puissance volumique délivrée par le
four. Déterminer l’équation diﬀérentielle vériﬁée par T1 (t).
3. Quelle diﬀérence par rapport à un four classique ?
Concours Divers − option TSI
Planche 118 Sup CCP
I) Thermodynamique. On donne un volume V1 de gaz parfait à
la pression P1 . On donne γ = 1, 41. Le gaz subit le cycle de
transformations suivant :
1 → 2 : refroidissement isobare qui réduit le volume de moitié.
2 → 3 : réchauﬀement isochore qui double la pression.
3 → 1 : détente isobare.
1. Tracer le diagramme de Clapeyron.
2. Calculer travail, chaleur échangée et variation d’énergie interne
pour chaque transformation.
3. Calculer travail, chaleur échangée, variation d’énergie interne et
variation d’entropie sur tout le cycle. A-t-on un cycle moteur ?
II) Chimie On donne le pKa = 9, 2 du couple acido-basique
NH+
4 /NH3 et la concentration initiale c0 .
1. Écrire la réaction de NH3 avec l’eau, et déterminer le pH de la
solution avec les hypothèses en fonction de c0 .
Eﬀectuer l’application numérique pour certaines valeurs de c0 .
2. On dose la solution précédente avec de l’acide chlorhydrique.
2.a. Écrire l’équation du dosage.
2.b. Calculer la constante d’équilibre de la réaction et déterminer le
volume versé à l’équivalence.
2.c. Tracer la courbe du dosage.
Planche 119 CCP
Physique. Exercice sur le Michelson réglé en lame d’air (le réglage
n’était pas explicite mais on disait que les miroirs étaient perpendiculaires entre eux). e = 1 cm, λ = 0, 5.10−6 m. (les angles sont très
i2
petits, et on pourra faire la simpliﬁcation : cos(i) = 1 − ·
2
1. Calculer la diﬀérence de marche ainsi que l’ordre d’interférence.
De plus, on ajoute une lentille convergente ainsi qu’un écran placé
à une distance f = 1 m de la lentille. Calculer alors le rayon du 3e
anneau brillant.
2. On ajoute une petite lame de verre devant le miroir M2 , d’épaisseur
7, 5.10−6 m et d’indice n = 1, 5. Calculer alors l’ordre d’interférence
ainsi que la diﬀérence avec le précédent. Conclure.
3. Que ce passe-t-il si l’on translate le miroir M2 suivant l’axe Ux ?
(c’est-à-dire si on fait varier e).
Chimie. Soit la réaction à T = 600 K : NH3g + HClg NH4 Cls .
On a la relation suivante : µ0 NH4 Cls −µ0 NH3g −µ0 HClg = −65 kJ/mol.
1. Calculer l’aﬃnité chimique en fonction des µ0 , R, T et des pressions partielles des gaz.
2. On ajoute dans un volume V fermé, 2 g de NH4 Cls , ainsi que NH3g
et HClg à une pression de 1 bar chacun. Donner le sens de la réaction
(justiﬁer clairement).
3. Peut il y avoir un équilibre (justiﬁer) ? Si oui, Quelle en est la
constante d’équilibre ?
4. Déduire alors les pressions partielles des gaz à l’équilibre.
Planche 120 CCP
A
C
Rail de Laplace accroché à une poulie.
1. On considère dans un premier temps
→
→
B l v(t)
est nul. En appliquant la deu- r
que B
m
xième loi de newton à la masse M et
au barreau de masse m, déterminez
B
D
M
l’équation diﬀérentielle du mouvement.
2. Simpliﬁez cette équation si m est négligeable devant M. Déduire
l’expression de v (t) si on lâche le barreau sans vitesse initiale.
n’est pas nul. Montrez alors
3. Reprenez les questions 1) et 2) si B
que v (t) atteint une vitesse limite à déterminer.
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 73
4. Représentez v (t) dans les deux cas.
5. Quel est l’intérêt pratique de ce montage ?
Chimie : On considère une pile chimique H2 O/OH− , Pt, H3 O+ /H2
1. Réalisez un dessin du montage.
2. Déterminez la polarité et calculez la FEM.
N.B : On considère que la concentration de tous les ions vaut 1 mol/L
et la pression des gaz est de 1 bar.
Planche 121 Sup II CCP
I) On considère un interféromètre de Michelson dans sa conﬁguration
classique, les deux bras
étant de même longueur.
1. Comment faire, en éclairant avec une lampe
spectrale, pour obtenir une
raie quasi-monochromatique ?
M2
O
Lampe
spectrale
x
M1
∆
(L)
Ecran
2. On place une lentille (L) comme indiqué sur la ﬁgure, de distance
focale f = 1 m. Qu’observe-t-on ?
Qu’aurait-on observé si on n’avait pas diaphragmé la lentille ?
Qu’observe-t-on si l’angle d’incidence est trop grand ?
3. On considère ici que i est petit. On recule M2 de e = 1, 1 mm.
Tracer les deux rayons émergeant. Où se croisent-ils ?
Calculer la diﬀérence de marche, l’ordre d’interférence et l’éclairement
en un point P de l’écran.
II) On dissout 0,4 mol de Na2 CO3 dans de l’eau pure. On fait passer
dans cette solution 0,2 mol de CO2 gazeux.
Quelle est la réaction prépondérante ? Calculer sa constante de
réaction en fonction des données et faire l’application numérique.
Calculer le pH de la solution.
−
2−
Données : pKa1 (CO2 /HCO−
3 ) = 6, 30 ; pKa2 (HCO3 /CO3 ) = 10, 33
Planche 122 CCP
I) Un bras solidaire d’une poulie tourne autour d’un
axe ∆, orthogonal au plan de la ﬁgure. On place
une masse m à une distance a de l’axe et on néglige
les frottements. On appelle J le moment d’inertie de
l’ensemble (bras + poulie).
1. Calculer le moment cinétique de l’ensemble (poulie
+ bras + masse) par rapport à l’axe ∆.
2. Déterminer l’équation diﬀérentielle vériﬁée par
θ(t).
a
θ
m
3. Résoudre en supposant que θ reste petit.
4. Déterminer l’expression de la période T des oscillations en fonction
de J, m, a et g.
5. Application numérique : T = 1, 2 s, m = 50 g, g = 9, 81 m.s−2 ,
a = 200 mm.
II) On modiﬁe le système précédent. La masse m
est retirée tandis qu’on suspend une masse M à
un ﬁl enroulé sur la poulie.
1. Exprimer le moment d’inertie J en fonction du
R
rayon R de la poulie, de l’accélération linéaire γ,
de M et g.
2. On donne ci-dessous le graphe d’évolution de la
vitesse de la masse M au cours du temps. Calculer
d’abord γ puis J.
3. Discuter des diﬀérences entre les deux méthodes
x
M
précédentes du calcul de J.
III) On considère la réaction Mn(s) + Cl2(g) MnCl2(g)
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
−1
∆r S (J.mol .K )
∆r H ◦ (kJ.mol−1 )
Mn(s)
−18
0
Cl2(g)
−32
0
MnCl2(g)
−118
−418
1. Tracer l’allure du graphe de ∆r G◦ (T ).
P (Cl ) 2
2. On donne y = RT ln
· Exprimer A en fonction de ∆r G◦
P◦ ◦
et y. Discuter le graphe de ∆r G (T ) selon que ∆r G◦ > y, ∆r G◦ < y
ou ∆r G◦ = y.
3. Discuter la réaction.
Planche 127
Sup
Centrale-Supélec
À t = 0, C1 est déchargé. On appelle
1
la fréquence de l’interrupteur
FH =
TH
K.
1. On suppose que V1 est constant.
C0
V1 .
Montrer qu’à TH , V2 (TH ) = −
C1
VC1
IC1
C1
(1) K (2)
• •
C0
IC0
V1
VC
+
V2
0
2. On suppose maintenant que V1 varie lentement. Qu’est-ce
que cela
signiﬁe ? Déterminer une relation de récurrence entre V2 (n + 1)TH ,
V2 (nTH ) et V1 (nTH ). Montrer que c’est un montage intégrateur.
Planche 128 TP de physique de Centrale
Matériel à disposition :
un générateur de tension sinusoı̈dale v = V sin(ωt) ;
Is
un pont comportant 4 diodes ;
une résistance R ;
L
R
I
v
une inductance L ;
un interrupteur K en parallèle
K•
de l’inductance pour la courtcircuiter ;
un voltmètre magnétostatique ;
décades de résistances.
Questions. Étude élémentaire d’une diode simple.
Étude du pont : tracés des intensités et des tensions grâce à un
oscilloscope et la décade de résistances, avec et sans l’inductance.
Calcul de la tension moyenne < VR+L > et mesure grâce au voltmètre
magnétostatique. Quelle est l’utilité de ce montage si on place autre
chose que l’inductance à sa place ?
i2
v2
Planche 123 Sup CCP
Étude d’un doublet : on donne deux lentilles, L1 de distance focale
+4 cm, puis L2 de distance focale −5 cm. Elles sont séparées d’une
distance d, et on place un écran à une distance D après L2 .
1) Donner les relations de Descartes.
2) Donner les conditions de Gauss. Pourquoi faut-il les respecter ?
3) On place l’écran à D = 10 cm après L2 . Pour un objet vu de
l’inﬁni, déterminer quelle est la distance d pour observer une image
nette sur l’écran ?
4) On conserve la distance d trouvée à la question précédente,
mais on place cette fois un objet réel à 7 cm devant L1 . Déterminer
D pour obtenir une image nette.
5) On se met dans les conditions de la question précédente, mais
on souhaite remplacer le doublet par une seule lentille. Donner la
distance focale de cette lentille.
= αi z, α > 0 est une constante. Montrer
4. On considère que B
d
dv
di
= −αi2 et L
= αvi.
que m
dt
dt
v1
−1
i1
◦
i3
Planche 125 Centrale-Supélec
On considère une voiture assimilable à un cube d’arête l, de masse
1 tonne et dont les roues sont confondues avec les arêtes inférieures
de ce cube. On néglige toute force de frottement. La voiture est une
traction arrière (propulsion).
1. Trouvez l’accélération à partir de laquelle la voiture se cabre.
2. Tracez la vitesse en fonction du temps. On distinguera 2 parties
de la courbe.
3. Le chauﬀeur laisse sa porte ouverte, assimilable à un carré de côté
a = 1 m et de masse m = 20 kg.
Trouvez l’équation de fermeture de la porte. On donne le moment
d’inertie de la porte sur son axe J = ma2 /3 . (On pourra faire
intervenir un angle θ entre la porte et la voiture).
4. Le chauﬀeur roule à fond sur un rond point avec la porte ouverte.
À partir de qu’elle distance parcourue la voiture part en tonneau ?
Planche 126 Centrale-Supélec
i(t)
Rail de Laplace. À t = 0, on a x = 0 et v = v0 x.
→
→
v(t)
B
d
1. Déterminer les équations couplées de I et v. R
L
2. Montrer que l’énergie est sous deux formes. y
dE
et commenter.
Calculer
x
z
dt
3. On considère que la résistance R est négligeable. Calculer v(t) et
i(t).
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
Page 74
v3
Ecran
M1
On considère le système opS2
(1)
tique construit ci-contre à l’aide de deux miroirs M1 et M2 et
(2)
de deux séparatrices S1 et S2 .
Au départ, les chemins opti(L)
ques sont égaux. On ajoute enSource
S1
e
suite la lame (L) d’épaisseur e
M2
et d’indice n.
1. Calculer le déphasage sur le faisceau (2).
2. Calculer le déphasge entre les deux rayons puis l’ordre d’interférence. On donne e = 2 mm et n = 1, 5.
On remplace la lame (L) par une lame en coin de verre d’angle
α et dépaisseur e au milieu du champ. On introduit également une
lentille (L ) de grandissement unité entre la séparatrice S2 et l’écran.
On observe l’image de la lentille (L ) sur l’écran.
écran Maple
3. Qu’observe-t-on ? Que peut-on en
déduire ?
4. Comment placer la lentille de grandissement unité ?
Quelle serait sa distance focale, avec
l’écran positionné à 2 mètres de la
lentille, pour obtenir la ﬁgure ci-contre
(obtenue par Maple).
i = 12 mm
5. Calculer l’angle α du coin de verre.
v4
i4
Planche 124 Centrale-Supélec avec Maple
Concours Divers − option ATS
Planche 129
Sup
ENSEA
I) Optique lunette. Le système est constitué d’une lentille convergente de distance focale 20 cm et d’une lentille divergente de distance
focale −5 cm. Le foyer objet de la lentille divergente est placé sur le
foyer image de la lentille convergente.
Faire un schéma du montage avec le trajet de rayons venant de l’inﬁni
et calculer le grandissement.
II) Un cylindre inﬁni de rayon R possède une cavité cylindrique de
rayon r. les axes de la cavité et du cylindre principal sont parallèles
et distants de a tel que a + r < R. Seul le cylindre principal est
traversé par une distribution volumique de courant j. Calculer le
champ magnétique à l’intérieur de la cavité.
III) Atomistique. on donne la position, ligne et colonne, d’un
élément du tableau périodique des éléments. Déterminer le nombre
d’électrons de celui-ci.
Planche 130
Sup
I) Optique télescope. Le système est constitué de deux lentilles
convergentes L1 et L2 de distance focale f1 = 15 cm et f2 = 3 cm.
1. Comment positionner les lentilles pour avoir une image d’un objet
situé à l’inﬁni ?
2. Faire un schéma du télescope avec l’image d’un objet situé à l’inﬁni
dans une direction faisant un angle β avec l’axe optique.
3. Déﬁnir et calculer le grossissement.
II) Mécanique. Une bille de masse M est suspendue à un ﬁl
indéformable de longueur l. Il y a un angle β entre la verticale et
le ﬁl.
1. Déterminer l’équation diﬀérentielle du système.
2. Que ce passe-t-il si l’angle β est petit ? Résoudre. Période des
oscillations.
3. L’expérience est maintenant réalisée dans une voiture à accélération constante γ . Quel angle fait le ﬁl à l’équilibre avec la verticale ?
Reprendre les questions 1. et 2.
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
Planche 131 Sup
I) une petite voiture démarre horizontalement avec une vitesse V0 .
Elle s’engage dans un looping circulaire de rayon R. Quelle est la
condition sur V0 pour que la voiture arrive jusqu’au sommet du
looping sans tomber.
II) On considère une lunette astronomique constituée d’une lentille
objectif L1 de focale 16 cm et d’une lentille oculaire L2 de focale
4 cm. Les deux lentilles sont séparées de 20 cm.
1. Représenter le système en faisant apparaı̂tre les foyers des lentilles.
2. Où se situe l’image d’un objet situé à l’inﬁni ?
3. Représenter le parcours d’un faisceau lumineux à travers le
système optique.
4. Calculer le grossissement.
5. Quel est l’intérêt d’un tel dispositif ?
III) Un ensemble fermé par des parois adiabatiques est séparé en
deux compartiments par une cloison adiabatique. Le premier compartiment est constitué d’une mole de dioxygène à la température
T0 , de pression P0 et de volume V0 . On fait le vide dans le deuxième
compartiment de volume 10V0 , puis on enlève subitement la cloison
de séparation.
1. Calculer la variation d’énergie interne.
2. En déduire la température ﬁnale et la pression ﬁnale.
3. Calculer la variation d’entropie.
IV) calcul du champ électrique créé par une boule chargée uniformément de rayon R et de charge σ. Calcul du potentiel associé.
Planche 132 Sup
I) Exercice II) de la planche précédente.
II) On considère un cylindre inﬁni de rayon R parcouru par une
densité de courant uniforme j. Une cavité cylindrique de rayon r, a
son axe parallèle à l’axe du cylindre. Les deux axes sont distants de
a, tel que r < a et a + r < R. Calculer le champ magnétique créé au
sein de la cavité.
III) On demande de déterminer le nombre d’électrons d’un élément
choisi dans le tableau périodique dont on donne la ligne et la colonne.
r
Planche 133 Sup
I) On considère le circuit ci-contre avec
un ampli op parfait.
Trouver le schéma bloc en boucle fermée
+
ve(t)
vs(t)
de ce montage.
Trouver sa fonction de transfert en bouR1
R2
cle ouverte. Diagrammes de Bode associés.
Trouver la fonction de transfert en boucle fermée.
Diagramme de Bode. Étude de la stabilité.
II) Le deuxieme exo était basé sur les équivalences Norton Thevenin,
loi des mailles et loi des noeuds.
Planche 134 Sup
I) Optique
Dans l’approximation de Gauss, on dispose d’une lentille L1 de vergence +5 dioptries ainsi qu’une lentille L2 de vergence -10 dioptries
placée à 20 cm de L1 . On dispose également d’un objet d’une hauteur
de 20 cm placée à 1 m de la première lentille.
1/ Déﬁnir l’approximation de Gauss. Comment l’obtient-on ?
2/ Faites un schéma. Trouver l’image et le grandissement graphiquement.
3/ Retrouver, par la méthode de conjugaison, le résultat de la
question 2.
4/ Où doit-on placer la lentille L2 pour avoir l’image ﬁnale à l’inﬁni ?
II) Électromagnétisme
On dispose de 2 cylindres concentriques de rayon R1 et R2 . Le
cylindre 1 de rayon R1 est chargé +Q et est plein (à l’intérieur).
Le cylindre 2 de rayon R2 de charge −Q est vide (à l’extérieur).
(Autrement dit : c’est un condensateur).
entre les armatures. Que vaut E
à l’intérieur et à
1/ Calculer E
l’extérieur des armatures ?
2/ Calculer le potentiel.
3/ Quelle est la capacité du condensateur ?
Planche 135 Sup
I) On considère un système masse avec ressort,
comportant un amortisseur en parallèle pour maintenir le ressort au plafond avec un axe z vers le bas.
1) Déﬁnir les forces.
2) Exprimer la position d’équilibre.
3) Trouver l’équation du mouvement.
L’oﬃciel de la taupe numéro 18
h
k, l0
4) Discuter suivant les valeurs d’un certain paramètre, trouvé avant,
en accompagnant d’une courbe.
II) 1) Optique. L’image est située à 40 cm d’une lentille convergente
de vergence v = 0, 1 cm−1 . Faire un dessin.
2) Relation de conjugaison.
III) Dans une bouteille thermos, on met de l’eau et des glaçons.
Trouver la température ﬁnale et la variation d’entropie.
Données du sujet :
capacité thermique molaire de l’eau à 20 ◦ C = 75, 24 J.K−1 .mol−1 ,
capacité thermique molaire de la glace à 0 ◦ C = 37, 62 J.K−1 .mol−1 ,
énergie de fusion de la glace à 0 ◦ C = 6 kJ.mol−1 ,
température des glaçons : Tg = 0 ◦ C,
température de l’eau : Te = 20 ◦ C.
IV) Condensateur plan.
1) Calculer champ E et potentiel V entre les armatures.
2) Tracer les lignes de champ (en faisant une hypothèse)
3) Calculer sa capacité.
4) Énergie emmagasinée dans le condensateur.
Question bonus : Citer les équations de Maxwell sous forme intégrale
et diﬀérentielle.
Planche 136 Sup II
I) Tore magnétique. Un courant i
traverse un tore magnétique de section carrée de côté 2a.
1. D’après les symétries du système,
donner la direction du champ B.
en tout point
2. Calculer le champ B
de l’espace.
z
l
i
i
N spires
2a
3. Calculer le ﬂux magnétique à travers le tore.
4. Calculer l’inductance propre.
II) Optique. On pose une goutte d’un liquide
d’indice n sur le coin d’une plaque épaisse de verre
air
verre
d’indice nv . L’ensemble est dans l’air d’indice
nair = 1.
1. Dessiner le trajet d’un rayon lumineux frappant le coin de la
plaque de verre puis traversant la goutte.
2. Le rayon lumineux est réfracté dans la goutte si l’angle d’incidence
est supérieure à un angle limite ilim . Déterminer cet angle limite en
fonction de n et nv .
3. A.N. ilim = 47, 81 ◦ et nv = 1, 607. Calculer l’indice n du
cyclohéxane.
Planche 137 ENSEA Génie électrique
Question 1 Déterminer le diagramme de gains et phase d’un ﬁltre.
Question 2 Déterminer la fonction V = F (I).
i
I
R1
E
R1
V
R2 E
Rz
R2
V
Vz
I
Planche 138 ENSEA Génie mécanique
Étude statique d’une riveteuse.
Questions : 1. Hyper statisme
2. Graphe de liaison
3. Schéma cinématique
4. Déterminer les eﬀorts mise en jeu dans chaque pièce
5. Déterminer la pression ﬁnale de rivetage
P
Quelques journées portes- ouvertes
10 mars 2012 : ISEP, encart central page 3.
17 mars 2012 : ENSAI, page 20 et ENSIIE page 39.
m
z
Page 75
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope
Indications, remarques de candidats, réponses, etc.
1.Sans certitudes, le candidat a avancé pour la dernière question que l’indice de
réfraction ne serait plus le même, que le LASER ne serait pas droit, et égalemnt
que dans un champ de pesanteur, la diﬀérence de densité (donc de la poussée
d’Archimède) donnerait un phénomène de convexion.
La diﬃculté provient du fait qu’on ne connait pas la solution des équations,
sauf si on regarde les valeurs numériques pour déduire des approximations
raisonnables. Pour le passage d’une puissance surfaçique à une puissance volumique dans le ﬂuide, utiliser bien la déﬁnition de α.
10.
∆f H ◦ (kJ/mol)
S ◦ (J.K−1 .mol−1 )
11.
J’ai commencé par écrire tout ce qu’on pouvait dire en mettant plein de couleurs
dans le dessin. Puis j’ai donné le résultat dans les conditions de Gauss. Ça se
gâte ensuite, il m’a demandé de voir dans le cas général (sans Gauss). . . Et
me voyant patauger dans les DL horribles, il m’a fait reprendre un DL d’une
formule déjà obtenue via un DL à l’ordre 1, mais qu’il fallait pousser à l’ordre
2. Il m’a alors demandé comment on pouvait choisir la lentille pour avoir le
stigmatisme le plus rigoureux possible.
2. Face au silence du candidat, l’examinateur a fourni successivement, avec un
délai de réﬂexion entre chacunes, trois indications.
1. Considérer que le problème est plan, ne pas tenir du compte du poids et
supposer que les hanches de tout être humain sont circulaires.
2. Puis un peu plus tard, il demandé de supposer qu’il n’y avait pas de glissement
au contact.
3. Et vers la ﬁn, il a demandé de considérer que les hanches sont animées d’un
mouvement circulaire uniforme de rayon a et de vitesse ω
. Trouver une solution
en régime permanent.
12. L’exercice n’était pas dur à comprendre, par contre pour arriver jusqu’aux
équations, la partie projection n’était pas très agréable. Il fallait bien entendu
faire un bilan des forces : on ne s’occupe pas du poids (horizontale au repos),
∧ B.
= I dl
donc il ne reste que la tension T et la force de Laplace F
Le problème c’est que l’on s’aperçoit que l’on ne peut pas faire l’approximation
∼ dx,
sinon il ne se passe rien. Il faut donc projeter, et sur les trois
dl
dimensions. Après s’être joyeusement emmêlé dans toutes ces projections, on
arrive, de mémoire, alors⎧
à :
2
∂2y
IB0 ∂z
T ∂ y
⎪
⎨
= µ
+ µ
2
∂x
∂t
∂x2
2
2
⎪
⎩ ∂ z = T ∂ z − IB0 ∂y
µ ∂x2
µ ∂x
∂t2
Pour le type d’onde qui peut se propager, en regardant pour les OPPH, on arrive
à une équation de dispersion.
Il m’a vraiment laissé ramer sur mes projection. Il me disait juste c’est faux ,
mais il a ﬁni par me dire de faire le schéma en coordonnées sphériques, et c’est
vrai que ça m’a aidé.
3. Contrairement à ce que pensait le candidat au début, on ne fait pas osciller
le ressort, on se place à l’équilibre. À ce moment-là la capacité est évidemment
0 S
positive ( e ) où e mesure l’écart entre les plaques. L’examinateur a introduit
dq
une capacité dynamique qui peut eﬀectivement être négative si l’on choisit
du
bien q...
4. Le fer α cristallise en un réseau de type cubique à faces centrées.
5. Réponse du candidat : On néglige les interactions gravitationnelles. Il
y a conservation de la quantité de mouvement d’où M (t)ẋ(t) = m0 v0 ,
∀t 0 avec M (t) = m0 + ρSx(t). On intègre, ce qui donne un système
du second degré
; une solution est toujours négative, la bonne est donc :
−m0 + m20 + 2m0 v0 ρSt
√
qui se met sous la forme X = −1 + 1 + T
x(t) =
2ρS
m0
x
L
,X=
et T = v . Tracer et interpréter.
avec L =
0
2ρS
L
13.
C’était un exercice d’orga un peu diﬀérent de d’habitude, mais pas forcément
très dur (à part la première réaction). Réponses :
6. Après quelques incertitudes sur l’angle de Brewster et après m’être aperçu,
avec du retard, que la lumière du laser était déjà polarisée, je suis rentré dans
le vif du sujet, question 3). Une première erreur de calcul, signe faux lors d’une
projection, m’a fait trouver une polarisation rectiligne au lieu d’elliptique.
L’examinateur ne donne hélas aucune indication à part quelques sous-entendus
indiquant qu’on lui raconte n’importe quoi.
L’observation était loin d’être évidente : il fallait remarquer la présence
de noeuds et de ventres d’émission selon les axes verticaux et horizontaux,
les ventres horizontaux correspondant aux noeuds verticaux et inversement.
L’explication se faisait en considérant les atomes comme des dipôles rayonnants, dont l’axe était donné par la direction locale de polarisation. Il fallait
ensuite expliquer en détail la présence de ces noeuds et de ces ventres (nécessité
de TRÈS bien maı̂triser la polarisation elliptique).
En ce qui concerne la mesure de la biréfringence, elle pouvait se faire grâce à
la mesure de la distance entre deux noeuds ou grâce à la mesure de l’intensité
lumineuse en sortie. Attention à la question sur la précision, l’examinateur
attendait bien entendu un calcul détaillé et des applications numériques précises
(c’est le cas de le dire). Un détail à propos du voltmètre : il n’y avait qu’une seule
position pour les volts, mais il fallait remarquer la présence d’un minuscule signe
alternatif qui expliquait pourquoi les mesures ne fonctionnaient pas... dommage,
l’examinateur me l’a expliqué au bout de 3h59min59s.
L’examinateur n’est presque jamais là, un passage toutes les heures de
l’épreuve, environ.
7. On essaiera de répondre en estimant le rapport α =
RPôle
Réquateur
O
P(C6H5)3
B:
CO2C2H5
C:
O
O
COCl
CO2H
E:
D:
O
O
O
NH
F:
O
Il m’a demandé des détails sur la saponiﬁcation, puis une fois que je lui ai
fait la réaction, il m’a demandé si on s’arrêtait bien là (étape X) et si les
réactifs ne pouvaient pas à nouveau réagir entre eux. En fait, ce qu’il voulait
que je fasse, c’est que je lui parle de l’estériﬁcation et que je lui explique qu’on
séparait d’abord le carboxylate et l’alcool qui sont dans 2 phases diﬀérentes avant
de faire l’hydrolyse acide... Il m’a également posé des questions sur la géométrie
du produit ﬁnal et du groupement amide et m’a demandé de lui prédire le spectre
infrarouge.
14. D = 2, 81..10−5 m2 .s−1
15. La réponse attendue doit prendre en compte la divergence, la symétrie et les
conditions limites pour r (en 0 et en a) et z (en 0 et en e).
16. I) J’ai proposé que ce qui nous intéresse, c’est que le cadre puisse transmettre un signal électrique représentatif de l’onde, et que l’on va donc chercher
les caractéristiques du cadre tels que les eﬀets inductifs soient optimaux, ce que
→
−
l’examinateur a validé. Comme les calculs du ﬂux de B m’ont semblé compliqués
dans le cas général, i.e avec θ quelconque. J’ai donc proposé pour θ = π et θ = 0,
2
ce qui correspond intuitivement -on peut se référer au produit scalaire- aux cas
de ﬂux maximal et minimal. À la ﬁn des calculs, on trouve qu’au minimum, on
doit avoir a = λ . J’ai alors évoqué le fait que ce système pouvait correspondre
2
à une antenne. Pour les ondes radios, λ ∼ 100 km, ce qui conﬁrme l’intérêt de
la modulation des signaux.
II) Je n’ai pas saisi immédiatement qu’il s’agissait d’une question de cours...
et j’ai eu en tête une foule d’exercices possibles comme ils en ont le secret aux
ENS sur l’accrétion et les choses de ce genre. J’ai donc commencé par donner
la forme générale du potentiel, en précisant les grandeurs employées. Ensuite,
j’ai dit Je peux vous dire plein de choses sur ce sujet, mais cela dépend de là
vous voulez m’emmener -je le redis, ce n’est que quelques minutes plus tard que j’ai compris qu’il
s’agissait d’une question de cours. L’examinateur m’a demandé de parler des
trajectoires, des lois de Kepler, des comètes, de la démonstration de la troisième
loi de Kepler sans passer par le cas particulier de la trajectoire circulaire -il a
tout de même précisé que ce n’était pas exigible.
·
9. C’était extrêmement long. C’était assez violent, je n’ai pourtant pas eu
l’impression d’avoir perdu beaucoup de temps mais il faut croire que ça a été
le cas. Pas mal de questions (dont je ne me souviens plus pour la plupart).
Les examinateurs étaient très durs sur les mesures de sécurité (il faut dire que
pratiquement tout ce que j’ai manipulé était nocif, toxique, irritant, corrosif ou
cancérigène...), en particulier sur les gants. On avait toute une ﬁche avec les
références de sécurité, des P315, des H338 et autres. Je pense qu’il faudrait
plus insister dessus en TP : je ne savais pas vraiment quand est-ce qu’il fallait
mettre des gants... Après m’être fait engueuler deux fois, j’ai ﬁni par les mettre
à chaque fois que je manipulais autre chose que de l’eau. Je ne sais pas non
plus quand est-ce qu’il fallait manipuler sous la hotte, donc j’y suis allé une ou
deux fois, quand il y avait plus de trois images sur la bouteille, dont une tête
de mort, un type avec les poumons radioactifs, et des mains qui fondaient (sans
parler de poissons morts assez traumatisants).
Cela dit, étant donné que le mélange réactionnel de la ﬁlle qui manipulait en face
de moi a explosé en fumant et bouillonnant juste à coté de la pissette d’éthanol
(que j’ai eu le temps de sauver d’une inﬂammation certaine), je pense que ça
aurait pu être pire...
18
Cl
A:
8. Le texte précisait bien que les justiﬁcations concernant la régiosélectivité
étaient hors programme...
Le jury a tout de même posé la question et heureusement que j’avais jeté un
coup d’oeil dans le livre : j’aurais eu du mal à inventer celle des organolithiens.
Nombreuses autres questions sur la nucléophilie et l’électrophilie de diﬀérents
réactifs et groupements ainsi que sur les conditions des réactions et autres
(c’était vraiment en continu).
Morale : bien étudier et bien utiliser les documents mis à disposition.
L’oﬃciel de la taupe numéro
Cl2 (g) Cu (s) CuCl (s) CuCl2 (s)
0
0
−137, 2 −220, 1
223,0 33,1
86,2
108,1
2
17. a << R.
∂2f
∂2f
1 ∂f
1 ∂ f
18. Laplacien en cylindriques : ∆f =
+
+
+
2
2
2
∂r
r
∂r
r
∂θ
∂z 2
→
−
∂Eem
E
+ div( Π ) = 0 57
19.
+ J.
∂t
20. On supposera que la température du lait reste uniforme, et que la température
T2 extérieure en R2 vaut la température extérieure.
21. Les autres éléments de sa colonne sont des métaux.
Page
76
c MMXI Éditions Oﬃciel de la Taupe Gyroscope

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