Exercices sur la complexité et les preuves d`algorithmes

©Arnaud de Saint Julien -Informatique- MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1
Feuille d’exercices n°4 : Complexité et preuves d’algorithmes
Exercice 1 Dans cet exercice truc et bidule désignent deux instructions et nun entier naturel. Déterminer
en fonction de npour chaque script le nombre de fois où les instructions truc et bidule sont exécutées.
# script 1
for i in range(n):
truc
for j in range(n):
bidule
# script 2
for i in range(n):
truc
for j in range(n):
bidule
# script 3
for i in range(n):
truc
for j in range(i,n):
bidule
Exercice 2 Déterminer pour chacun des scripts le nombre d’opérations significatives effectuées, en déduire leur
complexité en fonction de n.
# script 1
n = 100
p = 0
for i in range(n):
for j in range(n):
for k in range(n):
s=2*s
# script 2
n = 100
p = 0
for i in range(n):
s=s+3
for j in range(n):
s=s+3
# script 3
n = 20
s=0
for i in range(n):
for j in range(i,n):
s = s + j**2
# script 4
n = 100
p = 1
for i in range(n):
for j in range(i-5,i+5):
p = 2*p
# script 5
n = 100
s = 0
for i in range(n):
a=n
while a > 1:
a = a/2
s += 1
# script 6
n = 20
i=n
s=0
while i > 1:
for j in range(i):
s=s+1
i = i/2
Exercice 3 (Terminaison et complexité) Étudier la terminaison des scripts suivants et déterminer le cas
échéant le nombre d’itérations.
# script 1
n = 100
a = 1
while a < n:
a=a+5
# script 2
n = 10**8
a = 1
while a < n:
a=2*a
a = 100
while a >= 0:
a = a//2
Exercice 4 (Invariant de boucle) Justifier la terminaison puis démontrer que la fonction suivante renvoie
le produit de apar ben utilisant l’invariant de boucle p=i×b.
def multiplication(a,b):
p=0
i=0
while i < a:
p = p + b
i = i + 1
return p
Exercice 5 (Invariant de boucle) Démontrer que : «à l’entrée de la boucle i, la variable maximum est égale
à max{t[0], t[1],...,t[i−1]}». C’est un invariant de boucle. En déduire que maxi(t) renvoie bien le maximum
des éléments de t.
def maxi(t):
"""Données: t un tableau d’entiers
Résultat: le maximum des éléments de t"""

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n =len(t)
if n == 0:
return None # cas où le tableau est vide
maximum = t[0]
for k in range(1,n):
if t[k] > maximum:
maximum = t[k]
return maximum
Exercice 6 (Liste de nombres premiers) On considère la fonction suivante est_premier qui teste la pri-
malité d’un entier.
def est_premier(n):
if n < 2:
return False
d=2
while d**2 <= n:
if n % d == 0:
return False
d = d + 1
return True
1. Tracer la fonction avec n= 35 et n= 31.
2. Si k>1, on note dkla valeur de la variable dà la fin de la k-ième itération de la boucle while. On
convient que d0= 2. Déterminer dk, en déduire que l’algorithme se termine.
3. Combien de divisions sont nécessaires au pire pour tester la primalité d’un entier naturel n?
4. Peut-on remplacer la boucle while par une boucle for ? Si, oui quel peut-être l’inconvénient ?
5. Écrire une fonction liste_premiers qui prend en argument un entier net renvoie la liste des nombres
premiers inférieurs ou égaux à n.
6. Déterminer une majoration du nombre de divisions effectuées lorsque l’on exécute liste_premiers(n). En
déduire, pour déterminer la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à nsi l’on utilise est_premier.
7. En déduire la complexité de liste_premiers. On pourra utliser librement que si f: [1,+∞[→R+est
une fonction continue et croissante telle que la série Pf(n) diverge, alors :
N
X
k=1
f(k)∼N→+∞ZN
1
f(t) dt.
Remarque : cet algorithme n’est pas très performant, on préfèrera utiliser l’algorithme du crible d’Eratosthène
bien plus efficace, dont la complexité temporelle est quasi-linéaire en O(nln n).
Exercice 7 (Une suite récurrente) Soit ula suite définie par u0= 1 et pour n∈N, un+1 = sin(un).
1. Écrire une fonction nommée suite prenant n∈Nen argument et renvoyant un.
2. Que calcule la fonction suivante :
def mystere(n):
s = 0
for k in range(n+1):
s = s + suite(k)
return s
3. Déterminer en fonction de nle nombre d’additions et de calculs de sinus nécessaires pour calculer
mystere(n).

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4. Écrire une autre fonction qui renvoie les mêmes valeurs que mystere mais avec une meilleure complexité.
Exercice 8 (Une suite récurrente d’ordre 3) Soit ula suite définie par u0= 1, u1=−2, u3= 5 et
∀n∈N, un+3 =−2un+2 +un+1 −un.
On veut calculer u50. On propose deux méthodes :
1. Première méthode : créer un tableau d’entiers de longueur 51 dont les trois premiers élements sont
u0, u1, u2. Compléter ensuite ce tableau de sorte que ses éléments soient u0, u1,...,u49, u50.
2. Déterminer les complexités temporelles et spatiales de votre programme.
3. Deuxième méthode : proposer une autre méthode plus économique du point de vue de la mémoire.
Exercice 9 (Nombres de Bell) Les nombres de Bell Bnsont définies par B0= 1 et
∀n∈N, Bn+1 =
n
X
k=0 n
kBk
1. Écrire une fonction prenant en argument un entier naturel net renvoyant la valeur de Bn. On pourra
réutiliser une fonction binomial créée précédemment.
2. Déterminer la complexité de votre programme.
Exercice 10 (Dichotomie et juste prix) On veut écrire un script qui demande à l’utilisateur de deviner un
nombre entre 1 et 100 qui a été choisi aléatoirement. Si la réponse de l’utilisateur est fausse, le programme
indique si sa réponse est trop grande ou trop petite et l’utilisateur peut à nouveau faire une proposition. Le
programme ne doit se terminer que si la bonne réponse est donnée. On utilisera une technique de dichotomie