Transport turbulent dans les zones radiatives d`étoiles

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Vincent Prat
[email protected]
1re année de thèse
Physique du Soleil et des Étoiles
François Lignières
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Transport turbulent dans les zones radiatives d’étoiles
Objectif de la thèse
Modéliser l’influence des mouvements macroscopiques provoqués par la rotation
d’une étoile sur sa structure interne constitue aujourd’hui le défi majeur de la
théorie de l’évolution stellaire.
Actuellement, le transport turbulent d’éléments chimiques dans la zone radiative
des étoiles est pris en compte au moyen de coefficients de transport dérivés à
partir d’arguments phénoménologiques (Zahn, A&A 265, 1992).
L’objectif de cette thèse est de tester la forme de ces coefficients de transport
par des simulations numériques 3D et éventuellement de proposer une nouvelle
modélisation du transport turbulent qui pourrait, à terme, être intégrée dans des
codes d’évolution stellaire tels que le code ESTER, développé et maintenu dans
l’équipe de Physique du Soleil et des Étoiles.
Approximation des petits Péclets
Une diffusivité thermique très importante implique que Pe 1. On peut donc
développer chacune des grandeurs du problème par rapport à Pe :
θ = θ0 + Peθ1 + . . .
~v = ~v0 + Pe~v1 + . . .
Les équations précédentes deviennent alors, au premier ordre en Pe :
~ · ~v = 0
∇
∂~v
1
~ v = −∇p
~ + Rψ~ez + ∆~v
+ (~v · ∇)~
∂t
Re
vz = ∆ψ
avec ψ = Peθ .
Les effets de la diffusivité thermique et de la stratification sont donc regroupés
en un seul terme et décrits par un seul nombre sans dimension :
R = RiPe
Cadre
On s’intéresse au transport turbulent induit par un cisaillement de vitesse dans
un milieu plan stratifié de manière stable :
Caractéristiques du code de calcul
Pour résoudre numériquement les équations du fluide, nous utilisons le code
Balaïtous, maintenu et développé dans notre équipe. Ce code effectue des
simulations (magnéto)hydrodynamiques 3D en géométrie cartésienne.
Dans le domaine spatial, Balaïtous utilise :
I un schéma de différences finies compactes dans la direction verticale,
I la transformée de Fourier dans les directions horizontales.
Dans le domaine temporel, la méthode d’avancement utilisée est celle de
Runge-Kutta.
Figure: Schéma explicatif du cadre utilisé
le cisaillement de vitesse représente l’effet local de la rotation différentielle qui
entretient la turbulence
I la stratification stable limite les mouvements verticaux comme dans les zones
radiatives d’étoiles
Le dernier ingrédient important est la très forte diffusivité thermique d’origine
radiative, qui a deux effets opposés sur les mouvements verticaux :
I elle les favorise en diminuant la force de rappel d’Archimède
I elle les limite en augmentant la dissipation d’énergie cinétique
I
Équations
On modélise le fluide par les équations de Navier-Stokes en se plaçant dans
l’approximation dite de Boussinesq : on néglige les variations de densité sauf
dans le terme de gravité.
Le fluide satisfait alors aux équations adimensionnées suivantes :
~ · ~v = 0
∇
∂~v
1
~
~
+ (~v · ∇)~v = −∇p + Riθ~ez + ∆~v
∂t
Re
∂θ
1
~ + vz = ∆θ
+ ~v · ∇θ
∂t
Pe
où ~v désigne la vitesse, p la pression et θ l’écart de température par rapport au
profil moyen (qui est linéaire, cf. figure précédente).
Ces équations font apparaître trois nombres sans dimension :
UL
Re = ν : nombre de Reynolds, qui mesure les effets de la viscosité ν
Pe = UL
κ : nombre de Péclet, qui mesure les effets de la diffusivité thermique κ

Figure: Exemple de simulation. Il s’agit d’une coupe du domaine selon le plan yOz. Les vecteurs
représentent les fluctuations de vitesse et la couleur de fond les fluctuations de température
Mélange turbulent
Une fois un régime de turbulence statistiquement stationnaire obtenu, deux
approches peuvent être utilisées pour étudier le mélange des éléments chimiques
dû à la turbulence :
I une approche eulérienne, qui consiste à introduire une concentration dans la
résolution numérique, qui s’effectue en deux étapes :
le calcul de l’écoulement sans s’occuper de la concentration (qui est un scalaire passif)
I le calcul de la nouvelle concentration à partir du nouvel écoulement en utilisant une équation
de diffusion
I
I
une approche lagrangienne, qui consiste à introduire des particules dans le fluide
et à suivre leur mouvement
N 2
S

Ri =
: nombre de Richardson, qui compare la stratification (liée à la
dU
fréquence de Brunt-Väisälä N) et le cisaillement S = dz


Institut de Recherche en Astrophysique et Planétologie
Équipe de Physique du Soleil et des Étoiles