Chapitre 6 LE POTENTIEL PERIODIQUE

Chapitre 6
LE POTENTIEL PÉRIODIQUE
6.1
Le double puits de potentiel
Considérons une particule de masse m soumise à l’énergie potentielle V (x) dont
le graphe est représenté sur la Þgure 6-1.
Figure 6-1.
Si d est assez grand, chacun des puits peut être étudié indépendamment de l’autre.
Les puits étant identiques, ils présentent des spectres d’énergie identiques. Soit E l’une
des valeurs du spectre. Une particule piégée dans le premier puits avec l’énergie E a pour
fonction d’onde u1 (x). La particule piégée dans le second puits avec la même énergie E
est décrite par la fonction d’onde u2 (x). Les fonctions u1 et u2 représentent deux états de
même énergie. Elles se déduisent de l’étude générale des fonctions uE (x) du paragraphe
5.2. Les densités de présence, ρ1 et ρ2 , correspondant à deux solution de même énergie E,
sont représentées sur la Þgure 6-1. Toute combinaison linéaire de u1 et u2 est une fonction
propre de l’hamiltonien Ĥ pour la valeur propre E. Cette valeur propre se trouve donc
dégénérée d’ordre 2† .
Lorsque la distance 2d, entre les deux puits diminue le potentiel se présente sous
la forme d’un puits de potentiel unique présentant en son milieu une barrière de potentiel
(voir la Þgure 6-2 a). Nous assimilons cette barrière de potentiel à la fonction W0 δ (x) où
R d+ε
l’on a posé W0 = −d−ε V (x) dx = 2d V0 , tandis que δ (x) est la fonction généralisée de
Dirac.
† Les résultats généraux du paragraphe 5.3 page 74 ne sont pas remis en cause car, en toute rigueur, il
n’y a dégénérescence que pour d → ∞.
Le potentiel périodique
78
V(x)
W0 δ(x)
V0
a
∞
∞
a
E
E
x
-a
a)
a
x
b)
Figure 6-2.
Nous considérons le cas où l’énergie E satisfait la relation 0 < E << V0 . Dans
ces conditions, par souci de simpliÞcation, nous admettons que V0 est pratiquement inÞni.
L’énergie potentielle est alors la fonction V (x) de la Þgure 6-2 b), telle que
½
∞ pour |x| > a
V (x) =
W0 δ (x) pour |x| < a
Soit uE (x) une fonction propre de l’hamiltonien pour la valeur propre E. La
fonction uE satisfait l’équation
−
~2 00
u (x) + V (x) uE (x) = E uE (x)
2m E
(6.1)
Les conditions de continuité en x = ±a imposent la condition uE (±a) = 0.
Aucune condition de continuité n’est imposée sur la dérivée de uE pour les raisons déjà
évoquées page 35 (§2).
En x = 0 on impose la continuité de la fonction uE . Pour obtenir la condition
imposée sur la dérivée de uE on intègre l’équation 6.1 entre −ε et ε où ε est une quantité
positive arbitrairement petite :
−
avec
2mW0
~2 0
(u (ε) − u0E (−ε)) + W0 uE (0) = 0 ⇒ u0E (ε) − u0E (−ε) =
uE (0)
2m E
~2
(6.2)
Les solutions de l’équation 6.1 s’écrivent sous la forme

 0 pour |x| > a
uE (x) =
uI (x) pour −a < x < 0

uII (x) pour 0 < x < a
uI (x) = Aeikx + Be−ikx
uII (x) = Ceikx + De−ikx
(6.3)
√
2mE
, tandis que A, B, C et D sont des constantes arbitraires, reliées
où l’on a posé k :=
~
entre elles par les conditions de passage.
La fonction δ (x) est une fonction paire, par conséquent l’opérateur parité commute avec l’hamiltonien. Nous cherchons donc les fonctions uE qui sont soit paires soit
impaires.
Le double puits de potentiel
79
Solutions impaires : α et ϕ étant des constantes arbitraires, nous posons
uII (x) = α sin (kx + ϕ) , ce qui est l’expression la plus générale de uII (x) , écrite sous une
forme différente de l’expression 6.3. La fonction cherchée étant impaire, on en déduit par
symétrie uI (x) = α sin (kx − ϕ)
Les conditions de continuité en x = ±a s’écrivent sin (ka + ϕ) = 0. En x = 0, il
vient
uII (0) = α sin (ϕ) = uI (x) = α sin (−ϕ)
On peut donc poser ϕ = 0, la constante α étant de signe arbitraire. On vériÞe alors que
la condition 6.2 est satisfaite.
Ainsi la solution cherchée est de la forme
uE = αi sin (kx) pour
− a < x < a avec
sin (ka) = 0
Le coefficient constant est ici noté αi .
De la relation sin (ka) = 0 on déduit les valeurs possibles de E associées aux
π2 ~2
solutions impaires de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien : En i = n2 ×
2ma2
où n est un entier arbitraire.
Solutions paires : Nous posons ici uII (x) = α cos (kx + ϕ) et, pour des raisons de
parité, uI (x) = α cos (kx − ϕ) . On peut toujours considérer que ϕ appartient à l’intervalle [−π/2 , π/2] et que α est une constante arbitraire car deux fonctions d’ondes
proportionnelles décrivent le même état physique.
Les conditions de continuité en x = ±a s’écrivent : cos (ka + ϕ) = 0. Les condi2mW0
uE (0) , soit
tions de continuité en x = 0 s’écrivent u0II (0) − u0I (0) =
~2
2mW0
−2αk sin ϕ =
α cos ϕ. On obtient
~2
tan ϕ = −
mW0
~2 k
π
mW0
>> 1. On en déduit ϕ ' −π/2, plus précisément ϕ = − + θ
Supposons la relation 2
2
~ k
avec θ << π.
~2 k
'θ
tan θ =
mW0
et donc
uI (x) = −αp sin (kx − θ) ,
uII (x) = αp sin (kx + θ) avec
sin (ka + θ) = 0
Ici, la constante α est notée αp .
µ
¶
π2 ~2
2θ
1
−
De la relation sin (ka + θ) = 0, on déduit En p = n ×
où
2ma2
nπ
nous avons négligé les termes de l’ordre de θ2 . Dans les mêmes conditions on trouve
µ
¶
π ~2
π2 ~2
2~2
θ=n
1
−
et En p = n2 ×
maW0
2ma2
maW0
2
Le potentiel périodique
80
Ep
Ei
u1paire
x
-a
a
u1impaire
x
-a
a)
a
b)
Figure 6-3.
Le spectre de l’hamiltonien est représenté sur la Þgure 6-3 a). Pour les solutions
impaires, le spectre est celui du puits inÞni. C’est presque le même spectre pour les
solutions paires ; cependant, la dégénérescence qui serait présente pour θ = 0 est levée
(θ = 0 signiÞe W0 = ∞ ou encore d = ∞).
Sur la Þgure 6-3 b) nous avons représenté les fonctions u1paire et u1impaire , fonctions
d’onde paire et impaire de plus basse énergie (n = 1) pour αp = αi , en supposant θ
négligeable.
Considérons le cas où la particule est initialement décrite, à l’instant t = 0, par
la fonction d’onde ψ0 = u1paire + u1impaire . Au cours du temps ψ0 évolue :
ψ (t, x) = e−iE1p
= e−iE1i
u1paire (x) + e−iE1i t/~ u1impaire (x)
³
´
t/~
e−i(E1p −E1i ) t/~ u1paire (x) + u1impaire (x) .
t/~
Il est toujours loisible de multiplier la fonction d’onde par une constante (indépendante de x); la nouvelle fonction d’onde ainsi obtenue décrit le même état physique.
Nous considérons donc la fonction d’onde
Ψ (t, x) = eiΩ t u1paire (x) + u1impaire (x)
(6.4)
π 2 ~4
avec, ici, n = 1 A l’instant t = π/Ω la fonction
2m2 a3 W0
d’onde est Ψ = −u1paire (x) + u1impaire (x) .
Les fonctions Ψ (0, x) et Ψ (π/Ω, x) sont représentées sur la Þgure 6-4 pour αp =
αi :
avec ~Ω = (E1i − E1p ) = n2
Ψ (0, x) = u1paire (x) + u1impaire (x) et Ψ (π/Ω, x) = −u1paire (x) + u1impaire (x)
Figure 6-4.
Le double puits de potentiel
81
Initialement la particule est dans le puits de droite. La théorie classique prédit
que la particule reste à droite car elle ne peut pas traverser la barrière W0 δ (x) qui est
inÞniment haute. La théorie quantique prévoit que la particule peut passer dans le puits
de gauche par effet tunnel. C’est effectivement ce qui se passe. On vériÞe aisément que la
fonction d’onde 6.4 est une fonction périodique de période 2π/Ω. Le passage d’un puits à
πθ ~2
π
=
.
l’autre s’effectue en un temps
Ω
ma2
Le modèle précédent décrit qualitativement la molécule d’ammoniac N H3 .
H
H
N
H
V(x)
x
Figure 6-5.
Dans la position d’équilibre stable, les trois noyaux d’hydrogène, H, forment un
triangle équilatéral qui déÞnit un plan P . Par raison de symétrie, la théorie classique
prévoit l’existence de deux positions d’équilibre stables sur axe perpendiculaire à P, de
part et d’autre de P. Cette propriété se traduit par l’existence de deux puits de potentiel
séparés par une barrière dans le plan P.
La fréquence d’oscillation par effet tunnel d’une position d’équilibre à l’autre est
une caractéristique de la molécule d’ammoniac. Celle-ci peut donc servir de référence pour
asservir un oscillateur micro-ondes qui déÞnit un étalon de temps précis.
Considérons de nouveau la Þgure 6-1. Le cas particulier qui vient d’être étudié
conduit aux résultats suivants. Lorsque d = ∞ (c’est à dire θ = 0) les spectres de l’énergie
des solutions paires et impaires sont les mêmes. Par contre, la dégénérescence se lève
lorsque d décroît (c’est à dire lorsque la barrière devient quelque peu transparente).
Le potentiel périodique
82
Figure 6-6.
La Þgure 6-6 représente l’allure du spectre de l’hamiltonien en fonction de d dans
le cas de 2, 3, N puits de potentiels. On constate alors l’apparition de bandes d’énergie.
Lorsque N → ∞, l’énergie potentielle est périodique. Chacune des bande est alors constitué de niveaux d’énergie si proches que l’on peut considérer qu’elle forme un continuum.
6.2
Le potentiel périodique
Nous allons étudier un modèle simple de réseau périodique à une dimension dont
nous pourrons cependant tirer quelques informations générales.
Nous considérons une particule de masse m soumis à une énergie potentielle périodique : V (x) = V (x + a).
Une telle énergie potentielle est, par exemple, celle d’un électron dans le réseau
périodique d’un cristal.
L’énergie potentielle est prise sous la forme
V (x) =
∞
X
W0 δ (x − na) avec n ∈ Z
n=−∞
V(x)
An
Bn
x
-2a
-a
0
a
2a
Figure 6-7.
L’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien s’écrit
−
~2 d2
u (x) + V (x) u (x) = E u (x)
2m dx2
na
(n+1)a
Le potentiel périodique
83
La solution est de la forme
ikx
u (x) = un (x) := An e
−ikx
+ Bn e
√
2mE
pour na < x < (n + 1) a avec k =
~
(6.5)
Les conditions de raccordement en x = na sont celles que nous avons rencontrées
2mW0
un (na) (voir la
précédemment : un (na) = un−1 (na) et u0n (na) − u0n−1 (na) =
~2
relation 6.2 ci-dessus).
(An − An−1 ) einka + (Bn − Bn−1 ) e−inka
(An − An−1 ) einka − (Bn − Bn−1 ) e−inka
= 0
(6.6)
¢
2mW0 ¡
An einka + Bn e−inka (6.7)
= −i 2
~ k
Etant donné un nombre réel, a, donné, déÞnissons l’opérateur de translation
Ta déÞni par la relation Ta ψ (x) = ψ (x + a) où ψ est une fonction d’onde arbitraire.
On vériÞe aisément que Ta n’est pas un opérateur hermitique. Plus précisément
on démontre les relations
Ta† = T−a ainsi que Ta Ta† = Ta† Ta = 1
1
eipx/~ ,
Cependant toute fonction d’onde se décompose sur la base des fonctions up (x) = √
2π~
R∞
fonctions propres de l’opérateur impulsion : ψ (x) = −∞ f (p) up (x) dp. Or les fonctions
up (x) sont des fonctions propres de l’opérateur Ta . En effet Ta up (x) = eipa/~ × up (x) .
L’opérateur Ta fournit l’exemple d’un opérateur qui n’est pas observable mais qui dispose
d’un ensemble de vecteurs propres qui forment une base de l’espace des états.
Lorsque a est une quantité inÞnitésimale, notée ε, il vient Tε ψ (x) = ψ (x + ε) '
1
d
ψ (x) + ε ψ (x) . On écrit cette relation sous la forme Tε ψ (x) = ψ (x) + iε p̂ψ (x) avec
dx
~
d
p̂ = −i~ . Dans ces conditions Tε s’exprime sous la forme
dx
Tε = 1 + iε
p̂
~
On désigne p̂ comme le "générateur des translations infinitésimales".
Supposons que la particule de masse m soit soumise à une énergie potentielle
périodique de période a, c’est-à-dire telle que V (x + a) = V (x). On vériÞe alors que
l’hamiltonien, Ĥ, commute avec l’opérateur translation, Ta :
ĤTa ψ (x)
~2 d2
=−
ψ (x + a) + V (x)ψ (x + a)
dx2 ¶
µ 2m
~2 d2
=
−
ψ
+ V (x + a) ψ (x + a) := Ta Ĥ (x)
2m dx2
(x+a)
:
On peut déduire de ce qui précède que toute fonction d’onde se décompose sous la forme
d’une somme de fonctions propres de Ĥ et Ta .
Nous cherchons donc les fonctions propres de l’hamiltonien qui satisfont les équations
Ĥ ψ = E ψ et Ta ψ = F ψ
L’équation aux valeurs propres de Ta s’écrit ψ (x + a) = F ψ (x) et plus généralement ψ (x + na) = F n ψ (x) pour n ∈ Z. La fonction d’onde reste bornée lorsque
Le potentiel périodique
84
x → ±∞; ceci n’est possible que pour |F | = 1 soit F = eiθ . Nous cherchons donc les
solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien satisfaisant la relation
ψ (x + a) = eiθ ψ (x)
(6.8)
où θ est un nombre réel arbitraire.
Explicitons cette condition pour la solution 6.5 considérée. On obtient
Bn e−ika = eiθ Bn−1
An eika = eiθ An−1 et
Nous exprimons An−1 et Bn−1 en fonction de An , Bn et θ dans les conditions de
passage 6.6 et 6.7 :
³
´
³
´
An 1 − ei(ka−θ) einka + Bn 1 − e−i(ka+θ) e−inka
³
´
³
´
An 1 − ei(ka−θ) einka − Bn 1 − e−i(ka+θ) e−inka
= 0
= −i
¢
2mW0 ¡
An einka + Bn e−inka
2
~ k
Un tel système implique An = Bn = 0 sauf si le déterminant, D ci-dessous, est
nul :
¡
¢
¯
¯
1 − ei(ka−θ)
¯ ¡
¢
D := ¯
2mW
¯ 1 − ei(ka−θ) + i 2 0
~ k
On en déduit
¡
¢
1 − e−i(ka+θ)
¢
¡
2mW0
− 1 − e−i(ka+θ) + i 2
~ k
cos θ = cos (ka) +
¯
¯
¯
¯=0
¯
mW0
sin (ka)
k~2
Pour que cette relation soit satisfaite l’énergie ne peut être arbitraire mais doit satisfaire
la condition
maW0 sin (ka)
<1
−1 < cos (ka) +
ka
~2
Les valeurs possibles de k, et par conséquent celles de E, se trouvent limitées par cette
condition. Seules certaines bandes d’énergie sont permises (Þgure 6-8).
Figure 6-8.
Les bandes d’énergie permises sont séparées par des bandes interdites.
Le modèle des électrons libres
6.3
85
Le modèle des électrons libres
Nous considérons des électrons d’hamiltonien Ĥ. Celui-ci commute avec l’opérateur translation Ta . Cette propriété suggère de déterminer les fonctions propres de
l’énergie, u(x) qui satisfont la relation u(x + a) = eiθ u(x).
Posons θ := Ka et u (x) := eiKx U (x) . Il vient
eiK(x+a) U (x + a) := u(x + a) = eiKa u(x) = eiKa eiKx U (x)
On en déduit U (x + a) = U(x).
Lorsque l’énergie potentielle est périodique, de période a, toute fonction propre de l’énergie est une superposition de fonctions ϕK (x) = eiKx U (x)
où U est une fonction périodique de période a.
Cette affirmation constitue le théorème de Floquet, souvent appelé "théorème
de Bloch".
Sur la Þgure 6-9, on représente l’énergie en fonction de θ = Ka. On distingue
diverses zones :
θ ∈ [−π, π] constitue la première "zone de Brillouin". Celle-ci
à la
· correspond
¸
h πi
π 2π
,
valeur |K| ∈ 0,
. La seconde zone de Brillouin correspond à |K| ∈
.
a
a a
En première approximation, les électrons de conduction d’un métal peuvent être
assimilés à des électrons libres dans un puits de potentiel. Dans ce cas U est une constante
et K est le nombre d’onde de la solution considérée. Un tel modèle est un modèle d’élec~2 K 2
.
trons libres dont l’énergie est
2m
Dans le cas général, on peut considérer eiKx U (x) comme une onde de nombre
d’onde K, dont l’amplitude U (x) est modulée selon la position.
Nπ
Les discontinuités apparaissent pour |K| =
où N est un entier positif (c’est à
a
dire pour θ := Ka = N π et donc cos θ = ±1, voir la Þgure 6-8). Introduisons la longueur
2π
du modèle d’électron libre.
d’onde de de Broglie λ =
|K|
Modèle de l’électron
libre
E (eV)
Zones de Brillouin
9
2
2
6
3
1
−2π
1
−π
π
0
Bandes d’énergie du sodium
θ=K a
2π
Figure 6-9
λ
Les discontinuités apparaissent pour a = N . Ces conditions sont "les conditions
2
de Bragg". Pour interpréter ces conditions, remarquons que a représente la période de
Le potentiel périodique
86
l’énergie potentielle de l’électron. Pour Þxer les idées nous considérons une chaîne d’ions
distants de a. Une onde électronique subit sur chaque ions une réßexion (Þgure 6-10).
A
Mj
C
a
B Mj+1
D
AMjC = BMj+1D , AB=a , DC=a
ABMj+1DC - AMjC = 2a
Interférences constructives entre ondes réfléchies pour 2a = N λ
Figure 6-10.
Les ondes réßéchies par l’ion n◦ j et l’ion n◦ j + 1 sont en phase pour 2a = N λ àù
N est un entier. Ces conditions sont précisément les conditions de Bragg, elles assurent
ici la réßexion optimale des ondes électroniques par le réseau d’ions.
6.4
Conducteurs et isolants
Dans un milieu cristallin, un métal par exemple, les bandes d’énergie sont peuplées
par des électrons fournis par chacun des atomes. Ces électrons sont mis en commun sur
l’ensemble de la structure. Ils ne sont pas localisés et passent d’un atome à l’autre par
effet tunnel.
Une bande d’énergie autorisée n’est pas un vrai continuum mais est constituée
de niveaux très proches (voir la Þgure 6-6). Le nombre de niveaux étant Þnis, égal au
nombre d’atomes constituant le cristal, le nombre d’électrons susceptibles d’être accueillis
dans une bande d’énergie est lui-même Þni car le principe d’exclusion de Pauli interdit
la présence de plus de deux électrons (de spins différents) sur un même niveau d’énergie.
Ainsi une bande d’énergie peut-elle être pleine, ce qui ne serait pas le cas si l’énergie était
vraiment continue.
Le sodium (N a) a pour conÞguration électronique 1s2 2s2 2p6 3s. Les couches
1s, 2s, 2p, 3s correspondent à quatre niveau d’énergie différents qui donnent quatre bandes
d’énergie lorsque N atomes de sodium forment un cristal. Le niveau 2p d’un atome isolé,
est susceptible d’accueillir 6 électrons ; il donnera naissance à une bande contenant N
niveaux d’énergie dont chacun peut accueillir 6 électrons, soit 6N électrons au total† .
Cependant le niveau 2p de l’atome de sodium est saturé, c’est à dire que chaque atome
de sodium possède effectivement 6 électrons qu’il met en commun pour peupler la bande
d’énergie correspondant au niveau 2p. C’est donc 6N électrons qui vont peupler la bande
d’énergie considérée, c’est le nombre maximum que celle-ci peut accueillir : cette bande
est donc pleine.
La situation est différente pour les électrons 3s. Si le cristal contient N atomes, il
dispose de N niveaux d’énergie dans la bande susceptible d’accueillir ces électrons. Celleci pourrait en fait accueillir 2N électrons (l’introduction du spin multiplie par 2 l’ordre
de dégénérescence de tous les niveaux d’énergie). La bande est donc seulement à moitié
pleine. Les électrons peuvent y acquérir une énergie cinétique qui assure leur mobilité. Par
conséquent les alcalins sont des conducteurs.
† S’il n’y avait pas de dégénérescence, le niveau 2p correspondrait à 6 niveaux d’énergie différents dont
chacun fournirait une bande susceptible d’accueillir N électrons soit au total 6N électrons pour la (les)
bande(s) corespondant au niveau 2p.
Conducteurs et isolants
87
Lorsque la bande d’énergie maximale est partiellement vide on l’appelle "bande
de conduction" car ce sont les électrons de cette bande d’énergie qui assurent la conduction de l’électricité. Si cette bande est pleine, on l’appelle "bande de valence".
La bande de valence étant pleine, les électrons ne peuvent y acquérir de l’énergie
cinétique car tous les niveaux sont occupés. C’est une conséquence du principe d’exclusion
de Pauli. Pour assurer le passage d’un courant, il faut donc chasser un (ou plusieurs)
électrons vers la bande de conduction, d’énergie supérieure, qui est vide. Si le saut entre
les deux bandes est important, cette opération est impossible. Le milieu est alors un
isolant.
E
Conducteur
Isolant
Semiconducteur
Figure 6-10.
Le germanium (Ge) est un semiconducteur dont la bande de valence est pleine à
basse température. La bande de conduction est donc vide, le saut énergétique est 0,65 eV.
A la température ordinaire, les électrons peuvent acquérir une énergie de l’ordre de kB T ∼
2, 5 × 10−2 eV. Le saut énergétique n’est pas assez important pour éviter qu’une faible
proportion d’électrons ne quitte la bande de valence pour la bande de conduction. Ainsi
le germanium très pur‡ montre-t-il une certaine conductivité intrinsèque qui dépend de
la température. Par contre le diamant est caractérisé par un saut de 5 eV de la bande
de valence vers la bande de conduction. Il est exclu que l’acquisition d’énergie thermique
permette ce saut. Le diamant reste donc un bon isolant à la température ordinaire
La situation est compliquée par le fait que la maille du cristal considéré peut-être
formée de plusieurs sortes d’atomes dont les bandes d’énergie peuvent se recouvrir. C’est
aussi le cas de certains métaux (ou semi-métaux) comme le magnésium qui dispose de
deux électrons de valence 3s2 et devrait être un isolant s’il n’y avait pas recouvrement des
bandes d’énergie.
‡ Les semiconducteurs sont généralement dopés par des impuretés qui leur confère des propriété intéressantes.
88
Le potentiel périodique
Chapitre 7
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
L’oscillateur harmonique est un sujet très important. Le système physique décrit
ici est utilisé dans de nombreuses situations, très différentes les unes des autres, pour
modéliser les phénomènes ou construire les théories selon le cas.
Ce chapitre a été écrit avec l’intention, non seulement d’introduire l’oscillateur à
une dimension, mais aussi de permettre, à cette occasion, une révision de quelques notions
importantes introduites dans le cours.
Nous avons intentionnellement omis certaines démonstrations élémentaires ; il est
fortement recommandé d’en effectuer explicitement la démonstration à titre d’exercice.
7.1
Introduction
En mécanique classique, une position d’équilibre stable correspond à un minimum
de l’énergie potentielle, V (x).
Figure 7-1.
Donnons de V (x) un développement au voisinage de la position d’équilibre stable :
1
1 00
V (x) ' V (x0 ) + V 0 (x0 ) · (x − x0 ) + V (x0 ) · (x − x0 )2 où ( )0 représente la dérivée
1!
2!
d( )
.
dx
x0 étant l’abscisse d’une position d’équilibre, il vient V 0 (x0 ) = 0. Cette position
d’équilibre étant stable on en déduit V 00 (x0 ) := V000 > 0 (il peut arriver que l’on ait
V 00 (x0 ) = 0, avec par exemple, V 000 (x0 ) = 0 et V 0000 (x0 ) > 0 mais le plus souvent ce n’est
pas le cas).
L’oscillateur harmonique constitue donc un système physique particulièrement
important dans la mesure où il décrit, en première approximation, le mouvement d’un
point matériel au voisinage d’une position d’équilibre stable dans le cas général.
Il est possible d’ajouter une constante arbitraire à l’énergie potentielle (voir l’annexe page 102). Nous effectuons la substitution V (x) → U (x) = V (x) − V (x0 ) et nous
1
posons X = x − x0 . L’énergie potentielle s’exprime alors sous la forme U (X) = kX 2 où
2
L’oscillateur harmonique
90
l’on a posé k = V 00 (x0 ) > 0. En utilisant l’ancienne notation, x, pour désigner la nouvelle
variable X, il vient l’expression de l’hamiltonien :
H=
p2
1
+ k x2
2m 2
∂
.
∂x
L’équation d’évolution de la fonction d’onde s’écrit alors
avec p = −i~
i~
1
∂ψ
~2
= H ψ := −
∆ψ + k x2 ψ
∂t
2m
2
où m est la masse de l’oscillateur et k son coefficient de raideur.
7.2
Les opérateurs a et a+
Nous déÞnissons les opérateurs a et a+ :
Ãr
k
1
x +
a = √
~ω
2
Ãr
1
k
a+ = √
x −
~ω
2
!
~ω
p
k
!
r
i ~ω
p
k
~
i
~
r
(7.1)
(7.2)
où ω est la pulsation
de l’oscillateur classique de même masse et de même coefficient de
r
k
.
raideur : ω =
m
a est appelé "opérateur d’annihilation", a+ est appelé "opérateur de création" et N = a+ a opérateur "nombre de quanta". Nous justiÞerons ces dénominations
ultérieurement.
On vériÞe aisément les relations suivantes
[a, a+ ] := aa+ − a+ a = 1
µ
¶
1
H = ~ω N +
avec N := a+ a
2
£
¤
H, a+ = ~ω a+
[H, a] = −~ω a
et
†
Remarquons que a et a+ sont des opérateurs conjugués : a† = a+ et (a+ ) = a.
Cette propriété est une conséquence de l’hermiticité des opérateurs x et p.
7.3
Le spectre de l’hamiltonien
Nous nous proposons de démontrer
µ
¶
1
1. que les valeurs propres de l’énergie sont les quantités n +
~ω où n est un entier
2
arbitraire (n = 0, 1, 2, etc...) et
2. que les valeurs propres précédentes ne sont pas dégénérées.
Le spectre de l’hamiltonien
7.3.1
91
Minorant des énergies
L’équation aux valeurs propres de l’énergie s’écrit
H uE (x) = E uE (x)
En utilisant l’expression de H en fonction de a et a+ , il vient
+
a a uE =
µ
E
1
−
~ω 2
¶
uE := α uE
1
E
− .
~ω 2
Nous formons le produit scalaire huE |a+ a uE i = ha uE |a uE i . Le produit scalaire huE |a+ a uE i étant le carré de la norme de a uE , il est positif où nul. D’autre part
huE |a+ a uE i = α huE |uE i . On en déduit α huE |uE i ≥ 0. On ne considère que les états
propres décrivant une particule présente quelque part, c’est à dire tels que huE |uE i > 0.
1
E
− ≥ 0 soit
Par conséquent il vient α ≥ 0. C’est-à-dire
~ω 2
avec α =
1
E ≥ ~ω
2
7.3.2
Echelle des états propres de H "en dessous" de uE
Considérons uE (x), état propre de H, tel que H uE (x) = E uE (x). Posons
u(−1) = a uE . Nous formons H u(−1) ; il vient H u(−1) = Ha uE . En utilisant la relation
[H, a] = −~ω a on obtient H u(−1) = Ha uE = (aH − ~ω a) uE = a (H uE − ~ω uE ) =
a (E − ~ω) uE = (E − ~ω) a uE . Ainsi u(−1) satisfait la relation H u(−1) = (E − ~ω) u(−1) .
u(−1) = a uE est fonction propre de H pour la valeur propre E − ~ω.
En formant successivement a uE = u(−1) , a u(−1) = u(−2) , a u(−2) = u(−3) ,
etc, on obtient une suite de fonction propres de H pour les valeurs propres décroissantes
E − ~ω, E − 2~ω, E − 3~ω, etc.
Figure 7-2.
La suite de fonctions propres uE , u(−1) , u(−2) , etc est assimilée à la suite des
barreaux d’une échelle en dessous de uE (Þgure 7-2.a). On les obtient par application
successive de l’opérateur a.
L’oscillateur harmonique
92
7.3.3
Le premier barreau ; le spectre de l’hamiltonien
Il n’est pas possible de descendre l’échelle indéÞniment et d’obtenir ainsi des
valeurs propres aussi petites que possibles car les énergies sont minorées. Il y a donc un
dernier barreau correspondant à une fonction d’onde non nulle que nous notons u0 . La
valeur propre de l’énergie associée est E0 = E − n~ω où n est un entier. Lorsqu’on forme
a u0 on obtient une fonction propre de H pour la valeur propre E0 − ~ω. A cette fonction
propre est associée une valeur propre inférieure au minorant. La fonction d’onde est donc
nécessairement nulle† . Ainsi la fonction d’onde du premier barreau de l’échelle satisfait la
relation
!
Ãr
r
1
i ~ω
k
p u0 (x) = 0
x u0 (x) +
a u0 = √
k
~ω
~
2
Une telle relation est une équation
différentielle qui détermine u0 à un facteur
r
~ω
. Il vient
multiplicatif près. Nous posons σ :=
k
x2
x
du0
u0 + σ
= 0 ⇒ u0 (x) = A e− 2σ2
σ
dx
(7.3)
où A est une constante.
La fonction d’onde étant déterminée à un facteur multiplicatif près, l’état physique
correspondant est complètement déterminé. Il est unique.
Figure 7-3.
L’état décrit par la fonction d’onde u0 est l’état fondamental d’énergie minimale
µ
¶
1
1
+
E0 = ~ω . En effet, formons Hu0 = ~ω a a +
u0 . La relation a u0 = 0 implique
2
2
1
Hu0 = ~ω u0 . La fonction u0 (x) est donc fonction propre de l’hamiltonien pour la valeur
2
1
propre E0 = ~ω; cette quantité est appelée "énergie du point zéro".
2
Les valeurs propres de l’énergie associées aux barreaux en dessous de uE ont pour
expression E0 + m~ω où m est un entier. Cette relation est également valable pour la
1
fonction uE et par conséquent E = E0 + n~ω avec E0 = ~ω. On en déduit la relation
2
¶
µ
1
~ω où n est un entier non négatif.
nécessaire E = n +
2
Deux questions subsistent :
¶
µ
1
~ω est elle dégénérée ? Nous verrons que la réponse est
1. L’énergie E = n +
2
"non".
2. L’entier n peut il prendre n’importe quelle valeur positive, aussi grande que l’on
veut ? Ici, la réponse est "oui".
†u
≡ 0 est fonction propre de tout opérateur linéaire, pour toute valeur propre.
Le spectre de l’hamiltonien
7.3.4
93
Remonter l’échelle
µ
¶
1
Considérons l’état uE avec E = n +
~ω. Nous utilisons les notations un (x)
2
de préférence à uE (x) et un−m avec 0 ≤ m < n de préférence à u(−m) . Cette nouvelle
notation consiste à numéroter les barreaux de l’échelle à partir du fondamental, barreau
dont le numéro est 0. On prêtera attention aux notations, tout particulièrement à celles
de la Þgure 7-2.b) où apparaissent u(1), u(2), ... u(m) qui ne sont donc pas les fonctions
d’ondes des mêmes états que ceux décrits par u1 , u2 , ... um .
Avec ces nouvelles notations il vient um =µa um+1¶(par construction) avec
1
H um = H u(n−m) = (E − (n − m)~ω) u(n−m) = m +
~ω um :
2
µ
¶
1
H um = m +
(7.4)
~ω um
2
µ
¶
1
+
Formons a um = a a um+1 . La relation H = ~ω a a +
donne a+ um =
2µ
¶
1
H
3
+
um+1 − um+1 . En utilisant la relation 7.4, H um+1 = m +
a a um+1 =
~ω um+1 ,
2
2
~ω
µ
¶
3 1
on obtient a+ um = a+ a um+1 = m + −
~ω um+1 . Les fonctions a+ um et um+1
2 2
sont proportionnelles. L’état physique représenté par la fonction d’onde a+ um est donc
le même que l’état représenté par la fonction d’onde um+1 . Par conséquent, on "remonte"
l’échelle en dessous de uE en appliquant l’opérateur a+ (Þgure
µ 7-2.a).¶
1
Supposons que plusieurs états de même énergie E = n +
~ω existent : deux
2
états de fonctions d’onde notées uE et vE , par exemple. Ces deux états disposent de deux
échelles qui conduisent au même état fondamental décrit par la fonction d’onde u0 donnée
par l’expression 7.3 :nous avons en effet démontré que l’état fondamental est unique.
Partant de u0 , pour retrouver uE et vE (à un facteur multiplicatif près) nous
n
devons appliquer successivement n fois l’opérateur a+ . Il vient (a+ ) u0 = λuE = µvE .
Nous en déduisons que les fonctions d’onde uE et vE sont proportionnelles. Elles décrivent
donc le même état physique. Par conséquent, l’énergie E n’est pas dégénérée.
7.3.5 Echelle des états propres de H "au dessus" de uE
uE est un état propre de H qui satisfait la relation H uE = E uE . Formons
a+ uE = u(1) . De la relation [H, a+ ] = ~ω a+ on déduit Ha+ uE = a+ H uE + ~ωa+ uE =
(E + ~ω) a+ uE soit H u(1) = (E + ~ω) u(1) . En appliquant successivement a+ on engendre donc, au dessus de uE , une échelle dont les barreaux sont des états propres de H
pour les valeurs successives E + ~ω, E + 2~ω, E + 3~ω, etc (Þgure 7-2.b). On peut ainsi
µ
¶
1
construire une fonction propre de l’énergie pour une valeur propre En = n +
~ω où
2
n est un entier non négatif arbitraire.
7.3.6 Création et annihilation d’un quantum d’énergie
Un oscillateur harmonique est un récipient d’énergie dont le contenu varie par
saut d’un nombre entier de quanta, l’énergie d’un quantum étant égal à ~ω.
A l’échelle macroscopique, un quantum d’énergie est généralement une très petite quantité. Ce n’est pas le cas à l’échelle microscopique. Pour illustrer cette propriété
considérons, dans le cadre de la théorie classique, un oscillateur plongé dans un gaz à
1
l’équilibre thermodynamique à la température T. L’énergie de l’oscillateur est mω 2 X 2
2
+
+
L’oscillateur harmonique
94
où X est l’amplitude du mouvement. A l’équilibre thermodynamique, cette énergie
est
r
2 kB T
.
de l’ordre de kB T où kB est la constante de Boltzmann. On en déduit X ∼
mω2
kB T
Pour Þxer les idées, posons T ∼ 300 K et ω ∼ 104 s−1 , il vient
∼ 4 · 109 . Avec
~ω
T = 100 K et ω ∼ 105 s−1 le nombre de quanta d’énergie stockés dans l’oscillateur reste
kB T
∼ 108 . Un variation d’énergie de l’ordre de 1 quantum provoque
encore très élevé :
~ω
donc une variation relative ∆X/X de l’ordre de 0, 5·10−8 dans le dernier cas. Dans ce cas,
l’amplitude du mouvement, X, est déjà très petite, ∆X est alors négligeable. Avec une
masse m ∼ 1 mg, il vient X ∼ 0, 5Å et ∆X ∼ 2, 5 · 10−9 Å. Ici, il apparaît clairement que
l’échange d’un quantum produit un effet négligeable, même pour une masse aussi petite
que 1 mg. On conçoit donc que les quantités d’énergie échangées aient été perçues comme
continues jusqu’à une période récente.
La situation est différente à l’échelle microscopique. Supposons que l’oscillateur
soit une molécule caractérisée par une pulsation ω ∼ 1014 s−1 correspondant à une fréquence infrarouge du spectre. Les oscillateurs moléculaires peuvent être excités dans leurs
collisions avec les molécules de gaz à la condition que celles-ci leur transfèrent au moins
un quantum ~ω ∼ 10−20 J. A la température T = 100 K, les molécules de gaz ont une
énergie de l’ordre de kB T ∼ 1, 4 · 10−21 J. La relation ~ω ∼ 7kB T a pour conséquence
que seules quelques rares molécules de gaz disposent de l’énergie suffisante pour exciter
l’oscillateur moléculaire. On constatera donc l’absence de raie d’émission à la fréquence
considérée.
µ Sur le¶plan formel, lorsqu’on applique l’opérateur a à une fonction d’onde d’énergie
1
En = n +
~ω, on obtient une fonction d’onde dont l’énergie est En −~ω. Un quantum
2
a disparu. Pour cette raison, a est appelé "opérateur d’annihilation". De façon similaire,
appliquer a+ à la fonction d’onde un crée un quantum d’énergie supplémentaire. C’est la
raison pour laquelle a+ est appelé "opérateur de création".
7.4
Base standard : relations de récurrence
L’état fondamental est décrit par la fonction d’onde 7.3. Nous choisissons A de
façon à ce que la fonction u0 soit normalisée. Il vient
r
r
µ
¶1/2
x 2
1
~ω
~
− 12 ( σ
)
√
=
e
avec σ =
u0 =
(7.5)
σ π
k
mω
3
Lorsqu’on forme a+ u0 on obtient une fonction qui décrit l’état d’énergie ~ω
2
mais qui n’est pas normalisée. A partir de maintenant,
nous notons un une
µ par convention
¶
1
fonction d’onde normalisée qui décrit l’état d’énergie n +
~ω. Les relations satisfaites
2
par les fonctions d’onde un (x) sont les suivantes :
µ
¶
1
+
hun |un i = 1, aun = λn un−1 , a un−1 = µn un et H un = n +
~ω un (7.6)
2
Notre objectif est de déterminer λn et µn .
Nous vériÞons tout d’abord les relations
aa+ un = n un
et
a+ a un = (n − 1) un
Base standard : relations de récurrence
95
La première de ces relations justiÞe l’appelation "opérateur nombre de quanta"
H 1
−
donné à l’opérateur N = aa+ . Cette relation s’obtient à partir des relations a+ a =
2
~ω
µ
¶
1
~ω un tandis que la seconde relation s’obtient à partir de la relation
et Hun = n +
2
aa+ un = n un et de l’expression du commutateur [a, a+ ] := aa+ − a+ a = 1.
Le produit scalaire ha un |a un i s’exprime de deux manières. Les relation 7.6
conduisent à l’expression
†
ha un |a un i = |λn |2 . La √
relation (a+ ) = a donne ha un |a un i = hun |a+ a un i =
n hun |un i . On en déduit |λn | = n.
2
+
+
+
De même
√ on calcule ha un−1 |a un−1 i = |µn | = hun−1 |aa un−1 i . On en
déduit |µn | = n + 1.
√
La
√ base standard est obtenue en choisissant λn et µn réels et positifs : λn = n
et µn = n − 1. On en déduit
√
√
a un = n un−1 et
a+ un = n + 1 un+1
Ces relations permettent de déterminer explicitement les fonctions d’onde un (x). Par
exemple
Ãr
! "µ
#
r
¶1/2
1 x 2
1
1 +
1
1 ~ω d
k
√
e− 2 ( σ ) .
x +
u1 = √ a u0 =
2
k dx
σ π
~ω
~
2
r
µ
¶1/2
2
x − 12 ( σx )2
~ω
√
e
. Ainsi, en appliquant les
il vient u1 =
Avec σ =
k
2σ π
σ
relations de récurrence on trouve successivement
µ
¶1/2
1 x 2
1
√
u0 =
e− 2 ( σ )
σ π
µ
¶1/2
1 x 2
1 ³ x´
1
√
u1 =
e− 2 ( σ ) × √ 2
σ π
σ
2 µ
¶
µ
¶1/2
³ x ´2
2
1
x
1
1
√
−2
e− 2 ( σ ) × √ × 4
u2 =
σ π
σ
8
... ... ...
µ
¶1/2
³x´
1 x 2
1
1
√
un =
e− 2 ( σ ) × √
× Hn
σ π
σ
2n n!
où Hn est un polynôme de degré n connu sous la dénomination de "polynôme de Hermite".
Figure 7-4.
L’oscillateur harmonique
96
Les fonctions d’onde des premiers niveaux d’énergie sont représentées sur la Þgure
7-4. La parabole en pointillés donne l’élongation, X, de l’oscillateur classique de même
énergie :
r
~
mω
1
pour E = E0 = ~ω
2
X=σ=
X=
√
3σ
X=
3
pour E = E1 = ~ω
2
√
5σ
5
pour E = E2 = ~ω
2
Les fonctions deviennent négligeable pour |x| & X. On remarquera en outre que
les fonctions de la base standard sont réelles et alternativement paires et impaires.
7.5
Paquets d’ondes de l’oscillateur
7.5.1
Evolution : cas général
Pour étudier le comportement d’un paquet d’ondes, nous utilisons le théorème
d’Ehrenfest. (paragraphe 3.3.2, page 41)
1
hpi
d hxi
=
h[x, H]i =
,
dt
i~
m
d hpi
1
=
h[p, H]i = −k hxi
dt
i~
d2 hxi
= −k hxi . C’est au voisinage du point M d’abscisse
dt2
hxi que l’on trouve la particule si on en mesure la position. Les équations du mouvement
de M sont celles d’un oscillateur classique de masse m et de coefficient de
r raideur k. Le
k
. La valeur
mouvement de M est donc un mouvement sinusoïdal de pulsation ω =
m
2
moyenne hxi étant une fonction sinusoïdale de pulsation ω, son carré, hxi , est une fonction
périodique de pulsation 2ω.
On en déduit l’équation m
La particule n’est pas parfaitement localisée. Sa position
certaine
r³ présente une
´
hx2 i − hxi2 .
indétermination que mesure l’écart quadratique moyen ∆x =
­ ®
Pour étudier la dépendance temporelle de x2 nous calculons x à partir des
r
σ
~
.
relations 7.1 et 7.2 : x = √ (a + a+ ) avec σ =
mω
2
Nous allons utiliser la structure d’espace vectoriel de l’espace des états ; en conséquence nous utilisons les notations introduites page
P 9 pour exprimer la décomposition de
la fonction d’onde sur la base standard : |ψi = Cn e−i(n+1/2)ωt |un i . Nous calculons
x2 |ψi :
n
¡
¢
σ2 P
Cn e−i(n+1/2)ωt a2 + a+2 + aa+ + a+ a |un i
2 n
³p
´
p
σ2 P
x2 |ψi =
Cn e−i(n+1/2)ωt
n(n − 1) |un−2 i + (n + 1)(n + 2) |un+2 i + (2n − 1) |un i
2 n
x2 |ψi =
Paquets d’ondes de l’oscillateur
97
¯
®
Nous formons le produit scalaire hψ ¯x2 ψ :
¯
®
hψ ¯x2 ψ =
=
´³
´ ³p
σ2 X ³
C k ei(k+1/2)ωt Cn e−i(n+1/2)ωt ×
n(n − 1) huk |un−2 i
2
k n
´
p
+ (n + 1)(n + 2) huk |un+2 i + (2n − 1) huk |un i
³p
p
σ2 X
C k Cn e−i(n−k)ωt ×
n(n − 1)δ k n−2 + (n + 1)(n + 2)δ k n+2
2
k n
=
+ (2n − 1) δ k n )
p
p
σ2 X ³
C n−2 Cn e−2iωt n(n − 1) + C n+2 Cn e2iωt (n + 1) (n + 2)
2 n
¢
+ C n Cn (2n − 1)
¯
®
On constate que hψ ¯x2 ψ est une fonction périodique de pulsation 2ω, comme hxi2 .
La norme
¯
® de |ψi est une constante ; il en est de même de hψ |ψi ; par conséquent
­ 2®
hψ ¯x2 ψ
x :=
est une fonction périodique de pulsation 2ω. C’est aussi le cas pour
hψ
|ψi
®
­
∆x2 := x2 − hxi2 et par conséquent pour ∆x (le plus souvent).
La position moyenne d’un paquet d’ondes d’oscillateur harmonique est donc animé
d’un mouvement sinusoïdal de pulsation ω, tandis que l’écart quadratique moyen est une
fonction périodique de pulsation 2ω.
7.5.2
Etats cohérents
Les états cohérents, |F i sont les états propres de l’opérateur annihilation a.
a |F i = f |F i
L’opérateur a n’est pas hermitique, la valeur propre f n’est donc pas nécessairement réelle.
En utilisant la déÞnition de |F i ainsi que les propriétés des opérateurs a et a+ on
calcule aisément les valeurs moyennes suivantes :
hai = f
¢
σ ¡
hxi = √ f + f
2
σ
∆x = √
2
ha+ i = f
¢
i~ ¡
hpi = √ f − f
σ 2
~
∆p = √
σ 2
ha+ ai = |f|2
hN i = |f |2
p
∆N = hN i
D
E
³
´
2
(a+ a) = |f |2 1 + |f |2
µ
¶
1
2
hHi = ~ω |f| +
2
p
∆H = ~ω hNi
Remarquons que hxi et hpi peuvent être choisis arbitrairement (parmi les réels) ;
¶
µ
σ
hxi
1
~
− i hpi . Remarquons en outre la relation ∆x ∆p = .
on en déduit alors f = √
σ
2
~
2
~
De façon générale, c’est l’inégalité ∆x ∆p ≥ qui est satisfaite (cf. page 31). Ici ∆x ∆p
2
prend la valeur minimale possible. Pour cela, le paquet d’ondes qui décrit un état cohérent
est appelé "paquet d’ondes minimal".
En remplaçant a par son expression dans l’expression a |F i = f |F i , il vient
r
µ
¶
dF (x)
x
~ω
1
√
F (x) − σ
= f F (x) avec σ =
dx
k
2 σ
L’oscillateur harmonique
98
La fonction d’onde F (x) satisfait donc une équation différentielle qui s’intègre sous la
forme
F (x) = Ae− 2 ( σ −f
1
x
√ 2
2)
σ2
2
2
2
où A est une constante. Le calcul de |F (x)| conduit à l’expression |F (x)| = Ae ~ 2 hpi ×
hxi 2
x
e−( σ − σ ) . La densité de probabilité de présence est donc représentée par la gaussienne
de la Þgure 7-3, centrée en hxi ici (et non à l’origine).
On peut décomposer l’état |F i sur la base standard : |F i =
√
a |F i = f |F i implique Cn n = Cn−1 ; on en déduit
|F i = C0 ×
1
P
Cn |un i . La relation
n
X fn
√ |un i
n!
n
(7.7)
2
On peut poser C0 = e− 2 |f | . L’état |F i est alors normalisé.
Supposons que l’expression précédente soit celle de la fonction d’onde ψ à l’instant
initial t = 0 (c’est à dire F (x) = ψ (0, x)). Pour étudier l’évolution de l’état, nous utilisons
les résultats du chapitre 3.2, en particulier l’expression 3.3 page 39. A l’instant t la fonction
P fn
1
d’onde est ψ (t, x) = C0 √ e−i(n+ 2 )ωt |un i
n!
n
ψ (t, x) = C0 e−iωt/2 ×
X φn
√ |un i avec φ = fe−iωt
n!
n
Cette expression doit être comparée à l’expression 7.7 : f → φ = fe−iωt et C0 →
C0 e−iωt/2 . Un état cohérent reste donc un état cohérent au cours du temps. ∆x et ∆p
ne changent pas : le paquet d’ondes reste minimal. Un état cohérent décrit un état aussi
proche que possible de l’état classique.
x
pσ
. A chaque instant, l’état d’un oscillateur classique est
Posons X = et P =
σ
~
représenté par un nombre complexe Zc = Xc + iPc car Xc et Pc prennent des valeurs
précises. Dans le cadre de la théorie quantique, on
s peut représenter hZi = hXi + i hP i .
(ϕ + ϕ)2 + (ϕ − ϕ)2
. Un calcul sans
C’est un nombre complexe de module |hZi| =
2
q
p
√
difficulté donne |hZi| = 2 |ϕ|2 = 2 hNi = ∆N 2. Si l’on veut représenter l’état
d’un oscillateur classique qui se comporterait autant que possible, comme l’oscillateur
quantique,√il faut accepter une certaine indétermination sur Zc , due aux indéterminations
∆X = 1/ 2 = ∆P. L’extrémité de Zc dans le plan complexe se trouve donc situé (avec
une forte probabilité) dans
√ une zone circulaire, centrée sur l’extrémité de |hZi| , dont le
rayon est de l’ordre de 1/ 2 (Þgure 7-5).
Paquets d’ondes de l’oscillateur
99
Figure 7-5.
La phase φ présente donc une indétermination ∆φ ∼
1
. Cette relation com2∆N
1
. Pour que la phase d’un oscillateur soit
2
bien déÞnie, il est donc nécessaire que
p le nombre de quanta d’énergie présente une grande
indétermination. La relation ∆N = hN i implique que pour cela, dans un état cohérent,
le nombre de quanta d’énergie doit être très élevé.
7.5.3 Etats comprimés
Les états cohérents ne sont pas les seuls états décrits par des paquets d’ondes
minimaux.
Considérons les opérateurs b et b+ :
plète les relations de Heisenberg : ∆φ ∆N ∼
b = λ0 a + µ0 a+ et b+ = λ0 a+ + µ0 a avec
|λ0 |2 − |µ0 |2 = 1
Ces deux opérateurs sont conjugués l’un de l’autre. Ils satisfont la relation de commutation
[b, b+ ] = 1.
a, a+ , x et p s’expriment en fonction de b et b+ :
a = λ0 b − µ0 b+ , a+ = λ0 b+ − µ0 b
¢
¢
σ ¡¡
λ0 − µ0 b + (λ0 − µ0 ) b+
x = √
2
¢ ¢
¡
i~ ¡
p = √
(λ0 + µ0 ) b+ − λ0 + µ0 b
2σ
Considérons, à l’instant t = 0, un état propre, |Gi , de l’opérateur b pour la
valeur propre z. Un tel état est appelé "état comprimé"† . Les états cohérents étudiés au
paragraphe précédent, correspondent au cas λ0 = 1, µ0 = 0 et z = f.
Nous développons |Gi sur la base standard :
X
√
√
|Gi =
Cn |un i avec λ0 n + 1 Cn+1 + µ0 nCn−1 = zCn
n
A l’instant t l’état est |ψi =
Il vient
|ψi =
† Nous
P
1
1
Cn e−i(n+ 2 )ωt |un i . Posons Kn (t) := Cn e−i(n+ 2 )ωt .
n
X
√
√
Kn |un i avec λ0 eiωt n + 1Kn+1 + µ0 e−iωt nKn−1 = zKn
n
justiÞerons plus loin la dénomination "état comprimé".
L’oscillateur harmonique
100
A l’instant t l’état |ψi est encore un état comprimé, comme à l’instant initial,
cependant les valeurs de λ0 et µ0 ont été modiÞées : λ0 → λ0 eiωt = λ et µ0 → µ0 e−iωt = µ.
Des calculs sans difficultés conduisent aux valeurs suivantes :
¡
¢ ¢
σ ¡
σ
hxi = √ (λ − µ) z + λ − µ z et ∆x = √ |λ − µ|
2
2
¡
¢ ¢
i~ ¡
~
(λ + µ) z − λ + µ z et ∆p = √
|λ + µ|
hpi = √
2σ
2σ
Lorsque λ et µ présentent la même phase il vient λ = |λ| eiθ et µ = |µ| eiθ avec
|λ| − |µ|2 = 1, ce qui implique
~
∆x ∆p = . Dans ce cas le paquet d’onde est minimum. Ceci se répète de
2
façon périodique au cours du temps. En effet, posons λ0 = |λ0 | eiθλ et µ0 = |µ0 | eiθµ ; λ
et µ présentent la même phase aux instants t tels que θ λ + ωt = θµ − ωt + 2N π, soit
2ωt = (θµ − θλ + 2N π) où N est un entier.
2
Posons λ0 = cosh θ et µ0 = e−iφ sinh θ. Il vient
σ p
~ p
cosh 2θ − sinh 2θ · cos (2ωt + φ) et ∆p = √
cosh 2θ + sinh 2θ · cos (2ωt + φ)
∆x = √
2
2σ
L’écart quadratique moyen ∆x est une fonction périodique du temps. Nous retrouvons
ici, dans un cas particulier, un résultat précédemment établi (cf. le paragraphe 7.5.1 cidessus).
Pour Þxer les idées, nous représentons le graphe des fonctions ∆x(t), ∆p(t) et du
produit ∆x ∆p dans le cas cosh 2θ = 10 (Þgure 7-6).
Figure 7-6.
Les fonctions ∆x(t), ∆p(t) présentent la même période π/ω tandis que le produit
possède une période moitié.
∆x n’est pas constant, non plus que ∆p. A certains instants (tels que 2ωt + φ =
2N π) l’indétermination sur x est minimale. Il faut alors concéder une indétermination
maximale sur p. Dans ces conditions on considère que l’indétermination sur x est "comprimée", ce qui justiÞe la dénomination "état comprimé" donné à un tel état de l’oscillateur.
7.6
Champs quantiques
L’oscillateur harmonique n’est pas seulement le modèle qui décrit le mouvement
d’un point matériel au voisinage d’une position d’équilibre stable quelconque, c’est aussi
Conclusion
101
un modèle pour la quantiÞcation des champs et l’introduction des quanta correspondants :
le photon pour les ondes électromagnétiques, le phonon pour les ondes élastiques ou la
particule de matière pour les ondes de de Broglie.
Considérons le cas simple d’une onde qui se propage le long de l’axe Ox d’un
repère galiléen à la célérité c de la lumière dans le vide. L’équation satisfaite par l’onde
∂2ψ
∂2ψ
= 0. Supposons que ce rayonnement soit piégé dans une cavité, entre
est 2 2 −
c ∂t
∂x2
x = 0 et x = L. Nous avons vu† que, sans préjuger de l’équation de propagation, l’état le
plus général est, à chaque instant, de la forme
³ x´
X
qn sin nπ
ψ =
pour 0 < x < L
L
n
ψ
= 0 pour x < 0 ou x > L.
Les coefficients qn sont des fonctions du temps car l’onde se propage dans la cavité
et se réßéchit aux extrémités de la cavité, ψ est donc sans cesse modiÞé. Nous portons
l’expression de ψ dans l’équation de propagation. Il vient
nπc
d2 qn
+ ω n2 qn = 0 avec ωn =
2
dt
L
On constate que qn satisfait l’équation d’un oscillateur harmonique classique de
pulsation ωn .
•
Lorsque l’on prend, pour expression de qn , une solution classique, qn = qn (t),
on obtient l’expression d’une onde classique.
•
On peut cependant considérer que qn est semblable à la variable de position d’un oscillateur quantique. L’énergie du mode n est alors quantiÞé (En = n~ωn en
abandonnant l’énergie du point zéro). Dans le cas de la lumière le quantum est un photon, d’énergie ~ωn . L’état du mode n est décrit par un vecteur de l’espace des états d’un
oscillateur, représenté par une fonction d’onde, ϕ (qn ) . La variable qn n’a pas une valeur
bien déÞnie mais est susceptible de prendre une valeur arbitraire avec une certaine probabilité. L’onde lumineuse ψ a profondément changé de nature, elle est devenue le champ
quantique ψ.
7.7
Conclusion
L’importance de l’oscillateur harmonique et de sa quantiÞcation est considérable
en physique.
On fait appel à un tel modèle pour décrire les mouvements moléculaires et les
spectres d’émission par exemple. La compression des état doit permettre d’améliorer la
sensibilité des appareil de détection basés sur la mesure de petits déplacements (détection
mécanique des ondes gravitationnelles par exemple). Cependant, c’est surtout la quantiÞcation des champs qui révèle des propriétés nouvelles, insoupçonnables dans le cadre
classique.
La quantiÞcation du champ électromagnétique est conduite d’une façon similaire à celle que nous avons évoqué au paragraphe 7.6. Les variables de position et
d’impulsion, qn et pn , sont associées aux champs magnétique et électrique, tandis que
les opérateurs annihilation
et création d’unµ photon dans
n, sont les opéraµ
¶
¶ le mode r
iσ
1
1
qn iσ
q
~
n
+ pn et a+
− pn avec σ =
teurs an = √
. L’opérateur
n = √
ωn
~
~
2 σ
2 σ
Nn = a+
n an est l’opérateur nombre de photons dans le mode n.
† Voir
le paragraphe 1.6.
L’oscillateur harmonique
102
L’état fondamental du mode n est noté |u0 in . Par la suite, aÞn d’alléger les
notations nous abandonnons l’indice n.
Il n’y a pas de photons dans l’état fondamental. En effet N |u0 i = 0. L’état
représenté par |u0 in est le vide quantique du mode n. On vériÞe la nullité de hqi et
hpi , valeurs moyennes prises sur le vide. Ceci s’interprète comme la nullité des champs
magnétique et électrique en téorie classique. Les valeurs moyenne de a+ + a et a+ − a
sont nulles Emais il leur subsiste une indétermination. On vériÞe, par exemple, la relation
D
2
(a + a+ ) = ha+ u0 |a+ u0 i = 1. Ces indétermination conduisent à l’indétermination
des champs électrique et magnétique que l’on peut interpréter comme des ßuctuation de
ces champs. Ces indéterminations ont des effets observables : inßuence sur les niveaux
d’énergie de l’atome d’hydrogène (déplacement de Lamb), attraction de deux conducteurs
très proches l’un de l’autre (effet Casimir), corrections à apporter au rapport gyromagnétique de l’électron tel qu’il se déduit de l’équation de Dirac (moment magnétique anormal
de l’électron). Le vide quantique apparaît comme un état qui ne présente pas "l’indifférence" du vide classique mais qui, au contraire, agit sur les systèmes physiques les plus
divers.
Annexe
Deux fonctions d’onde proportionnelles décrivent le même état physique (page
26). Le facteur de proportionnalité dépend éventuellement du temps. Considérons les
fonctions ψ (t, [r) et ϕ (t, [r) = eiθ(t) · ψ (t, [r) où θ est une fonction réelle du temps. Ces
deux fonctions décrivent le même état Zphysique.
ZZ
ZZZ
Le produit scalaire hψ1 |ψ2 i =
ψ1 (t, [r)·ψ 2 (t, [r) d3 r =
ϕ1 (t, [r)·ϕ2 (t, [r) d3 r
conserve la même forme que l’on utilise les fonctions ψ ou ϕ pour représenter les états
(ce ne serait pas le cas si on posait ϕ (t, [r) = f (t) · ψ (t, [r) avec |f(t)| 6= 1). Dans ces
conditions nous pouvons choisir la "représentation ϕ” de préférence à la "représentation
ψ” sans modiÞcation de la théorie quantique exposée ici. L’équation d’évolution est cependant modiÞée.
∂ψ
= H ψ; nous en déduisons
L’équation satisfaite par ψ s’écrit i~
∂t
∂ϕ
dθ
∂ψ
dθ
i~
= eiθ(t) · i~
− ~ eiθ(t) · ψ (t, [r) = eiθ(t) Hψ − ~ eiθ(t) ψ.
∂t
∂t
dt
dt
iθ(t)
e
La quantité
eiθ(t)¤ n’est pas un opérateur, c’est un scalaire et par conséquent
£ iθ(t)
× H [ψ] = H e
ψ = Hϕ. On en déduit l’équation d’évolution de ϕ sous la forme
µ
¶
dθ
∂ϕ
= H −~
i~
ϕ = H̃ϕ
∂t
dt
dθ
~2
~2
p[2
+V = −
∆ + V est devenu H̃ = −
∆+V −~ .
2m
2m
2m
dt
dθ
.
L’énergie potentielle V ([r) s’est accrue de la "constante" −~
dt
Réciproquement, si on ajoute à l’énergie potentielle une constante V0 (éventuellement une fonction arbitraire du temps), il existe une représentation telle que la forme
prise par la théorie quantique n’est pas modiÞée (à l’exception de l’énergie potentielle
puisqu’on lui a ajouté V0 ) : les propriétés mathématiques de la fonction d’onde, l’expression de la densité de présence, de la densité de courant, du produit scalaire, les axiomes
de la mesure, etc restent inchangés. Pour déterminer la nouvelle représentation, c’est à
dθ
= V0 .
dire θ, il suffit de poser −~
dt
L’hamiltonien H =