NYA XXI - Chapitre 3.11c

Chapitre 3.11c – Les collisions inélastiques
La vitesse de rapprochement dans une collision à deux objets
non ponctuels
Lors d’une collision entre deux objets non ponctuels A et B,
on peut évaluer la composante de vitesse de rapprochement
vnAB des deux objets par rapport à un axe orienté selon la
normale à la surface n̂ du contact :
v
vA0
A
*n̂
v
v
vnAB0 = (vA0 − vB0 ) ⋅ n̂BA
où
vnAB0 : Composante de la vitesse relative de A par
rapport à B selon l’axe n (m/s).
v
vA0 : Vitesse initiale de l’objet A (m/s).
v
vB0 : Vitesse initiale de l’objet B (m/s).
n̂BA : Normale à la surface de l’objet B
pointant vers l’extérieur de B.
v
− vB0
v
vAB
BA
v
vB0
*
B
n̂BA
θ
v
vAB
vnAB n̂BA
vnAB = vAB cos(θ ) = vAB ⋅ nˆBA
Remarque : (avec une définition de nˆ = nˆ BA )
Si vnAB > 0 , alors l’objet A s’éloigne de B (vitesse relative après la collision).
Si vnAB < 0 , alors l’objet A se rapproche de B (vitesse relative avant la collision).
Le coefficient de restitution
En 1687, Isaac Newton propose un coefficient permettant d’évaluer la perte de vitesse
relative entre deux objets entant en collision. Ce coefficient e compris entre 0 et 1
correspond au rapport entre le module de la vitesse relative vnAB de deux objets A et B
après une collision et le module de la vitesse relative vnAB0 avant une collision :
En valeur absolue
e=
où
vnAB
vnAB0
Avec signes
e=−
vnAB
vnAB0
Comparaison des
vitesses relatives
vnAB = − e vnAB0
: Coefficient de restitution ( e ∈ [0 .. 1] ).
vnAB : Composante de la vitesse relative de A par rapport à B après la collision
selon l’axe n (m/s).
vnAB0 : Composante de la vitesse relative de A par rapport à B avant la collision
selon l’axe n (m/s).
e
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Le coefficient de restitution e permet d’interpréter un scénario de perte d’énergie cinétique
K dans une collision de façon empirique :
Type de collision
Valeur de e
élastique
e =1
inélastique
0 < e <1
Parfaitement inélastique
e=0
Pour des sphères entrant en collisions, voici quelques valeurs tirées de la littérature1 :
Sphère
bois
liège
ivoire
verre
acier
Coefficient e
bois
liège
ivoire
verre
acier
1/2
5/9
8/9
15 / 16
19 / 20
La collision inélastique en 3D entre deux objets non ponctuels
(complément informatique)
Lors d’une collision inélastique entre deux objets A et B non
v
ponctuels, on peut évaluer l’impulsion J s’appliquant les
deux objets selon un axe parallèle à la normale à la surface
v
des deux objets en fonction de la vitesse initiale v0 de nos
deux objets, de leur masse m et du coefficient de restitution e.
Tout en respectant la conservation de la quantité de
mouvement, nous obtenons les équations suivantes :
J
v
v
vA = vA0 + n n̂BA
mA
et
A
J
v v
vB = vB0 − n n̂BA
mB
*
n̂BA
v
vB0
v
J BA = J n n̂BA
v
vA0
v
v
J AB = − J BA
*
B
tel que
Jn =
où
− (1 + e )
(vvA0 − vvB0 ) ⋅ nˆBA
(1 / mA + 1 / mB )
v
vA : Vitesse finale de l’objet A (m/s).
v
vA0 : Vitesse initiale de l’objet A (m/s).
v
vB : Vitesse finale de l’objet B (m/s).
v
vB0 : Vitesse initiale de l’objet B (m/s).
mA : Masse de l’objet A (kg).
mB : Masse de l’objet B (kg).
n̂BA : Normale à la surface de l’objet B pointant vers l’extérieur de B.
J n : Composante de l’impulsion appliquée selon l’axe n̂BA (Ns).
1
Référence des coefficients : http://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_de_restitution
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Preuve :
v
Considérons un objet A de masse mA se déplaçant à vitesse vA0 qui entre en collision avec
v
un objet B de masse mB se déplaçant à vitesse vB0 tel que la force normale de contact
appliquée par l’objet B sur l’objet A sera orientée selon une orientation n̂BA .
Par conservation de la quantité de mouvement, l’impulsion appliquée par l’objet A sur
l’objet B et l’impulsion appliquée par l’objet B sur l’objet A respecte la relation
v
v
J AB = − J BA
tel que
v
J BA = J n n̂BA .
Ainsi, nous pouvons établir par le théorème de la quantité de mouvement que
v
v
v
v
v
v
p A = p A 0 + J BA et p B = p B0 + J AB
v
v
ce qui nous donne en remplaçant p = mv les équations
v
v
v
v
v
v
mA vA = mA vA0 + J BA et mB vB = mB vB0 + J AB .
v
v
v
En divisant par la masse m, en utilisant J AB = − J BA et en remplaçant J BA = J n n̂BA , nous
pouvons obtenir
J
J
v
v
v
v
vA = vA 0 + n n̂BA et vB = vB0 − n n̂BA .
mA
mB
Il reste maintenant qu’à évaluer l’impulsion J n appropriée dans la collision pour respecter
la nature d’une collision inélastique. Pour ce faire, introduisons la définition du coefficient
de restitution
vnAB = − e vnAB0
valide lors d’une collision inélastique. En développant cette équation tout en respectant la
conservation de la quantité de mouvement, nous pouvons obtenir l’impulsion J n requise :
⇒
vnAB = − e vnAB0
(vvA − vvB ) ⋅ nˆ BA = −e(vvA0 − vvB0 ) ⋅ nˆ BA
v
v
( vnAB0 = (vA0 − vB0 ) ⋅ n̂BA )
⇒
 v
 

J
J
  vA 0 + n nˆ BA  −  vvB0 − n nˆ BA   ⋅ nˆ BA = −e(vvA0 − vvB0 ) ⋅ nˆ BA
 


mA
mB
 


⇒
J
J
v
v
v
v
vA 0 ⋅ nˆ BA + n nˆ BA ⋅ nˆ BA − vB0 ⋅ nˆ BA + n nˆ BA ⋅ nˆ BA = −e(vA0 − vB0 ) ⋅ nˆ BA (Distribution)
mA
mB
⇒
J
J
v
v
v
v
vA 0 ⋅ nˆ BA + n − vB 0 ⋅ nˆ BA + n = −e(vA0 − vB0 ) ⋅ nˆ BA
mA
mB
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
v
v
(Remplacer vA et vB )
( nˆ BA ⋅ nˆ BA = 1 )
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Isolons les termes en J n et établissons un lien avec les vitesses initiales :
J
J
v
v
v
v
vA 0 ⋅ nˆ BA + n − vB 0 ⋅ nˆ BA + n = −e(vA0 − vB0 ) ⋅ nˆ BA
mA
mB
(Équation précédente)
⇒
Jn
J
v
v
v
v
+ n = −e(vA0 − vB0 ) ⋅ nˆ BA − vA 0 ⋅ nˆ BA + vB0 ⋅ nˆ BA
mA mB
(Isoler terme avec J n )
⇒
 1
1 
v
v
v
v
 = (− e(vA0 − vB0 ) − v A 0 + v B0 ) ⋅ nˆ BA
J n 
+
 mA mB 
(Factoriser n̂BA et J n )
⇒
 1
1 
v
v
v
v
 = (− e(vA0 − vB0 ) − (vA 0 − vB 0 )) ⋅ nˆ BA
J n 
+
 mA mB 
(Réécriture)
⇒
 1
1 
v
v
v
v
 = −(e(v A0 − vB0 ) + (vA 0 − vB0 )) ⋅ nˆ BA
J n 
+
 mA mB 
(Factoriser signe nég.)
⇒
 1
1 
v
v
 = −(e + 1)(vA0 − vB0 ) ⋅ nˆ BA
+
J n 
 mA mB 
v
v
(Factoriser vA0 − vB0 )
⇒
J=
− (1 + e ) v
(vA0 − vvB0 ) ⋅ nˆ BA
 1
1 


+
 mA mB 
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
■
(Isoler J n )
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