NYA XXI - Chapitre 3.11c

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1
Chapitre 3.11c – Les collisions inélastiques
La vitesse de rapprochement dans une collision à deux objets
non ponctuels
Lors d’une collision entre deux objets non ponctuels
A
et
B
,
on peut évaluer la composante de vitesse de rapprochement
ABn
v des deux objets par rapport à un axe orienté selon la
normale à la surface n
ˆ
du contact :
(
)
BAB0A0AB0
ˆ
nvvv
n
⋅−=
v
v
où
AB0n
v : Composante de la vitesse relative de A par
rapport à B selon l’axe n (m/s).
A0
v
v
: Vitesse initiale de l’objet A (m/s).
B0
v
v
: Vitesse initiale de l’objet B (m/s).
BA
ˆ
n : Normale à la surface de l’objet B
pointant vers l’extérieur de B .
A0
v
v
B0
v
v
A
B
B0
v
v
−
BA
ˆ
n
AB
v
v
BA
ˆ
n
AB
v
v
BAAB
ˆ
nv
n
*
*
θ
(
)
BAABABAB
ˆ
cos nvvv
n
⋅== θ
Remarque : (avec une définition de
BA
ˆˆ nn =
)
Si 0
AB
>
n
v, alors l’objet A s’éloigne de B (vitesse relative après la collision).
Si 0
AB
<
n
v, alors l’objet A se rapproche de B (vitesse relative avant la collision).
Le coefficient de restitution
En 1687, Isaac Newton propose un coefficient permettant d’évaluer la perte de vitesse
relative entre deux objets entant en collision. Ce coefficient e compris entre 0 et 1
correspond au rapport entre le module de la vitesse relative
AB n
v de deux objets A et B
après une collision et le module de la vitesse relative
AB0 n
v avant une collision :
En valeur absolue Avec signes Comparaison des
vitesses relatives
AB0
AB
n
n
v
v
e=
AB0
AB
n
n
v
v
e−=
AB0AB nn
vev −=
où e : Coefficient de restitution (
[
]
1..0∈e ).
AB n
v : Composante de la vitesse relative de A par rapport à B après la collision
selon l’axe n (m/s).
AB0 n
v : Composante de la vitesse relative de A par rapport à B avant la collision
selon l’axe n (m/s).

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Le coefficient de restitution e permet d’interpréter un scénario de perte d’énergie cinétique
K dans une collision de façon empirique :
Type de collision Valeur de e
élastique 1
=
e
inélastique 10
<
<
e
Parfaitement inélastique 0
=
e
Pour des sphères entrant en collisions, voici quelques valeurs tirées de la littérature
1
:
Sphère Coefficient e
bois bois 1 / 2
liège liège 5 / 9
ivoire ivoire 8 / 9
verre verre 15 / 16
acier acier 19 / 20
La collision inélastique en 3D entre deux objets non ponctuels
(complément informatique)
Lors d’une collision inélastique entre deux objets
A
et
B
non
ponctuels, on peut évaluer l’impulsion J
v
s’appliquant les
deux objets selon un axe parallèle à la normale à la surface
des deux objets en fonction de la vitesse initiale
0
v
v
de nos
deux objets, de leur masse m et du coefficient de restitution e.
Tout en respectant la conservation de la quantité de
mouvement, nous obtenons les équations suivantes :
BA
A
0AA
ˆ
n
m
J
vv
n
+= vv
et
BA
B
0BB
ˆ
n
m
J
vv
n
−= vv
A0
v
v
B0
v
v
A
B
BA
ˆ
n
*
*
BAAB
JJ
v
v
−=
BABA
ˆ
nJJ
n
=
v
tel que
(
)
( ) ( )
BAB0A0
BA
ˆ
/1/1
1nvv
mm
e
J
n
⋅−
+
+
−
=vv
où
A
v
v
: Vitesse finale de l’objet A (m/s).
B
v
v
: Vitesse finale de l’objet B (m/s).
A0
v
v
: Vitesse initiale de l’objet A (m/s).
B0
v
v
: Vitesse initiale de l’objet B (m/s).
A
m : Masse de l’objet A (kg).
B
m : Masse de l’objet B (kg).
BA
ˆ
n : Normale à la surface de l’objet B pointant vers l’extérieur de B .
n
J : Composante de l’impulsion appliquée selon l’axe
BA
ˆ
n (Ns).
1
Référence des coefficients : http://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_de_restitution

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Preuve :
Considérons un objet A de masse
A
m se déplaçant à vitesse
A0
v
v
qui entre en collision avec
un objet B de masse
B
m se déplaçant à vitesse
B0
v
v
tel que la force normale de contact
appliquée par l’objet B sur l’objet A sera orientée selon une orientation
BA
ˆ
n .
Par conservation de la quantité de mouvement , l’impulsion appliquée par l’objet A sur
l’objet B et l’impulsion appliquée par l’objet B sur l’objet A respecte la relation
BAAB
JJ
v
v
−=
tel que
BABA
ˆ
nJJ
n
=
v
.
Ainsi, nous pouvons établir par le théorème de la quantité de mouvement que
BA0AA
Jpp
v
v
v
+= et
AB0BB
Jpp
v
v
v
+=
ce qui nous donne en remplaçant
v
m
p
v
v
=
les équations
BAA0AAA
Jvmvm
v
v
v
+= et
AB0BBBB
Jvmvm
v
v
v
+= .
En divisant par la masse m, en utilisant
BAAB
JJ
v
v
−= et en remplaçant
BABA
ˆ
nJJ
n
=
v
, nous
pouvons obtenir
BA
A
0AA
ˆ
n
m
J
vv
n
+= vv et
BA
B
0BB
ˆ
n
m
J
vv
n
−= vv .
Il reste maintenant qu’à évaluer l’impulsion
n
Jappropriée dans la collision pour respecter
la nature d’une collision inélastique. Pour ce faire, introduisons la définition du coefficient
de restitution
AB0AB nn vev −=
valide lors d’une collision inélastique. En développant cette équation tout en respectant la
conservation de la quantité de mouvement , nous pouvons obtenir l’impulsion
n
J requise :
AB0AB nn vev −=
⇒
(
)
(
)
BAB0A0BABA
ˆˆ
nvvenvv ⋅−−=⋅−
v
v
v
v
(
(
)
BAB0A0AB0 ˆ
nvvvn⋅−=
v
v
)
⇒
( )
BAB0A0BABA
B
0BBA
A
0A
ˆˆˆˆ nvvenn
m
J
vn
m
J
v
nn
⋅−−=⋅
−− +vvvv (Remplacer
A
v
v
et
B
v
v
)
⇒
( )
BAB0A0BABA
B
BA0BBABA
A
BA0A
ˆˆˆˆˆˆˆ nvvenn
m
J
nvnn
m
J
nv
nn
⋅−−=⋅+⋅−⋅+⋅ vvvv (Distribution)
⇒
( )
BAB0A0
B
BA0B
A
BA0A
ˆˆˆ nvve
m
J
nv
m
J
nv
nn
⋅−−=+⋅−+⋅ vvvv ( 1
ˆˆ
BABA
=⋅ nn )

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Isolons les termes en
n
J et établissons un lien avec les vitesses initiales :
( )
BAB0A0
B
BA0B
A
BA0A
ˆˆˆ nvve
m
J
nv
m
J
nv
nn
⋅−−=+⋅−+⋅ vvvv (Équation précédente)
⇒
( )
BA0BBA0ABAB0A0
BA
ˆˆˆ nvnvnvve
m
J
m
J
nn
⋅+⋅−⋅−−=+ vvvv (Isoler terme avec
n
J)
⇒
( )( )
BA0B0AB0A0
BA
ˆ
11 nvvvve
mm
J
n
⋅+−−−=
+vvvv
(Factoriser
BA
ˆ
n et
n
J)
⇒
( ) ( )( )
BA0B0AB0A0
BA
ˆ
11 nvvvve
mm
J
n
⋅−−−−=
+vvvv
(Réécriture)
⇒
( ) ( )( )
BA0B0AB0A0
BA
ˆ
11 nvvvve
mm
J
n
⋅−+−−=
+vvvv
(Factoriser signe nég.)
⇒
( )( )
BAB0A0
BA
ˆ
1
11 nvve
mm
J
n
⋅−+−=
+vv
(Factoriser
B0A0
vv
v
v
−)
⇒
(
)
( )
BAB0A0
BA
ˆ
11
1nvv
mm
e
J⋅−
+
+
−
=vv
■ (Isoler
n
J)