Moments Cinétiques

Pr. M. Benjelloun
Moments Cinétiques
Introduction à la physique nucléaire
Master MREE, Printemps 2017
Pr. Mohammed Benjelloun
Pr. M. Benjelloun UCD ‐FSJ
Moments angulaires
Moment cinétique orbital
Rappelons que dans la mécanique classique le moment angulaire est définie
comme le produit vectoriel des vecteurs position et impulsion:
Notez que le moment angulaire est lui-même un « vecteur ». Les trois
composantes cartésiennes du moment angulaire sont:
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Moments angulaires
Opérateur Moment cinétique
Pour un système quantique le moment angulaire est une observable, nous
pouvons mesurer le moment angulaire d'une particule dans un état quantique
donné. Selon les postulats, nous avons besoin d'associer à chaque observable
un opérateur hermitique.
La mécanique quantique substituts l'opérateur
pour la quantité de
mouvement, afin que l'opérateur moment cinétique devient:
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Moments angulaires
Fonctions propres et Valeurs propres
A partir de là, nous pourrons construire l’opérateur représentant le
carre du moment cinétique.
les opérateurs satisfont aux relations de commutation
les fonctions propres communes à
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Moments angulaires
Harmoniques sphériques
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Moments angulaires
Parité
Cette opération correspond à un changement de signe de toutes les
coordonnées de chaque point appartenant à l'espace euclidien.
En d'autres termes, la parité est la symétrie d'espace par rapport à l'origine O
des axes.
ψ (r ) = ψ (r , θ , φ )
ψ (r ) = Rnl (r )Yl ,m (θ , φ )
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Moments angulaires
Exercice
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Moments angulaires
Parité- Potentiel central
Equation de Schrödinger
En coordonnées sphériques, l'opération de parité revient à appliquer sur la
fonction d'onde d'espace la transformation suivante
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Moments angulaires
Définition du moment cinétique
On appelle moment cinétique J tout ensemble de trois
observables telles que les trois opérateurs Jx , Jy et Jz associés à
ses composantes, satisfont aux relations:
Au lieu d'utiliser les composantes Jx , Jy du moment cinétique J, il est
plus commode d'introduire les combinaisons linéaires suivantes
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Moments angulaires
Valeurs propres de J2 et Jz
Soit
une fonction d’onde propre de J2 et Jz .
Les seules valeurs possibles pour j sont des nombres entiers ou
demi-entier positifs ou nuls, c'est-à-dire : 0, 1/2, 1, 3/2, 2,
Pour une valeur fixée de j, il y a (2j + 1) valeurs possibles pour m
allant de -j, -j + 1,..., j -1 , j. Par conséquent m est entier si j est
entier, et demi-entier si j est demi-entier.
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Moments angulaires
Moment cinétique intrinsèque
Pour expliquer la structure fine dans le spectre de l’atome d’hydrogène,
Uhlenbeck et Goudsmit (1925) ont été amenés à postuler l’existence
d’un moment angulaire /2 pour le spin de l’électron,
Une particule peut posséder un moment cinétique intrinsèque, ou
"spin". Une image simple du spin se traduit par une rotation de la
particule sur elle-même (ce n'est qu'une image).
Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à
chaque particule. C’est une caractéristique de la nature de la
particule, tout comme sa masse et sa charge électrique.
Une particule telle qu’un noyau ou un électron possède un moment
cinétique intrinsèque S en plus de son moment cinétique orbital L.
Le spin ne possède pas d’équivalent classique, comme dans le cas
du moment cinétique orbital.
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Moments angulaires
Spin S=1/2
Le moment cinétique de spin S doit alors satisfaire aux relations
Sont les vecteurs propres de
Pour le neutron et le proton qui sont des particules de spin S = 1/2 , le
moment cinétique intrinsèque est quantifié dans l'espace et peut
prendre deux orientations possibles:
Expression des opérateurs
et les deux vecteurs de base
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l’algèbre des moments
angulaires
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Moments angulaires
Composition de moment cinétiques
Considérons un système physique formé par la réunion de deux
sous-systèmes. Soit une base standard
dans l'espace
des états E1 du sous-système (1),
et soit une base standard
dans l'espace des états E2, du
sous-système (2) , alors l'espace des états du système global est le
produit tensoriel de E1 et E2
Le sous-espace E(k1,k2; j1,j2) a pour dimension
; il est
globalement invariant sous l'action d'une fonction quelconque de J1
et J2.
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Moments angulaires
Coefficients de Clebsch-Gordan
Un vecteur
propre des observables
de la base est simultanément état
avec les valeurs propres respectives
La base du sous-espace E(k1 , k2 ; j1, j2) de E est globalement
invariant sous l'action de tout opérateur.
Dans chaque sous espace E(j1,j2) les vecteurs propres de J2 et Jz sont
des combinaisons linéaires des vecteurs de la base initiale
{
}:
coefficients de Clebsch-Gordan
M = m1 + m2
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et
| j1 - j2 | ≤ J ≤ j1 + j2
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Moments angulaires
Coefficients de Clebsch-Gordan
coefficients de Clebsch-Gordan
M = m1 + m2
Exemple
j1 = 1
j2 = 2
et
| j1 - j2 | ≤ J ≤ j1 + j2
| 2, 2 >= ?
J = j1 + j2 ⇒ J = 1, 2,3
| 2, 2 >= C11 | 2,1;1,1 > +C20 | 2,1; 2, 0 >
| 2, 2 >= −
| 2, 2 >= −
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1
| 2,1;1,1 > +C02 | 2,1; 2, 0 >
3
1
2
| 2,1;1,1 > +
| 2,1; 2, 0 >
3
3
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Moments angulaires
Coefficients de Clebsch-Gordan
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Moments angulaires
Facteur de phase
Lorsqu'on couple deux moments cinétiques, l'ordre dans lequel se
fait le couplage n'est pas quelconque: Si on choisi de coupler j1à j2
(dans ce sens) il faut conserver cet ordre tout au long des calculs
sous peine d'introduire des facteurs de phases (signe négatifs).
Exemple
< 1, 2; 0, 2 | 2, 2 >= ?
< 1, 2;0, 2 | 2, 2 >= (−)1+ 2− 2 < 2,1; 2, 0 | 2, 2 >
< 1, 2;0, 2 | 2, 2 >= − < 2,1; 2, 0 | 2, 2 >
< 1, 2;0, 2 | 2, 2 >= (−)1+ 2− 2 < 2,1; 2, 0 | 2, 2 >
< 1, 2;0, 2 | 2, 2 >= − < 2,1; 2, 0 | 2, 2 >= −
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Moments angulaires
Composition de moment cinétiques
Exercice 1:
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Moments angulaires
Moment cinétique total
Le moment cinétique total J est la somme des moments cinétiques
orbital L et de spin S
L'action des opérateurs J2 et Jz sur un état propre
Désignons par E (k,j) l'espace vectoriel engendré par l'ensemble des
vecteurs de la base standard {
} qui correspondent à des
valeurs fixées de k et j.
• E(k,j) est de dimension (2j+1)
• E(k,j) est globalement invariant sous l'action de J2, Jz , J+ et J• A l'intérieur d'un sous-espaceE(k,j), les éléments de matrice d'une
fonction quelconque F(J) sont indépendants de k.
• Les sous-espaces E(k,j) orthogonaux deux à deux
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Moments angulaires
Couplage spin-orbite
La manière avec laquelle les valeurs de
et s des particules
individuelles s’ajoutent pour donner le moment cinétique total J
dépend du type d’interaction ou « couplage » qu’on suppose exister
entre les particules.
Comme le moment cinétique totale du système considéré ( par
exemple celui d’un noyau) est:
Fort couplage
Faible couplage
Couplage (L.S)
de Russel-Saunders
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Couplage j.j
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Moments angulaires
Couplage de Russel-Saunders (L.S)
• les moment angulaires et s d’un nucléon individuel, le couplage
est faible.
• Les sont supposés fortement couplés les uns aux autres
• les vecteurs de spin s sont fortement couplés
Dans le couplage L.S, la nomenclature des niveaux nucléaires est
celle utilisée en spectroscopie:
Ainsi, les niveaux L=0, 1, 2,…
sont définis par S,P,D,F,…
Par ailleurs pour chaque valeur de L, correspond (2S+1) valeurs de J
différentes.
Supposons qu’on désire coupler un nucléon s avec un nucléon p.
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Moments angulaires
Couplage j.j
On suppose dans ce cas, que l’interaction dominante se fait entre les
vecteurs orbitaux et de spin d’un même nucléon. Ils se
combinent pour donner un nombre quantique
: moment
cinétique total d’un nucléon.
Les niveaux sont notés:
Exemple
Supposons qu’on désire coupler un nucléon s avec un nucléon p.
nucléon s
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nucléon p
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Moments angulaires
Couplages j.j et LS
Le type de couplage que l’on attribut à la configuration du système
ne modifie ni le nombre total de niveaux, ni les moments cinétiques
de ces niveaux. Cependant, le type de couplage modifie
profondément l’écart énergétique entre les niveaux.
Dans l’exemple on obtient 4 niveaux.
j.j
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L.S
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Moments angulaires
Couplage de deux spins ½ dans état =1
Exercice 2:
On considère deux nucléons dans un état =1. Trouver le nombre
d'états possibles et donnez leur notation spectroscopique en
considérant le couplage j.j puis le couplage L.S.
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Moments angulaires
Couplage de deux spins 1/2
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Moments angulaires
Couplage de deux spins 1/2
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