Polynômes

Polynômes
Vincent Pilaud
2007
Dans tout ce texte, A désigne un anneau factoriel, k un corps (commutatif), et A[X] (resp. k[X]) l’algèbre des
polynômes à une indéterminée sur A (resp. k).
1
1.1
Racines
Définitions élémentaires
Définition 1. Soit P ∈ k[X] et a ∈ k. On dit que a est une racine de P si P (a) = 0, ou de manière équivalente si
X − a divise P . On appelle multiplicité de a le plus grand entier µ tel que (X − a)µ divise P .
Proposition 1. Si P ∈ k[X] admet a1 , . . . , aℓ pour racines, de multiplicités respectives µ1 , . . . , µℓ , alors il existe
Qℓ
Q ∈ k[X] tel que P = Q (X − ai )µi .
En particulier, seul le polynôme nul admet strictement plus de racines que son degré.
Qℓ
Définition 2. On dit qu’un polynôme P est scindé si on peut écrire P = λ
(X − ai )µi , avec ℓ, µ1 , . . . , µℓ ∈ N et
λ, a1 , . . . , aℓ ∈ k.
1.2
Quelques exemples
Les polynômes du second degré.
Soient a, b et c trois réels, avec a 6= 0. Alors le polynôme
P = aX 2 + bX + c = a(X +
√
2
√
b 2 b2 − 4ac
) −
2a
4a2
2
b −4ac
b −4ac
admet deux racines réelles −b+ 2a
et −b− 2a
(resp. une racine double
2
2
2
b − 4ac > 0 (resp. b − 4ac = 0, resp. b − 4ac < 0).
−b
2a ,
resp. aucune racine réelle) lorsque
Le déterminant. Le déterminant d’une matrice M = [mi,j ]1≤i,j≤n est un polynôme (à plusieurs indéterminées) en
les coefficients de M , donné par la formule
det(M ) =
X
ε(σ)
n
Y
mi,σ(i) .
i=1
σ∈Sn
Les deux exemples suivants montrent des utilisations du caractère polynomial du déterminant :
Proposition 2. Soient a0 , . . . , an ∈ k. Le déterminant de

1 a0
 1 a1

V (a0 , . . . , an ) = det  .
..
 ..
.
1 an
Vandermonde de a0 , . . . , an est donné par

. . . an0
Y
. . . an1 

aj − ai .
..  =
..
. .
...
ann
1≤i<j≤n
On montre ce résultat par récurrence sur n. Il est évident pour n = 1. Supposons maintenant le résultat vrai au
rang n. On considère le déterminant V (a0 , . . . , an , X). Un développement par rapport à la première colonne assure que
V (a0 , . . . , an , X) est un polynôme en X, de degré n + 1 dont le coefficientQdominant est V (a0 , . . . , an ). Par ailleurs, il
n
s’annule en tous les ai . Par conséquent, V (a0 , . . . , an , X) = V (a0 , . . . , an ) i=0 (X − ai ), ce qui donne le résultat grâce
à l’hypothèse de récurrence.
1
Définition 3. On appelle polynôme caractéristique d’une matrice M ∈ Mn (k) le polynôme χM (X) = det(M − XIn ).
Ses racines sont exactement les valeurs propres de M , ie. les scalaires α ∈ k tels qu’il existe un vecteur propre
x ∈ k n r {0} tel que M x = λx.
Exemple.
1. L’ensemble des matrices inversibles de Mn (R) est dense dans Mn (R)
2. Soient A, B ∈ Mn (R) ⊂ Mn (C). A et B sont semblables dans R si et seulement si elles sont semblables dans C.
Les suites récurrentes linéaires.
Définition 4. On dit qu’une suite (un )n∈N ∈ k N est récurrente linéaire s’il existe p ∈ N∗ et v0 , . . . , vp ∈ k tels que
pour tout i ∈ N,
p
X
vj ui+j .
ui+p+1 =
j=0
Le polynôme X
p+1
−
Pp
j
vj X est appelé polynôme générateur de la suite (un )n∈N .
Qℓ
(X − ai )µi un polynôme générateur scindé d’une suite récurrente linéaire (un )n∈N . Alors
Proposition 3. Soit P =
il existe λ1,1 , . . . , λℓ,αℓ ∈ k, dépendant des conditions initiales, tels que pour tout n ∈ N,
j=0
un =
µi
ℓ X
X
λi,j nj−1 ani .
i=1 j=1
Exemple. La suite de Fibonacci définie par u0 = u1 = 1 et un+2 = un+1 + un est donnée par
√ !
√ !
1+ 5
1
1
1− 5
1
1
un = λ
+µ
, avec λ = + √ et µ = − √ .
2
2
2 2 5
2 2 5
Les polynômes interpollateurs de Lagrange.
Proposition 4. Soient α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn ∈ k avec αi 6= αj pour tout i 6= j. Le polynôme
L(X) =
n
X
βi
i=1
Y X − αj
αi − αj
j6=i
est l’unique polynôme de degré strictement inférieur à n tel que L(αi ) = βi pour tout 1 ≤ i ≤ n.
Les polynômes de Tchebychev.
Proposition 5. Pour tout entier n, il existe un unique polynôme Tn ∈ R[X] de degré n, appelé n-ième polynôme de
Tchebychev, qui vérifie Tn (cos θ) = cos(nθ), pour tout θ ∈ R.
Ces polynômes vérifient la formule de récurrence suivante :
T0 (X) = 1, T1 (X) = X
1.3
1.3.1
et
Tn+2 (X) = 2XTn+1 (X) − Tn (X).
Relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme
Polynômes symétriques élémentaires
Définition 5. Soient p ≤ n deux entiers. On appelle p-ième polynôme symétrique élémentaire de A[X1 , . . . , Xn ] le
polynôme
X
Σp,n =
Xi1 . . . Xip .
1≤i1 <...<ip ≤n
Par exemple, Σ1,1 = X1 , Σ1,2 = X1 + X2 , Σ2,2 = X1 X2 , Σ1,3 = X1 + X2 + X3 , Σ2,3 = X1 X2 + X1 X3 + X2 X3 ,
Σ3,3 = X1 X2 X3 , etc.
Qn
Théorème 1 (Relations racines-coefficients). Soit P = cn X n + . . . + c1 X + c0 = cn i=1 (X − ai ) un polynôme scindé
(avec cn 6= 0). Alors pour tout 1 ≤ p ≤ n, le (n − p)-ième coefficient de P est donné par
cn−p = (−1)p cn Σp,n (a1 , . . . , an ).
Exemple. Soient σ et π deux réels. Les deux racines du polynôme X 2 − σX + π, lorsqu’elles existent, forment l’unique
couple de réels dont la somme vaut σ et le produit π.
2
1.3.2
Localisation de racines
Théorème 2. Soit P = X n + cn−1 X n−1 + . . . + c1 X + c0 un polynôme unitaire de C[X] de racines a1 , . . . , an ∈ C.
On note M = max{|ai | | 1 ≤ i ≤ n}. Si δ ∈ R+ vérifie δ n ≥ |cn−1 |δ n−1 + . . . + |c1 |δ + |c0 |, alors M ≤ δ.
En effet, soient δ ∈ R+ vérifiant δ n ≥ |cn−1 |δ n−1 + . . . + |c1 |δ + |c0 | et z ∈ C avec |z| > δ. Alors
n−1
n
n−i !
n−1
n−1
n−1
X
X
X
X
|z|
δ
|ci ||z|i =
ci z i ≥ |z|n −
ci z i | ≥ |z|n − |ci |δ i
|P (z)| = |z n +
δn −
>0
δ
|z|
i=0
i=0
i=0
i=0
Ainsi, toute racine de P a un module inférieur ou égal à δ.
Exemple. On obtient en particulier les inégalités suivantes :
Pn−1
(i) M ≤ max(1, i=0 |ci |),
(ii) M ≤ 1 + max{|ci | | 0 ≤ i ≤ n − 1},
(iii) M ≤ |1 − cn−1 | + |cn−1 − cn−2 | + . . . + |c1 − c0 | + |c0 |,
o
n
|cn−2 |
|c0 |
.
,
.
.
.
,
2
(iv) Si tous les ci sont non nuls, alors M ≤ max 2|cn−1 |, 2 |c
|
|c
|
n−1
1
1.3.3
Continuité des racines
Théorème 3 (Continuité des racines d’un polynôme complexe). Soit Un l’ensemble des polynômes de C[X] de degré
exactement n (c’est un ouvert de Cn [X] que l’on munit de la topologie induite). Soit Vn le quotient de Cn par le groupe
symétrique Sn , munit de la topologie quotient. Alors l’application φ : Un → Vn , qui a un polynôme associe (la classe
de) ses racines, est continue.
Remarque. La topologie de Vn est métrisée par la distance définie par :
d(A, B) = min { max |ai − bσ(i) |},
σ∈Sn i=1,...,n
où (a1 , . . . , an ) (resp. (b1 , . . . , bn )) désigne un représentant quelconque de la classe d’équivalence A (resp. B).
2
2.1
Polynômes irréductibles
Définitions
Définition 6. On dit qu’un polynôme P ∈ A[X] est irréductible si
(i) P ∈
/ A[X]∗ = A∗ ,
(ii) ∀Q, R ∈ A[X] tels que P = QR, on a Q ∈ A∗ ou R ∈ A∗ .
Remarque. L’hypothèse de factorialité de l’anneau A implique que A[X] est factoriel. Par ailleurs, lorsque k est un
corps, k[X] est euclidien, donc factoriel. Ainsi, on se place toujours dans un cadre qui assure l’existence et l’unicité de
la décomposition d’un polynôme en produits de facteurs irréductibles.
Exemple.
(a) Sur un corps algébriquement clos, les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1.
(b) Sur R, les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de la forme aX 2 +
bX + c, avec a 6= 0 et b2 − 4ac < 0.
(c) Nous verrons plus loin que sur Q ou sur un corps fini, il existe des polynômes irréductibles de n’importe quel degré.
2.2
Relation entre irréductibilité dans A et dans frac(A)
Définition 7. Soit P ∈ A[X]. On appelle contenu de P le pgcd de ses coefficients. On le note c(P ). On dit que P est
primitif lorsque c(P ) = 1.
Lemme 1 (Gauss). Pour tous P, Q ∈ A[X], on a c(P Q) = c(P )c(Q).
Proposition 6. Soit A un anneau factoriel et frac(A) son corps des fractions. Les polynômes irréductibles de A[X]
sont :
– les constantes irréductibles dans A,
3
– les polynômes non constants primitifs et irréductibles dans frac(A).
Remarque. Le polynôme 2X et irréductible sur Q mais pas sur Z.
Lemme 2. Soient P, Q ∈ A[X] tel que P soit unitaire et P Q soit unitaire et à coefficients entiers. Alors Q est unitaire
et P et Q sont à coefficients entiers.
P
i
Le fait que Q est unitaire est évident. Écrivons maintenant P = X α + µ1 α−1
i=0 pi X , où les entiers µ, p0 , . . . , pα−1
sont premiers entre eux dans leur ensemble (pour celà, il suffit de choisir pour µ le ppcm des dénominateurs des
Pβ−1
coefficients de P ). On écrit de même Q = X β + ν1 i=0
qi X i , avec ν, q0 , . . . , qν premiers entre eux dans leur ensemble.
On sait alors que les polynômes µP et νQ sont à coefficients entiers et de contenu 1. On a donc 1 = c(µP )c(νQ) =
c(µP.νQ) = µν.c(P Q) = µν, ce qui implique que µ = ν = 1, i.e. que P et Q sont à coefficients entiers.
2.3
Exemple : polynômes cyclotomiques
Soit m ∈ N∗ . On note Um = {z ∈ C | z m = 1} l’ensemble des racines m-ièmes de l’unité dans C. On rappelle
que Um est un groupe cyclique, et on appelle racine primitive m-ième de l’unité tout générateur de Um . On note Pm
l’ensemble des racines primitives m-ième de l’unité.
Définition 8. On appelle m-ième polynôme cyclotomique le polynôme
Y
Φm =
(X − z).
z∈Pm
(i) Le polynôme Φm est unitaire de degré φ(m).
Proposition 7.
(ii) X
m
−1=
Q
d|m Φd .
(iii) Φm est à coefficients dans Z.
Les points (i) et (ii) découlent directement des propriétés de structure de Z/mZ. Montrons le point (iii) par
récurrence :
– le résultat est immédiat pour m = 1 puisque Φ1 = X − 1.
Q
– en supposant le résultat vrai pour tous les entiers inférieurs à m, on obtient que U = d|m,d6=m Φd est un
polynôme unitaire à coefficients dans Z. On peut donc effectuer dans Z[X] la division euclidienne de X m − 1 par
U : il existe Q, R ∈ Z[X] tels que X m − 1 = U Q + R et deg(R) < deg(U ). L’unicité de la division euclidienne
dans C[X] permet de conclure que Q = Φm et R = 0, ce qui implique que Φm est bien à coefficients entiers.
Théorème 4. Le polynôme Φm est irréductible dans Q[X].
Pour montrer ce théorème, il suffit de montrer que Φm est le polynôme minimal de l’une de ses racines. Soit z ∈ Pm
et π ∈ Q[X] son polynôme minimal (unitaire). On va montrer que π s’annule sur toutes les racines primitives m-ièmes
de l’unité, ce qui impliquera que Φm = π.
Commençons par remarquer que comme X m − 1 s’annule en z, π le divise, donc il existe R ∈ Q[X] tel que
πR = X m − 1. Le lemme 2 affirme alors que π et R sont à coefficients entiers.
Considérons maintenant une racine ω de π et un nombre premier p ne divisant pas m, et supposons que ω p n’est
pas une racine de π. Tout d’abord, comme π divise X m − 1, on sait que ω ∈ Um , et donc que ω p ∈ Um . On a donc
0 = (ω p )m − 1 = π(ω p )R(ω p ). Comme on a supposé que ω p n’est pas une racine de π, on obtient R(ω p ) = 0. Le
polynôme π étant irréductible, unitaire et s’annulant en ω, c’est le polynôme minimal de ω, donc il divise R(X p ). Soit
S ∈ Q[X] tel que R(X p ) = π(X)S(X). À nouveau d’après le lemme 2, S est unitaire et à coefficients entiers.
Ainsi, l’égalité R(X p ) = π(X)S(X) est une égalité dans Z[X], et on peut la passer modulo p : R̄(X)p = R(X p ) =
π̄(X)S̄(X). Cette égalité nous assure que si T est un facteur irréductible de π̄, alors T divise R̄(X)p , donc R̄(X). Par
mX m−1 sont premiers
conséquent, T 2 divise R̄π̄ = X m − 1 = X m − 1. Ceci est impossible car X m − 1 et sa dérivée
1
m−1
− (X m − 1) = 1.
entre eux : en effet, comme m est premier avec p, on peut l’inverser dans Z/pZ et m X mX
On obtient ainsi une contradiction ce qui montre que si ω est une racine de π et p un nombre premier ne divisant
pas m, alors ω p est aussi une racine de π.
Considérons maintenant une racine primitive m-ième de l’unité z ′ . On sait qu’il existe un entier n premier avec m
αℓ
1
et tel que z ′ = z n . On écrit n = pα
1 . . . pℓ où les pi sont des entiers premiers ne divisant pas m. D’après la discussion
précédente, et comme z est une racine de π, il est facile de montrer que z ′ est aussi une racine de π, ce qui termine la
preuve du théorème.
Proposition 8 (Un cas particulier du théorème de Dirichlet). Soit m un entier non nul.
4
1. Soient a ∈ N et p un entier premier. Si p divise Φm (a) mais pas Φd (a) pour tout diviseur strict d de m, alors
p ≡ 1[mod m].
2. Il existe une infinité de nombres premiers de la forme λm + 1 (avec λ ∈ N).
Pour montrer le premier point, il suffit d’étudier l’ordre de a dans le groupe (Z/pZ)∗ . On sait que p divise Φm (a),
donc aussi am − 1. Ainsi, am ≡ 1 [mod p] et l’ordre de a est un diviseur de m. Par un raisonnement similaire, le fait
que p ne divise Φd (a) pour aucun diviseur strict de m assure que a est en fait exactement d’ordre m. Par conséquent,
m divise l’ordre du groupe (Z/pZ)∗ , c’est à dire p − 1, donc p ≡ 1 [mod m].
Montrons à présent cette version faible du théorème de Dirichlet. Soit N ∈ N. On pose a = 3N !. Soit p un diviseur
premier de Φm (a). Alors
(i) p est strictement plus grand que N . En effet, si p ≤ N , alors p divise a. Comme Φm est à coefficients entiers, on
en déduit que p divise Φm (a) − Φm (0), donc il divise Φm (0) = ±1. On obtient une absurdité.
(ii) p ≡ 1 [mod m].QEn effet, s’il existe un diviseur strict d de m tel que p divise Φd (a), alors a est une racine double
de X m − 1 = d|m Φd (X) dans Z/pZ, ce qui encore une fois est impossible puisque X m − 1 et sa dérivée sont
premier entre eux.
On a donc trouvé une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo m.
Le théorème suivant, du à Kronecker, donne une caractérisation intéressante des polynômes cyclotomiques par les
modules de leurs racines :
Théorème 5 (Kronecker). Soit P ∈ Z[X] un polynôme unitaire irréductible dans Q[X] de degré supérieur ou égal
à 1. On suppose que toutes ses racines sont de module inférieur ou égal à 1. Alors P = X ou P est un polynôme
cyclotomique.
Q
Soient a1 , . . . , an les racines de P et p0 son terme constant. D’après les relations racines-coefficients, po = ai . On
a alors deux cas :
Q
(i) soit l’une des racines est de module strictement inférieur à 1. Alors |p0 | = |ai | < 1, donc p0 = 0. L’irréductibilité
de P entraine donc que P = X.
Q
(ii) soit toutes les racines de P sont de module 1. Pour tout entier k, on pose µk = ni=1 (aki − 1). C’est un polynôme symétrique en les racines de P , donc µk s’exprime comme un polynôme en les Σi,n (a1 , . . . , an ), i.e. en les
coefficients de P . Par conséquent, µk est un entier pour tout k.
Supposons maintenant que pour tout k, µk soit non nul. Alors
|ak1 − 1| = Q
1
1
µk
≥ Q
= n−1 ,
k
2
i6=1 |αi − 1|
i6=1 |ai | + 1
donc le sous-groupe de U engendré par a1 n’est pas dense. Il existe donc un rationel p/q tel que a1 = e2ipπ/q .
Mais alors aq1 = 1 et µq = 0, ce qui contredit notre hypothèse.
On en déduit donc que µk s’annule pour un certain k, et donc qu’il existe i tel que aki = 0. Comme P est le
polynôme minimal de ai , on en déduit qu’il divise X k − 1, donc c’est un polynôme cyclotomique.
2.4
2.4.1
Critères d’irréductibilité
Irréductibilité et racines
Pour qu’un polynôme de degré supérieur ou égal à 2 soit irréductible sur un corps k, il faut évidemment qu’il n’ait
pas de racines dans k. Cette condition nécessaire est aussi suffisante si le polynôme est de degré 2 ou 3. La proposition
suivante généralise ce fait aux degrés plus grands :
Proposition 9. Soit P un polynôme de k[X] de degré α. Alors P est irréductible si et seulement s’il n’admet de
racine dans aucune extension K de k telle que [K : k] ≤ α/2.
Exemple. Le polynôme X 4 + X + 1 est irréductible sur F2 .
2.4.2
Critère de Dumas, d’Eisenstein, ...
Définition 9. Soit A un anneau factoriel et frac(A) son corps des fractions. Soit p un irréductible de A. On appelle
ℓ
valuation p-adique d’un élément a de
A l’entier vp (a) = max{ℓ ∈ N | p divise a}. On appelle valuation p-adique d’un
a
a
élément b de frac(A) l’entier vp b = vp (a) − vp (b).
5
2
1
0
1
...
...
7
Fig. 1 – Le 2-polygone de Newton du polynôme 12 + 15 X + 4X 2 + 21 X 4 + X 5 + 74 X 6 + 4X 7
Pn
Définition 10. Soit P = i=0 ci X i ∈ frac(A)[X] et p un nombre premier. On appelle p-polygone de Newton de P
l’enveloppe convexe inférieure Np (P ) de l’ensemble {(i, vp (ci )) | 0 ≤ i ≤ n}.
Exemple. Sur la figure 1, on a grisé le 2-polygone de Newton du polynôme 12 + 15 X + 4X 2 + 21 X 4 + X 5 + 47 X 6 + 4X 7 .
Proposition 10. Soient P et Q deux polynômes de frac(A)[X] et p un irréductible de A. Alors
Np (P Q) = Np (P ) + Np (Q) = {u ∈ R2 | ∃v ∈ Np (P ), w ∈ Np (Q), tels que u = v + w}.
Pour montrer cette proposition, on note
P =
X
αi pβi X i
et Q =
i∈N
X
γi pδi X i
i∈N
où (αi )i∈N (resp. (γi )i∈N ) est une suite presque nulle d’éléments de frac(A) de valuation p-adique nulle et (βi )i∈N (resp.
(δi )i∈N ) est une suite d’entiers avec βi = +∞ lorsque αi = 0 (resp. δi = +∞ lorsque γi = 0). Avec ces notations,
le polygone de Newton Np (P ) (resp. Np (Q)) est l’enveloppe convexe inférieure de l’ensemble {(i, βi ) | i ∈ N} (resp.
{(i, δi ) | i ∈ N}).
Par ailleurs,


X X

PQ =
αj γk pβj +δk  X i ,
i∈N
j+k=i
o
P
n
βj +δk
|i∈N .
donc Np (P Q) est l’enveloppe convexe inférieure de l’ensemble
i, vp
j+k=i αj γk p
Or


X
vp 
αj γk pβj +δk  ≥ min{βj + δk | j + k = i},
(1)
j+k=i
donc on a déjà l’inclusion Np (P Q) ⊂ Np (P ) + Np (Q), et tout revient à montrer l’égalité dans l’inéquation 1.
Pour cela, considérons un sommet u de Np (P ) + Np (Q). Par définition, il existe (v, w) ∈ Np (P ) × Np (Q) tel que
u = v + w. Montrons que ce couple est unique : supposons qu’il existe un autre couple (ṽ, w̃) ∈ Np (P ) × Np (Q) tel
que u = ṽ + w̃. On a alors u = 21 (v + w + ṽ + w̃) = 12 ((v + w̃) + (ṽ + w)) et v + w̃, ṽ + w ∈ Np (P ) + Np (Q). Comme u
est extremal, on obtient donc v + w̃ = ṽ + w. En combinant avec l’égalité v + w = ṽ + w̃, on obtient v = ṽ et w = w̃.
Ainsi, pour tout sommet u = (x, y) de Np (P ) + Np (Q), il existe un unique couple d’entiers (j, k) tel que x = j + k
et y = βj + δk . On a donc bien égalité dans l’inéquation 1, et donc le résultat.
Nous pouvons maintenant appliquer directement cette proposition pour donner un critère géométrique d’irréductibilité d’un polynôme :
Théorème 6 (Critère de Dumas). Soit P ∈ frac(A)[X] de coefficient constant non nul. S’il existe un irréductible p
tel que le p-polygone de Newton de P soit l’enveloppe convexe inférieure d’un segment ne rencontrant Z2 qu’en ses
extremités, alors P est irréductible dans frac(A)[X].
Exemple. Le critère d’Eisenstein est un cas particulier de ce critère : soit P = cn X n + . . . + c1 X + c0 ∈ A[X] et p ∈ A
irréductible et tel que
(i) p 6 | cn (ii) ∀0 ≤ j ≤ n, p|aj (iii) p2 6 | c0 .
Alors P est irréductible dans frac(A)[X].
6
2
1
0
1
...
...
n
Fig. 2 – Le critère d’Eisenstein
2.4.3
Réduction modulo p
Théorème 7. Soit A un anneau factoriel et frac(A) son corps des fractions. Soit I un idéal premier de A et B le
quotient de A par I. Soit P = cn X n + . . . + c1 X + c0 un polynôme de A[X] et P̃ = c˜n X n + . . . + c˜1 X + c˜0 ∈ B[X] sa
réduction modulo I (c˜i désigne la classe de ci dans B). Si c˜n 6= 0 et P̃ est irréductible sur B (ou frac(B)), alors P
est irréductible sur frac(A) (et donc sur A s’il est primitif ).
Exemple.
(i) Le polynôme 5X 3 + 4X 2 + 3X + 1 se réduit modulo 2 en X 3 + X + 1 qui est irréductible sur F2 (il est de degré
3 et n’a pas de racines).
(ii) Même lorsqu’une réduction ne donne pas directement un critère d’irréductibilité, elle fournit des informations sur
les possibles décomposition du polynôme de départ. Par exemple, le polynôme P = X 5 + X 2 + X + 2 se réduit
modulo 2 en X(X 4 + X + 1). Le polynôme X 4 + X + 1 étant irréductible dans F2 , il y a deux possibilités : soit
P est irréductible, soit P se décompose en deux polynômes, l’un de degré 1 et l’autre de degré 4. Or la réduction
de P modulo 3 n’a pas de racine, donc la deuxième solution est écartée. P est donc irréductible.
(iii) Il existe des polynômes irréductibles sur Z dont la réduction modulo n’importe quel nombre premier est réductible : c’est le cas du polynôme cyclotomique X 4 + 1.
3
3.1
Extensions de corps
Rappels sur les extensions de corps, nombres algébriques et transcendants
Définition 11. Soient k et K deux corps tels que k ⊂ K. On dit alors que K est une extension (de corps) de k, et
on note K/k cette extension.
Si K est une extension de k, alors K peut être vu comme un k-espace vectoriel avec la loi externe : ∀a ∈ k, ∀b ∈
K, a.b = ab (multiplication dans le corps K). Si K est de dimension finie sur k, on dit que l’extension est finie et la
dimension de K sur k est appelée degré de l’extension et est notée [K : k].
Théorème 8 (de la base télescopique et de la multiplication du degré). Soient K, L et M des corps tels que K ⊂
L ⊂ M . Soient (ei )i∈I et (fj )j∈J des bases respectives du K-espace vectoriel L et du L-espace vectoriel M . Alors
(ei fj )i∈I,j∈J est une base du K-espace vectoriel M . En particulier, si les extensions L/K et M/L sont finies de degrés
respectifs [L : K] et [M : L], alors l’extension M/K est finie de degré [M : K] = [M : L][L : K].
Soit K/k une extension de corps et A une partie de K. On note k(A) (resp. k[A]) le plus petit sous-corps (resp.
sous-anneau) de K contenant k et A. On a bien sûr k[A] ⊂ k(A). Si A = {a1 , . . . , an } est fini, on note aussi k(A) =
k(a1 , . . . , an ) (resp. k[A] = k[a1 , . . . , an ]). Si K = k(a), on dit que l’extension est monogène.
Pour a ∈ K, on a
P (a)
| P, Q ∈ k[X], Q(a) 6= 0 .
k[a] = {P (a) | P ∈ k[X]} et k(a) =
Q(a)
Il est important de noter que k[a] (resp. k(a)) n’est en général pas isomorphe à k[X] (resp. à k(X)) puisqu’il peut
arriver que P (a) = 0 avec P 6= 0. Plus précisément, il y a deux situations possibles :
Définition 12. Soit K/k une extension de corps et a ∈ L. Soit φ : k[X] −→ K le morphisme défini par φ(P ) = P (a).
(i) Si φ est injective, on dit que a est transcendant.
7
(ii) sinon, on dit que a est algébrique. Dans ce cas, l’idéal I = Ker φ est principal non nul, donc il est engendré par
un unique polynôme π unitaire, appelé polynôme minimal de a sur k.
Proposition 11.
(i) Si a est transcendant, k[a] ≃ k[X] et k(a) ≃ k(X).
(ii) Si a est algébrique, k[a] ≃ k(a) ≃ k[X]/(π).
Exemple.√
– i et 3 2 sont algébriques sur Q,
– e et π sont transcendants
Q,
P sur
1
– le nombre de Liouville
10n! est transcendant.
Autant il est difficile de montrer que e et π sont transcendants, autant le fait que
directement du lemme suivant :
P
1
10n!
soit transcendant découle
Lemme 3. Soit α un nombre algébrique. Alors il existe n ∈ N∗ et λ ∈ R∗ tels que ∀(p, q) ∈ Z × Z∗ , |α − pq | ≥
λ
qn .
En effet, soit P tel que P (α) = 0. On note n le degré de P et λ = 1/ sup[α−1;α+1] |P ′ |. Alors pour tout
[α − 1; α + 1], on a |P ( pq )| ≤ λ1 | pq − α|. Mais P ( pq ) ≥ q1n , et donc |α − pq | ≥ qλn .
p
q
∈
Proposition 12. Soit K/k une extension et κ = {x ∈ K | x algébrique sur k}. Alors κ est un corps (on parle
d’ extension intermédiaire).
Définition 13. On dit qu’un corps k est algébriquement clos s’il satisfait les conditions équivalentes suivantes :
(i) tout polynôme non constant de k[X] admet une racine dans k,
(ii) les seuls polynômes irréductibles de k[X] sont les polynômes de degré 1,
(iii) tout élément algébrique d’une extension K/k est contenu dans k,
(iv) il n’existe pas d’extension algébrique de k (autre que k).
3.2
Corps de rupture, corps de décomposition
Définition 14. Soit k un corps et P ∈ k[X] irréductible. Une extension K de k est un corps de rupture de P sur k
si K est une extension monogène K = k(a) avec P (a) = 0.
Remarque.
√
(i) Par exemple, C = R[i] est le corps de rupture de X 2 + 1 sur R, Q[ 3 2] est celui de X 3 − 2 sur Q.
(ii) La dimension [K : k] est le degré de P .
Proposition 13. Il existe un unique corps de rupture de P sur k à isomorphisme près. On le note Rk (P ).
Définition 15. Soit k un corps et P ∈ k[X]. Une extension K de k est un corps de décomposition de P sur k si :
– P est scindé sur K,
– les racines de P dans K engendrent K.
Remarque.
√
(i) Par exemple, Q[ 3 2, j] est le corps de décomposition de X 3 − 2 sur Q.
(ii) La dimension [K : k] divise la factorielle du degré de P .
Proposition 14. Il existe un unique corps de décomposition de P sur k à isomorphisme près. On le note Dk (P ).
Définition 16. On appelle cloture algébrique d’un corps k toute extension de k qui est à la fois algébriquement close
et algébrique sur k.
Proposition 15. Il existe une unique cloture algébrique de k à isomorphisme près. On le note k̄.
8
4
Application : corps finis
4.1
4.1.1
Généralités
Caractéristique, cardinal
Définition 17. Soit k un corps. On appelle sous-corps premiers de k le plus petit sous-corps de k contenant 1. On
appelle caractéristique de k le générateur car(k) du noyau du morphisme de Z dans k défini par n 7→ n = 1+1+. . .+1.
On a alors :
1. soit la caractéristique de k est nulle, et son sous-corps premier est Q. k est donc infini.
2. soit a caractéristique de k est un nombre premier p et le sous-corps premier de k est Fp = Z/pZ.
Proposition 16. Si un corps est fini, alors son cardinal est une puissance de sa caractéristique, qui est un nombre
premier.
Proposition 17. Soit k un corps de caractéristique p. Alors l’application x 7→ xp définit un automorphisme du corps
k, appelé automorphisme de Frobénius.
4.1.2
Existence et unicité
Théorème 9. Soit p un nombre premier, m ∈ N∗ et q = pm . À isomorphisme près, il existe un unique corps Fq à q
éléments : c’est le corps de décomposition de X q − X sur Fp .
4.1.3
Sous-corps et cloture algébrique d’un corps fini
Proposition 18. Soit p un nombre premier, m ∈ N∗ et q = pm . On a une bijection
{diviseurs de m} ←→ {sous − corps de Fq }
d
d 7−→ {x ∈ Fq | xp − x = 0}
|F | ←−[ F
Exemple. Soit p un nombre premier et x ∈ Fp2 . Alors x est dans Fp si et seulement si xp = x.
S
Proposition 19. Soit p premier. Alors Kp = n∈N∗ Fpn! est la cloture algébrique de Fp .
4.2
Polynômes irréductibles sur un corps fini
Proposition 20. Le groupe multiplicatif F∗q est cyclique.
En particulier, si a est un générateur de F∗q , alors Fq = Fp [a]. On en déduit :
Proposition 21. Il existe donc au moins un polynôme irréductible de degré m sur Fp .
Un tel polynôme permet de représenter Fq sous la forme Fp [X]/(π). C’est cette représentation que l’on utilise en
pratique pour les corps finis non premiers.
Théorème 10. Soit p un nombre premier, m ∈ N∗ et q = pm . Pour tout d ∈ N, on note A(q, d) l’ensemble des
polynômes irréductibles unitaires de degré d sur Fq . Alors pour tout ℓ ∈ N,
Y Y
ℓ
P.
Xq − X =
d|ℓ P ∈A(q,d)
Considérons en effet un entier d divisant ℓ et un polynôme P de A(q, d). Soit κ = RFq (P ) le corps de rupture de P
d
d
sur Fq . L’extension κ/Fq est de degré d, donc κ ≃ Fqd = {racines de X q − X}. On en déduit que P divise X q − X,
ℓ
ℓ
d
ℓ−d
ℓ−2d
qui divise X q − X (car X q − X = (X q − X)(X q
+ Xq
+ . . . + 1)). Le polynôme P est donc bien un diviseur
ℓ
de X q − X.
ℓ
Réciproquement, soit P est un facteur irréductible unitaire de degré d de X q − X et soit x est une racine de P
dans Fqm . Alors par multiplicativité des degrés, on a
[Fqℓ : Fq (x)].d = [Fqℓ : Fq (x)][Fq (x) : Fq ] = [Fqℓ : Fq ] = ℓ.
9
Donc d divise ℓ et P ∈ A(q, d).
ℓ
ℓ
Enfin, les racines de X q − X dans Fqℓ étant des racines simples, tout facteur irréductible de X q − X apparaı̂t
avec multiplicité 1. On a donc bien l’égalité
Y Y
ℓ
P.
Xq − X =
d|ℓ P ∈A(q,d)
Définition 18. On appelle fonction de Möbius la fonction définie par µ(1) = 1, µ(n) = 0 si n contient un facteur
carré et µ(p1 . . . pr ) = (−1)r si les pi sont des nombres premiers distincts.
P
Lemme 4. (i) Pour tout entier n, d|n µ(d) = δ1,n .
P
(ii) Soit f : N∗ → N et g : N∗ → N définie par g(n) = d|n f (d). Alors pour tout n ∈ N∗ ,
f (n) =
X n
µ
g(d).
d
d|n
Le premier point est clair pour n = 1. Maintenant, si p est un nombre premier divisant n, alors n = mp (avec
m ∈ N) et
X
X
X
X
µ(dp) = 0.
µ(d) + µ(dp) +
µ(d) =
µ(d) =
p|d|m
p6 |d|m
d|mp
d|n
Pour le second point, on écrit
X n
X n X
X n X
X
X n X
µ
µ
f (e) =
g(d) =
=
µ
f (e) =
f (e)
µ
f (e)δ1, ne = f (n).
d
d
d n n
d
n
n
n
n n
d|n
d|n
e|d
d
|n
d
|e
e
|n
d|e
e
|n
Proposition 22. Pour tout puissance d’un nombre premier q = pm et tout entier ℓ, on a
qℓ
ℓ
1X
µ
q d ∼ℓ→∞ .
|A(q, ℓ)| =
ℓ
d
ℓ
d|ℓ
Le theorème 10 donne l’égalité q ℓ = d|ℓ d|A(q, d)|, ce qui donne la première égalité par la formule d’inversion.
Pour obtenir l’équivalent, il ne reste plus qu’à majorer la différence :
⌊ 2ℓ ⌋
ℓ
ℓ
X d
X
q
ℓ
q⌊ 2 ⌋ − 1
d
<
=
o
q
q
=
q
.
µ
d
q−1
ℓ
d=1
d|ℓ
d6=ℓ
P
4.3
4.3.1
Carrés dans un corps fini
L’ensemble F2q
Soit p un nombre premier, m ∈ N∗ et q = pm . Dans toute la fin de ce texte, on note F2q = {x ∈ Fq | ∃y ∈ Fq , x = y 2 }
2
et F∗2
q = Fq r {0}.
1. Si p = 2, alors F2q = Fq .
2 q+1
2. Si p > 2, alors Fq = 2 .
Proposition 23.
Dans toute la suite, p est supposé différent de 2.
Proposition 24. Soit x ∈ F∗q . Alors x ∈ F2q si et seulement si x
q−1
2
Exemple. −1 est un carré de Fq si et seulement si q ≡ 1 [mod 4].
10
= 1.
4.3.2
Réciprocité quadratique
Définition 19. Soit p un nombre premier différent de 2 et x ∈ Fp . On note
x. On l’étend pour y ∈ Z par yp = ȳp .
x
p
=x
p−1
2
le symbole de Legendre de
Proposition 25. On a
1
= 1,
p
−1
p
= (−1)
p−1
2
p2 −1
2
= (−1) 8 .
p
et
Théorème 11 (de réciprocité quadratique de Gauss). Pour tous nombres premiers p et q distincts et différents de 2,
on a
(p−1)(q−1)
p
q
4
.
= (−1)
q
p
Pour prouver ce résultat, on considère une racine primitive q-ième de l’unité ω dans une cloture algébrique de Fp .
On peut alors définir ω x pour x ∈ Fq puisque ω q = 1. On definit donc la somme de Gauss :
X x
S=
ωx.
q
x∈Fq
On procède alors en deux étapes :
(i) On a


X x
X y X X x z − x
 ωz .

S2 =
ωx
ωy =
q
q
q
q
x∈Fq
y∈Fq
z∈Fq
x∈Fq
Or si x 6= 0, on a
2
q−1
z−x
x(z − x)
−x
1 − zx−1
x
1 − zx−1
=
=
= (−1) 2
.
q
q
q
q
q
q
d’où
(−1)
q−1
2
S2 =
X
z∈Fq




X 1 − zx−1 X X 1 − zx−1 X


 ω z = (q − 1) +
 ω z = (q − 1) −
ω z = q,
q
q
∗
∗
∗
∗
x∈Fq
z∈Fq
x∈Fq
car lorsque z 6= 0, l’application x 7→ 1 − zx−1 définit une bijection de F∗q dans Fq r {1} et
On a donc montré que
S 2 = (−1)
(ii) Par ailleurs
q−1
2
q.
x∈Fq
x∈Fq
x∈Fq
On a alors tous les éléments pour terminer la preuve :
p−1
p−1
(p−1)(q−1)
q−1
q
p
2
p−1
2
2
2
4
= (−1)
q
= (−1)
=S
= S
.
q
p
Questions et remarques
5.1
P
p
X x
X xp−1 X x
x
p
x
xp
x

S =
ω
ω =
ω =
S.
=
q
q
q
q

5
z∈Fq
Questions
On pourra traiter les problèmes suivants :
1. sur les exemples du paragraphe 1.2 :
(a) montrer les propositions 3, 4 et 5.
(b) montrer les deux assertions de l’exemple 1.2.
11
y6=1
y
q
= −1.
(c) donner l’inverse d’une matrice de Vandermonde (on pourra soit utiliser la formule de la comatrice, soit
utiliser des polynômes interpollateurs de Lagrange).
(d) soient α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn , γ1 , . . . , γn ∈ R. Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré strictement
inférieur à 2n tel que pour tout 1 ≤ i ≤ n, on ait P (αi ) = βi et P ′ (αi ) = γi .
(e) montrer que les polynômes de Tchebytchev vérifient la formule de dérivation suivante :
(1 − X 2 )Tn′′ (X) − XTn′ (X) + n2 Tn (X) = 0.
2. sur la localisation des racines :
(a) montrer les 4 inégalités de l’exemple 1.3.2 (pour le (iii), on considèrera le polynôme R(X) = (X − 1)P (X)
auquel on appliquera le résultat du (i)).
(b) soit P ∈ C[X]. Montrer que les racines de P ′ sont situées dans l’enveloppe convexe des racines de P .
3. sur les critères d’irréductibilité :
(a) donner d’autres exemples de critères d’irréductibilité que l’on peut obtenir à partir du critère de Dumas.
(b) montrer que même si le critère de Dumas ne révèle pas l’irréductibilité d’un polynôme P , il peut donner des
informations sur les éventuels diviseurs de P . Montrer par exemple que le polynôme P = 6X 4 +3X 3 +2X 2 +6
est irréductible en utilisant les diagrammes N2 (P ) et N3 (P ).
(c) appliquer le critère d’Eisenstein à X n + 2 et X p−1 + . . . + X + 1 (faire la transformation Y + 1 = X).
(d) montrer que le polynôme X 4 + 1 est réductible dans Fp pour tout premier p (on pourra d’abord montrer
que p2 − 1 est divisible par 8 pour tout nombre premier impair p, et en déduire l’existence d’une racine de
X 4 + 1 dans Fp2 ). Pourquoi est-il irréductible dans Z ?
(e) montrer que pour tout p premier, X p − X − 1 est irréductible dans Fp .
4. sur les corps finis :
(a) représenter et faire des calculs dans un corps fini sous maple (la question ne se limite évidemment pas aux
corps premiers).
(b) comment fait-on pour trouver un polynôme irréductible unitaire de degré ℓ sur Fq ?
(c) donner une preuve de la loi de réciprocité quadratique sans passer par les corps finis (c’est-à-dire en prenant
pour ω une racine primitive q-ième de l’unité dans C).
en fonction du reste de p modulo 3.
(d) calculer −3
p
5. autres questions :
(a) montrer que Φm (0) = ±1.
(b) montrer qu’il existe une infinité indénombrable de nombres transcendants.
(c) montrer (directement) qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 (resp. 3) modulo 4.
5.2
Remarques et références
Pour ce texte, j’ai utilisé essentiellement le Cours d’algèbre de d. Perrin, le livre de Théorie de Galois de y.
Gozard, le tome d’algèbre des Maths en tête de x. Gourdon et les Exercices pour l’agrégation (Tome 1 d’algèbre)
de s. Francinou & h. Gianella.
Il va sans dire que tout ou partie de ce texte peut être présenté dans les leçons d’agrégation portant sur les
polynômes. Pourtant, il me semble important dans ces leçons de bien réfléchir aux différences de point de vue que leur
titre suggère. Il faudra donc rester prudent dans l’utilisation de ce texte.
12