Polynômes

Polynˆomes
Vincent Pilaud
2007
Dans tout ce texte, Ad´esigne un anneau factoriel, kun corps (commutatif), et A[X] (resp. k[X]) l’alg`ebre des
polynˆomes `a une ind´etermin´ee sur A(resp. k).
1 Racines
1.1 D´efinitions ´el´ementaires
D´efinition 1. Soit P∈k[X]et a∈k. On dit que aest une racine de Psi P(a) = 0, ou de mani`ere ´equivalente si
X−adivise P. On appelle multiplicit´e de ale plus grand entier µtel que (X−a)µdivise P.
Proposition 1. Si P∈k[X]admet a1,...,aℓpour racines, de multiplicit´es respectives µ1,...,µℓ, alors il existe
Q∈k[X]tel que P=QQℓ(X−ai)µi.
En particulier, seul le polynˆome nul admet strictement plus de racines que son degr´e.
D´efinition 2. On dit qu’un polynˆome Pest scind´e si on peut ´ecrire P=λQℓ(X−ai)µi,avec ℓ, µ1,...,µℓ∈Net
λ, a1,...,aℓ∈k.
1.2 Quelques exemples
Les polynˆ omes du second degr´ e. Soient a, b et ctrois r´eels, avec a6= 0. Alors le polynˆome
P=aX2+bX +c=a(X+b
2a)2−b2−4ac 4a2
admet deux racines r´eelles −b+√b2−4ac
2aet −b−√b2−4ac 2a(resp. une racine double −b 2a, resp. aucune racine r´eelle) lorsque
b2−4ac > 0 (resp. b2−4ac = 0, resp. b2−4ac < 0).
Le d´ eterminant. Le d´eterminant d’une matrice M= [mi,j ]1≤i,j≤nest un polynˆome (`a plusieurs ind´etermin´ees) en
les coefficients de M, donn´e par la formule
det(M) = X
σ∈Sn
ε(σ)
n
Y
i=1
mi,σ(i).
Les deux exemples suivants montrent des utilisations du caract`ere polynomial du d´eterminant :
Proposition 2. Soient a0,...,an∈k. Le d´eterminant de Vandermonde de a0,...,anest donn´e par
V(a0, . . . , an) = det 
1a0. . . an
0
1a1. . . an
1
.
.
..
.
.....
.
.
1an. . . an
n
=Y
1≤i<j≤n
aj−ai.
On montre ce r´esultat par r´ecurrence sur n. Il est ´evident pour n= 1. Supposons maintenant le r´esultat vrai au
rang n. On consid`ere le d´eterminant V(a0,...,an, X). Un d´eveloppement par rapport `a la premi`ere colonne assure que
V(a0,...,an, X) est un polynˆome en X, de degr´e n+ 1 dont le coefficient dominant est V(a0,...,an). Par ailleurs, il
s’annule en tous les ai. Par cons´equent, V(a0,...,an, X) = V(a0,...,an)Qn
i=0(X−ai), ce qui donne le r´esultat grˆace
`a l’hypoth`ese de r´ecurrence.
1

D´efinition 3. On appelle polynˆome caract´eristique d’une matrice M∈Mn(k)le polynˆome χM(X) = det(M−XIn).
Ses racines sont exactement les valeurs propres de M, ie. les scalaires α∈ktels qu’il existe un vecteur propre
x∈knr{0}tel que Mx =λx.
Exemple.
1. L’ensemble des matrices inversibles de Mn(R) est dense dans Mn(R)
2. Soient A, B ∈Mn(R)⊂Mn(C). Aet Bsont semblables dans Rsi et seulement si elles sont semblables dans C.
Les suites r´ ecurrentes lin´ eaires.
D´efinition 4. On dit qu’une suite (un)n∈N∈kNest r´ecurrente lin´eaire s’il existe p∈N∗et v0,...,vp∈ktels que
pour tout i∈N,
ui+p+1 =
p
X
j=0
vjui+j.
Le polynˆome Xp+1 −Pp
j=0 vjXjest appel´e polynˆome g´en´erateur de la suite (un)n∈N.
Proposition 3. Soit P=Qℓ(X−ai)µ
iun polynˆome g´en´erateur scind´e d’une suite r´ecurrente lin´eaire (un)n∈N. Alors
il existe λ1,1,...,λℓ,αℓ∈k, d´ependant des conditions initiales, tels que pour tout n∈N,
un=
ℓ
X
i=1
µi
X
j=1
λi,j nj−1an
i.
Exemple. La suite de Fibonacci d´efinie par u0=u1= 1 et un+2 =un+1 +unest donn´ee par
un=λ 1 + √5
2!+µ 1−√5 2!,avec λ=1 2+1
2√5et µ=1
2−1
2√5.
Les polynˆ omes interpollateurs de Lagrange.
Proposition 4. Soient α1,...,αn, β1,...,βn∈kavec αi6=αjpour tout i6=j. Le polynˆome
L(X) =
n
X
i=1
βiY
j6=i
X−αj
αi−αj
est l’unique polynˆome de degr´e strictement inf´erieur `a ntel que L(αi) = βipour tout 1≤i≤n.
Les polynˆ omes de Tchebychev.
Proposition 5. Pour tout entier n, il existe un unique polynˆome Tn∈R[X]de degr´e n, appel´e n-i`eme polynˆome de
Tchebychev, qui v´erifie Tn(cos θ) = cos(nθ), pour tout θ∈R.
Ces polynˆomes v´erifient la formule de r´ecurrence suivante :
T0(X) = 1, T1(X) = Xet Tn+2(X) = 2XTn+1(X)−Tn(X).
1.3 Relations entre les coefficients et les racines d’un polynˆome
1.3.1 Polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires
D´efinition 5. Soient p≤ndeux entiers. On appelle p-i`eme polynˆome sym´etrique ´el´ementaire de A[X1,...,Xn]le
polynˆome
Σp,n =X
1≤i1<...<ip≤n
Xi1...Xip.
Par exemple, Σ1,1=X1,Σ1,2=X1+X2,Σ2,2=X1X2,Σ1,3=X1+X2+X3,Σ2,3=X1X2+X1X3+X2X3,
Σ3,3=X1X2X3, etc.
Th´eor`eme 1 (Relations racines-coefficients).Soit P=cnXn+...+c1X+c0=cnQn
i=1(X−ai)un polynˆome scind´e
(avec cn6= 0). Alors pour tout 1≤p≤n, le (n−p)-i`eme coefficient de Pest donn´e par
cn−p= (−1)pcnΣp,n(a1,...,an).
Exemple. Soient σet πdeux r´eels. Les deux racines du polynˆome X2−σX +π, lorsqu’elles existent, forment l’unique
couple de r´eels dont la somme vaut σet le produit π.
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1.3.2 Localisation de racines
Th´eor`eme 2. Soit P=Xn+cn−1Xn−1+...+c1X+c0un polynˆome unitaire de C[X]de racines a1,...,an∈C.
On note M= max{|ai| | 1≤i≤n}. Si δ∈R+v´erifie δn≥ |cn−1|δn−1+...+|c1|δ+|c0|, alors M≤δ.
En effet, soient δ∈R+v´erifiant δn≥ |cn−1|δn−1+...+|c1|δ+|c0|et z∈Cavec |z|> δ. Alors
|P(z)|=|zn+
n−1
X
i=0
cizi| ≥ |z|n−
n−1
X
i=0
cizi≥ |z|n−
n−1
X
i=0 |ci||z|i=|z|
δn δn−
n−1
X
i=0 |ci|δiδ
|z|n−i!>0
Ainsi, toute racine de Pa un module inf´erieur ou ´egal `a δ.
Exemple. On obtient en particulier les in´egalit´es suivantes :
(i) M≤max(1,Pn−1
i=0 |ci|),
(ii) M≤1 + max{|ci| | 0≤i≤n−1},
(iii) M≤ |1−cn−1|+|cn−1−cn−2|+...+|c1−c0|+|c0|,
(iv) Si tous les cisont non nuls, alors M≤max n2|cn−1|,2|cn−2|
|cn−1|,...,2|c0| |c1|o.
1.3.3 Continuit´e des racines
Th´eor`eme 3 (Continuit´e des racines d’un polynˆome complexe).Soit Unl’ensemble des polynˆomes de C[X]de degr´e
exactement n(c’est un ouvert de Cn[X]que l’on munit de la topologie induite). Soit Vnle quotient de Cnpar le groupe
sym´etrique Sn, munit de la topologie quotient. Alors l’application φ:Un→Vn, qui a un polynˆome associe (la classe
de) ses racines, est continue.
Remarque. La topologie de Vnest m´etris´ee par la distance d´efinie par :
d(A, B) = min
σ∈Sn{max
i=1,...,n |ai−bσ(i)|},
o`u (a1,...,an) (resp. (b1,...,bn)) d´esigne un repr´esentant quelconque de la classe d’´equivalence A(resp. B).
2 Polynˆomes irr´eductibles
2.1 D´efinitions
D´efinition 6. On dit qu’un polynˆome P∈A[X]est irr´eductible si
(i) P /∈A[X]∗=A∗,
(ii) ∀Q, R ∈A[X]tels que P=QR, on a Q∈A∗ou R∈A∗.
Remarque. L’hypoth`ese de factorialit´e de l’anneau Aimplique que A[X] est factoriel. Par ailleurs, lorsque kest un
corps, k[X] est euclidien, donc factoriel. Ainsi, on se place toujours dans un cadre qui assure l’existence et l’unicit´e de
la d´ecomposition d’un polynˆome en produits de facteurs irr´eductibles.
Exemple.
(a) Sur un corps alg´ebriquement clos, les seuls polynˆomes irr´eductibles sont les polynˆomes de degr´e 1.
(b) Sur R, les polynˆomes irr´eductibles sont les polynˆomes de degr´e 1 et les polynˆomes de degr´e 2 de la forme aX2+
bX +c, avec a6= 0 et b2−4ac < 0.
(c) Nous verrons plus loin que sur Qou sur un corps fini, il existe des polynˆomes irr´eductibles de n’importe quel degr´e.
2.2 Relation entre irr´eductibilit´e dans Aet dans frac(A)
D´efinition 7. Soit P∈A[X]. On appelle contenu de Ple pgcd de ses coefficients. On le note c(P). On dit que Pest
primitif lorsque c(P) = 1.
Lemme 1 (Gauss).Pour tous P, Q ∈A[X], on a c(P Q) = c(P)c(Q).
Proposition 6. Soit Aun anneau factoriel et frac(A)son corps des fractions. Les polynˆomes irr´eductibles de A[X]
sont :
– les constantes irr´eductibles dans A,
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– les polynˆomes non constants primitifs et irr´eductibles dans frac(A).
Remarque. Le polynˆome 2Xet irr´eductible sur Qmais pas sur Z.
Lemme 2. Soient P, Q ∈A[X]tel que Psoit unitaire et P Q soit unitaire et `a coefficients entiers. Alors Qest unitaire
et Pet Qsont `a coefficients entiers.
Le fait que Qest unitaire est ´evident. ´ Ecrivons maintenant P=Xα+1
µPα−1
i=0 piXi, o`u les entiers µ, p0,...,pα−1
sont premiers entre eux dans leur ensemble (pour cel`a, il suffit de choisir pour µle ppcm des d´enominateurs des
coefficients de P). On ´ecrit de mˆeme Q=Xβ+1
νPβ−1
i=0 qiXi, avec ν, q0,...,qνpremiers entre eux dans leur ensemble.
On sait alors que les polynˆomes µP et νQ sont `a coefficients entiers et de contenu 1. On a donc 1 = c(µP )c(νQ) =
c(µP.νQ) = µν.c(P Q) = µν, ce qui implique que µ=ν= 1, i.e. que Pet Qsont `a coefficients entiers.
2.3 Exemple : polynˆomes cyclotomiques
Soit m∈N∗. On note Um={z∈C|zm= 1}l’ensemble des racines m-i`emes de l’unit´e dans C. On rappelle
que Umest un groupe cyclique, et on appelle racine primitive m-i`eme de l’unit´e tout g´en´erateur de Um. On note Pm
l’ensemble des racines primitives m-i`eme de l’unit´e.
D´efinition 8. On appelle m-i`eme polynˆome cyclotomique le polynˆome
Φm=Y
z∈Pm
(X−z).
Proposition 7. (i) Le polynˆome Φmest unitaire de degr´e φ(m).
(ii) Xm−1 = Qd|mΦd.
(iii) Φmest `a coefficients dans Z.
Les points (i) et (ii) d´ecoulent directement des propri´et´es de structure de Z/mZ. Montrons le point (iii) par
r´ecurrence :
– le r´esultat est imm´ediat pour m= 1 puisque Φ1=X−1.
– en supposant le r´esultat vrai pour tous les entiers inf´erieurs `a m, on obtient que U=Qd|m,d6=mΦdest un
polynˆome unitaire `a coefficients dans Z. On peut donc effectuer dans Z[X] la division euclidienne de Xm−1 par
U: il existe Q, R ∈Z[X] tels que Xm−1 = UQ +Ret deg(R)< deg(U). L’unicit´e de la division euclidienne
dans C[X] permet de conclure que Q= Φmet R= 0, ce qui implique que Φmest bien `a coefficients entiers.
Th´eor`eme 4. Le polynˆome Φmest irr´eductible dans Q[X].
Pour montrer ce th´eor`eme, il suffit de montrer que Φmest le polynˆome minimal de l’une de ses racines. Soit z∈Pm
et π∈Q[X] son polynˆome minimal (unitaire). On va montrer que πs’annule sur toutes les racines primitives m-i`emes
de l’unit´e, ce qui impliquera que Φm=π.
Commen¸cons par remarquer que comme Xm−1 s’annule en z,πle divise, donc il existe R∈Q[X] tel que
πR =Xm−1. Le lemme 2 affirme alors que πet Rsont `a coefficients entiers.
Consid´erons maintenant une racine ωde πet un nombre premier pne divisant pas m, et supposons que ωpn’est
pas une racine de π. Tout d’abord, comme πdivise Xm−1, on sait que ω∈Um, et donc que ωp∈Um. On a donc
0 = (ωp)m−1 = π(ωp)R(ωp). Comme on a suppos´e que ωpn’est pas une racine de π, on obtient R(ωp) = 0. Le
polynˆome π´etant irr´eductible, unitaire et s’annulant en ω, c’est le polynˆome minimal de ω, donc il divise R(Xp). Soit
S∈Q[X] tel que R(Xp) = π(X)S(X). ` A nouveau d’apr`es le lemme 2, Sest unitaire et `a coefficients entiers.
Ainsi, l’´egalit´e R(Xp) = π(X)S(X) est une ´egalit´e dans Z[X], et on peut la passer modulo p:¯ R(X)p=R(Xp) =
¯π(X)¯ S(X). Cette ´egalit´e nous assure que si Test un facteur irr´eductible de ¯π, alors Tdivise ¯ R(X)p, donc ¯ R(X). Par
cons´equent, T2divise ¯ R¯π=Xm−1 = Xm−1. Ceci est impossible car Xm−1 et sa d´eriv´ee mXm−1sont premiers
entre eux : en effet, comme mest premier avec p, on peut l’inverser dans Z/pZet 1
mXmXm−1−(Xm−1) = 1.
On obtient ainsi une contradiction ce qui montre que si ωest une racine de πet pun nombre premier ne divisant
pas m, alors ωpest aussi une racine de π.
Consid´erons maintenant une racine primitive m-i`eme de l’unit´e z′. On sait qu’il existe un entier npremier avec m
et tel que z′=zn. On ´ecrit n=pα1
1. . . pαℓ
ℓo`u les pisont des entiers premiers ne divisant pas m. D’apr`es la discussion
pr´ec´edente, et comme zest une racine de π, il est facile de montrer que z′est aussi une racine de π, ce qui termine la
preuve du th´eor`eme.
Proposition 8 (Un cas particulier du th´eor`eme de Dirichlet).Soit mun entier non nul.
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1. Soient a∈Net pun entier premier. Si pdivise Φm(a)mais pas Φd(a)pour tout diviseur strict dde m, alors
p≡1[mod m].
2. Il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme λm + 1 (avec λ∈N).
Pour montrer le premier point, il suffit d’´etudier l’ordre de adans le groupe (Z/pZ)∗. On sait que pdivise Φm(a),
donc aussi am−1. Ainsi, am≡1 [mod p] et l’ordre de aest un diviseur de m. Par un raisonnement similaire, le fait
que pne divise Φd(a) pour aucun diviseur strict de massure que aest en fait exactement d’ordre m. Par cons´equent,
mdivise l’ordre du groupe (Z/pZ)∗, c’est `a dire p−1, donc p≡1 [mod m].
Montrons `a pr´esent cette version faible du th´eor`eme de Dirichlet. Soit N∈N. On pose a= 3N!. Soit pun diviseur
premier de Φm(a). Alors
(i) pest strictement plus grand que N. En effet, si p≤N, alors pdivise a. Comme Φmest `a coefficients entiers, on
en d´eduit que pdivise Φm(a)−Φm(0), donc il divise Φm(0) = ±1. On obtient une absurdit´e.
(ii) p≡1 [mod m]. En effet, s’il existe un diviseur strict dde mtel que pdivise Φd(a), alors aest une racine double
de Xm−1 = Qd|mΦd(X) dans Z/pZ, ce qui encore une fois est impossible puisque Xm−1 et sa d´eriv´ee sont
premier entre eux.
On a donc trouv´e une infinit´e de nombres premiers congrus `a 1 modulo m.
Le th´eor`eme suivant, du `a Kronecker, donne une caract´erisation int´eressante des polynˆomes cyclotomiques par les
modules de leurs racines :
Th´eor`eme 5 (Kronecker).Soit P∈Z[X]un polynˆome unitaire irr´eductible dans Q[X]de degr´e sup´erieur ou ´egal
`a 1. On suppose que toutes ses racines sont de module inf´erieur ou ´egal `a 1. Alors P=Xou Pest un polynˆome
cyclotomique.
Soient a1,...,anles racines de Pet p0son terme constant. D’apr`es les relations racines-coefficients, po=Qai. On
a alors deux cas :
(i) soit l’une des racines est de module strictement inf´erieur `a 1. Alors |p0|=Q|ai|<1, donc p0= 0. L’irr´eductibilit´e
de Pentraine donc que P=X.
(ii) soit toutes les racines de Psont de module 1. Pour tout entier k, on pose µk=Qn
i=1(ak
i−1). C’est un poly-
nˆome sym´etrique en les racines de P, donc µks’exprime comme un polynˆome en les Σi,n(a1,...,an), i.e. en les
coefficients de P. Par cons´equent, µkest un entier pour tout k.
Supposons maintenant que pour tout k,µksoit non nul. Alors
|ak
1−1|=µk
Qi6=1 |αi−1|≥1 Qi6=1 |ai|k+ 1 =1
2n−1,
donc le sous-groupe de Uengendr´e par a1n’est pas dense. Il existe donc un rationel p/q tel que a1=e2ipπ/q .
Mais alors aq
1= 1 et µq= 0, ce qui contredit notre hypoth`ese.
On en d´eduit donc que µks’annule pour un certain k, et donc qu’il existe itel que ak
i= 0. Comme Pest le
polynˆome minimal de ai, on en d´eduit qu’il divise Xk−1, donc c’est un polynˆome cyclotomique.
2.4 Crit`eres d’irr´eductibilit´e
2.4.1 Irr´eductibilit´e et racines
Pour qu’un polynˆome de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 2 soit irr´eductible sur un corps k, il faut ´evidemment qu’il n’ait
pas de racines dans k. Cette condition n´ecessaire est aussi suffisante si le polynˆome est de degr´e 2 ou 3. La proposition
suivante g´en´eralise ce fait aux degr´es plus grands :
Proposition 9. Soit Pun polynˆome de k[X]de degr´e α. Alors Pest irr´eductible si et seulement s’il n’admet de
racine dans aucune extension Kde ktelle que [K:k]≤α/2.
Exemple. Le polynˆome X4+X+ 1 est irr´eductible sur F2.
2.4.2 Crit`ere de Dumas, d’Eisenstein, ...
D´efinition 9. Soit Aun anneau factoriel et frac(A)son corps des fractions. Soit pun irr´eductible de A. On appelle
valuation p-adique d’un ´el´ement ade Al’entier vp(a) = max{ℓ∈N|pℓdivise a}. On appelle valuation p-adique d’un
´el´ement a
bde frac(A)l’entier vpa b=vp(a)−vp(b).
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