Interrogation n°1A Interrogation n°1B

UPMC – LP1 - UE103 – Optique géométrique – Interrogations - 14/12/2009 1/15
Université Pierre et Marie Curie – LP1 - UE 103 - Année 2009-2010
Optique géométrique, [e-mail]
Interrogation n°1A
1) [1.5 pts] On considère le rayon issu de A et se propageant dans la direction AI. Tracer
le rayon réfracté dans le cas où n2>n1. Faire de même dans le cas où n2<n1.
2) [0.5 pts] L’angle i=π/3. Que vaut le sinus de l’angle r de réfraction ?
3) [1.5 pts] A quelle condition y a-t-il réflexion totale ? Expliquer et justifier. Donner la
valeur de l’angle associé.
4) [1.5 pts] A quelle condition définit-on un angle limite ? Expliquer et justifier. Donner la
valeur de cette angle.
5) [Bonus 1 pts] Montrer que pour un certain angle i, le rayon réfléchi est orthogonal au
rayon réfracté ? Que vaut cet angle particulier ?
Solution :
1)
n1 n2 (>n1)
A
I
r
i
n1 n2 (<n1)
A
I
r
i
2) n1 sin(i) = n2 sin(r) implique sin(r) = (n1/n2) sin(π/3) = (n1/n2) √3/2
3) Il y’a réflexion totale lorsque n2<n1. En effet, n2<n1 implique r>i. Lorsqu’on fait croître i
de 0 à π/2, r va atteindre π/2 pour une valeur i=α inférieure à π/2 et telle que (n1/n2) sin(α) =
sin(π/2)= 1. Lorsque sin(i)> n2/n1, cad lorsque i> α avec sin(α) = n2/n1, il n’y a plus de
rayon réfracté et toute l’énergie est propagée par le rayon réfléchi.
4) On définit un angle limite lorsque n2>n1. En effet, n2>n1 implique r<i . quelque soit la
valeur de i. L’angle i peut varier de [-π/2, π/2] et dans cet intervalle, puisque n2>n1, il existe
toujours un angle r tel que (n1/n2) sin(i) =sin(r). Lorsque i=π/2, l’angle r atteint une valeur
maximale rl tel que sin(rl) = n1/n2. Cet angle rl est nommé angle limite de réfraction.
5) Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont orthogonaux lorsque i+r =π /2. Dans ces
conditions la relation de Snell-Descartes implique : n1 sin(i) = n2 sin(r) = n2 sin(π /2-i) = n2
cos(i). Soit pour l’angle i tel que tan(i) = n2/n1.
Interrogation n°1B
1) [3 pts] On considère un dioptre composé de deux couches d’épaisseurs a (voir figure
gauche). La première couche est en silice (verre d’indice n~1.5) et la suivante en cristal (verre
d’indice n~1.7). Un rayon se propage dans l’air et rencontre au point A les couches de verre
avec un angle d’incidence i. Tracer la propagation de ce rayon à l’intérieur et à la sortie du

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dioptre. On désigne par D l’angle de déviation du rayon incident (i.e. l’angle par lequel le
rayon incident est dévié). Que vaut l’angle de déviation D ?
a
a
n1
n2>n1
C
S
Ox
2) [2 pts] On considère un dioptre sphérique de centre C et d’indice n2>n1 (voir figure
droite). Un rayon se propage dans une direction passant par le centre C. Un second, parallèle
au premier, rencontre le dioptre au point S. Tracer la trajectoire de ces 2 rayons à travers ce
dioptre.
3) [à faire à la maison] On note Fs’ le point d’intersection de ces deux rayons. Donner
l’abscisse de ce point en fonction des données du problème. On considérera θ petit et S
correspondra à l’origine des abscisses.
Solution :
1) Le trajet du rayon est le suivant :
A
air
n1
n2
i
B
r
r
i’
r’ r’
C
Soit r l’angle de réfraction suite au passage du premier dioptre (passage air-silice); cet angle
est aussi l’angle d’incidence par rapport au second dioptre (silice-cristal). Soit r’ l’angle de
réfraction suite au passage du second dioptre, cet angle est aussi l’angle d’incidence par
rapport au troisième dioptre (cristal-silice).
La relation de Snell-Descartes donne pour le premier dioptre : sin(i) = n1 sin(r).
Pour le second dioptre : n1 sin(r) = n2 sin(r’). Et enfin pour le troisième dioptre : n2 sin(r’) =
sin(i’).
On a par conséquent sin(i) = n1 sin(r) = n2 sin(r’) = sin(i’).
Par conséquent i = i’ et donc le rayon incident n’est pas dévié de sa direction initiale.
2) Le rayon passant par le centre C est à incidence nulle par rapport au dioptre sphérique.
Celui-ci n’est donc pas réfracté et passe donc par le centre C.
Le second rayon passant par S subit une réfraction en S. Soit θ’ l’angle de réfraction. Puisque
n2>n1, on a θ’<θ . L’intersection de ce rayon avec le premier a lieu au point F’s illustré sur la
figure ci-dessous.

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Interrogation n°1C
1) [3 pts] On considère deux couches d’épaisseurs a (voir figure gauche). La première
couche est en silice (verre d’indice n~1.5) et la suivante en cristal (verre d’indice n~1.7).
Un rayon se propage dans l’air et rencontre au point A les couches de verre avec un angle
d’incidence i petit . On désigne par d l’écartement du rayon émergeant par rapport à la
normale au point A (voir figure gauche). Exprimer la distance d en fonction de i et de a.
a
a
2) [2 pts] On considère une dioptre « plan-concave » (voir figure droite). Tracer la
propagation - à l’intérieur et à la sortie de ce dioptre - d’un rayon parallèle à l’axe de
symétrie (axe optique). Faire de même avec le rayon passant par l’axe de symétrie.
Solution :
(à faire)
Interrogation n°2A
n1 n2
C
S
A
Ox
I
a
1) [0.5 pts] On considère un dioptre sphérique et un objet A situé à l’infini (voir figure de
gauche). Le faisceau de lumière issu de A a une section d. A quelle condition sur d a-t-on
stigmatisme approché pour cet objet situé à l’infini ?
2) [0.5 pts] L’objet A est à une distance finie (voir figure de droite). A quelle condition
sur l’angle a a-t-on stigmatisme approché pour cet objet A ?
3) On se place dans les conditions nécessaires pour avoir un stigmatisme approché. On
considère un objet A situé à l’infini.

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a. [0.5 pts] L’objet admet-il une image unique ? Justifier.
b. [1.5 pts] Où va se former l’image de A? Donner la position de cette image en
fonction des données du problème. Comment appelle-t-on ce point ?
c. [2 pts] Faire la construction optique dans le cas où n2>n1. L’image est-elle
virtuelle ou réelle ? Idem dans le cas n2<n1.
Rappel : relation de conjugaison d’un dioptre sphérique : S
C
nn
SA
n
SA
n)(
'1212 −
=−
Solution :
1) On a stigmatisme (approché) pour l’objet A situé à l’infini, lorsque le faisceau est peu
éloigné de l’axe, ie. lorsque d est petit (une des deux conditions de Gauss). L’échelle
caractéristique de ce système optique correspond au rayon de courbure SC. On doit donc
avoir d << SC.
2) On a stigmatisme (approché) pour l’objet A lorsque l’angle a est petit (une des deux
conditions de Gauss).
3) a. Nous sommes dans les conditions de Gauss (d petit) : on a donc stigmatisme (approché)
et l’objet situé à l’infini admet donc une image (unique).
b. L’objet étant à l’infini SA>>SC par conséquent l’image de A se forme au point F’ tel que :
SC
nnn
SF
2
12
'−
=. Ce point se nomme le foyer image (car correspond à l’image d’un point
situé à l’infini).
c. La construction optique donne dans les deux différents cas :
n2>n1
SF’
n1
C
n2<n1
S
F’
n1
C
Dans le premier cas l’image est réelle et virtuelle dans le second.

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Interrogation n°2B
1) [0.5 pts] A quelle(s) conditions a-t-on stigmatisme approché ?
2) [3 pts] Un dioptre plan sépare deux milieux d’indices n1 et n2. On se place dans les
conditions nécessaires pour avoir un stigmatisme approché. Construire l’image d’un
point A dans les cas suivants :
a. n2>n1
b. n1>n2
Dans chaque cas, l’image est virtuelle ou réelle ?
3) [1.5 pts] On rappelle la relation de conjugaison des dioptres sphériques :
S
C
nn
SA
n
SA
n)(
'1212 −
=− . Etablir à partir de cette relation la relation de conjugaison des
dioptres plans.
4) [à faire à la maison] On se place dans le cas où l’angle i est petit. Etablir la relation de
conjugaison liant A à son image A’.
Corrigé :
1) Rappel : on a stigmatisme approché si tout rayon partant de A passe, après avoir traversé
le système, au voisinage d’un point unique A’.
On n’a stigmatisme approché dans les conditions de Gauss : à savoir lorsqu’on a affaire à des
angles petits et des rayons peu éloignés de l’axe.
2) On se place dans les conditions de Gauss : ie l’angle i est petit. On a donc stigmatisme
approché et par conséquent l’objet A admet une image unique A’. Lorsque n2>n1, l’image A’
se forme à la position schématisée sur la figure suivante :
Lorsque n1>n2, l’image A’ se forme à la position schématisée sur la figure suivante :