Interrogation n°1A Interrogation n°1B

Université Pierre et Marie Curie – LP1 - UE 103 - Année 2009-2010
Optique géométrique, [email protected]
Interrogation n°1A
1) [1.5 pts] On considère le rayon issu de A et se propageant dans la direction AI. Tracer
le rayon réfracté dans le cas où n2>n1. Faire de même dans le cas où n2<n1.
2) [0.5 pts] L’angle i=π/3. Que vaut le sinus de l’angle r de réfraction ?
3) [1.5 pts] A quelle condition y a-t-il réflexion totale ? Expliquer et justifier. Donner la
valeur de l’angle associé.
4) [1.5 pts] A quelle condition définit-on un angle limite ? Expliquer et justifier. Donner la
valeur de cette angle.
5) [Bonus 1 pts] Montrer que pour un certain angle i, le rayon réfléchi est orthogonal au
rayon réfracté ? Que vaut cet angle particulier ?
Solution :
1)
r
r
I
i
A
I
i
A
n1
n2 (>n1)
n1
n2 (<n1)
2) n1 sin(i) = n2 sin(r) implique sin(r) = (n1/n2) sin(π/3) = (n1/n2) √3/2
3) Il y’a réflexion totale lorsque n2<n1. En effet, n2<n1 implique r>i. Lorsqu’on fait croître i
de 0 à π/2, r va atteindre π/2 pour une valeur i=α inférieure à π/2 et telle que (n1/n2) sin(α) =
sin(π/2)= 1. Lorsque sin(i)> n2/n1, cad lorsque i> α avec sin(α) = n2/n1, il n’y a plus de
rayon réfracté et toute l’énergie est propagée par le rayon réfléchi.
4) On définit un angle limite lorsque n2>n1. En effet, n2>n1 implique r<i . quelque soit la
valeur de i. L’angle i peut varier de [-π/2, π/2] et dans cet intervalle, puisque n2>n1, il existe
toujours un angle r tel que (n1/n2) sin(i) =sin(r). Lorsque i=π/2, l’angle r atteint une valeur
maximale rl tel que sin(rl) = n1/n2. Cet angle rl est nommé angle limite de réfraction.
5) Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont orthogonaux lorsque i+r =π /2. Dans ces
conditions la relation de Snell-Descartes implique : n1 sin(i) = n2 sin(r) = n2 sin(π /2-i) = n2
cos(i). Soit pour l’angle i tel que tan(i) = n2/n1.
Interrogation n°1B
1) [3 pts] On considère un dioptre composé de deux couches d’épaisseurs a (voir figure
gauche). La première couche est en silice (verre d’indice n~1.5) et la suivante en cristal (verre
d’indice n~1.7). Un rayon se propage dans l’air et rencontre au point A les couches de verre
avec un angle d’incidence i. Tracer la propagation de ce rayon à l’intérieur et à la sortie du
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dioptre. On désigne par D l’angle de déviation du rayon incident (i.e. l’angle par lequel le
rayon incident est dévié). Que vaut l’angle de déviation D ?
a
n2>n1
Ox
a
S
C
n1
2) [2 pts] On considère un dioptre sphérique de centre C et d’indice n2>n1 (voir figure
droite). Un rayon se propage dans une direction passant par le centre C. Un second, parallèle
au premier, rencontre le dioptre au point S. Tracer la trajectoire de ces 2 rayons à travers ce
dioptre.
3) [à faire à la maison] On note Fs’ le point d’intersection de ces deux rayons. Donner
l’abscisse de ce point en fonction des données du problème. On considérera θ petit et S
correspondra à l’origine des abscisses.
Solution :
1) Le trajet du rayon est le suivant :
i
A
air
r
n1
r
C
n2
r’
r’
B
i’
Soit r l’angle de réfraction suite au passage du premier dioptre (passage air-silice); cet angle
est aussi l’angle d’incidence par rapport au second dioptre (silice-cristal). Soit r’ l’angle de
réfraction suite au passage du second dioptre, cet angle est aussi l’angle d’incidence par
rapport au troisième dioptre (cristal-silice).
La relation de Snell-Descartes donne pour le premier dioptre : sin(i) = n1 sin(r).
Pour le second dioptre : n1 sin(r) = n2 sin(r’). Et enfin pour le troisième dioptre : n2 sin(r’) =
sin(i’).
On a par conséquent sin(i) = n1 sin(r) = n2 sin(r’) = sin(i’).
Par conséquent i = i’ et donc le rayon incident n’est pas dévié de sa direction initiale.
2) Le rayon passant par le centre C est à incidence nulle par rapport au dioptre sphérique.
Celui-ci n’est donc pas réfracté et passe donc par le centre C.
Le second rayon passant par S subit une réfraction en S. Soit θ’ l’angle de réfraction. Puisque
n2>n1, on a θ’<θ . L’intersection de ce rayon avec le premier a lieu au point F’s illustré sur la
figure ci-dessous.
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Interrogation n°1C
a
a
1) [3 pts] On considère deux couches d’épaisseurs a (voir figure gauche). La première
couche est en silice (verre d’indice n~1.5) et la suivante en cristal (verre d’indice n~1.7).
Un rayon se propage dans l’air et rencontre au point A les couches de verre avec un angle
d’incidence i petit . On désigne par d l’écartement du rayon émergeant par rapport à la
normale au point A (voir figure gauche). Exprimer la distance d en fonction de i et de a.
2) [2 pts] On considère une dioptre « plan-concave » (voir figure droite). Tracer la
propagation - à l’intérieur et à la sortie de ce dioptre - d’un rayon parallèle à l’axe de
symétrie (axe optique). Faire de même avec le rayon passant par l’axe de symétrie.
Solution :
(à faire)
Interrogation n°2A
n2
n1
I
Ox
a
A
S
C
1) [0.5 pts] On considère un dioptre sphérique et un objet A situé à l’infini (voir figure de
gauche). Le faisceau de lumière issu de A a une section d. A quelle condition sur d a-t-on
stigmatisme approché pour cet objet situé à l’infini ?
2) [0.5 pts] L’objet A est à une distance finie (voir figure de droite). A quelle condition
sur l’angle a a-t-on stigmatisme approché pour cet objet A ?
3) On se place dans les conditions nécessaires pour avoir un stigmatisme approché. On
considère un objet A situé à l’infini.
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a. [0.5 pts] L’objet admet-il une image unique ? Justifier.
b. [1.5 pts] Où va se former l’image de A? Donner la position de cette image en
fonction des données du problème. Comment appelle-t-on ce point ?
c. [2 pts] Faire la construction optique dans le cas où n2>n1. L’image est-elle
virtuelle ou réelle ? Idem dans le cas n2<n1.
n
n
( n − n1 )
Rappel : relation de conjugaison d’un dioptre sphérique : 2 − 1 = 2
SA' SA
SC
Solution :
1) On a stigmatisme (approché) pour l’objet A situé à l’infini, lorsque le faisceau est peu
éloigné de l’axe, ie. lorsque d est petit (une des deux conditions de Gauss). L’échelle
caractéristique de ce système optique correspond au rayon de courbure SC. On doit donc
avoir d << SC.
2) On a stigmatisme (approché) pour l’objet A lorsque l’angle a est petit (une des deux
conditions de Gauss).
3) a. Nous sommes dans les conditions de Gauss (d petit) : on a donc stigmatisme (approché)
et l’objet situé à l’infini admet donc une image (unique).
b. L’objet étant à l’infini SA>>SC par conséquent l’image de A se forme au point F’ tel que :
n − n1
SF ' = 2
SC . Ce point se nomme le foyer image (car correspond à l’image d’un point
n2
situé à l’infini).
c. La construction optique donne dans les deux différents cas :
n1
n2>n1
S
F’
C
n1
n2<n1
F’
S
C
Dans le premier cas l’image est réelle et virtuelle dans le second.
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Interrogation n°2B
1) [0.5 pts] A quelle(s) conditions a-t-on stigmatisme approché ?
2) [3 pts] Un dioptre plan sépare deux milieux d’indices n1 et n2. On se place dans les
conditions nécessaires pour avoir un stigmatisme approché. Construire l’image d’un
point A dans les cas suivants :
a. n2>n1
b. n1>n2
Dans chaque cas, l’image est virtuelle ou réelle ?
3) [1.5 pts] On rappelle la relation de conjugaison des dioptres sphériques :
n2
n
( n − n1 )
− 1 = 2
. Etablir à partir de cette relation la relation de conjugaison des
SA' SA
SC
dioptres plans.
4) [à faire à la maison] On se place dans le cas où l’angle i est petit. Etablir la relation de
conjugaison liant A à son image A’.
Corrigé :
1) Rappel : on a stigmatisme approché si tout rayon partant de A passe, après avoir traversé
le système, au voisinage d’un point unique A’.
On n’a stigmatisme approché dans les conditions de Gauss : à savoir lorsqu’on a affaire à des
angles petits et des rayons peu éloignés de l’axe.
2) On se place dans les conditions de Gauss : ie l’angle i est petit. On a donc stigmatisme
approché et par conséquent l’objet A admet une image unique A’. Lorsque n2>n1, l’image A’
se forme à la position schématisée sur la figure suivante :
Lorsque n1>n2, l’image A’ se forme à la position schématisée sur la figure suivante :
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r
i
A
I
A’
n1
S
n2 (<n1)
Dans les deux cas l’image est virtuelle.
3) Un plan peut-être considéré comme une sphère de rayon de courbure infini : ce qui revient
donc à considérer SC → ∞. Dans ces conditions la relation de conjugaison des dioptres
n
n
sphériques devient : 2 = 1
SA' SA
4) Lorsque l’angle i est petit la relation de Snell-Descartes se ramène à la loi de Kepler : n1 i
= n2 r. Or i = SI/AS et r = SI/A’S. Multiplions la première relation par n1 et la seconde par
n2, il vient en vertu de la loi de Kepler : n1/SA = n2 / SA’.
Interrogation n°2C
1) [1.5 pts] On considère un miroir plan et un objet A lumineux. Construire l’image de A à
travers le miroir.
2) [0.5 pts] On considère maintenant un objet AB, construire son image à travers le miroir.
3) [2 pts] On considère un dioptre plan-concave (voir figure) de sommet S, de rayon de
courbe SC=R, d’indice n et d’épaisseur SP=e. Un objet A est situé à l’infini. On se place
dans les conditions de Gauss. Donner la position de son image F’ par rapport au sommet S
en fonction de R, e et n. Rappel : relation de conjugaison d’un dioptre sphérique :
n2
n
( n − n1 )
− 1 = 2
SA' SA
SC
4) [1 pts] A quoi correspond F’ ?
5) [à faire à la maison] A quoi correspond le point focal objet ? En donner sa position par
rapport au point S.
Solution :
1) Un miroir réfléchi totalement la lumière. Pour construire l’image de A considérons le
rayon orthogonal au miroir. Ce rayon est réfléchi dans la même direction et dans le sens
opposé. Considérons maintenant un autre rayon issu de A et faisant un angle i avec la
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normale au miroir (voir figure ci-dessous). Ce rayon est réfléchi selon une direction
faisant un angle i avec la normale (voir figure ci-dessous). L’intersection du premier
rayon réfléchi avec le second définit A’ l’image de A. Cette image est virtuelle correspond
à l’intersection de rayons virtuels (voir figure). Cette image est unique car le miroir vérifié
un stigmatisme rigoureux. En effet quelque soit l’angle i, l’intersection entre le premier
rayon et le second s’effectue toujours au point A’, le point symétrique orthogonal de A
par rapport au miroir plan.
2) Pour construire l’image d’un objet il suffit de considérer son symétrique orthogonal par
rapport au miroir (voir figure ci-dessous).
i'
i'
i'
B’
B
A’
A
i
i
i
3) Nous sommes dans les conditions de Gaus : on a donc stigmatisme (approché) et l’objet
situé à l’infini admet donc une image (unique). L’objet étant à l’infini SA>>SC=R, par
conséquent, d’après la relation de conjugaison des dioptres sphériques, l’image de A se
forme au point F1’ tel que n/SF1’ = (n-1)/R. Notons F’ l’image de F1’ à travers le dioptre
plan ; la relation de conjugaison des dioptres plans donne : 1/PF’ = n/PF1’. Soit
PF’=PS+SF’=PS/n + SF1’ =e/n + R/(n-1). Il vient alors SF’= R/(n-1) – e (n-1)/n.
4) F’ est l’image d’un point situé à l’infini et dans une direction passant par l’axe optique : il
s’agit donc de la focale image du dioptre.
5) Le point focal objet (F) a pour image un point situé à l’infini et dans la direction de l’axe
optique. Notons A1 l’image de F à travers le dioptre sphérique et notons A’ l’image de A1
à travers le dioptre plan. En vertu de la relation de conjugaison du dioptre plan : A’ étant
à l’infini, A1 l’est aussi, ce qui implique donc SA1 >> SC. La relation de conjugaison du
dioptre sphérique donne dans ces conditions : -1/SF’ = (n-1)/R ; soit SF’= -R/(n-1).
Interrogation n°3A
3) [2.5 pts] Construire l’image d’un objet AB à travers une lentille convergente :
a. Lorsque l’objet est situé avant le point focal objet
b. Entre le centre optique et la focale objet
Précisez à chaque fois si l’image est droite ou renversée. Réelle ou virtuelle.
4) [2.5 pts] Construire l’image d’un objet à travers une lentille divergente :
a. Lorsque l’objet est réel
b. Lorsque l’objet est virtuel (voir Figure)
Précisez à chaque fois si l’image est droite ou renversée. Réelle ou virtuelle.
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Solution :
1-a) Voir Figure 2-22 du cours. L’image est réelle et renversée
1-b) Voir Figure 2-25 (gauche) du cours. L’image est virtuelle et droite
2-a) Voir Figure 2-23. L’image est virtuelle et droite
2-b) Voir Figure 2-25 (droite). L’image est virtuelle et droite
Interrogation n°3B
1) [1 pts] Rappeler la définition du grandissement vertical, Γ. En donner l’expression dans le
cas d’une lentille (On choisira le point O comme l’origine).
2) [4 pts] Construire l’image d’un objet AB à travers un miroir sphérique convexe. L’image
est-elle réelle ou virtuelle ? droite ou renversée ?
B
A
S
C
Solution :
1)
A' B '
Γ≡
AB
. Cas d’une lentille, si on choisit comme origine O :
A' B ' OA'
Γ≡
=
AB OA
2) Pour positionner B’ l’image de B il suffit de considérer deux rayons particuliers : le rayon
se propageant vers le centre optique du système. Ce rayon est réfléchi dans la même direction
que sa direction d’incidence. Le second rayon particulier est celui se propageant parallèlement
à l’axe optique : ce rayon émerge du système dans une direction passant par le foyer F’ (pour
un miroir F’ et F sont confondus). Le point d’intersection des rayons émergents définit la
position de B’. Cela donne donc la construction optique suivante (voir figure ci-dessus). La
construction optique permet d’affirmer que l’image est virtuelle et droite.
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Interrogation n°3C
1) [1.5 pts]On considère une lentille mince convergente L1 de distance focale image f1’. On
place un objet AB à une distance 2 f1’ de la lentille. Construire son image.
2) [1.5 pts] Que vaut le grandissement de l’image ? Justifier.
3) [2 pts] On place une lentille divergente L2 de distance focale image f2’ = - f1’ à une
distance f1’ du centre optique de L1. Placer les points focaux. Construire l’image de l’objet
AB à travers cette association. Où se forme l’image ?
4) [à faire à la maison] Soit a l’angle sous lequel est vu l’objet depuis le centre optique de
L1 et a’ l’angle sous lequel est vu l’image depuis le centre optique de L2. Quel est le
grossissement angulaire G= a’/a du système optique ?
Solution :
1)
B
F1’
A
F1
A’
x
O1
B’
2) La construction optique établit que l’image est renversée et à la même taille que l’objet, ce
qui peut aussi être démontré analytiquement. En effet, le grandissement vertical de l’objet
vaut :
A' B ' OA'
Γ≡
=
AB OA
donc :
OA = 2 f
'
1.
. Comme
Il vient donc
OA = −2 f1' , la relation de conjugaison implique
OA'
Γ=
= −1
OA
5) Ci-dessous la construction optique. L’image se forme à l’infini.
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L1
L2
+
B
a
F’1
F’2
F1
O1
A
F2
A1
O2
a’
B1
4)
Or
a=−
AB
2 f1'
et
AB = − A1 B1
a' =
A1 B1
f2
(Notez la convention de signe pour les angles).
et f2 = f1’. Il vient donc
f1'
a'
G≡ =2
a
f2
Interrogation n°4A
1) Soit une lentille mince de distance focale f. Montrer que le grandissement s’écrit :
A' B ' F ' A'
A' B '
f'
=
et
=
f
AB
AB
FA
En déduire la relation de conjugaison avec origines aux foyers (dite formule de Newton).
2) Soit une lunette astronomique (voir Figure). On désigne par a le diamètre apparent de
la planète (i.e. l’angle sous lequel on voit le diamètre de la planète).
a. Tracer l’image de la planète telle qu’elle est vue à travers la lunette lorsque la
lunette pointe vers le centre de la planète.
b. L’image de la planète est vue sous l’angle a’. Identifier cet angle. Montrer que
f'
a'
le grossissement angulaire G vaut : G ≡ = − 1' où f1’ et f2’sont les distances
a
f2
focales des lentilles L1 et L2 respectivement.
3) Construire l’image d’un objet AB situé à une distance finie de la lunette.
Solution :
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1) En utilisant les triangles AFB et FOI’ (voir figure) on établit immédiatement la
relation :
I ' O AB
. Or OI ' = A ' B ' et f ≡ OF = − OF ' ≡ − f ' , on a donc la relation :
=
FO AF
A' B '
f'
=
. En procédant de même avec les triangles OIF’ et A’B’F’ on établit aussi :
AB
FA
A' B ' F ' A'
=
. En divisant la première relation par la deuxième il vient la relation de
f
AB
conjugaison dite formule de Newton à savoir :
B
( )
FA .F ' A' = f f ' = − f '
2
I
F’
x
O
F
A
A’
I’
B’
2) a. La planète est à l’infini, son image à travers L1, A1B1, se forme sur le plan focal
image de L1 (voir figure). L’image intermédiaire (A1B1) se formant sur le plan objet de
L2, son image à travers L2, A’B’, se forme à l’infini comme le montre la figure. Le
système est donc afocal (n’admet de foyers principaux image et objet).
b. Les angles a et a’ sont identifiés sur la figure (on représente les demi diamètres
apparents, a/2 et a’/2, ie l’angles sous lesquels on voit le rayon de la planète). Le
grossissement vaut G=a’/a. Or a ' / 2 = − A1 B1 / f 2' et a' / 2 = A1 B1 / f1' (Notez la convention
de signe pour les angles). Il vient alors G = - f’1 / f’2.
B’
+
B
a’/2
a/2
F1',F2
O1
a/2
L1
a’/2
O2
B1
L2
3) L’image de l’objet AB s’obtient comme illustré sur la figure ci-dessous :
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B
F1
A
F1
F’2
O2 A’
F2
O1
B’
A1
B1
L1
L2
Interrogation n°4B
6) [2.5 pts ]On considère deux lentilles minces accolées, L1 et L2. Montrer que la distance
1
1
1
focale image du système composé vaut : ' = ' + ' où f1 et f2 sont les distances
f
f1
f2
focales images des lentilles L1 et L2 respectivement.
7) [5 pts ] On considère une loupe :
a. Construire l’image d’un objet situé entre la focale objet et le centre optique
b. Dans quelle condition l’image de l’objet sera observée sans fatigue par l’œil ?
c. Rappeler la définition de la puissance et du grossissement angulaire d’un système
optique
d. Rappeler la définition du grossissement commercial (Gc) et celle de la puissance
(Pi) intrinsèque. En donner l’expression dans le cas de la loupe. Le punctum
proximum sera noté dm.
e. Calculer Gc et Pi dans le cas de la loupe.
3) [2.5 pts ]On considère la lentille de la figure ci-dessus et un rayon quelconque. Placer les
points focaux principaux. Tracer le comportement du rayon incident à la sortie de la lentille.
O
Solution :
1) voir la démonstration en cours
2) a) Voir Voir Figure 2-25 (gauche)
b) L’image sera observée sans fatigue par l’œil lorsque celle-ci se formera à l’infini. Pour
avoir l’image à l’infini il faut placer l’objet au point focal objet F
c) Grossissement G=|α’/α| avec α l’angle sous lequel est vu l’objet à l’œil nu à une
certaine distance et α’ l’angle sous lequel est vue l’objet à travers le système à une certaine
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distance de celui-ci. Puissance : P = |α’/AB|, l’angle α’ ayant la même définition que pour le
grossissement.
d) Grossissement commercial : Gc = |α∞’/αmax| avec α max l’angle sous lequel est vu l’objet
au mieux à l’œil nu et α∞’ l’angle sous lequel est vu l’image de l’objet à travers l’instrument
lorsque celle-ci se forme à l’infini. Puissance intrinsèque : Pi = |α∞’/AB|, l’angle α∞’ ayant la
même définition que pour le grossissement.
e) Dans le cas de la loupe : |α∞’| = AB/f’ et | α max | = AB / dm, on en déduit donc Gc = dm
/ f’ et Pi = 1/f’
3) Le comportement du rayon se déduit à l’aide de la construction de la figure ci-dessous.
Explications : Le rayon correspond à un rayon provenant d’un objet situé à l’infini hors axe
optique ; son image se forme sur un foyer secondaire image Fs’. Pour construire ce foyer
secondaire on procède comme pour les lentilles convergentes : On considère le rayon (2)
parallèle au rayon (1) et passant par O. Celui-ci passe à travers la lentille sans être dévié.
L’intersection de ce rayon avec le plan focal image correspond à la position du foyer
secondaire Fs’ associé aux rayons parallèle provenant d’un objet situé à l’infini dans la
direction du rayon (1) ou (2). On peut vérifier la position de Fs’ en invoquant le rayon (3)
semblant passer par le foyer objet F. Celui–ci émerge de la lentille en un rayon parallèle,
celui-ci semble provenir du point Fs’ ; ce qui est normal car comme le rayon (2), le rayon (3)
est issu du même objet placé à l’infini. Maintenant pour déduire le comportement du rayon (1)
à la sortie de la lentille : le rayon (1) émerge de la lentille dans la direction semblant provenir
du point Fs’ ; en effet, comme les rayons (2) et (3) rayon (3) est issu du même objet placé à
l’infini dont l’image (virtuelle) est précisément Fs’.
(1)
(3)
(2)
Fs’
F’
F
O
Interrogation n°4C
1) [1 pt] Qu’est-ce qu’un système afocal ?
2) [4 pts] On considère l’association d’une lentille convergente (L1) suivie d’une lentille
divergente (L2).
a. [1 pt] Comment placer ces deux lentilles l’une par rapport à l’autre pour que
l’image d’un objet éloigné se forme à l’infini ?
b. [3 pts] Réaliser la construction optique correspondante.
3) [5 pts] On considère une lentille convergente suivie d’un miroir plan.
a. [2 pts] On place un objet sur le plan objet de la lentille. Où se forme son
image ? Justifier.
b. [2 pts] Faire la construction optique correspondante.
c. [1 pts] A quoi peut servir ce procédé et comment l’appelle-t-on ?
Solution :
1) Un système afocal est un système dépourvu de points focaux (image et objet). Par
exemple : la lunette astronomique. L’image d’un objet éloigné à travers un système afocal
se forme par conséquent à l’infini.
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2) a. Il faut placer F2, le point focal objet de la lentille L2, en F1’, le point focal image de
la lentille L1. Le système est afocal alors quelque soit les lentilles L1 et L2.
b. L’image d’un objet à l’infini se construit comme illustré sur la figure ci-dessous :
B
F‘1,F2
F’2
O2
O1
F1
(6)
B1
L1
L2
B’
4) a. L’image se forme sur le plan objet de la lentille. En effet l’objet étant sur le plan
focal objet, son image à travers la lentille se forme à l’infini sous forme de rayons
parallèles. Le miroir inversant le sens de parcours de la lumière, les rayons parallèles
convergents à l’infini vers l’image, sont renvoyés à travers la lentille. Ceux-ci
convergents alors sur le plan focal objet.
b. La construction optique correspondante s’établit comme illustré sur la figure cidessous. Elle permet de montrer que l’image se forme bien dans le plan focal objet de la
lentille.
c. Ce procédé s’appelle « l’autocollimation » est permet de mesurer la distance focale de
la lentille, car l’objet est sur le plan focal objet lorsque l’image se forme sur le même plan
que le plan objet. La distance entre l’objet et la lentille correspond alors à la distance
focale.
UPMC – LP1 - UE103 – Optique géométrique – Interrogations - 14/12/2009
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B
A
2i
F’
F
B’
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