I- Interféromètre de Michelson et planéité d`un miroir

physique
année scolaire 2014-2015
◦
Enoncé du DS commun de physique n 6 - Optique
Formulaire trigonométrique
Les trois problèmes sont indépendants. On donne pour l'ensemble du devoir :
cos (2α) = cos2 (α) − sin2 (α) = 1 − 2. sin2 (α) = 2. cos2 (α) − 1
α+β
α−β
cos α + cos β = 2. cos
. cos
2
2
et la formule d'Euler : cos α =
I-
ej α +e−j α
.
2
Interféromètre de Michelson et planéité d'un miroir
On considère un interféromètre de Michelson "théorique" dans lequel la lame séparatrice est considérée comme
idéalement ne. Il n'y a pas de compensatrice. La séparatrice introduit un déphasage supplémentaire égal à π
pour une des deux ondes : celle qui s'y rééchit dès l'entrée. On suppose en outre que les éclairements dus à
chacune des deux ondes qui émergent de l'interféromètre sont égaux ; on les note ε0 . Soit M1 le miroir xe, M2
le miroir chariotable et M'2 le symétrique du miroir M2 par la séparatrice (schéma de gauche). L'interféromètre
est situé dans l'air assimilé au vide.
Le but de ce problème est de déterminer l'inuence de la forme des miroirs sur une gure d'interférence : après
avoir établi les résultats obtenus avec des miroirs parfaitement plans, on envisage le cas d'un miroir M2 de
forme sphérique et on cherche à montrer qu'il est possible de mesurer le rayon de courbure du miroir à partir
de l'observation de la gure d'interférence.
On rappelle la relation de conjugaison d'une lentille mince de centre optique O et de distance focale image f 0 ,
pour un objet A et son image A' sur l'axe optique :
−
I.A -
1
1
1
+
= 0
f
OA OA0
Interféromètre en "lame d'air"
L'interféromètre est réglé en " lame d'air ", M1 et M'2 étant plans et parfaitement perpendiculaires à Oy ; il
est éclairé par une onde plane, monochromatique de longueur d'onde λ, arrivant avec une incidence de 45◦ sur
la séparatrice (gure de gauche). La direction de l'onde plane incidente est parallèle à Ox. Soit e la distance
algébrique entre M1 et M'2 . On recueille les faisceaux émergents sur un écran translucide plan parallèle au
miroir M1 .
1. Quel est l'aspect de cet écran pour une distance e0 donnée ? Exprimer l'éclairement ε en fonction de e0 et
des données.
2. Tracer l'allure de la fonction ε(e0 ). Que représente la position e0 = 0 ? Peut-on la repérer dans le montage
proposé ? Trouver un moyen de la repérer expérimentalement.
I.B -
Interféromètre en "coin d'air"
On admet que la condition e0 = 0 est réalisée. On incline alors M2 d'un angle α faible . On éclaire l'ensemble
par une source large, monochromatique, de longueur d'onde λ, de telle sorte que l'on observe des franges
d'interférences localisées du coin d'air.
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Préciser les conditions de leur observation et le nom de ces franges. Exprimer l'interfrange i sur la surface de
localisation, en fonction de α et λ.
4. La résolution angulaire δθ de l'÷il est-elle de l'ordre d'un degré, d'une minute d'arc ou encore d'une seconde
d'arc ? En déduire, littéralement puis numériquement, pour une longueur d'onde λ = 600 nm, quels sont les
angles α pour lesquels les franges sont observables.
3.
I.C -
Cas d'un miroir sphérique
Le miroir M2 initialement plan et tel que M'2 soit parallèle à M1 s'est déformé et est devenu sphérique. On
admettra que le centre de la sphère M'2 symétrique de M2 par rapport à la séparatrice, de rayon R, se trouve
sur l'axe y 0 y , qui est donc axe de symétrie de M'2 . Le dispositif est éclairé comme dans les questions 3. et 4.
5. On note e0 la distance entre M1 et le plan Π tangent à M'2 et parallèle à M1 (gure de droite). Exprimer
l'épaisseur d'air e(P ) entre M1 et M'2 , pour un point P de M'2 , en fonction de r, e0 et R. On suppose r R
et e0 R.
4 e(P )
+
1
en un point P de M'2 ; en déduire son
6. Justier l'expression de la diérence de phase δϕ(P ) = π
λ
0
expression en fonction de r, distance de P à l'axe y y .
7. Montrer que, dans les mêmes conditions d'observation que les franges du coin d'air, l'on observe des anneaux
localisés au voisinage de M'2 .
0
0
8. Si l'on place une lentille de distance focale f à une distance 2f du miroir, où doit-on placer l'écran après la
lentille pour observer correctement le phénomène ? Si l'on trouve que les anneaux sont trop petits et que l'on
veut que leurs rayons soient 10 fois plus grand, que doit-on faire ?
9. Déterminer l'ordre d'interférence p0 au centre des anneaux. On utilise l'indice k pour repérer les anneaux
brillants, sachant que k = 1 correspond au premier anneau brillant à partir du centre de la gure d'interférences,
de rayon R1 sur la surface de localisation. Calculer le rayon Rk du kième anneau brillant en fonction de R1 , k,
λ et R.
10. On veut déterminer si M2 est devenu concave ou convexe. Pour cela, on déplace M2 par translation vers
la séparatrice ; Π reste parallèle à M1 . Montrer que l'observation du phénomène permet de répondre à cette
question.
ième et (k + 1)ième
11. Exprimer le rayon R de la sphère en fonction de la longueur d'onde et des rayons des k
anneaux.
II-
Le télescope interférentiel VLTI
Les philosophes grecs considéraient la sphère des xes comme l'ultime rempart avant les dieux et les
étoiles : des trous piqués sur la sphère laissaient passer la lumière céleste. Notre vision de l'Univers a changé
depuis l'Antiquité, mais, mis à part le Soleil, les étoiles restent de minuscules points, même lorsqu'elles sont
observées à la jumelle ou au télescope. Si certaines étoiles, comme une géante rouge, engloutiraient le Système
solaire d'un seul coup, aucune d'elles n'est assez proche pour que nous la voyions autrement que sous la forme
ponctuelle.
Pour évaluer le diamètre des seules étoiles visibles à l'÷il nu (les plus proches ou les plus grosses), nous
devrions construire un télescope de 500 mètres de diamètre. Un tel miroir géant n'est envisageable ni sur le
plan technique ni sur le plan nancier ! Par chance, grâce à l'interférométrie, la construction d'un miroir de
500 mètres de diamètres n'est pas indispensable : on place deux télescopes beaucoup plus petits à 500 mètres
de distance, puis on combine leurs signaux lumineux en un point central, après avoir corrigé les eets de la
turbulence atmosphérique. Rien ne nous empêche de cumuler les ouvertures pour obtenir des télescopes dilués
sur de telles distances et d'obtenir, grâce au principe d'interférométrie, des images directes de haute résolution
angulaire.
Le principe de l'interférométrie optique
Jusqu'au milieu du XIXe siècle, les astronomes ne savaient utiliser que des télescopes classiques. Puis ils
apprirent à créer des interférences à partir des faisceaux recueillis par ces instruments. Finalement, ils tirèrent
de cette technique le principe de l'interférométrie moderne. Dans un télescope classique, le miroir primaire fait
converger vers le foyer des ondes ayant parcouru la même distance depuis qu'elles ont quitté l'étoile observée.
Une image, plus ou moins précise selon l'ouverture du télescope, se forme au foyer image.
L'interféromètre le plus simple utilise deux ouvertures qui captent la lumière. Les miroirs collectent les
rayons lumineux émis par l'étoile, mais n'assurent pas la recombinaison des faisceaux recueillis. Ces derniers
sont transmis à un dispositif qui les combine de façon synchrone. D'autre part, les deux miroirs primaires ne
sont pas forcément à la même distance de l'étoile, de sorte que le front d'onde atteint le miroir le plus proche
avant l'autre. C'est pourquoi les interféromètres sont équipés de lignes de retard , c'est-à-dire de miroirs
intermédiaires montés sur des chariots mobiles ; leur rôle est de compenser les diérences de chemin optique
entre les deux bras de l'interféromètre (les parcours des deux faisceaux recueillis).
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Un interféromètre se diérencie aussi en ceci qu'il forme non pas une image de l'étoile, mais l'interférence de
deux faisceaux. Lorsque les sommets des ondes qui proviennent du premier miroir coïncident avec ceux des ondes
qui proviennent du second miroir, les ondes sont en phase, et les interférences sont constructives : l'intensité est
maximale. Dans le cas d'interférences destructives, les sommets des ondes du premier miroir coïncident avec les
creux des ondes issues du second miroir, et l'intensité est minimale. Cette alternance de zones brillantes et de
zones sombres constitue les franges d'interférence.
Les astronomes mesurent le contraste entre les franges, qu'ils nomment la visibilité des franges . Celle-ci
varie, en premier lieu, en fonction de la longueur et de l'orientation de la ligne qui relie les deux miroirs primaires,
nommée ligne de base (voir la gure 2).
Lorsque les télescopes sont xes, une façon simple de faire varier la longueur et l'orientation de cette ligne
est de se servir de la rotation de la Terre. Les astronomes attendent que celle-ci introduise un retard, puis ils
le compensent à l'aide d'une ligne de retard. Par ailleurs, la plupart des interféromètres de nouvelle génération
utilisent plus de deux télescopes, dont certains sont déplacés sur des rails. Comme la visibilité des franges varie
aussi en fonction des caractéristiques de la source lumineuse, la taille d'une étoile, par exemple, ou encore
la distance entre les deux compagnons d'un système binaire, de premiers résultats précieux sont directement
exploités des franges d'interférence (voir la gure 3).
Toutefois, il est possible d'obtenir des images de la source grâce aux interféromètres. Il faut pour cela traiter
les signaux recueillis. A l'aide d'algorithmes fondés sur la transformée de Fourier, les astronomes convertissent
l'ensemble des franges mesurées (une par pose) en une image de l'astre étudié. Pour que l'image soit complète
et susamment résolue, il est nécessaire d'augmenter le nombre de lignes de base an qu'elles balayent une
surface virtuelle d'observation.
Améliorer la sensibilité
Un interféromètre optique évite les dicultés de construction et les coûts exorbitants des télescopes géants,
mais pose des dicultés spéciques. Ainsi, les faisceaux lumineux de chaque télescope sont convoyés sur des
dizaines, voire sur des centaines de mètres jusqu'au laboratoire où ils interfèrent.
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Deux interféromètres équipés d'optiques adaptatives de pointe rendront possible d'ici peu l'observation d'objets de faible luminosité avec une résolution angulaire exceptionnelle. Il s'agit de l'interféromètre Keck composé
de deux télescopes de dix mètres espacés de 85 mètres et du VIT (le Very Large Télescope de l'Observatoire
européen austral, au Chili) qui exploite un réseau de quatre télescopes de 8,2 mètres (voir la gure 1). Cette
dernière installation est complétée par de petits télescopes auxiliaires, plus espacés.
On pense aussi utiliser des interféromètres satellisés, ce qui éviterait les dicultés liées à la turbulence
atmosphérique. Plusieurs projets sont à l'étude : Space Interferometer Mission, Terrestrial Planet Finder et
Micro-ArcsecondX-ray Imaging Mission, qui visent à doter l'astrométrie, c'est-à-dire la branche de l'astronomie
qui mesure les positions des étoiles, d'une précision de l'ordre du millionième de seconde d'angle, laquelle est
nécessaire à la détection des exoplanètes.
issu de l'article "La détection des étoiles par interférométrie"
par Arsen HAJIAN et Thomas ARMSTRONG
Dossier Pour la Science n◦ 53 - la lumière dans tous ses états - oct/déc 2006
Questions
On peut faire interférer les signaux optiques reçu par deux télescopes (cf. gure 4).
télescope 2
sol
télescope 1
superposition des faisceaux
ligne à retard
Figure 4 - Le principe du VLTI
On assimile les deux télescopes distants de a (variable jusqu'à 100 m) à deux trous T1 et T2 de taille
négligeable, de sorte que le VLTI sera équivalent au montage de la gure 5, où la lentille d'axe optique Oz , de
centre O a une distance focale f 0 . Le foyer image de la lentille est noté F 0 et le plan focal est le plan d'observation.
T1 et T2 sont à une distance a2 de l'axe optique.
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x
T1
F0 z
O
T2
Figure 5 -Le schéma équivalent du VLTI
II.A -
Observation d'une source ponctuelle dans la direction de l'axe optique
1) Un unique objet ponctuel à l'inni A est observé dans la direction de l'axe optique.
Pour simplier, on supposera encore que cet objet émette une unique radiation de longueur d'onde λ =
2, 0 µm.
0
1.a) Où se trouve l'image géométrique A de A ?
0
1.b) Calculer la diérence de marche δ0 entres les ondes provenant de A et se recombinant en A , passant
par les deux trous T1 et T2 sur la gure 5.
1.c) A quoi sert donc la ligne à retard de la gure 4 ?
1.d) En quoi y a-t-il nécessité de la ligne à retard pour satisfaire aux conditions d'interférences ?
1.e) Dans quelle mesure peut-on considérer que le contraste des interférence vaut 1 ? Dans la suite on
supposera eectivement que le contraste vaut 1.
1.f ) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse IA (x) d'un point d'abscisse x dans le plan focal.
1.g) En déduire l'expression de l'interfrange.
0
1.h) Tracer l'allure de la gure d'interférence dans le plan (xF y) telle qu'on pourrait l'observer avec
une caméra infrarouge.
II.B -
Observation d'une source ponctuelle dans une direction diérente de celle
de l'axe optique
2) Un unique objet ponctuel à l'inni B est observé dans la direction iB 6= 0 par rapport à l'axe optique
dans le plan xOz , avec les mêmes caractéristique que A.
0
2.a) A quelle distance xB de F se trouve l'image géométrique de B ?
2.b) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse IB (x) en un point d'abscisse x.
2.c) L'interfrange est-elle diérente de celle trouvée précédemment ?
II.C -
Observation de deux sources ponctuelles
3) Deux objets ponctuels à l'inni A et B sont observés dans les directions iA = 0 et iB 6= 0 par rapport à
l'axe optique dans le plan xOz .
Pour simplier, on supposera que ces deux objets émettent une unique radiation de longueur d'onde λ =
2, 0 µm et la même puissance lumineuse.
3.a) Ces deux sources sont-elles cohérentes ?
S
3.b) En déduire l'intensité lumineuse IA B (x) en un point d'abscisse x.
3.c) Pour quelle(s) valeur(s) de a y a-t-il brouillage des interférences ? On exprimera le résultat en
fonction de iB .
3.d) Proposer alors une méthode de détermination expérimentale de l'angle entre deux étoiles composant
une étoile double.
3.e) Quelle est la valeur numérique (en secondes d'arc) de la limite de résolution angulaire imin du
VLTI ?
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III-
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Les expériences d'Abbe et Porter
Il existe des applications importantes qui ne sont pas du domaine de la formation des images proprement dit,
mais qui relèvent davantage du domaine général du traitement de l'information . De telles applications reposent
sur l'aptitude des systèmes optiques à faire subir des transformations linéaires générales aux données d'entrée.
Dans certains cas, le traitement simultané d'un très grand nombre de données peut, du fait de ce nombre,
multiplier l'ecacité de l'observateur humain. Une transformation linéaire peut en eet jouer un rôle crucial
dans la réduction d'une grande quantité de données renseignant sur certains points particuliers de l'information
qui intéressent l'observateur. On trouve un exemple de ce type d'application dans l'étude de la reconnaissance
des caractères. Dans d'autres cas, un ensemble de données peut apparaître sous une forme qu'un observateur
humain ne peut pas utiliser directement, alors qu'une transformation linéaire de ces données peut les rendre
utilisables.
On peut voir dans la gure 6 le montage utilisé par Abbe (1893) et Porter (1906) pour réaliser leurs
expériences.
Figure 6 : Schéma simplié représentant les expériences d'Abbe et Porter.
Image de la grille et composantes spectrales dans le plan focal.
Une grille est placée dans un plan devant une lentille convergente. Dans le plan focal on retrouve le spectre de
la grille. Les composantes spectrales se propagent du plan focal vers le plan image, interfèrent entre elles, pour
former une image qui est une réplique atténuée de l'objet. En plaçant divers obstacles (diaphragmes, fentes,
écrans) dans le plan focal, il est possible de modier le spectre (donc l'image) de diérentes façons.
En particulier, en mettant une fente à l'horizontale (gure 7), l'image ne contient que la structure verticale
de la grille.
Figure 7 : Aspect de l'image avec une fente placée à l'horizontale.
En retournant la fente à la verticale (gure 3), l'image ne contient que la structure horizontale de la grille.
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Figure 8 : Aspect de l'image avec une fente retournée à la verticale.
En conclusion, même si les processeurs optiques pour le traitement d'images ont atteint une certaine maturité et un point culminant en termes d'activité de recherche, ils n'ont pas connu l'essor industriel espéré, la
compétition avec les processeurs numériques étant très rude. Cependant, ces travaux sur le traitement optique
ont permis de multiples retombées positives pour le développement d'algorithmes et de nouvelles méthodes
d'imagerie.
issu du site "www.optique-ingenieur.org".
Questions
Éclairage
Dans le montage de la gure 6, une onde plane progressive homogène monochromatique, de longueur d'onde
λ, se propageant dans le vide dans la direction du vecteur unitaire ~uz est incidente sur une grille.
On associe à cette onde, à l'instant t et au point repéré par le vecteur position ~r, l'amplitude complexe :
1)
à (~r, t) = Ã0 e−j (ω t−k0 · ~r)
~
1.a) Donner les caractéristiques (nom, expression, unités) des diérentes notations intervenant dans
l'expression précédente.
1.b) Proposer deux montages permettant de réaliser un tel éclairage.
2) Eet de la grille
On considère que la grille représentée sur la gure 6 a un coecient de transmission (en amplitude)
t(x, y) = cos2
πx a
cos2
πy a
avec a λ. Au passage par la grille (en z = zg ), l'amplitude de l'onde est alors multipliée par cette transmission :
à (x, y, z = zg , t) = t(x, y)Ã0 e−j (ω t)
2.a) Quelles sont les endroits de la grille qui ne laissent pas passer la lumière ? Qu'est-ce donc que le
paramètre a ?
2.b) Montrer qu'après passage par la grille, l'amplitude de l'onde peut se réécrire :
à (~r, t) =
N
X
Ãn e−j (ω t−kn · ~r)
~
n=1
On donnera en particulier les projections knx et kny des N vecteurs ~kn ainsi que les expressions des Ãn en
fonction de Ã0 . En utilisant la relation de dispersion, montrer que la projection suivant ~uz de tous les vecteurs
~kn vaut à peu près 2 π .
λ
0
2.c) En déduire l'allure du plan focal de la lentille de focale f . On donnera les positions (xn , yn ) des
taches observées ainsi que leurs intensités In .
3) Image non ltrée
Dans le montage de la gure 6, la grille est placée à une distance 2 f 0 de la lentille.
3.a) Où doit-on placer un écran pour visualiser le "plan image" ?
3.b) En déduire que le montage admet une symétrie par rapport à la lentille.
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Filtrage
Dans le montage de la gure 7, une fente horizontale (parallèle au vecteur unitaire ~ux ) est placée dans le
plan focal de la lentille, an d'observer dans le plan image la structure verticale de la grille.
4.a) Que doit vérier la largeur de la fente utilisée pour ne sélectionner que les vecteurs ~
kn n'ayant
aucune composante suivant vecteur unitaire ~uy ?
Dans la suite on supposera cette condition vériée.
4.b) Montrer alors que dans le plan image, l'onde a une amplitude
4)
à (~r, t) = t0 (x, y)Ã0 e−j (ω t−k0 · ~r) avec t0 (x, y) =
~
4.c)
1 2 πx cos
2
a
Vérier alors que l'image ne contient que la structure verticale de la grille.
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