topologique -différents -fr -prend -"dans l" -représentation 12

Floue faible continuité dans une structure floue minimale
51
UNIVERSITATEA DIN BACĂU
STUDII ŞI CERCETĂRI ŞTIINŢIFICE
Seria: MATEMATICĂ
Nr. 17(2007), pag. 51-62
FLOUE FAIBLE CONTINUITE DANS UNE STRUCTURE
FLOUE MINIMALE
by
MIHAI BRESCAN
Résumé
Le but du notre travail est d’étudier la floue faible continuité à l’aide
du concept de structure floue minimale introduit par nous dans [2], comme
une généralisation pour le doamain flou, du concept de m-structure introduit
dans la topologie générale par Valeriu Popa et Takashi Noiri et étudié par ces
auteurs dans leurs nombreux travaux.
Introduction
Soient X un ensemble non-vide arbitraire (l’espace X) et R⊂= ]1,0[J.
Un ensemble flou en X est une application ]1,0[: →X
λ
; on va noter par
)(X
F
la classe des ensembles flous en l’espace X. L’espace X sera identifié à
la fonction constante 1 et l’ensemble vide
φ
à la fonction constante o. Soit I
un ensemble indexé et soit
{
}
Ii
i∈
λ
une famille d’ensembles flous en X.
La réunion et l’intersection de cette famille, notées par U
Ii i ∈
λ
respectivement
I
Ii i ∈
λ
, sont définies de la manière suivante ([4]) :
Mots-clef: point flou, espace topologique flou, Fm—structure, Fm-continuité,
F-faible continuité, faible Fm-continuité.
(2000) Classification Mathématique par Matières: 54C08, 54A40

M. Brescan
52
U
Ii i ∈
λ
par
() (){}()
;,sup Xxxx i
Ii
Ii i∈∀=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∈
∈
λλ
U
I
Ii i ∈
λ
par
() (){}()
.,inf Xxxx i
Ii
Ii i∈∀=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∈
∈
λλ
I
Évidement, les définitions sont aussi valables pour le cas fini
{}
nI ,...,2,1=,
mais les notations sont U
n
ii 1=
λ , respectivement I
n
ii 1=
λ et .mininfmax,sup =
=
L’inclusion, nottée par 21
λ
λ
⊆ou 21
λ
λ
≤
, est définie par
(
)()
xx 21
λ
λ
≤ ou
() ()
(
)
.,
12 Xxxx ∈∀≥
λ
λ
La complémentaire de
(
)
xF
∈
λ
, notée par c λ , on définit par
() ( )() ()( )
.,1 Xxxxx
c∈∀−=−=
λλλ 1
Soient X et Y deux ensembles arbitraires nonvides, une application
YXf →:et
()
(
)
YX FF ∈∈
μ
λ
,. L’image de
λ
est l’ensemble flou
() ()
Yf F∈
λ
donné par
()()
()
()
()
.
contraire casan ,0
si,sup 1
1Yy
f
yf y
fx y∈∀
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧≠
=
−
≠∈ −
φ
λ
φ
L’image inverse ou réciproque de
μ
est l’ensemble flou
()
()
Xf F∈
−1
μ
donée
par
()() ()()()
Xxxfxf ∈∀=
−, 1
μμ , c’est-à-dire ofof μμ =
−1, au sens de la
composition ordinaire des fonctions ([4]).
Nous supposerons connues leurs propriétés (à voir [4], [12]).
Un point flou
α
x en X est un ensemble flou en X qui posséde la valeur
α
dans le point
()
10 ≤<∈
α
Xx et o dans tous les autres points d’espace X ; on
dit que
α
xa le support x (noté xx
=
α
sup ) et la valeur
α
([11]).
On peut écrire
()
.,
si0
si Xy
xy
xy
yx ∈
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
α
α
Un ensemble flou est la réunion des tous ses points flous.
On dit que le point flou
α
xappartient d’ensemble flou
()
XF∈
λ
si
()( )
Xxx ∈∀≤ ,
λ
α
et nous noterons par
λ
α
∈
x.
A lieu la relation U
Ii i
x
∈
∈
λ
α
s’il existe Ii
∈
0tel que 0 i
x
λ
α
∈
.

Floue faible continuité dans une structure floue minimale
53
Si
α
x est un point flou en X et YXf →:, alors
(
)
α
xf est un point flou en Y
et si xx =
α
supp alors
(
)
(
)
(
)
xfxf
=
α
supp .
Si
β
y est un point flou en Y, alors
(
)
β
yf 1− est un point flou en X si
()
Xfy ∈
β
et f est une injection. Dans ce cas, si yy =
β
supp alors
()
(
)
()( )
.]12[supp 11 yfyf −− =
β
Définition 1 ([4]). Une topologie floue sur X ( au sens Chang) est une famille
()
XF⊆
τ
qui satisfait à les conditions suivantes :
()
21 ;)( TT
τ
∈10, si ni
i,1, =∈
τδ , alors I
n
ii 1
;
=
∈ τδ
()
3
T Si Ii
i∈∈ ,
τ
δ
alors U
Ii i ∈
∈
.
τ
δ
Le couple
()
τ
,X on appelle espace topologique flou ( au sens Chang) ou, en
abrégé e.t.f. Chacun élément de
τ
on appelle ensemble flou
τ
-ouvert et la
complémentaire d’ensemble
τ
-ouvert on appelle ensemble flou
τ
-fermé ([4]).
Définition 2 ([4]). L’interieur et la fermeture de
(
)
XF
∈
λ
on définissent
respectivement par
{}{} τδλδδτδλδδλλ ∈≤=∈≤∪== ,sup,
o
Int et
{
}
{
}
τσλσστσλσσλλ ∈≥=∈≥∩== cc C,inf,l .
Définition 3. L’ensemble flou
(
)
XF
∈
λ
on dit:
a) F-régulier fermé (resp. F- régulier ouvert) si λλ =
o(resp.
λλ =
o) ([1]) ;
b) F
β
-ouvert (resp. F demi-ouvert, F-demi-fermé, F-préouvert, F
α
-
ouvert) si o λλ ≤ (resp.
o
o
oo
o
λλλλλλλλ ≤≤≤≤ ,, ).
La complémentaire du chaque de ces ensembles on dit F
β
-fermé (resp. F
demi- fermé, F demi- ouvert, F préfermé, F
α
- fermé). On va noter par
)(),(),(),(),(),(),(),( XFXOXPFXPOXDFXDOXFXO
α
α
β
β
,
respectivement la classe des ensembles F
β
-ouverts, F
β
-fermés, F demi-
ouverts, F demi- fermés.
Définition 4 ([12]). Soient
(
)
τ
,X et
(
)
tY, deux espaces topologiques flous.
La fonction
()()
tYXf ,,: →
τ
on appelle F-continue dans le point flou
α
x en X

M. Brescan
54
si pour tout ensemble
t
∈
ν
avec
ν
α
∈
)(xf il existe
τ
δ
∈
avec
δ
α
∈xtel que
()
ν
δ
≤f.
Si f est F- continue dans tout point flou en X, alors f est F-continue sur X
Définition 5 ([6]). La fonction
(
)
(
)
tYXf ,,: →
τ
on dit F-faible continue si
pour chaque point flou
α
x en X et pour tout ensemble
t
∈
ν
avec
()
ν
α
∈xf il
existe
τ
δ
∈avec
δ
α
∈x tel que
(
)
νδ ≤f.
Pour les autres formes de faible continuite nous introduirons la suivante
Définition 6.La fonction
(
)
(
)
tYXf ,,: →
τ
on dit F-faible demi-continue ou F-
faible quasi-continue (resp. F-presque faible continue ou F quasi-continue, F-
faible
α
-continue, F-faible
β
-continue) si pour tout point flou
α
x en X et
pour tout ensemble
t
∈
ν
avec
(
)
ν
α
∈
xf il existe un ensemble demi-ouvert
(resp. F-préouvert, F
α
-ouvert, F
β
-ouvert)
(
)
XF
∈
μ
avec
μ
α
∈xtel que
()
νμ ≤f.
Structures floues minimaux
Les Professeurs Valeriu Popa (Université de Bacău-Roumanie) et Takashi
Noiri (Yatsushiro College of Technologey, Kumamoto-Japonie) ont
developpé une très intéressante theórie unifiée aux principaux formes de
continuité, basée sur le concept de m-structure (ou structure minimale)
introduit par ces auteurs. Parmi ces formes de continuite un lieu important on
accorde au faible continuité pour laquelle les deux mathematiciens ont créé
une theorie unifiée speciale.
Dans le paragraphe suivant nous aborderont cette théorie pour un espace flou,
mais maintenant nous remémeront quelques définitions et quelque théorèmes
de notre travail [2]où nous avons introduit le concept de Fm-structure.
Définition 7. Soit
()
XF la classe des sous-ensembles flous en X. Une sous-
famille ⊆
X
m
F
()
XF on apelle une structure floue minimale (en abrégé Fm-
structure) si XX mm FF ∈∈ 1,0 . Le couple ),( X
m
FX on appelle espace flou
minimale ou Fm-espace. Si
∈
λ
(
)
XF alors
λ
on appelle Fm-ouvert si
X
m
F∈
λ
, mais si X
m
cF∈
λ alors
λ
on appelle Fm- fermé.
Remarque 1. Cette définition garde seulement la première condition de la
définition d’une topologie floue au sens Chang.

Floue faible continuité dans une structure floue minimale
55
Remarque 2. Soit
()
τ
,X un e.t.f. Alors sont Fm-structures sur X les suivantes
familles d’ensembles flous :
τ
( la topologie floue), DO(X), DF(X), PO(X),
PF(X),
α
O(X),
β
O(X).
Définition 8. Soient X
m
FX ,
φ
≠une Fm-structure sur X et )(X
F
∈
λ
. On
définissent la −
X
m
Ffermeture, respectivement le Fm-intérieur de
λ
dans le
mode suivant :
{
}
{
}
XXX m
c
m
c
mFFF ∈≤=∈≤∩=−
σσλσσσλσλ ,inf,)1 ;
{}
{
}
XXX mm
o
mFFF ∈≤=∈≤∪=−
δλδδδλδδλ ,sup,)2 .
On peut noter
λ
lcF X
m−respectivement .
λ
IntF X
m
−
Lemme 1. Soient X
m
FX ,
φ
≠une Fm-structure sur X et ).(, X
F
∈
μ
λ
Alors sont vraiments les suivantes affirmations :
()
;,)1 c
m
oc
m
c
o
m
c
mXXXX FFFF
λλλλ −=−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−
)2 si X
m
cF∈
λ alors λλ =−
X
m
F et si X
m
F
∈
λ
alors ; λλ =− o
mX
F
1;111oo =−=−=− o
mmm XXX FFF ,,)3
)4 si
μ
λ
≤alors ;, o
m
o
mmm XXXX FFFF
μλμλ −≤−−≤−
;,)5 λλλλ ≤−−≤ o
mm XX FF
()
.)6 o
m
o
mmmm XXXxX FFIntFFF
λλλ −=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−−=−−
Soient
α
x un point flou en X et
(
)
XF
∈
μ
λ
,
Définition 9 ([11]). On dit que
α
xest quasi-coϊncident (q- coϊncident) a
l’ensemble
λ
si
()
Xxx ∈>+ ,1
λ
α
et on va noter par
λ
α
qx ; au cas contraire on va noter par
λ
α
qx . Les ensembles flous
λ
et
μ
sont quasi- coϊncidents (q- coϊncidents)
s’il y a Xx∈ tel que
()
(
)
1>
+
xx
μ
λ
et on va noter par
μ
λ
q ; au cas contraire
on va noter par μλ q.