topologique -différents -fr -prend -"dans l" -représentation 12

Floue faible continuité dans une structure floue minimale
UNIVERSITATEA DIN BACĂU
STUDII ŞI CERCETĂRI ŞTIINŢIFICE
Seria: MATEMATICĂ
Nr. 17(2007), pag. 51-62
FLOUE FAIBLE CONTINUITE DANS UNE STRUCTURE
FLOUE MINIMALE
by
MIHAI BRESCAN
Résumé
Le but du notre travail est d’étudier la floue faible continuité à l’aide
du concept de structure floue minimale introduit par nous dans [2], comme
une généralisation pour le doamain flou, du concept de m-structure introduit
dans la topologie générale par Valeriu Popa et Takashi Noiri et étudié par ces
auteurs dans leurs nombreux travaux.
Introduction
Soient X un ensemble non-vide arbitraire (l’espace X) et J = [0,1] ⊂ R .
Un ensemble flou en X est une application λ : X → [0,1] ; on va noter par
F ( X ) la classe des ensembles flous en l’espace X. L’espace X sera identifié à
la fonction constante 1 et l’ensemble vide φ à la fonction constante o . Soit I
un ensemble indexé et soit {λi }i∈I une famille d’ensembles flous en X.
La réunion et l’intersection de cette famille, notées par U λi respectivement
i∈ I
I λi , sont définies de la manière suivante ([4]) :
i∈ I
Mots-clef: point flou, espace topologique flou, Fm—structure, Fm-continuité,
F-faible continuité, faible Fm-continuité.
(2000) Classification Mathématique par Matières: 54C08, 54A40
51
M. Brescan
⎛
⎞
U λi par ⎜⎜ U λi ⎟⎟(x ) = sup{λi (x )}, (∀)x ∈ X ;
i∈ I
⎝ i∈ I ⎠
⎛
⎞
I λi par ⎜⎜ I λi ⎟⎟(x ) = inf {λi (x )}, (∀)x ∈ X .
i∈ I
i∈ I
⎝ i∈ I ⎠
i∈ I
Évidement, les définitions sont aussi valables pour le cas fini I = {1,2,..., n} ,
n
n
i =1
i =1
mais les notations sont U λi , respectivement I λi et sup = max, inf = min .
L’inclusion, nottée par λ1 ⊆ λ 2 ou λ1 ≤ λ 2 , est définie par λ1 (x ) ≤ λ 2 (x ) ou
λ 2 (x ) ≥ λ1 (x ), (∀)x ∈ X .
La complémentaire de λ ∈ F (x ) , notée par λ c , on définit par
λ c (x ) = (1 − λ )(x ) = 1 − λ (x ), (∀)x ∈ X .
Soient X et Y deux ensembles arbitraires nonvides, une application
f : X → Y et λ ∈ F ( X ), μ ∈ F (Y ) . L’image de λ est l’ensemble flou
⎧ sup , si f −1 ≠ φ
(y)
⎪⎪
f (λ ) ∈ F (Y ) donné par f (λ )( y ) = ⎨ x∈ f (−y1) ≠ φ
⎪
⎪⎩
0 , an cas contraire
(∀)y ∈ Y .
L’image inverse ou réciproque de μ est l’ensemble flou f (−1
∈ F ( X ) donée
μ)
par f −1 (μ (x )) = μ ( f (x )), (∀)x ∈ X , c’est-à-dire f −1oμ = μ of , au sens de la
composition ordinaire des fonctions ([4]).
Nous supposerons connues leurs propriétés (à voir [4], [12]).
Un point flou xα en X est un ensemble flou en X qui posséde la valeur α
dans le point x ∈ X (0 < α ≤ 1) et o dans tous les autres points d’espace X ; on
dit que xα a le support x (noté sup xα = x ) et la valeur α ([11]).
On peut écrire
⎧α si y = x
xα ( y ) = ⎨
, y∈ X.
⎩0 si y ≠ x
Un ensemble flou est la réunion des tous ses points flous.
On dit que le point flou xα appartient d’ensemble flou λ ∈ F ( X ) si
α ≤ λ (x ), (∀)x ∈ X et nous noterons par xα ∈ λ .
A lieu la relation xα ∈ U λi s’il existe i0 ∈ I tel que xα ∈ λi0 .
i∈ I
52
Floue faible continuité dans une structure floue minimale
Si xα est un point flou en X et f : X → Y , alors f (xα ) est un point flou en Y
et si supp xα = x alors supp ( f (xα )) = f (x ) .
Si y β est un point flou en Y, alors f −1 (y β ) est un point flou en X si
y β ∈ f ( X ) et f est une injection. Dans ce cas, si supp y β = y alors
( ))
(
supp f −1 y β = f −1 ( y ) ([12]).
Définition 1 ([4]). Une topologie floue sur X ( au sens Chang) est une famille
τ ⊆ F ( X ) qui satisfait à les conditions suivantes :
(T1 ) 0, 1 ∈τ ; (T2 ) si δ i ∈τ , i = 1, n , alors
(T3 ) Si δ i ∈τ , i ∈ I alors U δ i ∈τ .
n
I δ i ∈τ ;
i =1
i∈ I
Le couple ( X , τ ) on appelle espace topologique flou ( au sens Chang) ou, en
abrégé e.t.f. Chacun élément de τ on appelle ensemble flou τ -ouvert et la
complémentaire d’ensemble τ -ouvert on appelle ensemble flou τ -fermé ([4]).
Définition 2 ([4]). L’interieur et la fermeture de λ ∈ F ( X ) on définissent
respectivement par
o
Int λ = λ = ∪{δ δ ≤ λ , δ ∈τ } = sup{δ δ ≤ λ , δ ∈τ } et
{
} {
}
Clλ = λ = ∩ σ σ ≥ λ , σ c ∈τ = inf σ σ ≥ λ , σ c ∈τ .
Définition 3. L’ensemble flou λ ∈ F ( X ) on dit:
o
o
a) F-régulier fermé (resp. F- régulier ouvert) si λ = λ (resp. λ = λ ) ([1]) ;
b) F β -ouvert (resp. F demi-ouvert, F-demi-fermé, F-préouvert, F α o
o
o
o
o
o
ouvert) si λ ≤ λ (resp. λ ≤ λ , λ ≤ λ , λ ≤ λ λ ≤ λ ).
La complémentaire du chaque de ces ensembles on dit F β -fermé (resp. F
demi- fermé, F demi- ouvert, F préfermé, F α - fermé). On va noter par
βO( X ), βF ( X ), DO( X ), DF ( X ), PO( X ), PF ( X ), αO( X ), αF ( X ) ,
respectivement la classe des ensembles F β -ouverts, F β -fermés, F demiouverts, F demi- fermés.
Définition 4 ([12]). Soient ( X ,τ ) et (Y , t ) deux espaces topologiques flous.
La fonction f : ( X ,τ ) → (Y , t ) on appelle F-continue dans le point flou xα en X
53
M. Brescan
si pour tout ensemble ν ∈ t avec f ( xα ) ∈ν il existe δ ∈τ avec xα ∈ δ tel que
f (δ ) ≤ ν .
Si f est F- continue dans tout point flou en X, alors f est F-continue sur X
Définition 5 ([6]). La fonction f : ( X , τ ) → (Y , t ) on dit F-faible continue si
pour chaque point flou xα en X et pour tout ensemble ν ∈ t avec f (xα )∈ν il
existe δ ∈τ avec xα ∈ δ tel que f (δ ) ≤ ν .
Pour les autres formes de faible continuite nous introduirons la suivante
Définition 6.La fonction f : ( X ,τ ) → (Y , t ) on dit F-faible demi-continue ou Ffaible quasi-continue (resp. F-presque faible continue ou F quasi-continue, Ffaible α -continue, F-faible β -continue) si pour tout point flou xα en X et
pour tout ensemble ν ∈ t avec f (xα )∈ν il existe un ensemble demi-ouvert
(resp. F-préouvert, F α -ouvert, F β -ouvert) μ ∈ F ( X ) avec xα ∈ μ tel que
f (μ ) ≤ ν .
Structures floues minimaux
Les Professeurs Valeriu Popa (Université de Bacău-Roumanie) et Takashi
Noiri (Yatsushiro
College of Technologey, Kumamoto-Japonie) ont
developpé une très intéressante theórie unifiée aux principaux formes de
continuité, basée sur le concept de m-structure (ou structure minimale)
introduit par ces auteurs. Parmi ces formes de continuite un lieu important on
accorde au faible continuité pour laquelle les deux mathematiciens ont créé
une theorie unifiée speciale.
Dans le paragraphe suivant nous aborderont cette théorie pour un espace flou,
mais maintenant nous remémeront quelques définitions et quelque théorèmes
de notre travail [2]où nous avons introduit le concept de Fm-structure.
Définition 7. Soit F ( X ) la classe des sous-ensembles flous en X. Une sousfamille Fm X ⊆ F ( X ) on apelle une structure floue minimale (en abrégé Fmstructure) si 0 ∈ Fm X , 1 ∈ Fm X . Le couple ( X , Fm X ) on appelle espace flou
minimale ou Fm-espace. Si λ ∈ F ( X ) alors λ on appelle Fm-ouvert si
λ ∈ Fm X , mais si λ c ∈ Fm X alors λ on appelle Fm- fermé.
Remarque 1. Cette définition garde seulement la première condition de la
définition d’une topologie floue au sens Chang.
54
Floue faible continuité dans une structure floue minimale
Remarque 2. Soit ( X ,τ ) un e.t.f. Alors sont Fm-structures sur X les suivantes
familles d’ensembles flous : τ ( la topologie floue), DO(X), DF(X), PO(X),
PF(X), α O(X), β O(X).
Définition 8. Soient X ≠ φ , Fm X une Fm-structure sur X et λ ∈ F ( X ) . On
définissent la Fm X − fermeture, respectivement le Fm-intérieur de λ dans le
mode suivant :
{
} {
1) Fm X − λ = ∩ σ λ ≤ σ , σ c ∈ Fm X = inf σ λ ≤ σ , σ c ∈ Fm X
o
{
}
{
};
}
2) Fm X − λ = ∪ δ δ ≤ λ , δ ∈ Fm X = sup δ δ ≤ λ , δ ∈ Fm X .
On peut noter Fm X − clλ respectivement Fm X − Int λ.
Lemme 1. Soient X ≠ φ , Fm X une Fm-structure sur X et λ , μ ∈ F ( X ).
Alors sont vraiments les suivantes affirmations :
o
⎛
⎜
c
1) Fm X − λ = ⎜ Fm X − λ
⎜
⎝
c
o
⎞
c
⎟
c
⎟ , Fm X − λ = Fm X − λ ;
⎟
⎠
(
)
o
2) si λ c ∈ Fm X alors Fm X − λ = λ et si λ ∈ Fm X alors Fm X − λ = λ ;
o
3) Fm X − o = o, Fm X − 1 = 1, Fm X − 1 = 1;
o
o
4) si λ ≤ μ alors Fm X − λ ≤ Fm X − μ , Fm X − λ ≤ Fm X − μ ;
o
5) λ ≤ Fm X − λ , Fm X − λ ≤ λ ;
o⎞
o
⎛
6) Fm X − Fm x − λ = Fm X − Int ⎜ Fm X − λ ⎟ = Fm X − λ .
⎜
⎟
⎝
⎠
Soient xα un point flou en X et λ , μ ∈ F ( X )
Définition 9 ([11]). On dit que xα est quasi-coϊncident (q- coϊncident) a
(
)
l’ensemble λ
si α + λ (x ) > 1, x ∈ X et on va noter par xα qλ ; au cas contraire on va noter par
xα qλ . Les ensembles flous λ et μ sont quasi- coϊncidents (q- coϊncidents)
s’il y a x ∈ X tel que λ (x ) + μ (x ) > 1 et on va noter par λqμ ; au cas contraire
on va noter par λ qμ .
55
M. Brescan
Remarque 3. Evidement, si λ et μ sont q- coϊncidents en x, alors
λ (x ) ≠ 0, μ (x ) ≠ 0 et donc (λ ∩ μ )(x ) ≠ 0, c’est-à-dire λ et μ on intersectons en x.
Il est facile à démontrer
Lemme 2. Soient X , Fm X un Fm-espace, λ ∈ F ( X ) et xα un point flou en X.
(
)
Alors xα ∈ Fm X − λ si et seulement si μ qλ pour quel que soit μ ∈ Fm X avec
xα ∈ μ .
Définition 10. On dit que la Fm X a la propriété (B ) si (δ i )i∈I ⊆ Fm X implique
U δ i ∈ Fm X
i∈ I
Remarque 4. Cette définition corresponde au condition (T3 ) de définition
d’une topologie floue (au sens Chang).
Théoréme 1. Pour une structure minimale Fm X sur X ≠ φ , les affirmations
suivantes sont équivalentes :
(1) Fm x a la propriété (B ) ;
o
(2) Si
Fm X − λ = λ , alors λ ∈ Fm X
(3) Si
Fm X − μ = μ , alors μ c ∈ Fm X .
La démonstration est donée en [2].
En appliquant Lemme 1 et Th. 1 il resulte immédiatement
Lemme 3. Soient X ≠ φ , Fm X une structure minimale sur X qui satisfait la
propriété (B) et λ ∈ F ( X ) . Alors :
(1)
(2)
(3)
o
λ ∈ Fm xX si et seulement si Fm X − λ = λ ;
λ est Fm X - fermé si et seulement si Fm X − λ = λ
o
Fm X − λ ∈ Fm X et Fm X − λ est Fm X - fermé.
Définition 11. Soient X ≠ φ avec la structure minimale Fm X et (Y , t ) un e.t.f.
La fonction f : ( X , Fm X ) → (Y , t ) on appelle Fm -continue (floue) si pour tout
point flou xλ en X et pour tout ensemble f (xλ )∈ν il existe δ ∈ Fm X avec
xλ ∈ δ ainsi que f (δ ) ≤ ν .
La théoréme suivant représente un théoréme de caractérisation pour les
fonctions Fm-continues (floues) :
56
Floue faible continuité dans une structure floue minimale
Théoréme 2. Soient X ≠ φ avec la struture minimale Fm , (Y , t ) un espace
topologique et la fonction f : ( X , Fm X ) → (Y , t ) .
Alors les affirmations suivantes sont équivalentes :
(1) f est Fm-continue (floue) ;
(2)
f −1 (ν ) = Fm X − Intf −1 (ν ), (∀) ν ∈ t ;
(3)
Fm X − f −1 (σ ) = f −1 (σ ), (∀)σ ∈ F (Y ) où σ c ∈ t ;
(4) Fm X −
(5) f (Fm X
(6)
()
f −1 (μ ) ≤ f −1 μ , (∀)μ ∈ F (Y ) ;
)
− λ ≤ f (λ ), (∀)λ ∈ F ( X ) ;
⎛o⎞
f −1 ⎜ μ ⎟ ≤ Fm X − Intf −1 (μ ), (∀)μ ∈ F (Y ) .
⎜ ⎟
⎝ ⎠
La démonstration est donnée en [2].
Fonctions faible Fm-continues
Nous introduirons ici la suivante
(
) et (Y , FmY ) deux F m -espaces et xα un point
flou en X. La fonction (X , Fm X ) → (Y , FmY ) on dit Fm- continue (resp. Faible
Définition 12. Soient X , Fm X
Fm- continue) en xα si pour tout ensemble μ ∈ FmY avec f (xα )∈ μ , il existe
δ ∈ Fm X avec xα ∈ δ tel que f (δ ) ≤ μ (resp. f (δ ) ≤ FmY − μ ).
La fonction f on dit Fm- continue (resp. faible Fm- continue) si a cette propriété
dans tout point flou en X.
En suite nous donnerons quelques théorémes de caractérisation.
Théoréme 3. Soit la fonction X , Fm X → Y , FmY . Alors les suivantes
(
)
(
)
propriétés sont équivalentes :
(1) f est Fm- continue;
(2)
f −1 (ν ) = Fm X − Intf −1 (ν ), (∀)ν ∈ FmY ;
(3) Fm X
− f −1 (σ ) = f −1 (σ ), (∀)σ ∈ F (Y ) où σ c ∈ FmY ;
(
)
(4)
Fm X − f −1 (μ ) ≤ f −1 FmY − μ , (∀)μ ∈ F (Y ) ;
(5)
f −1 Fm X − λ ≤ FmY − f (x ), (∀)λ ∈ F (X ) ;
(
)
57
M. Brescan
(6)
)
(
o⎞
⎛
f −1 ⎜ FmY − μ ⎟ ≤ Fm X − Int f −1 (μ ) , (∀)μ ∈ F (Y ) .
⎜
⎟
⎝
⎠
La démonstration est simillaire à la démonstration du Th.2 qui a été donnée
dans notre travail [2].
Théoréme 4. La function X , Fm X → (Y , FmY ) est faible Fm- continue dans
(
)
le point flou xα en X et seulement si pour tout ensemble μ FmY − ouvert
))
( (
avec f (xα )∈ μ on a bien xα ∈ Fm X − Int f −1 FmY − μ .
Démonstration. Nécessité. Soit μ ∈ FmY avec f (xα )∈ μ ; parce que f est
faible Fm- continue dans le point flou xα enX, il existe δ ∈ Fm X avec
xα ∈ δ tel que f (δ ) ≤ FmY − μ . Alors
))
( (
donc xα ∈ Fm X − Int f −1 FmY − μ .
Suffisance. Soit μ ∈ FmY avec
( (
xα ∈ Fm X − Int f −1 FmY − μ
(
)
))
(
)
on a bien xα ∈ δ ≤ f −1 FmY − μ et
f (xα )∈ μ .
Comme, par hypothèse,
, il existe δ ∈ Fm X tel que
xα ∈ δ et
δ ≤ f −1 FmY − μ et donc f (δ ) ≤ FmY − μ , ce qui montre que f est faible Fm continue dans le point flou xα .
Remarque 5. Dans cette démonstration nous avons appliqué les propriétés de
f et f −1 données dans le travail ([12], Th. 4.1.).
Théoréme 5. La fonction X , Fm X → (Y , FmY ) est faible Fm- continue si et
(
)
))
( (
seulement si f −1 (μ ) ≤ Fm X − Int f −1 FmY − μ pour tout ensemble μ ∈ FmY
Démonstration. Nécessité. Soient μ ∈ FmY et le point flou xα en X avec
xα ∈ f −1 (μ ) . Parce que f est faible Fm- continue dans xα , conforme à le Th. 4
on
a
bien
( (
( (
xα ∈ Fm X − Int f −1 FmY − μ
))
))
et
donc
f −1 (μ ) ≤ Fm X − Int f −1 FmY − μ .
Suffisance. Soient xα un point flou en X et μ ∈ FmY avec f (xα )∈ μ . Alors
( (
on a bien xα ∈ f −1 (μ ) ≤ Fm X − Int f −1 FmY − μ
( (
))
)) (par
hypothèse). D’ici il
resulte que xα ∈ Fm X − Int f −1 FmY − μ d’où (cf. Th. 4) f est faible Fmcontinue.
58
Floue faible continuité dans une structure floue minimale
Définition 13. Soit λ ∈ F ( X ) , ou ( X , τ ) est un e.t.f. et xα est un point flou
en X. L’ensemble λ est nommé une q – voisinage du xα s’il existe δ ∈τ tel
que xα q δ ≤ λ ([11]).
Définition 14. Un point flou xα est nommé flou θ -adhérent point de
μ ∈ F ( X ) si λ qλ pour toute q – voisinage λ du point xα ([5]).
La réunion de tous flous θ - adhérents points de μ est nommé floue θ fermeture de μ et on va noter par θ - μ ([5]).
L’ensemble μ est nommé flou θ - fermé si μ = θ − μ ([5]).
Par analogie, nous introduirons ici la suivante
Définition 15. Soient le Fm-espace X , Fm X et λ ∈ F ( X ) .
(
)
Un point flou xα en X est nommé un Fmθ - adhérent point pour λ si
Fm X − δ q λ pour tout ensemble δ ∈ Fm X avec xα ∈ λ .
(
)
La réunion de tous Fmθ - adhérent points du λ est nommé Fmθ - fermeture du
λ et on va noter par Fm Clθ (λ ) ou Fm λ θ .
Si λ = Fm Clθ (λ ) , alors λ on dit Fmθ - fermée. La complémentaire d’un
ensemble Fmθ - fermé on dit Fmθ - ouverte.
(
Théoréme 6. Soient X , Fm X
) et
λ ∈ F ( X ) . Alors ont lieu les suivantes
propriétés :
(1) Si λ ∈ Fm X , alors Fm X − λ = Fm λ θ ;
(2) Si
(X , Fm X ) satisfait à la propriété (B) alors Fm λ θ
est Fm X - fermé pour
tout ensemble λ ∈ F ( X ) .
Démonstration (1). En générale on a bien Fm X − λ ≤ Fm λ θ .
Nous supposons que xα ∉ Fm X − λ ; alors, conf. Lemme 2 il existe
(
)
δ ∈ Fm X avec xα ∈ δ tel que λ q δ et donc λ q Fm − δ , ce qui montre que
xα ∉ Fm λ θ . D’ici il resulte que Fm X − λ = Fm λ θ .
(2) Soit xα ∈ 1 X − Fm λ θ , donc xα ∉ Fm λ θ . Alors il y a δ xα ∈ Fm X avec
xα ∈ δ xα
tel
que
(Fm X
)
− δ xα qλ
(
,
xα ∈ δ xα ≤ 1 X − Fm λ θ . Parce que X , Fm X
59
donc
δ xα qFm λ θ
et
donc
) satisfait à la propriété (B) il
M. Brescan
resulte que 1 X − Fm λ θ = ∪δ xα ∈ Fm X et donc Fm λ θ est Fm X - fermé. Nous
donnerons ici la suivant théorème de caractérisation :
Théoréme 7. Soient les Fm- espaces X , Fm X et Y , FmY et la fonction f :
(
) (
)
(X , Fm X ) → (Y , FmY ). Alors sont equivalentes les suivantes affirmations :
(1) f est faible Fm- continue ;
(2) f (Fm X − λ ) ≤ Fm ( f (λ ))θ pour tout ensemble
(3)
(
λ ∈ F (X ) ;
)
⎛
⎞
Fm X − ⎜ f −1 (μ )⎟ ≤ f −1 Fm μ θ pour tout ensemble μ ∈ F ( X ) .
⎝
⎠
Démonstration.(1) ⇒ (2). Soient λ ∈ F ( X ) , xα ∈ Fm x − λ et ν ∈ FmY avec
f (xα )∈ν . Parce que f est faible Fm-continue il y a δ ∈ Fm X avec xα ∈ δ tel
que f (δ ) ≤ FmY − ν . Comme xα ∈ Fm X − λ , il resulte que δqλ
(
)
(
)
et d’ici
f (δ )qf (λ ) et puis f (δ ) ∩ f (λ ) ≤ FmY − ν ∩ f (λ ) et donc FmY − ν qf (λ ) et
f (xα ) ∈ Fm f (λ ) θ .
(
(2) ⇒ (3). Si
)
⎝
⎠
(
⎝
⎠
(3) ⇒ (1) . Soit ν ∈ FmY avec f (xα )∈ν . Parce que
(
f (xα )∉ Fm ⎛⎜ 1Y − FmY
⎝
que
(
⎝
)
donc Fm X − ⎛⎜ f −1 (μ )⎞⎟ ≤ f −1 Fm μ θ .
resulte
)⎠θ
(
( )
μ ∈ F (Y ) , alors f ⎛⎜ Fm X − f −1 (μ )⎞⎟ ≤ Fm ⎛⎜ f f −1 (μ ) ⎞⎟ ≤ Fm μ θ et
(FmY
− ν )⎞⎟
⎠
θ
)
⎛
⎞
xα ∉ f −1 ⎜ Fm ⎛⎜ 1Y − FmY − ν ⎞⎟ ⎟ .
⎝
⎠θ ⎠
⎝
(
)(
(
− ν q 1Y − FmY − ν
))
δ q f −1 (1Y − (FmY
et
(
)) il
donc
Après l’hypothèse (3), xα ∉ Fm X − f −1 1Y − FmY − ν et après Lemme 2, il
existe δ ∈ Fm X
(
(
avec xα ∈ δ
f (δ )q 1Y − FmY − ν
Fm − continue.
)) et d’ici
tel que
−ν
))
, et donc
f (δ ) ≤ FmY − ν ce qui montre que f est faible
(
)
(Y , FmY ) où (Y , FmY )
satisfait la propriété (B). La fonction f : (X , Fm X ) → (Y , FmY ) est faible FmThéoréme 8. Soient les Fm-espace X , Fm X
60
et
Floue faible continuité dans une structure floue minimale
(
)
continue si et seulement si Fm X − f −1 (ν ) ≤ f −1 FmY − μ , pour tout ensemble
ν , FmY - ouvert.
Démonstration. Nécessité. Resulte immédiatement de Th. 7 et Th.6
Suffisance. Soit ν , FmY avec f (xα )∈ν où xα est un point flou en X.
)
( (
(
)⎠
Parce que ν q 1Y − Fm y − ν il resulte que f (xα )∉ FmY − ⎛⎜ 1Y − FmY − ν ⎞⎟ et
⎝
(Y , FmY ) a la propriété
1Y − (FmY − ν ) = FmY − Int (1 Y − ν )∈ FmY
xα ∉ f −1 (FmY − (1Y − (FmY − ν ))).
(B)
comme
De l’hyppothèse,
(
(
))
on
peut
montrer
et
(
(
))
que
donc
(
(
))
− ν )) , ce qui
xα ∉ Fm X − f −1 1Y − FmY −ν = Fm X − 1Y − FmY −ν = Fm X − 1 X − f −1 FmY −ν
(
(
et alors il y a δ ∈ Fm X avec xα ∈ δ tel que δ q 1 X − f −1 FmY
montre que f (δ ) ≤ FmY − ν , c’est-à-dire f est faible Fm-continue
Remarque 6. On peuvent définir des ensembles Fm-demi-ouverts, Fmpréouverts, Fm- α -ouverts ou Fm- β -ouverts et utilisant ces ensembles, les
concepts de Fm-demi-continuité, Fm-presque faible continuité, Fm- faible α continuité ou Fm- faible β - continuité, par analogie à la Déf. 12 et même aussi
on peuvent donner les théorémes correspondants, ce qui permet de construire
une théorie unitaire aux toutes formes de faible Fm- continuité.
Maintenant nous examinerons la relation entre faible Fm- continuité et Fmcontinuité. Evidemment la Fm- continuité implique la faible Fm- continuité,
mais la réciproque n’est pas vraie. Nous obtiendrons une réciproque par
introduction de la condition d’intérieorité :
Définition 16. La fonction f : X , Fm X → Y , FmY satisfait à la condition
(
d’intérieorité
) (
)
− ν )) ≤ f −1 (ν )
( (
si Fm X − Int f −1 FmY
ν ∈ FmY .
(
pour tout ensemble
)
Théoréme 9. Si la fonction f : X , Fm X → (Y , FmY ) est faible Fm-continue et
satisfait à la condition d’intérieorité, alors f est Fm-continue.
Démonstration. Soit ν ∈ FmY et parce que f est faible Fm-continue on a bien
( (
f −1 (ν ) ≤ Fm X − Int f −1 FmY − ν
)) (conf. Th.5).
De la condition d’intérieorité et après Lemme 1,
61
M. Brescan
( (
))
( ( ))
( )
− Int ( f −1 (ν )), et d’ici après le Th.3,
f −1(ν ) ≤ FmX − Int f −1 FmY −ν = FmX − Int f −1 FmY ≤ FmX − Int f −1(ν ) ≤ f −1(ν )
Par consequence, on obtien f −1 (ν ) = Fm X
f est Fm-continue.
Bibliographie
[1]
Azad, K.K. , On Fuzzy Semicontinuity, Fuzzy Almost Continuity
and Fuzzy weakley continuity, Journal of Math. Anal. Appl. 82, 14-32,
1981.
[2]
Brescan, M , Structures floues minimaux, Buletinul Univ. PetrolGaze din Ploieşti, vol. LIII, Seria Matematică-Informatică, nr.1, 2001.
[3]
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Universitatea Petrol-Gaze din
Ploieşti,
Bd. Bucureşti 39, Ploieşti
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