thermodynamique

IUT de Saint Denis
Département Génie Industriel et Maintenance
THERMODYNAMIQUE
Module THERMb
Semestre 2
février 2013
Pascal Tobaly
Moussa Dicko
http://ptob.free.fr
ii
Table des matières
6 Les fluides réels
6.1 Les gaz réels . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Allure du réseau des isothermes
6.1.2 Équations d’état . . . . . . . .
6.2 Changements d’état . . . . . . . . . . .
6.2.1 Liquéfaction des gaz . . . . . .
6.2.2 Courbe de pression de vapeur .
6.2.3 Chaleur latente de vaporisation
6.2.4 Formule de Clapeyron . . . . .
6.2.5 Titre de vapeur . . . . . . . . .
6.3 Diagrammes thermodynamiques . . .
6.3.1 Les tables de vapeur . . . . . .
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7 turbine à vapeur :
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Les installations industrielles à vapeur . .
7.1.2 Calculs d’énergie . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Cycle de Hirn (Surchauffe de la vapeur) .
7.1.4 Détente étagée (cycle avec resurchauffeur)
7.1.5 Turbine à contre-pression . . . . . . . . . .
7.1.6 Cycle à soutirage (ou à prélèvement) . . .
8 Transferts thermiques
8.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Trois modes de transfert : . . . . . . . .
8.2 Conduction en régime permanent . . . . . . . .
8.2.1 Conduction à travers une paroi plane en
manent. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Régime permanent. . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Interface avec un fluide : loi de Newton .
iii
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régime per. . . . . . .
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23
23
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. 26
. 29
. 29
iv
TABLE DES MATIÈRES
8.3
8.4
Notion de résistance thermique . . . . .
8.3.1 Géométrie plane mur composite .
8.3.2 Géométrie cylindrique . . . . . .
8.3.3 Géométrie sphérique . . . . . . .
8.3.4 Résistances en parallèle . . . . . .
8.3.5 Coefficients de transferts globaux
Analogie électrique . . . . . . . . . . . .
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36
Chapitre 6
Les fluides réels
6.1
6.1.1
Les gaz réels
Allure du réseau des isothermes
La loi des gaz parfaits est une loi approchée qui ne représente correctement
le comportement des gaz qu’aux faibles pressions.
Dans un diagramme d’Amagat (P V, P ) les isothermes d’un gaz parfait
sont des droites horizontales.
Les mesures effectuées sur les gaz
réels permettent de tracer le réseau
des isothermes des gaz réels, par
exemple ici l’azote.
Vers les basses températures, les
courbes se déforment jusqu’à présenter un point d’inflexion. L’isotherme correspondante est appelée
isotherme critique. En dessous de
cette température (-147 °C pour
l’azote), le gaz peut être liquéfié.
La température pour laquelle la Figure 6.1 – Réseau des isothermes
pente de l’isotherme aux basses pres- d’un gaz parfait dans le diagramme
sions est nulle est appelée tempé- d’Amagat
rature de Mariotte (50 °C pour
l’azote).
6.1.2
Équations d’état
1
2
CHAPITRE 6. LES FLUIDES RÉELS
De très nombreuses équations
d’état ont été proposées pour rendre
compte du comportement réel des
fluides. La plus connue, et la plus
simple, est l’équation de Van der
Waals :
a P + 2 (V − b) = r.T
V
Malheureusement, si cette équation permet d’obtenir un réseau
d’isothermes ayant bien l’allure d’un
reseau réel, elle ne permet pas d’obtenir des résultats numériques acceptables dans un large domaine de
pressions et de températures. Elle
a surtout une importance historique
Figure 6.2 – Réseau des isothermes car c’est la première à permettre de
d’un gaz réel dans le diagramme représenter les deux phases gazeuse
et liquide en équilibre. De plus elle
d’Amagat
est obtenue à partir un raisonnement
moléculaire très pertinent. La raison pour laquelle elle est peu précise est
qu’elle ne prend pas en compte le détail des forces d’attraction et de répulsion agissant au niveau moléculaire. Aucune équation simple n’est en mesure
de donner des résultats précis pour tous les fluides quels que soient la température et la pression.
La plupart des équations d’état utilisées dans l’industrie sont des extensions de l’équation de van der Waals. De plus, toutes les équations d’état ont
en commun de tendre vers la loi des gaz parfaits pour les faibles pressions.
Les calculs sont complexes avec la plupart de ces équations d’état et
pour s’éviter des calculs fastidieux, notamment en présence de changements
d’état, on est amené à utiliser des diagrammes fournissant des solutions graphiques approximatives mais quasi-immédiates. Par ailleurs, le développement de l’informatique permet aujourd’hui d’obtenir des solutions rapides à
l’aide de logiciels appropriés.
6.2
6.2.1
Changements d’état
Liquéfaction des gaz
6.2. CHANGEMENTS D’ÉTAT
3
Expérience de liquéfaction du gaz
carbonique.
Dans un tube maintenu à température constante, on enferme du
CO2 puis on fait varier la pression et
le volume en poussant sur le piston.
Lorsqu’on atteint une certaine pression Pv , une première goutte de liquide apparaît. Si l’on continue à enfoncer le piston, la masse de liquide
produite augmente mais la pression
reste constante tandis que le volume Figure 6.3 – courbe de saturation
occupé par le mélange diminue.
Lorsqu’il n’y a plus que du liquide, la pression augmente très rapidement
tandis que le volume diminue très lentement. Si l’on répète l’expérience pour
d’autres températures, on obtient le réseau d’isothermes ci-dessous. Au delà
de la température critique, la liquéfaction n’est plus possible (31°C pour
CO2 ).
La courbe (S) est appelée courbe de saturation, elle représente l’état du
liquide pur (à gauche du point critique C) et de la vapeur saturée pure (à
droite du point C). Les points situés en dessous de la courbe correspondent
à un mélange de liquide et de vapeur en équilibre.
6.2.2
Courbe de pression de vapeur
Pour un équilibre liquide-vapeur,
la pression et la température sont
liées par une fonction Ps = f (Ts ) ;
c’est un système mono-variant (c’est
à dire à un seul degré de liberté).
La courbe de pression de vapeur
est limitée par le point critique C et
le point triple T, point de coexistence des trois phases (vapeur, liquide, solide). La pente de la courbe
n’est pas infinie en C, et différentes
formules peuvent représenter cette
Figure 6.4 – Courbe de pression de
courbe :
vapeur
- formule de Rankine : Log (Ps ) =
A− B
T
4
CHAPITRE 6. LES FLUIDES RÉELS
- formule de Duperray, pour l’eau entre 100 et 200 °C : Ps =
Ps en bars et t en °C.
6.2.3
t 4
,
100
avec
Chaleur latente de vaporisation
C’est la variation d’enthalpie d’une masse unitaire de liquide saturant
qui se vaporise totalement à pression constante, et température constante
évidemment.
L = Hv − Hl = Uv − Ul + P (Vv − Vl ) = Qp
C’est la quantité de chaleur qu’il faut fournir, à pression constante, pour
vaporiser le liquide, L dépend de la température. Les mesures effectuées
donnent une courbe de la forme ci-contre, exemple pour l’eau, L tend vers 0
pour la température critique.
Ex : pour l’eau à 100 °C : L=539 kcal/kg.
6.2.4
Formule de Clapeyron
La formule qui suit peut être démontrée à partir des deux principes. Elle
n’est pas une formule approchée mais une formule thermodynamiquement
exacte. Elle relie la chaleur latente à la pente de la courbe de saturation. De
plus des formules analogues existent n’importe quel équilibre entre phases
d’un corps pur. (par exemple l’équilibre liquide solide)
L = T (vg − vl )
dPs
dT
avec vg et vl volume massique de la vapeur et du liquide saturant.
6.2.5
Titre de vapeur
C’est le pourcentage de vapeur
contenu dans un mélange liquidevapeur à l’équilibre. On note mg la
masse de vapeur et ml la masse de
liquide. Le titre de vapeur s’écrira
donc :
x=
Figure 6.5 – Titre de vapeur
mg
mg + ml
6.3. DIAGRAMMES THERMODYNAMIQUES
5
Figure 6.6 – lignes isotitre
Les points L, M et V donnés sur
la figure 6.5 représentent respectivement :
L Liquide saturé
V Vapeur saturée
M Mélange liquide-vapeur
On démontre aisément :
x=
h − hl
s − sl
v − vg
=
=
vg − vl
hg − hl
sg − sl
En effet, on écrira par exemple pour l’enthalpie massique du mélange :
H
Hl + Hg
ml hl + mg hg
=
=
= (1 − x)hl + xhg
m
m
m
où m est la masse totale. On procèdera de même pour les autres grandeurs
extensives.
L’interprêtation graphique est donnée par le rapport de deux segments :
h=
LM
LV
Ces formules permettent de tracer les lignes isotitres en divisant les paliers
de vaporisation dans un rapport constant égal à x comme n peut le voir sur
la figure 6.6
x=
6.3
Les diagrammes thermodynamiques et leur
utilisation
Il est possible de calculer les valeurs des différentes grandeurs d’état (énergie interne, enthalpie, entropie .... ) en fonction des variables d’état (P, v ou
6
CHAPITRE 6. LES FLUIDES RÉELS
Figure 6.7 – Diagramme entropique de l’eau
T) à l’aide d’équations d’état très développées et de diverses données expérimentales. Le développement de ces équations ainsi que leur utilisation pour
les calculs est une affaire de spécialistes étant donné la lourdeur des calculs
mis en jeu. Toutefois, le résultat de ce type de calculs peut être utilisé dans la
pratique sous différentes formes. Certaines données peuvent être présentées
sous forme de tables numériques ou sous forme graphique. La précision de ce
genre de données est généralement de l’ordre de 1% ce qui est suffisant pour
la plupart des calculs techniques.
A cela, viennent s’ajouter depuis quelque temps, des outils informatiques
permettant de réaliser très rapidement des études de projets puisque les calculs fastidieux seront directement traités par l’ordinateur.
Diagramme entropique (T,s)
Ce diagramme (figure 6.7) a pour abscisse l’entropie massique s et pour
ordonnée la température. Il est utilisé principalement pour l’étude des cycles
de machines à vapeur de même que le diagramme de Mollier (voir ci-dessous)
6.3. DIAGRAMMES THERMODYNAMIQUES
7
La courbe de saturation prend une forme similaire à celle qui a été vue sur
le diagramme de Clapeyron avec une courbe d’ébullition à gauche (liquide
saturé) et une courbe de rosée à droite (vapeur saturée) qui se rejoignent en
un point critique au sommet. Ici encore, (pour une température inférieure à
la température critique), les points situés à droite de la courbe représentent
les états liquides (liquide sous refroidi), les états vapeur étant représentés par
les points situés à droite de la courbe de rosée. Les points situés en dessous
de la courbe de saturation représentent un mélange de liquide et de vapeur
à l’équilibre thermodynamique. Un segment horizontal joignant la courbe
d’ébullition à la courbe de rosée est à la fois une isotherme et une isobare.
La position d’un point sur cette droite dépend des proportions du mélange
(titre de vapeur). En parcourant ce segment de la gauche vers la droite, on
passe progressivement d’un titre de vapeur nul (liquide saturé pur) à un titre
de vapeur égal à 1 (vapeur saturée seule). On trace généralement dans cette
partie du diagramme les lignes isotitres. On trouve aussi souvent les isobares
et isochores dans la partie correspondant à la vapeur.
On peut ainsi facilement suivre les évolutions d’un fluide et connaître la
valeur de toutes les grandeurs dans chaque état. Un des intérêts de ce type
de diagramme est qu’on peut facilement calculer une adiabatique réversible
puisque son entropie étant constante, elle sera représentée par un segment de
droite verticale.
Diagramme de Mollier (h, s)
Les coordonnées de ce diagramme sont l’entropie massique pour l’abscisse
et l’enthalpie massique pour l’ordonnée. On le préfère généralement au diagramme entropique pour les calculs sur les cycles de machines à vapeur car
il permet de lire directement la valeur de l’enthalpie sur l’axe des ordonnées.
Or c’est celle-ci qui est nécessaire dans le cas des machines où le fluide est
en écoulement (voir chap 5). On voit ici aussi une courbe de saturation mais
contrairement au cas précédent, le point critique n’est pas situé au sommet
de la courbe. Sur la figure ci-contre, seule la courbe de rosée est apparente.
Le point critique ainsi que la courbe d’ébullition se situeraient à gauche en
dehors du graphique. La raison pour laquelle le liquide n’est pas représenté
est que c’est surtout la vapeur qui nous intéresse ici. Dans les installations
à vapeur, le liquide est souvent proche de la saturation et des simples tables
de saturation suffiront. La région au dessus de la courbe représente l’état de
vapeur surchauffée et dans cette région on trace généralement les isothermes
et les isobares.
Les points situés sous la courbe représentent les mélanges liquide vapeur.
Les paliers de liquéfaction sont ici des droites obliques dont la pente est égale
8
CHAPITRE 6. LES FLUIDES RÉELS
Figure 6.8 – Diagramme de Mollier
à la température absolue. En effet, la pente est égale à
aussi habituellement les courbes isotitres .
∆H
∆S
= T . On trace
Le diagramme enthalpique (P, h)
Ce diagramme est principalement utilisé par les frigoristes pour les machines frigorifiques ainsi que les pompes à chaleur.
L’abscisse est ici l’enthalpie massique tandis que l’ordonnée est la pression
souvent représentée sur une échelle logarithmique. Ici encore, on observe une
courbe de saturation, liquide à gauche et vapeur à droite avec un point critique au sommet. (En général, le point critique est en dehors du dessin car la
zone de travail se situe généralement au dessous). Les paliers de changement
d’état (isobares et isothermes à la fois ) sont de nouveau des horizontales.
De la même manière que précédemment, on trace :
– Dans la région correspondant à la phase vapeur (à droite), les isothermes ainsi que les isentropes ou courbes isentropiques c’est à dire
les courbes pour lesquelles l’entropie reste constante.
– Dans la région correspondant aux mélanges liquide-vapeur, les lignes
isotitres.
– Dans la région correspondant au liquide, les isobares ne sont pas tra-
6.3. DIAGRAMMES THERMODYNAMIQUES
9
Figure 6.9 – Diagramme enthalpique
cées compte tenu du fait qu’on sait qu’elles sont pratiquement verticales. (Du fait de l’incompressibilité du liquide, l’enthalpie est très peu
sensible à la pression)
6.3.1
Les tables de vapeur
La précision de la lecture sur les diagrammes est souvent insuffisante et
on a souvent recours à des tables dans lesquelles on peut trouver les valeurs
des différentes grandeurs en fonction des pressions et des températures.
Il existe deux types de tables. Les tables de saturation donnent les valeurs
correspondant au liquide saturé et à la vapeur saturée. Dans ce cas seule la
donnée de la pression ou de la température suffit à déterminer l’état du
système.On aura donc un tableau à simple entrée (température ou pression).
En revanche, pour la vapeur surchauffée, il est nécessaire de donner la pression
et la température pour définir l’état du système. On aura donc un tableau à
double entrée.
Tables de saturation
Elles donnent généralement sur une ligne toutes les grandeurs correspondant au liquide saturé et à la vapeur saturée pour une même température
(ou pression). On trouve généralement le volume massique (et quelquefois la
masse volumique), l’enthalpie massique et l’entropie pour chacune des deux
10
CHAPITRE 6. LES FLUIDES RÉELS
phases. La chaleur latente de vaporisation est donnée dans certains cas mais
c’est peu utile car elle est facilement calculée comme la différence d’enthalpie
entre la vapeur et le liquide. Dans certains cas, on donne deux tableaux séparés, un pour le liquide et l’autre pour la vapeur. D’autres grandeurs physiques
telles que la tension superficielle ou la vitesse du son dans le fluide peuvent
figurer dans certaines tables mais nous n’en ferons pas usage ici.
Attention, Les valeurs figurant dans deux tables différentes peuvent ne
pas coïncider car pour des grandeurs telles que l’enthalpie et l’entropie, il est
nécessaire de fixer un point de référence. Seules les variations d’enthalpie et
d’entropie sont significatives. En pratique, il faut faire les calculs en utilisant
la même table ou vérifier que les points de référence sont les mêmes si on
utilise deux tables différentes.
Tables de la vapeur surchauffée.
Elles se présentent généralement sous la forme d’un tableau à double entrée. Dans le cas des tables de la vapeur d’eau qui vous ont été distribuées, à
l’intersection entre la ligne correspondant à la pression et à la colonne correspondant à la température, on trouve une case dans laquelle sont indiquées les
valeurs du volume massique, de l’enthalpie massique et de l’entropie massique
pour l’état considéré. Bien entendu, pour une pression donnée, ne figurent
que des températures supérieures à la température de saturation (qui dépend
de la pression) car pour des températures inférieures, le fluide n’est pas une
vapeur.
On trouve aussi quelquefois des données représentées sous la forme d’isothermes. On a alors un tableau pour chaque valeur de la température, chaque
ligne du tableau correspondant à une pression.
Ou trouver des données thermodynamiques :
En dehors des documents que je vous distribuerai, vous pouvez trouver un
grand nombre de données pour une très grande variété de molécules sur le site
internet WEBBOOK à l’adresse : http://webbook.nist.gov/chemistry/
Ce site est réalisé par le NIST (National Institute of Standards and Technology). Il faut pratiquer un peu l’anglais pour l’utiliser. Je ne connais pas
d’équivalent en Français. (Depuis quelques temps, l’interface est traduite en
français mais certaines parties du site restent en anglais). Pour certaines substances, vous pourrez aussi utiliser les données présentes dans les logiciels que
j’ai mis à votre disposition tels que Cyclepad ou Thermoptim. Solkane est
spécialisé dans les fluides frigorigènes (applications frigorifiques).
Chapitre 7
Les cycles à turbine à vapeur :
7.1
Introduction
Il ne faut pas croire que la machine à vapeur est une technologie dépassée. Certes, on ne voit plus dans nos campagnes de trains à vapeur ni sur
les fleuves américains de ces bateaux à vapeur qui font le charme de certains
films mais les cycles utilisant la vapeur sont encore d’actualité car une grande
partie de la production d’électricité est basée sur cette technique. En effet, les
centrales thermiques comme les centrales nucléaires ne sont rien d’autres que
d’immenses machines à vapeur, que la chaleur soit apportée par la fission de
l’uranium, ou par la combustion de charbon, de pétrole ou de gaz, le principe
général de ces centrales reste le même. C’est ce principe que nous allons examiner dans ce chapitre. Un film réalisé par EDF détaillant le fonctionnement
d’une centrale nucléaire vous sera projeté. On se concentrera en particulier
sur le passage qui décrit le fonctionnement de la boucle secondaire qui est
l’objet de notre étude.
7.1.1
Les installations industrielles à vapeur
Ces installations sont en général constituées :
– D’une chaudière permettant de produire de la vapeur à haute température et à haute pression
– D’une turbine où la vapeur vient se détendre en cédant une partie
de son énergie sous forme de travail. Le travail ainsi récupéré sur un
arbre moteur est transmis aux alternateurs de manière à le convertir en
énergie électrique. D’un condenseur où la vapeur est ramenée à l’état
liquide à basse pression et basse température. A l’origine, les premières
machines à vapeur ne possédaient pas de condenseur et la vapeur détendue était rejetée directement dans l’atmosphère ce qui donnait ces
11
12
CHAPITRE 7. TURBINE À VAPEUR :
Figure 7.1 – Schéma de principe d’une machine à vapeur
jolis panaches de fumées blanches. L’idée du condenseur est due à Rankine qui donnera son nom au cycle thermodynamique décrit plus bas.
L’intérêt du condenseur est de permettre une détente jusqu’à une pression inférieure à la pression atmosphérique ce qui augmente le travail
récupéré
– D’une pompe refoulant le liquide condensé dans la chaudière pour que
le cycle puisse recommencer.
L’eau circulant dans l’installation va décrire le cycle ABCDE représenté sur
la figure ci contre.
Le point D et le point E sont très proches sur le diagramme car la pompe
ne fait qu’augmenter la pression en fournissant un travail négligeable par
rapport aux autres échanges d’énergie en jeu. En pratique, on ne considère
que le cycle ABCD nommé cycle de Rankine.
Détaillons un peu :
– point A liquide saturé, haute pression haute température. C’est l’état
de l’eau juste au point où elle va être vaporisée.
– AB vaporisation dans la chaudière
– Point B : Vapeur saturée, haute pression haute température
– BC Détente de la vapeur. On la considère généralement comme adiabatique et réversible. Si la vapeur entrante est saturée, le diagramme
nous montre que la vapeur doit être partiellement liquéfiée à la sortie.
– Point C vapeur détendue, ici c’est un mélange liquide vapeur conte-
7.1. INTRODUCTION
Figure 7.2 – Cycle de Rankine (diagramme entropique)
Figure 7.3 – cycle de Rankine (diagramme de Mollier)
13
14
CHAPITRE 7. TURBINE À VAPEUR :
–
–
–
–
–
nant une grande proportion de vapeur, le tout à basse pression et à
basse température.
CD Condensation de la vapeur. La vapeur est transformée en liquide.
Ce processus doit dégager de la chaleur. Le condenseur est généralement
un échangeur de chaleur dans lequel un courant d’eau froide constituant
un circuit distinct vient prendre la chaleur dégagée par la condensation
pour l’évacuer dans le milieu ambiant.
Point D liquide saturé froid à basse pression qui sera réinjecté dans la
chaudière par l’intermédiaire de la pompe.
DE Passage du liquide à travers la pompe. Ce processus nécessite peu
d’énergie en comparaison des autres quantités d’énergie échangées. En
effet, l’apport de chaleur est quasi nul dans cet appareil et l’apport de
travail est trop faible (du fait de la très faible compressibilité du liquide)
pour que la température varie de manière sensible. Dans la pratique,
on néglige purement et simplement cette étape en assimilant le point
E au point D.
point E Le liquide comprimé mais à basse température introduit dans
la chaudière.
EA (ou DA) Le liquide se réchauffe dans la chaudière en passant de
l’entrée jusqu’à l’endroit où il sera vaporisé soit en formant une bulle,
soit en s’évaporant à la surface.
7.1.2
Calculs d’énergie
On a ici un fluide (l’eau) s’écoulant à travers les divers organes de la
machine. Pour les calculs énergétiques, on aura donc recours à la forme du
premier principe développée pour les écoulements stationnaires dans le chapitre 5.
Travail récupéré au niveau de la turbine.
Pour le passage dans la turbine, c’est à dire pour l’évolution BC, on a :
VC2 VB2
−
= wu + q
2
2
La détente dans la turbine sera supposée adiabatique et réversible (donc
isentropique) et la variation d’énergie cinétique est négligée. Il reste donc :
hC − hB +
wu = hC − hB
Remarquons que ce travail massique utile est négatif, ce qui est bien conforme
à ce qui est attendu puisqu’il agit d’un travail perdu pour la vapeur et donc
15
7.1. INTRODUCTION
gagné par le milieu extérieur c’est à dire ici l’alternateur.
La puissance sera alors donnée par Ẇ = ṁwu = ṁ(hC − hB ) où ṁ est le
débit de vapeur traversant la machine.
Chaleur fournie par la chaudière
De la même manière que précédemment, on écrit
VB2 VE2
−
= wu + q
2
2
Cette fois ci, c’est le travail utile qui est nul dans la chaudière. De même, la
variation d’énergie cinétique est négligeable et il reste :
hB − hE +
q = hB − hE ' hB − hD
La puissance calorifique reçue par l’eau dans la chaudière est alors :
Q̇ = ṁq = ṁ(hB − hD )
rendement par rapport à l’isentropique dans la turbine :
Pour une comparer une détente adiabatique réelle (non réversible) à une
détente idéale (réversible donc isentropique), prise comme référence, on dér
finit le rendement par rapport à l’isentropique, comme le rapport ρs = w
ws
où wr est le travail récupéré au cours de la détente réelle et ws est le travail qu’aurait produit une détente isentropique avec les mêmes conditions
de départ et la même pression finale. Par définition ce rendement est forcément inférieur à 1 car c’est l’isentrope qui donne le travail maximal pour une
pression finale donnée. Ceci peut être montré facilement. (voir exercices).
Note
Le terme de rendement est assez mal choisi et peut prêter à confusion car
il ne s’agit pas ici d’une conversion d’énergie mais c’est le terme consacré et
nous nous conformerons à l’usage.
7.1.3
Cycle de Hirn (Surchauffe de la vapeur)
Inconvénient du cycle de Rankine décrit précédemment :
La vapeur sortant de la chaudière étant saturée, on trouvera à la sortie de
la turbine un mélange liquide-vapeur comme on peut le voir sur le diagramme.
Une partie de la vapeur se condense au cours de la détente. Les gouttelettes
de liquide formées sont fortement accélérées à l’intérieur de la turbine, ce
16
CHAPITRE 7. TURBINE À VAPEUR :
Figure 7.4 – Circuit vapeur avec surchauffeur
qui a tendance à détériorer les pales de la turbine et à limiter le temps de
fonctionnement de ces appareils.
Solution :
Si l’on veut remédier à ce problème, on doit faire en sorte que
le fluide sortant de la turbine soit
de la vapeur surchauffée. La solution consiste à séparer la vapeur du
liquide en sortie de chaudière et à
la surchauffer. On intercale entre la
sortie de la chaudière et l’entrée de la
turbine un surchauffeur dans lequel
la vapeur n’étant plus en contact
avec le liquide peut être chauffée
jusqu’à une température plus élevée
alors que la pression restera sensibleFigure 7.5 – cycle de Hirn (dia- ment constante.
gramme entropique)
On peut ainsi, limiter voire supprimer, si l’on mène la surchauffe assez loin, la condensation dans la turbine.
7.1. INTRODUCTION
17
Figure 7.6 – Cycle de Hirn (diagramme de Mollier)
Un autre avantage de la surchauffe est que le travail récupéré dans la turbine sera plus important ce qui dans certains cas peut améliorer le rendement.
En effet, on voit bien sur le diagramme que la variation d’enthalpie dans la
turbine est plus importante avec une surchauffe pour une même baisse de
pression.
Calcul du rendement :
Pour le calcul du rendement, il y a lieu de tenir compte de la chaleur reçue
par la vapeur dans le surchauffeur. La quantité de chaleur apportée par la
source chaude sera alors : qc = qchaudière + qsurchauffe = hB − hD + h0B − hB =
h0B − hD
7.1.4
Détente étagée (cycle avec resurchauffeur)
Il peut être avantageux d’utiliser une turbine à deux corps. Les deux
corps de turbine sont généralement couplés sur le même axe ce qui permet
de récupérer toute la puissance mécanique sur un seul arbre moteur. La
vapeur se détend une première fois dans le premier corps jusqu’à une pression
intermédiaire. La vapeur sortant du premier corps est alors resurchauffée à
cette pression intermédiaire puis est dirigée vers le deuxième corps de turbine
où elle est détendue jusqu’à la pression finale.
Les avantages d’une telle installation, sont les suivants.
– Il est plus facile de cette façon d’obtenir un point final dans la zone de
vapeur surchauffée ce qui garantit la longévité de la turbine.
– D’autre part, le travail récupéré est plus important, ce qui augmente
la puissance récupérée pour le même débit de vapeur.
– Ces avantages sont obtenus au prix d’une plus grande complexité de
l’installation et d’un prix plus élevé.
18
CHAPITRE 7. TURBINE À VAPEUR :
Figure 7.7 – Circuit avec resurchauffeur
Figure 7.8 – Cycle de Hirn avec re-surchauffe (diagramme entropique)
7.1. INTRODUCTION
19
Figure 7.9 – Cycle de Hirn avec re-surchauffe (diagramme de Mollier)
7.1.5
Turbine à contre-pression
Le rendement peut être amélioré dans certains cas. Généralement, les
turbines à vapeur fonctionnent avec une pression de condensation très faible
( environ 0,1 bar) ce qui permet de récupérer plus de travail. (voir plus
haut : utilité du condenseur). Mais dans ce cas, la chaleur récupérée au
niveau condenseur est généralement inutilisable car la température de sortie
de l’eau de refroidissement est alors trop basse (inférieure à 50°C). Dans
un grand nombre de cas, la chaleur de condensation est simplement rejetée
dans le milieu extérieur ( voir par exemple les tours de refroidissement qui
accompagnent souvent les centrales nucléaires.), ce qui représente un gâchis
important du point de vue énergétique.
Dans les turbines à contre-pression, la détente est arrêtée à une pression
supérieure (donc T supérieure) ce qui limite la quantité de travail récupérée
( hC − hB ) mais alors la quantité de chaleur rejetée au condenseur ( hD −
h00C )peut être utilisée par exemple pour chauffer des locaux ou des serres. Par
exemple, si la détente est arrêtée à 1 bar, la température de condensation est
de 100°C ce qui permet de distribuer de l’eau chaude à 90°C. Les quantités
de chaleur ainsi récupérées peuvent être considérables.
7.1.6
Cycle à soutirage (ou à prélèvement)
Dans certaines installations, on réalise une détente étagée comme cidessus pour le cycle à resurchauffe mais, ici une partie du flux de vapeur issu
du premier corps de turbine est dérivé vers un mélangeur opérant à la pression
intermédiaire, mélangeur dans lequel cette vapeur prélevée est mélangée au
20
CHAPITRE 7. TURBINE À VAPEUR :
Figure 7.10 – Installation à soutirage
flux de liquide ṁ2 provenant du condenseur. La vapeur se condense au contact
du liquide froid provenant du condenseur, ce qui a pour effet de préchauffer ce
liquide.
Le flux de vapeur soutiré ṁ1 est calculé de telle sorte que la température finale du liquide soit précisément la température de saturation
correspondant à la pression intermédiaire. On obtient donc en sortie
du mélangeur un liquide saturé à la
pression intermédiaire (et à la température intermédiaire) qui est ensuite injecté dans la chaudière. Le
flux total de vapeur ṁ = ṁ1 + ṁ2 est
ainsi reconstitué. L’intérêt de ce type
d’installation ne saute pas aux yeux.
Figure 7.11 – Cycle à soutirage (dia- Pourtant, un tel dispositif permet
gramme entropique)
d’augmenter sensiblement le rendement. En effet, grâce à la chaleur de
condensation du flux prélevé qui est récupérée pour préchauffer l’eau sortant du condenseur, les irréversibilités dues au chauffage de cette eau sont
7.1. INTRODUCTION
21
Figure 7.12 – Cycle à soutirage (diagramme de Mollier)
réduites. L’étude d’un tel cycle est assez complexe et sera éventuellement vue
en exercice ou avec un logiciel de simulation.
22
CHAPITRE 7. TURBINE À VAPEUR :
Chapitre 8
Transferts thermiques
8.1
8.1.1
Introduction.
Flux de chaleur
Les transferts de chaleur jouent un rôle important dans un grand nombre
de situations physiques et dans un nombre important d’applications industrielles. Nous allons nous intéresser dans ce cours aux mécanismes du transfert de chaleur plutôt qu’aux relations entre ces transferts de chaleur et les
états de la matiére ou avec les autres formes d’énergie. Cet aspect et notamment les relations avec l’énergie mécanique seront examinés dans le cours de
thermodynamique qui vous sera dispensé en deuxième année.
Le présent cours se limite donc à l’étude des différents modes de transfert
de chaleur. C’est à dire que nous allons examiner comment la chaleur se
propage entre deux objets matériels.
Pour commencer, nous devons donner une définition succincte de la notion
de chaleur.
Chaleur : Nous appellerons chaleur une quantité d’énergie qui passe d’un
corps à un autre sous l’effet d’une différence de température. L’expérience montre en effet que la mise en contact d’un corps chaud ( de
température élevée) avec un corps plus froid ( de température plus
basse) provoque une évolution au cours de laquelle la température du
corps chaud baisse tandis que la température du corps froid augmente.
L’interprêtation d’une telle expérience est que le corps chaud a cédé
une partie de son énergie au corps froid. C’est ce type d’énergie que
nous appellerons chaleur.
Unités : Il résulte de cette définition que les unités de mesure de la chaleur
seront les unités d’énergie usuelles. En particulier dans le système S.I.,
23
24
CHAPITRE 8. TRANSFERTS THERMIQUES
cette unité est le Joule ( Symbole : J ).
Remarque : Il est utile de noter ici la corespondance avec les anciennes
unités telle la calorie : 1 cal = 4, 18 J
Remarque : On a longtemps considéré que la chaleur était une sorte de
fluide (parfois nommé phlogistique) qui s’écoulait entre les corps chauds
et froids et par conséquent se conservait. Le développement de la thermodynamique a montré que cette idée était fausse quand d’autre types
d’énergies intervenaient en particulier l’énergie mécanique. Ceci a mené
à l’idée d’une conservation de l’énergie en général qui correspond mieux
à l’expérience. Nous reviendrons sur cet aspect dans le cours de Thermodynamique de deuxième année.
Les énoncés précédents montrent qu’il ne faut pas confondre les notions de
chaleur et de température. Bien que dans le langage courant, ces deux mots
soient souvent considérés comme équivalents, en physique, il y a lieu de faire
une distinction.
La température est un paramètre physique attaché à l’état d’un système.
On sait aujourd’hui que la température est une traduction au niveau macroscopique de l’agitation qui a lieu au niveau microscopique (à l’échelle des
atomes et des molécules). Plus précisément, la température est une indication du niveau moyen d’énergie cinétique des particules qui constituent la
matière. D’un point de vue pratique, on peut classer les différentes températures du plus froid au plus chaud en définissant une échelle de températures.
L’échelle de temperature la plus courante est l’échelle Celsius pour laquelle
la température est fixée à 0°C pour la glace fondante et à 100°C pour l’eau
bouillante sous pression atmosphérique.
Flux de chaleur : On appellera flux de chaleur la quantité de chaleur pasant à travers une surface (ou d’un corps à un autre) par unité de
temps. Si l’on note Q la quantité de chaleur déjà passée au temps t, le
flux de chaleur peut s’écrire :
φ=
dQ
dt
Régime permanent : On dira qu’on a atteint un régime permanent lorsque
les variables (c’est à dire ici les températures) ne dépendent plus du
temps. On dira au contraire qu’on a un régime transitoire lorsque les
variables dépendent du temps. Nous nous limiterons ici au régime permanent.
8.1. INTRODUCTION.
8.1.2
25
Trois modes de transfert :
On distingue généralement trois modes de transfert de chaleur correspondant à des mécanusmes différents :
Conduction
Le transfert par conduction est un transfert de chaleur par contact matériel. La chaleur se transmet par exemple à travers un solide entre un point
chaud et un point froid.
Exemple : Si on trempe dans l’eau bouillante une cuiller en metal, on
se brûle en touchant le bout extérieur. La chaleur est passée à travers le
métal entre le bout imergé (qui est à une température proche de 100o C) et
l’autre bout qui est à une température inférieure. On dit que la chaleur a été
conduite par le métal. Les métaux son généralement de bons conducteurs de
la chaleur. La même expérience avec une cuiller en bois vous évite de vous
brûler car la chaleur passe plus difficilement dans le bois. On dit que le bois
est un isolant.
Remarque : On explique ce phénomène par un échange d’énergie entre
les atomes ou molécules constituant le matériau qui sont proches les uns des
autres. La chaleur se propage ainsi de proche en proche.
Convection
Lorsqu’on a affaire à un fluide, si celui-ci est immobile, le phénomène de
conduction a lieu de manière similaire. Mais ce n’est généralement pas le cas
et les mouvements du fluide étant généralement assez rapides par rapport aux
échanges de chaleur. Lorsque le fluide est en contact avec une surface chaude
par exemple, il emporte de l’énergie dans son mouvement ce qui accélère les
échanges de chaleur.
Exemple : Lorsqu’on souffle sur un objet chaud pour le refroidir, on utilise
la convection pour augmenter les échanges de chaleur
On distingue généralement deux types de convections :
– La convection forcée lorsque le mouvement du fluide est provoqué
par une cause extérieure (par exemple un ventilateur)
– La convection naturelle lorsque le mouvement du fluide est provoqué
par les différences de température.
Exemples de convections naturelles :
Un convecteur (on voit bien d’où vient son nom) électrique est un appreil
de chauffage présentant une surface chaude et verticale . L’air qui se réchauffe
à son contact voit sa densité diminuer, ce qui le fait se déplacer vers le
haut. de l’air froid vient le remplacer ce qui entretient le mouvement. Faîtes
26
CHAPITRE 8. TRANSFERTS THERMIQUES
l’expérience : Placez votre main au dessus d’un convecteur en fonctionnement
vous sentirez nettement un courant d’air bien qu’il n’y ait aucun ventilateur.
A une plus grande échelle, ce sont des phénomènes de ce type qui sont
responsable de l’existence des vents sur la planète terre.
Le Rayonnement :
Ce mode de transfert de chaleur n’a pas besoin du support de la matière
et peut s’effectuer à travers le vide. En effet, il s’agit d’un transport d’énergie
sous la forme d’ondes électromagnétiques. C’est à dire d’ondes de la même
nature que la lumière.
Exemples :
La lumière et la chaleur du soleil nous parviennent à travers le vide sidéral
La chaleur qu’on ressent en nous approchant des braises laissées par un
feu nous parvient sous la forme de rayonnement. L’air est transparent pour
le rayonnement.
8.2
Conduction en régime permanent
Nous nous limiterons essentiellement à une dimension.
8.2.1
Conduction à travers une paroi plane en régime
permanent.
Considérons une paroi plane constituée d’un matériau homogène et séparant deux milieux de températures différentes mais maintenues constantes
dans le temps. Du fait de la différence de températures, un flux de chaleur va
traverser cette paroi. L’expérience montre que ce flux est proportionnel à la
surface et à la différence de températures entre les deux surfaces. De même,
le flux est inversement proportionnel à l’épaisseur de la paroi ce qui donne
une formule du type :
λS (Tse − Tsi )
φ=
e
où S est la surface, e l’épaisseur et lambda un facteur de proportionnalité
dont on donnera une interprêtation plus loin.
ou encore ϕ = λe ∆T après avoir défini le flux surfacique : ϕ = Sφ
Loi de Fourier à une dimension :
27
8.2. CONDUCTION EN RÉGIME PERMANENT
T+dT
T
Tsi
Tse
intérieur
intérieur
extérieur
extérieur
x
x
e
x+dx
Figure 8.1 – Loi de Fourier
En examinant ce qui se passe entre deux plans infiniments voisins dans
la paroi (voir figure 8.1), on peut écrire :
ϕ = −λ
dT
dx
ceci est la loi de Fourier pour le cas où la chaleur se propage dans une seule
direction celle de l’axe ox.
Remarque : le signe - indique que la chaleur se déplace ves les températures décroissantes. (On compte le flux positivement dans le sens de la
direction ox)
Remarque : Dans le cas où la chaleur se propage dans toutes les directions,
la loi de Fourier s’écrit à l’aide des 3 dimensions d’espace (x,y,z) et doit faire
intervenir des fonctions à plusieurs variables. La solution de tels problèmes
est beaucoup plus complexe et on a aujourd’hui recours à des programmes
informatiques pour réaliser les calculs numériquement. (ce cas ne sera pas
traité ici)
La constante λ apparaît comme une caractéristique du matériau indiquant
avec quelle “vitesse” le matériau est traversé par la chaleur. On appelle ce
paramètre la conductivité thermique. Les grandes valeurs de λ correspondent
à un matériau qui laisse passer la chaleur. On dit d’un tel matériau qu’il est
conducteur. En revanche, une faible valeur de λ correspond à un matériau ne
laissant pas passer la chaleur facilement dont on dira alors qu’il est isolant.
Remarque : dans certains ouvrages, λ est nommée conductibilité et est
quelquefois notée par la lettre k.
28
CHAPITRE 8. TRANSFERTS THERMIQUES
Question : Quelle doit être l’unité de cette grandeur dans le système S.I.
Réponse : En exprimant λ en fonction des autres grandeurs physiques :
λ=
φe
S∆T
on peut déduire l’unité de conductivité thermique soit : W m−1 K −1
Vous trouverez dans le tableau ci-dessous quelques exemples de valeurs
de la conductivité pour différents matériaux conducteurs et isolants. Notez
bien les ordres de grandeur.
Matériau
conductivité en W m−1 K −1
conducteurs
diamant
Argent pur
Cuivre pur
or pur
Aluminium pur
Duralumin
fer pur
550.0
417.1
386
297.7
229
164
83.5
isolants
mousse de polyuréthane
Teflon (PTFE)
0.026
0.24
autres
eau
glace
verre
0.603
2.2
1.13
Remarque : Lorsqu’on doit traiter un problème de conduction thermique
(ou d’isolation), le plus difficile est souvent de trouver des valeurs réalistes de
la conductivité thermique. On pourra en trouver dans les ouvrages cités en
référence ou encore dans certaines bases de données disponible sur Internet
telles que :
– http :// srdata.nist.gov/insulation/
Ce lien pointe sur une base de donnée du NIST (National Institute
of standards and Technology) dédiée aux propriétés des isolants thermiques.
8.2. CONDUCTION EN RÉGIME PERMANENT
29
T
x
x=e
x=0
épaisseur
e
Figure 8.2 – Profil linéaire de températures
– http ://www.apo.nmsu.edu/Telescopes/SDSS/eng.papers/
19950926_ConversionFactors/19950926_MProperties.html
Ce lien donne les valeurs de différentes propriétés pour un petit nombre
de matériaux.
8.2.2
Régime permanent.
En régime permanent, le flux traversant chaque tranche de la paroi est le
même. On a donc :ϕ = constante ce qui implique :
dT
= cte
dx
On a donc un profil de température linéaire comme sur la figure 8.2
8.2.3
Interface avec un fluide : loi de Newton
Les températures utilisées ci- dessus sont celles du matériau et à la limite
celles de sa surface. Mais que se passe-t-il à l’interface entre le matériau et
le fluide avec lequel il est en contact. Généralement la température du fluide
est différente de celle de la paroi et il y a donc un échange de chaleur. On
considère généralement que le flux de chaleur entre la paroi et le fluide est
proportionnel à la surface et à la différence de températures ce qui donne la
loi de Newton :
φ = h S ∆T
30
CHAPITRE 8. TRANSFERTS THERMIQUES
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
Ts
Φ
Tf
Figure 8.3 – Convection
où h est appelé coefficient d’échange de chaleur par convection. Ce coefficient dépend généralement d’un grand nombre de paramètres caractérisant
les conditions de l’échange comme par exemple la vitesse d’écoulement du
fluide. L’essentiel des problèmes de convection consiste à évaluer ce coefficient.
Généralement, h est
– soit mesuré expérimentalement
– soit évalué grâce à une corrélation établie par des études antérieures
(voir chapitre convection)
Le coefficient de convection sera donné dans la plupart des problèmes envisagés ici.
Note :∆T est la différence de température entre la surface du matériau
et la masse du fluide (assez loin de la paroi pour que celle-ci n’ait pas d’influence sur le fluide). On ne précise pas le signe de ∆T car tout dépend des
conventions sur le flux.
Pour fixer les idées on peut par exemple décider de compter positivement
le flux sortant du matériau on aura alors :
∆T = Ts − Tf
où Ts est la température de surface du matériau et Tf la température du
31
8.3. NOTION DE RÉSISTANCE THERMIQUE
T1
T2
Ti
T3
λ1
λ2
e1
e2
Te
Φ
(a) essai
Figure 8.4 – mur composite
fluide loin de la surface.
8.3
8.3.1
Notion de résistance thermique
Géométrie plane mur composite
Résistance de conduction
Considérons un mur composé de plusieurs couches de différents matériaux
et de différentes épaisseurs. Si l’on est en régime permanent, le flux traversant
les différentes couches est le même. (Sinon, la température devrait varier dans
une couche ou le flux entrant est différent du flux sortant.
Prenons l’exemple de la figure 8.4. Le flux traversant la première couche
s’écrira :φ = λe11S (T2 − T1 )
De même à travers la deuxième couche : φ = − λe22S (T3 − T2 )
On peut alors remarquer que la différence de température totale s’écrit :
e2
e1
T3 − T1 = T3 − T2 + T2 − T1 = −φ(
+
)
λ2 S2 λ1 S1
e
On appelle alors le terme RT = λS
résistance thermique de conduction à
travers la couche considérée.
32
CHAPITRE 8. TRANSFERTS THERMIQUES
On écrira alors en faisant abstraction du signe :
∆T = φ(RT 1 + RT 2 )
L’interprêtation de la formule précédente est la suivante : Les deux résistances thermiques représentent la résistance opposée par chaque couche au
passage de la chaleur. Dans le cas présent, les deux résistances thermiques
s’ajoutent pour former une résistance globale des deux couches au passage
de la chaleur.
Il est quelquefois utile de définir une résistance thermique par unité de
surface qu’on notera R̄T .
On aura donc dans ce cas :
R̄T =
e
λ
Résistance de convection
A la surface du mur on utilisera la loi de Newton pour calculer le flux :
φ = hS∆T
De la même manière, on peut introduire une résistance thermique de
convection définie par :
1
RT =
hS
Revenons à la figure 8.4. On peut écrire :
Te − Ti = Te − T3 + T3 − T2 + T2 − T1 + T1 − Ti
soit
Te − Ti = −φ(
1
e2
e1
1
+
+
+
)
he S λ2 S2 λ1 S1 hi S
ici encore, la résistance thermique globale est la somme des résistances thermiques.
Résistance de contact
Il arrive que lorsque deux solides sont en contact, le contact ne soit pas
parfait. On observe alors en régime permanent un saut de température entre
les deux faces en contact. Ce saut de température peut être attribué à une
résistance de contact Rc . On écrit alors : ∆T = Rc φ où ∆T est la différence
de température entre les deux faces.
8.3. NOTION DE RÉSISTANCE THERMIQUE
33
λ
r+dr
re
r
ri
r
Φ
Figure 8.5 – géométrie cylindrique
8.3.2
Géométrie cylindrique
Nous avons défini au paragraphe précédent une résistance thermique pour
lae cas d’un mur plan. Lorsqu’on a affaire à un problème où la géométrie est
cylindrique (ce qui est souvent le cas lorsqu’on a des tuyaux), l’expression
des résistances thermiques sera différente.
Résistance de conduction
Considérons un tube tel que celui représenté sur la figure 8.5 . Pour calculer le flux de chaleur passant de l’intérieur du tube vers l’extérieur, on va
revenir à la loi de Fourier. Le tube est représenté en coupe sur la figure 8.5
et on va considérer le flux passant entre deux surfaces cylindriques de rayons
r et r+dr. Lorsqu’on est en régime permanent et pour les mêmes raisons que
ci-dessus, le flux de chaleur entrant dans la masse du tuyau est le même que
le flux sortant. On peut même ajouter que le flux sera le même à travers
n’importe quelle surface cylindrique de rayon r dans la masse du tuyau. Le
flux s’écrit :
dT
dT
= −λl(2πr)
φ = −λS
dr
dr
où l est la longueur du tube. Le flux étant constant, on a là une équation
différentielle très simple qui se résout aisément par intégration après avoir
34
CHAPITRE 8. TRANSFERTS THERMIQUES
séparé les variables :
ˆ
Te
Ti
φ
dT = −
2πλl
ˆ
re
ri
dr
r
ce qui donne :
Te − Ti = −
φ
re
ln
2πλl ri
On en déduit immédiatement l’expression de la résistance thermique par
conduction dans cette géomérie :
RT =
1
re
ln
2πλl ri
S’il y a plusieurs couches cylindriques, les résistances thermique s’additionneront comme dans le cas précédent.
note :
On peut aussi définir une résistance thermique par unité de longueur dont
l’expression sera évidemment :
R̄T =
re
1
ln
2πλ ri
Résistance thermique de convection
Dans le cas du tube présenté sur la figure 8.5, il existe aussi une résistance de convection sur la face intérieure du tube de même qu’à la surface
extérieure. De même que précédemment, la loi de Newton conduit immédiatement à
1
1
=
RT =
hS
2πrlh
R̄T =
8.3.3
1
2πrh
Géométrie sphérique
Ce cas pourra être traité à titre d’exercice de manière similaire.
35
8.3. NOTION DE RÉSISTANCE THERMIQUE
λ1
Φ1
Te
Ti
he
hi
Φ2
λ2
Figure 8.6 – Résistances en parallèle
8.3.4
Résistances en parallèle
Imaginons une paroi constituée de deux pans différents constitués de deux
matériaux différents et d’épaisseurs différentes comme indiqué sur la figure
8.6. Si l’on calcule séparément les deux flux traversant chacun des deux pans
de paroi, on est amené à définir deux résistances thermiques distinctes :
1
e1
1
+
+
hi λ1 he
RT1
1
=
S1
1
e2
1
+
+
hi λ2 he
RT2
1
=
S2
Le Flux total passant à travers l’ensemble de la paroi peut alors s’écrire :
φ = φ1 + φ2 = δT
1
1
+
RT1 RT2
On peut alors définir une résistance thermique équivalente RT telle que :
1
1
1
=
+
RT
RT1 RT2
36
8.3.5
CHAPITRE 8. TRANSFERTS THERMIQUES
Coefficients de transferts globaux
Lorsqu’on traite le cas d’un bâtiment, on est quelquefois amené à définir
un coefficient de transfert global K moyen pour la surface de murs. On peut
alors écrire :
φ = KS∆T
où S est la surface totale de mur séparant l’intérieur de l’extérieur et ∆T la
différence de température entre l’intérieur et l’extérieur.
On définit aussi quelquefois un coefficient par unité de volume G. On écrit
alors
φ = GV ∆T
où V est le volume du bâtiment.
8.4
Analogie électrique
Une analogie est une correspondance entre deux phénomènes physiques
distincts gouvernés par des lois semblables. Nous allons établir ici une analogie entre les phénomènes thermiques et électriques. Nous nous limiterons
ici aux résistances thermiques de convection et de conduction en régime permanent. En réalité l’analogie peut être poussée plus loin. La correspondance
est donnée dans le tableau ci-dessous :
Thermique
T
∆T
φ
∆T = RT φ
RT = RT1 + RT2
1
= R1T + R1T
RT
1
Température
Différence de température
Flux de chaleur
2
électrique
V
U = ∆V
I
U = RI
R = R1 + R2
1
= R11 + R12
R1
Potentiel électrique
Tension ou différence de potentie
Intensité du courant
Loi d’Ohm
Résistances en série
Résistances en parallèle
Utilisation en pratique
En pratique pour utiliser cette analogie, on réalise un circuit électrique
équivalent au problème thermique en disposant des résistances électriques
dont les valeurs sont proportionnelles aux résistances thermiques. On impose
ensuite une tension connue aux bornes du circuit correspondant aux points
8.4. ANALOGIE ÉLECTRIQUE
37
où la température est connue. Les courants s’établissant dans les différentes
branches du circuit doivent alors être proportionnels aux flux de chaleur
correspondants dans le problème thermique.
Par exemple, supposons qu’on construise un circuit électrique pour lequel
les valeurs des résistances sont déterminées par R = αRT on prendra par
exemple α = 1000ΩW K −1 .
Si l’on impose une tension telle que U = β∆T (on prendra par exemple
β = 1V K −1 ), le flux de chaleur pourra être recalculé à partir des courants
mesurés par :
Uα
α
∆T
=
= I
φ=
RT
βR
β