Géométrie des transformations

Géométrie des transformations
Propriétés et Invariants
Paul Patenaude
Conseiller Pédagogique en Mathématique
Commission Scolaire de Châteauguay
1. Objectifs
Ce document se veut à la fois un point
de référence sur les notions
d'invariant et de propriété dans le
domaine de la géométrie des transfor-
mations au secondaire et un point de
départ pour d'autres activités de
perfectionnement destinées à préciser
ces notions avec les enseignants.
Le niveau de traitement utilisé ici
n'est donc pas celui qu'il faudra
utiliser avec les élèves car pour
préciser certains concepts, il nous
faudra ici adopter un niveau de
langage plus théorique. Mais nous
essaierons de garder constamment en
toile de fond les objectifs d'appren-
tissage proposés dans les programmes
d'études.
Ces programmes introduisent à divers
moments des expressions comme: carac-
téristique, propriété, invariant,
dans des contextes où il peut être
difficile de distinguer les concepts
sous-jacents. Certaines propriétés
ont l'air de caractéristiques; des
propriétés parlent d'invariants; et
des invariants concernant les
caractéristiques des figures...! Par
exemple, lorsqu'on énonce:
«les translations conservent
les longueurs des segments»
on peut se demander s'il s'agit d'une
caractéristique des translations, ou
d'une propriété des translations ou
encore si cela ne pourrait pas signitr
fier que les translations laissent les
longueurs invariantes...
Ce document veut donc jeter un peu de
lumière sur ces différents concepts en_
faisant "craquer" les mots peut-êtré'
mais en gardant à l'esprit un certai-n-
"réalisme" pédagogique.
2. Propriétés et invariants dans la
géométrie des transformations
Lorsqu'on examine la trame générale du»
programme de géométrie au secondaire
premier et second cycle -, on constate'
que tous les objectifs semblent con-
verger vers la recherche et ~ la
définition de caractéristiques puis de
propriétés.
Vocabulaire:
Les caractéristiques d'un objet ma-
thématique sont les éléments ou les
énoncés qui permettent de définir cet
objet mathématique:
un quadrilatère est un polygone
à quati'e côtés;
un triangle isocèle est un
triangle qui a deux côtés
congrus ;
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les trapèzes sont des qua-
drilatères qui ont au moins une
paire de côtés parallèles, ...
des droites perpendiculaires
forment entre elles un angle de
90 degrés (angle droit);
un quadrilatère a
gonales; deux dia-
Les propriétés d'un objet mathématique
(figure, relation, transformation,...)
sont des propositions que l'on énonce
à propos de cet objet mathématique, de
ses relations avec d'autres objets ou
de ses caractéristiques;
les diagonales d'un parallélo-
gramme se coupent en leur milieu;
les translations conservent le
parallélisme des droites du plan;
des angles opposés par le sommet
sont congïTis;
la somme des angles intérieurs
d'un triangle est égale à 180
degrés;
Dans nos programmes d'études, les
objectifs qui concernent ces aspects
sont les suivants:
2.1 Au premier cycle
Terminal 5.4
IDENTIFIER les diverses caractéristi-
ques se rapportant aux triangles et
aux quadrilatères.
2.2 Au second cycle
Terminal 2.1
RÉSOUDRE des problèmes impliquant des
transformations du plan: translation,
rotation, réflexion ou homothétie
Terminal 2.2
RÉSOUDRE des problèmes issus de situa-
tions de la vie courante appliquant la
notion d'isométrie.
Terminal 2.3
RÉSOUDRE des problèmes issus de situa-
tions de la vie courante appliquant la
notion de similitude.
2.3 Option II
Terminal 3.1
ïlÉSOUDRE des problèmes issus de situa-
tions de la vie courante appliquant la
notion d'isométrie
Terminal 3.2
t
ElÉSOUDRE des -problèmes issus de situa-
tions de la vie courante appliquant la
notion de similitude.
Nos programmes introduisent en outre
un autre concept relié aux caracté-
ristiques et axix propriétés des objets
mathématiques: c'est le concept
d'invariance.
Vocabulaire
Un objet mathématique (élément, en-
semble, propriété) est dit invariant
ou fixe sous une relation R
si et seulement si
R conserve cet objet.
Applications:
L'élément x est invariant ou fixe sous
la relation R si R(x) = x.
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L'ensemble A est invariant
relation R si R(A) = A. sous la
La propriété P d'un objet mathématique
X est invariante sous la relation R
(opération, transformation, si
l'action de la relation R sur l'objet
X conserve la propriété P.
Exemples;
Le centre d'une rotation r est inva-
riant par cette rotation.
L'axe d'une réflexion s est invariant
sous cette réflexion.
Les isométries du plan laissent
distances invariantes. les
Les isométries du plan laissent les
mesures d'angles invariantes.
Remarque;
Lorsque nous considérons les cas d'un
axe de symétrie (Invariant point par
point sous la réflexion) et des traces,
d'une translation (globalémënt inva-
riantes sous la translation), nous
sommes, tentés d'introduire quelques
distinctions entre ces cas.' Mais de
telles distinctions ne sont pas perti-
tinentes au niveau secondaire, dans le
cadre de l'étude que nous menons. Il
suffit ici d'indiquer que, dans les
deux cas, les ensembles considérés
sont invariants (ou fixés) sous là
transformation qui leur est appliquée.
3. Invariants
Guide Pédagogique, Secondaire,
MATHÉMATIQUE, Second Cycle
Fascicule B, La GÉOMÉTRIE, document
16-3302-02, page 195
Est dit invariant, tout ce qui ne
subit pas de modification suite suite
à une ou plusieurs transformations
géométriques. Une observation atten-
tive de ceux-ci permet de les classer
selon divers types;
- les invariants de grandeur
- les invariants de propriété
- les invariants de forme
- les invariants de figure
- etc. . ; •
3.1 Les invariants de grandeur en
géométrie des transformations
Les isométries (translation, rotation,
réflexion, ...) conservent Les gran-
deurs des segments et des angles; ces
invariant^ permettent de définir la
congruence des figures.
3.2 Les invariants de propriété en
géométrie des transformations
Les homothéties et les isométries
(homothéties de rapport 1) conservent
certaines propriétés telles que l'or-
dre sur les , droites,, le parallélisme,
la perpendicularité, le rapport de
similitude; ces invariants permettant
de définir la congruence ou la simili-
tude de figures. .
Exemple;
Les isométries conservent le
parallélisme entre les côtés des
figures du plan;
Les isométries conservent
l'ordre sur les droites du plan
s
Remarque ;
Les réflexions inversent l'ordre dans
le plan, mais conservent l'ordre sur
les droites du plan, i.e. l'ordre
a < b < c, où le point a est entre les
points b et c, n'est pas bouleversé
par une réflexion. Cependant il faut
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faire observer qu'un ordre entre les
points du plan étant une relation
(ensemble de couples), celui-ci n'est
pas invariant sous une réflexion,
puisque, dans un repère bï-dimension-
nel, les éléments des couples seraient
tous inversés.)
3.3 Les invariants de forme en géomé-
trie des transformations
Les isométries, les similitudes et les
composées de celles-ci conservent la
forme des figures du plan.
3.4 Les invariants de figure en
géométrie des transformations
Certaines figures du plan sont
transformées en elles-mêmes par
certaines transformations planes.
Ainsi:
un cercle est• invariant sous uii
réflexion dont
son diamètre; 1'axe .passe par
a) Les propriétés sont des pro-
positions, des énoncés qui
concernent les objets géomé-
triques.
Les propriétés sont des "postulat",
des "théorèmes", des "corollaires",
des "conjectures" formulés à ' propois
d'un objet géométrique (figure, rela-
tion, transformation, caractéristi-
que, ... ).
Les propriétés d'un objet géométrique
décrivent ou particularisent un com-
portement de cet objet ou une rela-
tion particulière entre les éléments
de cet objet.
b) L'invariance est une propriété
des objets géométriques soumis à
certaines conditions.
Un invariant d'un objet mathématique
est une caractéristique de cet objet
mathématique qui n'a pas changé sous
l'effet d'une action donnée (fonc-
tion, transformation, ..,).
un cercle est invariant sous-un
rotation dont le centre est le
centre du cercle;
un triangle isocèle est invariant
sous une réflexion dont l'axe est
la bissectrice de l'angle compris
entre les côtés congrus;
Ainsi, selon le contexte de l'étude en
cours, on pourra dire:
Une des propriétés des isométries du
plan est qu'elles conservent les mesu-
res des segments et des surfaces des
figures.
ou
4. Invariance et propriétés des
objets géométriques
Les longueurs et les aires sont in-
variantes sous les isométries du plan.
Des éléments qui précèdent, il faut
retenir ceci:
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ANNEXE
PROPRIÉTÉS DES OBJETS GÉOMÉTRIQUES
La liste qui suit n'est évideiranent pas
exhaustive. Elle n'a pour but que
d'illustrer les différents domaines de
définitions explorés dans le dociunent.
1. Relation de congruence
La relation de congruence est une
relation réflexive, symétrique et
transitive. C'est donc une relation
d'équivalence.
Cette relation d'équivalence induit
dans l'ensemble des figures du plan
des classes de figures dites «con-
grues».
2. Figures congrues
a) Invariants de grandeur
Dans des figures congrues, les lon-
gueurs des segments sont égales.
Des figures congrues ont même aire.
Dans des figures congrues, des angles
correspondants ont même mesure.
b) Invariants de propriétés
Dans des figures congrues, les rap-
ports des longueurs de côtés cor-
respondants est égal à 1.
Dans des figures congrues, des seg-
ments parallèles ont pour correspon-
dants des segments parallèles.
Dans des figures congrues, des seg-
ments perpendiculaires ont pour
correspondants des segments perpen-
diculaires.
c) Invariants de forme
Un triangle est parfaitement déterminé
lorsqu'on connaît:
l'un de ses angles et la lon-
gueur de chacun des segments qui
forment cet angle (Cas C-A-C);
deux de ses angles et la mesure
du côté commun à ces angles
(Cas A-C-A);
la longueur de ses trois côtés
(Cas C-C-C).
3. Propriétés qui découlent de la
congruence
a) Triangles rectangles
Deux triangles rectangles qui ont un
angle aigu congru et un côté congru
sont congrus.
b) Triangles isocèles
Dans des triangles isocèles congrus,
les hauteurs sont congrues;
les bases sont congrues;
les périmètres sont égaux;
les aires sont égales.
c) Triangles équilatéraux
Deux triangles équilatéraux qui ont un
côté congru sont congrus.
d) Cercle et cordes
Dans des cercles de même rayon, des
cordes congrues sous-tehdent des arcs
congrus.
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