Corrigé - Physique-Chimie LN-SPE-2 2016-2017

Lycée Naval, Spé 2.
Détection boucle inductive (Air 2005, correction)
I.A Courants de Foucault, effet de peau
1. Avec ~ j=γ~ Eet ~ jD=ε0
∂~ E
∂t , on en déduit en ordre de grandeur :
jd
j=ε0ωE γE =ε0ω γ=8,85 ×10−12 ×2π×50 ×103 4×107= 7 ×10−14 1
Dans la suite, on peut donc, dans le métal, négliger le courant de déplace-
ment par rapport au courant de charge.
2. Dans l’ARQS :
div ~ E=ρ
ε0
; div ~ B= 0 ; −→ rot ~ E=−∂~
B
∂t ;−→
rot ~ B=µ0γ~ E
En combinant les équations, on en déduit :
−→
rot −→ rot ~ B=−−→ grad div ~ B−~ ∆~ B=µ0γ−→ rot ~ E=−µ0γ∂~
B
∂t
On en déduit :
~
∆~ B=µ0γ∂~
B
∂t
3. Les ondes électromagnétiques pénètrent peu dans les métaux et ceci d’au-
tant plus que la fréquence est élevée. L’onde électromagnétique se localise à
la surface du métal, on parle d’effet de peau.
En notant Lla longueur caractéristique et Tle temps caractéristique, l’équa-
tion s’écrit en ordre de grandeur :
B
L2=µ0γB T=µ0γfB ⇒L2=1 µ0γf
Application numérique :
δ=1
√µ0γf =1 √4π×10−7×4×107×50 ×103⇒δ= 0,6 mm
4. En reportant l’expression proposée dans l’équation de diffusion :
−k2=µ0γiω ⇒k2=−µ0γωi =µ0γωe−iπ/2
En considérant la racine, on en déduit :
k=√µ0γωe−iπ/4⇒k=±1−i
δ
5. Pour déterminer le vecteur courant, on utilise l’équation de Maxwell-Ampère
dans le cadre de l’ARQS :
~
j=1
µ0×−i~
k∧~ B=−i
µ0
k~uz∧B0ei(ωt−kz)~ux=−1 + i
µ0δB0ei(ωt−kz)~uy
~
j=−B0√2
µ0δeiπ/4ei(ωt−z/δ)e−z/δ~uy⇒~
j=−B0√2
µ0δcos ωt −z δ+π 4e−z/δ~uy
L’expression du vecteur courant permet d’évaluer sa divergence :
div~ j=∂jy
∂y = 0
De la loi d’Ohm locale, on en déduit : γdiv ~ E= 0, ce qui entraîne (Maxwell-
Gauss) ρ= 0 .
6. De façon générale, la puissance volumique cédée par le champ aux charges
s’écrit pv=~ j. ~ E. Compte tenu de la loi d’Ohm locale, on en déduit en
moyenne :
Pv=hpvi=j2
γ=2B2
0
µ2
0δ2γe−2z/δ Dcos2ωt −z
δ+π 4E ⇒Pv=B2
0
µ2
0δ2γe−2z/δ
En intégrant sur l’ensemble du demi-espace sur une section droite S, on
obtient la puissance totale dissipée dans le matériau :
Ptot =B2
0S
µ2
0δ2γZ∞
z=0
e−2z/δdz ⇒Ptot =B2
0S
2µ2
0δγ
Ce qui donne pour la puissance surfacique :
Pσ=B2
0
2µ2
0δγ ⇒Pσ=B2
0
2µ2
0sµ0πf
γ
I.B Coefficients d’inductance
7. Pour la boucle inductive et compte tenu de l’inductance mutuelle :
u=L1
di1
dt +Mdi2 dt
Pour le véhicule, en appelant u2la tension au bornes de la bobine définie en
convention récepteur :
u2=L2
di2
dt +Mdii dt = 0 ⇒di2 dt =−M L2
di1
dt
En reportant dans la première équation :
u=L1
di1
dt −M2 L2
di1
dt =L11−M2 L1L2di1 dt
On en déduit : q=M2
L1L2
.
1

I.C Oscillateur électrique
8. De part la formule du pont diviseur de tension :
u=xR0
xR0+ (1 −x)R0v⇒u=xv
Les condensateurs sont en série, les inverses des capacités s’ajoutent :
1
Ceq
=1
Ca
+1
Cb⇒Ceq =CaCb Ca+Cb
L’interrupteur étant ouvert, les condensateurs et la bobine sont en parallèles,
on peut déterminer la résistance équivalente :
Zeq =jL(q)ω×1/(jCeqω)
jL(q)ω+1
jCeqω
=jL(q)ω
1−L(q)Ceqω2
On appelle w1, la tension aux bornes de l’inductance. Grâce à la formule du
pont diviseur de tension pour la résistance Ret l’impédance équivalente :
w1
v=Zeq R+Zeq ⇒w1 v=1
1 + R(1 −L(q)Ceq ω2)
jL(q)ω
=1
1 + jRCeqω−R
L(q)ω
La formule du pont diviseur de tension appliquée au niveau des condensa-
teurs s’écrit :
w=
1
jCbω
1
jCaω+1 jCbω
w1⇒w=Ca
Ca+Cb
w1
Avec u=xv et w=Ca
Ca+Cb
w1, on en déduit :
w
u=
Ca
Ca+Cb×1 x
1 + j[RCeqω−R/(L(q)ω)]
Avec par identification : Q/Ω = RCeq et ΩQ=R/L(q), c’est à dire :
Ω2=1
L(q)Ceq
;Q=RsCeq
L(q);Ceq =CaCb Ca+Cb
et H0=1
x
Ca
Ca+Cb
9. Partons de la fonction de transfert :
w1 + jQ ω
Ω−Ω ω=H0u⇒
|{z}
×jω
jωw + (jω)2Q
Ωw+QΩw=H0jωu
Expression que l’on peut réécrire dans l’espace temporel :
d2ω
dt2+Ω Q
dω
dt + Ω2ω=ΩH0 Q
du
dt
C’est à dire a=Ω
Q,b= Ω2et c=ΩH0 Q.
10. On ferme l’interrupteur K, on a alors w=u. Le courant étant nul à l’entrée
non inverseuse, fermer l’interrupteur ne modifie pas les équations précédem-
ment obtenues.
L’équation différentielle devient :
d2w
dt2+ (a−c)dω dt +bw = 0
L’oscillation sinusoïdale nécessite a=c, c’est à dire :
Ω
Q=Ω Q×1 x0Ca Ca+Cb⇒x0=Ca Ca+Cb
L’oscillation se fait à la pulsation Ωtelle que :
Ω = 1
pL(q)Ceq
=1
pL1Ceq(1 −q)⇒Ω0=1 pL1Ceq
(1 −q)−1/2
On en déduit :
Ω'ω01 + q
2avec ω0=1
pL1Ceq
11. L’apparition des oscillations nécessite un système légèrement instable, c’est
à dire a < c :Ω
Q<Ω Q×1 xCa Ca+Cb⇒x<x0
12. L’amplitude des oscillations est limitée par la saturation en tension de l’ALI.
I.D Détection électronique de la variation de fréquence
L’objectif de ce montage est de convertir la variation de fréquence en une
variation de tension, c’est un convertisseur fréquence-tension.
13. Le montage à amplificateur opérationnel placé entre Det Eest un montage
suiveur. L’objectif est de récupérer le signal wsans affecter l’oscillateur
électrique.
14. Le montage entre Eet Fest un montage intégrateur. On applique la loi des
nœuds à l’entrée inverseuse :
VE−V−
R1
=V−−VF
1/(jC1ω(q))
2

Pour un ALI idéal fonctionnant en régime linéaire : V−=V+= 0, ce ce qui
donne : VE
R1
=−VFjC1ω(q)
c’est à dire pour les amplitudes réelles :
EF=E0
R1C1ω(q)=ω1 ω(q)E0
15. Le montage entre Eet F0est un montage dérivateur. On applique la loi des
nœuds à l’entrée inverseuse :
VE
1/jC1ω(q)=−VF0 R1
C’est à dire pour les amplitudes réelles :
EF0=ω(q)
ω1
E0
16. La diode sert à redresser le signal, le condensateur assure que la tension en
Gse maintient au niveau de l’amplitude du signal en Fà condition que la
constante de temps R2C2associée à la décharge du condensateur soit très
grande vis à vis de la période du signal T= 2π/ω(q).
17. Avec une diode en inverse, la diode sera passante pour un potentiel VF0<
VG0, dans les mêmes conditions que précédemment on obtient VG0=−EF0.
18. Le dernier montage est un montage sommateur inverseur, en appliquant la
loi des nœuds à l’entrée inverseuse, on obtient :
VG
R2
+VG0
R2
+V0
yr −V0 (1 −y)r=−VH R3⇒VH=−R3EF R2−EF0 R2
+V0(1 −2y)
y(1 −y)r
Avec EF=E0ω1
ω(q)et EF0=E0ω(q) ω1
, on obtient :
VH=−R3E0
R2ω1 ω0(1 + q/2) −ω0(1 + q/2) ω1+V0(1 −2y) y(1 −y)r
VH=−R3E0
R2ω1 ω0
(1 −q/2) −ω0(1 + q/2)
ω1+V0(1 −2y) y(1 −y)r
On en déduit :
VH=−R3E0
R2ω1 ω0−ω0 ω1−R3V0(1 −2y) y(1 −y)r+R3E0 2R2ω1 ω0
+ω0
ω1×q
19. La relation entre la tension de sortie et le paramètre qest de la forme :
VH=a+b×q. Le réglage du paramètre ypermet de supprimer la constante
est d’obtenir une amplitude de tension proportionnelle à la fluctuation de
fréquence :
VH=R3E0
2R2ω1 ω0
+ω0
ω1×q
3

Les télescopes infrarouges (CS MP 2014, correction)
I. Détection de rayonnement infrarouge
I.A - Généralités
1. Pour détecter des ondes lumineuses, on peut, par exemple, utiliser une pho-
todiode ou une photorésistance.
Pour détecter des ondes thermiques, on peut utiliser une caméra thermique.
2. Les rayonnements infrarouge correspondent à des longueurs d’onde supé-
rieures à celles du rouge et s’étendent jusqu’au millimètre, c’est à dire
[0,8µm,1,0 mm] .
3. Dans la loi de Wien, la grandeurs λmax représente la longueur d’onde associée
au maximum d’éclairement et Tdésigne la température de surface du corps.
Ainsi une étoile bleue est plus chaude qu’une étoile rouge.
4. D’après la loi de Wien : pour une température de 300 K, la longueur d’onde
la plus émise est de l’ordre de 10 µm, pour une température de 30 K, la lon-
gueur d’onde la plus émise est de l’ordre de 0,1 mm. Dans les deux cas, si
l’on ne refroidit pas les détecteurs, ils émettent des rayonnements infrarouges
qui risquent de perturber la mesure de rayonnements infrarouges venus de
l’espace.
Il est donc nécessairement de refroidir les détecter à des tempé-
ratures de l’ordre du kelvin pour limiter leur propre rayonnement
infrarouge.
I.B - Principe du bolomètre
1. Considérons des éléments simples disponibles en salle de TP : un générateur
continu de tension, un ALI et son alimentation et une résistance r, en plus
du bolomètre modélisé par la résistance R(T). On peut proposer le montage
suivant qui réalise une transformation tension-courant :
E
r
+
−
IR(T)
I
Pour un ALI idéal, le potentiel de la borne inverseuse est égal au potentiel
de la borne non-inverseuse connectée à la masse. La loi d’Ohm conduit à :
E=rI ⇔I=E
r
En réglant la tension Eet la résistance r, on peut choisir l’intensité, on a bien
réalisé un générateur de courant. Notons que l’intensité Iest indépendante
de la résistance du bolomètre !
2. Réalisons un bilan thermique pour le bolomètre entre deux instants voisins
tet t+dt :
→puissance thermique reçue par rayonnement : Φi
→puissance reçue par effet Joule : R(T)I2
→puissance cédée à la poutre : Gth (T−Ts)
Ce qui donne, avec Cth la capacité du bolomètre :
CthdT =R0+αR0(T−Ts)] I2+ Φi−Gth (T−Ts)dt
et donc, pour l’équation différentielle :
Cth
−αR0I2+Gth
dT
dt +T=Φi+R0(1 −αTs)I2+GthTs −αR0I2+Gth
C’est à dire :
τ=Cth
−αR0I2+Gth
et β(Φi) = Φi+R0I2
−αR0I2+Gth
+Ts
Notons que nous avons utilisé la notion de résistance thermique qui est au
départ définie en régime permanent. On se place ici dans le cadre de l’ARQS
en supposant que la température dans la poutre se met immédiatement à
l’équilibre vis à vis du temps d’évolution thermique du bolomètre.
3. Avec un coefficient α < 0, les coefficients de l’équation homogène sont de
même signe et le système est stable.
4. En régime permanent Tp(Φi) = β(Φi) = Φi+R0I2
−αR0I2+Gth
+Ts.
I.C - Temps de réponse du bolomètre
1. En l’absence de flux Φi, l’équation différentielle prend la forme :
τdT
dt +T=Ts+R0I2 Gth −αR0I2
Compte tenu de la condition initiale T(0) = Ti, la solution est de la forme :
T(t) = Tf+Ae−t/τ avec T(0) = Tiet Tf=Ts+R0I2
Gth −αR0I2
C’est à dire : T(t) = Tf+ (Ti−Tf)e−t/τ
4

Ti
Tf
T(t)
t
τ
2. La capacité thermique est associée à l’inertie thermique du système, une
plus grande capacité thermique augmente le temps caractéristique de retour
à l’équilibre.
Pour une plus grande conductance thermique, les échanges thermiques sont
favorisées entre la source froide et le bolomètre, le retour à l’équilibre est
plus rapide.
I.D - Sensibilité du bolomètre
1. Avec Φi(t)=Φi0+ϕ0cos (ωt), l’équation différentielle prend la forme :
τdT
dt +T=Ti+ϕ0 Gth −αR0I2cos (ωt)⇒τdθ dt +θ=ϕ0 Gth −αR0I2cos (ωt)
C’est à dire, dans le domaine fréquentiel :
jωθ +θ=ϕ0
Gth −αR0I2⇒θ=A 1 + jωτ
Ce qui donne pour le module :
θ0=A
√1 + ω2τ2avec A=ϕ0
Gth −αR0I2
2. La tension aux bornes du bolomètre s’écrit :
u=R(T)I= (R0+αR0[T−Ts]) I= (R0+αR0[Ti−Ts]) I+αR0θ(t)I
C’est à dire pour l’amplitude de la partie variable :
V0=|α|R0IA
√1 + ω2τ2
3. Sensibilité du dispositif :
S(ω) = V0
ϕ0⇒S(ω) = |α|R0I Gth −αR0I2×1
√1 + ω2τ2
4. On est en présence d’un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de
coupure ωc= 1/τ avec Smax
dB =|α|R0I
Gth −αR0I2.
5. Pour ce filtre passe-bas du premier ordre, si les fréquences d’excitation sont
supérieures à la fréquence de coupure, le système n’est plus en mesure de
suivre les fluctuations de flux thermique et la sensibilité se dégrade.
6. Pour augmenter la sensibilité à basse fréquence, il faut diminuer la conduc-
tance ce qui s’oppose au gain en rapidité.
V. Refroidissement cryogénique du télescope Herschel
V.A - Principe d’un interrupteur thermique
1. On applique le premier principe au gaz compris entre deux cylindres de
rayon ret r+dr de longueur Lentre deux instants voisins tet t+dt :
ρc ×2πrdr ×L×dT = [jQ(r)×2πr ×L−jQ(r+dr)×2π(r+dr)×L]dt
⇔ρcrdr ∂T
∂t dt =−∂[jQ(r)r] ∂r drdt
À l’aide de la loi de Fourier appliquée à flux thermique radial, on obtient
finalement :
ρcr ∂T
∂t =λ∂ ∂r r∂T ∂r 
2. En régime permanent l’équation précédente se simplifie selon :
∂
∂r r∂T ∂r = 0 ⇒r∂T ∂r =A⇒∂T ∂r =A r⇒T(r) = Aln r+B
Les conditions aux limites imposent : T(R1) = Tiet T(R2) = Tc:
Ti=Aln R1+Bet Tc=Aln R2+B
La résolution de ce système conduit à :
A=Tc−Ti
ln (R2/R1)et B=Tiln R2−Tcln R1 ln (R2/R1)
T(r) = Tc−Ti
ln (R2/R1)ln r+Tiln R2−Tcln R1 ln (R2/R1)⇒T(r) = Ti+ (Tc−Ti)ln (r/R1) ln (R2/R1)
3. Le vecteur courant traverse l’aire latérale du cylindre 2πrh :
Φ = ZZlat.
~
jQ.d~ S=ZZlat. jQ(r)dS =jQ(r)×2πr ×h=−λdT
dr ×2πrh
Φ = −λ×Tc−Ti
ln (R2/R1)×1 r×2πr ×h⇒Φ = −λ×Tc−Ti ln (R2/R1)×2πh
Notons que le flux thermique est négatif, ceci s’explique par une température
extérieure supérieure à la température intérieure.
4. La conductance thermique est l’inverse de la résistance thermique :
5