Électromagnétisme TD 5 : Ondes électromagnétiques (suite) Faire le

Électromagnétisme TD 5 : Ondes électromagnétiques (suite)
Faire le point sur le cours :
Chapitre 5 - Réexion des OEM sur un conducteur
Rappeler la loi d'Ohm locale.
Justier que pour une OEM dont la fréquence est inférieure à 1018 Hz, on peut considérer le métal localement neutre et
qu'on peut négliger un terme dans l'équation de Maxwell-Ampère.
Retrouver les équations diérentielles pour les champs électrique et magnétique dans un conducteur.
Montrer que le vecteur d'onde de l'onde électromagnétique dans le métal est complexe. Expression de l'épaisseur de peau.
Qu'est-ce qu'un conducteur idéal ? Quelle est la méthode de détermination d'une onde rééchie par un conducteur parfait ?
Chapitre 6 - Milieux dispersifs
Donner la dénition d'un milieu dispersif ou non-dispersif.
Rappeler l'expression de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe, et leurs interprétations physique.
Dans quel cas vφ et vg sont-elles égales ?
Notion de paquet d'onde, relation entre étendue spectrale (en k ) et étendue spatiale.
Expliquez qualitativement le phénomène d'étalement d'un paquet d'onde dans un milieu dispersif.
Exercice 1 : Ordres de grandeur de puissances rayonnées
1) Un petit laser hélium néon (λ = 633 nm) produit typiquement 1 mW dans un faisceau d'1 mm de diamètre. Estimer
l'amplitude des champs électrique et magnétique dans le faisceau laser.
2) Un téléphone portable (1 GHz) émet une puissance de 1 W de façon sensiblement uniforme dans l'espace. Calculer la
puissance rayonnée par unité de surface à 10 cm du téléphone, et à 1m.
3) Un mètre carré de la surface de la terre sous incidence normale reçoit du soleil une puissance de 1, 35.103 W. La rétine
de l'÷il ne peut pas supporter une puissance supérieure à 1 mW sans dommage. Peut-on regarder le soleil en face, en
l'absence de nuages ? La pupille peut être assimilée à un cercle de 1 mm de rayon.
Exercice 2 : Guide d'onde
Figure 1 Guide d'onde rectangulaire
Figure 2 Modèle utilisé
Un guide d'onde métallique est un tuyau de métal utilisé pour transporter une onde électromagnétique d'un point à un
autre (même principe qu'une bre optique). Il en existe de diérentes formes, nous étudierons ici un guide d'ondes à
section rectangulaire.
On considère une cavité vide de section rectangulaire, de largeur a, percée dans un conducteur parfait. La cavité est
invariante par translation selon l'axe (Oz). On s'intéresse à a propagation d'une onde électromagnétique dans la cavité, le
long de l'axe (Oz) :
→
−
→
E (M, t) = f (x, y)ei(ωt−kz) −
u
y
1
1) Commenter la forme de cette onde et notamment le fait que f ne dépende pas de z .
2) En utilisant l'équation de Maxwell-Gauss, montrer que f ne dépend en fait que de x.
3) A l'aide de l'équation de propagation du champ électrique, Monter que :
d2 f
ω2
2
2
+
K
f
=
0
avec
K
=
− k2
dx2
c2
4) Justier que f (0) = f (a) = 0.
5) On suppose que K 2 < 0 : Montrer que ∀x ∈ [0, a], f (x) = 0. Conclusion ?
6) On suppose dans la suite de l'exercice que K 2 > 0. Montrer à l'aide des conditions aux limites que :
nπ
f (x) = B sin (Kx)
avec K =
; n ∈ N∗
a
On ne cherchera pas à déterminer B . Représenter graphiquement f (x) pour n = 1, 2, 3.
On considère dans la suite de l'exercice uniquement le cas n = 1.
5) Établir la relation de dispersion ω = f (k). Représentation graphique.
6) Montrer que le champ électrique ne peut se propager dans la cavité qu'à partir d'une fréquence minimale fc . Quel type
de ltrage eectue le guide ?
7) Un exemple d'utilisation de guide d'onde métallique est le micro-onde : on utilise un guide métallique pour amener une
onde électromagnétique de fréquence 2, 45 GHz depuis le dispositif qui génère cette onde (appelé "magnétron") jusqu'à la
partie du four dans laquelle on introduit les aliments. Quelle doit être la largeur minimale du guide d'onde utilisé ?
Exercice 3 : Onde hertzienne dans l'eau de mer
On étudie la propagation d'une onde hertzienne dans l'eau de mer. On admet que l'eau est localement neutre (ρ = 0).
Sa permittivité relative est r = 80 et sa conductivité σ = 6, 23 S.m−1 sont supposées réelles.
1) Quel est le domaine de fréquence des ondes hertziennes ? Comparer la conductivité de l'eau de mer à celle du cuivre.
2) Donner les équations de Maxwell dans l'eau (on remplacera 0 par 0 r ).
→
−
→
−
→
−→
−
∂E
r ∂ 2 E
=
µ
σ
3) Établir la relation de propagation vériée par le champ électrique : ∆ E − 2
0
c ∂t2
∂t
2
ω
2
3) Montrer que la relation de dispersion d'écrit : k = r 2 − iωµ0 σ
c
4) Montrer qu'à haute fréquence, les ondes électromagnétiques peuvent se propager dans l'eau de mer, mais qu'à basse
fréquence elles sont atténuées. Quelle est la fréquence de transition entre ces deux régimes ? Quelle est la vitesse de phase
à haute fréquence ?
5) Quelle est la distance caractéristique d'atténuation d'une onde de fréquence f = 1 MHz ?
Exercice 4 : Limitation du débit dans une bre optique
Une bre optique de longueur L sert à transmettre de la lumière blanche, contenant donc des longueurs d'ondes comprises
entre λV = 380 nm et λR = 780 nm. L'indice du verre constituant le c÷ur de la bre suit la loi de Cauchy dans le visible :
n(λ) = A +
B
;
λ2
avec : A = 1, 4764 et B = 3, 7416.10−3 µm−2 .
1) On suppose qu'on envoie en entrée de la bre une impulsion lumineuse de durée quasi-nulle. Quelle est la durée ∆t de
l'impulsion reçue en sortie de la bre ? A exprimer en fonction de L, nR = n(λR ), nV = n(λV ) et c (vitesse de la lumière
dans le vide).
2) On envoie maintenant en entrée de la bre des impulsions (toujours de durée quasi-nulle) de manière périodique, avec
une fréquence f . Pour une longueur de bre L = 1000 km, quelle est la fréquence maximale fmax pour laquelle on reçoit
des impulsions distinctes en sortie de la bre ?
3) Comment faire pour augmenter le débit de la bre optique (c'est-à-dire la fréquence fmax ) ?
2
Exercice 5 : Paquet d'onde gaussien
On se propose dans cet exercice de calculer la relation entre l'étendue spatiale ∆x et l'étendue spectrale ∆k d'un paquet
d'onde, an d'illustrer la propriété ∆x∆k ≈ 1 vue en cours.
Le spectre du paquet d'onde est de forme gaussienne (gure
ci-contre) :
1
(ω − ω̄)2
g(ω) = √ exp −
2σ 2
σ 2π
On rappelle que le signal (complexe) associé est donné par :
+∞
Z
s(x, t) =
g(ω) exp(i(ωt − kx))dω
−∞
On suppose que le milieu est non dispersif :
ω = ck
1) On dénit la largeur spectrale en pulsation ∆ω du signal comme la largeur de l'intervalle [ωmin , ωmax ] pour lequel
g(ω) ≥ g(ω̄)/2. Montrer que :
p
∆ω = 2 2 ln(2)σ
2) Monter que :
x 2
ω̄
2
s(x, t) = Re (s(x, t)) = exp −2σ t −
cos(ω̄t − k̄x)
avec k̄ =
c
c
3) Identier l'enveloppe et le terme propagatif dans l'expression ci-dessus. Quelle est la vitesse de phase du signal, la
vitesse de l'enveloppe ? Est-ce normal ?
4) Représenter graphiquement le signal à t = 0. On supposera que δω << ω̄
5) On dénit la largeur spatiale ∆x du signal comme la largeur de l'intervalle [xmin , xmax ] pour lequel l'amplitude de
l'enveloppe est supérieure à la moitié de sa valeur maximale. Montrer que :
p
c
∆x = 2 ln(2)
σ
Indication : Utiliser l'expression de l'enveloppe à t = 0.
6) On note ∆k la largeur spectral en vecteur d'onde du signal. Montrer que :
∆x∆k = 4 ln(2) ≈ 2, 77
Formulaire :
+∞
Z
2
exp(−Ax + Bx + C)dx =
r
π
B2
exp −C −
; A, B, C ∈ C
A
4A
−∞
3