Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles

Master 1, EC 4A : Eléments de mathématiques Peggy RICHARD, 2010 2011
Propriétés de géométrie plane Page 1/3
 LES DR O I TES
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre
elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles
entre elles.
Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une, alors
elle est perpendiculaire à l’autre.
Si AC + CB = AB, alors les points A, C et B sont alignés.
Si (AB) et (AC) sont parallèles, alors les points A, B et C sont alignés
Médiatrice
Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu, alors c’est la
médiatrice de ce segment, et réciproquement.
Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités
de ce segment, et réciproquement.
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle
circonscrit au triangle.
Hauteur
On appelle hauteur d’un triangle, chaque droite qui passe par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H, orthocentre du
triangle.
Médiane
On appelle médiane d’un triangle, chaque droite qui passe par un sommet et par le
milieu du côté opposé.
Chaque médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G, centre de gravité du
triangle. Ce point est situé au 2/3 de la médiane en partant du sommet.
Bissectrice
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles de même
mesure. La bissectrice est l’axe de symétrie de l’angle.
Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est à égale distance des deux
côtés de cet angle, et réciproquement.
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes e un point I, centre du cercle
inscrit au triangle.
 LES QUADRILATERES
Parallélogramme
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c’est un
parallélogramme, et réciproquement.
Si un quadrilatère a ses côtés opposés deux à eux de même longueur, alors c’est un
parallélogramme, et réciproquement.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un
parallélogramme, et réciproquement.
Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur,
alors c’est un parallélogramme, et réciproquement.

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Losange
Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c’est un losange, et
réciproquement.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et sont perpendiculaires,
alors c’est un losange, et réciproquement.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un
losange, et réciproquement.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange, et
réciproquement.
Si un quadrilatère est un losange, alors c’est un parallélogramme.
Rectangle
Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle, et réciproquement.
Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur, alors c’est
un rectangle, et réciproquement.
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle, et réciproquement.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle, et
réciproquement.
Si un quadrilatère est un rectangle, alors c’est un parallélogramme.
Carré
Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur et un angle droit, alors c’est
un carré, et réciproquement.
Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, de même longueur et
perpendiculaires, alors c’est un carré, et réciproquement.
Si un losange a un angle droit, alors c’est un carré, et réciproquement.
Si un losange a ses diagonales de même longueur, alors c’est un carré, et
réciproquement.
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré, et
réciproquement.
Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un carré, et
réciproquement.
Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un losange et un rectangle, et
réciproquement.
 LE CE R CL E
Si deux points sont sur un cercle, alors le centre de ce cercle est équidistant de ces
deux points.
 LES AN G LE S
Si deux angles sont complémentaires, alors la somme de leurs mesures est égale à
90°, et réciproquement.
Si deux angles sont supplémentaires, alors la somme de leurs mesures est égale à
180°, et réciproquement.
Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont même mesure.

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Avec des parallèles
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de
même mesure, alors ces droites sont parallèles, et réciproquement.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de
même mesure, alors ces droites sont parallèles, et réciproquement.
Dans les polygones
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Si un triangle est isocèle, alors il a deux angles de même mesure, et réciproquement.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même
mesure.
Angle inscrit – angle au centre
Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même
mesure.
Si, dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de
cercle, alors la mesure de l’angle au centre est égale au double de la mesure de l’angle
inscrit.
 LES TR I A NG L ES
Triangle rectangle et cercle
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le milieu de [BC] est le centre du cercle
circonscrit au triangle.
(ou encore : si ABC est rectangle en A, alors il est inscrit dans un demi cercle de
diamètre [BC])
Ce qui amène à :
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors la médiane issue de A mesure la moitié de
l’hypoténuse [BC].
Réciproquement :
Si le milieu d’un côté d’un triangle est le centre de son cercle circonscrit, alors le
triangle est rectangle. (ou encore : si un triangle est inscrit dans un demi cercle dont
un côté est un diamètre, alors le triangle est rectangle)
Ce qui amène à :
Si la médiane d’un triangle mesure la moitié de son plus grand côté, alors le triangle
est rectangle.
Théorèmes de la droite des milieux :
Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est
parallèle au troisième côté.
Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés, alors il a pour
longueur la moitié de celle du troisième côté.
Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un
second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.