DM n°6 Physique - Optimal Sup Spé

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
DM n°6 : Mouvement de
Satellites
Préparation ITPE Interne - Concours 2018
Problème - Cas d’un Satellites Quelconque
I. Préliminaires
On s’intéresse au point matériel P, de masse m, placé dans le champ de gravitation créé par une masse M"msituée
en O. Dans tout le sujet, on notera Gla constante universelle de gravitation, on rappelle G“6.67 10´11 Nm2/kg2.
1) À quelle force est soumise la masse m, et la masse M. Comparer alors le module de l’accélération des point O
et P. En déduire que l’on peut supposer que le point Oest quasiment fixe.
Dans la suite, on suppose que la masse Mest immobile au centre d’un repère Oxyz supposé galiléen. On notera
r“ ||´´Ñ OP || la distance entre le point Oet P.
2) En considérant le moment cinétique de Ppar rapport au point O, montrer que le mouvement de la masse mest
plan. On le suppose alors compris dans le plan Oxy.
3) En introduisant les coordonnées cylindriques, représentées sur le schéma 1.1, montrer que la quantité C“r2dθ
dt
est une constante du mouvement.
x
y
O
P
´Ñ
er
´Ñ
eθ
θ
Figure 1.1 – Notation utilisées dans le sujet.
4) On rappelle les formules de Binet pour la vitesse de P, notée ´Ñ vpPqet pour l’accélération radiale de P, notée
´Ñ
er¨´Ñ apPq:
´Ñ
vpPq “ C´u´Ñ eθ´du
dθ
´Ñ
er¯et : ´Ñ er¨´Ñ apPq“´C2u2´d2u
dθ2`u¯avec : u“1 r.
Montrer que l’équation polaire du mouvement peut se mettre sous la forme :
Optimal Sup/Spé - 11, rue Geoffroy l’Angevin 75004 Paris - tel : [phone] - www.optimalsupspe.fr

-Concours 2018 2
r“p
1`εe cospθ´θ0q
où eet psont deux constantes positives et θ0est une autre constante.
5) Exprimer pen fonction de C,Met G.
6) Pour eă1les trajectoires sont liées : il s’agit d’ellipses dont un des foyers est situé en O. Dans ce cas eest
appelé excentricité de l’ellipse. Exprimer le demi grand axe ade l’ellipse en fonction de eet p.
7) Donner l’expression de l’énergie potentielle Epdu point Pen la supposant nulle à l’infini.
8) On note Ecl’énergie cinétique et E“Ec`Epl’énergie totale du point P. Donner l’expression de Een fonction
de G,M,met a.
9) Donner l’expression de T, la période de révolution de Pautour de O, en fonction de a,Met G.
II. Transfert sur Mars
Les résultats obtenus vont être appliqués au cas particulier du système solaire. On supposera dans la suite que les
trajectoires de la Terre et de Mars autour du Soleil sont circulaires de rayons respectifs rT“1.0ua et rM“1.52 ua
, et situées dans le même plan. On donne de plus les masses du Soleil, de la Terre et de Mars : MS“2.01030kg,
mT“6.01024kg, mM“6.41023 kg.
On considère une sonde de masse m“103kg en orbite autour de la terre à une altitude négligeable devant rT. À
l’instant t“0, on propulse la sonde de telle sorte à ce que celle-ci quitte son orbite et devienne un satellite du Soleil.
On négligera donc le champ gravitationnel de la Terre et de Mars lors de la trajectoire de la sonde.
Àt“0, la vitesse ´Ñ vPde la sonde est choisie perpendiculaire à l’axe Terre-Soleil. On veut de plus que l’ellipse
décrite par la sonde soit tangente en Aà la trajectoire de Mars pour y aller faire des mesure. Le schéma 1.2 résume
les hypothèses et notations précédentes.
Axe Terre-Soleil à t“0.
´Ñ
vP
β
Orbite Terrestre
Orbite Marsienne
P O A
M0
Figure 1.2 – Trajectoires de la Terre, Mars et de la sonde. Au temps t“0, la Terre se situe en Pet Mars en M0. On
note βl’angle entre pOM0qet pOAqque l’on oriente dans le sens du mouvment de la sonde et de Mars.
10) Rappeler la définition d’une unité astronomique, notée ua. On rappelle que 1ua “1.50 1011m.
11) Calculer les vitesses orbitales de la Terre et de Mars, que l’on notera vTet vM.
12) Quelle est la valeur du demi grand axe de l’ellipse décrite par la sonde ? Où se situe le périhélie et l’aphélie de
la trajectoire de la sonde ?
13) Par un argument énergétique, donner la valeur de la norme de la vitesse ||´Ñ vp||.
14) Calculer la durée ∆Tdu trajet de la sonde entre la Terre et A. Pour pouvoir être satellisée sur Mars, la sonde
doit arriver en Aen même temps que Mars. Déterminer alors littéralement, puis numériquement l’angle β(on
donnera l’expression de βen fonction de vM,rMet ∆T).

3-Concours 2018
III. Orbite autour de Mars
En Aon utilise de nouveau la propulsion de la sonde pour stabiliser la position de cette dernière et pour qu’elle
reste ainsi en orbite autour de Mars. Un fois la sonde en orbite circulaire, à une distance r0du centre de Mars, la
sonde ne ressent quasiment plus l’attraction gravitationnelle du Soleil ou de la Terre.
La sonde ne présente pas de symétrie sphérique, elle se compose de deux modules sphériques de masse égale m{2
dont les barycentres se situent en P1et P2. Ces deux modules sont reliés par une liaison de masse négligeable devant
m. On note Gle barycentre totale de la sonde, et on note GP1“GP2“h.
C’est donc Gqui décrit une orbite circulaire de rayon r0autour de Mars. On considére de plus que le mouvement
autour de Mars se fait de telle sorte à ce que les points P1,Get P2soient à tout temps alignés sur un axe comprenant
le centre de Mars (voir figure 1.3).
P1
Centre de Mars
GP2
r0´h
r0
r0`h
Figure 1.3 – Description en détail de l’orbite de la sonde après satellisation autour de Mars.
15) Donner la vitesse de rotation ωde la sonde autour de Mars en fonction de mM,r0et G. Application numérique
pour r0“3.5106m.
16) Pour la durée de la mission, on suppose le référentiel lié à Mars galiléen. Le mouvement de P1se fait donc sous
l’attraction gravitationnelle de Mars et sous une force de réaction ´Ñ Rdu au second module et transmise par la
liaison. Cette force est colinéaire à ´´´Ñ P1P2, on la note ´Ñ R“R
´´´Ñ
P1P2
2h. Donner l’expression de Ren fonction de G,
r0,m,mMet h.
17) Simplifier cette expression en remarquant que pour h“10 m, on a h!r0. Faire alors l’application numérique.
La structure de la sonde est-elle mise en péril par cette force de réaction ?
Exercice - Etude d’un Ressort
x
y
O
M
´Ñ
er
´Ñ
eθ
θ
Figure 1.4 – Système avec ressort étudié.

-Concours 2018 4
Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à un repère
Oxyz. Un palet Mde masse mpeut se mouvoir sans frottement dans le plan Oxy horizontal (table à coussin d’air
par exemple). Le champ de pesanteur est suivant la verticale Oz :´Ñ g“ ´g´Ñ uz. La masse mest accrochée à l’extrémité
d’un ressort (point M) de longueur à vide `0, de raideur k, dont l’autre extrémité est fixée en O. La position de M
est repérée dans la base cartésienne dont les vecteurs unitaires sont notés ´Ñ iet ´Ñ jqui correspondent respectivement
aux directions de xet ydu schéma 1.4 ; ou bien dans la base polaire, représentée sur le schéma :
´´Ñ
OM “x´Ñ i`y´Ñ j“r´Ñ er.
1) Faire un bilan des forces et montrer que le moment cinétique par rapport à O, noté ´Ñ LO, de la masse mest
conservé.
2) On lance la particule d’un point ´´´Ñ OM0“´´Ñ OMpt“0q “ `1
´Ñ
i, avec une vitesse initiale ´Ñ v0“`1ω´Ñ j, orthogonale à
´´´Ñ
OM0. Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan Oxy.
(a) Donner ´Ñ LOd’abord en fonction de ret dθ
dtpuis en fonction des conditions initiales et des vecteurs de bases.
On notera dans la suite Lla module de ´Ñ LO.
(b) Rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique. Doit-on tenir compte de l’énergie potentielle de
pesanteur pour étudier le mouvement ? Montrer qu’il y a conservation de l’énergie mécanique, Em.
(c) Donner l’expression de Emd’abord en fonction des données initiales, puis en fonction de m,k,`0,r,θet
leur dérivés temporelles.
(d) Montrer que l’on peut la mettre sous la forme :
Em “1
2m´dr dt¯2
`Eeff prq,
où l’on donnera l’expression de l’énergie potentielle effective Eeff . Tracer l’allure de Eeff prq.
(e) La masse peut-elle s’éloigner infiniment loin de l’origine ?
(f) La vitesse de la particule peut-elle s’annuler au cours du mouvement ?
3) Trouver la condition entre `1et ωpour que le mouvement soit circulaire. (On pourra remarquer que dans ce cas
le mouvement est uniforme). Cette relation est-elle valable pour tout ω?