Applications linéaires continues, normes matricielles - Exo7

Exo7
Applications linéaires continues, normes matricielles
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable
Exercice 1 *
On munit E=R[X]de la norme k k∞définie par : ∀P∈E,kPk∞=Supn
P(n)(0)
n!,n∈No.
1. Vérifier brièvement que k k∞est une norme sur E.
2. Soit fl’endomorphisme de Edéfini par ∀P∈E,f(P) = X P. Démontrer que l’application fest continue
sur (E,k k∞)et déterminer ||| f|||.
Correction H[005854]
Exercice 2 **
On munit E=`∞(C)le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme kuk∞=sup
n∈N
|un|.
On considère les endomorphismes ∆et Cde `∞(C)définis par :
∀u∈E,∆(u) = voù ∀n∈N,vn=un+1−unet ∀u∈E,C(u) = woù ∀n∈N,wn=1
n+1∑n
k=0uk.
Montrer que ∆et Csont continus sur (E,k k∞)et calculer leur norme.
Correction H[005855]
Exercice 3 *** I
On munit E=C0([0,1],R)de la norme 1 définie par ∀f∈E,kfk1=R1
0|f(t)|dt.
On pose T:E→E
f7→ T f :[0,1]→R
x7→ Rx
0f(t)dt
et on admet que Test un endomorphisme de E.
1. Démontrer que Test continu sur (E,k k1)et déterminer |||T|||.
2. Vérifier que la borne supérieure n’est pas atteinte.
Correction H[005856]
Exercice 4 **
On munit E=Mn(R)de la norme Ndéfinie par ∀A∈E,N(A) = Sup
16i6n∑n
j=1|ai,j|(on admet que Nest une
norme sur E).
Soit fl’application de Edans Rdéfinie par ∀A∈E,f(A) = Tr(A). Démontrer que l’application fest continue
sur (E,N)et déterminer ||| f|||.
Correction H[005857]
Exercice 5 ***
Déterminer s=SupnkABk
kAkkBk,(A,B)∈(Mn(C)\ {0})2oquand k k est
1

1. k k1,
2. k k2,
3. k k∞.
Correction H[005858]
Exercice 6 *
Une norme sur Mn(R)(n>2), est-elle nécessairement une « norme trois barres » ?
Correction H[005859]
Exercice 7 **
Soit Nune norme sur Mn(R).
Montrer qu’il existe k>0 tel que ∀(A,B)∈(Mn(R))2,N(AB)6k(A)N(B).
Correction H[005860]
Exercice 8 **
Existe-t-il une norme Nsur Mn(R)(n>2) telle que ∀(A,B)∈(Mn(R))2,N(AB) = N(A)N(B).
Correction H[005861]
Exercice 9 ***
On pose ∀X= (xi)16i6nMn,1(R),kXk1=∑n
i=1|xi|et kXk∞=Max
16i6n|xi|.
Déterminer les normes sur Mn(R)respectivement associées aux normes k k1et k k∞de Mn,1(R). On notera
||| |||1et ||| |||∞ces normes.
Correction H[005862]
Exercice 10 **I
Pour X= (xi)16i6n∈Mn,1(R), on pose kXk2=q∑n
i=1x2
i. Pour A∈Sn(R), on note ρ(A)le rayon spectral de
Ac’est-à-dire ρ(A) = Max{|λ|,λ∈Sp(A)}.
Montrer que ∀A∈Sn(R),|||A|||2=ρ(A)où |||A|||2=SupnkAXk2
kXk2,X∈Mn,1(R)\ {0}o.
Correction H[005863]
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Correction de l’exercice 1 N
1. •Soit P∈E. Si on pose P=∑+∞
k=0akXk, il existe n∈Ntel que ∀k>n,ak=0. Donc kPk∞=
Supn
P(k)(0)
k!,k∈No=Max{|ak|,06k6n}existe dans R.
• ∀P∈E,kPk∞>0.
•Soit P∈E.kPk∞=0⇒ ∀k∈N,|ak|60⇒ ∀k∈N,ak=0⇒P=0.
•Soient P∈Eet λ∈R.kλPk∞=Max{|λak|,06k6n}=|λ|Max{|ak|,06k6n}=|λ|kPk∞.
•Soient P=∑k>0akXket Q=∑k>0bkXkdeux polynômes. Pour k∈N,|ak+bk|6|ak|+|bk|6kPk∞+
kQk∞et donc kP+Qk∞6kPk∞+kQk∞.
k k∞est une norme sur E.
2. ∀P∈E,kf(P)k∞=kPk∞et donc ∀P∈E\{0},kf(P)k∞
kPk∞=1. On en déduit que Supnkf(P)k∞ kPk∞,P∈E\ {0}o=
1. Ceci montre tout à la fois que fest continue sur (E,k k∞)et ||| f||| =1.
fest continue sur (E,k k∞)et ||| f||| =1.
Correction de l’exercice 2 N
(La linéarité de ∆est claire et de plus ∆est un endomorphisme de Ecar si uest une suite bornée, ∆(u)l’est
encore. Plus précisément,)
∀u∈E,∀n∈N,|∆(u)n|6|un|+|un+1|62kuk∞et donc ∀u∈E,k∆(u)k∞62kuk∞.
Ceci montre que ∆est continu sur Eet |||∆||| 62. Ensuite, si uest la suite définie par ∀n∈N,un= (−1)nalors
uest un élément non nul de Etel que kuk∞=1 et k∆(u)k∞=2. En résumé,
• ∀u∈E\ {0},k∆(u)k∞
kuk∞62,
• ∃u∈E\ {0},k∆(u)k∞
kuk∞=2.
On en déduit que
∆est continu sur (E,k k∞)et |||∆||| =2.
(La linéarité de Cest claire et Cest un endomorphisme de Ecar si uest bornée, C(u)l’est encore. Plus
précisément,)
∀u∈E,∀n∈N,|(C(u))n|61
n+1∑n
k=0kuk∞=kuk∞et donc ∀u∈E,kC(u)k∞6kuk∞.
Par suite Test continue sur Eet |||T||| 61. Ensuite, si uest la suite définie par ∀n∈N,un=1 alors uest un
élément non nul de Etel que kuk∞=1 et kC(u)k∞=1. En résumé,
• ∀u∈E\ {0},kC(u)k∞
kuk∞61,
• ∃u∈E\ {0},kC(u)k∞
kuk∞=1.
On en déduit que
Cest continu sur (E,k k∞)et |||C||| =1.
Correction de l’exercice 3 N
3

1. Soit f∈E.
kT f k1=Z1
0
|T f (x)|dx =Z1
0Zx 0
f(t)dt dx
6Z1
0Zx 0
|f(t)|dtdx
6Z1
0Z1 0
|f(t)|dtdx =Z1
0
kfk1dx =kfk1.
Ceci montre que ∀f∈E\{0},kT f k1
kfk161. Ceci montre que Test continu sur (E,k k1)et que |||T||| 61.
Pour n∈Net x∈[0,1], posons fn(x) = (1−x)n. Pour n∈N,
kfnk1=R1
0(1−x)ndx =h−(1−x)n+1
n+1i1
0=1
n+1,
puis pour x∈[0,1],T fn(x) = Rx
0(1−t)ndt =1
n+1(1−(1−x)n+1)et donc
kT fnk1=R1
0|T fn(x)|dx =1
n+1R1
0(1−(1−x)n+1)dx =1
n+11−1 n+2=1 n+2.
On en déduit que ∀n∈N,|||T||| >kT fnk1
kfnk1=n+1
n+2.
En résumé, ∀n∈N,n+1
n+26|||T||| 61 et donc |||T||| =1.
Test continu sur (E,k k1)et |||T||| =1.
2. Supposons qu’il existe f∈E\ {0}tel que kT f k1=kfk1. On en déduit que chaque inégalité écrite
au début de la question 1) est une égalité et en particulier R1
0(Rx 0|f(t)|dt)dx =R1 0R1 0|f(t)|dtdx
ou encore R1
0R1 0|f(t)|dt −Rx 0|f(t)|dtdx =0. Par suite, ∀x∈[0,1],R1 0|f(t)|dt −Rx 0|f(t)|dt =0
(fonction continue, positive, d’intégrale nulle) puis en dérivant la dernière inégalité, ∀x∈[0,1],|f(x)|=
0 et finalement f=0. Ceci est une contradiction et donc |||T||| n’est pas atteinte.
Correction de l’exercice 4 N
L’application fest linéaire de (E,N)dans (R,| |). Soit A= (ai,j)16i,j6n∈E.
|f(A)|=|Tr(A)|6
n
∑
i=1
|ai,i|
6
n
∑
i=1 n
∑
j=1
|ai,j|!6
n
∑
i=1
N(A) = nN(A).
Ceci montre déjà que fest continue sur (E,N)et que ||| f||| 6n. De plus, si A=In6=0, |f(A)|
N(A)=n
1=n. Donc
fest continue sur (E,N)et ||| f||| =n.
Correction de l’exercice 5 N
• ∀A= (ai,j)16i,j6n∈Mn(R),kAk∞=Max{|ai,j|,16i,j6n}.
Soient A= (ai,j)16i,j6net B= (bi,j)16i,j6n. Posons AB = (ci,j)16i,j6noù ∀(i,j)∈[[1,n]]2,ci,j=∑n
k=1ai,kbk,j.
Pour (i,j)∈[[1,n]]2,
|ci,j|6∑n
k=1|ai,k||bk,j|6∑n k=1kAk∞kBk∞=nkAk∞kBk∞,
4

et donc, kABk∞6nkAk∞kBk∞. Ainsi, ∀(A,B)∈(Mn(C)\ {0})2,kABk∞
kAk∞kBk∞6n.
De plus, pour A0=B0= (1)16i,j6n6=0, kA0k∞=kB0k∞=1 puis kA0B0k∞=knA0k∞=net donc kA0B0k∞
kA0k∞kB0k∞=
n. Ceci montre que
SupnkABk∞
kAk∞kBk∞,(A,B)∈(Mn(C)\ {0})2o=n.
En particulier, k k∞n’est pas une norme sous-multiplicative.
• ∀A= (ai,j)16i,j6n∈Mn(R),kAk1=∑16i,j6n|ai,j|. Avec les notations précédentes,
kABk1=∑
16i,j6n
|ci,j|=∑
16i,j6n
n
∑
k=1
ai,kbk,j
6∑
16i,j6n n
∑
k=1
|ai,k||bk,j|!=∑
16i,j,k6n
|ai,k||bk,j|
∑
16i,j,k,l6n
|ai,j||bk,l|=kAk1kBk1.
Donc ∀(A,B)∈(Mn(R)\ {0})2,kABk1
kAk1kBk161.
De plus, pour A0=B0=E1,1, on a A0B=E1,1et donc kA0B0k1
kA0k1kB0k1=1. Ceci montre que
SupnkABk1
kAk1kBk1,(A,B)∈(Mn(C)\ {0})2o=1.
En particulier, k k1est une norme sous-multiplicative.
• ∀A= (ai,j)16i,j6n∈Mn(R),kAk2=q∑16i,j6na2
i,j. Avec les notations précédentes,
kABk2
2=∑
16i,j6n
c2
i,j=∑
16i,j6n n
∑
k=1
ai,kbk,j!2
6∑
16i,j6n n
∑
k=1
a2
i,k! n
∑
k=1
b2
k,j!(inégalité de CAUCHY-SCHWARZ)
=∑
16i,j6n n
∑
k=1
a2
i,k! n
∑
l=1
b2
l,j!=∑
16i,j,k,l6n
a2
i,kb2 l,j= ∑
16i,k6n
a2
i,k! ∑
16j,l6n
b2
l,j!=kAk2kBk2
Donc ∀(A,B)∈(Mn(R)\ {0})2,kABk2
kAk2kBk261.
De plus, pour A0=B0=E1,1, on a A0B=E1,1et donc kA0B0k2
kA0k2kB0k2=1. Ceci montre que
SupnkABk2
kAk2kBk2,(A,B)∈(Mn(C)\ {0})2o=1
En particulier, k k2est une norme sous-multiplicative.
Correction de l’exercice 6 N
Une « norme trois barres » sur Mn(R)est nécessairement sous-multiplicative. L’exercice précédent montre
qu’il existe des normes sur Mn(R)qui ne sont pas sous-multiplicatives (par exemple k k∞). Donc une norme
sur Mn(R)n’est pas nécessairement une « norme trois barres ».
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