Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique CHAPITRE 1 SYSTÈMES LINÉAIRES - SYSTÈMES ASSERVIS 1. Les systèmes - Définitions et exemples. Un système peut être défini comme un ensemble d'éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Un système communique avec l’extérieur par l'intermédiaire de grandeurs, fonctions du temps, appelées signaux. Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes: x 1(t)...x N(t) pour les signaux d'entrée. y1(t)...yM(t) pour les signaux de sortie. Les signaux de sortie d'un système sont aussi appelés réponse du système . x 1(t) . . . . . x N(t) SYSTÈME y1(t) . . . . . yM(t) Remarque: en général les signaux d'entrée et de sortie d'un système ne sont pas de même nature. De plus N peut être différent de M. Les systèmes à une entrée et une sortie (cas où N = 1 , M = 1 ) sont appelés systèmes univariables ou systèmes scalaires. Exemples: Chauffage d'une pièce. TEXTERIEUR TRADIATEUR TPIECE Commande d'un moteur. Courant Moteur -1- Couple Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Un système est principalement connu par son action sur le monde extérieur. Lorsqu'on applique certains signaux d'entrée, le système se manifeste en émettant des signaux de sortie particuliers. Le système est donc parfaitement connu quand on peut prédire ces signaux de sortie, c'est-à-dire lorsqu'on connaît les relations entre les x i et les yj: y1(t) = f 1(x 1(t),...,x N(t)) ... yM(t) = f M(x 1(t),...,x N(t)) i(t) Exemple: Soit le circuit électrique suivant : R v e(t) v s(t) C CIRCUIT v e(t) v s(t) La charge du condensateur étant initialement nulle, on ferme l'interrupteur à t = 0. Pour t > 0, l'équilibre t 1 électrique du circuit se traduit par l'équation : R. i + ∫ i. dt = v e ( t ) C0 t avec : vs ( t ) = 1 i. dt C ∫0 on a donc l'équation du système: RC dv s + vs ( t ) = ve ( t ) dt 2. Les systèmes linéaires. Un système est dit linéaire si la réponse de ce système à une combinaison linéaire de signaux d'entrée est égale à la combinaison linéaire des réponses: x 1 (t) Système y1 (t) x 2 (t) Système y2 (t) si on applique en entrée x(t) = u.x 1(t) + v.x 2(t) on obtiendra en sortie y(t) = u.y1(t) + v.y2(t) Cette propriété des systèmes linéaires est aussi appelée principe de superposition. Dans la plupart des cas on essaie de se ramener à l'étude d'un système linéaire. En effet, le principe de superposition simplifie beaucoup les problèmes: en particulier, on peut distinguer l'étude des conditions initiales d'une part et l'étude du comportement dynamique d'autre part. -2- Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique y0+y(t) x 0+x(t) se décompose en : x0 y0 x(t) y(t) 3. Les systèmes invariants. Un système est dit invariant si la réponse du système à un signal x(t) différé d'un temps τ est la même que la réponse y(t) du système mais différée de τ. entrée entrée x(t) x(t-τ) t t τ sortie sortie y(t) y(t-τ) t t τ Un système invariant est aussi appelé système à paramètres constants localisés ou à constantes localisées. Cette propriété des systèmes invariants est aussi appelée principe de permanence. Exemples: Moteur. courant couple Moteur Si on néglige l'usure, le moteur n'évolue pas dans le temps: le système est invariant. Fusée. débit de propergols accélération Fusée La masse de la fusée diminue au cours de son ascension : pour un même débit de propergols, l'accélération augmente avec le temps : le système est variant. -3- Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Remarques: Dans la suite on s’intéressera surtout aux systèmes invariants. Un système peut être linéaire et/ou invariant : les deux propriétés sont indépendantes. -4- Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 4. Réponses particulières d'un système scalaire. On considère ici un système scalaire, c'est à dire à une entrée et une sortie. y(t) x(t) Pour connaître le comportement du système et le comparer à d'autres systèmes, on étudie les réponses à quelques signaux particuliers. Réponse impulsionnelle. On appelle réponse impulsionnelle, la réponse notée h(t), obtenue par l'application d'une impulsion de Dirac δ(t) (voir Annexe 1) à l'entrée du système, celui-ci étant initialement au repos. δ(t) 1 y(t)=h(t) t t Réponse indicielle. On appelle réponse indicielle, la réponse notée w(t), obtenue par l'application d'un échelon unité u(t) à l'entrée du système, celui-ci étant initialement au repos. u(t) y(t)=w(t) 1 t t 0 5. Réponse à un signal quelconque : convolution temporelle. Remarque : l’annexe 1 donne les notions indispensables sur la distribution de Dirac notée δ(t) pour aborder la notion fondamentale de convolution temporelle. 5.1 Définition de la convolution temporelle On considère un système scalaire linéaire invariant de réponse impulsionnelle h(t). Pour un système scalaire, linéaire et invariant, initialement au repos, la réponse y(t) à un signal d'entrée quelconque x(t) est donnée par le produit de convolution entre x(t) et la réponse impulsionnelle du système : +∞ y (t ) = ∫ x( v ). h(t − v ). dv = x (t )∗ h(t ) −∞ -5- Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Cette expression est fondamentale. Elle permet, connaissant le système par sa réponse impulsionnelle h(t) et l’entrée x(t), de déterminer y(t). Elle peut donc remplacer totalement l’équation différentielle régissant le système. Cette expression se note de façon condensée y ( t ) = x ( t )∗ h( t ). ∗ est l'opérateur de convolution ; y(t) est la convolution du signal d'entrée avec la réponse impulsionnelle du système. Remarques: • Le produit de convolution est commutatif: y ( t ) = x ( t )∗ h( t ) = h( t )∗ x ( t ) • L’impulsion de Dirac et la réponse impulsionnelle (si x et y ont même dimension) sont homogènes à l’inverse d’un temps. Ce sont des éléments mathématiques qui permettent de formaliser les comportements des systèmes mais qui n’ont pas de réalité physique. Si l’impulsion de Dirac est appliquée à l’instant zéro, la réponse impulsionnelle est forcément nulle pour t < ν car h( t − ν ) = 0 , le système étant supposé causal (cas des systèmes physiquement réalisables). De plus, si le signal est lui-même causal (appliqué au temps t=0), alors x ( v ) = 0 si v < 0 . Les bornes de l’intégrale de convolution se simplifient et le produit de convolution s’écrit : t y ( t ) = ∫ x( v ). h( t − v ). dv 0 Exemple: calcul de la réponse indicielle d’un circuit RC à partir de sa réponse impulsionnelle. 1 t La réponse impulsionnelle d’un circuit RC s’écrit (voir TD): h(t ) = .exp − , avec τ=RC. τ τ On se propose d’utiliser la convolution pour déterminer la réponse indicielle w(t) du circuit RC à un échelon d’amplitude E à partir de sa réponse impulsionnelle h(t). t t 0 0 w(t ) = h(t )* E.u(t ) = ∫ h(t − v ).E.u (v ).dv =E.∫ h(t − v ).dv 1 E t − v t − v t w( t ) = E. ∫ .exp − . dv = . τ.exp − = E. 1 − exp − τ τ τ τ τ 0 0 t t soit: 5.2 Quelques significations physiques de la convolution: appareil de mesure a. Signal vrai et signal observé Un appareil de mesure (oscilloscope, analyseur de spectre, ...) peut être décrit par l’opération de convolution y ( t ) = x( t )∗ h ( t ) . x(t) est le signal vrai à mesurer, y(t) est le signal effectivement mesuré (ou observé) à l’aide de l’appareil, h(t) est la réponse impulsionnelle de l’appareil. Pour que le signal mesuré corresponde rigoureusement au signal vrai, il faudrait que la réponse impulsionnelle de l’appareil soit une impulsion de Dirac. Cela revient à dire que l’appareil devrait être parfait, c’est-à-dire posséder un temps de réponse infiniment court (ou une bande passante infinie). Dans ce cas, l’appareil est transparent puisqu’il n’intervient pas dans le signal observé qui correspond au signal réel. En réalité, un appareil, quel qu’il soit, possède toujours un temps de réponse non nul (et donc une bande passante non infinie - voir oscilloscopes utilisés en TP « Bande Passante=20MHz »). Le signal observé est donc toujours une image plus ou moins modifiée du signal réel. Le plus ou moins dépend de la bande passante de l’appareil vis à vis du spectre du signal à mesurer. Si on mesure par exemple un signal sinusoïdal de fréquence 100KHz avec un oscilloscope po ssédant une bande passante égale à 20MHz, l’oscilloscope pourra être considéré comme parfait. Par contre si le signal sinusoïdal possède une fréquence égale à 100MHz, il faudra tenir compte de la réponse impulsionnelle de l’oscilloscope. -6- Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique b. Pouvoir séparateur des appareils: résolution temporelle La réponse impulsionnelle des appareils de mesure réels peut être considérée plus ou moins courte selon les constantes de temps régissant les phénomènes observés (voir TD). Dans tous les cas sa durée est non nulle. Ceci se traduit par un étalement temporel plus ou moins significatif du signal mesuré. Ainsi, si deux impulsions à mesurer sont trop rapprochées dans le temps, leur étalement dans le temps fera que l’on ne pourra plus les séparer lors de la mesure, la résolution temporelle de l’appareil étant insuffisante. La résolution temporelle d’un appareil de mesure, directement liée à sa réponse impulsionnelle, est donc la distance minimale séparant deux impulsions successives permettant de les distinguer lors de la mesure. Cette notion de résolution temporelle est générale en physique pour tous les appareils de mesure, aussi bien en optique qu’en électronique rapide (impulsions de largeur inférieure à 1ns=10-9 secondes). 6. Les systèmes asservis L’étude des systèmes est destinée à commander au mieux les différents processus rencontrés. Il existe deux solutions pour commander un système : 6.1 Commande en boucle ouverte Dans ce cas, la commande est envoyée en entrée sans contrôle sur les sorties. Exemple: rhéostat résistance chauffante four Pour utiliser ce type de commande, il est nécessaire de connaître le système et les réponses aux commandes envoyées. Malgré tout, de multiples perturbations peuvent modifier l’action de ces commandes: si la porte du four reste ouverte, les graduations du rhéostat ne correspondent plus à la température intérieure. 6.2 Commande en boucle fermée Pour améliorer les performances d’une commande, il est indispensable d’observer les sorties du système pour les comparer à ce que l’on désire obtenir. Dans ce deuxième type de commande, les sorties du système sont contrôlées. C’est à ce niveau que l’on rencontre la notion de système asservi. Un système asservi est un système dont le rôle consiste essentiellement à établir une correspondance définie entre une ou plusieurs grandeurs d’entrée, de faibles niveaux énergétiques, et une ou plusieurs grandeurs de sortie de niveaux énergétiques plus élevés. Un système asservi est caractérisé par la présence de: - chaînes directes Elles comprennent des éléments amplificateurs et éventuellement, des convertisseurs de puissance, en liaison avec les sources d’énergie. - Chaînes de retour Elles sont constituées d’éléments de précision généralement passifs. Ce ne sont pas des chaînes de puissance ; elles transmettent à l’entrée des informations sur les grandeurs de sortie. Ces informations sont comparées aux signaux d’entrée au moyen de comparateurs. Ces derniers élaborent les différences ou écarts entre les signaux d’entrée et les informations images des signaux de sortie. -7- Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Structure d’un système asservi: P X: signal d’entrée ou consigne ou signal de référence Y: signal de sortie X E: écart ; P: perturbation J: source d’énergie J E + 1 - Y 2 1: chaîne directe (amplificateurs, correcteurs, organes de conversion) 2: chaîne de retour (éléments de précision, capteurs, instruments de mesure) Remarque: le contrôle des sorties d’un système semble être un moyen idéal pour établir des commandes parfaites. Il ne faut cependant pas oublier que tout système physique comporte des temps de réponse. Des retours anarchiques installés sans étude préalable peuvent conduire à des instabilités et parfois à la destruction du système. Pour déterminer les retours adéquats pour un système donné et une commande donnée, l’automaticien doit, dans un premier temps, établir un modèle mathématique du système. alors seulement, il pourra effectuer des calculs de commande. Exemple: Chauffage d’un immeuble θe θe T θ0 θ Système θe a + T a) Système b) θe θe θ0 + a θc + θ T Système P c) Figure 1.1. -8- - θ Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique La figure 1.1 a) représente le système. La température θ à l’intérieur de l’immeuble est fonction de la température T de l’eau chaude envoyée dans les radiateurs et de la température extérieure θe. Nous représentons cette description, volontairement simplifiée, par une boîte munie d’une sortie θ, d’une entrée de commande T à la disposition de l’opérateur et d’une perturbation θe. Le rayonnement solaire dans l’immeuble, le vent ou d’autres grandeurs agissent aussi sur la température θ. C’est volontairement que ces grandeurs ne sont pas prises en compte par notre modèle qui doit, avant tout, être simple. C’est l’utilisateur qui règle T, en vue d’obtenir θ=19°C (en régime permanent). Il sait, par expérience, qu’il obtient un bon résultat en réglant T, par exemple, à 45°C. Il sait aussi que si la température extérieure θe diminue, il devra revenir régler T qu’il augmentera d’autant plus que θe aura diminué. La figure 1.1 b) représente alors une première tentative de réglage automatique de T, tel que T = a(θ0 − θe ) . Dans cette configuration, l’opérateur n’aura plus besoin de retoucher T en fonction de la température extérieure. En effet, T va varier automatiquement en sens inverse de θe. Quand θe=θ0, on a T=0, ce qui signifie qu’on doit, bien entendu, couper le chauffage. Cette commande en boucle ouverte donne de bons résultats car la température θe est mesurable par une sonde extérieure, θ0 est donc une référence, réglable par l’opérateur de même que (-a), la pente de la droite de réglage (figure 1.2). T Tmax Figure 1.2. pente (-a) θemin θ0 Le chauffagiste procédera à des essais pour adapter la chaufferie aux caractéristiques particulières de l’immeuble à chauffer en vue de définir les paramètres θ0 et a. La figure 1.1 c) représente une amélioration du réglage automatique de T. Supposons que par temps froid le soleil pénètre à l’intérieur de l’immeuble. La température intérieure θ va s’élever sans pour autant que la température T de l’eau des radiateurs ne soit réduite puisqu’elle ne dépend que de θe. Il se produira alors une surchauffe et un opérateur devrait venir pour modifier T, c’est à dire pour diminuer θ0. Il est clair que cette opération peut s’effectuer de façon automatique en rendant θ0 dépendant de la température θ effectivement atteinte dans l’immeuble. Pour cela, θ est comparée à une consigne θc, réglable par l’utilisateur, à l’aide d’une boucle d’asservissement. La grandeur θ0 peut alors suivre une loi très simple, par exemple θ0=P(θc- θ), qui assure les variations de θ0 dans le bon sens. Le système fonctionne ainsi en boucle fermée. -9- Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique CHAPITRE 2 MISE EN ÉQUATION D'UN SYSTÈME LINÉAIRE SCALAIRE La mise en équation, au départ de l'analyse d'un système, est une opération extrêmement délicate, qui peut compromettre l'ensemble de l'étude de manière définitive. Cette opération demande beaucoup de connaissances physiques mais aussi d'expérience de "terrain". Avec une vue générale des systèmes et par analogie avec les systèmes électriques, on peut établir ces équations indispensables. Dans la suite, nous nous intéresserons aux systèmes scalaires, c'est à dire à une entrée et une sortie, linéaires. 1. Notion de modèle - Mise en équation. On appelle modèle d’un processus ou système monovariable la loi qui relie l’entrée x (cause) à la sortie y (effet). L’idéal, pour appréhender l’étude d’un système, est de détailler pas à pas l’ensemble de ses éléments constitutifs. Mais cette méthode, la seule au stade de la conception d’un système automatisé, n’est pas praticable en général sur un système existant, de structure complexe ou mal connue. Nous supposerons que l’on peut définir a priori une loi simple qui lie y à x. Les paramètres (en général peu nombreux) de la loi sont alors déterminés par des essais effectués sur le système, c’est la phase d’identification ou modélisation. Soit un système linéaire et scalaire. Le comportement d'un tel système est régi par une équation différentielle, ayant pour forme: y(t ) x (t ) bn . dny dy d mx dx + ... + b . + b . y = a . + a0 . x n 1 0 m m +...+ a1 . dt dt dt dt Remarque: Si le système est variant, les coefficients ai et bj de l'équation sont dépendants du temps: ai(t), bj(t). La mise en équation d'un système scalaire, linéaire et invariant consiste donc à déterminer les paramètres constants de l'équation qui lient l'entrée et la sortie. Exemple: i(t) v e(t) R C -9- v s(t) Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique dv s dt dv Avec: ve = R. i + v s d’où: ve = R. C. s + v s dt Par identification : b0 = 1 ; b1 = RC et a 0 = 1. On a: vs = 1 idt C∫ donc i = C. 2. Transformée de Laplace. L'étude des systèmes s'accompagne inévitablement de la manipulation d'équations différentielles. Or les opérations liées à cette manipulation sont souvent délicates et la résolution des équations n'est pas toujours simple. Pour faciliter les calculs, on utilise un outil mathématique puissant: la transformée de Laplace. 2.1 Formulation mathématique. Transformée de Laplace. Soit f(t) une fonction réelle de la variable réelle t, définie pour toute valeur de t, sauf éventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle pour t<0. ∞ La transformée Laplace de f(t) est définie par l'égalité: F ( p ) = ∫ e − pt . f ( t ). dt 0 p étant une variable complexe. On note F(p) = LP[f(t)] et f(t) = LP -1[F(p)]. On dit que F(p) est la transformée de f(t) et que f(t) est l'original de F(p). Pour résoudre les équations différentielles grâce à la transformée de Laplace, il est nécessaire de savoir effectuer le passage de f(t) à F(p) mais aussi de F(p) à f(t) : Théorème : formule d'inversion. Soit f(t) une fonction réelle de la variable t, de classe C² par morceaux (c'est à dire continue et pourvue d'une dérivée première et seconde continues, sauf éventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini), telle que - f(t) = 0 pour t<0 - il existe σ tel que ∞ ∫e − pt 0 ∞ . f ( t ) . dt et ∫ e − σt . F ( p ). dp sont convergentes. 0 1 1 f ( t + 0 ) + f ( t − 0 )] = e tp . F ( p). dp [ ∫ 2 2 iπ Γ alors pour toutes valeurs de t on a: o ù Γ est la droite d'équation x = σ. Pour information, le calcul de cette dernière intégrale est effectué avec la méthode des résidus qui sera abordée en second cycle. 2.2 Propriétés et théorèmes. Les propriétés de la Transformée de Laplace sont réunies dans le tableau ci-après. - 10 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Propriété Originale f(t) a.f 1(t)+b.f 2(t) f’(t) f n (t ) (n>0) Linéarité Dérivation Dérivation d’ordre n Transformée de Laplace F(p) aF1(p)+b.F2(p) p.F(p)-f(0+) pn.F(p)-pn-1.f(0+)- ... -p.f(n-2)(0+) -f(n-1)(0+) Intégration ∫ f ( t). dt F ( p) p Retard Changement d’échelle f(t-θ) f(a.t) e-θp.F(p) 1 p . F a a A ces propriétés, on doit joindre les théorèmes suivants: Théorème de la valeur finale: lim p. F ( p ) = lim f ( t ) p→ 0 t →∞ Théorème de la valeur initiale: lim p. F ( p ) = lim f ( t ) p→ ∞ t →0 Théorème de Borel: Si f(t) et g(t) ont respectivement pour transformée de Laplace F(p) et G(p), alors h( t ) = f ( t ) * g( t ) a pour transformée: H(p) = F(p).G(p). Théorème du développement de Heaviside : Pour trouver l’originale d’une fraction rationnelle F(p)/G(p), où le degré de F(p) est inférieur au degré de G(p), on la décompose en éléments simples de première espèce, et l’on applique la formule: t k −1 at 1 LP e = k ( k − 1) ! ( p − a) 2.3 Table des transformées de Laplace. Il est souvent plus simple de calculer la Transformée de Laplace d’une fonction à partir de la transformée connue d’une autre fonction en utilisant les propriétés et théorèmes énoncés au §2.2. A partir de quelques résultats de base, on peut ainsi retrouver rapidement les Transformées de Laplace de la plupart des fonctions utilisées en électronique ou en automatique dans les asservissements. Afin d’éviter le calcul systématique de ces fonctions de base, on les regroupe dans des tables de Transformées de Laplace. Une table résumée des Transformé es de Laplace les plus usuelles en électronique est donnée. - 11 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 3. Fonction de transfert. Soit un système scalaire, linéaire, invariant régi par l'équation différentielle : d nx dx dmy dy a n . n +...+ a1 . + a0 . x = bm . m +...+b1 . + b0 . y dt dt dt dt La transformation de Laplace appliquée à cette équation conduit à la nouvelle relation : an[pn.X(p) - pn-1.x(0+) - ... - p.x(n-2)(0+) - x(n-1)(0+)] + ... + a1[p.X(p) - x(0+)] + a0.X(p) = bm[pm.Y(p) - pm-1.y(0+) - ... - p.y(m-2)(0+) - y(m-1)(0+)] + ... + b1[p.Y(p) - y(0+)] + b0.Y(p) Cette relation peut aussi s'écrire sous la forme suivante : [an.pn + ... + a1.p + a0]X(p) - [an.pn-1 + ... + a1]x(0+) -...- [an.p + an-1]x(n-2)(0+) - an.x(n-1)(0+) = [bm.pm + ... + b1.p + b0]Y(p) - [bm.pm-1 + ... + b1]y(0+) - ... - [bm.p + bm-1]y(m-2)(0+) - bm.y(m-1) (0+) Dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles ou considérées comme telles à la suite d’un changement de variable (cas le plus fréquent), cette dernière relation se simplifie: an p n + ... + a 0 X ( p ) = bm p m + ... + b0 Y ( p ) [ On aboutit finalement au résultat: ] [ Y ( p ) a n p n + ... + a0 = X ( p ) bm p m + ... + b0 ] Fonction de transfert. La fonction en p, obtenue en formant le rapport Y ( p ) sur X ( p ) lorsque le système est initialement au repos, est appelée fonction de transfert du système. On la note généralement H(p): Y ( p) H ( p) = X ( p) On a vu précédemment que la réponse d'un système scalaire, linéaire, invariant à un signal quelconque x (t ) est donnée par: y (t ) = +∞ ∫ x(τ ).h(t − τ ).dτ = x(t ) ∗ h(t ) o ùh(t) est la réponse impulsionnelle du système. −∞ En appliquant la transformée de Laplace à cette dernière relation (théorème de Borel, voir TD sur Laplace), on obtient : Y ( p ) = X ( p ).LP[h(t )] En comparant cette égalité avec la définition de la fonction de transfert du système on constate que: H ( p) = LP[h (t )] La fonction de transfert H(p) d'un système scalaire, linéaire et invariant, est égale à la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle h(t) de ce système: H ( p) = LP[h (t )] - 12 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Exemple: on reprend l'exemple du §1: R i(t) v e(t) v s(t) C dvs + vs dt On applique la transformée de Laplace: Ve ( p ) = RC pVs ( p ) − v s (0 + ) + Vs ( p ) On a: ve = RC [ ] Si les conditions initiales sont nulles v s (0 + ) = 0 , on obtient: Ve ( p ) = (1 + RCp )Vs ( p ) V ( p) 1 D'où la fonction de transfert de ce système: H ( p ) = s = Ve ( p ) 1 + RCp 4. Diagramme fonctionnel. Un système complexe peut comporter plusieurs sous systèmes. Pour manipuler les équations de l'ensemble du processus, sans lourdeur, on utilise une représentation schématique adaptée: la méthode des diagrammes fonctionnels. Diagramme fonctionnel. Le diagramme fonctionnel d'un système scalaire, dont la fonction de transfert est H(p), est défini par: X ( p) H ( p) Y ( p) Les calculs dans l'espace de Laplace étant simples, on garde pour les diagrammes fonctionnels l'expression des transformées de Laplace. Les règles de manipulation de ces diagrammes sont alors presque évidentes: Mise en série: Soit un système formé par la mise en série de deux sous systèmes de fonction de transfert H1 et H2. La fonction de transfert de l'ensemble est H = H1.H2. X ( p) X ( p) H1( p ) Y ( p) H 2( p ) H1( p ).H 2( p ) - 14 - Z( p) Z( p) Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Mise en parallèle: Soit un système formé par la mise en parallèle de deux sous systèmes de fonction de transfert H1 et H2. La fonction de transfert de l'ensemble est H = H1 + H2. X ( p) X ( p) H1( p ) + H 2( p ) + Y ( p) H1( p ) + H 2( p ) Y ( p) 5. Relations fondamentales en électricité et en mécanique. 5.1 Relations fondamentales en électricité. a. Notations • • • • • • • différence de potentiel (Volts) : courant (Ampères) : résistance (Ohms) : capacité d’un condensateur (Farads) : self (Henry) : Énergie électrique (Joules) : Énergie magnétique (Joules) : e i R C L EE EM b. Relations fondamentales • tension aux bornes d’une résistance : e = R. i di e = L. dt de i = C. dt 1 EE = . C. e2 2 1 E M = . L. i 2 2 • tension aux bornes d’une inductance : • tension aux bornes d’un condensateur : • Énergie électrique : • Énergie magnétique : - 15 - (1) (2) (3) (4) (5) Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 5.2 Systèmes mécaniques en translation. a. Lois fondamentales • Loi fondamentale de la dynamique : l’accélération d’un mobile dans une direction est proportionnelle à la résultante des forces appliquées au mobile dans cette direction : dV ρ ρ m. .u = Fx (6) dt ρ ρ o ù Fx représente la somme des projections des forces appliquées au mobile sur la direction u considérée. m est la masse d’inertie du mobile (kg). • Énergie cinétique d’un corps en translation : pour amener un corps immobile de masse m à la ρ vitesse V, il faut fournir une énergie cinétique Ec. Celle-ci correspond au travail de la force Fx qui accélère le corps. Le travail W fourni par cette force s’écrit : dV 1 W = Ec = ∫ dW = ∫ F .V . dt = ∫ m. .V . dt = ∫ m.V . dV = . m.V 2 (7) dt 2 b. Les différents types de forces et énergies • Force de rappel élastique : c’est la force qu’exerce un ressort lorsqu’on l’écarte de sa position de repos. Cette force est proportionnelle à l’écart x par rapport à cette position de repos : ρ ρ F = − k. x. u • Énergie potentielle d’élasticité : travail de la force nécessaire pour amener le ressort de sa position de repos à sa nouvelle position : 1 1 W = E p = ∫ dW = ∫ k . x. dx = ∫ d . k . x 2 = . k . x 2 (8) 2 2 • Force de frottement visqueux : c’est la force qu’exerce un amortisseur lorsqu’on le comprime ou lorsqu’on l’étire : ρ ρ dx ρ F = − f .V = − f . .u (9) dt f est le coefficient de frottement visqueux (N.s.m-1). 5.3 Systèmes mécaniques en rotation. a. Lois fondamentales • Loi fondamentale de la dynamique: l’accélération angulaire d’un solide en rotation autour d’un axe fixe est proportionnelle au moment résultant par rapport à cet axe de toutes les forces extérieures appliquées au solide. Cette loi s’écrit (en intensité): d 2α dΩ J . 2 = J. =Μ (10) dt dt o ù α représente l’angle de rotation (rd), Ω la vitesse de rotation (rd.s-1), J le moment d’inertie (kg.m2) et M le moment résultant de toutes les forces par rapport à l’axe de rotation (m.N). • Énergie cinétique de rotation: 1 1 W = Ec = ∫ dW = ∫ M . dα = ∫ M . Ω. dt = ∫ J . Ω. dΩ = ∫ d . J . Ω 2 = . J .Ω 2 (11) 2 2 - 16 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique b. Les différents types de moments et énergies • Moment de rappel élastique : c’est le moment qu’exerce un ressort enroulé autour de l’axe lorsqu’on l’écarte d’un angle α de sa position de repos. Son intensité s’écrit : M = − k .α o ù k est la constante de raideur du ressort. • Énergie potentielle d’élasticité : travail de la force nécessaire pour amener le ressort de sa position de repos à sa nouvelle position : 1 1 W = E p = ∫ dW = ∫ M . dα = ∫ k.α. dα = ∫ d . k .α2 = . k.α2 (12) 2 2 • Moment de frottement visqueux : c’est un moment dont l’intensité est proportionnelle à la vitesse de rotation. Il s’écrit : dα M = Rf .Ω = Rf . dt -1 o ù f est le coefficient de frottement visqueux (N.s.m ) et R est le rayon du système en rotation. - 17 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique CHAPITRE 3 INTRODUCTION A LA PERFORMANCE D'UN SYSTÈME REPRÉSENTATIONS Le système est maintenant mis en équation, il est donc beaucoup plus facile d'évaluer ses performances. Suivant le contexte, l'automaticien doit connaître deux aspects du système : régime transitoire et régime permanent. 1. Régime transitoire. Ce régime de fonctionnement doit être bien connu pour les systèmes lents ou qui doivent réagir à une consigne. Les performances du système sont obtenues en mesurant la rapidité de prise en compte de la commande et la précision atteinte en sortie. Exemple: T° consigne four T° atteinte erreur T° finale T° initiale temps de montée Les régimes transitoires (régime de transition entre T° initiale et T° finale sur l’exemple précédent) peuvent être de natures très différentes suivant le signal que l'on présente en entrée. Pour effectuer des comparaisons rapides entre tous les systèmes, on s'intéresse au régime transitoire obtenu par l'application de deux signaux particuliers: 1.1 Réponse impulsionnelle. Réponse impulsionnelle. C'est la réponse du système lorsque le signal d'entrée est une impulsion de Diracδ (t ) . On note cette réponse h (t ) . Rappel: On a vu précédemment que la transformée de Laplace de h (t ) est égale à la fonction de transfert du système: H ( p) = LP[h (t )] . La réponse impulsionnelle contient donc toute l’information nécessaire sur le système. Cependant, l'utilisation de cette réponse s'accompagne de quelques difficultés pratiques car on ne sait pas toujours réaliser une impulsion de durée très brève vis à vis des constantes de temps mises en jeu dans le système étudié. - 17 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique La réponse impulsionnelle ne permet pas d'évaluer les performances d'un système, mais elle permet d'introduire la notion de stabilité : Stabilité. Un système est dit stable, si sa réponse impulsionnelle est le siège d'un régime amorti : lim h(t ) = 0 t →+∞ Exemples: h (t ) Système stable: repos final t repos initial Système oscillant: instable. h (t ) oscillations repos initial t h (t ) Système instable: destruction ? repos initial t Cette notion de stabilité, très importante dans l'étude des systèmes, sera largement reprise et approfondie dans le cours d’automatique. On ne doit pas oublier, en effet, que commander correctement un système, c'est avant tout éviter qu'il ne devienne instable. 1.2 Réponse indicielle. Réponse indicielle. C'est la réponse du système lorsque le signal d'entrée est un échelon u (t ) . On note cette réponse w(t ) . Les performances du système sont définies à partir des caractéristiques de cette réponse : Régime de fonctionnement. Le système est dit apériodique s'il atteint sa valeur limite sans oscillation. Dans le cas contraire, il est dit pseudo-périodique. Le régime critique sépare ces deux régimes. Temps de réponse à e%. - 18 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique On appelle temps de réponse à e%, le temps que met le système pour s'établir à e% de la valeur finale. Le temps de réponse le plus utilisé est le temps de réponse à 5%. On le note en général t r. Exemple: Régime apériodique : u (t ) 1 w(t ) t 0 tr Régime pseudo-périodique : Xp 1 t 0 tr tp Pour les systèmes pseudo-périodiques, on définit aussi: t p: instant de premier dépassement. Xp: amplitude de premier dépassement. Remarques: 1. On a LP[u (t )] 1 p Et d'après la définition de la fonction de transfert, la réponse indicielle d'un système est caractérisée par: W ( p ) = H ( p ).U ( p ) Soit: pW ( p ) = H ( p ) D'après les propriétés de la transformée de Laplace, on a donc: w' (t ) = LP −1 [H ( p)] ( w 0 + est nul) Soit: w' (t ) = h (t ) où h (t ) est la réponse impulsionnelle du système. 2. Pour compléter l'étude d'un système, on s'intéresse parfois à la réponse à un échelon de vitesse ou réponse à une rampe : ( ) - 19 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique position y(t) t 0 2. Régime harmonique. Ce régime de fonctionnement doit être connu pour tous les systèmes rapides ou de type filtre. En effet, on s'intéresse ici au comportement fréquentiel du système: affaiblissement et déphasage du signal pour une fréquence donnée. Régime harmonique. Soit un système scalaire, linéaire et invariant. On dit que le système est en régime harmonique lorsque le signal d'entrée est sinusoï dal et que le système est en régime permanent. On suppose que le système est régi par l'équation différentielle suivante, avec des conditions initiales nulles : d nx dx dmy dy a n . n +...+ a1 . + a0 . x = bm . m +...+b1 . + b0 . y dt dt dt dt Pour simplifier les calculs qui vont suivre, on utilise le principe de superposition et on étudie la réponse au signal complexe : x (t ) = X .e j ωt = X [cos (ωt ) + j. sin (ωt )] = X .e j Φ x .e j ωt avec j 2 = -1. [ ] On revient au signal réel x (t ) = Re x (t ) = X cos(ωt + Φ x ) . X : amplitude de x (t ) . Φ x : phase de x (t ) . X : amplitude complexe de x (t ) . En régime permanent, la solution de l'équation différentielle est de la forme : y (t ) = Y e j ωt : la sortie du système oscille avec la même fréquence que l'entrée, mais avec une amplitude différente et un déphasage. On a : n m a n X .( j ω) .e j ωt + ... + a1 X .( jω).e j ωt + a0 X .e j ωt = bm Y .( jω) .e jω t + ... + b1 Y .( j ω).e j ωt + b0 Y .e j ωt d'où : Y a n .( j ω) n + ... + a0 = = H ( jω) X bm .( j ω) m + ... + b0 Finalement, le signal de sortie est caractérisé par : Y = X . H ( jω) et [ ] Φ = Arg H( jω) - 20 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique On passe donc de H(p) à H ( jω) en remplaçant p par jω. H ( jω) est appelée transmittance isochrone ou fonction de transfert du système. H ( jω) donne le gain du système pour la pulsation ω. [ ] Arg H ( jω) donne la phase du système pour ω. Les paramètres caractérisant le fonctionnement du système en régime harmonique sont le gain et le déphasage. Le système est donc bien connu lorsqu'on a une représentation du gain et du déphasage en fonction de la fréquence de fonctionnement. Plusieurs types de représentation sont utilisés : 2.1 Représentation de Bode. Cette représentation est constituée de deux courbes: 1. 20.log H ( jω) (unité: décibel, dB) en fonction de ω. [ ] 2. Arg H ( jω) (unité: ° ou radian) en fonction de ω. Pour ces deux tracés, l'axe des ω est gradué avec une échelle logarithmique. Exemples : voir Unité U22-Systèmes linéaires et TD. 2.2 Représentation dans le plan de Nyquist. Cette représentation est constituée d'une seule courbe: Pour ω = 0 à ω → +∞ on trace H ( jω) dans le plan complexe : la partie imaginaire en ordonnées et la partie réelle en abscisses. La courbe obtenue est graduée en ω. Exemples : voir TD 2.3 Représentation dans le plan de Black. De même que pour la représentation dans le plan de Nyquist, cette représentation est également constituée d’une seule courbe. Pour ω = 0 à ω → +∞ , H ( jω) est tracé dans le système de coordonnées de Black. L’axe vertical représente le module de H ( jω) en décibels ( H ( jω) dB ) et l’axe horizontal représente la phase de H ( jω) en radians ou en degrés ( φ[H ( j ω)] ). Exemple : H ( jω) dB -180° -90° 0° 0 -5 -10 2.4 Définitions. - 21 - [ φ H ( jω) ] ° Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Pour comparer les régimes harmoniques des différents systèmes rencontrés, on définit les paramètres suivants : Pulsations de coupure . On appelle pulsations de coupure du système, les pulsations pour lesquelles le gain a diminué de 3 dB par rapport au maximum local. On note ces pulsations ωck. Bande passante. On appelle bande passante, la zone de fréquence dans laquelle le gain n'est pas inférieur à -3 dB du maximum. Gain statique. On appelle gain statique du système, la valeur de H( 0) . Cette valeur correspond au gain du système en réponse à un échelon : (c'est à dire lorsque ω → 0 , voir théorème de la valeur finale) amplitude sortie gain statique entrée 0 t - 22 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique CHAPITRE 4 MODÈLE LINÉAIRE D’UN SYSTÈME 1. Caractéristique entrée-sortie et point de repos. On prend l’exemple d’un système constitué par un moteur à courant continu muni d’un amplificateur destiné à son alimentation. L’entrée du système est constituée par la tension de commande de l’amplificateur et sa sortie sera, par exemple, la vitesse du moteur. Si l’on relève la caractéristique entrée-sortie de ce système, on obtient une courbe représentée à la figure 4.1. Ω AMPLIFICATEUR + MOTEUR U Ω U Useuil Figure 4.1. Lorsque la tension d’alimentation U est trop faible, le moteur ne tourne pas car les frottements sont trop importants, puis, passé un certain seuil Useuil, le moteur démarre. Sa vitesse Ω est alors croissante avec la tension d’alimentation jusqu’au moment où, l’amplificateur étant saturé, la vitesse Ω n’augmente plus avec la tension U. Ainsi la caractéristique statique obtenue n’est pas linéaire. On est donc confronté à un système non-linéaire et son étude devient compliquée. Il est possible néanmoins d’entreprendre une étude locale en considérant le système linéaire autour d’un point M0 (Figure 4.2.). Ω ω Ω0 variations locales de Ω ω (rd/s) u M0 u (volts) U M0 U0 a) b) Figure 4.2. - 23 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Le point M0 de coordonnées (U0, Ω0) est appelé point de repos ou point de fonctionnement. On pose ω = Ω - Ω0 et u = U - U0 et on étudie alors les variations locales ω de la sortie en fonction des variations u de l’entrée autour du point de repos choisi. La caractéristique ω = f(u) peut alors être considérée comme une droite passant par l’origine. Sa pente est le gain statique du système linéarisé, c’est aussi la pente de la tangente en M0 à la caractéristique Ω=F(U). Des exemples concrets de linéarisation seront abordés en TD. 2. Régime statique, régime dynamique. Régime statique ou permanent Régime de fonctionnement d’un système lorsqu’il est soumis à une excitation invariante dans le temps. Régime dynamique Régime de fonctionnement d’un système lorsqu’il est soumis à une excitation variable dans le temps autour d’un point de repos. Remarque: On utilisera préférablement le terme statique à celui de permanent car ce terme rend bien compte du fait que le régime décrit correspond à une excitation constante dans le temps (qui ne change pas ==> statique). La figure 4.2 b) représente graphiquement la relation linéaire entre l’entrée u et la sortie ω du système, en régime statique (permanent). Lorsque l’on applique une variation brutale de la tension d’entrée u, la vitesse du moteur n’atteint pas instantanément sa valeur en régime permanent statique, car le moteur présente une inertie propre. Le moteur fonctionne alors en régime dynamique. Ce régime est transitoire (il dure un certain temps), le temps que le système se stabilise, c’est à dire que le moteur atteigne la vitesse correspondant à la tension appliquée à l’entrée. La figure 4.3. illustre ces propos. A une tension constante E0 due à une variation positive de la tension d’entrée à partir du point de repos correspond une vitesse de régime permanent Ω0 atteinte après un régime transitoire correspondant au fonctionnement dynamique du moteur. On a alors Ω0=K.E0, K étant le gain statique défini au §1. ω u Ω0=K.E0 (régime permanent) E0 vitesse tension de repos t de repos Figure 4.3. - 24 - t Régime transitoire Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 3. Forme générale des lois d’entrée-sortie. On appelle x(t) et y(t) les signaux d’entrée et de sortie d’un système linéaire à temps invariant. La relation qui permet de rendre compte de la dynamique de ce système est une équation différentielle linéaire comprenant des coefficients indépendants du temps. L’équation linéaire rend compte du régime dynamique, et donc également du régime statique qui constitue un cas particulier correspondant à des signaux d’entrée et de sortie constants (indépendants du temps). Il suffit donc d’annuler les dérivées dans l’équation différentielle décrivant un système pour rendre compte du régime permanent. Exemple: . On considère un système régi par l’équation différentielle suivante : 0,5 y + y = 3x Le régime statique s’exprime par y = 3x , ce qui donne un gain statique de 3 USI. . Remarque: On peut observer la dynamique du système dans le terme 0,5 y . L’homogénéité de l’équation . dy oblige à considérer 0,5 comme un temps puisque y = . dt - 25 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique CHAPITRE 5 SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE 1. Équation différentielle – Fonction de transfert. On appelle système du premier ordre, un système régi par une équation différentielle du type : dy τ. + y = K . x dt τ est appelée constante de temps du système. τ est homogène à un temps. K est le gain statique du système (gain en régime permanent). En appliquant la transformée de Laplace à cette équation, on obtient : ( ) τpY ( p ) − τy 0 + + Y ( p ) = KX ( p ) Lorsque les conditions initiales sont nulles : (τp +1)Y ( p ) = KX ( p ) Y ( p) K La fonction de transfert du système est alors: H ( p ) = = X ( p ) 1 + τp Cette fonction de transfert possède un pôle simple: -1/τ. Exemple: θe θs Thermomètre Soit un thermomètre à mercure placé dans une ambiance à la température θe. Si l'appareil est précis, au bout d'un temps assez long, il indiquera une température θs = θe. C'est le régime permanent pour lequel le mercure est à la température ambiante. Si θe varie rapidement, θs est relié à θe par une équation différentielle traduisant le fait que, d'une part, pendant un temps dt, la quantité de chaleur dQ échangée avec le mercure est proportionnelle à la différence θe - θs et que, d'autre part, la vitesse avec laquelle s'effectue la dilatation du mercure dθs/dt est proportionnelle à la quantité de chaleur échangée: dθs dQ dQ = k 1 .(θ e − θ s ).dt et = k2 . dt dt 1 dθs soit : . + θs = θe k1 .k 2 dt 1 avec : τ = k1 .k 2 - 27 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 2. Réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle du système est donnée par : h(t) = LP -1[H(p)] K K −t / τ soit : h (t ) = LP −1 .u (t ) = .e τp + 1 τ On constate d'après cette expression que le système est stable si τ>0. h (t ) K/τ t 0 τ 3. Réponse indicielle. Cette réponse est obtenue pour x (t ) = u (t ) , soit X ( p ) = 1 / p . On peut ici calculer son expression littérale: K K w(t ) = LP −1 [H ( p ) / p ] = LP −1 = τ 1 − e −t / τ ).u(t ) p (τp + 1) τ ( ( ) ( w(t ) = 0 pour t < 0 ) ) d'où : w(t ) = K 1 − e −t / τ .u(t ) u(t) K w(t) 0 t τ tr La pente à l'origine est égale à K/τ. Le temps de réponse à 5% est à peu près égal à 3τ. - 28 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Remarque : Sur cette dernière courbe, la dénomination de constante de temps pour τ prend toute sa signification: plus τ est petit, plus vite le système atteint son régime statique. 4. Réponse à une rampe. Cette réponse est obtenue pour x (t ) = a.t .u(t ) K 1 a On a X(p) = a/p², et : Y ( p ) = . . 2 τ p +1/τ p K .a 2 −t / τ t d'où : y (t ) = τ e + −1u (t ) τ τ Démonstration de ce dernier calcul suivant une méthode (parmi plusieurs): Méthode des fractions rationnelles: Si Y ( p ) se présente sous la forme M ( p ) / N ( p ) , dont le dénominateur est de degré égal ou supérieur à celui du numérateur, ce qui est le cas ici, on peut décomposer Y ( p ) en fractions rationnelles : A11 A12 A1n A2 A3 Y ( p) = + +...+ + + . n n −1 p − p1 p − p2 p − p3 ( p − p1 ) ( p − p1 ) où p1 est un pôle multiple de Y ( p ) de multiplicité n, p2, p3 des pôles simples de Y ( p ). Les différents coefficients de la décomposition se calculent suivant les relations: A11 = ( p − p1 ) .Y ( p) n A12 = [ p = p1 ] d n p − p1 ) . Y ( p ) ( dp p = p1 1 d2 A13 = 2 dp2 [( p − p ) .Y ( p)] n 1 p = p1 ... Dans notre cas, on a : Y ( p ) = A11 A12 A2 + + 2 p p p +1 / τ avec : A11 = p 2 . A12 = K .a p (τ. p + 1) = K .a 2 p =0 d K .a − K .a.τ = dp τ . p + 1 p =0 (τ. p + 1)2 = − K .a.τ p =0 - 30 - Université d'EVRY A2 = Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique K .a 2. p .(τ. p + 1) + τ . p 2 = K .a.τ p = −1 / τ K .a K .a .τ K .a.τ − + 2 p p p +1 / τ Ce qui donne : y(t) = K.a.t - K.a.τ + K.a. τ.e-t/ τ Finalement : Y ( p ) = On retrouve l'expression déjà présentée. 5. Régime harmonique. La transmittance isochrone du système est : H ( jω) = K 1 + j .ω.τ Les différentes représentations sont alors : 5.1 Représentation de Bode. 20.Log(K) H ( jω) dB 3 dB pente -6dB/octave=-20dB/décade ω/ωc (log) 1 [ Φ H ( jω) 0 ] 1 -45° -90° Le système possède une fréquence de coupure pour ωc = 1/τ. En effet, le maximum local est ici H( 0) . La pulsation de coupure est définie pour : - 31 - ω/ωc (log) Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique H ( jωc ) dB − H ( 0) dB = −3dB H ( jω) = 20.log 1 20.log H (0 ) 2 c'est à dire : H (0) H ( jωc ) = d'où : 2 K soit : 1 + (ωc .τ ) donc : 2 = K 2 1 + (ωc.τ)² = 2 ωc.τ = 1 et : [ ] Pour cette fréquence, le déphasage est : Arg H( j ωc ) = − ArcTan[ωc τ] = − π . 4 5.2 Représentation dans le plan de Nyquist. [ Im H ( jω) ] K/2 0 -K/2 ω= 0 [ Re H ( jω) K ω→ ∞ ω.τ = 1 - 32 - ] Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 6. Relation temps-fréquence. La dynamique d’un système du premier ordre est entièrement décrite par sa constante de temps τ. Cette dynamique peut également s’exprimer dans le domaine des fréquences. On appelle f c, fréquence de coupure, la fréquence pour laquelle le gain (module de la fonction de transfert) du système, en régime harmonique, est atténué de 3dB par rapport au maximum du module de la fonction de transfert. On appelle t m le temps de montée du système. t m représente le temps mis par la sortie du système pour passer de 10% à 90% de la valeur finale atteinte en régime permanent pour une entrée de type échelon. La réponse indicielle d’un système du premier ordre s’exprime: w( t ) = K (1 − e− t / τ ). u(t ) , u(t) étant un échelon unitaire (voir §3). Donc les temps t 10 et t 90 correspondant respectivement à 10% et 90% de la valeur finale en régime permanent (K) s’obtiennent simplement: y( t 10 ) = 0,1. K = K 1 − e − t10 / τ et y( t 90 ) = 0,9. K = K 1 − e − t 90 / τ ( D’où : ) ( ) t m = t 90 − t 10 = τ. ln( 9) ≈ 2 ,2τ Or : fc = Donc : tm = ln (9) 2πf c ωc 1 = 2π 2πτ => t m . f c = ln (9) ≈ 0,35 2π Cette relation est d’application pratique très utile. Exemples: • Un oscilloscope (considéré comme un système du premier ordre) possède une bande passante à 3dB f c=100Mhz, son temps de montée propre est donc : t m=3,5 nanosecondes. • Un enregistreur graphique dont le temps de montée t m est égal à 0,2 secondes possède une fréquence de coupure f c=1,8Hz ; il ne peut donc pas être utilisé pour enregistrer sans erreur des signaux sinusoï daux de fréquence supérieure à 2Hz environ. On retiendra qu’un système à large bande passante est un système rapide. - 33 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique CHAPITRE 6 SYSTÈMES DU SECOND ORDRE 1. Équation différentielle – Fonction de transfert. On appelle système du second ordre, un système régi par une équation différentielle du type : 1 d 2 y 2.ξ dy . + . + y = K. x ω2n dt 2 ωn dt 2 2.ξ 4 avec: − 2 <0 ωn ωn ce qui donne ξ < 1 (le système ne peut pas se décomposer en deux systèmes du premier ordre en série). ωn est appelée pulsation libre ou pulsation naturelle ou pulsation propre du système non amorti. ωn se mesure en rad/s. ξ est appelé amortissement du système ou facteur d’amortissement. K est le gain statique du système (gain en régime permanent). En appliquant la transformée de Laplace à cette équation, on obtient : 1 1 2 1 ' + 2. ξ 2.ξ + . p.Y ( p ) − . y (0 + ) + Y ( p ) = K . X ( p ) 2 . p .Y( p) − 2 . p. y ( 0 ) + 2 . y ( 0 ) + ωn ωn ωn ωn ωn 1 2. ξ Lorsque les conditions initiales sont nulles : 2 . p 2 + . p + 1 . Y ( p) = K. X ( p) ωn ωn La fonction de transfert du système est alors : Y( p) K .ωn2 H ( p) = = 2 = X ( p ) ωn + 2. ξ.ωn p + p 2 K p 2.ξ 1+ p + ωn ωn ( 2 ) Cette fonction de transfert possède un pôle complexe conjugué: −ξ ± j . 1 − ξ2 .ωn Exemple : L x( t ) i( t ) R C di 1 t Pour des conditions initiales nulles, on a : L. + R.i + ∫ i. dτ = x dt C0 - 33 - y (t ) 1 t et y = . ∫ i.d τ C 0 Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique d2 y dy + R. C. + y = x 2 dt dt 1 H ( p) = 2 L. C. p + R. C. p + 1 1 1 ω2n = et ξ = . R. C. ωn L. C 2 d'où : L. C. et : avec : 2. Réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle du système est donnée par : h( t ) = LP-1[H(p)] K .ωn −ξω nt d’où : h( t ) = .e . Sin ωn . 1 − ξ2 . t 2 1− ξ On constate d'après cette expression, que le système est stable, si ξ.ωn>0. C'est à dire si les pôles de la fonction de transfert sont à partie réelle négative. ωn étant positive, le système est stable pour ξ>0. Si le système est stable, h( t ) est une sinusoï de amortie : [ ] h(t) t 0 ω p = ωn . 1 − ξ2 est appelée pulsation propre ou pseudo pulsation du système. 3. Réponse indicielle. Cette réponse est obtenue pour x( t ) = u( t ) soit X ( p ) = 1 / p . On a donc : w( t ) = LP-1[H(p)/p] On démontre alors que : 1 −ξω nt 2 w( t ) = K 1 − . e . Sin ω . 1 − ξ . t + θ n 1 − ξ2 [ 1 − ξ2 avec : tg(θ) = ξ Pour un système ayant un gain statique de 1 ; K = 1 : - 34 - ] Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Xp 1 t 0 tp tr Lorsque le système est stable, (ξ >0), la réponse du système est sinusoï de amortie autour de la valeur finale qui est égale à K fois la valeur de l'échelon. (Sauf pour le cas critique, où ξ =1: la réponse est alors apériodique.) La pente à l'origine est égale à 0. 4 Le temps de réponse à 2% est à peu près égal à . ξ. ωn Pour les systèmes du deuxième ordre, on définit: Instant de premier dépassement : On appelle instant de premier dépassement, l'instant où la sortie atteint son premier maximum. On le note t p. Amplitude du premier dépassement: On appelle amplitude de premier dépassement, l'amplitude du premier maximum sur la valeur finale de la sortie. On note cette valeur Xp. Calcul de t p : A t p, on a w' (t ) = 0 car w(t) est maximum. Or, on a : 1 w'( t ) = − K . . e −ξω nt .ωn . − ξ. Sin ωn . 1 − ξ2 . t + θ + 1 − ξ2 . Cos ωn . 1 − ξ2 . t + θ 2 1− ξ [ donc w' (t ) = 0 équivaut à : ] [ ] [ [ ] ] 1 − ξ2 . Cos ωn . 1 − ξ2 . t + θ = ξ. Sin ωn . 1 − ξ2 . t + θ 1 − ξ2 et ξ on a : tg(θ) = donc, par identification : ξ = Cos(θ ) et ξ2 + ( 1 − ξ2 ) 2 =1 1 − ξ2 = Sin(θ) l'égalité précédente devient donc: Sin(θ ).Cos ωn . 1 − ξ 2 .t + θ = Cos (θ).Sin ωn . 1 − ξ 2 .t + θ soit : Sin θ − ωn . 1 − ξ 2 .t + θ = 0 d' où Sin ωn . 1 − ξ 2 .t = 0 Finalement on a w' (t ) = 0 pour : - 35 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique ω n . 1 − ξ2 . t = 0 pente nulle à l'origine. ω n . 1 − ξ 2 . t = k .π avec k entier. l'instant de premier dépassement est obtenu pour k = 1 : t p = ( Wp = W ( t p ) = K 1 + e − π / tg (θ ) à cet instant on a : π ωn . 1 − ξ2 ) d'où : X p = K. e−π / tg (θ ) Remarque : A partir du relevé de la réponse indicielle, on peut retrouver par identification l'équation d'un système du 1 π ξ= et ωn = deuxième ordre : π2 t p . 1−ξ2 1+ 2 ln X p / K 4. Réponse à une rampe. Cette réponse est obtenue pour x (t ) = a. t .u(t ). 2.ξ 1 −ξω nt 2 On a X(p) = a/p², et: y ( t ) = K . a. t − + . e . Sin ω . 1 − ξ . t + 2 θ n ωn ωn . 1 − ξ2 [ ] 5. Régime harmonique. On pose p = jω, ce qui correspond à un cas particulier pour la transformée de Laplace. La transmittance K.ωn2 isochrone du système est : H ( jω) = 2 ωn − ω2 + 2. j .ξ. ω.ωn ( [ ) on a alors : H ( jω) et : 2.ξ.ω.ωn Arg H( jω) = − Arctg 2 2 ωn − ω dB ( ) = 20.log K.ωn2 − 10.log ωn4 + ω4 + 4. ξ2 − 2 .ω2 .ωn2 [ ] ] Deux cas se présentent : 1er cas: H ( j ω) ' s'annule : dans ce cas, le gain du système passe par un maximum. On dit alors qu'il y a résonance. H ( jω) ' = d H ( jω) dω = − K.ωn2 . 1 2 ω2 − ω2 n [( ( [4.ω 3 ( ) + (2ξωω ) ] (ω 2 ) donc H ( jω) ' = 0 équivaut à: 4.ω3 + 2. 4.ξ2 − 2 . ω.ω2n = 0 - 36 - ) + 2. 4.ξ 2 − 2 .ω.ωn2 2 n 2 n − ω2 ] ) + (2ξωω ) 2 n 2 Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique ( ) ω2 + 2. ξ2 − 1 .ω2n = 0 soit : ( ) ce qui n'est possible que si 2.ξ2 − 1 < 0 1 2 ξ< c’est à dire La résonance a lieu pour H ( jω) ' = 0 , c'est à dire: ω = ωr = ωn . (1 − 2.ξ 2 ) ωr est appelée pulsation de résonance du système. 2me cas: 1 2 Dans le cas où il y a résonance, on définit alors un facteur de résonance Mp par: H ( j ω) ' ne s'annule jamais : il n'y a pas de résonance. C'est le cas où ξ > Mp = H ( jωr ) H ( 0) = 1 2.ξ. 1 − ξ2 • Représentation de Bode : H ( jω) dB ξ=0,2 Mp 20.Log(K) ξ=0,8 pente -12dB/octave = -40dB/décade ω/ωn (log) [ ] Φ H[ jω] 0 ωr ωn ω/ωn (log) ωn -90° ξ=0,2 -180° - 37 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique • Représentation dans le plan de Nyquist : 0 [ Im H ( jω) ] [ ω→ + ∞ ω = ωn ξ =0,8 ξ=0,2 ω = ωn • Représentation dans le plan de Black : Gain (dB) ξ=0,2 Mp en dB 20.Log(K) -180° 0° ξ=0,8 - 38 - ] Re H ( jω) ω=0 Phase (°) Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique CHAPITRE 8 SYSTÈME D’ORDRE SUPÉRIEUR A DEUX SYSTÈME A RETARD PUR 1 Système d’ordre supérieur à deux 1.1 Forme canonique. Un système linéaire, invariant, scalaire, d’ordre quelconque possède une fonction de transfert H(p), dont le dénominateur a un degré quelconque : N ( p) H( p) = D( p) En décomposant les deux polynômes N(p) et D(p) en polynômes élémentaires du premier degré, H(p) peut s’écrire: 1/T i racines de N ( p ) K (1 + pT1 )(1 + pT2 )... H ( p) = n 1/τi racines de D( p ) p (1 + pτ1 )(1 + pτ 2 )... Si N(p) ou D(p) possède des racines complexes, alors celles-ci apparaîtront en paires conjuguées car les coefficients du polynôme sont réels, ce qui donnera des termes en : p p2 1 1 + 2ξ + 2 ou ωn ωn p p2 1 + 2ξ + 2 ωn ωn Finalement, toute fonction de transfert relative à un système à constante localisée pourra être considérée comme le produit de termes de la forme : 1 K , p , (1 + pT ) , (1 + pτ )n n 1.2 n n p p2 1 , 1 + 2ξ + 2 , n ωn ωn p p2 1 + 2ξ + ωn ωn2 Régime harmonique. 1.2.1 Représentation de Bode. • terme constant K: il donne une droite horizontale d’ordonnée 20.Log(K). La phase est nulle. 1 • terme en : le module est une droite de pente -6.n dB/octave passant par le point ( ω = 1 ; 0dB). ( jω) n La phase est fixe et égale à -n.π/2. 1 • terme en : le module comporte deux asymptotes se coupant en ωτ = 1 ; une droite (1 + jωτ) n horizontale et une droite inclinée à -6.n dB/octave. La phase passe de 0 à -n.π/2 pour ω variant de 0 à + ∞. - 45 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 1 • terme en : le module comporte deux asymptotes se coupant en ω=ωn ; une 2 n ω j ω 1 + 2ξj + ωn ωn droite horizontale et une droite inclinée à -12.n dB/octave. La phase passe de 0 à -n.π pour ω variant de 0 à + ∞ . n 2 ω jω • termes en ( jω) , (1 + jωT ) , 1 + 2ξj + : analogues aux trois termes précédents en ωn ωn inversant les pentes des asymptotes et en changeant le signe des phases. n n 1.2.2 Représentation dans le plan de Nyquist. La construction ne peut être faite que point par point. 1.2.3 Représentation dans le plan de Black. Bien qu’on ne puisse pas faire d’approximations asymptotiques, on peut utiliser les avantages inhérents aux échelles logarithmiques. Le plan de Black est d’un emploi fort commode pour le calcul des réseaux correcteurs et ceci milite en faveur de son emploi. 2 Retard pur e − pτ . 2.1 Origine physique du terme de retard pur. Dans tout système, l’information de sortie est fournie par un capteur. Il se peut que, pour des raisons d’accessibilité, d’entretien ou d’encombrement, le capteur ne puisse pas être placé à l’endroit où l’on souhaiterait observer le système. Cela introduit un retard entre l’instant où le signal est disponible (prêt à être mesuré) et l’instant où il est effectivement mesuré. Si y( t ) représente le signal à mesurer, l’introduction d’un retard τ donnera lieu au signal y( t − τ) . D’après les propriétés de la transformation de Laplace (§2.2, chapitre 2), si la transformée de Laplace de y( t ) s’écrit Y ( p) , alors la transformée de Laplace de y( t − τ) s’écrira e − pτ . Y ( p) . En régime sinusoï dal le terme de retard e − p τ introduit un déphasage ωτ de la sortie sur l’entrée. Le réglage automatique de l’entrée du système x(t) à partir des informations recueillies en sortie est difficile car les signaux nécessaires pour prendre des décisions convenables arrivent parfois trop tard. 2.2 Représentation dans le plan de Black. On pose R( p) = e − p τ . D’où R( jω) = e − j ωτ . Le module de R( jω) vaut 1 (0dB) quelle que soit la valeur de la pulsation ω. Son argument Arg( R) = −ωτ est proportionnel à ω. 1,57 3,14 Le lieu de Black est donc l’axe 0dB. Le déphasage atteint -90° pour ω = et -180° pour ω = . τ τ 2.3 Approximations de e − p τ . - 46 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Il est utile et parfois indispensable de disposer d’une bonne approximation du terme de retard par une fraction rationnelle, en commande ou en simulation. Le développement limité de e − p τ donne: p 2τ 2 p 3τ 3 e −τ p = 1 − pτ + − +... 2 6 1 On peut ainsi penser approcher e − p τ simplement par = 1 − pτ + p 2 τ 2 −... 1 + τp L’approximation n’est pas très bonne dès que ω augmente et il existe en pratique d’autres approximations certes plus performantes mais aussi plus compliquées. - 47 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique CHAPITRE 9 LA STABILITÉ DES SYSTÈMES 1. Condition générale de stabilité 1.1 Domaine temporel On considère un système possédant une réponse impulsionnelle h(t) excité par un signal e(t). On note sa sortie y(t). Nous avons vu au chapitre 3 la condition de stabilité énoncée dans le domaine temporel : Un système est dit stable, si sa réponse impulsionnelle est le siège d'un régime amorti : lim h( t ) = 0 t → +∞ Donc, un système est stable si lorsqu’il est excité par une impulsion de Dirac, sa sortie revient à sa position initiale au bout d’un certain temps. 1.2 Domaine fréquentiel On note H(p) et Y(p) les transformées de Laplace de h(t) et de y(t) respectivement. La transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac à l’entrée du système est 1. La réponse du système dans le domaine de Laplace sera donc Y ( p ) = H ( p ).1 . Ai La décomposition de H(p) en éléments simples s’écrit : Y ( p ) = ∑ ,où les pi sont réels ou i p − pi complexes conjugués. La réponse y(t) est donc la somme d’exponentielles : y (t ) = ∑ Ai e pi t . i Chaque exponentielle ne revient à zéro que si la partie réelle de pi est strictement négative. Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert sont strictement à gauche de l’axe imaginaire dans le plan complexe dédié à p. 2. Critère algébrique de Routh-Hurwitz N ( p) la fonction de transfert d’un système. D( p ) Les pôles de H(p) sont les racines de l’équation D(p) = 0. Un examen assez simple de D(p) permet de savoir si certaines de ses racines sont à partie réelle positive ou nulle, rendant le système instable. On écrit D(p) sous forme polynômiale D( p ) = a n p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a0 avec a n > 0 . Le critère s’énonce alors de la façon suivante (nous ne le démontrerons pas) : Soit H ( p ) = - 49 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 1. 1er examen : Si les ai ne sont pas tous de même signe ou si certains sont nuls, D(p) a des racines à droite dans le plan complexe, donc à partie réelle positive. Le système est donc instable. 2. 2ème examen : Si tous les ai sont positifs, on ne peut connaître la place des pôles qu’après examen de la première colonne du tableau de Routh dont la construction est expliquée ci-après. Les deux premières lignes du tableau sont écrites à l’aide des coefficients de D(p). Les autres lignes sont formées de termes calculés à partir de ces coefficients. On pose On détermine pn n −1 p p n −2 n −3 p Μ 2 p p1 p an a n −1 a n− 2 an −3 a n− 4 an −5 Κ A1 B1 A2 B2 A3 B3 Κ Μ Μ Μ M1 N1 C1 M2 N2 C2 M3 N3 C3 On analyse Κ Κ Μ Κ Κ Κ Calculs an −1 a n − 2 − a n a n −3 A1 = a n −1 a a − an a n − 5 A2 = n −1 n − 4 a n −1 a a − a n an −7 A3 = n −1 n − 6 an −1 A a − a n −1 A2 B1 = 1 n −3 A1 A a − a n −1 A3 B 2 = 1 n −5 A1 … N1 M 2 − M 1 N 2 C1 = N1 Routh a établi que la condition nécessaire et suffisante de stabilité est que tous les coefficients de la première colonne soient de même signe . De nombreux exemples seront traités en TD. Le critère algébrique de Routh permet de savoir de façon simple et rapide si un système est stable ou non. Il nous renseigne sur la stabilité mais non sur la robustesse de cette stabilité. De plus sa mise en œuvre nécessite de connaître l’expression de la fonction de transfert. 3. Critère de stabilité de Nyquist 3.1 Critère simplifié du revers Sauf des cas tout à fait particuliers, la structure des Fonctions de Transfert en Boucle Ouverte (FTBOs) G( p ) permet de simplifier l’utilisation du critère de Nyquist. Nous n’aborderons donc dans ce cours que le critère simplifié de Nyquist : le critère du revers . Ce critère s’énonce en deux parties : - 50 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 1. Tracer la partie du lieu de Nyquist de la FTBO correspondant à la variation croissante de p sur le demi-axe imaginaire positif p = jω. 2. Vérifier que ce lieu passe à droite du point (-1), appelé « point critique », dans le plan de Nyquist. 3.2 Critère du revers dans le plan de Black Le point critique (-1) dans le plan de Nyquist a pour coordonnées (-180°, 0 dB) dans le plan de Black. La figure 8.1 montre la représentation de la FTBO d’un système du second ordre (inconditionnellement stable) dans le plan de Nyquist pour deux amortissements différents. [ ] Im G( j ω) -1 [ ] Re G( j ω) Point critique ξ=0,8 ξ=0,2 ω croissants Figure 8.1. Dans les deux cas, le point critique est laissé à gauche. La représentation du même système dans le plan de Black est donnée sur la figure 8.2. G( j ω) dB ξ=0,2 0° -180° [ ] Arg G( j ω) ω croissants ξ=0,8 Point critique Figure 8.2. Dans le plan de Black, le point critique est donc laissé à droite « en descendant ». - 51 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Le critère du revers exprime tout simplement qu’aux fréquences hautes (vis à vis des fréquences caractéristiques du système considéré : pulsation de résonance ou pulsation du système non amorti), lorsque le déphasage est de –180°, il faut atténuer le signal de retour (gain < 1), sinon le signal réinjecté va se réamplifier dans une réaction positive (LARSEN des installations radio). 4. Marges de stabilité Un système est d’autant plus stable que son lieu de transfert en boucle ouverte passe loin du point critique. Pour quantifier cet aspect, on définit les marges de stabilité : marge de gain et marge de phase. Les marges de stabilité peuvent être définies indifféremment dans le plan de Nyquist, le plan de Black ou les diagrammes de Bode. En pratique, l’utilisation du plan de Black et des diagrammes de Bode est plus utilisée du fait que l’on a accès directement au module et à la phase d’un système de façon expérimentale. Dans ce cours, nous détaillons essentiellement l’utilisation du plan de Black 4.1 Dans le plan de Black La marge de gain correspond à l’écart entre le gain (module) G( j ω) dB de la FTBO et l’axe 0 dB du plan de Black. La marge de phase correspond à l’écart entre la phase (argument) ϕ(ω) de la FTBO et l’axe –180° du plan de Black. Les marges de stabilité sont explicitées sur la figure 8.3. Mg représente la marge de gain exprimée en dB ; Mϕ ϕ représente la marge de phase exprimée en degrés. G dB -180° Mϕ ϕ 0 dB ϕ° Mg ω croissants Figure 8.3. Définition des marges de stabilité dans le plan de Black. Les valeurs courantes sont les suivantes : • Marge de gain : 10dB < Mg < 15dB • Marge de phase : 45° < Mϕ < 50° - 52 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique En analysant simplement le tracé de la figure 8.3., on se rend compte qu’une augmentation du gain de la boucle ouverte, en décalant le lieu de Black vers le haut, va réduire les marges de stabilité. De la même façon, une augmentation de la phase de la FTBO, par exemple par un retard pur, réduit ces mêmes marges et peut conduire à l’instabilité. 4.2 Limites de stabilité Lorsque le lieu de transfert en boucle ouverte G( j ω) passe par le point critique, le système H ( jω) en boucle fermée est juste instable. Si l’on considère un système du second ordre, H ( jω) possède alors deux pôles j ω0 et − j ω0 imaginaires conjugués placés sur l’axe imaginaire, l’amortissement ξ est nul. 1 H ( p ) contient donc le facteur qui est la transformée de Laplace d’une sinusoï de de pulsation 2 p 1 + ω0 ω0 . Sous l’influence d’un simple parasite, le système risque d'osciller de façon sinusoï dale à la pulsation ω0 . Ce fonctionnement, très gênant en automatique du fait qu’à tout moment le système peut basculer vers l’instabilité et voir sa sortie prendre des valeurs démesurées, est utilisé en électronique pour fabriquer des systèmes oscillants. Le système démarre grâce au bruit ; la difficulté réside alors dans la maîtrise de la pulsation des oscillations à la pulsation ω0 et de l’amplitude des oscillations. - 53 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique CHAPITRE 10 LES SYSTÈMES BOUCLÉS 1. Introduction Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que des systèmes "en Boucle Ouverte" (abréviation BO): pour obtenir une bonne commande, l'opérateur doit avoir confiance dans l'étalonnage de son système ou vérifier, à tout moment, que la sortie réagit comme il le désire. L'idée de vérifier la sortie du système est maintenant intégrée à la commande: le système "en Boucle Fermée" (abréviation BF) ou système asservi (abréviation SA) est muni de boucles de retour, qui ramènent l'état des sorties au niveau des entrées, pour comparaison ou réaction. Nous montrons dans ce chapitre comment s’utilisent les abaques facilitant l’étude des systèmes bouclés. Puis nous définissons la notion de système du second ordre dominant. 2. Aménagement du diagramme fonctionnel. 2.1 Système asservi simple. Pour les études qui vont suivre, nous ne considérerons que les systèmes asservis à retour unitaire: Système asservi à retour unitaire. C'est un système asservi dont la fonction de transfert de la boucle de retour est constante et égale à 1: E + G Y X - G est appelée fonction de transfert du système en boucle ouverte ou boucle principale. Pour un système asservi à retour unitaire on a: E(p) = X(p) - Y(p) et Y(p) = G(p).E(p) avec: E(p) = LP[e(t)] ; X(p) = LP[x(t)] ; Y(p) = LP[y(t)] d'où: Y(p) = G(p).[X(p) - Y(p)] et E(p) = X(p) - Y(p) donc: Y (p) G( p ) = et X ( p ) 1 + G( p ) E( p ) = 1 X ( p) 1 + G( p ) 2.2 Systèmes asservis à boucles multiples. Le fait de ne considérer que les systèmes à boucle unitaire n'est pas une limitation. En effet, l'algèbre des diagrammes permet toujours de se ramener au cas de la boucle unitaire. - 55 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique Exemples: 1. + X A - Y B devient : + X A.B - 1/B Y 2. X + - A + - B Y C D devient: X + - A B 1+ B.C Y 1/D Y D puis : X + - A. B. D 1+ B.C 3. Détermination graphique de la fonction de transfert en BF : Les abaques de Hall et de Nichols Les abaques de Hall et de Nichols correspondent respectivement aux plans de Nyquist et de Black. On parle ainsi souvent d’abaque de Nyquist-Hall et de Black-Nichols. En pratique, du fait que l’on a expérimentalement accès au module et à la phase de la fonction de transfert d’un système, l’abaque de Black-Nichols est le plus souvent utilisé. 3.1 Intérêt Ces abaques représentent sur un même plan (Nyquist ou Hall) la FTBO et la Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF) du système considéré. Cela évite donc des calculs souvent longs et fastidieux et permet d’obtenir une vision « graphique » du problème très utile pour l’étude des performances des systèmes et de leur régulation abordée dans la seconde partie du cours d’automatique. - 56 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 3.2 Description du problème Soit le système asservi décrit à la figure 10.1. + X E G - Y Figure 10.1. Système asservi à retour unitaire. La fonction de transfert du système en boucle fermée est obtenue par le calcul avec la relation que G( p ) nous avons démontrée ci-dessus : H ( p) = . 1 + G( p ) H ( p) Inversement on peut exprimer la FTBO en fonction de la FTBF : G( p ) = . 1 − H ( p) En régime harmonique, on a donc : H ( j ω) = G( jω) 1 + G( jω) et G( jω) = H ( jω) 1 − H ( jω) . Ainsi pour chaque valeur ωi de ω la connaissance de G( j ωi ) en module (dB) et argument (°) permet de déterminer H ( j ωi ) en module et argument. En sens inverse, la connaissance de H ( j ωi ) entraîne celle de G( j ωi ). Les abaques de Hall et de Black-Nichols permettent de passer graphiquement de G( j ω) à H ( jω) et vice-versa (le passage de H ( jω) à G( j ω) n’est pas utilisé en pratique). 3.3 Plan de Nyquist: Abaque de Hall. La figure 10.2 décrit un système de FTBO G( j ω) décrit dans le plan de Nyquist. [ ] Im G( j ω) -1 θ2 θ1 O A M Figure 10.2. G( p ) 1 + G( p ) En boucle fermée, on a : H ( p) = avec: → OM ≡ G( p) La FTBF vaut donc : et → AM = 1 + G( p) → OM OM H ( jω) = → = .θ1 − θ 2 AM AM - 57 - [ ] Re G ( jω) Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique La construction point par point de H ( j ω) (connaissant G( j ω) ) est alors facilitée si on trace dans le plan de Nyquist deux faisceaux de courbes correspondant à : arg H = Cte = θ Mod H = Cte = M [ ] [ ] • Construction de ces faisceaux de courbes : En posant G( j ω) = x + jy , H ( jω) = M donne : x + j. y =M 1 + x + j. y soit: x 2 + y2 = M2 2 2 1 + x + 2. x + y ou encore: x 2 + y 2 + ( 2. x + 1) . M2 =0 M2 −1 M2 M Cette dernière équation représente un cercle de centre: − 2 ,0 et de rayon : 2 M −1 M −1 y y De même, arg H ( j ω) = θ donne : Arctg − Arctg =θ x 1+ x [ ] tg ( a − b) = or : donc ici : soit : tg ( a ) − tg ( b) 1 + tg ( a ). tg (b) y / x − y / (1 + x ) = tg(θ ) = N 1 + ( y / x ).( y / (1 + x )) y x2 + y2 + x − = 0 N 1 1 Cette équation représente également un cercle de centre : x0 = − , y0 = et de rayon : 2 2. N 1+ N2 2. N Les cercles appartenant à cette dernière famille passent tous par les points : (0,0) car : (-1,0) car : x 20 + y02 = distance du centre à l' origine = R (x + 1) + y 02 = distance du centre au point (-1,0) = R . 2 0 Les deux faisceaux de cercles sont orthogonaux. Ils forment l'abaque de Hall. - 58 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique 3.4 Plan de Black: Abaque de Nichols. L'utilisation de l'abaque précédant nécessite une représentation de la FTBO dans le plan de Nyquist. Lorsqu'on désire travailler dans le plan de Black, cas le plus fréquent, on doit donc se servir d'un autre abaque: l'abaque de Nichols. Ce deuxième abaque est constitué de deux faisceaux de courbes, H ( jω) = Cte et [ ] arg H ( j ω) = Cte , tracées dans le plan de Black. Ces faisceaux sont obtenus à partir de ceux de l'abaque de Hall par une transformation permettant de passer du plan complexe au plan module/phase. L'abaque de Nichols est symétrique par rapport à l'axe -180° et généralement, le point (-180°, 0dB) est pris comme origine des axes. 3.5 Utilisation des abaques. On trace sur l'abaque utilisé ou sur une feuille de papier transparente posée sur l'abaque, le lieu de transfert relatif à la FTBO G( jω) et on gradue cette courbe en fonction de ω. [ ] Ce lieu coupe les faisceaux de courbes H ( jω) = Cte et arg H ( jω) = Cte de l'abaque. On note [ ] alors, pour diverses valeurs de ω, les valeurs de H ( jω) et arg H ( jω) qui permettent de construire point à point les courbes de gain et de phase du système en boucle fermée. Remarque: lorsque le système asservi est mis en série avec une autre fonction de transfert: cas de : + X A - Y B transformé en : X + - G = A.B 1/B Y La fonction de transfert de l'ensemble est obtenue dans le plan de Bode, en effectuant simplement la différence entre les courbes de gain et de phase de H(p) et de B(p). 4. Introduction de perturbations. En pratique, la plupart des systèmes sont victimes de perturbations. Pour étudier l'influence de ces "entrées secondaires", le principe de superposition est d'un grand secours. Pour l'analyse d'une perturbation, on considère que toutes les autres entrées sont constantes et nulles. En utilisant le théorème de superposition, le système décrit à la figure 10.3. est arrangé par l'algèbre des diagrammes afin d’obtenir les sous-systèmes de la figure 10.4. - 59 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - Automatique D X + e - A1 + + A2 Y Figure 10.3. D + - A2 Y X=0 A1 X + - A1.A2 Y D=0 Figure 10.4. Finalement, dans le domaine de Laplace, l'équation de sortie du système est : A1.A2 A1. A2 1 Y ( p) = X ( p) + D( p ) 1 + A1. A2 1 + A1. A2 A1 ou en simplifiant : Y ( p ) = X ( p ).H a ( p ) + D( p ).H r ( p ) H r ( p ) est la fonction de transfert du système en mode régulateur : le système doit faire face aux seules perturbations. H a ( p ) est la fonction de transfert du système en mode asservissement. 5. Les paramètres d’un second ordre dominant La notion de second ordre dominant a été brièvement abordée dans le chapitre 8. Dans les cas courants assez simples, pour les systèmes d’ordre supérieur à deux, on peut définir un système du second ordre (K, ξ , ωn ) dont le comportement est assez proche du système réel. Nous donnons ici la technique pour calculer les paramètres du second ordre équivalent. • • Le bouclage conserve l’ordre d’un système. N ( p) G( p ) N ( p) On a G( p ) = donc H ( p ) = = . D( p ) 1 + G( p ) N + D( p ) L’ordre du système est le degré de son dénominateur. Puisque le degré de N est au plus égal à celui de D, il est clair que H et G ont le même ordre. Considérons le système de la figure 10.5 de FTBO G1 ( j ω) d’ordre supérieur à deux. La phase de G1 ( j ω) pour les hautes fréquences dépasse 180° (en valeur absolue). - 60 - Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes linéaires - A utomatique H ( j ω) en BF est également d’ordre supérieur à deux. Cependant, pour les fréquences moyennes H ( j ω) présente un résonance comparable à celle d’un second ordre. On peut donc définir un second ordre équivalent au système de fonction de transfert G1 ( j ω) dont les paramètres sont K, ξ et ωn . K apparaît en dB pour ω = 0 . ξ est déterminé par le facteur de résonance Mp déduit sur l’abaque de Black-Nichols : M p = H (ωR ) − H (0) . ωR est la pulsation de résonance correspondant au maximum du module de la FTBF H ( jω) . Le module de la FTBO G( jω) est alors tangent au contour H ωn est déterminé par ωn = ωR 1 − 2ξ 2 max pour la valeur ωR de ω. . Dans ce cas, ωn ne coï ncide pas tout à fait avec la valeur de ω donnant un argument de 90° à H ( j ω) . L’objectif de l’automatique consiste à corriger G( j ω) afin d’obtenir pour H ( j ω) décrit par un modèle du second ordre équivalent : § une valeur de ξ conduisant à une stabilité acceptable, § une valeur de ωn qui améliore le temps de réponse, § une bonne précision (gain statique unité). - 61 - Université d'EVRY I- Hichem ARIOUI Systèmes asservis - Automatique NOTION DE CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS A. Présentation 1. Présentation Nous avons vus dans les chapitres précédants que les systèmes asservis pouvaient présenter des défauts, une précision insuffisante, une stabilité trop relative (voire une instabilité), un temps de réaction trop lent, une dépassement trop important, au regard d’un cahier des charges. Il est donc souvent nécessaire d’intégrer dans le système asservis un réseau correcteur dont l’objectif est d’améliorer ces un ou plusieurs de ces différents paramètres sans bien sur le faire au détriment des autres. S(p) Soit un système défini par le schéma bloc ci-contre. E(p) ε(p) T(p) + - Si l’on souhaite améliorer les caractéristiques de précision stabilité, rapidité du système il est nécessaire d’introduire dans la boucle de commande un correcteur. ε(p) E(p) C(p) + - U(p) S(p) T(p) Les correcteurs doivent permettre de réaliser le meilleur compromis entre précision , stabilité et rapidité du système étudié. B. Principaux réseaux correcteurs 1. Correcteur Proportionnel, P a) Principe Ce correcteur élémentaire est le correcteur de base, il agit principalement sur le gain du système asservi, il permet donc améliorer notablement la précision. Dans le cas d’un correcteur proportionnel, la loi de commande corrigée u(t) est proportionnelle à l’écart ε(t): u(t ) = K p ⋅ ε ( t ) . ( ) La fonction de transfert du correcteur est donc : C p = U ( p) ε ( p) = Kp Pour les parties commande électroniques, la réalisation de ce type de correcteur à base d’amplificateurs opérationnels est simple (attention à la saturation des amplis). b) Effet Nous avons vus (Cf. stabilité et précision des S.A) que l’effet d’une augmentation du gain entraîne un diminution de l’erreur statique, rend le système plus rapide mais augmente l’instabilité du système. 2. a) Correcteur Proportionnel - Intégrateur, P.I. Intégrateur pur Pour un intégrateur pur la loi de commande u(t) est de la forme : u( t ) = la fonction de transfert d’un correcteur pur est C( p) = 1 Ti ∫ ε ( u) ⋅ du t 0 1 Ti ⋅ p Ce type de correcteur n’est pas réalisable avec un réseau passif (circuit RC) mais une bonne approximation peut être réalisée avec un montage intégrateur à base d’amplificateurs opérationnels. Université d'EVRY (1) Hichem ARIOUI Systèmes asservis - Automatique Diagrammes de Bode module phase 30 0 20 10 -90 0 -10 -20 -30 0 -1 0 1 1 Log Pulsation (rad/s) Log Pulsation (rad/s) (2) Effet L’intérêt principal de ce correcteur est d’ajouter dans la chaîne de commande une intégration, nous avons que la présence d’une intégration dans la FTBO, annuler l’erreur statique pour une entrée en échelon. L’intérêt principal de ce type de correcteur est donc d’améliorer la précision, il introduit malheureusement un déphasage de -90° et risque de rendre le système instable(diminution de la marge de phase). b) Correcteur P.I. Le correcteur Intégrateur est en général associé au correcteur proportionnel et la loi de commande corrigée est ⎛ de la forme : u( t ) = K p ⎜ ε ( t ) + ⎝ C( p) = K p (1) 1 Ti ∫ t 0 ⎞ ε (u)du⎟ . La fonction de transfert du correcteur est donc : ⎠ 1 + Ti ⋅ p Ti ⋅ p Diagrammes de Bode d’un correcteur P.I Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes-asservis-Automatique (2) Effet Effet statique (régime permanent): annule l’erreur statique (cf. précision des systèmes effet d’une intégration) Effet dynamique (régime transitoire) : augmente le temps de réponse (système moins rapide), et augmente l’instabilité (introduit un déphasage supplémentaire de -90°). (3) Réglage du correcteur Principe : on place le correcteur de telle sorte que le déphasage positif soit effectif avant la pulsation de résonance du système non corrigé de manière à ne pas rendre le système instable, Une autre solution consiste à simplifier « mathématiquement » le pole dominant par le numérateur du correcteur P.I. 3. Correcteur Proportionnel Dérivateur, PD a) Dérivateur pur La loi de commande est de la forme u( t ) = Td dε ( t ) dt , la fonction de transfert est donc C( p) = Td ⋅ p . Ce type de correcteur est purement théorique, un système physique ne peut pas avoir un numérateur de degré supérieur au dénominateur. Le correcteur approchant permettant d’avoir un effet dérivé est un correcteur de la forme T Td ⋅ p avec τ = d et N entier>1 1+ τ ⋅ p N C( p) = b) Correcteur P.D La loi du correcteur PD est donc C( p) = K p Td ⋅ p 1+ τ ⋅ p (1) effet Effet statique :(entrée en échelon ou évolution constante) le système n’intervenant que sur la dérivée de l’erreur, en régime permanent si l’erreur est constante, le dérivateur n’a aucun effet. Effet dynamique: l’intérêt principal de la correction dérivée est sont effet stabilisant, elle s’oppose aux grandes variations de l’erreur (donc aux oscillations), elle permet donc de stabiliser le système et d’améliorer le temps de réponse. (2) Réglage : La constante de dérivation doit permettre d’agir (apporter une phase positive) avant la résonance du système non corrigé. 4. Correcteur proportionnel Intégrateur Dérivateur PID a) Principe L’intérêt du correcteur PID est d’intégrer les effets positifs des trois correcteurs précédents. la détermination des coefficients Kp, Ti, Td du correcteur PID permet d’améliorer à la fois la précision (Td et Kp) la stabilité (Td) et la rapidité (Td, Kp). Le réglage d’un PID est en général assez complexe, des méthodes pratiques de réglages permettent d’obtenir des bons résultats. (1) Structure d’un correcteur PID Correcteur ε(p) Cd(p)=Tdp + - Cp(p)=Kp U(p) E(p) Ci( p) = (2) + + 1 Ti ⋅ p Diagramme de Bode S(p) T(p) Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes-asservis-Automatique diagramme d’amplitude diagramme des phases Φ(°) AdB dérivation Intégration Log(ω) Log(ω) (3) Effet On voit sur les diagrammes de Bode que le correcteur P.I.D se comporte pour le basses fréquences comme un intégrateur donc le système sera précis d’un point de vue statique, aux hautes fréquences l’avance de phase est de +90° donc une amélioration de la stabilité (4) Réglage du correcteur P.I.D L’objectif du réglage est de placer le correcteur de telle sorte que, autour de la pulsation de résonance du système non corrigé, l’avance de phase soit positive et suffisante pour ne pas rendre le système instable. Il n’y a pas de réelle méthode analytique permettant de calculer les composantes du correcteur, par contre des méthodes pratiques permettent une évaluation correcte des coefficients du correcteur. 5. Correcteur à avance de phase a) principe Un correcteur à avance de phase est e la forme C( p) = 1 + aτ ⋅ p avec a>1 1+ τ ⋅ p L’intérêt de ce type de correcteur est de peu modifier le comportement du système aux basses et hautes fréquences mais de rajouter une phase positive autour du point critique de fonctionnement.(résonance) Ce type de correcteur se comporte autour du point critique comme un correcteur dérivé. Il permet d’améliorer la stabilité sans changer les autres paramètres. (1) Diagrammes de Bode Université d'EVRY Hichem ARIOUI Systèmes asservis - Automatique 1 Le déphasage maximal est obtenue pour la pulsation : ωm = Le déphasage maximal correspond à : sin ϕ m = 6. τ a . a −1 . a +1 Méthode pratique de réglage d’un correcteur P, P.I ou P.I.D - Méthode de Ziegler Nichols (i) Principe Les correcteurs PI et P.I.D sont parmi les correcteurs analogiques les plus utilisés. Le problème principal réside dans la détermination des coefficients Kp, Ti, Td du correcteur. Plusieurs méthodes expérimentales ont été développées pour déterminer ces coefficients La méthode développée par Ziegler et Nichols n’est utilisable que si le système étudié supporte les dépassements. La méthode consiste à augmenter progressivement le gain d’un correcteur proportionnel pur jusqu'à la juste oscillation. On relève alors le gain limite (Klim) correspondant et la pulsation des oscillations ω osc . À partir des ces valeurs Ziegler et Nichols propose nt des valeurs permettant le réglage des correcteurs P, P.I et P.I.D Correcteur P P.I P.I.D Kp 0.5 ⋅ K lim 0.45 ⋅ K lim 0.6 ⋅ K lim Ti ∝ 0.83 ⋅Tosc 0.5 ⋅Tosc Td 0 0 0125 . ⋅Tosc