énoncé et correction

Exercice à rendre no 13 – vendredi 3 février
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Loi de la quantité de mouvement
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des
questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec votre cours ouvert et les exercices faits en classe à portée de main est chaudement recommandé.
Utiliser votre calculatrice ou un logiciel comme Geogebra ou Python est possible, et peut parfois vous aider.
Travailler en groupe est autorisé mais le travail de rédaction doit être individuel. Rappelons également qu’un
travail de groupe est un travail à plusieurs, et pas le travail d’une personne recopié plusieurs fois.
Mécanique du vol d’un avion
On étudie différentes phases du vol d’un avion, en l’absence de vent, dans le référentiel terrestre (R) supposé
galiléen auquel on associe un système d’axes cartésien dont (Oz) constitue la verticale ascendante. L’intensité du
champ de pesanteur supposé uniforme est g = 9,8 m · s−2 .
La trajectoire et la configuration de vol de l’avion dans l’espace sont définis à l’aide de trois angles orientés repérés
figure 1 :
. la pente p, angle de l’horizontale vers la trajectoire de l’avion ;
. l’assiette A, angle de l’horizontale vers l’axe longitudinal de l’avion ;
. l’incidence i, angle de la trajectoire de l’avion vers son axe longitudinal.
axe longitudinal
de l’avion
trajectoire de l’avion
i
A
p
horizontale
G
Figure 1 – Configuration de vol d’un avion. Le trait épais indique le plan moyen de l’avion, représenté vu de côté.
Pour simplifier l’étude, on ne s’intéresse qu’au mouvement du centre d’inertie G de l’avion, de masse m = 2 · 103 kg,
soumis aux forces suivantes :
#”
. son poids P ;
#”
. la force de traction Fm des réacteurs, entraînés par les moteurs, dont la direction est celle de l’axe longitudinal de
l’avion ;
#”
. la résultante des forces aérodynamiques, contenue dans le plan de symétrie de l’avion, décomposée en portance Fp
#”
et traînée Ft :
,→ la portance, perpendiculaire à la trajectoire de l’avion, de norme
Fp =
1
ρ S v 2 Cp ;
2
,→ la traînée, de même direction que la trajectoire mais s’opposant au mouvement de l’avion, de norme
1
ρ S v 2 Ct ;
2
où ρ = 1,2 kg · m−3 est la masse volumique de l’air supposée constante et égale à celle mesurée au niveau de la mer,
S = 200 m2 est l’aire de la surface des ailes de l’avion projetée sur le plan horizontal et v est la vitesse de l’avion par
rapport à l’air.
Ft =
Les coefficients sans dimension Cp et Ct ne dépendent que de l’incidence i. Pour une incidence nulle (i = 0), ces
coefficients valent
Cp = 0,24
et
Ct = 0,008 .
Lors de l’étude du mouvement de l’avion dans différentes configurations, on évalue les efforts mécaniques subis
par la structure en déterminant le facteur de charge η défini comme le rapport de la norme de la portance sur la
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Étienne Thibierge, 16 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
Exercice à rendre no 13 : Loi de la quantité de mouvement
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
norme du poids. Compte tenu de la résistance des matériaux, la conception mécanique de la structure impose une
borne supérieure ηmax au facteur de charge de l’ordre de 2.
A - Vol en montée
Après avoir quitté le sol, l’avion est animé d’un mouvement rectiligne uniforme en montée avec une pente p à
incidence nulle i = 0. Le pilote impose aux moteurs de l’avion une puissance constante Pm .
1 - Faire un schéma de la configuration de vol en y représentant les forces.
2 - Déterminer la relation vectorielle qui lie les forces s’exerçant sur l’avion puis projeter cette relation sur l’axe
longitudinal de l’avion et sur l’axe qui lui est perpendiculaire. Vous n’oublierez pas que l’incidence est supposée
nulle !
3 - En déduire que la relation liant la vitesse v de l’avion à l’assiette A s’écrit
s
2 m g cos A
.
v=
ρ S Cp
#”
4 - Exprimer la puissance des moteurs en fonction de ||Fm || et v.
5 - Montrer que la relation entre l’assiette A et la puissance Pm des moteurs s’écrit

C

 f0 = p


Ct
√
s
avec
Pm = P0 (cos A + f0 sin A) cos A

2mg
Ct


 P0 = mg C
ρSCp
p
Calculer numériquement les valeurs de f0 et P0 .
Le pilote impose une puissance du moteur égale à sa valeur maximale Pm = Pmax = 50 kW.
6 - Déterminer une expression approchée de Pm à l’aide d’un développement limité, sachant que l’assiette ne dépasse
généralement pas 10°. En déduire la valeur numérique de l’assiette A. On rappelle les développements limités suivants,
valables pour |ε| 1 sans dimension :
sin ε ' ε
cos ε ' 1 −
ε2
2
(1 + ε)α ' 1 + αε .
7 - Déterminer la relation liant la vitesse ascensionnelle vz de l’avion à l’assiette A. Calculer sa valeur numérique.
8 - Déterminer l’expression du facteur de charge η en montée en fonction de l’assiette A. Commenter le résultat.
B - Vol en virage [facultatif mais facile]
L’avion effectue maintenant un virage circulaire en palier (p = 0°) avec une incidence nulle (i = 0°) et à vitesse v
constante. Pour réaliser ce virage, le pilote incline l’avion d’un angle φ, c’est-à-dire que le plan moyen des ailes est
incliné de φ par rapport au plan horizontal.
9 - Déterminer la relation vectorielle qui lie les forces s’exerçant sur l’avion.
10 - L’avion étant incliné pour effectuer le virage, faire le schéma de la configuration de vol en vue arrière en y
représentant les forces. Préciser où se trouve le centre de courbure du virage.
11 - Exprimer le rayon R du virage en fonction de la vitesse v de l’avion, de l’angle d’inclinaison φ et de g.
12 - Déterminer l’expression du facteur de charge η en fonction de φ.
13 - Sachant que la conception structurale de l’avion impose une borne supérieure ηmax au facteur de charge,
déterminer l’expression du rayon minimal du virage que le pilote peut faire prendre à l’avion en toute sécurité.
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Étienne Thibierge, 16 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
Correction de l’exercice à rendre no 13
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Loi de la quantité de mouvement
Mécanique du vol d’un avion
[Centrale TSI 2015]
A - Vol en montée
1
Voir figure 2.
axe
orthogonal
#”
Fp
trajectoire de l’avion
axe longitudinal
#”
Fm
p=A
#”
Ft
G
horizontale
A
#”
P
Figure 2 – Forces s’appliquant sur l’avion. Le dessin est fait selon l’hypothèse de l’énoncé i = 0.
v Barème : 1 point
2
Comme le mouvement de l’avion est rectiligne uniforme, alors son accélération est nulle, d’où
#” #”
#”
#”
#”
P + Fm + Fp + Ft = 0 .
En projection sur l’axe longitudinal de l’avion, on obtient
−P sin A + Fm + 0 − Ft = 0
soit
−mg sin A + Fm −
1
ρ S v 2 Ct = 0 .
2
En projection sur l’axe orthogonal à l’axe longitudinal, on trouve
−P cos A + 0 + Fp + 0 = 0
donc
−mg cos A +
1
ρ S v 2 Cp = 0 .
2
v Barème : 2 points
3
Ce résultat est une conséquence directe de la deuxième projection,
s
v=
2 m g cos A
.
ρ S Cp
v Barème : 1 point
4
Par définition, en notant #”
v la vitesse de l’avion,
#”
Pm = Fm · #”
v = Fm v
car la force motrice est colinéaire et de même sens que #”
v.
v Barème : 1 point
5
En conséquence de la première projection,
Fm =
1
ρ S v 2 Ct + mg sin A
2
donc
1/3
Pm =
1
ρ S v 2 Ct + mg sin A v .
2
Étienne Thibierge, 16 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
Correction DM 13 : Loi de la quantité de mouvement
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
En utilisant l’expression de v,
s
Pm =
2mg
ρ S Cp
√
1
2mg cos A
ρS
Ct + mg sin A
cos A
2
ρSCp
En simplifiant et en factorisant dans la parenthèse par mgCt /Cp , on trouve
Ct
Pm = mg
Cp
s
2mg
ρ S Cp
√
Cp
cos A ,
cos A +
sin A
Ct
ce qui est le résultat demandé. Numériquement,
f0 = 30
et
P0 = 1,7 · 104 W .
v Barème : 3 points
6
Utilisons un développement limité de Pm pour A 1,
1/2
A2
A2
A2
A2
Pm = P0 1 −
= P0 1 + f0 A −
+ f0 A
1−
1−
,
2
2
2
4
et comme le terme du premier ordre est non nul il n’est pas nécessaire de poursuivre au second ordre, d’où
Pm = P0 (1 + f0 A) .
On peut alors en déduire l’assiette A en inversant cette relation,
1 Pm
A=
− 1 = 6,4 · 10−2 rad = 3,7°
f0 P0
Évidemment, les développements limités usuels ne sont pas rappelés dans un sujet de concours.
v Barème : 2 points
7 Le vecteur vitesse de l’avion est dirigé le long de la trajectoire de l’avion, il est donc incliné d’un angle A par
rapport à l’horizontale. Ainsi, sa composante verticale vaut
s
vz = v sin A
donc
vz =
2 m g cos A
sin A .
ρ S Cp
Pour l’application numérique, reprenons le développement limité au premier ordre en A,
s
vz = A
2mg
= 1,7 m · s−1 .
ρ S Cp
v Barème : 2 points
8
Par définition, η = Fp /mg, donc en remplaçant
1
2 m g cos A
1
η = ρS
Cp ×
2
ρ S Cp
mg
soit
η = cos A .
Le facteur de charge devant être inférieur à 2, la phase de montée n’est jamais contraignante.
v Barème : 1 point
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Correction DM 13 : Loi de la quantité de mouvement
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
B - Vol en virage
Personne n’ayant travaillé cette partie, elle n’apparaît pas dans le corrigé.
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