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Spé ψ
ψψ
ψ 2015-2016 page 1/6 Devoir n°1
Spé ψ
ψψ
ψ 2015-2016 Devoir n°1
MÉCANIQUE DU POINT
D ’ APRES E3A MP 2015 ( PARTIE I)
1) En supposant la masse volumique uniforme et le comète de forme sphérique de rayon
r
com
, on a
3
4
3
com com com
m r
= µ π d’où
1/3
3
4
com
com
com
m
r =
π µ
. A.N.
1/3
13
3 1,0 10
4 400
com
r
×
=
π
= 1,8 km.
2) La force gravitationnelle exercée par la comète de forme sphérique sur un objet de masse
m est
2
com
r
m m
F e
r
= − G donc
(
)
( )
2 2
dim dim M L
F
−
=G . Or, d’après la relation fondamentale, on a
aussi
(
)
2
dim MLT
F
−
= donc on obtient
(
)
2 2 2
dim M L MLT
− −
=G d’où
(
)
3 1 2
dim L M T
− −
=G. Une
unité possible est le m3 ⋅ kg–1 ⋅ s–2 .
3) À l’instant du largage du module, on a
( )
13
11
2
arg 3
1,0 10
6,67 10 22,5 10
com l
g
−
×
= − ×
×
= 1,3 × 10–6 m ⋅ s–2.
Au niveau du sol de la compète,
( )
13
11
2
3
1,0 10
6,67 10 1,8 10
com sol
g
−
×
= − ×
×
= 2,0 × 10–4 m ⋅ s–2. On a donc
4
6
arg
2,0 10
1,3 10
com sol
com l
g
g
−
−
×
=×
 = 154. On ne peut pas considérer le champ de gravitation uniforme lors du
largage.
4) Dans le référentiel R
0
la sonde considérée comme un point matériel placée en R n’est
soumise qu’a la force gravitationnelle de la comète
( )
2
com Ros r
m m
F e R
r
= − G . Le théorème du mo-
ment cinétique appliqué au centre C de la comète s’écrit
( )
2
0
com Ros r
m m
d L CR e R
dt r
= ∧ − =
G donc
L
est constant en particulier sa direction. Comme, par définition,
L CR mv
= ∧ , les vecteurs
CR
et
v
sont dans un plan perpendiculaire à la direction de
L
. Ce plan est donc constant au cours du
temps.
5) On utilise la base polaire dans le plan de la trajectoire. Dans cette base, on a
( ) ( ) ( )
r
dr d
v e R r t e R
dt dt
θ
θ
= + Si la trajectoire est circulaire de rayon r
1
constant, il reste
( )
11
d
v r e R
dt
θ
θ
= . Le moment cinétique s’exprime alors
L CR mv
= ∧
( ) ( )
1 1
r
d
mr e R r e R
dt
θ
θ
= +
2
1
z
d
mr e
dt
θ
= . Comme ce vecteur est constant, cela entraîne d
C
dt
θ
=
et l’accélération s’écrit
( )
2
1r
d
a r e R
dt
θ
= −  
( )
2
1
1
r
v
e R
r
= − .
Le principe fondamental s’écrit
( ) ( )
2
1
2
1 1
com Ros
r r
Ros
m m
v
m e R e R
r r
− = − G d’où
1
1
com
m
vr =G
.
A.N.
11 13
13
6,67 10 1,0 10
30 10
v
−
× ×
=× = 15 cm⋅
⋅⋅
⋅s
–1
.

Spé ψ
ψψ
ψ 2015-2016 page 2/6 Devoir n°1
6) Pendant une période, la sonde fait un tour de longueur 2πr
1
donc
1
1
1
2
r
T
v
π
=.
A.N.
3
12
2 30 10
15 10
T
−
π ×
=× = 1,3×10
6
s ≈ 14,5 jours .
7) L’orbite est une ellipse de foyer C . Les distances r
a
et r
p
sont
définies sur le grand axe de l’ellipse.
L’énergie mécanique est
2
com Ros
m m
E
a
= −
G
où
2
a p
r r
a
+
= est
le demi grand-axe. On en déduit
com Ros
a p
m m
E
r r
= − +
G
.
8) L’énergie mécanique est
2
1
2
com Ros
m Ros
m m
E m v
r
= − G donc, en r
p
, on obtient
2
1
2
com Ros com Ros
Ros p
p a p
m m m m
m v
r r r
− = − +
G
G . On en déduit
1 1
2
p com
p a p
v m
r r r
= −
+
G
.
A.N.
11 13
3 3
1 1
2 6,67 10 1,0 10
10 10 30 10
p
v
−
= × × −
× ×
= 30 cm ⋅
⋅⋅
⋅ s
–1
.
9) La vitesse en r
p
sur l’orbite circulaire est
CIRC
com
p
p
m
vr =
G
. La variation de vitesse est
donc
CIRC
1 1 1
2
p p com
p p a p
v v v m
r r r r
∆ = − = − −
+
G
.
A.N.
11 13
CIRC 3
6,67 10 1,0 10
10 10
p
v
−
× ×
=× = 26 cm⋅s
–1
.
La variation de vitesse est donc ∆v
p
= – 4 cm ⋅
⋅⋅
⋅ s
–1
.
10) Comme
dv
dv dt
dt
= et
dm
dm dt
dt
=, l’équation du mouvement devient
e
m dv dm v
= −
d’où
e
dm
dv v
m
= − . En notant m
CIRC
+ ∆m la masse au début de l’éjection des gaz, on peut écrire
CIRC CIRC
CIRC
p
p
v m
e
v m m
dm
dv v
m
+∆
= −
∫ ∫
entre le début et la fin de la variation de vitesse soit
CIRC
CIRC
CIRC
ln
p p e
m
v v v
m m
− = −
+ ∆
d’où
CIRC
CIRC
ln
e
m m
v v m
+ ∆
∆ = ou encore
CIRC
exp 1
e
v
m m v
∆
∆ = −
.
11) Dans le référentiel lié à la comète qui est supposé galiléen, on prend comme système
mobile l’atterrisseur considéré comme ponctuel. Il n’est soumis qu’à l’interaction gravitationnelle
donc le principe fondamental s’écrit
( )
2
2
2
com Ph
r r
Ph
m m
d r
m e e
dt r t
= − G d’où l’équation du mouvement
( )
2
2
2
0
com
m
d r
dt r t
+ =
G
.
C
r
p
r
a

Spé ψ
ψψ
ψ 2015-2016 page 3/6 Devoir n°1
12) Dans la fonction Euler, r est la liste des valeurs de r et vr est la liste des valeurs de la vi-
tesse. La formule de Taylor à l’ordre 1 s’écrit
( ) ( )
dv
v t dt v t dt
dt
+ = + . La ligne 8 traduit cette équa-
tion et la fonction equadiff doit renvoyer
( )
2
2
2
com
m
dv d r
dt dt
r t
= = −
G
d’après l’équation du mouvement .
La constante gm contient la valeur numérique de G m
com
, donc on peut compléter la ligne 3 :
3 return – gm/r**2
puis la ligne 8, où l’on crée une nouvelle valeur de v avec les valeurs précédentes de r et v et on
l’ajoute à la liste vr.
8 vr.append( vr[i] + dt *equadiff(r[i], vr[i]) )
Avec l’ancienne valeur de la vitesse, on obtient également une nouvelle valeur de r par la formule
de Taylor
( ) ( ) ( ) ( )
dr
r t dt r t dt r t v t dt
dt
+ = + = + et l’on ajoute cette nouvelle valeur à la liste r. La
ligne 9 s’écrit donc
9 r.append(r[i] + vr[i]*dt)
13) La vitesse initiale nulle correspond à la courbe a. On a calculé le rayon de la comète
1,8 km . On lit r = 1800 m à l’instant t ≈ 143000 s soit 40 h environ ou encore 1 jour et 16h.
Cette valeur ne correspond pas du tout à la réalité. La valeur réelle de 7h ≈ 25200 s ce qui
correspond à la courbe f d’après le zoom, c’est-à-dire la vitesse initiale – 0,75 m ⋅
⋅⋅
⋅ s
–1
.
14) On cherche sur le graphique la vitesse verticale corres-
pondante au rayon de la comète sur la courbe calculée pour une vitesse
initiale de – 0,75 m⋅s
–1
. On trouve v ≈
≈≈
≈ –1,1 m ⋅
⋅⋅
⋅ s
–1
.
15) Pendant sa chute, le module Philae n’est soumis qu’à la
force de gravitation qui est conservative donc son énergie mécanique
se conserve (c’est-à-dire est constante au cours du temps).
16) On écrit l’énergie mécanique de Philae au largage (r
L
, v
L
)
et au sol (r
C
, v
AT
).
2 2
1 1
2 2
com Phi com Phi
Phi L Phi AT
L com
m m m m
m v m v
r r
− = −G G d’où
2 2
2 2
com com
L AT
L com
m m
v v
r r
− = −G G puis.
2
1 1
2
AT L com
com L
v v m
r r
= + − G
A.N.
( )
211 13
3 3
1 1
0,75 2 6,67 10 1,0 10
1,8 10 22,5 10
AT
v
−
= + × × −
× ×
= 1,1 m ⋅
⋅⋅
⋅ s
–1
. Cette
valeur est compatible avec la valeur obtenue graphiquement.
17)
g
h
d
e
f
i

Spé ψ
ψψ
ψ 2015-2016 page 4/6 Devoir n°1
S’approprier le problème. Faire un schéma modèle.
Identifier les grandeurs physiques pertinentes, leur attribuer un symbole.
Évaluer quantitativement les grandeurs physiques inconnues et non précisées.
Relier le problème à une situation modèle connue.….
Durant les deux heures de rebond, la seule
force extérieure appliquée à Philae est la force
d’attraction gravitationnelle exercée par la comète
sur Philae car il n’y a pas d’atmosphère, donc pas de
force de frottement. Le module est donc en chute
libre. Sa vitesse initiale est celle après le premier
rebond, elle n’est donc pas verticale mais fait un
angle de 15° avec la verticale. Un schéma représen-
tatif de la situation est tracé ci-contre.
Sur 1 km, la force de gravitation varie de 2
F
r
r
F
δ
δ
=
 soit numériquement
1
2
1,8
F
F
δ=
 ≈ 1,1. Considérons cependant que la force ne varie pas pendant le rebond.
Etablir une stratégie de réso-
lution (analyser).
Décomposer le problème en des problèmes plus simples.
Commencer par une version simplifiée.
Expliciter la modélisation choisie (définition du système, …).
Déterminer et énoncer les lois physiques qui seront utilisées.…..
On se place dans le référentiel lié à la comète, il est supposé galiléen. Le système mobile est
le module de masse m
Phil
. Dans la base cartésienne indiquée sur la figure, la relation fondamentale
Phi
m a F
=
se projette en
2
2
2
2
0
Phi
Phi Phi com
d x
mdt
d y
m m g
dt
=
= −
en posant
2
com
com
com
m
gr =
G
.
Mettre en œuvre la stratégie
(réaliser).
Mener la démarche jusqu’au bout afin de répondre explicitement à la question posée.
Savoir mener efficacement les calculs analytiques et la traduction numérique.
Utiliser l’analyse dimensionnelle.…
On intègre en
0
0
x
com y
dx v
dt
dy
g t v
dt
=
= − +
puis
0
2
0
1
2
x
com y
x v t
y g t v t
=
= − +
en prenant l’origine au point de
rebond.
Le sommet de la trajectoire correspond à t
s
tel que v
y
= 0 soit
0
y
s
com
v
t
g
=. On a alors
2
0
2
y
s
com
v
y
g
=.
La portée à t
p
tel que y = 0 (en assimilant le sol de la comète à un plan sur cette distance),soit
0
2
y
p
com
v
t
g
=. On a alors
0
p x p
x v t
= soit
0 0
2
x y
p
com
v v
xg =.
α
=
75°
α
= 75°
y
x
0
v

Spé ψ
ψψ
ψ 2015-2016 page 5/6 Devoir n°1
A.N. On trouve v
0
= 1,1/2 = 0,55 m⋅s
–1
,
( )
11 13
2
3
6,67 10 1,0 10
1,8 10
com
g
−
× ×
=
×
= 2,0×10
–4
m⋅s
–2
,
( )
(
)
2
4
0,55sin 75
2 2 10
s
y
−
°
=× = 685 m,
(
)
4
2 0,55sin 75
2 10
p
t
−
°
=× = 5316 s ≈ 1h29 et
(
)
(
)
2
4
2 0,55 cos 75 sin 75
2 10
p
x
−
° °
=× = 756 m.
Avoir un regard critique sur
les résultats obtenus (valider).
S’assurer que l’on a répondu à la question posée.
Vérifier la pertinence du résultat trouvé, notamment en comparant avec des estimations ou
ordres de grandeurs connus.
Comparer le résultat obtenu avec le résultat d’une autre approche (mesure expérimentale
donnée ou déduite d’un document joint, simulation numérique, …).
Étudier des cas limites plus simples dont la solution est plus facilement vérifiable ou bien
déjà connue.…
Les valeurs calculées sont d’un ordre de grandeur comparable mais pas très voisin des va-
leurs indiquées dans le texte (y
p
≈ 1000 m, x
p
> 1000 m, t
p
= 17h25 – 15h34 = 1h51.
L’hypothèse de planéité de la surface est critiquable car le rayon de
la comète (1,8 km) et de l’ordre de la portée calculée. Philae est en fait re-
tombée au delà de l’horizon du point d’impact initial et la portée réelle est
donc plus grande.
L’hypothèse d’uniformité de la force de gravitation est très critiqua-
ble car elle varie en fait beaucoup puisque Philae rebondit d’une distance
pratiquement moitié du rayon de la comète. En réalité, la force diminue avec l’altitude, ce qui aug-
mente les valeurs de la flèche et de la portée par rapport à celle calculées.
18-a) Avec R
C
= ∞, on a i
S
= 0. On a donc v
S
= R
E
i
E
.
La loi des nœuds en S entraîne i
E
= i
B
+ J
CC
= i
B
+ βi
B
donc
(
)
S E B
1
v R i
= + β
.
b) La tension aux bornes de la résistances r’ s’écrit
e
G
–v
S
= r’i
B
+ donc
G
B
'
S
e v
i
r
−
=.
Avec la question précédente, on obtient
(
)
G E B
B
1
'
e R i
i
r
− + β
= d’où
(
)
E
G
B
1
1
' '
R
e
i
r r
+ β
+ = puis
( )
G
B
E
'
1 1
'
e
r
i
R
r
=
+ + β
.
c) En combinant les résultats précédents on obtient
( )
( )
E
S G
E
1'
1 1
'
R
r
v e
R
r
+ β
=
+ + β
.
Puisque i
S
= 0 dans ce cas, la valeur de v
S
calculée ici est la tension à vide v
V
de la source
modélisée.
portée réelle
portée calculée
r’
M
S
v
S
i
S
= 0
i
B
J
CC
=
β
i
R
E
i
RE