Devoir Maison 6

Mathématiques L3 MIAGE
Devoir Maison 6 - Corrigé
Exercice 1 : Loi exponentielle
On modélise la durée de vie d’un processeur (en années) par une loi exponentielle de paramètre
1/2.
a. Que vaut la durée de vie moyenne d’un tel processeur ?
Soit Xla variable aléatoire de la durée de vie d’un processeur. Elle suit une loi
exponentielle, d’après l’énoncé, de paramètre λ= 1/2. On a donc X∼ E(1/2).
La durée de vie moyenne d’un processeur est alors exactement l’espérance de X, et
on peut utiliser la formule pour une loi exponentielle :
E[X] = 1
λ=1 1/2= 2.
b. Avec quelle probabilité le processeur fonctionne-t-il plus de six mois ?
On peut remarquer que six mois correspond exactement à une demi-année. On cherche
alors P(X > 1/2) :
P(X > 1/2) = 1 −P(X≤1/2) = 1 −F(1/2).
Or, vu que 1/2≥0, on a F(1/2) = 1 −e−λ×1/2, d’où :
P(X > 1/2) = 1 −(1 −e−1
4) = e−1 4.
c. Chaque vente de processeur rapporte 100 euros à son fabriquant, sauf s’il doit être échangé
pendant les six mois de garantie, auquel cas il ne rapporte plus que 30 euros. Combien
rapporte en moyenne un processeur ?
On pose Yla variable aléatoire de l’argent que rapporte un processeur.
Yprend alors ses valeurs dans {30,100}et P(Y= 100) = P(X > 1/2), ce qui permet
de donner la loi de probabilité de Y:
y30 100
P(Y=y) 1 −e−1
4e−1 4
Puisqu’il faut que P(Y= 30) + P(Y= 100) = 1.
On peut alors calculer l’espérance de Yqui correspond à la moyenne de l’argent que
rapporte un processeur :
E[Y] = 30 ×P(Y= 30) + 100 ×P(Y= 100)
= 30 ×(1 −e−1
4) + 100 ×e−1 4= 30 + 70e−1 4.
Un processeur rapporte alors environ 84,5 euros, en approximant E[Y].

Mathématiques L3 MIAGE
Exercice 2 : Loi uniforme
On choisit un nombre réel aau hasard dans [0; 1].
a. Quelle est la probabilité que asoit compris entre 0,12 et 0,26 ?
Soit Xla variable aléatoire du nombre réel atiré. Xsuit alors une loi uniforme sur
l’intervalle [0; 1] car le nombre aest tiré au hasard dans cet intervalle : X∼ U[0;1].
On s’intéresse alors à P(0,12 ≤X≤0,26) :
P(0,12 ≤X≤0,26) = F(0,26) −F(0,12)
=0,26 −0
1−0−0,12 −0 1−0= 0,26 −0,12 = 0,14.
Puisque F(x) = x−0
1−0pour x∈[0; 1] et que 0,12 et 0,26 sont dans cet intervalle.
aa donc 14% de chance d’être compris entre 0,12 et 0,26.
b. Quelle est la probabilité que, dans l’écriture décimale de a, le premier nombre après la
virgule soit pair ?
Le premier nombre après la virgule est pair signifie que le nombre appartient à
l’ensemble : A= [0; 0,1[∪[0,2; 0,3[∪[0,4; 0,5[∪[0,6; 0,7[∪[0,8; 0,9[∪{1}.
On s’intéresse donc à la probabilité que Xsoit dans A:
P(X∈A) = P(X∈[0; 0,1[) + P(X∈[0,2; 0,3[) + P(X∈[0,4; 0,5[)
+P(X∈[0,6; 0,7[) + P(X∈[0,8; 0,9[) + P(X= 1).
Puisque les différents intervalles/singletons sont disjoints.
De plus, P(X= 1) = 0 vu que Xest une variable aléatoire continue.
Enfin, chacun des autres intervalles a la même longueur et est entièrement inclus
dans l’intervalle [0; 1], donc, vu que Xest une loi uniforme sur [0; 1], chacune de ces
probabilités est égale :
P(X∈A)=5×P(X∈[0; 0,1[) = 5 ×P(0 ≤X < 0,1)
= 5 ×0,1−0
1−0= 5 ×0,1=0,5.
aa donc une probabilité de 1/2d’avoir un nombre pair comme première décimale.