Devoir Maison 6

Mathématiques
L3 MIAGE
Devoir Maison 6 - Corrigé
Exercice 1 : Loi exponentielle
On modélise la durée de vie d’un processeur (en années) par une loi exponentielle de paramètre
1/2.
a.
Que vaut la durée de vie moyenne d’un tel processeur ?
Soit X la variable aléatoire de la durée de vie d’un processeur. Elle suit une loi
exponentielle, d’après l’énoncé, de paramètre λ = 1/2. On a donc X ∼ E(1/2).
La durée de vie moyenne d’un processeur est alors exactement l’espérance de X, et
on peut utiliser la formule pour une loi exponentielle :
E[X] =
b.
1
1
=
= 2.
λ
1/2
Avec quelle probabilité le processeur fonctionne-t-il plus de six mois ?
On peut remarquer que six mois correspond exactement à une demi-année. On cherche
alors P(X > 1/2) :
P(X > 1/2) = 1 − P(X ≤ 1/2) = 1 − F (1/2).
Or, vu que 1/2 ≥ 0, on a F (1/2) = 1 − e−λ×1/2 , d’où :
1
1
P(X > 1/2) = 1 − (1 − e− 4 ) = e− 4 .
c.
Chaque vente de processeur rapporte 100 euros à son fabriquant, sauf s’il doit être échangé
pendant les six mois de garantie, auquel cas il ne rapporte plus que 30 euros. Combien
rapporte en moyenne un processeur ?
On pose Y la variable aléatoire de l’argent que rapporte un processeur.
Y prend alors ses valeurs dans {30, 100} et P(Y = 100) = P(X > 1/2), ce qui permet
de donner la loi de probabilité de Y :
y
P(Y = y)
30
1
1 − e− 4
100
1
e− 4
Puisqu’il faut que P(Y = 30) + P(Y = 100) = 1.
On peut alors calculer l’espérance de Y qui correspond à la moyenne de l’argent que
rapporte un processeur :
E[Y ] = 30 × P(Y = 30) + 100 × P(Y = 100)
1
1
1
= 30 × (1 − e− 4 ) + 100 × e− 4 = 30 + 70e− 4 .
Un processeur rapporte alors environ 84,5 euros, en approximant E[Y ].
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Exercice 2 : Loi uniforme
On choisit un nombre réel a au hasard dans [0; 1].
a.
Quelle est la probabilité que a soit compris entre 0, 12 et 0, 26 ?
Soit X la variable aléatoire du nombre réel a tiré. X suit alors une loi uniforme sur
l’intervalle [0; 1] car le nombre a est tiré au hasard dans cet intervalle : X ∼ U[0;1] .
On s’intéresse alors à P(0, 12 ≤ X ≤ 0, 26) :
P(0, 12 ≤ X ≤ 0, 26) = F (0, 26) − F (0, 12)
0, 26 − 0 0, 12 − 0
=
−
= 0, 26 − 0, 12 = 0, 14.
1−0
1−0
x−0
pour x ∈ [0; 1] et que 0,12 et 0,26 sont dans cet intervalle.
1−0
a a donc 14% de chance d’être compris entre 0, 12 et 0, 26.
Puisque F (x) =
b.
Quelle est la probabilité que, dans l’écriture décimale de a, le premier nombre après la
virgule soit pair ?
Le premier nombre après la virgule est pair signifie que le nombre appartient à
l’ensemble : A = [0; 0, 1[∪[0, 2; 0, 3[∪[0, 4; 0, 5[∪[0, 6; 0, 7[∪[0, 8; 0, 9[∪{1}.
On s’intéresse donc à la probabilité que X soit dans A :
P(X ∈ A) = P(X ∈ [0; 0, 1[) + P(X ∈ [0, 2; 0, 3[) + P(X ∈ [0, 4; 0, 5[)
+ P(X ∈ [0, 6; 0, 7[) + P(X ∈ [0, 8; 0, 9[) + P(X = 1).
Puisque les différents intervalles/singletons sont disjoints.
De plus, P(X = 1) = 0 vu que X est une variable aléatoire continue.
Enfin, chacun des autres intervalles a la même longueur et est entièrement inclus
dans l’intervalle [0; 1], donc, vu que X est une loi uniforme sur [0; 1], chacune de ces
probabilités est égale :
P(X ∈ A) = 5 × P(X ∈ [0; 0, 1[) = 5 × P(0 ≤ X < 0, 1)
0, 1 − 0
=5×
= 5 × 0, 1 = 0, 5.
1−0
a a donc une probabilité de 1/2 d’avoir un nombre pair comme première décimale.