Modèle mathématique. - Les math. avec H. Rorthais

Tle ES - programme 2012 –mathématiques – ch.3 – cahier élève Page 1 sur 30
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr
Ch.3 Fonctions exponentielles
Rappels 1 : Suites géométriques (qn) avec q > 1
 La suite de terme général un = qn, avec q > 1, est strictement croissante.
 Représentation graphique :
Exemple : un =
4
3
n.
Questions-tests n°1 page 73
Construisez la représentation graphique des cinq premiers termes de la suite de terme général un = qn, dans chacun des
cas suivants :
a) un =
6
5
n ;
b) un = 1,1n ;
c) un = 2n.
Indication : choisissez un repère dans lequel les cinq premiers termes peuvent être visibles.
a) u0 = 1 ; u1 = 1,2 ; u2 = 1,44 ; u3 = 1,728 ; u4 = 2,073 6 ;
u5 = 2,488 32 .
On place les points A0(0 ; u0) ; A1(1 ; u1) ; … ; A5(5 ; u5) dans un repère
(unités graphiques 3 cm sur l'axe des abscisses et 6 cm sur l'axe des
ordonnées).
b) u0 = 1 ; u1 = 1,1 ; u2 = 1,21 ; u3 = 1,331 ; u4 = 1,464 1 ;
u5 = 1,610 51 .
On place les points A0(0 ; u0) ; A1(1 ; u1) ; … ; A5(5 ; u5) dans un repère
(unités graphiques 3 cm sur l'axe des abscisses et 6 cm sur l'axe des
ordonnées).
c) u0 = 1 ; u1 = 2 ; u2 = 4 ; u3 = 8 ; u4 = 16 ; u5 = 32 .
On place les points A0(0 ; u0) ; A1(1 ; u1) ; … ; A5(5 ; u5) dans un repère
(unités graphiques 3 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des
ordonnées).

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Rappels 2 : Suites géométriques (qn) avec 0 < q < 1
 La suite de terme général un = qn, avec 0 < q < 1, est strictement décroissante.
 Représentation graphique :
Exemple : un =
4
5
n.
Questions-tests n°2 page 73
Construisez la représentation graphique des cinq premiers termes de la suite de terme général un = qn, dans chacun des
cas suivants :
a) un =
3
4
n ;
b) un = 0,9n ;
c) un =
1
2
n.
Indication : choisissez un repère dans lequel les cinq premiers termes peuvent être visibles.
a) u0 = 1 ; u1 = 0,75 ; u2 = 0,562 5 ; u3 = 0,421 875 ;
u4  0,316 4 ; u5  0,237 3 .
On place les points A0(0 ; u0) ; A1(1 ; u1) ; … ; A5(5 ; u5) dans un
repère (unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur
l'axe des ordonnées).
b) u0 = 1 ; u1 = 0,9 ; u2 = 0,81 ; u3 = 0,729 ; u4 = 0,656 1 ;
u5 = 0,590 49 .
On place les points A0(0 ; u0) ; A1(1 ; u1) ; … ; A5(5 ; u5) dans un
repère (unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur
l'axe des ordonnées).
c) u0 = 1 ; u1 = 2 ; u2 = 4 ; u3 = 8 ; u4 = 16 ; u5 = 32 .
On place les points A0(0 ; u0) ; A1(1 ; u1) ; … ; A5(5 ; u5) dans un
repère (unités graphiques 3 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur
l'axe des ordonnées).

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1 FONCTIONS x qx, AVEC q > 0
1.1 Définition
Pour tout réel q strictement positif, la fonction x  qx est une fonction définie sur IR.
Sa courbe représentative est obtenue en reliant par une ligne continue et régulière les points de coordonnées
(n ; qn) pour n  ZZ.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base q.
Cas q > 1
Cas 0 < q < 1
– Points rouges : représentation graphique de la suite (qn).
– Courbe verte : représentation graphique de la fonction x qx.
Cas q = 1 : dans ce cas, pour tout n
ZZ
, qn = 1.
Remarque importante :
Pour tout réel x, qx est strictement positif.
Exercice n°26 page 86
1) Expliquez pourquoi la suite (u) définie pour tout naturel n par un = 2  
3
4
n est géométrique. Précisez son premier
terme et sa raison.
2) Placez dans un repère orthogonal les douze premiers points de la représentation graphique de (u) (unités : 1 cm en
abscisse et 10 cm en ordonnée).
3) Tracez dans ce repère une représentation de la fonction f : x 2  
3
4
x.
1) un + 1 = 2  
3
4
n + 1 = 2  
3
4
n  3
4 = 3 4 un .
Donc la suite (un) est géométrique de raison q = 3
4 et de premier terme u0 = 2  
3
4
0 = 2.
2)
3)
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
un
2
1,5
1,125
0,844
0,633
0,475
0,356
0,267
0,2
0,15
0,113
0,084

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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
0 1
0,1
x
y
u0
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u9
u10
u11
1.2 Dérivabilité
On admet que :
Les fonctions x  qx sont dérivables sur IR.
Ces fonctions sont donc continues sur IR et admettent une tangente en chaque point.
Exemples :
1) Considérons la fonction f définie sur IR, par f (x) = (1,4)x.
Dans ce cas, q = 1,4 ; l'allure de sa courbe représentative, Cf ,
correspond au cas q > 1. On a :
f (0) = 1 ; f (1) = 1,4 ;
f (2) = (1,4)2 = 1,96 ; f (3) = (1,4)3 = 2,744 ;
f (–1) = (1,4)–1 = 1
1,4  0,71 ; f (–2) = (1,4)–2 = 1
1,42  0,51.

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2) Considérons la fonction f définie sur IR par f (x) = (0,9)x.
Dans ce cas, q = 0,9 ; l'allure de sa courbe représentative, Cf ,
correspond au cas q < 1. On a :
f (0) = 1 ; f (1) = 0,9 ;
f (2) = (0,9)2 = 0,81 ; f (3) = (0,9)3 = 0,729 ;
f (–1) = (0,9)–1 = 1
0,9  1,11 ; f (–2) = (0,9)–2 = 1
0,92  1,23.
2 RELATION FONCTIONNELLE
2.1 Une propriété fondamentale
Si a et b sont des entiers, on sait que qa + b = qa  qb.
Le théorème suivant que nous admettons, indique que cette propriété est vraie si a et b sont des réels
quelconques, pas forcément entiers.
THÉORÈME 1
q désigne un nombre strictement positif. Alors, pour tous réels a et b, qa + b = qa qb.
Exemples :
 23 + 1 = 2 3  21 = 2  2 3.
 5 – 2 = 5  5–2 = 5  1
52 = 5
25 .
2.2 Conséquences
THÉORÈME 2
q est un nombre strictement positif.
1) Pour tous réels a1 , a2 , …, ap ,
qa1 + a2 + … + ap = qa1 qa2 … qap.
2) Pour tout réel a, q–a = 1
qa .
3) Pour tout réel a et tout entier relatif p, (qa)p = qap.
4) Pour tout réel a, pour tout réel b, qa – b = qa
qb .
5) q
1
2
= q.
Remarques :
1) Les propriétés 1, 2, 3 et 4 ci-dessus sont connues dans le cas où les exposants sont entiers. Le théorème
indique qu'elles sont vraies dans le cas où les exposants sont des réels quelconques.
2) Généralisation de la propriété 5 : pour q > 0 et pour n entier naturel non nul, on peut vérifier que q
1
n
est
le nombre positif dont la puissance n-ième est égale à q, c’est-à-dire tel que
q
1
n
n
= q.
Par exemple, 27
1
3
= 3 car 33 = 27.
Démonstration :
1) qa1 + a2 = qa1  qa2 (d'après la relation fonctionnelle).
qa1 + a2 + a3 = qa1 + a2  qa3 = (qa1  qa2)  qa3 = qa1  qa2  qa3.
De proche en proche on démontre que qa1 + a2 + … + ap = qa1  qa2  …  qap.
2) q–a = 1
qa équivaut à q–a  qa = 1. Or q–a  qa = q–a + a = q0 = 1.
3) Cas où p est entier positif : (qa)p = qa  qa  …  qa = qa + a + a + … + a = qpa.
Si p est un entier négatif, (qa)p = (qa)–(–p) = 1
(qa)–p .
Or –p est positif, donc (qa)–p = q–pa d'après la propriété établie ci-dessus dans le cas où l'entier est positif.
Or 1
q–pa = qpa d'après la propriété 2.
4) qa – b = qa + (–b) = qa  q–b = qa  1
qb = qa qb .