Final P2009

U.T.C. - TF 06 Examen Final Printemps 2009
SP & MH 2 Problème 1 Page 1 sur 4
Durée 2 heures – Documents de cours et TD autorisés
Les exercices doivent être obligatoirement rédigés sur des feuilles séparées.
Problème 1 (6 points) à rédiger sur feuille séparée :
Patinoire
Les architectes savent bien que le plafond d’une piste de patinage sur glace doit avoir
une réflectivité élevée. Sinon, il risque de se former de la condensation sur le plafond, et
de l’eau peut tomber goutte à goutte sur la glace, provoquant des bosses sur la piste. La
condensation se produit sur le plafond lorsque la température de sa surface descend en
dessous du point de rosée de l’air de la patinoire.
Votre mission est d’effectuer une analyse afin de déterminer l’effet de l’émissivité du
plafond sur sa température, et donc sa propension à la condensation.
La patinoire a une forme globalement cylindrique. La piste a un diamètre de D = 50 m
et une hauteur de L = 10 m. La température de la glace est de TG = -5 °C et celle des
murs est de TM = 15 °C. La température de l’air de la patinoire est de Tint = 15 °C, son
humidité relative est de 70 %, et un coefficient de convection de hPint = 5 W/m² K ca-
ractérise les conditions sur la surface du plafond. L’épaisseur et la conductivité thermi-
que de l’isolation du plafond sont de eP = 30 cm et P = 0,035 W/m K.
La température de l’air extérieur est de Text = -5 °C, et le coefficient de convection est
hPext = 100 W/m² K.
La température de rosée correspondant aux conditions indiquées (70% d’humidité à
15°C sous pression atmosphérique) est : Tpr = 9,4°C.
On suppose que le plafond est une surface grise d’émissivité P et que les murs et la
glace sont assimilés à des corps noirs. Diagramme en fin d’énoncé.
1. Effectuer un bilan énergétique sur le plafond.
2. Considérer un plafond ayant une émissivité de P = 0,05 (panneaux très réfléchis-
sants). Calculer la température du plafond. Va-t-on avoir de la condensation ?
Air ext
é
rieur
Text = 5°C
hPext = 100 W/m² K
Isolation ,
P = 0,035 W/m K , épaisseur eP = 30 cm ou e’P = 60 cm
Plafond ,
T
P
, émissivité
P
= 0.05 ou
‘
P
= 0.94
Murs
TM = 15°C
Glace
TG = 5°C
Air
intérieur
Tint = 15°C
hPint = 5 W/m² K
humidité : 70 %
D
= 50 m
L
= 10 m

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3. Supposer que l’émissivité est de ’P = 0,94 (panneaux peints). Calculer la tempéra-
ture du plafond. Va-t-on avoir de la condensation ?
4. On double l’épaisseur de l’isolation du plafond : e’P = 60 cm. Recalculer la tempéra-
ture du plafond pour chacune des émissivités P et ’P.
5. Conclusions sur les conditions qui entrainent ou évitent la condensation sur le pla-
fond.

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Problème 2 (14 points) à rédiger sur feuille séparée :
Sphère en laiton
Une thermistance est insérée à l’intérieur d’une sphère en laiton (Cu = 70 %,
Zn = 30 %) de diamètre d = 4,2 cm.
Les caractéristiques thermophysiques du laiton, à la température considérée sont :
 = 8500 kg/m3
cP = 370 J/kg K
 = 100 W/m K
1. Calculer la masse m de cette sphère (kg). En déduire la capacité calorifique  = m cP
(J/K) de la sphère. Déterminer la surface A (m2) de la sphère.
2. Cette sphère est immergée et maintenue fixe au sein d’un écoulement établi et per-
manent d’éthylène-glycol. Les températures du fluide et de la sphère sont supposées
initialement homogènes et toutes deux égales à T0 = 290 K.
A un instant pris comme origine, la température du fluide passe brusquement à la
température T1 = 320 K (créneau de température) et se maintient constante.
a) En désignant par h la conductance thermique externe sphère/fluide, exprimer la
variation de la température T’ de la sphère au cours du temps, sous l’effet de la
variation de la température du fluide en fonction de T1, T0, h, A et .
On admettra que le nombre de Biot est tel que Bi < 0,1. Représenter schémati-
quement ces variations.
b) Exprimer l’écart de température T = T1 – T’(t), entre le fluide et la sphère.
3. Au bout d’un temps = 180 s, on mesure cet écart et on trouve T = 2°C.
a) En déduire la valeur de la conductance de transfert h (W/m2 °C).
b) Calculer le nombre de Biot correspondant. Vérifier l’hypothèse faite.
4. En supposant l’écoulement turbulent et en admettant que la conductance de trans-
fert h est reliée à la vitesse moyenne débitante v du fluide par :
h = 530 v0,8 avec h (W/m2 °C) et v (m/s)
en déduire la vitesse v du fluide.
5. L’écoulement du fluide à lieu en régime permanent au sein d’une conduite circulaire
de diamètre intérieur D = 20 cm, la bille de laiton étant placée en une position fixe
de l’axe de conduite.
a) En déduire la valeur du nombre de Reynolds Re de l’écoulement principal. On
négligera la variation de la section due à la présence de la bille. Vérifier
l’hypothèse de la validité de la turbulence.
On indique que la viscosité cinématique  de l’éthylène-glycol peut être prise
égale à :  = 1,92 10 –5 m2/s.

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b) Déterminer la valeur du débit massique Qm (kg/s) du fluide.
On prendra pour masse volumique de l’éthylène-glycol = 1117 kg/m3.
6. On dispose en amont de la bille de laiton, une résistance chauffante immergée au
sein de l’écoulement du fluide. L’ensemble fluide / bille est ramené à une tempéra-
ture initiale commune T0 = 290 K sans modification de la vitesse du fluide.
A partir d’un instant pris comme nouvelle origine des temps, on impose à la résis-
tance chauffante, une puissance de chauffe linéaire :
 =  t avec  = 2 000 W/s
En admettant la conduite circulaire isolée thermiquement de l’extérieur et que le
fluide est parfaitement mélangé au niveau de la bille, on désignera par T(t), la fonc-
tion représentant la variation au cours du temps de la température du fluide au ni-
veau de la bille.
a) Calculer la loi T(t) en fonction de , Qm, cPe, où cPe représente la chaleur spécifi-
que de l’éthylène glycol. On pourra poser  =  / Qm cPe.
b) Calculer, la vitesse de variation de la température T(°C/s) du fluide. On prendra
cPe = 2382 J/kg °C.
c) Calculer la valeur de la température atteinte par le fluide au niveau de la bille,
après un temps  = 180 s, soit T().
7. On cherche maintenant à déterminer l’évolution simultanée de la température T’(t)
de la bille de laiton au cours du temps, à partir de sa condition initiale T’(0) = T0.
a) Écrire l’équation différentielle donnant l’évolution de la température T’ de la
bille au cours du temps, en fonction de , h, A,  et du temps t, pour le cas
Bi < 0,1.
b) Intégrer cette équation par la méthode de la variation des constantes (résolution
de l’équation sans second membre suivie de la variation de la constante) avec les
conditions initiales.
c) En déduire l’écart T’(t) = T – T’ donnant l’écart au cours du temps entre la
température du fluide T et celle de la bille T’.
Calculer cet écart à l’instant  = 180 s
Calculer l’écart maximum de température accessible Tmax.