Atomes, molécules, aimants

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Cours Atomes, molécules, aimants
Modélisations
Noyau atomique
Historique
La découverte par H. Becquerel de la radioactivité à l’époque du modèle de Thomson (cf.
cours « Dipôles ») à la fin du 19
ème
siècle (1896) est une étape décisive. En effet, E.
Rutherford, ancien élève de J.J. Thomson, se lance dans ce nouveau domaine et identifie les
rayonnements α et β, en les distinguant selon leur pénétrabilité. Il montre que la radioactivité
α émet des particules : des noyaux d'Hélium.
Pour étudier plus précisément le
rayonnement α, E. Rutherford propose en
1909 de bombarder une feuille d'or avec
ces particules en plaçant un écran de
détection tout autour de la feuille d'or.
Le scintillement lumineux observé sur
l'écran permet de visualiser la collision par
les particules α.
Au lieu de la répartition statistique gaussienne attendue avec la théorie du "plum-
pudding", l'expérience montre que la plupart des particules traversent la feuille d'or sans
déviation. E. Marsden et H. Geiger découvrent en affinant cette technique que des particules α
(1 sur 8000) sont déviées avec un angle supérieur à 90°.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp%C3%A9rience_de_Rutherford
Cette expérience met en évidence le caractère lacunaire de la
matière et montre que les charges positives de l'atome sont fortement
localisées dans l'espace. E. Rutherford propose alors un modèle en
accord avec cette observation : le modèle planétaire.
Cependant ce modèle n'est pas en accord avec les lois de l'électromagnétisme. En effet,
l'électron sur son orbite est radialement accéléré et devrait donc rayonner selon la loi de
Larmor. Ceci impliquerait une perte de l'énergie totale de l'électron, qui s'écraserait alors sur
le noyau. De plus, ce modèle n'explique absolument pas la série de Balmer du spectre de
l'hydrogène.
N. Bohr propose alors, en s'inspirant des travaux de M. Planck, que le moment cinétique
de l'électron est un multiple entier de h. Ainsi l'électron ne peut rayonner car on lui impose
une énergie sur une orbite donnée. Ce modèle, qui règle le problème de l'instabilité du modèle
planétaire, permet également de retrouver la série de Balmer.
Par la suite, le modèle de Bohr sera justifié par la mécanique quantique dans le cas
particulier des hydrogénoïdes.
D’après http://culturesciences.chimie.ens.fr/node/1230
Ordres de grandeurs
« Rayon » de l’atome : 10
-10
m
110
5
→ « Rayon » du noyau : 10
-15
m.
(S)
Masse du noyau : Z x 10
-27
kg
12000
→ Masse de l’électron : 10
-30
kg.
(S)
Champ dans l’atome d’hydrogène : E ≈ 10
11
Vm
-1
(champ capable d’ioniser H).
(R)
Champ disruptif de l’air (ionisation de l’air : production d’étincelles) : E ≈ 10
6
Vm
-1
.
(S)
Énergie de constitution du noyau (ordre de grandeur de l’interaction forte qui maintient
les nucléons au sein du noyau) : E
noyau
≈ MeV.
Comprendre : la stabilité du noyau impose l’existence d’une interaction très intense à
très courte portée (interaction forte) pour contrebalancer la répulsion électrostatique
qui tend à provoquer l’éclatement du noyau.
(R)
Énergies mises en jeu dans les réactions chimiques : E
chimiques
≈ eV (kJ pour une mole).
(R)
Énergies mises en jeu dans les réactions nucléaires : E
nucléaires
≈ MeV.
(R)
(S) = Savoir ; (R) = Retrouver (compétence exigible)

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Énergie de constitution du noyau
On cherche à déterminer plus précisément l’ordre de grandeur de l'énergie de constitution du
noyau en construisant le noyau par adjonction progressive de charges apportées de l’infini.
Méthode
Un « opérateur » amène progressivement de l’infini des charges (sans leur communiquer
d’énergie cinétique ; i.e. réversiblement : la force exercée par l’opérateur compense
exactement la force électrostatique).
On suppose le noyau constitué jusqu’au rayon R’ < R (rayon final). Afin de faire passer le
rayon de R’ à R’+dR’, l’opérateur doit amener une chargé dq subissant le potentiel créé par le
noyau. Le travail pour amener dq de l’infini jusqu’au rayon R’ permet d’accéder à l'énergie de
constitution du noyau.
Forces de Van der Waals
Cf. cours « Dipôles ».
Les forces de Van der Waals décroissent avec la distance r en
7
1r
.
Magnétisme atomique – Magnéton de Bohr
Le modèle planétaire de l’atome d’hydrogène permet, en assimilant l’atome à une boucle
de courant, de montrer que l’atome possède un moment magnétique proportionnel au
moment cinétique de l’électron :
M L γ =
où γ est le rapport gyromagnétique de l’électron
2
e
m
γ = −
.
En physique quantique, le moment cinétique est quantifié, sa projection sur un axe fixe
est un multiple de la constante de Planck réduite
ℏ
.
Le moment magnétique atomique est donc un multiple du moment magnétique
élémentaire
2
B
e
m
µ =ℏ
= 0,9 10
-23
Am
2
appelé magnéton de Bohr.
Savoir-faire du physicien :
Les dimensions et l’ordre de grandeur du magnéton de Bohr peuvent être retrouvés
rapidement par analyse dimensionnelle en écrivant que l'énergie d’un photon de pulsation ω
(de façon à introduire la constante de Planck) et l'énergie d’un dipôle de moment µ
B
dans un
champ magnétique B ont même dimension. Pour éliminer la pulsation ω et le champ B, on
utilise la pulsation cyclotron (intervenant dans les mouvements de particules chargées dans
un champ magnétique) :
C
eB
m
ω =
.
Précession de Larmor
Les techniques d’imagerie médicale par résonance magnétique (IRM) reposent sur le
phénomène de résonance magnétique nucléaire (RMN). Elles concernent donc le spin
(moment cinétique d’origine quantique) des noyaux atomiques.
La méthode repose sur la perturbation des
moments magnétiques M
 des noyaux des tissus
(préalablement orientés grâce à un champ
constant
0
B ) par des impulsions magnétiques
appliquées au patient. Soumis à une impulsion, le
moment magnétique M
 retourne à l’équilibre (
M
 et
0
B colinéaires de mêmes sens) en
effectuant un mouvement de précession
(mouvement de toupie).
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sonance_magn%C3%A9tique_nucl%C3%A9aire
Au cours de ce mouvement de précession, le moment magnétique M
 conserve la même
norme mais son extrémité décrit une spirale dont l’axe est le champ constant
0
B (jusqu’à ce
que les vecteurs soient alignés).
Dans le cas d’un dipôle atomique (et non plus
nucléaire), en négligeant les phénomènes dissipatifs,
le moment magnétique conserve sa norme mais
également l’angle qu’il fait avec le champ
0
B : son
extrémité décrit un cercle avec la pulsation ω
L
appelée pulsation de Larmor et
2
L
eB
Bm ω γ = − =
.
Le moment magnétique décrit donc un cône
d’axe
0
B à la pulsation ω
L
.
Méthode :
La comparaison des équations obtenues d’une part par la loi du moment cinétique
appliquée au moment magnétique M
 et d’autre part par la 2
ème
loi de Newton appliquée à une
charge q de masse m placée dans un champ
0
B permet de prévoir sans calculs les
caractéristiques du mouvement de M
 à partir des résultats connus pour la particule chargée
(pulsation cyclotron).

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Aimants permanents
Origine du magnétisme
L’aimantation permanente résulte d’une interaction quantique entre les moments
magnétiques microscopiques des atomes d’un solide qui tend à les aligner entre eux. Il apparaît
ainsi un moment magnétique macroscopique (dans un matériau non magnétique, en l’absence de
champ appliqué, les moments microscopiques prennent des directions aléatoires et le moment
macroscopique résultant est donc nul).
Rappel (cf. cours « Dipôles ») : le moment magnétique permet d’exprimer le champ
magnétique créé par le dipôle.
Données techniques
Une donnée technique fréquemment trouvée sur les sites des constructeurs d’aimants
permanents est le produit BH en kJm
-3
visiblement homogène à une densité énergétique
volumique.
Extrait de données trouvées sur un site commercial ( http://www.magsy.fr/25730-aimants ) :
Aimant ferrite (oxyde de fer Fe
2
O
3
XO où X = Mn, Zn, Co, Ni…) : BH
max
≈ 40 kJm
-3
.
Aimant néodyme (Nd Fe B) : BH
max
≈ 400 kJm
-3
.
Sur le même site, on trouve qu’un aimant néodyme de diamètre 15 mm possède une force
d’arrachement pouvant aller jusqu’à 17 N (force pour arracher l’aimant d’une plaque de
métal).
Savoir-faire du physicien :
 Le magnéton de Bohr permet d’estimer l’ordre de grandeur de cette densité d’énergie et le
modèle conduit à la valeur de 10
3
kJm
-3
.
 Cette valeur constitue également une estimation de la force d’arrachement surfacique (force
qui « colle » deux aimants identiques)
dF
dS
≈ 10 bar.
Compléments
Faraday a montré que toute substance peut être aimantée mais le plus souvent l'effet n'est
appréciable que dans un champ magnétique intense.
Si on place dans un champ magnétique externe
ext
B
des barreaux de différents matériaux :
- certains sont attirés vers les régions de champ intense et s'orientent parallèlement aux
lignes de champ comme le ferait un barreau de fer doux ; ce sont les matériaux
ferromagnétiques et paramagnétiques.
- d'autres sont repoussés vers les régions où le champ magnétique est faible et s'orientent
perpendiculairement aux lignes de champ mais leur aimantation disparaît avec le champ
externe ; de telles substances sont dites diamagnétiques (Ag, Au, Cu, Hg, Pb, presque tous
les composés organiques…), leur aimantation est faible.
Les matériaux comparables au fer sont dits ferromagnétiques (fer, cobalt, nickel et un grand
nombre de leurs alliages, en particulier les aciers…) ; ils présentent une aimantation permanente
(i.e. qui persiste après disparition du champ
ext
B
) tant que leur température reste inférieure à leur
température de Curie au-delà de laquelle ils deviennent paramagnétiques.
Les matériaux (Al, Ba, Ca, Pt, U, Mg, Li…) qui subissent des actions de même nature que le
fer mais beaucoup moins intenses sont dites paramagnétiques (aluminium, chrome, platine…) ;
leur aimantation disparaît avec le champ appliqué. Les substances paramagnétiques possèdent en
général des sous-couches électroniques incomplètes.
D’après http://fr.wikipedia.org/wiki/Magn%C3%A9tisme
Ferromagnétisme Paramagnétisme Diamagnétisme
Exemples
Sens de
M
p/à
ext
B
Aimantation permanente
Intensité
M
Applications Aimants
Sous-couches électroniques
Rq : la magnétite (aimant naturel), les matériaux possédant une aimantation spontanée sont dits
ferrimagnétiques.
Expérience de Stern et Gerlach
Cf. Étude documentaire correspondante.

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Questions
1. Ordres de grandeur : expressions littérales et applications numériques
1.1. Champ dans l’atome d’hydrogène : champ créé par le proton au niveau de l’électron
situé à la distance définissant le « rayon » de l’atome (probabilité de présence
maximum).
1.2. Énergie de constitution du noyau : énergie potentielle d’un proton dans le noyau
subissant le champ créé par un autre proton.
1.3. Énergies mises en jeu dans les réactions chimiques : énergie potentielle d’un électron
subissant le champ créé par un proton.
Passage à l’échelle macroscopique via le nombre d’Avogadro.
1.4. Énergies mises en jeu dans les réactions nucléaires : cf. 1.2.
2. Énergie de constitution du noyau
Le noyau constitué (dans son état final) est modélisé comme une sphère de rayon R de charge
totale q. On note ρ sa densité volumique de charge supposée uniforme (intermédiaire de
calcul utile).
a) Exprimer le volume d τ occupé par la charge dq située entre R’ et R’+dR’ autour du noyau.
b) En déduire la charge dq à apporter de l’infini pour remplir ce volume en fonction de ρ et
d τ .
c) Exprimer le potentiel créé par le noyau de rayon R’ au point M situé à la distance r.
d) En déduire le travail des forces électrostatiques δ W
e
pour amener la charge dq depuis
l’infini jusqu’à la surface du noyau (distance R’). Commenter le signe.
e) En déduire le travail δ W
op
effectué par l’opérateur.
f) L'énergie de constitution du noyau s’identifie au travail total effectué par l’opérateur pour
constituer progressivement le noyau de R’=0 à R en amenant les charges de l’infini
(l’exprimer en fonction de q et R).
3. Magnétisme atomique
3.1. Modèle planétaire de l’atome d’hydrogène
a) En appliquant la 2
ème
loi de Newton à l’électron (e, m) en orbite circulaire de rayon
a autour du proton, déterminer la pulsation ω puis la période T de son mouvement.
Application numérique pour T.
b) La durée très brève de la période permet, du point de vue magnétique, de modéliser
l’électron sur sa trajectoire par une boucle de courant circulaire parcourue par un
courant d’intensité I constante. Exprimer I puis le moment magnétique
M
de
l’atome d’hydrogène en fonction de a, e et ω .
c) Exprimer le moment cinétique
L
de l’atome en fonction de m, a et ω .
d) En déduire une relation entre
M
et
L
, puis le rapport gyromagnétique de
l’électron γ.
e) Application numérique : magnéton de Bohr.
3.2. Analyse dimensionnelle
En procédant comme indiqué dans le paragraphe « savoir-faire du physicien »,
retrouver l’expression du magnéton de Bohr à un facteur numérique près.
4. Précession de Larmor
a) Écrire la loi du moment cinétique pour le moment magnétique et éliminer le moment
cinétique au profit du moment magnétique.
b) Écrire la 2
ème
loi de Newton pour une particule de charge q et de masse m entrant dans
une zone où règne un champ magnétique
B
; rappeler les résultats obtenus lors de cette
étude (cf. exercice correspondant), en particulier la pulsation cyclotron ω
C
.
c) Réaliser une analogie entre les deux équations et en déduire la pulsation de Larmor.
5. Aimants permanents
a) En considérant qu’un atome occupe un cube de côté a ≈ 2 x 10
-10
m, déterminer la densité
volumique n de dipôles microscopiques.
b) Estimer le moment magnétique volumique maximum d’un aimant permanent
dM
d
τ
en
considérant que tous les moments microscopiques sont alignés. Application numérique.
c) Pour prendre la mesure de cette valeur, estimer le moment magnétique d’un aimant
cubique de 1 cm de côté et en déduire l’ordre de grandeur de l’intensité du courant qui
devrait circuler dans une boucle de courant de dimensions correspondantes pour
engendrer le même moment.
d) Justifier que 10
3
kJm
-3
= 10 bar.
e) En utilisant une analyse dimensionnelle, justifier que
2
0
dF dM
µ
dS d τ
≈ .
f) Ces estimations sont-elles cohérentes avec les données du site commercial ?