THÉOR`EMES D`ANNULATION GÉNÉRIQUE POUR LES FIBRÉS

Bull. Soc. math. France,
127, 1999, p. 115–133.
TH´ EOR` EMES D’ANNULATION G´ EN´ ERIQUE POUR
LES FIBR´ ES VECTORIELS SEMI-N´ EGATIFS
PAR Christophe MOUROUGANE (*)
R´
ESUM´ E. — Green et Lazarsfeld ont d´emontr´edesth´eor`emes d’annulation g´en´erique
et de structure des lieux exceptionnels pour la cohomologie des fibr´es vectoriels plats
sur les vari´et´es k¨ahl´eriennes compactes. Nous g´en´eralisons ces r´esultats aux cas des
fibr´es vectoriels semi-n´egatifs. Les outils principaux sont fournis par une ´etude des
formes harmoniques `a valeurs dans un fibr´e vectoriel semi-n´egatif.
ABSTRACT.—GENERIC VANISHING THEOREMS FOR SEMI-NEGATIVE VECTOR
BUNDLES. — We generalize Green and Lazarsfeld theorems about generic vanishing for
cohomology groups of flat vector bundles to the case of semi-negative vector bundles,
over compact Kaehler manifolds. We also describe the structure of exceptional sets.
Main tools are provided by a study of harmonic forms with values in a semi-negative
vector bundle.
1. Introduction
Dans tout ce texte, (X, ω)d´esignera une vari´et´ek¨ahl´erienne compacte
connexe lisse de dimension n,etF→Xun fibr´e vectoriel holomorphe
sur X.
Nous noterons Pic0(X)letorecomplexequiparam`etre les classes d’iso-
morphie de fibr´es en droites topologiquement triviaux sur X(i.e.depre-
mi`ere classe de Chern nulle). Pour tout ´el´ement yde Pic0(X), la notation
λyd´esignera un repr´esentant de y.Pour(p, q, m)∈N2×N,nous´etudions
les lieux exceptionnels de cohomologie de Dolbeault des d´eformations de
Fpar produit tensoriel par les fibr´es en droites topologiquement triviaux :
Sp,q
m(X, F):=y∈Pic0(X); hp,q(X, F ⊗λy)≥m.
(*) Texte re¸cu le 16 juin 1998, accept´e le 19 octobre 1998.
Ch. MOUROUGANE, Institut de Math´ematiques de Jussieu, boˆıte 247, 75252 Paris
CEDEX 05.
Classification AMS : 32L 20, 14 C 30, 32C17.
Mots cl´es : vari´et´es k¨ahl´eriennes compactes lisses, fibr´es vectoriels holomorphes, notions
de positivit´e, th´eor`emes d’annulation, lieux exceptionnels de cohomologie, m´ethodes
transcendantes.
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116 CH. MOUROUGANE
S’il n’y a pas de risque de confusion, nous omettrons Xdans la nota-
tion Sp,q
m(X, F). Si pest nul, nous l’omettrons ; de mˆeme, si mvaut 1,
nous l’omettrons. Plus g´en´eralement, pour tout morphisme a:X→A
de Xdans un tore complexe, nous ´etudions
Sp,q
m(X, F, a):=y∈Pic0(A); hp,q (X, F ⊗aλy)≥m.
Par utilisation des techniques de d´eformation de groupes de cohomolo-
gie, Green et Lazarsfeld ont obtenu des th´eor`emes d’annulation g´en´erique
et de structure des lieux exceptionnels de cohomologie pour les fibr´es to-
pologiquement triviaux [GL87], [GL87], [GL91]. Cette restriction est due
`a l’utilisation de la th´eorie de Hodge comme argument ultime.
Au paragraphe 2, nous ´etudions des notions de semi-n´egativit´epour
obtenir des outils analytiques analogues `a ceux fournis par la th´eorie de
Hodge. Nous ´etudions en particulier, suivant les r´esultats de Koll´ar [Ko86],
les morphismes de produit tensoriel par une section agissant sur la
cohomologie des fibr´es semi-n´egatifs.
Nous ´etendons au paragraphe 3 les th´eor`emes d’annulation g´en´erique
aux fibr´es semi-n´egatifs.
Nous obtenons au paragraphe 4, sous des hypoth`eses de semi-n´egativit´e
analytiques ou alg´ebriques sur F, la structure lin´eaire des lieux ex-
ceptionnels. En d´ecoulent des propri´et´es de p´eriodicit´edelafonction
k→ hq(X, F ⊗µk)o`uFest un fibr´e vectoriel semi-n´egatif et µun fi-
br´eendroitesnum´eriquement plat [CS93].
Au paragraphe 5, nous ´etendons les r´esultats pr´ec´edents au cas de la
cohomologie des d´eformations d’un fibr´eendroitesnum´eriquement effectif
et abondant sur une vari´et´e projective.
Nous montrons au paragraphe 6 comment obtenir des r´esultats pour
les fibr´es vectoriels.
Le r´esultat principal est :
TH´
EOR` EME.—Soient (X, ω)une vari´et´ek¨ahl´erienne compacte lisse et
F→Xun fibr´e vectoriel holomorphe qui v´erifie l’une des hypoth`eses de
n´egativit´e suivantes :
•Fest un fibr´e vectoriel hermitien de dual semi-positif au sens de
Nakano ;
•Fest un fibr´e en droites de dual num´eriquement effectif et abondant
sur Xsuppos´ee projective ;
•Fs’´ecrit SkE⊗det E,o`uEest un fibr´e vectoriel de dual num´eri-
quement effectif et abondant sur Xsuppos´ee projective.
Alors pour tout q∈N,le lieu exceptionnel Sq(F)est un ensemble analy-
tique,r´eunion finie de translat´es de sous-tores de Pic0(X)de codimension
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ANNULATION G´ EN´ ERIQUE POUR LES FIBR´ ES SEMI-N´ EGATIFS 117
respectivement strictement sup´erieure `adim α(X)−1−q,dimα(X)−1−q
ou dim α(X)−rang(E)−qrespectivement.
Ici α:X→Alb(X) est le morphisme d’Albanese de Xet dim α(X)la
dimension de son image.
H. Dunio a obtenu sur les vari´et´es projectives, des th´eor`emes d’annu-
lation g´en´erique pour les fibr´es en droites de dual semi-ample ou abondant
en les d´eduisant par construction de revˆetements cycliques, de th´eor`emes
sur les fibr´es en droites topologiquement triviaux (voir [EV92]).
Je tiens `a remercier I. Biswas, Th. Bouche, J.-P. Demailly, et Ph. Eyssi-
dieux pour d’utiles indications.
2. Notions de semi-n´egativit´e
2.1. D´efinitions et propri´et´es.
Soient la vari´et´e(X, ω) et le fibr´e vectoriel F→Xcomme dans
l’introduction. On munit Fd’une m´etrique hermitienne hde classe C∞.
Les m´etriques ωet hpermettent de d´efinir sur l’espace des formes diff´e-
rentielles `a valeurs dans Fun produit scalaire global not´e , .Onnote:
•D:= D+D la connexion de Chern sur le fibr´e holomorphe
hermitien (F, h);
•δ:= δ+δ l’adjoint de Dpour le produit scalaire  , ;
•Λ l’adjoint de la multiplication ext´erieure par ωnot´ee Lagissant sur
les formes diff´erentielles `a valeurs dans F;
•∆(resp.∆
,∆) le Laplacien associ´e`al’op´erateur D(resp. D,D );
•Hp,q (X, F, ω, h)l’espacedes(p, q)-formes ∆-harmoniques `avaleurs
dans le fibr´e hermitien (F, h);
•H0,1(X, ω)l’espacedes(0,1)-formes harmoniques.
Dans ce contexte, on dispose :
•des identit´es de Hodge :
[δ,L]=iD,[δ,L]=−iD,i.e.[δ, L]=i(D−D),
[D,Λ] = iδ,[D,Λ] = −iδ ;
•de la relation
∆=∆
+∆ ,
entre Laplaciens (cons´equence de [D,δ
]=0etde[D,δ ]=0);
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•de la relation de commutation
[∆,L]=0
(cons´equence par l’identit´e de Jacobi de l’identit´e[D, [δ, L]] = 0) ;
•de l’identit´e de Bochner-Kodaira-Nakano :
∆ =∆
+ich(F),Λ.
L’op´erateur [ich(F),Λ] agit ponctuellement de la mani`ere suivante. En
notant
•xun point de la vari´et´eX,
•(dz) une base ωx-orthonorm´ee de T
xX,
•(eλ) une base hx-orthonorm´ee de Fx,
•ωx=idz∧dz,
•ich(F)x=i
jkλµ
cjkλµdzj∧dzke
λ⊗eµ,
•u=
λ,|I|=p
|J|=q
uλ
IJ dzI∧dzJ⊗eλ∈p,q
∧T
xX⊗Fx,
et en convenant que les tenseurs uλ
I,J sont altern´es en les multi-indices I
et J,ona:
[ich(F),Λ]u, u=
|I|=p−1
|J|=q
jkλµ
cjkλµ uλ
kI,J uµ
jI,J
+
|I|=p
|J|=q−1
jkλµ
cjkλµ uλ
I,jJuµ
I,kJ
−
|I|=p
|J|=q
jλµ
cjjλµ uλ
I,J uµ
I,J.
D´
EFINITION 2.1. — On dira que le fibr´e vectoriel Fest (p, q)-semi-positif
s’il peut ˆetre muni d’une m´etrique hermitienne hde classe C∞telle que
l’op´erateur [ich(F),Λ] soit semi-positif sur p,q
∧TX⊗F. On dira alors que
(F, h)est(p, q)-semi-positif.
Puisqu’il s’agit d’une propri´et´e de courbure, cette notion est conserv´ee
par produit tensoriel par un fibr´eendroitesplat.
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ANNULATION G´ EN´ ERIQUE POUR LES FIBR´ ES SEMI-N´ EGATIFS 119
Par exemple, un fibr´e en droites hermitien `a courbure semi-n´egative
(en particulier, un fibr´e en droites de dual semi-ample) est (0,q)- et (p, 0)-
semi-positif pour tout pet tout q. On dit qu’un fibr´e vectoriel est semi-
ample si une de ses puissances sym´etriques est globalement engendr´ee.
Un fibr´e vectoriel hermitien semi-positif au sens de Nakano est (n, q)-
semi-positif pour tout q. Un fibr´e vectoriel hermitien de dual semi-n´egatif
au sens de Nakano est (p, n)-semi-positif pour tout p.
La semi-positivit´e d’un fibr´e vectoriel hermitien au sens de Nakano
(utile pour les th´eor`emes d’annulation de cohomologie) implique la semi-
positivit´eausensdeGriffiths(g´eom´etrique). La  r´eciproque  ´etablie
dans [DS80] montre en particulier que si Eest un fibr´e vectoriel her-
mitien semi-positif au sens de Griffiths (par exemple un fibr´e vectoriel
globalement engendr´e), alors E⊗det Eest semi-positif au sens de Na-
kano.
2.2. Dualit´e de Serre.
LEMME 2.2. — Sur une vari´et´ededimensionn,un fibr´eest(p, q)-semi-
positif si et seulement si son dual est (n−p, n −q)-semi-positif.
D´emonstration.—Si
!:p,q
∧TX⊗F−→ n−p,n−q ∧TX⊗F
d´esigne l’op´erateur de Hodge tel que, pour uet vdans p,q ∧TX⊗F,
u∧!v =u, vdVω
et si Fest muni de la m´etrique hduale d’une m´etrique hsur F,ona:
[ich(F),Λ]!u, !u=[ich(F),Λ]u, u.
Par cons´equent, un fibr´e vectoriel hermitien de dual semi-positif au sens
de Nakano est (0,q)-semi-positif pour tout q. Un fibr´e vectoriel hermitien
semi-n´egatif au sens de Nakano est (p, 0)-semi-positif pour tout p.En
particulier, un fibr´e vectoriel de dual globalement engendr´eest(p, 0)-semi-
positif pour tout p.
2.3. Propri´et´es.
Un int´erˆet principal de la notion (p, q)-semi-positivit´e est le lemme
suivant, cons´equence simple de la semi-positivit´e des Laplaciens, de la
relation entre Laplaciens et de l’identit´e de Bochner-Kodaira-Nakano :
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