2 Étude du dispositif optique

Concours ATS 2014 ⋆Épreuve de Sciences Physiques
2Étudedudispositifoptique
Dans cette partie, nous étudions la prise de photographies numériques terrestres sur un capteur élec-
tronique photosensible depuis le satellite de télédétection.
2.1 Construction de l’image obtenue
Afin d’étudier les images de la surface de la Terre par un dispositif optique, nous nous plaçons dans le
cadre de l’optique géométrique et de l’approximation de Gauss. L’espace entre la Terre et le satellite sera
considéré comme du vide pour le tracé des rayons lumineux.
22) Comment qualifie-t-on les rayons lumineux utilisés dans l’approximation de Gauss ? Quelles sont leurs
deux propriétés ?
Le dispositif optique permettant la photographie est modélisé simplement par une lentille sphérique
mince convergente Lde distance focale image f′et un capteur.
23) Sur votre copie, reproduire le schéma de la figure 6 en précisant les foyers objet F et image F′.Tracer
avec soin la construction de l’image d’un objet réel PM situé sur l’axe optique. Caractériser l’image obtenue
(réelle ou virtuelle, agrandie ou rétrécie, de même sens ou inversée).
Oaxe optique
L
f′f′f′
P
M
Objet réel
Figure 6
24) L’objet PM se situe sur Terre à une distance de 35.103km du satellite. La distance focale image de
la lentille Lest de f′=5m.ÀpartirdelarelationdeconjugaisondeDescartes,déterminer où se situe
l’image de l’objet PM ? Justifier.
25) Le taille des pixels du capteur est de 1 µm. Quelle est la dimension du plus petit objet sur Terre
détectable ?
L’emprise sur le sol terrestre de l’image réalisée est de 70 km. En déduire le nombre nécessaire de pixels
sur la largeur du capteur.
26) Sur votre copie, reproduire le schéma de la figure 7 et compléter avec soin le tracé des rayons lumineux
provenant d’un objet réel situé à l’infini dont les rayons sontinclinésd’unangleαpar rapport à l’axe
optique.
Oaxe optique
L
f′f′
α
Objet réel
situé à l’infini
Figure 7
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Texte
CPGE Dupuy de Lôme 2016/2017 - PC Physique Devoir n°2

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2.2 Influence de la longueur d’onde
Pour un milieu transparent comme le verre de la lentille minceutilisée,dansledomaineduvisible,son
indice de réfraction nvarie avec la longueur d’onde λsuivant la loi empirique de Cauchy
n(λ)=A+ B
λ2,avec A = 1,5etB=3,8.103nm2.
La distance focale image f′de la lentille Lest donnée en fonction de son indice npar la relation
f′(λ)= C
n(λ)−1,Cétantuneconstantepositive.
Dans la suite, les notations adoptées sont synthétisées dansletableau1.
Couleur du
rayonnement Longueur d’onde Pour la lentille
Indice Distance focale image Foyer image
bleu λB=486nm nBf′
BF′ B
jaune λJ=589nm nJf′
JF′ J
rouge λR=656nm nRf′
RF′ R
Tableau 1
27) Montrer que l’expression de la distance focale image f′
Jassociée au rayonnement jaune peut s’écrire
f′
J=C
A−1!1+ B
(A −1) λ2
J"−1
.
28) En approximant λJà6.10−7m, montrer que B
(A −1) λ2
J
≪1. Simplifier alors l’expression de la question
précédente à l’aide d’un développement limité à l’ordre 1 du type (1 + ε)α=1+αε lorsque εtend vers 0.
29) Justifier sans calcul la position des foyers images F′
Bet F′
Rsur l’axe optique par rapport à F′ J.Repré-
senter sur votre copie un schéma indiquant la position des foyers images F′
B,F
′
J,F
′
Ret le centre optique O
de la lentille L.
30) Qu’est-ce que le stigmatisme ? Est-il vérifié ici ? Quelle en est la conséquence ?
2.3 Défaut d’observation longitudinal
L’aberration chromatique longitudinale ACL d’une lentille est définie par la distance algébrique ACL =F′
BF′ R
qui sépare les foyers images bleu et rouge.
31) Exprimer ACL en fonction de f′
Ret f′ B.Ensupposantquef′ Bf′ R=f′ J2,montrerque
1
f′
B
−1
f′
R
=ACL
f′
J2.
On définit le pouvoir dispersif K d’un verre par la relation
K=nB−nR
nJ−1.
32) Montrer que 1
f′
B
−1
f′
R
=K
f′
J
.Endéduirel’expressiondeA
CL en fonction de K et f′
J.Fairel’application
numérique pour K = 1,4.10−2et f′
J=5m.
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axe optique
L
DACT
ACL
HO F′
BF′ R
Figure 8
2.4 Défaut d’observation transversal
L’aberration chromatique transversale ACT du dispositif optique est définie comme le rayon de la plus
petite tache lumineuse produite par la superposition des faisceaux rouge et bleu provenant de rayons
parallèles à l’axe optique et passant par les extrémités de lalentilleLde diamètre D. Cette définition est
illustrée sur la figure 8.
33) À partir d’une étude géométrique sur la figure 8, établir deux expressions de ACT en fonction de D,
f′
B,f′ Ret des distances algébriques entre le point H et les foyers images F′ Bet F′ R.
34) Montrer que
ACT #f′
B+f′
R$=D
2ACL.
En supposant que f′
J=(f′ B+f′ R)/2, déterminer l’expression de ACT en fonction du pouvoir dispersif K et
du diamètre D de la lentille.
2.5 Correction des défauts
Afin de limiter ces aberrations, une lentille sphérique mince L2de centre optique O2en verre flint
(verre plus dispersif que la lentille précédente) est ajoutée. L’indice n2du verre flint suit également la loi
de Cauchy
n2(λ)=A
2+B2
λ2,A2et B2étant deux constantes positives et A2>1.
Sa distance focale image est donnée par la relation
f′
2(λ)= C2
n2(λ)−1,C2étant une constante dont on cherche à déterminer le signe.
Cette deuxième lentille est accolée à la première lentille Lde centre optique O. On suppose que les
points O et O2sont confondus.
La distance focale image du système %L+L2&formé par les deux lentilles accolées est notée f′
T.
35) Montrer que 1
f′
T
=1
f′+1 f′
2
.
36) Déterminer l’expression de 1
f′
T
en fonction de A, B, C, A2,B
2,C 2et λ.
37) Déterminer l’expression de la dérivée de 1
f′
T
par rapport à λ.
38) Établir une relation entre C, B, C2et B2permettant de supprimer totalement les aberrations chroma-
tiques transversales et longitudinales.
39) Quel est nécessairement le signe de C2?Endéduirelanatureconvergenteoudivergentedelalen-
tille L2?
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