term-algorithmique-d.. - Mathématiques au lycée Bellepierre

Algorithmique TABLE DES MATIÈRES – page -1
Algorithmique
Table des matières
I Exercices I-1
1 ................................................ I-1
2 ................................................ I-2
3 ................................................ I-2
4 ................................................ I-3
5 ................................................ I-3
6 ................................................ I-3
7 ................................................ I-3
8 ................................................ I-4
9 ................................................ I-4
Terminale – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr

Algorithmique I EXERCICES – page I-1
I Exercices
1
Un logiciel informatique est programmé pour calculer la valeur d’un capital Cplacé au taux t
pendant nannées.
•Il demande la valeur de C;
•puis, il demande la valeur de t;
•puis, il demande la valeur de n.
•Ensuite, il calcule C×(1 + t)net stocke le résultat dans une mémoire V.
•Enfin, il affiche V.
La liste d’instructions ci-dessus s’appelle un algorithme.
1. Appliquer l’algorithme pour C= 10000 e,t= 4 %, et n= 12 ans.
2. Nous allons maintenant programmer cet algorithme sur la calculatrice TI 82 :
(a) Appuyer sur les touches prgm ,→,→,entrer .
(b) Compléter ce qui est à l’écran pour obtenir ceci :
PROGRAMME
Nom=CAPITAL
Sur la calculatrice, les lettres A, B, C, etc. sont au dessus des touches.
(c) Appuyer sur la touche entrer
(d) Compléter ce qui est à l’écran pour obtenir ceci :
PROGRAM:CAPITAL
:Prompt C
:Prompt T
:Prompt N
:C*(1+T)∧N→V
:Disp V
– Pour obtenir Prompt, appuyer sur les touches prgm ,→, 2
– Pour obtenir les lettres, appuyer sur la touche alpha avant chaque lettre.
– À la fin de chaque ligne, appuyer sur la touche entrer
– Pour obtenir la flèche à droite, appuyer sur la touche sto→
– Pour obtenir Disp, appuyer sur les touches prgm ,→, 3
(e) Pour revenir à l’écran « normal », appuyer sur les touches 2nde [quitter]
3. Nous allons maintenant exécuter ce programme.
(a) Appuyer sur la touche prgm , aller sur le nom du programme, puis appuyer deux fois sur
la touche entrer
(b) Compléter ce qui est à l’écran pour obtenir ce qui est en dessous (à la fin de chaque ligne,
appuyer sur la touche entrer ).
prgmCAPITAL
C=?10000
T=?0.04
N=?12
On retrouve le résultat du 1) : le mot Fait veut dire que l’exécution du programme est
terminée.
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Algorithmique I EXERCICES – page I-2
4. Compléter le tableau ci-dessous en utilisant le programme CAPITAL de la calculatrice.
C5 000 15 000 9 000
t7 % 2 % 3 %
n6 15 10
C×(1 + t)n
2
La manière correcte d’écrire l’algorithme de l’exercice précédent serait plutôt celle ci.
Entrées Saisir C
Saisir t
Saisir n
Traitement Vprend la valeur C×(1 + t)n
Sortie Afficher V
1. On rappelle que la formule pour calculer la distance entre deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
est AB2= (xB−xA)2+ (yB−yA)2.
Écrire un algorithme qui permet de calculer la distance AB quand on connaît les coordonnées
de Aet B.
2. Une fonction fest définie par f(x) = x2+ (x+ 1) ln(x)
Écrire un algorithme qui permet de calculer l’image d’un nombre par la fonction f(calculer
f(x) quand on connaît x).
3
Un chiffre d’affaire s’élève à 100 000 een 2000 et on s’attend à une augmentation de 2 % par an.
1. À quoi sert l’ algorithme ci-dessous ?
Pour des valeurs de nallant de 1 à 3, de 1 en 1
Vprend la valeur 100000 ×1,02n
Afficher net V
Fin de la boucle “pour”
2. Voici le programme correspondant à l’algorithme précédent sur la calculatrice.
Saisir ce programme et l’exécuter.
PROGRAM:CHIFAFF1
:For(N,1,3,1)
:100000*1.02∧N→U
:Disp N
:Disp U
:End
3. À quoi sert l’ algorithme ci-dessous ?
Pour des valeurs de nallant de 1 à 5, de 1 en 1
Vprend la valeur 10000 ×1,02n
Sprend la valeur S+V
Fin de la boucle “pour”
Afficher S
4. Sur la calculatrice, saisir le programme correspondant à l’algorithme précédent, puis faire exé-
cuter ce programme.
5. Écrire un algorithme qui calcule 12+22+···+ 502, puis sur la calculatrice, saisir le programme
correspondant et le faire exécuter.
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Algorithmique I EXERCICES – page I-3
Instruction conditionnelle
4
1. Que fait l’algorithme ci-dessous et à quoi sert-il ?
Entrées Saisir x
Traitement yprend la valeur xex
Si y < 10 alors afficher « Trop petit »
Sinon afficher « Trop grand »
Les deux dernières lignes de l’algorithme ci-dessus s’appellent une instruction condition-
nel le.
2. Saisir le programme correspondant ci-dessous à la calculatrice.
– Pour obtenir If,Then,Else,End, appuyer sur la touche
prgm ,
– Pour obtenir le signe <, appuyer sur les touches 2nde
[tests], 5
– Pour obtenir les guillemets, appuyer sur la touche alpha ,
les guillemets sont au dessus de la touche + .
PROGRAM:EQUATION
:Prompt X
:Xe∧(X)→Y
:If Y<10
:Then
:Disp “T GRAND”
:Else
:Disp “T PETIT”
:End
3. Utiliser ce programme plusieurs fois jusqu’à obtenir un encadrement de la solution de l’équation
à 10−2près.
5
En faisant intervenir un tirage de nombre aléatoire, écrire un algorithme qui simule un évènement
de probabilité 3
7, et qui affiche « vrai » ou « faux » selon le cas.
6
En utilisant un calcul itératif (pour des valeurs de nallant de . . .à . . .) et une instruction conditionnelle
(si . . .alors . . .), écrire un algorithme qui simule un échantillon de 100 lancers de pile ou face, et qui
affiche la fréquence de pile et de face.
7
Au tennis un joueur a droit à deux essais pour le service. Un joueur de tennis réussit sa première
balle de service à 75 % et sa deuxième balle à 90 %.
1. Tracer un arbre pondéré qui représente la situation.
2. Écrire un algorithme et un programme qui simule la situation et ses différentes possibilités.
Indication : on pourra utiliser des instructions conditionnelles « emboitées ».
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Algorithmique I EXERCICES – page I-4
Calcul itératif avec une fin de boucle conditionnelle – Boucle « tant que »
8
On revient à l’équation et à la fonction de l’exercice 4 (f(x) = xex). L’algorithme donné dans cet
exercice avait l’inconvénient de devoir être utilisé plusieurs fois avant d’obtenir un encadrement de
la solution de l’équation f(x) = 10.
Il est plus intéressant de
– faire calculer par exemple f(1)
– puis faire calculer f(1,01) ; f(1,02) ; f(1,03) et ainsi de suite, et de faire continuer l’algorithme
tant que l’image de chaque nombre est inférieure à 10.
Cela donne l’algorithme ci-dessous et le programme correspondant sur calculatrice TI.
Saisir ce programme sur la calculatrice et le faire exécuter (pour obtenir While appuyer sur la touche
prgm ).
Initialisation
xprend la valeur 1
yprend la valeur 1 ×e1
Traitement
Tant que y < 10
xprend la valeur x+ 0,01
yprend la valeur x×ex
Fin de la boucle “tant que”
Sorties
Afficher x−0,01 et x
PROGRAM:TANTQUE
:1→X
:1*e∧(1)→Y
:While Y<10
:X+0.01→X
:X*e∧(X)→Y
:End
:Disp X-0.01
:Disp X
9
Un capital de 80 000 ea été placé à 2 % à partir de 2010.
1. Écrire un algorithme permettant de déterminer quelle sera la première année ou la valeur du
capital dépassera 130 000 e.
2. Créer un programme sur la calculatrice et le faire exécuter.
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