dans le domaine de Fourier suivant le sch´
ema
F−1(FNLM(F(v))) (2)
o`
uFd´
esigne la transform´
ee de Fourier 2D discr`
ete, F−1la
transform´
ee inverse et o`
u le filtrage de l’image ˆv=F(v)`
a la
fr´
equence ωs’´
ecrit :
FNLM(ˆv)(ω) = X
ξ∈Cω
1
Z(ω)e−
kˆ
V(ω)−ˆ
V(ξ)k2
2,a
2l2ˆv(ξ).(3)
Dans cette expression, le filtrage n’est appliqu´
e que dans le
demi-plan inf´
erieur du domaine fr´
equentiel, not´
eP, la recons-
truction de l’estimation de ˆu=F(u)s’effectuant grˆ
ace aux
propri´
et´
es de sym´
etrie de la transform´
ee de Fourier d’une image
r´
eelle (une alternative ´
equivalente serait de remplacer la trans-
form´
ee de Fourier par celle en cosinus). Pour ω∈ P,ˆ
V(ω)est
le patch de taille 7×7centr´
e en la fr´
equence ωdans l’image
ˆv,lest un param`
etre de filtrage, Z(ω)est un coefficient de nor-
malisation, kˆ
V(ω)−ˆ
V(ξ)k2
2,a =k<(ˆ
V(ω)) − <(ˆ
V(ξ))k2
2,a +
k=(ˆ
V(ω)) − =(ˆ
V(ξ))k2
2,a o`
u<et =sont les parties r´
eelles et
imaginaires et Cω={ξ∈ P | ||ω| − |ξ| | ≤ r}est la demi-
couronne de rayon ren la fr´
equence ω, cf. figure 1.
2 L’algorithme Space-Frequency
Non-Local Means (SFNL-means)
Au sens du rapport signal `
a bruit de crˆ
ete (PSNR), le fil-
trage dans le domaine fr´
equentiel s’av`
ere pr´
ef´
erable dans les
zones textur´
ees et les fins contours alors que le filtrage spatial
donne de meilleurs r´
esultats dans les zones homog`
enes (cf. fi-
gure 2). Pour autant et comme mentionn´
e pr´
ec´
edemment dans
le cas de l’image parcimonieuse de la figure 1, dans les zones
homog`
enes le filtrage NL-means classique a tendance `
a effa-
cer des d´
etails ponctuels perceptuellement significatifs. Pour
ces raisons, nous proposons d’effectuer l’essentiel du filtrage
dans le domaine de Fourier et, afin de r´
egulariser les zones
homog`
enes, de faire suivre ce premier traitement d’un filtrage
plus mod´
er´
e dans le domaine spatial.
Nous appelons l’algorithme correspondant Space-Frequency
Non-Local Means (SFNL-means) et il s’´
ecrit formellement
SFNLM(v) = NLM(F−1(FNLM(F(v)))).(4)
Apr`
es quelques essais pour obtenir des r´
esultats homog`
enes
sur diff´
erentes images, les param`
etres ont ´
et´
e fix´
es aux valeurs
suivantes : l= 0.8σ,r= 2 pour le moyennage fr´
equentiel ;
h= 0.6σet d= 4 pour le moyennage spatial, `
A condition
qu’il soit mod´
er´
e, le filtrage dans le domaine spatial permet
de d´
ebruiter les zones homog`
enes de l’image qui sont mal res-
taur´
ees par le filtre fr´
equentiel, tout en pr´
eservant les points
isol´
es et les textures fines, que le filtre fr´
equentiel a permis de
d´
ebruiter (cf. figures 3 `
a 6 o`
u nous comparons, sur un extrait de
l’image House et pour σ= 10, les r´
esultats donn´
es par les al-
gorithmes NL-means et SFNL-means). Les r´
esultats pr´
esent´
es
dans la table 1 confirment ces bonnes performances au sens du
crit`
ere objectif du PSNR. Pr´
ecisons que dans les colonnes [6]
et [12] les r´
esultats que nous affichons correspondent `
a ceux
report´
es dans ces articles.
3 Conclusion et perspectives
La simplicit´
e du sch´
ema NL-means explique son succ`
es face
`
a d’autres algorithmes de d´
ebruitage, aux performances sup´
e-
rieures mais dont la complexit´
e`
a la fois conceptuelle et algo-
rithmique peut ˆ
etre p´
enalisante [4, 5]. Une meilleure compr´
e-
hension des faiblesses de NL-means permet de proposer des
variantes plus performantes au prix d’un accroissement mod´
er´
e
de la complexit´
e. Ainsi, le manque d’adaptation de NL-means
aux structures de l’image peut ˆ
etre corrig´
e en optimisant loca-
lement les param`
etres de filtrage (voir par exemple [7]). Nous
proposons une alternative, bas´
ee sur le mod`
ele statistique sous-
jacent dans NL-means de redondance des structures. Le prin-
cipe est de d´
ebruiter les coefficients obtenus par l’application
de transformations inversibles compl´
ementaires au sens des struc-
tures redondantes qu’elles r´
ev`
elent. Comme NL-means ne peut
exploiter cette redondance que dans un petit voisinage (pour
une question d’efficacit´
e algorithmique mais aussi parce que
cet algorithme est optimal lorsqu’il est local [9]), ces transfor-
mations devraient ˆ
etre choisies pour leur capacit´
e`
a g´
en´
erer des
redondances locales. Dans cette communication, nous illustrons
ce principe avec deux transformations ´
el´
ementaires correspon-
dant `
a une d´
ecomposition dans la base canonique et dans la
base des exponentielles complexes, mais des d´
ecompositions
plus sophistiqu´
ees pourraient ˆ
etre appliqu´
ees.
Notons que ces deux bases (canonique et exponentielles com-
plexes) forment ce que l’on appelle des dictionnaires incoh´
erents,
tr`
es ´
etudi´
es r´
ecemment, notamment dans le cadre du compres-
sed sensing ([3]) et de la th´
eorie de l’incertitude ([10]). Le
fait que la base canonique et la base des exponentielles com-
plexes forment des dictionnaires `
a l’incoh´
erence maximale ex-
plique certainement les bonnes performances de l’algorithme
SFNL-means.
Incidemment, remarquons qu’un filtrage local des coefficients
de Fourier entraˆ
ınant une modification globale des coefficients
dans la base canonique, la m´
ethode de d´
ebruitage SFNL-means
s’av`
ere ˆ
etre un algorithme non local.
R´
ef´
erences
[1] A. Buades, B. Coll et J.M. Morel. A non local algorithm
for image denoising. IEEE CVPR, 60-65, 2005.
[2] A. Buades, B. Coll et J.M. Morel. Image denoi-
sing methods. A new nonlocal principle. Siam Review,
52(1) :113-147, 2010.
[3] E.J. Cand`
es, J.K. Romberg et T. Tao. Stable signal re-
covery from incomplete and inaccurate measurements.
Comm. Pure Appl. Math., vol. 59, 1207-1223, 2006.