chapitre 1 : chapitre 1 : rappels

Mathématiques Niveau 1 et 2
Deuxième partie
Géométrie
CHAPITRE 1 :
RAPPELS
§1.1 Introduction
Après les quelques rappels de ce chapitre, nous aborderons, dans ce cours de géométrie plane, plus
particulièrement les triangles et leurs droites remarquables ainsi que les cercles et leurs tangentes, et nous
terminerons par une introduction à la trigonométrie du triangle rectangle.
Il y a un certain nombre de choses que nous admettrons sans autre au début de ce cours, les unes parce
qu'elles ne sont pas démontrables, ce sont des axiomes, et les autres parce qu'elles sont si évidentes que
leur démonstration semble inutile.
Nous admettrons que la droite et le point sont des objets géométriques connus, que l'on n'a pas besoin de
définir !
De même, nous admettrons que par deux points distincts on ne peut faire passer qu'une seule droite et
que deux droites distinctes, c’est-à-dire non confondues, et non parallèles, se coupent en un seul point.
Nous admettrons aussi les deux théorèmes suivants:
La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat (180°)
Le théorème de Thalès (dont nous donnerons une formulation plus loin).
§1.2 Vocabulaire et notations
A
droite
•
demi-droite
S
angle
•
•
B
C
segment
•
Une demi-droite est une partie infinie d'une droite, limitée par un point.
Un angle est une partie infinie du plan limitée par deux demi-droites issues d'un même point appelé
sommet de l'angle.
Un segment de droite est une partie finie d'une droite limitée par deux points appelés extrémités du
segment.
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Remarques :
- Les droites, les demi-droites et les segments sont des lignes, alors que les angles sont des surfaces.
- Le nombre représentant la longueur du segment AB se note AB ou δ(A,B).
- Une ligne polygonale est une ligne formée uniquement de segments de droites.
Les extrémités des segments sont appelés les sommets de la ligne polygonale.
- Une ligne polygonale est dite fermée si chacun de ses sommets est l'extrémité de deux segments.
- Une ligne polygonale est dite simple si deux segments non consécutifs n'ont jamais de point
commun.
Exemples de lignes polygonales
B
C
A
simple
G
D
D
F
E
C
F
E
B
A
fermée
G
I
J
B
H
C
G
non-simple (croisée)
A
F
D
H
E
Un polygone est une figure géométrique. C'est une partie finie du plan délimitée par un ligne
polygonale fermée simple.
Exemples de polygones
B
B
A
E
D
I
F
H
A
C
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C
C
G
D
B
E
A
F
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- Les sommets de la ligne polygonale sont les sommets du polygone et les segments qui composent
cette ligne polygonale sont les côtés du polygone.
- Un polygone à 3 côtés est un triangle.
- Un triangle isocèle est un triangle dont deux côtés au moins sont de même longueur.
- Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de même longueur.
- Un triangle rectangle est un triangle dont un des angles est un angle droit (càd la moitié d'un angle
plat).
Exemples de triangles
D
B
E
isocèle
H
DF = EF
G
A
C
rectangle
GH = HI = IG
équilatéral
F
I
- Un polygone à 4 côtés est un quadrilatère
- Un trapèze est un quadrilatère possédant au moins une paire de côtés parallèles.
- Un parallélogramme est un quadrilatère possédant deux paires de côtés parallèles.
- Un losange est un parallélogramme dont les côtés sont de même longueur.
- Un rectangle est un parallélogramme dont les angles sont de même grandeur.
- Un carré est un rectangle dont les côtés sont de même longueur (ou un losange dont les angles
sont de même grandeur).
Remarque :
"
En traçant une diagonale d'un quadrilatère, on obtient
deux triangles.
On sait que la somme des angles de chaque triangle vaut
180˚.
!
!$
#
On en déduit que la somme des angles d'un quadrilatère
#$
"$
vaut 360˚.
Un rectangle ayant ses quatre angles égaux est donc
composé de quatre angles droits.
Somme des angles du quadrilatère
= α + β + γ + γ′ + β′ + α′
= 180˚ + 180˚
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Le schéma ci-dessous montre la classification des quadrilatères en fonction de leurs caractéristiques:
Quadrilatères
Une paire de côtés parallèles
Trapèzes
L'autre paire de côtés parallèles
Parallélogrammes
Les côtés de même longueur
Les angles de même grandeur
Losanges
Rectangles
Les angles de même grandeur
Les côtés de même longueur
Carrés
Exemples de quadrilatères
C
B
B
C
A
A
D
trapèze
B
losange
C
B
D
C
parallélogramme
A
A
rectangle
D
D
- Un polygone à 5 côtés est un pentagone.
- Un polygone à 6 côtés est un hexagone.
- Un polygone à 8 côtés est un octogone.
- Un polygone à 10 côtés est un décagone.
- Un polygone à 12 côtés est un dodécagone.
- Un cercle est une ligne fermée dont les points sont situés à égale distance d'un même point appelé
centre et la distance d'un point du cercle au centre de ce cercle est appelée rayon du cercle (le
rayon d'un cercle est donc un nombre).
- Le périmètre d'une figure géométrique est la longueur de la ligne qui délimite cette figure.
- L'aire d'un figure géométrique est la mesure de la surface occupée par cette figure.
(On entend souvent le mot surface utilisé en lieu et place du mot aire)
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§1.3 Aire des polygones
Dans ce paragraphe, nous aurons besoin de la notion de distance d'un point à une droite et de celle de
distance entre deux droites parallèles.
d
Soit un point A et une droite d.
•
A
Pour trouver la distance de A à d, que l'on
note δ(A,d), on commence par tracer la droite
p
p, perpendiculaire à d et passant par A.
d
H
La distance de A au point H (intersection de d
et p) donne alors la distance de A à d.
δ(A,d) = AH
• A
Pour déterminer la distance entre deux droites parallèles, on trace une droite perpendiculaire à ces deux
droites et on mesure la longueur du segment défini par les points d'intersections des parallèles avec la
perpendiculaire.
J
d
d'
K
distance entre d et d' = δ(J,K) = JK
1.3.1 Aire d'un rectangle
Soit un rectangle dont les côtés mesurent respecti-
D
a
vement a et b. Nous admettrons que l'aire d'un tel
rectangle est égale à a·b.
C
b
Aire du rectangle ABCD = a·b
A
B
Comme AB = DC et AD = BC , on a : a·b = AB · AD = AB · BC = DC · AD = DC · BC .
Nous allons trouver l'aire des autres polygones en n'utilisant que la formule ci-dessus et la définition des
polygones (ainsi que quelques astuces pour transformer ces figures en rectangles !).
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1.3.2 Aire d'un parallélogramme
Soit le parallélogramme ABCD.
B
C
A
D
On construit sur le côté AD un rectangle AB'C'D de telle façon que les points B' et C' soient sur la droite BC.
B'
B
C'
A
C
D
Les côtés AB et DC étant parallèles et de même longueur, les triangles AB'B et DC'C sont identiques. L'aire
du parallélogramme ABCD est donc égale à celle du rectangle AB'C'D.
Mais le côté AB' du rectangle représente aussi la distance entre les côtés (parallèles) AD et BC du
parallélogramme; cette distance est appelée la hauteur du parallélogramme; on la note souvent h.
Donc l'aire du parallélogramme ABCD = aire du rectangle AB'C'D = AD · AB' .
Finalement, si on note b la longueur du segment AB:
B
C
h
A
D
b
Aire du parallélogramme ABCD = (base)·(hauteur) = b·h
1.3.3 Aire d'un triangle
On va montrer qu'un triangle est toujours la moitié d'un certain parallélogramme.
Soit un triangle ABC.
C
B
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A
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En traçant une droite parallèle au côté AB et passant par le sommet C et une autre parallèle à AC et passant
par B, on détermine un point A'; par construction, le quadrilatère ABA'C est un parallélogramme composé de
deux triangles identiques (car BA' = AC et BA = A' C ).
A'
C
B
A
Donc l'aire du triangle ABC vaut la moitié de celle du parallélogramme ABA'C.
Mais la hauteur du parallélogramme ABA'C est aussi la distance du point C à la droite AB.
Finalement, si l'on note b la longueur du segment AB et h la distance de la droite AB au point C:
C
h
B
A
b
Aire du triangle =
(base)! (hauteur) b ! h
=
2
2
Ici, la hauteur est la distance d'un sommet à la droite supportant le côté opposé (appelé base).
1.3.4 Aire d'un trapèze
On va montrer que l'on peut toujours considérer un trapèze comme formé de deux triangles.
Soit le trapèze ABCD.
Ses deux côtés parallèles sont appelés les bases et la distance entre les bases est la hauteur du trapèze.
b'
C
B
h
D
A
b
On trace une diagonale du trapèze. Elle détermine deux triangles de même hauteur. Chacune des bases du
trapèze sert de base à l'un des triangles.
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b'
C
B
h
D
A
b
Donc l'aire du trapèze ABCD est égale à la somme des aires des triangles ABC et ACD,
c’est-à-dire
b ! h b' !h b ! h + b' !h (b + b' )h
+
=
=
2
2
2
2
Finalement
Aire du trapèze =
(b + b' )h
2
Remarque:
(b + b' )h
b + b'
=(
) ·h.
2
2
b + b'
Le nombre
est la moyenne des bases du trapèze; on l'appelle souvent (mais abusivement) la
2
On sait que
base moyenne. La formule de l'aire du trapèze peut alors s'énoncer " base moyenne · hauteur ".
B
1.3.5 Aire d'un losange
d'
Soit le losange ABCD.
Les segments AC et BD sont les diagonales du losange.
d
A
C
D
Pour déterminer l'aire d'un losange, on peut le
considérer comme constitué de 4 triangles égaux.
d'
Mais il est plus simple de le voir inscrit dans un
rectangle comme dans la figure ci-contre :
on "voit" alors que l'aire du losange vaut la moitié de
d
celle du rectangle, càd
Aire du losange =
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d ! d'
2
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1.3.6 Aire d’un polygone quelconque
Les aires des autres polygones s'obtiennent en "découpant" ces polygones en triangles et en faisant la
somme des aires de ces triangles.
Par exemple
E
F
A
C
D
B
Aire du polygone ABCDEF =
aire du triangle ABF + aire du triangle BFC +
aire du triangle CFE + aire du triangle CDE.
Attention :
Le périmètre du polygone ABCDEF n'est pas égal à la somme des périmètres des triangles qui le
composent !!
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