chapitre 1 : chapitre 1 : rappels

Mathématiques Niveau 1 et 2 Deuxième partie Géométrie
Collège Sismondi (S.Z., cours G.E.) 2007 - 2008 chap.1, p.1
CHAPITRE 1 :
CHAPITRE 1 :
RAPPELS
RAPPELS
§1.1 Introduction
Après les quelques rappels de ce chapitre, nous aborderons, dans ce cours de géométrie plane, plus
particulièrement les triangles et leurs droites remarquables ainsi que les cercles et leurs tangentes, et nous
terminerons par une introduction à la trigonométrie du triangle rectangle.
Il y a un certain nombre de choses que nous admettrons sans autre au début de ce cours, les unes parce
qu'elles ne sont pas démontrables, ce sont des axiomes, et les autres parce qu'elles sont si évidentes que
leur démonstration semble inutile.
Nous admettrons que la droite et le point sont des objets géométriques connus, que l'on n'a pas besoin de
définir !
De même, nous admettrons que par deux points distincts on ne peut faire passer qu'une seule droite et
que deux droites distinctes, c’est-à-dire non confondues, et non parallèles, se coupent en un seul point.
Nous admettrons aussi les deux théorèmes suivants:
La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat (180°)
Le théorème de Thalès (dont nous donnerons une formulation plus loin).
§1.2 Vocabulaire et notations
•
•
•
•
droite
demi-droite
segment
A
B
C
S
angle
Une demi-droite est une partie infinie d'une droite, limitée par un point.
Un angle est une partie infinie du plan limitée par deux demi-droites issues d'un même point appelé
sommet de l'angle.
Un segment de droite est une partie finie d'une droite limitée par deux points appelés extrémités du
segment.

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Remarques :
- Les droites, les demi-droites et les segments sont des lignes, alors que les angles sont des sur-
faces.
- Le nombre représentant la longueur du segment AB se note
AB
ou δ(A,B).
- Une ligne polygonale est une ligne formée uniquement de segments de droites.
Les extrémités des segments sont appelés les sommets de la ligne polygonale.
- Une ligne polygonale est dite fermée si chacun de ses sommets est l'extrémité de deux segments.
- Une ligne polygonale est dite simple si deux segments non consécutifs n'ont jamais de point
commun.
Exemples de lignes polygonales
fermée
A
BC
D
E
F
G
H
I
J
simple
B
C
D
E
F
G
A
non-simple (croisée)
A
BC
F
E
D
G
H
Un polygone est une figure géométrique. C'est une partie finie du plan délimitée par un ligne
polygonale fermée simple.
Exemples de polygones
A
B
C
A
BC
D
E
F
G
H
I
A
B
C
D
E
F

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- Les sommets de la ligne polygonale sont les sommets du polygone et les segments qui composent
cette ligne polygonale sont les côtés du polygone.
- Un polygone à 3 côtés est un triangle.
- Un triangle isocèle est un triangle dont deux côtés au moins sont de même longueur.
- Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de même longueur.
- Un triangle rectangle est un triangle dont un des angles est un angle droit (càd la moitié d'un angle
plat).
Exemples de triangles
rectangle
A
B
C
isocèle
DE
F
équilatéral
G
H
I
DF = EF
GH = HI = IG
- Un polygone à 4 côtés est un quadrilatère
- Un trapèze est un quadrilatère possédant au moins une paire de côtés parallèles.
- Un parallélogramme est un quadrilatère possédant deux paires de côtés parallèles.
- Un losange est un parallélogramme dont les côtés sont de même longueur.
- Un rectangle est un parallélogramme dont les angles sont de même grandeur.
- Un carré est un rectangle dont les côtés sont de même longueur (ou un losange dont les angles
sont de même grandeur).
Remarque :
En traçant une diagonale d'un quadrilatère, on obtient
deux triangles.
On sait que la somme des angles de chaque triangle vaut
180˚.
On en déduit que la somme des angles d'un quadrilatère
vaut 360˚.
Un rectangle ayant ses quatre angles égaux est donc
composé de quatre angles droits.
!
"
#! $
"$
# $
Somme des angles du quadrilatère
= α + β + γ + γ′ + β′ + α′
= 180˚ + 180˚

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Le schéma ci-dessous montre la classification des quadrilatères en fonction de leurs caractéristiques:
Losanges Rectangles
Quadrilatères
Parallélogrammes
Trapèzes
Carrés
Une paire de côtés parallèles
L'autre paire de côtés parallèles
Les angles de même grandeur
Les côtés de même longueur
Les côtés de même longueur
Les angles de même grandeur
Exemples de quadrilatères
A
B
C
D
A
B
C
D
rectangle
parallélogramme
A
BC
D
A
B
C
D
trapèze
losange
- Un polygone à 5 côtés est un pentagone.
- Un polygone à 6 côtés est un hexagone.
- Un polygone à 8 côtés est un octogone.
- Un polygone à 10 côtés est un décagone.
- Un polygone à 12 côtés est un dodécagone.
- Un cercle est une ligne fermée dont les points sont situés à égale distance d'un même point appelé
centre et la distance d'un point du cercle au centre de ce cercle est appelée rayon du cercle (le
rayon d'un cercle est donc un nombre).
- Le périmètre d'une figure géométrique est la longueur de la ligne qui délimite cette figure.
- L'aire d'un figure géométrique est la mesure de la surface occupée par cette figure.
(On entend souvent le mot surface utilisé en lieu et place du mot aire)

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§1.3 Aire des polygones
Dans ce paragraphe, nous aurons besoin de la notion de distance d'un point à une droite et de celle de
distance entre deux droites parallèles.
Soit un point A et une droite d.
d
A
•
Pour trouver la distance de A à d, que l'on
note δ(A,d), on commence par tracer la droite
p, perpendiculaire à d et passant par A.
La distance de A au point H (intersection de d
et p) donne alors la distance de A à d.
δ(A,d) =
AH
d
A
H
p
•
Pour déterminer la distance entre deux droites parallèles, on trace une droite perpendiculaire à ces deux
droites et on mesure la longueur du segment défini par les points d'intersections des parallèles avec la
perpendiculaire.
d
d'
J
K
distance entre d et d' = δ(J,K) =
JK
1.3.1 Aire d'un rectangle
Soit un rectangle dont les côtés mesurent respecti-
vement a et b. Nous admettrons que l'aire d'un tel
rectangle est égale à a·b.
Aire du rectangle ABCD = a·b
a
b
AB
C
D
Comme
AB
=
DC
et
AD
=
BC
, on a : a·b =
AB
·
AD
=
AB
·
BC
=
DC
·
AD
=
DC
·
BC
.
Nous allons trouver l'aire des autres polygones en n'utilisant que la formule ci-dessus et la définition des
polygones (ainsi que quelques astuces pour transformer ces figures en rectangles !).