calcul du champ electromagnetique rayonne par un coup de

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de Technologie d’Oran
Mohamed Boudiaf
FACULTÉ DE Génie Electrique
DEPARTEMENT d’Electrotechnique
MEMOIRE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLÔME DE
MAGISTER
SPECIALITE : ELECTROTECHNIQUE
OPTION : EXPLOITATION DES RESEAUX DE TRANSPORT 400Kv ET PLUS.
Présenter par :
Mr : MOKHTARI AHMED
Sujet du mémoire
CALCUL DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE RAYONNE PAR UN
COUP DE FOUDRE EN PRESENCE D’UN SOL DE CONDUCTIVITE
FINIE
SOUTENUE LE :
Président :
Rapporteur :
Co-Rapporteur :
Examinateurs :
DEVANT LE JURY COMPOSÉ DE :
M S. FLAZI
M Z.AZZOUZ
M B.GHEMRI
M T.BOUTHIBA
M L.KOTNI
Professeur
Professeur
M.A (A)
Maître de conférences
Maître de conférences
(USTO-MB)
(USTO-MB)
(USTO-MB)
(USTO-MB)
(USTO-MB)
Remerciements
Ce travail a été effectué au sein de l’équipe de compatibilité électromagnétique au
laboratoire de développement et d’entraînement électrique (LDEE), sous la direction du
professeur Z.AZZOUZ. Je tiens à exprimer tous mes remerciements et mes reconnaissances à
son égard pour sa confiance en m’accueillant dans son équipe, et m’a donné la possibilité de
mener ce travail dans des excellentes conditions. Comme je le remercie vivement pour sa
patience, ces conseils, ces grandes qualités scientifiques et humaines et son professionnalisme
qui m’ont aidé et guidé tout le long de ce travail.
J’adresse mes sincères remerciements et reconnaissances à mon co-encadreur
Monsieur B.GHEMRI pour son amitié, ses aides et ses conseils qui ont m’éclairé le droit
chemin de cette étude.
J’exprime ma reconnaissance au Professeur S. FLAZI pour l’honneur qu’il m’a fait en
présidant le jury de soutenance, qu’il trouve ici l’expression de mes remerciements les plus
vifs.
Que tous les membres de jury qui ont bien voulu évaluer et examiner mon travail,
trouvent ici l’expression de mon profond respect. Je remercie :
M. BOUTHIBA.T,
Maître de conférences (USTO-MB)
M. KOTNI.L,
Maître de Conférences (USTO-MB)
Je remercie également monsieur H.KHALED pour son aide si précieuse.
Mes remerciements s’adressent également à tout le corps enseignant qui a contribué à ma
formation.
Je n’oublierais pas d’adresser mes remerciements à mes collègues et amis avec lesquels
ce fut toujours agréable de travailler.
Je ne terminerais pas sans associer à mes remerciements tous les membres de ma famille
pour leur soutien tacite, amicale et morale.
Table des Matières
Introduction générale .......................................................................................................................................... 1
Chapitre I : Description Phénoménologique Expérimentale de la Foudre
I-1 Introducion ........................................................................................................................................................ 3
I-2 La CEM, quelques définitions ..................................................................................................................... 3
I-3 Conception de base de la CEM ................................................................................................................... 6
I-4 Phénoménologique expérimentale de la foudre ...................................................................................... 9
I-4-1 Mécanisme de la formation de l’orage ............................................................................................... 9
I-4-2 Catégories de coups de foudre ............................................................................................................10
I-4-3 Décharges négatives nuage-sol ...........................................................................................................11
I-5 Observations expérimentales ......................................................................................................................13
I-5-1 Caractérisation du courant de l’arc en retour ..................................................................................13
I-5-2 Courant mesurés à la base du canal ...................................................................................................15
I-5-3 Vitesse de l’arc en retour ......................................................................................................................17
I-5-4 Caractéristiques du champ électromagnétique ...............................................................................17
a) Distances supérieures à 1 km .................................................................................................................17
b) Distances inférieures à 1 km ..................................................................................................................19
I-6 Conclusion ........................................................................................................................................................22
Chapitre II : Modélisation et simulation spatio- temporelle du courant de foudre
II-1 Introduction ....................................................................................................................................................23
II-2 Formulation du champ electromagnetique rayonne par la foudre ..................................................24
II-2-1 Champ électromagnétique au dessus du sol ..................................................................................24
II-2-1-1 Equations générales ........................................................................................................................24
II-2-1-2 Cas d’un sol parfaitement conducteur ......................................................................................25
II-2-1-3 Validation de l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur .............................................26
II-2-1-4 Approximation de Cooray-Rubinstein ......................................................................................27
II-2-2 Champ electromagnetique en dessous du sol ................................................................................28
II-2-2-1 Formule de Cooray .........................................................................................................................29
II-3 Modélisation du courant de foudre ..........................................................................................................30
II-3-1 Modèles du courant à la base du canal de foudre ......................................................................30
II-3-1-1 Modèle bi-exponentiel.................................................................................................................30
II-3-1-2 Modèle d’Heidler ..........................................................................................................................31
II-3-1-3 Modèle hybride (Heidler - bi-exponentiel) ...........................................................................33
II-3-2 Modélisation de la distribution spatio-temporelle des courants d’arcs en retour le
long du canal ...........................................................................................................................................................35
II-3-2-1 Modèle de la ligne de transmission TL .................................................................................35
II-3-2-2 Modèle de la ligne de transmission modifiée MTL .........................................................36
a) Modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance linéaire MTLL...............36
b) Modèle de la ligne de transmission modifiée avec décroissance exponentielle MTLE .37
II-3-2-3 Modèle de Bruce et Golde BG.................................................................................................38
II-3-2-4 Modèle de la source de courant mobile TCS.......................................................................39
II-3-3 Généralisation des modèles d’ingénieur.......................................................................................40
II-4 Distribution du courant dans la tour et dans le canal de foudre .....................................................41
II-4-1 Modèle de Rachidi et al ...................................................................................................................41
II-4-2 Modèle de Baba et Rakov ...............................................................................................................42
II-4-3 Exemple d’illustration .....................................................................................................................43
II-5 Conclusion .....................................................................................................................................................47
Chapitre III : Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.1 Introduction ...................................................................................................................................................48
III.2 Calcul du champ électromagnétique généré par la foudre ...............................................................48
III.3 Calcul du champ électromagnétique ......................................................................................................51
III. 3.1 Formulation du champ magnétique par l’algorithme de Delfino et al ..................................51
III.3.1.1 Points de branchement................................................................................................................54
III.3.1.2 Termes de dépendance du champ EM de la conductivité du sol ...................................56
III.3.2 Calcul de la composante azimutale du champ magnétique .......................................................58
III.4 Conclusion ....................................................................................................................................................61
Chapitre IV : Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
IV.1 Iintroduction ..................................................................................................................................................62
IV.2 Influence de la conductivité finie du sol sur le champ électrique ................................................62
IV.3 Influence de la distance radiale D par rapport au canal de foudre ...............................................63
IV.4 Influence de la profondeur S par rapport au sol.................................................................................66
IV.5 Algorithme de Delfino ...............................................................................................................................68
VI.5.1 Champ magnétique azimutal ................................................................................................68
IV.6 Conclusion .....................................................................................................................................................73
Conclusion générale ...........................................................................................................................................74
Bibliographie.........................................................................................................................................................76
Introduction Générale
Introduction générale
La multiplication des usages de l’électricité dans la vie quotidienne et
l’exigence d’un plus grand confort ont fortement contribué à la hausse de la
demande quantitative de l’électricité ces derniers temps.
Parallèlement,
l’évolution
de
la
technologie
dans
le
domaine
de
l’électrotechnique, et l’apparition dans le secteur tertiaire et industriel de
matériels de plus en plus sophistiqués a donné naissance à plusieurs
phénomènes indésirables qui perturbent le bon fonctionnement des
appareils.
Dans ce contexte, les perturbations électromagnétiques produites par un
coup de foudre constituent un danger permanent pour tout système
électrique ou électronique, allant des circuits imprimés jusqu’aux lignes et
ouvrages
constituant
un
réseau
électrique
ou
un
réseau
de
télécommunication. Pour les réseaux électriques le problème devient de plus
en plus difficile à gérer car ces derniers connaissent un développement et un
niveau de complexité de plus en plus croissant faisant intervenir des
dispositifs de contrôle commande à base d’électronique. Ces dispositifs
sensibles qui servent au pilotage à distance du réseau électrique sont très
vulnérables et donc souvent perturbés par les champs électromagnétiques
présents dans l’environnement du réseau électrique et ses composants. Ceci
se traduit par une modification néfaste des ordres de décision engendrant
souvent des dysfonctionnements du réseau électrique. Il devient alors
impératif de faire des investigations théoriques et expérimentales afin
d’identifier les champs électromagnétiques agresseurs et de quantifier leurs
effets sur les différents éléments du réseau électrique. Ceci permettra
d’adopter des stratégies de protection plus efficaces.
L’étude de l’interaction entre le champ électromagnétique rayonné par la
foudre et les systèmes électriques, ainsi que celle de la coordination des
stratégies de protection sont généralement basées sur des distributions
statistiques du courant mesuré à la base du canal de foudre obtenues en
utilisant
des
tours
instrumentées
déclenchement artificiel de la foudre.
1
ou
à
l’aide
des
techniques
de
Introduction générale
L’objectif qui a été souligné pour notre travail est le calcul du champ
électromagnétique engendré par un coup de foudre en considérant un point
d’observation en-dessous et au dessus du sol, Dans le même cadre, on va
mettre en évidence la conductivité finie du sol par la biais de deux
techniques. La première est basé sur l’approximation de Cooray. La seconde
utilise l’algorithme de Delfino et al.
Ainsi, et dans l’objectif d’esquisser cette problématique, on a structuré ce
mémoire selon les points suivantes :
Le chapitre I présente une description phénoménologique de la foudre, sa
formation, les principales classifications, son développement et enfin les
observations expérimentales.
Le chapitre II est consacré à l’étude des différents modèles du courant à la
base du canal de foudre, ainsi que la distribution spatio-temporelle de ce
courant dans le canal de foudre.
Le chapitre III fera l’objet d’une présentation détaillée des formalismes liés
au calcul du champ électromagnétique avec la prise en compte de la
conductivité finie du sol.
Dans le quatrième chapitre, on analysera les résultats numériques
obtenus sur la base des techniques théorique exposées. Une approche de
comparaison sera aussi présentée. L’objectif étant de valider les résultats
obtenus par simulation par rapport à ceux présentés dans la littérature.
Finalement, on conclura notre étude par une conclusion générale où nous
indiquerons les perspectives de ce travail dans le cadre des recherches
menées par l’équipe CEM au sein du laboratoire LDEE.
2
Chapitre I
Description Phénoménologique Expérimentale
de la Foudre
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
I.1 Introduction
L’environnement électromagnétique est devenu un paramètre important
qu’il faut prendre en compte dans tout projet industriel faisant intervenir des
procédés électriques et /ou électroniques.
Cette prise en compte doit avoir lieu dès la conception à l’installation du
produit. Aux différents stades d’évolution de celui-ci, les facteurs d’influence
pris en considération en l’occurrence rayonnement et conduction, doivent être
évalués et maîtrisés. Ainsi le recours à l’identification des sources potentielles
de perturbations électromagnétiques, constitue un grand pôle d’intérêt dans le
domaine de la compatibilité électromagnétique (CEM). Cette discipline se
présente comme un ensemble de règles et de méthodologies ayant comme
objectif d’assurer à un système donné un degré d’immunité vis-à-vis de son
environnement de façon à ce qu’il puisse fonctionner sans aucune dégradation
importante de ses performances. Pour ce faire une longue ère de recherche
fondamentale et expérimentale a été nécessaire. Une recherche dont les buts
principaux
étaient
et
demeurent
la
compréhension
des
mécanismes
d’interférences entre les systèmes électriques avec leur environnement, la mise
au point de modèles de simulation numérique et de moyens de mesure de plus
en plus performants. Ainsi, ce chapitre à comme vocation une présentation
brève de la CEM. Par la suite, le phénomène de foudre sera décrit d’une
manière succincte [17].
I.2 La CEM, quelques définitions
Les notions et les préoccupations du domaine de la compatibilité
électromagnétique ne sont pas récentes, bien que le vocabulaire spécialisé –
que nous utiliserons après quelques définitions indispensables – soit apparu
assez récemment.
Dés que les applications de l’électricité se sont étendues au domaine de
la transmission d’information, on a dû faire face aux perturbations que
pouvaient provoquer l’usage de certains appareils. L’exemple typique est
l’impossibilité d’écouter la radio dans de bonnes conditions à proximité d’un
3
Chapitre I
moteur
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
en
fonctionnement
si
celui-ci
n’est
pas
muni
d’un
dispositif
‹‹antiparasite ››.
Dans les anciens vocables, le terme ‹‹ parasite ›› désignait l’effet des
perturbations électromagnétiques provoquées
par le truchement de signaux
parasites, et le terme ‹‹ antiparasite ›› désignait un dispositif destiné à
combattre leurs effets.
De simples notions de confort, le problème s’est ancré dans la nécessité
et la responsabilité juridique, à partir du moment où les installations ont
impliqué des ensembles juxtaposés de puissance et de commande automatisée,
véhiculant des données cruciales pour la sécurité des personnes et des biens.
L’usage conjoint d’applications de forte puissance, de système de
communication et d’organes de traitement de l’information est aujourd’hui
généralisé, et les niveaux d’énergie des signaux de ces derniers sont devenus
très faibles. Dans ce contexte, la réglementation CEM est devenue en quelque
sorte une question de survie technologie [1].
L’évolution de la réglementation en cartière de CEM s’est produite selon
les dates suivantes :
1934 :
Création
Perturbations
du
CISPR
Radioélectriques)
(Comité
par
la
International
commission
Spécial
des
électrotechnique
internationale (CEI) qui développe des normes pour éviter les interférences
parasites [3].
Durant
la
deuxième
Guerre
Mondiale,
l’utilisation
d’appareils
électroniques (radio, navigation, radar) s’est accélérée. Beaucoup de cas
d’interférences entre radio et systèmes de navigation aérienne ont été relevés.
Le CISPR continue son activité en produisant plusieurs publications
techniques présentant des techniques de mesure des perturbations, et
recommandant des valeurs limites d’émissions.
Plusieurs pays européens ont adopté ces valeurs limites recommandées
par le CISPR [2].
4
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
L’augmentation la plus significative des problèmes d’interférences est
apparue avec l’invention des composants électroniques à haute densité, tel que
le transistor bipolaire dans les années 1950, le circuit intégré dans les années
1960 et les puces à microprocesseur dans les années 1970.
Par ailleurs, le spectre fréquentiel utilisé devient beaucoup plus large, et
ce pour subvenir aux besoins de plus en plus croissants de transmission de
l’information.
A cause de la sensibilité de plus en plus accrue des circuits
électroniques,
la
commission
Américaine
fédérale
de
communication
( « FCC » ) a publié en 1979 des normes tendant à limiter les émissions
électromagnétiques de tous les appareils électroniques. Ainsi, en 1989 le
conseil de la Communauté Européenne a émis la directive 89/336/CEE qui
constitue l’un des premiers fondements de la réglementation. Sa lecture permet
de mieux saisir les enjeux de la CEM [1].
Sur la base de cette directive chaque état membre de la CEE devait
entreprendre la transposition du texte dans sa législation nationale, en
abrogeant le cas échéant toute disposition contraire, pour atteindre les
objectifs obligatoires de la directive dans un délai fixé. A terme, toutes les
installations impliquant des composants électriques et/ou électroniques
doivent être construites de telle sorte que :
-
les perturbations électromagnétiques générées soient limitées à un
niveau permettant aux appareils de radio et de télécommunication et aux
autres appareils de fonctionner conformément à leur destination.
les
les appareils aient un niveau adéquat d’immunité intrinsèque contre
perturbations
électromagnétiques,
leur
permettant
de
fonctionner
conformément à leur destination.
Les niveaux et recommandations pour la CEM sont donnés par une série
de normes.
Les appareils déclarés conformes aux exigences de la directive peuvent
recevoir la marque CE et être mis sur le marché après qu’une déclaration de
5
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
conformité ait été faite et reste à la disposition de l’autorité compétente
pendant dix ans suivant la mise sur le marché des appareils.
En date du 28 avril 1992 la directive 92/68/CEE a fixé la date
er
d’application obligatoire de la réglementation CEM au 1 janvier 1996.
Une année plus tard plus précisément le 22 juillet 1993 la directive
93/68/CEE définit le marquage CE proprement dit.
Enfin la date du 1er janvier 1996 : tout produit mis sur le marché
européen à partir du 1er janvier 1996, doit également satisfaire aux exigences
des normes CEM d’émission et d’immunité [1].
I.3 Conception de base de la CEM
La compatibilité électromagnétique est définie comme étant l’aptitude
d’un dispositif, d’un appareil ou d’un système à fonctionner dans sont
environnement électromagnétique de façon satisfaisante et sans produire luimême des perturbations électromagnétiques intolérables pour tout ce qui
trouve dans cet environnement [3].
Elle revêt donc deux aspects :
•
Tout appareil fonctionne de façon satisfaisante dans son
environnement électromagnétique.
Cela signifie que chaque appareil ‹‹ résiste ›› aux agressions que
constituent
les
perturbations
provenant
du
milieu,
et
donc
qu’il
est
‹‹ immunisé ›› contre celles-ci : son niveau d’immunité est suffisamment élevé.
• Aucun appareil ne doit produire lui-même de perturbations
électromagnétiques. Intolérables pour que tout ce qui se trouve dans son
environnement.
On comprend que son niveau d’émission de perturbations pour ledit
environnement doit être suffisamment bas pour tout ce qui figure dans cet
environnement lui soit insensible.
La définition de la C.E.M. met donc en lumière les trois notions
fondamentales :
6
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
> Niveau d’émission (d’une source perturbatrice) : c’est niveau d’une
perturbation électromagnétique de forme donnée, émise par un dispositif,
appareil ou système particulier et mesurée d’une manière spécifiée. [41]
>
Niveau d’immunité : il représente le niveau maximal d’une
perturbation électromagnétique de forme donnée agissant sur un dispositif,
appareil ou système particulier, pour laquelle celui-ci demeure capable de
fonctionner avec la qualité voulue. [41]
> Environnement électromagnétique : il désigne l’ensemble des
phénomènes électromagnétiques existant à un endroit donné [3].
On définit conventionnellement aussi les notions suivantes [6]:
> Niveau de compatibilité (électromagnétique) : c’est le niveau
maximal spécifié des perturbations électromagnétiques auquel on peut
s’attendre que soit soumis un dispositif, appareil ou système fonctionnant dans
des conditions particulières.
Note : en pratique le niveau de compatibilité électromagnétique n’est pas
un niveau maximal absolu mais peut être dépassé avec une faible probabilité.
> Niveau de susceptibilité (électromagnétique) : c’est le niveau
perturbateur appliqué à un ensemble sensible à partir duquel il est perturbé,
c’est-à-dire que :
- l’ensemble sensible
est perturbé pour toute valeur du niveau
perturbateur appliqué supérieure ou égale à son niveau de susceptibilité,
- il n’est pas perturbé pour toute valeur inférieure.
La notion de compatibilité électromagnétique naît de la confrontation de
ces deux aspects autour d’une ligne de partage, ainsi que l’illustre de la figure
I.1 [18, 36]
7
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
Figure I.1 : Marges de perturbations électromagnétiques [18]
Compte tenu de l’échelle logarithmique du niveau de perturbation, la
marge de compatibilité électromagnétique est le rapport entre la limite
d’émission et la limite d’immunité.
De même, la marge d’immunité est le rapport entre le niveau de
compatibilité et le niveau limite d’immunité, et la marge d’émission est le
rapport entre le niveau de compatibilité et le niveau limite d’émission. On peut
aussi exprimer ces marges directement en dB (décibel) [36].
Il faut noter que l’approche est probabiliste. Quelque soit le niveau de
perturbation envisagé, on ne peut pas affirmer, mathématiquement parlant,
que la probabilité d’altération du fonctionnement soit égale à zéro.
En matière de tests, on se contentera aussi de notions statistiques. Les
essais de CEM très coûteux ne sont bien, entendus, jamais menés sur
l’ensemble d’une production. On fonde la présomption de compatibilité sur des
spécimens représentatifs, parfois même des prototypes.
On sait cependant que des modifications qui peuvent apparaître
mineures dans la fabrication peuvent parfois se traduire par des évolutions
surprenantes en termes de CEM.
8
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
I.4 Phénoménologique expérimentale de la foudre
La foudre constitue une source de perturbation majeure pour le bon
fonctionnement des réseaux. En effet, on distingue deux types d’agressions de
la décharge orageuse, selon que l’éclair touche directement l’ouvrage ou tombe
à proximité. Dans le premier cas, on parle de coup de foudre direct. Dans le
second, on parle de coup de foudre indirect, du fait qu’il génère un champ
électromagnétique perturbateur.
Ce présent chapitre se veut comme une description succincte du
phénomène de la décharge orageuse, en particulier le mécanisme de
déclenchement de la décharge nuage sol négative.
I.4.1 Mécanisme de la formation de l’orage [4]
La foudre est définie par Uman [10] comme une décharge électrique
d'une longueur de plusieurs kilomètres associée à une impulsion de courant
transitoire de très forte amplitude. La source la plus commune de la foudre est
la séparation des charges dans les nuages d'orage, les cumulo-nimbus. Les
orages les plus fréquents font suite à des fronts froids. A l'arrivée d'un de ceuxci, la masse d'air froid s'infiltre sous l'air chaud et le soulève; ceci engendre des
turbulences dans l'air chaud rejeté en altitude: ainsi se forment les nuages
d'orage ou les cumulo-nimbus. L'électrisation de ces nuages résulte d'un
processus complexe, dont l'étude approfondie ne fait pas l'objet de ce travail.
La distribution des charges dans un nuage orageux est présentée dans la
figure I.2. On distingue trois parties :
•
la partie supérieure, constituée de glace, chargée positivement
•
la partie inférieure, constituée de gouttelettes d'eau, chargée
(région "P"),
négativement (région "N"),
•
un îlot de charges positives enserré dans la masse de charges
négatives. Cette troisième concentration de charges peut être à l’origine du
déclenchement d’une décharge de foudre.
9
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
A l'approche d'un nuage orageux, le champ électrique atmosphérique au
sol qui est de l'ordre d'une centaine de volts par mètre par beau temps
commence par s'inverser, puis croît dans de fortes proportions. Lorsqu'il atteint
la valeur de 10 à 20 kV/m, une décharge au sol est imminente.
Figure I.2 : Séparation des charges dans un nuage orageux [4]
I.4.2 Catégories de coups de foudre
Bien que les décharges inter-nuages et intra-nuages constituent plus de
la moitié des décharges de foudre, ce sont surtout les décharges nuage-sol qui
ont fait l'objet d'études très poussées; ceci est dû essentiellement à des raisons
d'ordre pratique à savoir : blessure et mort d’hommes, incendies de forêts,
perturbations engendrées dans les réseaux de transport d’énergie électrique et
de télécommunication et aussi du fait qu'il est plus facile de mesurer les
caractéristiques optiques et électriques des décharges nuage-sol. Les décharges
de foudre nuage-sol ont été subdivisées selon Berger et al [14] en quatre
catégories. Ces catégories sont définies d'une part selon la direction du traceur
(ascendante ou descendante) qui déclenche la décharge, et d'autre part selon le
signe de la charge portée par le traceur (positive ou négative). La figure I.3
illustre ces quatre catégories des décharges nuage-sol.
10
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
Figure I.3 : Classification des coups de foudre selon Berger et al.[14]
Dans les régions tempérées, plus de 90% des coups de foudre nuage-sol
sont de la catégorie (a). Ce type de décharges, appelées décharges négatives,
peut par conséquent être considérées comme la forme la plus commune des
décharges nuage-sol. Cette forme de décharge est déclenchée par un traceur
descendant charger négativement.
Les coups de foudre appartenant à la catégorie (c) sont aussi déclenchés
par un traceur descendant, mais chargé positivement (décharge dite positive).
Cette catégorie regroupe moins de 10% des décharges nuage-sol.
Enfin, les décharges des catégories (b) et (d) qui sont déclenchées par des
traceurs ascendants, sont relativement rares et apparaissent généralement aux
sommets des montagnes ou des longues structures. [7]
I.4.3 Décharges négatives nuage-sol [7]
Une décharge négative (nuage-sol) typique apporte une quantité de
charge négative de quelques dizaines de Coulomb à la terre. La décharge totale
est appelée éclair et possède une durée de l'ordre de 0.5 seconde. Chaque éclair
est constitué de plusieurs composantes de décharge dont typiquement trois ou
quatre impulsions de courant de forte amplitude dites arcs en retour. Chaque
11
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
arc en retour a une durée d’environ 1 ms, la séparation entre deux arcs en
retour successifs étant typiquement de plusieurs dizaines de millisecondes. La
figure I.4 illustre le processus d'un éclair négatif; plusieurs phases peuvent y
être distinguées: La décharge préliminaire (preliminary breakdown, en anglais)
intervient à l'intérieur du nuage, très probablement entre les régions N et P.
Cette décharge déclenche le développement d'un canal chargé négativement
dirigé vers le sol appelé traceur par pas (stepped leader). La progression de ce
canal s'effectue par une série de bonds (ou pas) lumineux successifs, chaque
bond ayant une longueur de quelques dizaine de mètres et une durée d'environ
1 microseconde; deux bonds successifs sont séparés par une pause de l'ordre
de 500 ms. Le traceur apporte une quantité de charges négatives de l'ordre de
10 Coulomb vers le sol avec une vitesse moyenne de 2.10-5 m/s. Chaque pas
du traceur correspond une impulsion de courant d'amplitude supérieure à 1
kA. Ces dernières sont associées à des impulsions de champs électriques et
magnétiques d'une durée d'environ 1 microseconde et des temps de montée
inférieurs à 0.1 ms. A l'approche du sol le traceur, dont le potentiel par rapport
à la terre est environ -10 MV, provoque une intensification du champ électrique
et initie une ou plusieurs décharges ascendantes (upward connecting leader):
cette phase est appelée le processus d'attachement (attachment process).
La jonction entre une des décharges ascendantes et le traceur par pas
s'effectue à quelques dizaines de mètres au-dessus du sol. Le canal du traceur
est alors déchargé lorsqu'une onde de potentiel de sol, le premier arc en retour
(first return stroke), se propage vers le nuage et neutralise le canal chargé par
le traceur avec une vitesse décroissante en fonction de la hauteur de l'ordre de
1/3 de la vitesse de la lumière. Le premier arc en retour produit un courant au
niveau du sol d'une valeur de pic typique de 30 kA et d'un temps de montée de
l'ordre de quelques microsecondes. La durée de l'impulsion du courant (à la mihauteur) est de l'ordre de 50 ms. Durant cette phase, la température du canal
s'élève rapidement pour atteindre des valeurs jusqu'à 30000 °K qui génère un
canal de haute pression provoquant une onde de choc appelée tonnerre.
12
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
Figure I.4 : Illustration des différentes phases d’une décharge négative nuage-sol [7]
{(a), (b), (c), (d), (e)} : Développement du traceur par pas (stepped leader),
{(f), (g), (h), (i), (j)}
: Développement de l’arc en retour (return stroke),
{(m), (n), (o), (p), (q)} : Développement de l’arc en retour subséquent (subsequent
return stroke).
I.5 Observations expérimentales
I.5.1 Caractérisation du courant de l’arc en retour [4][39]
Pour mesurer directement le courant de l’arc en retour à la base du
canal, la connaissance du point d’impact de la foudre est nécessaire. Les
techniques utilisées de nos jours pour l’obtention des données expérimentales
des courants de foudre sont [4] :
¾ le déclenchement artificiel de la foudre (figure I.5),
¾ l’utilisation des tours instrumentées (figure I.6)
Dans les deux techniques, l’idée principale est d’augmenter la probabilité des
impacts de la foudre aux points prédéfinis.
13
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
La technique du déclenchement artificiel de la foudre permet de
provoquer celle-ci lors de passage de nuages orageux et de l’attirer en un lieu
déterminé. A l’approche d’un nuage orageux, on lance en direction du nuage
une petite fusée qui déroule derrière elle un mince fil métallique s’échappant
d’une bobine. Lorsque la fusée atteint une certaine hauteur, typiquement 200 à
300m, un traceur ascendant est déclenché du sommet de a fusée. Le courant
de foudre s’écoule alors le long du fil métallique (Figure I.5), tout en le
volatilisant. Cette technique est décrite en détail dans plusieurs travaux, dont
particulièrement [10, 11,12].
Figure I.5 : Exemple d’un déclenchement artificiel de la foudre en
Floride [13]
La technique du déclenchement artificiel de la foudre constitue un outil
très fiable pour bien comprendre la phénoménologie d’une foudre naturelle
[13]. En effet, les résultats obtenus par cette technique seront virtuellement
impossibles à obtenir à partir des recherches faites sur une foudre naturelle à
cause de l’aspect aléatoire de la foudre tant sur le plan spatial que sur le plan
temporel.
14
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
Figure I.6 : Exemple de mesure de courant de foudre en utilisant une tour
instrumentée. Tour CN à Toronto au Canada [4]
I.5.2 Courants mesurés à la base du canal [4]
Depuis les années 50, plusieurs campagnes expérimentales ont été
réalisées afin de caractériser le courant de foudre. La description la plus
complète du courant de l’arc en retour est donnée par l’équipe du Professeur
Berger, qui durant les années 1950-1970 a exploité une station expérimentale
au Mont San Salvatore [4]. La mesure du courant a été effectuée au sommet de
deux tours de 55m de haut situées au sommet du Mont San Salvatore.
Le résumé de tous les résultats obtenus concernant les caractéristiques
du courant de foudre est présenté dans [9].
La figure I.7 illustre les formes moyennes des courants typiques
correspondant aux arcs en retour premier et subséquent d’une décharge
négative.
15
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
Figure I.7 : Forme moyenne normalisée de l’arc en retour [15]
(A) premier arc en retour,
(B) arc en retour subséquent
Paramètre
Courant de crête
Premier arc en retour négatif
Arc en retour subséquent négatif
Charge totale
Premier arc en retour négatif
Arc en retour subséquent négatif
Temps de montée (2 kA-crête)
Premier arc en retour négatif
Arc en retour subséquent négatif
di/dt maximal
Premier arc en retour négatif
Arc en retour subséquent négatif
Durée de l’impulsion
(2 kA-mi-amplitude)
Premier arc en retour négatif
Arc en retour subsequent négatif
Intervalle de temps
entre deux décharges négatives
Pourcentage de cas
dépassant la valeur
indiquée
95%
50%
5%
Unité
Nombre
d’évènement
KA
KA
101
135
14
4.6
30
12
80
30
C
C
93
122
1.1
0.2
5.2
1.4
24
11
µs
µs
89
118
1.8
0.22
5.5
1.1
18
4.5
KA/µs
KA/µs
92
122
5.5
12
12
40
32
120
µs
µs
90
115
30
6.5
75
32
200
140
µs
133
7
33
150
Tableau I.1 : Paramètres du courant d’un coup de foudre descendant négatif [14].
16
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
Du tableau I.1, on peut extraire les remarques suivantes concernant les
décharges de foudre descendantes négatives:
- Les amplitudes du courant du premier arc en retour sont supérieures à
celles des arcs en retour subséquents.
- La valeur maximale de la variation du courant dans le cas d’un arc
subséquent est supérieure à celle du premier arc en retour.
- Le temps de montée du courant de l’arc en retour subséquent est plus
rapide que celui d’un courant du premier arc en retour.
- La durée de l’impulsion du courant de l’arc en retour subséquent est
inférieure à celle du premier arc en retour.
I.5.3 Vitesse de l’arc en retour [7]
La vitesse moyenne des arcs en retour est de l’ordre du tiers de la vitesse
de la lumière. La vitesse des arcs en retour subséquents est en général plus
grande que celle des arcs en retour premiers. D’autre part, il a été mis en
évidence que la vitesse de l’arc, tant pour les premiers que les subséquents,
décroît en fonction de la hauteur ; cette décroissance est plus marquée pour les
premiers arcs en retour.
I.5.4 Caractéristiques du champ électromagnétique [16]
a) Distances supérieures à 1km
Les caractéristiques du champ électrique et du champ magnétique en
fonction de la distance du point d’impact sont présentées respectivement à la
figure I.8 ci-après. Les courbes en trait continu correspondent aux premiers
arcs en retour et celles en traits discontinus aux arcs en retour subséquents.
On remarque que, pour des distances de quelques kilomètres : Le champ
électrique vertical, après quelques dizaines de microsecondes, est dominé par
la composante électrostatique du champ électrique total, c’est la seule
composante du champ électrique qui n’est pas nulle après que le courant de
l’arc en retour cesse de se propager le long du canal de foudre. La composante
azimutale du champ magnétique, pour des temps similaires, est dominée par la
17
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
composante magnétostatique du champ magnétique total, la composante qui
présente des bosses (hump) du champ magnétique.
CHAMP ELECTRIQUE VERTICAL
DENSITE DU FLUX MAGNETIQUE
Figure I.8 : Formes typiques temporelles du champ électrique vertical et
magnétique azimutale pour des distances varient entre 1 et 200 km [7]
18
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
D’après la figure I.8 on peut extraire les remarques suivantes:
•
Le champ électromagnétique présente pour toute distance comprise entre
1 km et 200 km un premier pic, dont l'intensité est approximativement
inversement proportionnelle à la distance.
•
A des distances relativement proches, le champ magnétique présente une
bosse à environ 30 µs, alors que le champ électrique a une croissance en
rampe après son pic initial.
•
Les champs électriques et magnétiques lointains (distance supérieure à
environ 50 km) ont essentiellement la même forme d'onde, et présentent une
inversion de polarité.
A cause de la raideur des fortes impulsions du champ électromagnétique
rayonné par l’arc en retour, la foudre est une contrainte majeure pour tout
élément électrique ou électronique exposé à ce champ. Le calcul de ce champ
électromagnétique fera l’objet du prochain chapitre.
b) Distances inférieures à 1 Km
Les mesures du champ électromagnétique rayonné par la foudre à des
distances proches (inférieures à 1 Km) sont faites en utilisant la technique du
déclenchement artificiel de la foudre. Les mesures des champs électriques à 30
m et 500 m du canal de foudre sont présentées dans la référence [4].
Dans la figure (I.9), on montre une représentation schématique de la
campagne expérimentale qui s’est déroulée durant l’été de l’année 1991 à la
NASA au Centre Spatial Kennedy (Kennedy Space Center).
19
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
Figure I.9 : Campagne expérimentale de mesure du champ électrique vertical à
500 m et 30 m [4].
Rubinstein et al ont analysé 40 formes d’ondes du champ électrique à
500 m et 30 m. La figure I.10 donne l’allure du champ électrique vertical
mesuré à 500 m, correspondant à la phase traceur-arc en retour. La durée de
l’onde est de 800 µs. Cette durée s’explique par le fait que l’ionisation du canal
de foudre par le traceur modifie sensiblement le champ électrique vertical, avec
une augmentation lente de la pente négative de la courbe du champ électrique.
Cette caractéristique n’est pas perceptible pour les longues distances, dans
lesquelles la progression du traceur reste pratiquement invisible.
Le commencement de la neutralisation des charges dans le canal par
l’arc en retour est probablement associé avec le commencement de la
progression positive et rapide du champ électrique vertical (Figures I.10 et
I.11).
20
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
Figure I.10 : Champ électrique vertical mesuré à 500 m du point d’impact de la foudre.
Les flèches indiquent le commencement de la phase de l’arc en retour [4].
Figure I.11 : Champ électrique vertical mesuré à 30 m du point d’impact de la foudre.
Les flèches indiquent le commencement de la phase de l’arc en retour [4].
21
Chapitre I
Description phénoménologique expérimentale de la foudre
I.6 Conclusion
Dans ce chapitre, il était question d’introduire les principaux aspects
théoriques traité dans ce travail. Ainsi, nous avons présenté quelques
définitions de la comptabilité électromagnétique (CEM). Par la suite, les
principale facettes physiques et expérimentales du phénomène de foudre on été
exposés. Dans le chapitre suivant, nous allons aborder la modélisation
mathématique de ce phénomène.
22
Chapitre II
Modélisation et Simulation Spatio-temporelle du
Courant de Foudre
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
II.1 Introduction
La connaissance et la caractérisation du champ électromagnétique (EM)
rayonné par la foudre permettent une meilleure protection des systèmes
électriques et électroniques contre les perturbations engendrées par la foudre. Les
variations les plus brutales et de grandes amplitudes du champ émis ont lieu lors
de la phase de l’arc en retour. Plusieurs modèles de l’arc en retour, avec différents
degrés de complexité, ont été développés par plusieurs chercheurs afin de
permettre l’évaluation de son rayonnement électromagnétique [45].
En général, l’évaluation des perturbations électromagnétiques associées au
processus de l’arc en retour nécessite :
1. la caractérisation et la représentation du courant à la base du canal de
foudre,
2. la détermination de la distribution spatio-temporelle du courant le long du
canal de foudre (modélisation de l’arc en retour),
3. le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre,
4. la modélisation du couplage champ électromagnétique-système électrique.
Le dernier point ne sera pas traité dans ce mémoire car il ne fait partie du
cahier de charges établi pour ce sujet. Ainsi au début de ce chapitre
on
présentera la formulation, la plus utilisée dans la littérature, du champ
électromagnétique généré par un coup de foudre, au dessus et en dessous d’un sol
et les approximations liées à la prise en compte de la conductivité finie du sol, on
passera ensuite à la description des différents modèles de l’arc en retour, on
s’intéressera en particulier aux modèles selon lesquels il existe une relation
relativement simple entre la distribution du courant le long du canal et le courant
à la base du canal , cette description sera suivie par la caractérisation et la
représentation du courant à la base du canal et on terminera par des validations
expérimentales de quelques modèles de l’arc en retour.
23
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
II.2 Formulation du Champ Electromagnétique Rayonne par la Foudre
II.2.1 Champ Électromagnétique au Dessus du Sol
II.2.1.1 Equations Générales
Le problème complet du rayonnement électromagnétique d’un dipôle
au
dessus d’un plan conducteur a été traité par A.Baños en 1966 en déterminant la
solution des équations de Maxwell pour chaque milieu en accord avec les
conditions aux limites sur l’interface air sol [4].
En coordonnées cylindriques, les équations du champ, créé par un dipôle
électrique placé à une hauteur z’, sont données par les expressions
suivantes
dans le domaine fréquentiel [7] (voir figure II.1) :
dE r ( r , z , jω ) =
jω I ( z ' ) μ 0 dz '
4π k 22
⎤
⎡ ∂2
2
⎢ ∂ r ∂ z ( G 22 − G 21 + k 1 V 22 ) ⎥
⎦
⎣
(II.1)
dE z ( r , z , jω ) =
jω I ( z ' ) μ 0 dz '
4π k 22
⎤
⎡ ∂2
2
2
⎢ ( ∂ z 2 + k 2 )( G 22 − G 21 + k 1 V 22 ) ⎥
⎦
⎣
(II.2)
dH φ ( r , z , jω ) =
− I ( z ' ) dz '
4π
⎤
⎡∂
2
⎢ ∂ r ( G 22 − G 21 + k 1 V 22 ) ⎥
⎦
⎣
(II.3)
Avec :
∞
'
G 21
e jk 2 Rr
e −γ 2 ( z + z )
=
=∫
J 0 ( λ r ) λ dλ
γ2
Rr
0
G 22
e jk 2 Rd
e 2
=
=∫
γ2
Rd
0
V 22
2 e −γ 2 ( z + z )
=∫ 2
J 0 ( λ r ) λ dλ
2
0 k 2 γ 1 + k1 γ 2
∞
∞
−γ
(II.4)
z' −z
(II.5)
J 0 ( λ r ) λ dλ
'
(II.6)
et
Rr = r 2 + ( z ' + z) 2
Rd = r 2 + ( z ' − z) 2
γ 1 = λ 2 − k 12
γ 2 = λ 2 − k 22
k 1 = ω 2 μ g ε g + jωμ 0σ g
k 2 = ω μ 0ε 0
Les paramètres µg, εg et σg étant respectivement la permittivité diélectrique,
la perméabilité magnétique et la conductivité électrique du sol.
24
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
J0 : est la fonction de Bessel d’ordre 0.
I (z’) désigne la transformée de Fourier de la distribution du courant le long
du canal.
L’air σ = 0
i(z’,t)
Rd
P(r, φ ,z)
r
H
Z’
Z
Image
-Z’
Rr
Le sol σ = ∞
-H
Figure II.1 : Grandeurs géométriques intervenant dans les équations du
champ électromagnétique avec le canal de foudre et son Image.
Les expressions (II.4) à (II.6) sont connues sous le nom d’intégrales de
Sommerfeld, exprimant ainsi, l’interaction de la source électromagnétique avec le
sol [7]. Du point de vue numérique, ces
intégrales se distinguent comme une
tache délicate du fait de la lenteur de leur convergence [2]. De plus, le passage du
domaine fréquentiel au domaine temporel du champ électromagnétique nécessite
une transformée de Fourier inverse qui peut poser parfois certains problèmes
d’ordre numérique.
II.2.1.2 Cas d’un sol parfaitement conducteur
Utilisant l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur, le calcul du champ
électromagnétique devient plus simple. Dans ce cas, les composantes des champs
électrique et magnétique en un point P(r, φ ,z) (Figure II.1) générées par un petit
segment infinitésimal dz’ à la hauteur z’ portant un courant i(z’,t) peuvent être
calculées dans le domaine temporel par les relations suivantes [20] :
25
Chapitre II
Er (r, z, t) =
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
H
t
H
H
1 ⎡ 3r(z − z' )
3r(z − z' ) '
r2 ∂i(z' , t − R / c) ' ⎤
'
'
'
−
+
−
−
(
,
/
)
(
,
/
)
i
z
τ
R
c
d
τ
dz
i
z
t
R
c
dz
dz ⎥
⎢
∫0
∫ cR4
∫ c2R3
∂t
4πε0 ⎣−∫H
R5
−H
−H
⎦
Ez (r, z,t) =
(II.7)
H
t
H
H
1 ⎡ 2(z − z' ) −r2
2(z − z' )2 −r2 '
r(z − z' ) ∂i(z' ,t − R/ c) ' ⎤
'
'
'
τ
τ
i
(
z
,
R
/
c
)
d
dz
i
(
z
,
t
R
/
c
)
dz
dz ⎥ (II.8)
−
+
−
−
⎢
∫0
∫−H cR4
∫−H c2R3
4πε0 ⎣−∫H
R5
∂t
⎦
H
μ0 ⎡ H r
r ∂i ( z ' , t − R / c ) ' ⎤
'
'
BΦ ( r , z , t ) =
i ( z , t − R / c ) dz + ∫
dz ⎥
⎢
cR 2
∂t
4π ⎣ −∫H R 3
−H
⎦
(II.9)
Avec :
R = (z − z ' )2 + r 2
i( z ' , t ) : est le courant porté par le dipôle dz ' à l’instant t.
Où
ε0 : représente la permittivité diélectrique du vide,
µ0 : est perméabilité magnétique du vide,
c : désigne la vitesse de la lumière,
R : la distance du dipôle au point d’observation.
r : la distance horizontale entre le canal de foudre et le point d’observation P.
Les trois termes intervenant dans les équations (II.7) et (II.8) représentent
respectivement les champs électrostatiques, d’induction et de rayonnement,
tandis que le premier terme de l’équation (II.9) représente le champ d’induction et
le second est le champ de rayonnement.
Le champ électrique vertical et le champ magnétique sont pratiquement
indépendants de la hauteur z du point d’observation.
II.2.1.3 Validation de l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur
Bien que cette hypothèse permette une simplification des équations du
champ, elle n’est pas toujours valable. Pour des distances ne dépassant pas
quelques kilomètres, elle est une approximation raisonnable dans le calcul du
champ électrique vertical et le champ magnétique azimutal comme il a été montré
par plusieurs auteurs. [24,25,26]. Quant à la composante horizontale du champ
électrique, elle est beaucoup plus
affectée par la conductivité finie du sol
[27,28,29]. Pour les distances supérieures à plusieurs kilomètres, la propagation
au dessus
d’un sol de conductivité finie n’est plus négligeable et a pour
conséquence majeure une atténuation des composantes hautes fréquences, qui
26
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
se traduit par une diminution de la valeur de pic et de la raideur du front du
champ électromagnétique [7].
II.2.1.4 Approximation de Cooray-Rubinstein
La prise en compte rigoureuse de la conductivité finie du sol implique des
équations de champ électromagnétique complexes contenant des intégrales
lentement
convergentes
(Intégrales
de
Sommerfeld).
Plusieurs
formules
simplificatrices ont été développées dans la littérature pour palier à ce problème,
l’approximation la plus simple, pour des temps de calcul raisonnables avec une
bonne précision est connue sous le nom de « l’approximation de CoorayRubinstein ». Le champ électrique horizontal rayonné par la foudre, calculé en un
point situé au dessus d’un sol de conductivité finie s’exprime par l’expression
suivante ( [25], [30]) :
E r ( r , z , jω ) = E rp ( r , z , jω ) − H φp ( r ,0, jω ).
μ0
(II.10)
ε g + σ g / jω
Où
p : est un indice indiquant que le sol est parfaitement conducteur;
Erp (r, z, jω ), Hp (r, 0, jω) désignent respectivement, les transformées de Fourier
du champ électrique horizontal à une hauteur z au dessus du sol et du champ
magnétique au sol (le calcul de ces deux champs se fait en
supposant un sol
parfait).
Si la conductivité du sol est élevée, l’expression (II.10) peut être simplifiée
comme suit :
Er (r , z , jω ) = Erp (r , z, jω ) − Hφ p (r , 0, jω ).
1+ j
σ s .δ s
(II.11)
Avec
δs: Épaisseur de peau, s’exprime par l’expression suivante
δs =
2
ωσ s μs
La formule de Cooray-Rubinstein permet d’obtenir des approximations
satisfaisantes du champ pour toutes les distances considérées [25]. En plus,
parmi toutes les formules simplificatrices, elle est la seule à reproduire l’inversion
de polarité du champ à moyenne distance [25]. Récemment, [31] a proposé une
27
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
petite modification dans le terme du champ électrique horizontal au dessus d’un
sol parfait de l’expression (II.10). Cette modification a pour but l’amélioration de
l’approximation :
Erp (r , z, jω ) = ( Erp (r , z, jω )) S + ( Erp (r , z, jω ))i + 0.4( Erp (r , z, jω )) r
(II.12)
Les indices : s, i et r désignent respectivement, les composantes :
électrostatique, d’induction et de rayonnement.
Dans la référence [31], Cooray rapporte qu’une erreur de plus de 25% est
observée sur le pic initial du champ horizontal calculé à une hauteur de quelques
dizaines
de
mètres
par
l’expression
(II.10).
La
petite
correction
sur
l’approximation, minimise l’erreur à moins de 5%.
II.2-2 Champ électromagnétique en dessous du sol
Les expressions générales du champ électrique en un point situé en dessous
d’un sol de conductivité finie généré par un dipôle au dessus du
développées dans les années soixante par A.Baños. La
figure II.2 présente la
géométrie du problème [23].
Figure II.2 : Géométrie du problème lié au calcul du champ
électromagnétique en dessous du sol
28
sol ont été
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
Les équations du champ développées par A.Baños sont écrites
domaine fréquentiel et contiennent des intégrales de Sommerfeld.
dans le
L’évaluation
numérique directe de ces équations n’est pas recommandée surtout dans le cas
d’un couplage du champ avec un câble souterrain.
II.2.2.1 Formule de Cooray
En 2001, Cooray [32] a proposé des expressions plus simples du champ
électromagnétique en dessous du sol, en fonction du champ au sol :
E z ( jω , r , d ) = E z ( jω , r ,0)
ε 0e
−kg d
(II.13)
σ g + jωε g
E r ( jω , r , d ) = E r ( jω , r ,0)e
−k g d
H φ ( jω , r , d ) = H φ ( jω , r ,0)e
(II.14)
−k g d
(II.15)
avec
kg =
jωμ 0σ g − ω 2 μ 0 ε g
(II.16)
Au sol, le champ électrique vertical et le champ magnétique azimutal,
peuvent être calculés en utilisant l’hypothèse d’un sol parfait, le champ électrique
radial se calcule par l’approximation de Cooray-Rubinstein. Les expressions
(II.13)-(II.15) sont données dans le domaine fréquentiel, le passage au domaine
temporel s’effectue en utilisant une Transformée de Fourier Inverse.
En 2004, Petrache dans [21], a fait une comparaison entre les expressions
simplifiées de Cooray et les solutions numériques exactes publiées par Zeddam
[29]. Le point d’observation est situé à une distance de 100 m du canal de foudre
à deux profondeurs en dessous du sol (1 m et 10 m) et pour deux valeurs de
conductivités du sol : 0.01 S/m et 0.001 S/m. Il a trouvé que l’approximation de
Cooray donne des résultats très satisfaisants.
29
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
II.3 Modélisation du courant de foudre
Au début, on présentera les différents modèles du courant à la base du
canal, et on passera en suite à la modélisation de la distribution spatio-temporelle
du courant le long du canal.
II.3.1 Modèles du courant à la base du canal de foudre
Différentes expressions analytiques sont utilisées dans la littérature afin de
simuler l’allure du courant de foudre. Le but de telles expressions est l’application
dans le calcul du rayonnement électromagnétique, pour cela, une brève
description est donnée sur les modèles les plus utilisés.
II.3.1.1 Modèle bi-exponentiel [19]
C’est le premier modèle adopté et le plus utilisé dans la littérature [19]. Le
premier arc en retour et l’arc en retour subséquent respectivement sont
représentés par les équations (II.17) et (II.18) :
- Premier arc en retour :
(II.17)
- Arc en retour subséquent :
(II.18)
Le tableau II.1 présente les paramètres de ces deux fonctions. Ces
paramètres, liés au temps de montée, à la valeur de crête et à la durée de
l’impulsion du courant, ont été déterminés de manière à reproduire le plus
fidèlement possible les courbes expérimentales moyennes, obtenues par Berger et
al.[14].
Tableau II.1 Paramètres des fonctions exponentielles simulant le courant
de foudre à la base du canal [14]
I01 (KA)
α (s-1)
β(s-1)
I02 (KA)
γ (s-1)
δ (s-1)
Premier arc en retour
33.7
92 103
4 105
-
-
-
Arc en retour subséquent
14.3
18 104
3 106
10
104
9.4 104
La figure II.3 présente les formes normalisées du courant du premier arc en
retour et celui de l’arc en retour subséquent sur une durée de 50 µs. Ces formes
30
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
sont obtenues en utilisant le modèle bi-exponentiel du courant à la base du canal
1
1
0.8
0.8
i/imax
i/imax
de foudre et en adoptant les paramètres du tableau II.1.
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
Temps en microS (us)
35
40
45
0
50
0
5
10
15
20
25
30
Temps en (us)
35
40
45
50
Figure II.3 : Courant à la base du canal de foudre (normalisé), correspondant
au premier arc en retour et à l’arc en retour subséquent, calculés à l’aide du
modèle bi-exponentiel.
II.3.1.2 Modèle d’Heidler [8]
Dans la référence [8], Heidler a proposé une autre expression analytique
pour obtenir une forme du courant à la base du canal de foudre proche de celle
mesurée lors des campagnes expérimentales. Cette expression est donnée par
l’équation suivante:
(II.19)
Avec :
: Amplitude du courant ;
: Temps de montée de l’impulsion du courant ;
: Durée d’impulsion du courant ;
: Exposant variant de 2 à 10;
: Facteur de correction de l’amplitude du courant donné par :
(II.20)
Cependant; dans plusieurs travaux [42,43], une somme de deux fonctions
d’Heidler de type (II.19) représente mieux le premier pic typique du courant d’arc
en retour subséquent :
31
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
(II.21)
Avec :
(II.22)
(II.23)
I1 et I2 : désignent
courant i au sol,
respectivement les amplitudes des composantes i1, i2
du
τ11 , τ12 : désignent respectivement les temps de montée des composantes i , i du
1 2
courant i au sol,
η1 : paramètre défini par l’expression (II.24) de telle manière que le maximum de i
1
soit I1,
η2 : paramètre défini par l’expression (II.25) de telle manière que le maximum de i
2
soit I2,
n1 , n2 : nombres entiers compris dans l’intervalle [2…10].
η 1 = e x p ⎡⎣ -( τ 1 1 / τ 1 2 )( n 1τ 1 2 / τ 1 1 ) 1 / n ⎤⎦
1
(II.24)
η 2 = exp ⎡⎣ -(τ 21 / τ 22 )(n 2τ 22 / τ 21 )1/ n ⎤⎦
2
(II.25)
Le tableau II.2 présente les paramètres de la fonction d’Heidler pour simuler
des arcs en retour typiques (premier arc en retour et arc en retour subséquent).
Tableau II.2 Paramètres du courant à la base du canal de foudre en
adoptant la fonction d’Heidler [8]
I01
(KA)
τ11(μs)
τ21(μs)
n1
I02
(KA)
τ12(μs)
τ22(μs)
n2
Premier arc en retour
28
1.8
95
2
-
-
-
2
Arc en retour subséquent
10.7
0.25
2.5
2
6.5
2.1
230
2
La figure II.4 donne à titre d’exemple les formes du courant du premier arc
en retour et celui de l’arc en retour subséquent sur une durée de 50 µs. Ces
formes sont obtenues en utilisant le modèle d’Heidler du courant à la base du
canal de foudre et en adoptant les paramètres du tableau II.2.
32
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
x 10
3
4
2.5
I en Ampere
2
1.5
1
0.5
Arc en retour
Arc en retour s ubs équent
0
0
10
20
30
t en microseconde
40
50
Figure II.4 : Courant à la base du canal de foudre, correspondant au premier
arc en retour et à l’arc en retour subséquent, calculés à l’aide du modèle
d’Heidler.
L’expression (II.19), permet d’obtenir :
• Une dérivée nulle pour t = 0, ce qui correspond mieux aux observations
expérimentales, contrairement à la fonction bi-exponentielle, habituellement
utilisée.
• L’ajustement de l’amplitude du courant, de sa dérivée maximale et de la
quantité
de
paramètres
charge
transférée
en
variant
presque
indépendamment
les
, , .
II.3.1.3 Modèle hybride (Heidler - bi-exponentiel) [22]
En 1990, Nucci et al. [22] ont proposé un modèle hybride comprenant la
fonction d’Heidler et la fonction bi-exponentielle. Ce modèle s’exprime à l’aide de
l’expression suivante :
(II.26)
Selon ces auteurs cette expression est particulièrement appropriée pour
l’approximation du front du courant à la base du canal.
33
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
Le tableau II.3 donne les paramètres de l’expression (II.26) correspondant à
un courant mesuré lors d’une campagne de déclenchement artificiel de la foudre
[27]. Ce courant est caractérisé par un pic de 11 kA et un pic de la dérivée du
courant d’environ 105 kA/μs figures II.5 et II.6.
Tableau II.3 Paramètres du courant à la base du canal correspondant à
l’expression (II.21) [22]
I01 (KA)
9.9
τ1(μs)
0.072
τ2(μs)
5
n
2
I02 (KA)
7.5
τ3(μs)
100
τ4(μs)
6
12000
10000
i en Ampere
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
4
5
6
t en microseconde
7
8
9
10
Figure II.5 : Courant à la base du canal de foudre, calculés à l’aide du
modèle hybride.
4
12
x 10
di/dt en Ampere/microseconde
10
8
6
4
2
0
-2
0
1
2
3
4
5
6
t en microsecond
7
8
9
10
Figure II.6 : La dérivée du courant à la base du canal de foudre, calculés à
l’aide du modèle hybride.
34
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
Les figures II.5 et II.6 présentent respectivement les allures du courant d’arc
en retour et sa dérivée par rapport au temps obtenues à l’aide du modèle hybride.
Les paramètres de ce courant sont motionnés dans le tableau II.3
II.3.2 Modélisation de la distribution spatio-temporelle des courants d’arcs
en retour le long du canal
Durant les dernières décennies, plusieurs modèles de l’arc en retour avec
différents degrés de complexité ont été développés. Ces modèles ont fait l’objet de
plusieurs revues ces dernières années. Ainsi, dans la référence [28], les modèles
de l’arc en retour sont classés en quatre catégories :
Modèles physiques,
Modèles électromagnétiques,
Modèles RLC,
Modèles d’ingénieur.
Dans ce travail, nous utilisons les modèles d’ingénieur pour deux raisons
essentielles :
-
La première est liée au faible nombre de paramètres ajustables caractérisant
ces modèles.
-
La deuxième raison est liée au fait que la distribution spatio-temporelle du
courant le long du canal de foudre est reliée au courant à la base du canal par
une expression simple.
L’avantage de l’utilisation de ces modèles est qu’on dispose de données
expérimentales notamment celle du courant mesuré à la base du canal de foudre.
Ainsi, les trois premières classes ne faisant pas l’objet de notre travail, pour
connaître les détailles de ces derniers voire [4,28].
II.3.2.1 Modèle de la ligne de transmission TL
Ce modèle assimile le canal de foudre à une ligne de transmission sans
pertes où une impulsion de courant se propage à partir du sol à la vitesse de l’arc
en retour vf. Ce modèle fut présenté par Uman et Mclain en 1969 [33]. La
distribution du courant est définie par :
(II.27)
35
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
La figure II.7 donne une représentation tridimensionnelle (temps, altitude
dans le canal, courant) selon le modèle TL, dont le courant à la base du canal est
celui qui est représenté par la figure II.4 (arc en retour subséquent) avec une
vitesse vf fixée à 1.5 108 m/s.
12000
10000
15000
i(z',t) en Ampere
8000
10000
6000
5000
4000
50
40
0
8000
30
6000
2000
20
4000
10
2000
z' en metre
0
t en microS
0
0
Figure II.7 : Distribution spatio-temporelle du courant selon le modèle TL [38].
Etant donné que l’intensité du courant le long du canal de foudre reste
constante cela empêche tout transfert de charge entre le traceur et l’arc en retour.
Or, des résultats obtenus à partir d’observations optiques ont montré que
l’amplitude et la forme du courant changent en fonction de la hauteur et les
mesures des variations du champ électrique associé au traceur ont mis en
évidence que le traceur est bel et bien porteur d’une certaine densité de charge [7].
II.3.2.2 Modèle de la ligne de transmission modifiée MTL
a) Modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance linéaire
MTLL
Une modification du modèle TL a été proposée en 1987 par Rakov et Dulzon
[35]. Dans leur modèle appelé MTLL, la décroissance de l’amplitude du courant le
long du canal de foudre est linéaire. La distribution spatio-temporelle du courant
est définie par l’expression suivant :
(II.28)
36
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
Où
H : est la hauteur du canal de foudre.
La figure II.8 donne une représentation tridimensionnelle (temps, altitude
dans le canal, courant) selon le modèle MTLL, dont le courant à la base du canal
est celui qui est représenté par la figure II.4 (arc en retour subséquent) avec une
vitesse vf =150 m/µs et une hauteur H=8000 m.
10000
i(z',t) en Ampere
15000
8000
10000
6000
5000
4000
50
0
8000
40
30
6000
20
4000
10
2000
z' en metre
2000
0
0
t en microS
0
Figure II.8 : Distribution spatio-temporelle du courant selon le modèle MTLL [38].
b) Modèle de la ligne de transmission modifiée avec décroissance
exponentielle MTLE
Dans les travaux de Nucci et al. [19], Nucci et Rachidi [34], une autre
modification du modèle TL a été proposée afin de pallier ses défauts tout en
gardant sa simplicité. Ainsi, la nouvelle distribution spatio-temporelle du courant
le long du canal de foudre s’écrit selon ces auteurs comme suit :
(II.29)
Le paramètre α représente le taux de décroissance de l’intensité du courant
le long du canal, sa valeur a été déterminée par Nucci et Rachidi [34]. Elle est
comprise dans l’intervalle (1.5 et 2) km. A noter que le paramètre a été introduit
dans la formulation du courant le long du canal afin de prendre en compte le
transfert de charges entre le traceur et l’arc en retour.
37
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
La figure II.9 donne une représentation tridimensionnelle (temps, altitude
dans le canal, courant) selon le modèle MTLE, dont le courant à la base du canal
est celui qui est représenté par la figure II.4 (arc en retour subséquent) avec une
vitesse vf =150 m/µs et un taux de décroissance α = 2000 m.
10000
8000
i(z',t) en Ampere
15000
6000
10000
5000
60
4000
40
0
8000
2000
6000
20
4000
2000
0
z' en metre
0
t en microS
0
Figure II.9: Distribution spatio-temporelle du courant selon le modèle MTLE [38].
II.3.2.3 Modèle de Bruce et Golde BG
Il s’agit là d’un des premiers modèles dans le genre et probablement le plus
simple. Il a été développé par Bruce et Golde en 1941 [12]. En effet, ces auteurs
avaient modélisé le canal de foudre par une antenne verticale de très faible
section, parcourue par une impulsion de courant qui se propage à une vitesse
inférieure à la vitesse de la lumière, cette propagation ne subit ni déformation ni
atténuation, le courant i(z’,t) à des hauteurs inférieures au front de l’arc en retour
est égal au courant à la base du canal; à des hauteurs supérieures au front de
l’arc en retour, comme dans tous les autres modèles, le courant est nul:
(II.30)
La figure II.10 donne une représentation tridimensionnelle (temps, altitude
dans le canal, courant) selon le modèle BG, dont le courant à la base du canal est
celui qui est représenté par la figure II.4 (arc en retour subséquent) avec une
vitesse
vf =150 m/µs.
38
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
10000
8000
12000
i(z',t) en Ampere
10000
6000
8000
6000
4000
60
4000
2000
40
0
8000
2000
20
6000
4000
2000
z' en metre
0
0
t en microS
0
Figure II.10 : Distribution spatio-temporelle du courant selon le modèle BG [38].
II.3.2.4 Modèle de la source de courant mobile TCS
Selon ce modèle, proposé par Heidler en 1985 [8], les charges du traceur
sont instantanément neutralisées à l’arrivée du front de l’arc en retour. Une
source de courant, associée au front de l’arc en retour, parcours le canal du sol au
nuage, à la vitesse vf. Le courant injecté par cette source à la hauteur z’ est
supposé se propager dans le sens inverse à la vitesse de la lumière c, il atteint la
base du canal avec un retard égal à z’ /c. La formulation spatio-temporelle du
courant de foudre, selon ce modèle, s’écrit :
(II.31)
La figure II.11 donne une représentation tridimensionnelle (temps, altitude
dans le canal, courant) selon le modèle TCS, dont le courant à la base du canal est
celui qui est représenté par la figure II.4 (arc en retour subséquent) avec une
vitesse vf =150 m/µs.
39
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
i(z',t) en Ampere
10000
15000
8000
10000
6000
5000
60
40
0
8000
6000
4000
2000
20
4000
2000
z' en metre
0
0
t en microS
0
Figure II.11 : Distribution spatio-temporelle du courant selon le modèle TCS [38].
II.3.3 Généralisation des modèles d’ingénieur
Les modèles d’ingénieur les plus utilisés dans la littérature sont les modèles
TL, MTLE, MTLL, BG et TCS. Dans les références, [28] Rakov propose la
représentation de ces modèles à l’aide d’une seule expression. Cette dernière
s’écrit comme suit :
(II.32)
Où
u : est la fonction d’Heaviside égale à 1 pour
et à zéro autrement,
P(z’) : désigne un facteur d’atténuation du courant,
vf : est la vitesse de l’arc en retour (ou bien : vitesse de propagation du front
ascendant),
v : la vitesse de propagation de l’onde du courant de foudre.
Dans le tableau II.4, on donne les paramètres v et P(z’) pour les cinq
modèles d’ingénieur.
40
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
Tableau II.4 Les paramètres v et P(z’) pour cinq modèles d’ingénieur [4]
Model
P(z‘,t)
v
TL
1
vf
MTLL
z' ⎞
⎛
⎜1 − ⎟
H⎠
⎝
vf
MTLE
⎛ z' ⎞
exp⎜ − ⎟
⎝ λp ⎠
vf
BG
1
∞
TCS
1
-c
II.4 Distribution du courant dans une tour et le long du canal de
foudre [45,33]
II.4.1 Modèle de Rachidi et al.
Les modèles d’ingénieur initialement proposés dans le cas d’un arc en
retour initié du sol ont été récemment modifiés par Rachidi et al, pour prendre en
compte le cas d’un arc en retour initié à partir du sommet d’une tour. Rachidi et
al, ont représenté le canal par une source distribuée. La distribution du courant le
long de la tour (0 ≤ z’ ≤ h) et le long du canal de foudre (z’ ≥ h) (Figure II.12) est
représentée par les équations suivantes :
Pour 0 ≤ z’ ≤ h :
(II.33)
Pour z’ ≥ h :
(II.34)
Les équations (II.33) et (II.34) sont basées sur le concept du courant « non
contaminé » i0(t), qui représente le courant idéal qui serait mesuré au sommet de
la tour si les coefficients de réflexion à ses deux extrémités sont nuls.
41
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
Figure II.12 : Propagation du courant le long de la tour et le long du canal de
foudre [45].
Dans (II.33) et (II.34), h est la hauteur de la tour,
et
sont
respectivement les coefficients de réflexion du courant au sommet et à la base de
la tour, c est la vitesse de la lumière, v est la vitesse du front de l’arc en retour, v*
est la vitesse de propagation de l’onde du courant, P(z’) est un facteur
d’atténuation du courant, u(t) est une fonction unité, n représente le nombre de
réflexions aux deux extrémités de la tour.
Les expressions de P(z’) et v* pour les modèles d’Ingénieur les plus utilisés
sont données dans le tableau (II.4).
II.4.2 Modèle de Baba et Rakov
En 2005, Baba et Rakov ont proposé une autre approche basée sur
l’utilisation d’une série de sources de tension dans la jonction tour-canal. Ils ont
montré qu’une telle représentation est équivalente à celle de Rachidi et al. Dans
leur représentation, Baba et Rakov ont exprimé la distribution du courant le long
de la tour et le long du canal de foudre en terme du courant de court-circuit
, qui est relié au courant ‘non contaminé’ par :
(II.35)
Les équations du courant de l’arc en retour i(z’,t) le long de la tour (0 ≤ z’ ≤
h) et le long du canal de foudre (z’ ≥ h) développées par Baba et Rakov s’écrivent
comme suit :
42
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
Pour 0 ≤ z’ ≤ h :
(II.36)
Pour z’ ≥ h :
(II.37)
Les équations (II.36) et (II.37) montrent que des ondes de courant d’une
, sont initialement injectées, simultanément,
même amplitude,
dans le canal de foudre et dans la tour.
On note que les équations (II.36) et (II.37) sont identiques aux équations
(II.33) et (II.34) écrites en termes de courant ‹‹ non contaminé ››
.
II.4.3 Exemple d’illustration :
La figure (II.13) présente le courant ‹‹ non contaminé ›› i0(t) utilisé dans cet
exemple.
12000
courant en Ampére (A)
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
5
10
15
20
25
30
Temps en microS (us)
35
40
45
Figure II.13 : Courant ‹‹ non contaminé ››
43
50
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
Ce courant, modélisé par Nucci et al comme la somme d’une fonction
d’Heidler et une fonction exponentielle qui s’exprime dans le paragraphe II.3.1.3.
A partir de ce courant, on calcule la distribution spatio-temporelle du
courant le long de la tour et le long du canal de foudre en utilisant les équations
(II.33) et (II.34).
La tour est de hauteur : h=168 m (correspondant à la tour Peissenberg),
avec les paramètres de réflexion du courant au sommet et à la base de la tour :
et
. [45,33]
La figure (II.14) présente la distribution du courant en adoptant les modèle
d’ingénieurs avec
=2000m. La vitesse de l’arc en retour est supposée égale à
150m/μs. La distribution du courant est tracée pour 9 instants.
44
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
2000
2000
1800
1800
1600
1600
1400
1400
1200
1200
z'(m )
z '(m )
Chapitre II
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
0
0
0
0.5
1
1.5
2
Courant i(z',t) en (KA)
2.5
3
0
0.5
1
4
x 10
1.5
2
courant i(z',t) en (KA)
2000
2000
1800
1800
1600
1600
1400
1400
1200
1200
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
0
0
0.5
1
1.5
2
Courant i(z',t) en (KA)
3
4
10
(b)
z'(m)
z'(m)
(a)
2.5
2.5
0
3
0
4
x 10
0.5
1
1.5
2
Courant i(z',t) en (KA)
(c)
2.5
3
4
x 10
(d)
2000
1800
Figure II.14 Distribution spatiale
1600
du courant le long du canal a
1400
l’instants (t=1, 2,…10) µs pour les
z'(m)
1200
1000
cinq
800
d’ingénieurs :
(a)
Model TL, (b) Model BG, (c) Model
600
MTLL, (d) Model MTLE.[45]
400
200
0
modèles
0
0.5
1
1.5
2
Courant i(z',t) en (A)
2.5
3
4
x 10
(e)
45
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
On observe sur la figure (II.14) une discontinuité au front du courant de l’arc en
retour. Cette discontinuité est due au fait que le courant injecté au sommet de la
tour se divise en deux, un premier courant qui se propage le long du canal de
foudre avec la vitesse de l’arc en retour v et un deuxième courant qui se propage
vers le sol, le long de la tour, avec la vitesse de la lumière c. Après les réflexions à
la base et au sommet de la tour, une partie du deuxième courant va être
transmise au canal de foudre; cette onde transmise, qui est supposée se propager
avec la vitesse de la lumière, trouve sur son chemin le front de l’arc en retour
(premier courant) se propageant à une vitesse inférieure à la vitesse de la lumière,
ce qui est physiquement inconcevable ( l’onde transmise n’est pas autorisée à être
au devant du front de l’arc en retour). Cette observation a été soulevée par
Pavanello et al.
Lors de la comparaison des différentes distributions du courant prédites par
cinq modèles d’Ingénieur. Comme solution à ce problème, ces auteurs ont
suggéré l’ajout d’un terme additionnel, appelé ‹‹ turn-on term ››, dans les équations
du champ électromagnétique [45].
Les figures (II.15) et (II.16) nous donnent les formes d’ondes du courant au
sommet (168 m) et à la base de la tour (0 m). Les effets des réflexions multiples
aux deux extrémités de la tour sont clairement visibles dans les formes d’ondes.
On peut voir aussi que le courant à la base de la tour a une valeur du pic élevée
due à la contribution de l’onde réfléchie au niveau du sol [40][45].
4
4
3
x 10
2.5
2
Courant en Ampére (A)
Courant en Ampére (A)
2.5
2
1.5
1
1.5
1
0.5
0.5
0
x 10
0
5
10
15
20
25
30
Temps en (us)
35
40
45
50
Figure II.15 : Courant à la base de la tour
0
0
5
10
15
20
25
30
Temps en (us)
35
40
45
50
Figure II.16 : Courant au sommet de la tour
46
Chapitre II
Modélisation et simulation spatio-temporelle du courant de foudre
II.5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons présenté la modélisation du courant d’arc en
retour lorsque la foudre frappe le sol ou la tour. Les conclusions qu’on peut tirer
sont les suivantes :
¾ Les deux modèles de Heidler et bi-exponentielle reproduis bien la forme d’un
courant de foudre typique mesuré à la base du canal. Par ailleurs l’expression
d’Heidler par rapport à la bi-exponentielle correspond mieux à l’observation
expérimentale car sa dérive devient nulle à t=0.
¾ La détermination du champ électromagnétique rayonné nécessite la
connaissance de la distribution du courant le long du canal.
¾ Parmi
tous
les
modèles
proposés
dans
la
littérature,
les
modèles
d’ingénieurs sont caractérisés par un petit nombre de paramètres ajustables. De
plus, dans ces modèles, la distribution spatio-temporelle du courant le long du
canal de foudre est reliée au courant à la base du canal par une simple
expression. L’avantage de l’utilisation de ces modèles est qu’on dispose des
données du courant mesuré à la base du canal de foudre.
¾ Les modèles d’ingénieurs ont été récemment modifiés pour prendre en
compte le cas d’un arc en retour initié à partir du sommet d’une tour.
¾ Les expressions de Baba et Rakov sont identique aux expressions de Rachidi
et al écrite en termes de courant « non contaminé ».
¾ La présence de la tour nécessite une distribution de courant au sommet et à
la base de la tour, de plus la présence des coefficients de réflexion sont clairement
visibles.
47
Chapitre III
Calcul du Champ Electromagnétique Rayonné
par un Coup Foudre
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.1 Introduction
Le nombre des installations électriques situées au dessus du sol a augmenté
au cours de ces dernières années, et ces dispositifs sont très sensibles à l'effet des
champs électromagnétiques de la foudre, en raison de la présence massive de
dispositifs
d'électronique
de
puissance.
En
conséquence,
la
communauté
scientifique a consacré beaucoup d'efforts dans la direction d’une modélisation plus
précise de la foudre et leur couplage avec les câbles enterrés. Les expressions
exactes du champ électromagnétique rayonné par la foudre en dessous d’un sol
imparfait ont été obtenues par les intégrales de Sommerfeld [5, 4]. Cependant, leur
évaluation numérique est une tâche difficile à cause de la lenteur de convergence de
ces derniers. Ainsi, plusieurs approches analytique et numérique ont été
développées pour remédier à ce problème.
Dans ce chapitre, on analyse l’environnement électromagnétique au voisinage
d’un canal de foudre. Les composantes du champ électromagnétique sont évaluées
au-dessus et en dessous d’un sol, caractérisé par une conductivité finie. Les calculs
sont obtenus par le développement de l’approximation de Cooray [44] dans le
premier calcul, dans la seconde on présente l’algorithme de delfino et al [5].
III.2 Calcul du champ électromagnétique généré par la foudre [44]
La prise en compte rigoureuse de la conductivité finie du sol implique des
équations de champ électromagnétique complexes contenant des intégrales
lentement
convergentes
(Intégrales
de
Sommerfeld).
Plusieurs
formules
simplificatrices ont été développées dans la littérature pour palier à ce problème,
l’approximation la plus simple, pour des temps de calcul raisonnables avec une
bonne précision est connue sous le nom de «l’approximation de Cooray-Rubinstein».
Le champ électrique horizontal rayonné par la foudre, calculé en un point situé au
dessus d’un sol de conductivité finie s’exprime par l’expression suivante (Rubinstein
[25], Cooray [32, 30]) :
E r ( D , z , j ω ) = E rp ( D , z , j ω ) − H φ p ( D , 0 , j ω )
μ0
εg +σ
g
/ jω
Où
P : est un indice indiquant que le sol est parfaitement conducteur
48
(III.1)
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Erp (D, z, jω,), H φp ( D,0, jω ) : désignent respectivement, les transformées de Fourier du
champ électrique horizontal à une hauteur z au dessus du sol et du champ
magnétique au sol (le calcul de ces deux champs se fait en supposant un sol
parfait).
Les équations du champ électromagnétique d’un sol parfaitement conducteur
(II.7, 8, 9) sont mis en application dans le programme pour calculer les composants
de champ électromagnétique à une distance D et la hauteur z du point
d’observation. La formule de Cooray-Rubinstein (eq.III.1) est employée pour calculer
la partie horizontale du champ électrique.
Un des objectifs du travail actuel est d'analyser l'influence de l’arc en retour
de la foudre au-dessus d'une ligne de transmission. Par conséquent les équations
pour les composants de champ à une distance D et à la profondeur s en dessous de
sol sont exigées. De telles équations ont été récemment présentées par Cooray [30].
Il donne les équations suivantes pour les composants de champ dans le domaine
fréquentiel en supposant un sol de conductivité finie, sur la surface et la profondeur
s en dessous du sol [44, 37].
θ
Figure III.1 : Géométrie adoptée pour le calcul du champ électromagnétique
rayonné par un Coup de foudre vertical.
49
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Rappelons que le modèle de distribution du courant le long du canal de
foudre est le modèle MTLE (le modèle cité au deuxième chapitre) où son expression
dans le domaine fréquentiel s’écrit comme suivant :
(III.2)
Avec :
: La transformée de Fourier du courant d’une altitude dans le canal
.
: La transformée de Fourier du courant a la base du canal.
α : Le taux de décroissance de l’intensité du courant le long du canal.
E z ,σ ( D , 0 , j ω ) =
H
1
4π ε 0
1
H φ ,σ ( D ,0 , j ω ) =
4π
∫ I ( z , j ω ). e
'
0
H
∫ I ( z , j ω ). e
'
− jω R / c
0
E r ,σ ( D ,0 , j ω ) = c μ 0 H φ ,σ ( D , 0 , j ω )
E z ,σ ( D , s , j ω ) = E z ,σ ( D ,0 , j ω )
]
(III.3)
cos θ
j ω . (1 + Γ ) + (1 − Γ ) F ( w , z ' ) dz '
cR
(III.4)
− jω R / c
[
cos 2 θ
j ω . (1 + Γ ) + (1 − Γ ) F ( w , z ' ) dz '
2
c R
[
γ0
γ
]
(III.5)
ε 0 e −γ . s
σ g + j ωε 0 ε rg
(III.6)
E r ,σ ( D , s , j ω ) = E r ,σ ( D , 0 , j ω ).e − γ . s
(III.7)
H φ ,σ ( D , s , j ω ) = H φ ,σ ( D ,0 , j ω ).e − γ . s
(III.8)
Avec :
γ 0 = − ω 2 μ 0ε 0 =
γ =
jω
c
(III.9)
(III.10)
jωμ 0σ g − ω 2 μ 0 ε 0 ε rg
2
⎛γ ⎞
⎛γ ⎞
Δ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ 0 ⎟⎟ cos 2 θ
⎝γ ⎠
⎝γ ⎠
sin θ − Δ
Γ=
sin θ + Δ
γ R
w = − 0 (sin θ + Δ) 2
2
'
F ( w, z ) = 1 − j (πw)1 / 2 e − w erfc( j w )
(III.11)
(III.12)
(III.13)
(III.14)
50
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
La distribution du courant le long du canal, selon le modèle MTLE, dans les
équations (III.3) et (III.4) est remplace par l’équation (III.2) et on obtient les
expressions finales suivantes:
E z ,σ
H φ ,σ
I ( z ' , jω )
( D ,0 , jω ) =
4π ε 0
I ( z ' , jω )
( D ,0 , jω ) =
4π
H
∫e
−γ 0 z '
. e − jω R / c
cos 2 θ
j ω . (1 + Γ ) + (1 − Γ ) F ( w , z ' ) dz
2
c R
. e − jω R / c
cos θ
j ω . (1 + Γ ) + (1 − Γ ) F ( w , z ' ) dz
cR
0
H
∫e
−γ 0 z '
0
[
[
]
]
'
'
(III.15)
(III.16)
Dans le but de déterminer les composantes du champ électromagnétique à
une distance D mètres au dessus du sol et une profondeur S mètres en dessous du
sol en utilisant les équations (III.15), (III.16) et (III.5) à (III.8), ainsi que (III.9) à
(III.14), nous avons développé un code de calcul sous environnement FORTRAN. Les
résultats obtenus à l’aide de ce code sont présentés dans le chapitre IV.
III.3 Calcul du champ électromagnétique
Dans ce paragraphe nous exposons le calcul du champ électromagnétique à
l’aide d’un code de calcul que nous avons développé sous environnement MATLAB
basé sur l’algorithme de Delfino et al.
III. 3.1 Formulation du champ magnétique par l’algorithme de Delfino et al [23]
Récemment, en 2006 Delfino et al ont développé un algorithme efficace pour
l’évaluation exacte du champ électromagnétique en dessous d’un sol imparfait [5].
Dans cette même référence ces auteurs ont montré que les fonctions de Green pour
les trois composantes du champ électromagnétique (c’est-à-dire, les expressions du
champ électromagnétique engendré par un dipôle vertical situé à la hauteur z’ audessus d’un sol imparfait (Figure III.2)) peuvent être exprimées sous la forme
suivante :
51
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
(III.17)
Avec :
(III.18)
(III.19)
(III.20)
(III.21)
(III.22)
Ez, Er désignent respectivement les composantes (verticale et radiale) du champ
électrique.
Hφ : la composante azimutale du champ magnétique,
k : le nombre d’onde dans l’air,
kE : le nombre d’onde dans le sol,
n : est l'indice de réfraction complexe.
λ : nombre d’onde variable dans le plan complexe.
J0, J1: fonction de Bessel du première espèce d’ordre 0 et d’ordre 1.
ω : la pulsation
µ0 : la perméabilité dans le vide,
ε0, ε : désignent respectivement la permittivité dans le vide et la permittivité absolue
dans le sol.
52
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
H
i(z’,t)
dz’
z’
R
Air
•
P(r , φ , z)
ε0 , µ0 , σ =0
Sol
ε , µ0 , σ
Figure III.2 Modèle géométrique du rayonnement électromagnétique endessous du sol d’une décharge de foudre.
L’expression (III.17) est connue sous le nom « fonctions de Green », elles sont
utile pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par une décharge de
foudre en-dessous du sol, pour ce faire, il est nécessaire de multiplier ces fonction
avec la distribution du courant le long du canal (figure III.2), cette dernière est
obtenue en utilisant un modèle de courant parmi les modèles cité au deuxième
chapitre.
Dans la référence [5], le modèle utilisé c’est le modèle MTLE où son
expression dans le domaine fréquentiel s’écrit comme suit :
(III.23)
On remarque bien dans l’expression (III.23), que le retard
temporel devient est multiplié par le terme
dans le domaine
dans le domaine fréquentiel.
Le terme qui représente la décroissance du courant lors de sa propagation le
long du canal
ne change pas entre les deux domaines, et ceci provient du fait
que cette décroissance ne dépend que de l’altitude
53
et le taux de décroissance
.
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
En multipliant l’expression (III.17) par l’expression du courant (III.23), on
obtient :
(III.24)
La fonction
qui dépendent de
résulte de l’intégration le long du canal de tous les termes
, on peut exprimer cette fonction par :
(III.25)
L’intégrale suivante:
(III.26)
L’équation (III.26) est connue sous le nom « Intégrale de Sommerfeld ». Dans
cette section, les caractéristiques mathématiques de cette intégrale seront analysées
afin d’établir des procédures fiables en vue d’accélérer leur convergence.
III.3.1.1 Points de branchement [5, 23]
L’expression (III.26) présente une intégrale d’une fonction de la variable
complexe
, la convergence de cette dernière exige le bon choix du chemin
d’intégration qui ne doit pas traverser les points qui annulent les variables µ et µE
sur le plan complexe de
. Ces points sont connus sous le nom « Point de
branchement » [5]. Ainsi, la deuxième condition pour la convergence de cette
intégrale exige la positivité des parties réelles des variables µ et µE, ces dernières
sont des racines carrées des variables µ2 et
citées dans les expressions (III.18) et
(III.19) ce qui nous donne quatre combinaisons de signe puisqu’il y a deux racines
pour chacune. En effet, on va choisir seulement les racines qui répondent à nos
conditions de convergence, (la positivité des parties réelles).
54
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Dans la référence [5], le chemin d’intégration choisi est celle qui traverse l’axe
réel sur le plan complexe illustré dans la figure III.3, dans lequel la variable
d’intégration est
, et ceci pour rendre l’intégration plus simple.
Im[u]
Points de branchement
kE•/ k
Le chemin d’intégration
1
•
Re[u]
Figure III.3 Chemin d’intégration pour l’intégrale de Sommerfeld.
Nous pouvons donc, déterminer l’expression de µE, En combinant entre les
conditions citées au paragraphe précédent, et le fait que la partie imaginaire de
est toujours négative (en faisant remplacer l’expression (III.21) dans (III.19)), il nous
résulte :
(III.27)
Si ф est l’angle de
, alors :
(III.28)
Les deux racines de
sont exprimées par :
(III.29)
(III.30)
(30)
(III.31)
Avec :
(III.32)
(III.33)
L’expression (III.33) nous montre clairement que l’angle de la première racine
est situé dans le deuxième quart du cercle, c’est-a-dire que cette racine est
constituée d’une partie réelle négative et une partie imaginaire positive ce qui ne
répond pas à la condition de convergence de l’intégrale de Sommerfeld, donc cette
55
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
racine est refusée. A partir de l’équation III.28 on peut déduire les conditions
suivantes
(III.34)
D’autre part, l’expression (III.34) nous montre que l’angle de la deuxième
racine est situé dans le quatrième quart du cercle, c’est-a-dire que cette racine est
constituée d’une partie réelle positive et d’une partie imaginaire négative ce qui est
satisfaisant à la condition de convergence.
Donc, on peut choisir la deuxième racine :
(III.35)
(III.36)
(III.37)
La forme polaire de
s’écrit comme suit :
(III.38)
A partir de l’expression (III.20), on peut exprimer ω comme suivant :
(III.39)
En replaçant l’équation (III.39) dans l’équation (III.21), on obtient :
(III.40)
On replace l’équation (III.40) dans l’équation (III.19), il résulte :
(III.41)
(III.42)
Alors:
(III.43)
56
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
A partir de (III.41), on peut déduire l’expression du
l’expression (III.38) de
qui intervient dans
:
(III.44)
L’expression de
l’expression (III.38) de
est obtenue en faisant tendre
vers
et
vers 0 dans
:
(III.45)
III.3.1.2 Termes de dépendance du champ EM de la conductivité du sol
Les termes
et
qui apparaissent dans l’expression
du champ électromagnétique (III.40) sont des termes qui représentent la
dépendance du champ électromagnétique de la conductivité du sol, ils deviennent
nulles si la conductivité tend vers l’infini (le cas d’un sol parfaitement conducteur),
ce qui explique le fait que le champ EM est nul en-dessous du sol pour ce cas.
Pour un paramètre k de valeur fixe, ces termes sont des fonctions de λ. On peut
vérifier que leurs comportements montrent une sorte de résonance pour le point de
branchement (u=1), c'est-à-dire, leurs premières dérivées au voisinage de ce point
sont très élevées.
A titre d’exemple, nous représentons dans les figures III.4.a et III.4.b les
allures de la partie réelle et la partie imaginaire respectivement du terme
. Ces
figures sont issues de la référence [5]. Les figures III.4.c et III.4.d représentent
mêmes grandeurs tracées à l’aide du code de calcul que nous avons développé.
57
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
b
a
0
1.2
1
-0.2
c
0.8
d
-0.4
-0.6
Im(gs)
Real (gs)
0.6
0.4
-0.8
0.2
-1
0
-1.2
-0.2
-0.4
0.999
0.9996
1
Lambda/K
1.0004
-1.4
0.999
1.001
0.9996
1
Lambda/K
1.0004
1.001
Figure III.4 : Parties réelles et imaginaires du terme gsr(λ)
pour k=2.09 . 10-5rad/m , σ=0.01S/m et ε/ε0=10
(a , b): Obtenues par Delfino et al
(c , d) : obtenues par notre propre code de calcul
On peut remarquer clairement sur ces figures les variations brusques des
deux parties au voisinage d’un point de branchement, ce qui a un effet sur les
intégrations
qui
consternent
l’expression
(III.24).
Par
le
calcul
conséquent,
du
ces
champ
intégrales
électromagnétique
ne
doivent
pas
dans
êtres
continument calculées sur l’axe réel, mais il faut subdiviser leurs calculs en quatre
intervalles en faisant une attention particulière au point de branchement.
La subdivision se fait de la manière suivante :
58
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
1.Un premier intervalle de
de branchement
jusqu’ à un voisinage inférieur du point
sur le chemin choisi,
2. De ce voisinage jusqu’au point de branchement
,
3.De ce point jusqu’ à un voisinage supérieur,
4.et finalement de ce voisinage jusqu’ à l’infinie (analytiquement).
III.3.2 Calcul de la composante azimutale du champ magnétique [5]
L’expression de la composante azimutale du champ magnétique (la troisième
équation dans (III.24) est écrite dans le domaine fréquentiel. Malheureusement, leur
évaluation dans le domaine temporel par une transformée de Fourier inverse est
une tache très délicate analytiquement. A cet effet, le calcul de cette composante
sera effectué numériquement dans le domaine fréquentiel en évaluant cette dernière
pour des différentes valeurs de la fréquence.
En outre, l’intégration qui consiste à déterminer cette composante pour
chaque valeur de la fréquence présente les difficultés suivantes :
1.
l’intégrale contient à la fois une fonction de Bessel (qui est très
oscillante) et le terme qui représente dépendance du champ EM de la conductivité
du sol
(leur comportement est illustré dans la figure III.4),
2.
l’intégrale doit être calculée sur un’ intervalle semi-infini (de u= 0 jusqu’à
+∞), ce qui nécessite un effort énorme de calcul.
La résolution du premier problème est basée sur la subdivision de l’intervalle
de cette intégrale en des sous-intervalles cités au paragraphe précédent (paragraphe
III.3.1.2). A partir de là, le second problème sera posé sur le calcul de l’intégrale sur
le dernier intervalle obtenue par la subdivision, cet intervalle est aussi semi-infini
(d’un voisinage supérieur à u=1 jusqu’à +∞). Pour remédier à ce problème, la
technique utilisée dans la référence [5] consiste à trouver un point appartient à cet
intervalle, et qui minimise l’écart entre l’intégrale sur l’intervalle semi-infini et
l’intégrale sur un intervalle limité par le point, typiquement, ce dernier est obtenu
par des procédures itératives. Dans la référence [5], ce point est déterminé en
majorant l’écart analytiquement, c’est-à-dire, en majorant l’intégrale entre le point
M et l’infini.
59
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
On peut résumer mathématiquement ce qu’on a cité dans ce paragraphe
comme suit :
(III.46)
Avec :
: Fonction à intégrer qui intervient dans l’expression de la composante
azimutale du champ magnétique citée dans l’expression (III.24) en effectuant le
changement de variable suivant :
(III.47)
: Voisinage inferieur du point de branchement
: Voisinage supérieur du point de branchement
En remplaçant
par son expression (III.47) dans l’expression du champ
magnétique, on obtient l’expression de la fonction
:
(III.48)
L’expression de l’écart cité auparavant en fonction du point
s’écrit comme
suivant :
(III.49)
Pour connaître la valeur maximale de cet écart, on doit le majorer, on obtient
donc les équations suivantes :
(III.50)
• Pour le terme
:
(III.51)
60
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
(III.52)
Alors :
Pour
• Pour le terme
(III.53)
:
(III.54)
•
Les deux termes
et
sont faible pour
Donc on peut écrire :
(III.55)
Selon la référence [23] l’intégrale
s’exprime analytiquement comme
suit :
(III.56)
Avec :
: Fonction Gamma incomplète [37].
Finalement, on obtient l’expression de l’écart
sous la forme suivante :
(III.57)
Le dernier problème qui se pose est celui qui concerne le calcul de la
composante azimutale du champ magnétique pour une fréquence nulle. Pour ce la,
la limite de la troisième équation dans (III.24) lorsque ω tend vers 0 est calculée,
l’expression devienne alors comme suit :
Pour
: on aura :
(III.58)
61
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Selon la référence [5] :
(III.59)
Tel que :
: Fonction hypergéométrique [37].
HφL0: Le terme statique de la composante azimutale du champ magnétique.
III.4 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons présenté deux méthodes différentes pour le
calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre.
La première méthode consiste a déterminé les composantes du champ
électromagnétique au-dessus et en dessous d’un sol, caractérisé par une
conductivité finie. Les calculs sont obtenus par le développement des équations de
Cooray-Rubinstein.
La deuxième méthode consacrée à la modélisation puis à la description du
rayonnement électromagnétique à l’aide de l’algorithme de Delfino et al. L’avantage
de ce dernier étant de tenir compte directement de la conductivité finie du sol sans
avoir recours à des hypothèses simplificatrices.
62
Chapitre IV
Analyse et Résultat du Champ E.M Rayonné par
un Coup de Foudre
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
IV.1 Introduction
Dans le but de déterminer la composante du champ électrique rayonnée par
l’arc en retour d’un coup de foudre sur la base de l’approche de
Cooray, les
résultats obtenus à l’aide de notre code sont présentés dans les paragraphes
suivants et comparés à d’autres résultats tirés de la littérature spécialisée. Ainsi
deux comparaisons entre nos résultats de simulation et ceux publiés dans les
références [25], [44] sont exposées et discutées. Ces deux références ont été choisies
car elles permettent d’observer l’évolution de la composante radiale du champ
électrique.
Les résultats présentés dans ce qui suit ont été obtenus pour une
permittivité relative du sol égale à 10. Le champ est calculé pour le courant à la
base du canal de foudre illustré à la figure II.4, la distribution du courant le long du
canal est décrite par le modèle MTLE avec λ =2000m, et la vitesse de l’arc en retour
est v=1.5 108 m/s. Les résultats sont obtenus en utilisant les équations (III.15),
(III.16) et (III.5) à (III.8) et comparés aux résultats présentés dans la référence [32].
Dans ce qui suit, on présente les cas étudiés.
IV.2 Influence de la conductivité finie du sol sur le champ électrique
Nous avons calculé le champ électrique horizontal au niveau de sol pour un
point de coordonnés : (z=0m, D=5000m) et pour différentes valeurs de la
conductivité du sol. Les résultats obtenus sont présentés à la figure (IV.1.b). Pour
des raisons de comparaison nous avons présenté les résultats de la référence [32] à
la figure (IV.1.a), l’analyse du résultat obtenu (figure IV.1.b) montre que l’amplitude
maximale du champ électrique horizontal décroît en fonctions de la diminution de
la conductivité du sol. Cette constations confirme une fois de plus l’intérêt du
développement de l’approche de Cooray [44]. Ce résultat valide notre code de calcul.
62
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
(a)
8
(b)
7
σ=0.01 S/m
σ=0.001 S/m
σ=0.002 S/m
σ=0.005 S/m
6
Er enV/m
5
4
3
2
1
0
-1
0.5
1
1.5
t en Second
2
2.5
3
-6
x 10
Figure.IV.1 Champ électrique horizontal pour différentes conductivités du sol :
(a) Résultat adaptée de la référence [32]; (b) calculs effectués par notre code.
IV.3 Influence de la distance radiale D par rapport au canal de foudre
Nous allons examiner dans cette section l’influence de la distance radiale par
rapport au canal de foudre sur le champ électrique horizontal et vertical. Ainsi,
nous considérons cinq points de calculs distincts du canal de foudre de distances
respectivement : D=1km, D=2km, D=2.5km,
D=4km, et D=5km situé à une
profondeur égale à 10m pour le champ électrique horizontal et une hauteur nulle
pour le champ électrique vertical. Après calcul des champs électriques (horizontal et
vertical) correspondant à ces cinq points d’observation, nous avons tracé les
variations temporelles de ces champs représentés aux figures. (IV.2.b1), (IV.2.b2).
Ces résultats sont comparés à ceux obtenus par les auteurs de référence [32]
63
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
(fig.IV.2.a1, fig. IV.2.a2). Cette comparaison montre que le calcul du champ
électrique radial est n’est plus valable pour des distances n’excédant pas 2000 m.
(a1)
(b1)
D =1000m
D =2000m
D =2500m
D =4000m
D =5000m
Figure. IV.2 Champ électrique horizontal à 10 m en dessous du sol pour différentes
distances entre le point d’observation et le canal de foudre:
(a1) Résultat adaptée de la référence [32] ; (b1) calculs à partir de notre programme.
64
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
(a2)
(b2)
D=1000m
D =2000m
D =2500m
D =4000m
D =5000m
Fig. IV.2 Champ électrique vertical au niveau du sol pour différentes distances entre
le point d’observation et le canal de foudre:
(a2) Résultat adaptée de la référence [32] ; (b2) calculs à partir de notre code.
65
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
IV.4 Influence de la profondeur S par rapport au sol
Nous allons maintenant examiner l’influence de la profondeur S d’un point
d’observation se trouvant à une distance radiale D =5 km du canal de foudre. Ainsi
pour une conductivité du sol égale à 0.005 S/m, de ce point, nous calculons le
champ électrique horizontal et la densité du flux magnétique pour les différentes
profondeurs (S=0m, S=0.5m, S=1m, S=2m, S=5m et S=10m). Les figures (IV.3.b) et
(IV.4.b) présentent les variations temporelles de ces champs que nous avons
calculés. Pour effectuer une comparaison de ces résultats, nous avons reporté à la
figure (IV.3.a) et la figure (IV.4.a), les résultats obtenus dans la référence [32].
(a)
6
S=0 m
S =0.5 m
S =1 m
S =2 m
S =5 m
S =10 m
(b)
5
E r en V/m
4
3
2
1
0
-1
0
0.5
1
1.5
t en Second
2
2.5
3
-6
x 10
Fig.IV.3 Champ électrique horizontal calculé pour différentes profondeurs en-dessous
de sol : (a) Résultat adaptée de la référence [32] ; (b) calculs à partir de notre code.
66
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
-7
2.5
x 10
S=0 m
S =0.5 m
S =1 m
S =2 m
S =5 m
S =10 m
Bφ
Hphien
en(T)
A/m
2
1.5
1
0.5
0
2
4
6
8
t en Second
10
12
14
-6
x 10
Fig.IV.4 Densité du flux magnétique calculé pour différentes profondeurs en-dessous
de sol : (a) Résultat adaptée de la référence [32] ; (b) calculs à partir de notre code.
Si on compare les résultats présentés dans les figures IV.3.b et IV.4.b
correspondant à un point de calcul situé à une distance égale à 5km, nous
constatons clairement l’influence de la profondeur S sur la forme d’onde du champ
électrique horizontal et la densité du flux magnétique.
67
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
IV.5 Algorithme de Delfino
Après avoir décrit le principe de base de la méthode présentée d’algorithme
exact de Delfino et al dans le chapitre précédent, nous présentons quelques
résultats de l'application de cette méthode seront présentés dans cette section.
Dans ce qui suit, on va présenter les résultats obtenus par notre programme,
et qui concerne la composante du champ magnétique, cette dernière a été évaluée
en dessous d’un sol caractérisé par une conductivité finie.
Pour vérifier la validité de l’algorithme de Delfino, nous comparons le champ
magnétique azimutal ou horizontal au résultat édité dans la référence [4]. La forme
d'onde du courant de canal-sol est identique à celle présentée dans la section II.4
avec une amplitude crête de courant de 11kA.
IV.5.1 Champ magnétique azimutal
Au début, le champ magnétique horizontal obtenu par cette méthode sera
comparé à celui présenté par les auteurs [4], le calcul est fait pour deux valeurs de
la conductivité du sol (σ =0.01 S/m et σ =0.001 S/m), deux points d’observation
qu’ils ont la même distance horizontale par rapport au canal de foudre (r = 50m)
mais avec deux profondeurs différentes (z1 = 5m et z2 = 10m), les paramètres de
courant sont cités dans tableau II.2 (modèle d’Heidler). Le modèle de distribution du
courant qui a été adopté pour cette comparaison est le modèle MTLE, la permittivité
relative du sol est supposée égale à 10, et la longueur du canal vaut 8 Km.
68
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
Le champ magnétique azumital a 5m en dessous de sol
35
30
Hphi en A/m
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
t en microS
7
8
9
10
Fig.IV.5 Variation temporelles du champ magnétique Azimutal à 5m en dessous de
sol et à la distance de 50 m et σ =0.01 par la méthode actuelle de delfino et al.
Le champ magnétique azumital a 5m en dessous de sol
35
30
Hphi en A/m
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
t en microS
7
8
9
10
Fig.IV.6 Variation temporelles du champ magnétique Azimutal à 10m en dessous
de sol et à la distance de 50 m et σ =0.01 par la méthode actuelle de delfino et al.
69
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
Le champ magnétique azumital en fonction du temps
35
30
Hphi en A/m
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
t en microS
7
8
9
10
Fig.IV.7 Variation temporelles du champ magnétique Azimutal à 5m en dessous de
sol et à la distance de 50 m et σ =0.001 par la méthode actuelle de delfino et al.
Le champ magnétique azumital en fonction du temps
35
30
Hphi en A/m
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
t en microS
7
8
9
10
Fig.IV.8 Variation temporelles du champ magnétique Azimutal à 10m en dessous
de sol et à la distance de 50 m et σ =0.001 par la méthode actuelle de delfino et al.
70
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
σ =0.1 S/m
σ=0.0 01 S/m
σ =0. 01 S/m
Fig.IV.9 Variation temporelles du champ magnétique Azimutal à 5m en dessous de sol
et à la distance de 50 m et différent σ par la méthode actuelle de delfino et al.
σ =0.001 S/m
σ=0.0 1 S/m
σ =0. 1 S/m
Fig. IV.10 Variation temporelles du champ magnétique Azimutal à 10m en dessous de
sol et à la distance de 50 m et différent σ par la méthode actuelle de delfino et al.
71
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
Comparaison :
σ=0.001
σ=0.01
(a)
(b)
Fig.IV.11. Variation temporelles du champ magnétique Azimutal à 5m en dessous
de sol et à la distance de 50 m.
(a) calculs à partir de Mimouni A [4], (b) la méthode actuelle de delfino et al.
σ=0.001
σ=0.01
(a)
(b)
Fig.IV.12. Variation temporelles du champ magnétique Azimutal à 10m en dessous
de sol et à la distance de 50 m.
(a) calculs à partir de Mimouni A [4], (b) la méthode actuelle de delfino et al.
72
Chapitre IV
Analyse et résultat du champ E.M rayonné par un coup de foudre
La comparaison des résultats du champ magnétique en dessous du sol
(Figure IV.11 a et IV.12 a) avec ceux obtenus (Figures IV.11 b et IV.12 b) montre
une légère différence. Cependant, la conductivité finie du sol joue un rôle important
lorsqu’elle possède une faible valeur (0.001 S/m).
II.6 Conclusion
L’étude présentée dans ce chapitre a été consacrée à l’analyse des résultats du
champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre en présence d’un sol de
conductivité finie. Les résultats sont obtenus dans un premier temps par le
développement de l’approximation de Cooray [44]. On a constaté qu’il y a une
différence dans les formes d’ondes parce que seulement la composante du champ
électrique rayonné est calcule avec les équations de Cooray. Dans la deuxième
partie de chapitre nous avons présenté les résultats obtenus par l’algorithme de
Delfino et al [5]. La qualité des résultats obtenus a été jugée à travers des
comparaisons avec des résultats obtenus, dans les mêmes conditions, par d’autres
chercheurs en utilisant des approches différentes et des codes de calculs
spécialisés.
73
Conclusion Générale
Conclusion générale
Conclusion Générale
Dans ce travail nous nous sommes intéressés à la modélisation puis à
la simulation du rayonnement électromagnétique associé à une décharge de
foudre. Les théories et les méthodes de simulation décrites s’inscrivent dans
le cadre des études de protection du réseau électrique à travers des études
de compatibilité électromagnétique. Nous avons dans un premier temps
abordé la modélisation du courant associé à la phase d’arc en retour
subséquent ainsi que celle du courant au sol. Des simulations de ces deux
courants ont été ensuite effectuées, sur la base de modèles appartenant à la
famille des modèles d’ingénieur. Les résultats obtenus ont été confortés à
ceux présentés dans la littérature et qui ont été validés expérimentalement.
Nous nous sommes intéressés dans ce travail à l’étude du champ
électromagnétique rayonné par un coup de foudre notamment celui rayonné
lors de la phase d’arc en retour subséquent. Dans cette étude qui a fait
l’objet du chapitre II.
Ainsi deux formalismes de calcul ont été présentés en l’occurrence le
formalisme classique associé à la formule de Cooray pour la prise en compte
de la conductivité finie du sol.
Le deuxième formalisme est celui de Delfino et al. Ce dernier est
présenté dans la littérature comme un algorithme puissant et exact dans ce
type de calcul.
Le dernier chapitre a fait l’objet d’une analyse des résultats obtenus
par les deux formalismes étudiés. Pour de ces derniers nous avons présenté
une étude comparative qui nous a permis de constater les points suivants :
-
Effet notable de la conductivité finie du sol sur la composante radiale
du champ électrique.
74
Conclusion générale
-
En terme de champ magnétique l’approche de Delfino et al a donnée
des résultats concordants.
Finalement, ce travail nous a permis d’appréhender une problématique
clé dans le domaine de la CEM.
La confrontation de nos résultats avec ceux obtenus par d’autres
chercheurs a fait l’objet du chapitre IV. Ceci nous a permis d’une part de
valider les méthodes de calcul mises en œuvre et d’autre part de valider le
code de calcul développé sous un environnements de programmation
distincts en l’occurrence, MATLAB et FORTRAN.
Comme perspectives de ce modeste travail, nous pouvons noter qu’il
serait intéressant de :
- Compléter l’analyse des composantes du champ électrique par le biais
de l’algorithme de Delfino et al.
- D’introduire dans les codes de calcul des formalismes permettant de
prendre en considération quelques phénomènes relatifs à la décharge
orageuse en l’occurrence : l’effet couronne, l’existence des objets élevés
(arbre, tour, parafoudre, …).
Enfin, nous espérons par ce modeste travail avoir contribué à l’étude du
phénomène foudre et de ses interactions avec les ouvrages électriques.
75
Bibliographie
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79
‫ﻣﻠﺨﺺ‬
‫ هﺬﻩ اﻷﻧﻈﻤﺔ‬.‫ﺳﻼﻣﺔ اﻷﻧﻈﻤﺔ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ واﻻﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﺔ هﻮ ﻋﺎﻣﻞ أﺳﺎﺳﻲ ﻓﻲ اﻟﺴﻠﻮك اﻟﻌﺎدي ﻟﻠﺸﺒﻜﺎت اﻟﻤﻌﻘﺪة اﻟﺤﺪﻳﺜﺔ‬
‫ اﻟﺼﻮاﻋﻖ اﻟﺮﻋﺪﻳﺔ ﻣﻦ اﻷﺳﺒﺎب‬.‫ﻋﺮﺿﺔ ﻟﻤﺨﺘﻠﻒ اﻻﺿﻄﺮاﺑﺎت اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻬﺪد اﺳﺘﻤﺮارﻳﺔ وﺗﻮاﻓﺮ اﻟﺘﻐﺬﻳﺔ‬
.‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﺔ اﻟﻤﺆﺛﺮة ﻓﻲ ﻧﻮﻋﻴﺔ اﻟﻄﺎﻗﺔ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ ﻻﺿﻄﺮاﺑﺎت اﻟﺘﻮاﻓﻖ اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ ﺑﻴﻦ اﻷﻧﻈﻤﺔ‬
‫ﻟﺬﻟﻚ ﺣﺴﺎب و ﺗﻘﻴﻴﻢ اﻟﺘﻮﺗﺮ اﻟﻨﺎﺟﻢ ﻋﻦ اﻟﺤﻘﻞ اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ اﻟﻤﻨﺒﺜﻖ ﻋﻦ اﻟﺼﻌﻘﺔ اﻟﺮﻋﺪﻳﺔ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﻣﻦ اﺧﺘﻴﺎر اﻟﺤﻤﺎﻳﺔ‬
.‫اﻟﻼزﻣﺔ و اﻟﺠﻴﺪة ﻟﻠﺨﻂ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻲ‬
‫ و أﻳﻀﺎ‬،‫هﺬا اﻟﻌﻤﻞ ﻗﺪ ﺧﺼﺺ وﺻﻒ اﻟﺼﺎﻋﻘﺔ ﻣﻊ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻣﻼﺣﻈﺎت و ﻧﺘﺎﺋﺞ اﻟﺘﺠﺎرب اﻟﻤﺠﺮات ﻋﻠﻰ هﺬﻩ اﻟﻈﺎهﺮة‬
‫ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻧﻤﻮذج ﻳﺪﻋﻰ‬،‫ هﺬا اﻷﺧﻴﺮ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﻴﺎر اﻟﻤﻮﺟﻮد أﺳﻔﻞ ﻗﻨﺎة اﻟﺼﺎﻋﻘﺔ‬، ‫ﺻﻴﺎﻏﺔ ﻧﻤﻮذج ﻟﺘﻴﺎر اﻟﺼﺎﻋﻘﺔ‬
. Modèle d’ingénieur
‫ ﻣﻊ ﻃﺮﻳﻘﺘﻴﻦ‬،‫و ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ذﻟﻚ ﻳﺘﻢ ﺗﻘﺪﻳﻢ ﻟﻤﺤﺔ ﻣﻮﺟﺰة ﻋﻦ اﻟﻄﺮق اﻟﻌﺪﻳﺪة ﻟﺤﺴﺎب اﻟﺤﻘﻞ اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ‬
‫ ﻣﻊ ﻣﺮاﻋﺎة ﺗﺄﺛﻴﺮ اﻟﻨﺎﻗﻠﻴﺔ اﻟﻤﺤﺪودة‬Cooray-Rubinstein ‫ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻘﺎﻋﺪة‬.‫ﺣﺴﺎﺑﻴﺘﻴﻦ أآﺜﺮ ﺗﻔﺼﻴﻼ‬
‫ و ﺗﻘﺪم هﺬا اﻷﺧﻴﺮ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺧﻮارزﻣﻴﺔ ﻗﻮﺑﺔ و‬Delfino et al ‫ و اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ هﻲ‬.‫ﻟﻸرض ﻋﻠﻰ اﻟﺤﻘﻞ اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ‬
.‫دﻗﻴﻘﺔ ﻓﻲ هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﺤﺴﺎب‬
‫ ﻗﻤﻨﺎ ﺑﺪراﺳﺔ و ﺗﺤﻠﻴﻞ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻄﺮﻳﻘﺘﻴﻦ اﻟﺘﻲ ﻋﺮﺿﺖ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ هﺬا‬،‫و ﻓﻲ اﻷﺧﻴﺮ‬
.‫اﻟﻌﻤــﻞ‬
Résumé :
L’intégrité des systèmes électriques et électroniques est un facteur capital dans
un comportement normal des réseaux complexes modernes. Ces systèmes exposés à
divers défauts menaçant la continuité et la disponibilité de l’alimentation, doivent être
protégés contre toute perturbation électromagnétique.
La foudre représente une source très dangereuse et très répandue de ces
perturbations de nature électromagnétique qui peuvent mettre nos vies et nos biens
en un extrême danger.
Pour réaliser une protection efficace contre les menaces de la foudre, on doit
disposer de modèles mathématiques capables de reproduire ses aspects
électromagnétiques.
Ce travail présente les différents modèles d’arc en retour, et plus
particulièrement les modèles d’ingénieurs, disponibles dans la littérature, avec une
présentation des résultats de l’implantation de ces modèles dans le code de calcul
utilisé.
En outre, une révision brève des méthodes numériques pour le calcul du champ
électromagnétique est présentée avec une description plus détaillée de deux
formalismes de calcul ont été présenté pour cette étude. Le formalisme classique
associé al formule de Cooray-Rubinstein pour la prise en compte de la conductivité
finie du sol. Le deuxième formalisme est celui de Delfino et al. Ce dernier est présenté
dans la littérature comme un algorithme puissant et exacte dans ce type de calcul.
Finalement, on va analyser des résultats obtenus par les deux formalismes
étudiés. Pour de ces derniers nous avons présenté une étude comparative et
conclusions sont présentés vers la fin de ce travail.
Mots clés : Foudre, Déclenchement artificiel de la foudre, Modèles d’arc en
retour, champ électromagnétique, Conductivité finie du sol, Compatibilité
électromagnétique (CEM).