Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre en

 REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE TECHNOLOGIE D’ORAN MOHAMED BOUDIAF FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE MEMOIRE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER Spécialité : Electrotechnique Option : Compatibilité ElectroMagnétique (CEM) Présenté par M. HABRI Khaled Sujet du mémoire Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié SOUTENU LE DEVANT LE JURY COMPOSE DE : Président : Rapporteur : Co‐Rapporteur : Examinateurs : Invité M. Flazi. S M. Azzouz. Z M. Mimouni. A M. Kotni. L M. Guemri. B Professeur (USTOMB) Professeur (USTOMB) Maître de conférences. A (Univ‐Tiaret) Maître de conférences (USTOMB) Maitre assistant. A (USTOMB) 2010
Remerciements Ce travail a été effectué au sein de l’équipe de compatibilité électromagnétique
au Laboratoire de Développement et d’Entraînement Electrique (LDEE), sous la
direction du professeur Z. Azzouz. Je tiens à exprimer tous mes remerciements et
mes reconnaissances à son égard pour sa confiance en m’accueillant dans son
équipe, et m’a donné la possibilité de mener ce travail dans des excellentes
conditions. Comme je le remercie vivement pour sa patience, ces conseils, ces
grandes qualités scientifiques et humaines et son professionnalisme qui m’ont
aidé et guidé tout le long de ce travail.
J’adresse mes sincères remerciements et reconnaissances à mon co-encadreur
Monsieur A. Mimouni pour son amitié, ses aides et ses conseils qui ont m’éclairé le
droit chemin de cette étude.
J’exprime ma reconnaissance au professeur S. Flazi pour l’honneur qu’il m’a fait
en présidant le jury de soutenance, qu’il trouve ici l’expression de mes
remerciements les plus vifs.
Que tous les membres de jury qui ont bien voulu évaluer et examiner mon
travail, trouvent ici l’expression de mon profond respect. Je remercie :
Monsieur L. Kotni,
Monsieur B. Guemri
Maître de conférences (USTOMB)
Maître assistant. A (USTO-MB).
Mes remerciements s’adressent également à tout le corps enseignant qui a
contribué à ma formation.
Je n’oublierais pas d’adresser mes remerciements à mes collègues et amis avec
lesquels ce fut toujours agréable de travailler.
Je ne terminerais pas sans associer à mes remerciements tous les membres de ma
famille pour leur soutien tacite, amicale et morale.
Résumé L’objectif de ce mémoire à été la détermination et l’étude du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié, structure qui correspond mieux à la réalité physique. Le calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre est effectué en dessous et au dessus du sol. Cette caractérisation nécessite au préalable la connaissance de la distribution spatio‐temporelle du courant d’arc en retour, ce dernier est lié au courant à la base du canal de foudre à travers les modèles d’ingénieur. Nous avons dans un premier temps abordé la modélisation du courant associé à la phase d’arc en retour ainsi que celle du courant au sol. Des simulations de ces deux courants ont été ensuite effectuées, sur la base de modèles appartenant à la famille des modèles d’ingénieur. La suite du travail a été consacrée à la simulation du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié horizontalement, ainsi qu’en présence d’un sol stratifié verticalement, L’étude a nécessité le développement d’un code de calcul sous environnement Matlab, basé sur la méthode des différences finies (FDTD). Le code développé a été ensuite validé à travers des comparaisons des résultats obtenus avec des résultats expérimentaux tirés de la littérature. Nous nous sommes ensuite intéressés à l’étude de l’influence de la stratification horizontale et de la stratification verticale du sol sur les formes d’ondes du champ électromagnétique rayonné par la foudre. Les résultats obtenus rejoignent les analyses effectuées par d’autres chercheurs dans ce domaine. Ainsi, nous avons mis en évidence, à travers ces résultats, l’effet de la stratification du sol sur le champ électromagnétique rayonné par la foudre. Table des matières Introduction générale 2 Chapitre I : Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales I.1 Introduction 7 I.2 Phénoménologie 7 I.2.1 Définition du phénomène de la foudre 7 I.2.2 Mécanisme de formation des nuages orageux 7 I.2.3 Mécanisme d’électrisation des nuages orageux 8 I.2.4 Formation des éclairs et déclenchement d’un coup de foudre 8 I.2.5 Catégories de coups de foudre 9 I.2.6 Différentes phases d’une décharge négative nuage – sol 10
I.3 Observations expérimentales 13
I.3.1 Caractéristiques du courant d’arc en retour 13
I.3.1.1 Mesure du courant de l’arc en retour à l’aide de tours instrumentées 13
I.3.1.2 Déclenchement artificiel de la foudre 16
I.3.2 Caractéristiques de la vitesse de l’arc en retour 18
I.3.3 Caractéristiques du champ électromagnétique associé au courant de l’arc en retour I.4 Conclusion 19
23
Chapitre II : Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre II.1 Introduction 26
II.2 Modélisation du canal de foudre lors de la phase d’arcs en retour 27
II.2.1 Classification des modèles d’arc en retour 27
II.2.2 Formes analytiques du courant d’arc en retour à la base du canal 28
II.2.3 Modélisation de la distribution spatio‐temporelle du courant d’arc en retour le long du canal (Modèles d’ingénieur) 34
II.2.3.1 Modèle de Bruce et Golde BG 34
II.2.3.2 Modèle de la ligne de transmission TL (Transmission Line) 36
II.2.3.3 Modèle de la source du courant mobile TCS (Travelling Curent Source) II.2.3.4 Modèle de la ligne de transmission modifié MTL (Modified Transmission Line) II.2.3.5 Modèle de Diendorfer et Uman 37
II.2.3.6 Représentation générale de cinq modèles d’ingénieur 40
II.3 Approches d’évaluation du champ électromagnétique rayonné par la foudre 42
II.3.1 Calcul du champ électromagnétique au dessus du sol 42
II.3.1.1 Formules générales 42
II.3.1.2 Approximation d’un sol parfaitement conducteur 44
II.3.1.3 Approximation de Cooray‐Rubenstein 45
II.3.2 Champ électromagnétique en dessous du sol 47
II.3.2.1 Approximation de Cooray 47
II.3.2.2 Algorithme de Delfino et al. 48
II.3.2.3 Approximation par la méthode FDTD 49
II.4 Conclusion 50
38
40
Chapitre III : Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) III.1 Introduction 53
III.2 Etat de l’art 54
III.3 Cas d’un sol stratifié horizontalement 55
III.3.1 Première approximation 57
III.3.2 Seconde approximation 58
III.4 Cas d’un sol stratifié verticalement 58
III.5 Résultats obtenus par Shoory et al. 61
III.5.1 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié horizontalement 61
III.5.2 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié verticalement 66
III.6 Conclusion 67
Chapitre IV : Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié IV.1 Introduction 69
IV.2 Géométrie du problème 69
IV.3 Formulation du champ électromagnétique 70
IV.4 Principe de base de la méthode FDTD 72
IV.4.1 Discrétisation spatio‐temporelle 72
IV.4.2 Conditions aux limites absorbantes (ABC) 75
IV.5 Résultats de simulation et analyses 79
IV.5.1 Validation expérimentale du code de calcul développé 79
IV.5.2 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié horizontalement 82
IV.5.2.1 Champ électromagnétique rayonné au niveau du sol 83
IV.5.2.2 Champ électromagnétique rayonné en dessous du sol 86
IV.5.3 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié verticalement 90
IV.6 Conclusion 93
Conclusion et perspectives 96
Références bibliographiques 99
Introduction générale
Introduction générale Introduction générale De nos jours, les perturbations électromagnétiques deviennent de plus en plus gênantes pour un grand nombre d'activités industrielles ainsi que pour de nombreuses occupations de la vie quotidienne. Ceci s'explique par la multiplication des sources potentielles issues du développement important des installations électriques mais aussi par l'apparition de systèmes électroniques de sensibilité croissante. Une nouvelle discipline est alors née : la Compatibilité ElectroMagnétique (CEM) c'est‐à‐dire l'art de faire fonctionner des systèmes électriques sensibles dans un environnement électromagnétique perturbé mais aussi de réduire les perturbations engendrées par les systèmes électriques dès leur conception. De multiples normes sont donc apparues et apparaissent encore afin de réglementer les niveaux de rayonnement électromagnétique que les systèmes doivent supporter sans modification de leur fonctionnement normal ainsi que les niveaux de perturbations électromagnétiques maximales qu'ils produisent au cours de leur fonctionnement. Les perturbations électromagnétiques se classent en deux familles suivant leur origine : les perturbations d'origine artificielle telles que celles dues aux radiocommunications, aux radars, aux équipements électriques (transport d'énergie électrique, . . .) ; les perturbations d'origine naturelle telles que la foudre, les rayonnements cosmiques, les décharges électrostatiques, . . . . En ce qui concerne la première famille, il est possible de réduire le gène occasionné en agissant à deux niveaux. Tout d'abord, il faut agir au niveau de la source de la perturbation en limitant les émissions électromagnétiques indésirables dès la conception même du système coupable. Ensuite, il faut agir au niveau du système victime en le rendant moins sensible aux perturbations extérieures. Malheureusement, pour ce qui est des perturbations d'origine naturelle, il est en général impossible d'avoir une quelconque influence sur la source. Le seul recours est donc la protection des systèmes menacés. C'est la raison pour laquelle il est nécessaire de 2 Introduction générale connaître précisément les caractéristiques de la perturbation (mécanismes physiques, grandeurs caractéristiques) pour pouvoir protéger efficacement les systèmes victimes. Dans le cas particulier de la foudre, les mécanismes et le rayonnement électromagnétique généré n'ont pas changé au cours du temps mais les incidents provoqués par ce phénomène naturel vont en augmentant du fait de l'utilisation de plus en plus importante de systèmes dont la vulnérabilité croît aussi. Même si elle reste un instrument extrêmement dangereux de la colère du ciel (elle est la cause de nombreuses morts humaines et animales, d'incendies de forêts, de bâtiments industriels, ...), l'étude actuelle de ce phénomène a pour objectif la connaissance précise de ses effets sur les matériels sensibles, principalement dans les domaines de l’électrotechnique, de l'aérospatiale, du militaire, des télécommunications, . . . . Toutefois, la connaissance du phénomène physique en lui‐même est loin d'être parfaite et des études plus fondamentales sont réalisées afin de comprendre le mécanisme général et de lever, si possible, les incertitudes existant entre autres, sur le point et l'instant d'impact de la décharge de foudre. Pour notre part, notre objectif n'est pas d'élucider les phénomènes physiques complexes mis en jeu au cours d'une décharge de foudre mais de réaliser une caractérisation aussi proche que possible de la réalité physique relative au rayonnement engendré, et ceci en abandonnant l’hypothèse habituellement utilisée par la communauté scientifique pour l’estimation du champ électromagnétique rayonné par la foudre. Il s’agit de l’hypothèse d’un sol homogène et de conductivité finie. En effet, ce dernier ne présente jamais sous cette forme simpliste. De ce fait, notre objectif a été fixé à la caractérisation du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié en se basant sur le développement de codes de calcul élaborés sous environnement Matlab, utilisant une méthode aux différences finies, appelée FDTD (Finite‐Difference Time‐ Domain). Cette méthode a été utilisée au sein notre équipe de recherche au niveau du laboratoire de développement d’entraînements électriques (LDEE) pour calculer le champ électromagnétique rayonné par la foudre au dessus et en dessous d’un sol homogène et caractérisé par une conductivité finie. Motivés par la robustesse et la flexibilité de cette méthode qui nous a permis de nous affranchir des approximations habituellement considérées pour prendre en compte la conductivité finie du sol, il nous a semblé intéressant de généraliser nos travaux par le développement de codes de calcul 3 Introduction générale applicables pour la cas d’un sol stratifié. De plus, ce code de calcul nous permettra de mettre en évidence l’effet de la stratification du sol sur le champ électromagnétique rayonné. Le premier chapitre de ce mémoire présente la phénoménologie des coups de foudre, en particulier la phase dite de l’arc en retour associée à une décharge nuage‐sol négative, les principales observations expérimentales relatives aux éclairs naturels et ceux déclenchés artificiellement, les différentes caractéristiques et données expérimentales concernant le courant à la base du canal, la vitesse de l’arc en retour, ainsi que le champ électromagnétique rayonné. Le deuxième chapitre est entièrement consacré à la modélisation du problème du rayonnement électromagnétique associé à la phase de l’arc en retour. En premier lieu, nous présentons les différentes classes de modèles d’arc en retour existantes dans la littérature, l’attention est focalisée dans ce mémoire sur ce qu’on appelle « les modèles d’ingénieur ». Ces modèles permettent une description de la distribution du courant le long du canal en fonction du courant à la base du canal. Après la description des modèles d’ingénieur, nous abordons ensuite les approches mathématiques utilisées dans la littérature pour le calcul du champ électromagnétique en dessous et au‐dessus d’un sol caractérisé par une conductivité finie. Dans le troisième chapitre, nous présentons une formulation simplifiée dite « formulation de Wait » qui est adaptable au calcul du champ électrique vertical au niveau d’un sol stratifié. Dans ce même chapitre, nous présentons l’état de l’art correspondant au calcul du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié. Dans cette partie, nous passons en revue les travaux effectués dans ce domaine depuis 1936 à nos jours. Nous décrivons ensuite la base théorique de la formulation de Wait qui a été présentée dans un travail récemment publiée en Novembre 2009. Les résultats obtenus dans ce travail en utilisant cette formulation, serons analysés dans ce chapitre. Le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié fait l’objet du quatrième et dernier chapitre qui présente tout d’abord les principes de base de la méthode FDTD utilisée dans nos simulations ainsi que la description des conditions aux limites absorbantes (ABC) intervenant dans les calculs, 4 Introduction générale suivie d’une validation du code de calcul développé dans le cadre de ce mémoire à travers la comparaison de nos résultats avec ceux obtenus expérimentalement. Nous présentons ensuite, la caractérisation du champ électromagnétique rayonné au voisinage du canal foudre. Enfin, nous concluons sur les résultats de notre travail et sur les perspectives de ce dernier. 5 Chapitre I
Phénoménologie de la foudre et
observations expérimentales
Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales I.1 Introduction La foudre constitue une source de perturbation majeure pour le bon fonctionnement des réseaux. En effet, on distingue deux types d’agressions électromagnétiques liées à la décharge orageuse, selon que l’éclair touche directement l’ouvrage électrique ou tombe à proximité. Dans le premier cas, on parle de coup de foudre direct. Dans le second, on parle de coup de foudre indirect, du fait qu’il génère un champ électromagnétique perturbateur. Comme tout phénomène naturel, la caractérisation du phénomène de la foudre passe nécessairement par la connaissance des mécanismes naturels qui les gouvernent ainsi que les observations expérimentales qui s’y rattachent que l’on peut obtenir à partir de la littérature spécialisée. Ainsi, dans ce premier chapitre, nous abordons l’aspect phénoménologique de la foudre. Nous présentons ensuite une revue générale sur les expérimentations liées aux mesures effectuées par des différentes compagnes expérimentales sur le courant à la base du canal de foudre et sur le champ électromagnétique rayonné. I.2 Phénoménologie I.2.1 Définition du phénomène de la foudre La foudre est une très violente et brève décharge d’électricité, équivalente à une immense étincelle (un courant transitoire de très forte amplitude) de plusieurs kilomètres de long qui traverse l’espace atmosphérique depuis la masse des nuages orageux électrisés jusqu’au sol [1]. I.2.2 Mécanisme de formation des nuages orageux Les nuages orageux sont généralement de type cumulo‐nimbus [2]. Ils se forment sous l’effet de courants d’air chaud ascensionnels qui montent à des vitesses importantes, entraînant dans ces turbulences des centaines de milliers de tonnes d’eau. Le mouvement est si puissant que le sommet du nuage s’écrase contre une couche supérieure de l’atmosphère (la stratosphère) ce qui explique qu’ils ont très souvent une 7 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales forme caractéristique dite, « en enclume ». Leur base peut atteindre des surfaces de plusieurs dizaines de km² et ils s’étendent entre des altitudes allant de 2 à 20 km. I.2.3 Mécanisme d’électrisation des nuages orageux Le prodigieux brassage à l’intérieur de ces nuages arrache des électrons aux différents éléments d’eau et de glace qui se télescopent. Ces charges électriques vont se répartir à l’intérieur du nuage, majoritairement en bas de celui‐ci pour les charges négatives (du fait de la présence de gouttes d’eau, chargées négativement) et en haut du nuage pour les charges positives (à cause de l’entraînement vers le haut des cristaux de glace légers, chargé positivement). Cette répartition des charges ne peut jamais être parfaite du fait qu’il existe toujours des ilots de charges positives enserrés dans la masse de charges négatives. I.2.4 Formation des éclairs et déclenchement d’un coup de foudre A l’intérieur du nuage, les champs électriques créés par la distribution des charges de polarités différentes peuvent être intenses et atteindre des valeurs suffisantes pour déclencher des éclairs. Lorsque le champ électrique est suffisamment important, des rééquilibrages s’opèrent entre charges électriques positives et négatives, par l’intermédiaire d’un arc électrique (éclair) qui présente ici un formidable court‐circuit. Il se produit en mettant en jeu non seulement le nuage, mais également tous les éléments susceptibles d’attirer l’éclaire par influence électrostatique. Parmi celles‐ci, il faut distinguer l’éclair de la foudre, bien que dans le langage courant, il n’est pas fait de différence entre les deux termes [3]. En effet, la décharge qui frappe le sol est appelée « foudre » ou « coup de foudre », alors que la décharge qui se produit à l'intérieur d'un nuage, ou entre nuages orageux, est appelée « éclair (intra ou inter nuages) ». A l'approche d'un nuage orageux, le champ électrique atmosphérique au sol qui est de l'ordre d'une centaine de volts par mètre, par beau temps, commence par s'inverser, puis croît dans de fortes proportions. Lorsqu'il atteint la valeur de 10 à 20 kV/m, un coup de foudre est imminent. La figure I.1 illustre la répartition des charges dans un nuage orageux, la distribution du champ électrique à la surface du sol, et enfin la température de différentes altitudes a l’intérieur du nuage. 8 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Figure I.1 Séparation des charges dans un nuage orageux et son influence électrostatique sur la surface du sol [4]. I.2.5 Catégories de coups de foudre Parmi toutes les formes de décharges atmosphériques (intra‐nuage, inter‐nuages et nuage‐sol). La décharge nuage‐ sol est moins fréquente mais certainement la plus contraignante et la mieux étudiée. Elle présente à peu prés 10% à 50% de la totalité des décharges atmosphériques que connaît le globe. Les effets nuisibles de ces décharges touchent principalement les réseaux de télécommunication et de transport d’énergie, les équipements industriels à base d’électronique et le transport aérien. En 1975, Berger et al [5] ont présenté une subdivision en quatre catégories. Ces catégories sont définies d'une part selon la direction du traceur (ascendante ou descendante) qui déclenche la décharge, et d'autre part selon le signe de la charge portée par le traceur (positive ou négative). Dans les régions tempérées, plus 90% des coups nuage‐ sol appartiennent à la catégorie des décharges négatives descendantes (catégorie (a) figure I.2). Les décharges appartenant à la catégorie (c) sont déclenchées par un traceur descendant chargé positivement. Cette dernière catégorie constitue moins de 10% des décharges nuage‐ sol. Enfin, les décharges de catégories (b) et (d) qui sont déclenchées par des traceurs ascendants, sont relativement rares et apparaissent généralement aux sommets des montagnes ou au niveau des longues structures. 9 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Figure I.2 Classification des coups de foudre selon Berger et al [5]. I.2.6 Différentes phases d’une décharge négative nuage – sol La phase la plus signifiante dans une décharge orageuse est sans doute l’arc en retour celle‐ci n’est qu’une phase parmi d’autres phases successives illustrées sur la figure I.3. En effet, on distingue : La phase de décharge préliminaire “Preliminary breakdown” Des enregistrements spectroscopiques ont montré que plusieurs décharges dans la partie inférieure du nuage se manifestent précédant de quelques centaines de millisecondes l’émergence du premier arc électrique. Ces décharges sont dues probablement à l’existence de charges positives enserrées dans la partie inférieure du nuage au coté des cristaux de glace de polarité négative. L’apparition de ces décharges est possible dès que le gradient de claquage de l’air séparant ces deux masses est atteint. La phase du traceur par pas “Stepped laeder” A la suite de la décharge préliminaire, une série d’arcs électriques commence à progresser vers le sol par bonds intermittents d’une longueur de 30 à 50 m avec une vitesse moyenne de 150 à 200 Km/s. La durée entre deux bonds successifs est de 500 µs. D’autre part à chaque pas du traceur correspond une impulsion de courant d’amplitude supérieure à 1 kA, la charge électrique drainée vers le sol et de 5 à 10 coulombs. 10 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Ces impulsions de courant créant à leur tour des impulsions de champs électromagnétiques de durée de l’ordre de 1µs et de temps de montée d’environ 0.1 µs. Le point d’impact du leader n’est déterminé qu’à l’approche de ce dernier du sol (20 à 100 m). Cette distance est appelée « distance de choc ». Elle est fonction de l’état de surface du sol (présence d’aspérités ou de proéminences) et de la quantité de charges électriques drainées par le leader. La phase du premier arc en retour “First return stroke” Une intensification du champ électrique au niveau du sol est provoquée par l’approche du leader, à quelque dizaines de mètres du sol le potentiel électrique de l’extrémité basse du canal avoisine les 100 MV ce qui correspond à un champ électrique dix à vingt fois supérieur au seuil d’ionisation de l’air. Ce champ intense va donc provoquer l’arrachage des charges positives se trouvant à la surface du sol et initier un traceur positif appelé « contre précurseur » ou « précurseur de capture », qui progressera du sol vers le leader à une vitesse moyenne de 108 m/s. Cette rapproche entre les traceurs (ascendant et descendant) est appelée « processus d’attachement » (“Attachment process”). La jonction s’effectue à quelques dizaines de mètres au‐dessus du sol. Le canal du traceur est alors déchargé lorsqu'une onde de potentiel de sol, le premier arc en retour (“First return stroke”), se propage vers le nuage et neutralise le canal chargé par le traceur avec une vitesse décroissante en fonction de la hauteur de l'ordre de 1/3 de la vitesse de la lumière. Le premier arc en retour produit un courant au niveau du sol d'une valeur de pic typique de 30 kA et d'un temps de montée de l'ordre de quelques microsecondes. La durée de l'impulsion du courant (à la mi‐hauteur) est de l'ordre de 50 µs. Durant cette phase, la température du canal s'élève rapidement pour atteindre des valeurs jusqu'à 30000° K qui génère un canal de haute pression provoquant une onde de choc appelée tonnerre. La phase du traceur obscur “Dart leader” Quand les charges drainées par le premier arc en retour arrivent à la base du canal, le processus de la foudre peut s’arrêter, si toute la charge du nuage est neutralisée. Or, sous l’effet des charges résiduelles du nuage, une nouvelle décharge nuage‐sol relativement semblable à la première a lieu. 11 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Après la phase du premier arc en retour, l’éclair peut disparaître. Cependant, si une quantité résiduelle de charges est encore présente au sommet du canal, il se développe dans le canal précédemment tracé un traceur obscur (“dart leader”) possédant une vitesse de l’ordre de 3.102 m/s et apportant une charge d’environ de 1C à la quelle est associée un courant de 1 kA. Entre la fin du premier arc en retour et le début du traceur obscur, une activité électrique, désignée par les processus J et K, se manifeste [6], [7]. La phase de l’arc en retour subséquent “Subsequent return stroke” Le traceur obscur déclenche enfin l’arc en retour subséquent (“Subsequent return stroke”). Cette décharge est caractérisée par une trajectoire continue et sans ramification, une vitesse de progression élevée et pratiquement constante de l’ordre de 1 à 1.2×108 m/s et enfin par des courants intenses atteignant des amplitudes de l’ordre de 200 KA et de temps de monté de l’ordre 0.5 µs. L’arc en retour subséquent et certainement la phase la plus redoutable dans le mécanisme de la foudre, en raison de raideur des fortes impulsions électromagnétiques rayonnées pendant cette phase (Endommagement possible des systèmes électriques et électroniques terrestres). De nouvelles séquences traceur‐arc peuvent ensuite se produire, donnant parfois jusqu'à 15 arcs en retour. Le dernier arc en retour est souvent à l'origine d'un fort courant de l'ordre de 100 A (“Continuing current”) qui draine la charge résiduelle de la cellule orageuse. Figure I.3 Illustration des différentes phases d’une décharge négative nuage‐sol [1]. 12 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Durant ce travail, nous ne traiterons que l’étude de l’arc en retour. La phase de traceur par pas a quant à elle été étudiée, en particulier, par Hutzler [8] et Fofana [9] I.3 Observations expérimentales La phase de l’arc en retour (premier et subséquent) a constituée durant ces dernières décennies un souci majeur pour les chercheurs dans ce domaine en raison des variations très brutales et des amplitudes très élevées du courant mis en jeu dans cette phase. En effet, plusieurs expériences ont été effectuées lors de compagnes expérimentales reconnues à l’échelle international afin de permettre la caractérisation du courant traversant le canal et du champ électromagnétique rayonné. Ces expériences ont permis aussi la validation de plusieurs modèles mathématiques établis pour la description de la phase d’arc en retour et de son rayonnement électromagnétique. I.3.1 Caractéristiques du courant d’arc en retour I.3.1.1 Mesure du courant de l’arc en retour à l’aide de tours instrumentées Depuis les années 50, plusieurs compagnes expérimentales ont été réalisées afin de caractériser le courant de foudre. La description la plus complète du courant de l’arc en retour est donnée par l’équipe de Professeur Berger [5], qui durant les années 1950 à 1980, a exploité une station expérimentale au Mont San Salvatore, prés de Lugano (en Suisse). La mesure du courant a été effectuée au sommet de deux tours de 55 m de haut. Le résumé de tous les résultats obtenus concernant les caractéristiques du courant de foudre est présenté dans la référence [5]. La figure I.4 illustre les formes moyennes des courants typiques correspondant aux arcs en retour premier et subséquent d’une décharge négative. Dans cette figure, On peut noter le temps de montée rapide du courant correspondant à l’arc en retour subséquent. La distribution statistique des paramètres principaux du courant est présentée dans le tableau I.1 13 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Figure I.4 Forme moyenne normalisée de l’arc en retour (A) premier, (B) subséquent [5]. Tableau I.1 Paramètres du courant d’un coup de foudre descendant négatif [5]. Paramètres Unité Courant de crête Premier arc en retour négatif kA Arc en retour subséquent négatif kA Charge totale Premier arc en retour négatif C Arc en retour subséquent négatif C Temps de montée (2 kA ­ crête) Premier arc en retour négatif µs Arc en retour subséquent négatif µs di/dt maximal Premier arc en retour négatif kA/ µs
Arc en retour subséquent négatif kA/ µs
Durée de l’impulsion (2 kA­mi­amplitude) Premier arc en retour négatif µs Arc en retour subséquent négatif µs Nombre des cas Nombre dépassant la valeur d’évènements indiquée 95% 50% 5% 101 14 30 80 135 4.6 12 30 93 1.1 5.2 24 122 0.2 1.4 11 89 1.8 5.5 18 118 0.22 1.1 4.5 92 5.5 12 32 122 12 40 120 90 30 75 200 115 6.5 32 140 De ce tableau, on peut extraire les remarques suivantes concernant les décharges de foudre descendantes négatives: Les amplitudes du courant du premier arc en retour sont supérieures à celles des arcs en retour subséquents. La valeur maximale de la variation du courant dans le cas d’un arc subséquent est supérieure à celle du premier arc en retour. 14 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Le temps de montée du courant de l’arc en retour subséquent est plus rapide que celui d’un courant du premier arc en retour. La durée de l’impulsion du courant de l’arc en retour subséquent est inférieure à celle du premier arc en retour. D’autres campagnes expérimentales de mesure du courant d’arc en retour ont été effectuées. A titre d’exemple, on peut citer celles effectuées durant les années 70 à savoir: Les mesures effectuées par l’équipe du Professeur Garbagnati au sommet de deux tours de 40 m, situées au sommet de deux montagnes une au nord et l’autre au centre de l’Italie [1]. Le courant mesuré correspond aux deux types de décharges de foudre : la décharge ascendante et la décharge descendante. Les mesures de l’équipe du Professeur Eriksson sur une tour de hauteur 60 m installées sur une terre plate en Afrique du sud, la tour a été isolée du sol et le courant de foudre a été mesuré à la base à travers un transformateur de courant et une sonde Rogowski. Plus de 50% des décharges observées étaient initiées par des traceurs descendants négatifs et aucun enregistrement des traceurs positifs n’a été réalisé. Le temps de montée du courant très rapide n’a jamais été observé dans d’autres études [10]. On peut trouver dans la littérature des mesures plus récentes du courant de foudre obtenues en utilisant de petites tours (par exemple : les résultats de Narita et al. [11] en 2000 au Japon, les résultats de Diendorfer et al. [12], [13] en 2000 et 2002 en Autriche et les résultats de Torres et al. [14], [15] en 1999 en Colombie). D’autres chercheurs ont exploités des tours plus élevées et d’une structure géométrique plus complexe que celles utilisées dans les compagnes citées ci‐avant. Parmi ces chercheurs, on peut citer par exemple le Professeur Shostak [16] qui a exploité en 1999 la tour CN la plus élevée dans le monde située à Toronto au Canada, elle est de 553 m de hauteur, le courant de l’arc en retour est mesuré à 474 m et à 509 m. Les résultats sont présentées sur la figure I.5. 15 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales (a)
(b)
Figure I.5 Courant de l’arc en retour mesuré à l’aide de la tour CN (a) à 509 m, (b) à 474m [16]. D’après ces résultats on remarque que la forme du courant mesuré change d’un endroit à un autre, la valeur du pic de ce courant augmente en allant du sommet de la tour vers le sol. Ceci est dû aux réflexions multiples de l’onde de courant au sommet avec un coefficient négatif et les réflexions multiples à la base de la tour avec un coefficient positif. I.3.1.2 Déclenchement artificiel de la foudre De manière à pouvoir étudier plus précisément les caractéristiques des décharges orageuses nuage sol, le déclenchement artificiel de la foudre (figure I.6) a été utilisé afin de maitriser le point d'impact. La méthode la plus couramment utilisée pour déclencher artificiellement la foudre s'appuie sur la technique fusée‐fil. On utilise une fusée connectée à un fil fin totalement ou partiellement métallique. Le principe de fonctionnement de cette méthode est assez simple. Lors d’un épisode orageux, le champ électrique au niveau du sol augmente et peu de temps avant que ne se produise le premier arc en retour, on note une augmentation significative et rapide de ce champ. En se basant donc sur cette élévation locale du champ électrique, on lance alors une fusée (figure I.7.c) connectée au sol par un fil fin métallique. De ce fait, on crée un effluve au niveau de la tète de la fusée et on favorise ainsi la création de l’arc en retour, en offrant par l’intermédiaire du fil fin un chemin de moindre résistivité. La connexion avec le traceur descendant entraine la fusion du fil fin et provoque un arc en retour dont les caractéristiques sont proches de celles d'un éclair naturel. 16 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Figure I.6 Exemple d’un déclenchement artificiel de la foudre en Floride [17]. (a) (b)
(c) Figure I.7 Equipements expérimentaux utilisés lors d’un déclenchement artificiel de la foudre
(a) Lanceur fixe, (b) lanceur mobile, (c) fusées [17]. Il existe plusieurs stations expérimentales de déclenchement artificiel de la foudre dans le monde, en particulier en France, aux Etats‐Unis et au Japon [1]. Cette technique est décrite en détail dans plusieurs travaux, plus particulièrement dans les références [1], [18] et [19]. Le déclenchement artificiel de la foudre a offert la possibilité de réaliser des mesures corrélées du courant de l’arc en retour à la base du canal, du champ électromagnétique associé et de la vitesse de l’arc en retour mesurée à l’aide de dispositifs optiques. Le tableau I.2 présente une étude comparative qui a été publiée en 1999 par Rakov [20]. Cette étude résume les caractéristiques du courant de l’arc en retour, à savoir le pic du courant et le pic de sa dérivée à partir de deux campagnes expérimentales l’une en 17 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales France et l’autre en Floride. De ce tableau, on note une similitude entre la valeur moyenne du pic du courant mesurée en Floride et celle rapportée par le Professeur Berger (Tableau I.1). Tableau I.2 Caractérisation du courant de l’arc en retour [20]. L’endroit De déclenchement artificiel Floride France Année Nombre d’évènement
1985‐1991 1986, 1990‐1991 305/134 Valeur moyenne du pic du courant mesuré (kA) 12.1 54/47 9.8 Valeur moyenne du pic de la dérivée du courant (kA/μs) 91.4 36.8 I.3.2 Caractéristiques de la vitesse de l’arc en retour En 1982, Idone et Orvile [21] ont publiés des données expérimentales concernant les valeurs de la vitesse de l’arc en retour correspondant à 17 premiers arcs en retour et à 46 arcs en retour subséquents. La vitesse moyenne mesurée était de 96 m/µs pour les premiers arcs en retour et de 120 m/µs pour les arcs en retour subséquents. D’autre part, Ces chercheurs ont mis en évidence que la vitesse de l’arc en retour (premier et subséquent) décroit en fonction de la hauteur, cette décroissance est plus marquée pour le premier arc en retour. Récemment, en 2007, Rakov [22] a rapporté que la vitesse de l’arc en retour est inférieure à la vitesse de la lumière à cause du fait que le canal est considéré comme une ligne de transmission avec pertes, non‐linéaire et non‐uniforme (l’approximation faite pour les lignes de transmission n’est plus valable). En plus, son impédance caractéristique n’augmente en fonction de la hauteur, ce qui engendre une dispersion de l’onde de l’arc en retour même en l’absence de pertes. La charge électrique ne peut pas être confinée à l’intérieur de la colonne qui se trouve à l’intérieure du canal et qui véhicule le courant de l’arc en retour, mais elle est repoussée à l’extérieur par une décharge électrique radiale formant une couronne. La résistance par unité de longueur 18 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales en avant du front de l’arc en retour est relativement grande (ce qui cause une atténuation et une dispersion additionnelle). Par contre, elle est deux fois moins ou plus en arrière du front. I.3.3 Caractéristiques du champ électromagnétique associé au courant de l’arc en retour Lin et al [23] ont simultanément mesuré le champ électrique vertical et le champ magnétique azimutal des arcs en retour premier et subséquent aux différentes distances du point d’impact. Ainsi, il a été possible de caractériser les formes d’ondes du champ électromagnétique en fonction de la distance (voir les figures I.8 et I.9). Le champ électromagnétique présente pour toute distance (entre 1 km et 200 km) un pic initial dont l’intensité est approximativement inversement proportionnelle à la distance. A des distances relativement proches, le champ magnétique présente une bosse (hump) à environ 30 µs, alors que le champ électrique à une décroissance en rampe après son pic initial. Les champs électrique et magnétique lointains (distance supérieure à environ de 50 km) ont essentiellement la même forme d’onde et présentes une inversion de polarité. Figure I.8 Champ électrique vertical correspondant à un premier arc en retour (trait continu) et à un arc en retour subséquent (pointillés) à des distances variant de 1 Km à 200 Km [23]. 19 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Figure I.9 Densité du flux magnétique correspondant à un premier arc en retour (trait continu) et à un arc en retour subséquent (pointillés) à des distances variant de 1 Km à 200 Km [23].
Les variations à l'échelle de la microseconde et sous la microseconde du champ électrique vertical et de sa dérivée temporelle ont fait l'objet d’études effectuées par Wiedman et Krider [24], [25]. Ces études ont montré que les premiers arcs en retour produisent un champ électrique vertical avec un front qui monte en 2 à 8 μs à environ la mi‐amplitude, suivi par une transition rapide jusqu'à la valeur de pic en un temps de l'ordre de 90 μs. Les arcs en retour subséquents, quant à eux, présentent aussi des transitions très rapides précédées d'un front qui dure seulement 0.5 μs à 1 μs, durant lequel l'intensité du champ monte à environ 20 % de la valeur de pic. D’autre part, les mesures publiées par ces mêmes auteurs dans les références [24] et [25], montrent des pics subsidiaires régulièrement espacés après le pic initial du champ électrique vertical. La figure I.10 illustre les formes détaillées du champ électrique rayonné normalisé à une distance de 100 Km. On remarque des petites impulsions notées (L) correspondant au traceur par pas, ces impulsions sont suivies d’un front lent (F) et une transition rapide 20 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales (R) correspondant à la phase du premier arc en retour (Figure I.10.a). Après la transition rapide, on distingue un petit pic secondaire α et les pics subsidiaires plus marqués a, b et c. Figure I.10 Formes détaillées du champ électrique rayonné normalisé à une distance de 100 Km a) premier arc en retour b) arc en retour subséquent précédé d’un traceur obscur par pas c) arc en retour subséquent précédé d’un traceur obscur [25]. 21 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Il existe d’autres compagnes expérimentales qui s’ont basées essentiellement sur la technique de déclenchement artificiel de la foudre et qui ont donné une importance particulière au champ électromagnétique rayonné à des distances proches (inférieures à 1 Km). Parmi ces compagnes, on peut citer celle qui a été effectuée durant l’été de l’année 1991 par Rubenstein et al [26] au Centre Spatial Kennedy (Kennedy Space Center) à la NASA (figure I.11). Les auteurs de la référence [26] ont analysé 40 formes d’ondes du champ électrique à 500 m et 8 formes à 30 m. La figure I.12 donne l’allure du champ électrique vertical mesuré à 500 m, correspondant à la phase traceur‐arc en retour. La durée de l’onde est de 800 μs. Cette durée s’explique par le fait que l’ionisation du canal de foudre par le traceur modifie sensiblement le champ électrique vertical, avec une augmentation lente de la pente négative de la courbe du champ électrique. Cette caractéristique n’est pas perceptible pour les longues distances, dans lesquelles la progression du traceur reste pratiquement invisible. Le commencement de la neutralisation des charges dans le canal par l’arc en retour est probablement associé avec le commencement de la progression positive et rapide du champ électrique vertical [10] (Figures I.12 et I.13). Figure I.11 : Campagne expérimentale de mesure du champ électrique vertical à 500 m et 30 m [26].
22 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales Figure I.12 : Champ électrique vertical mesuré à 500 m du point d’impact de la foudre. Les flèches indiquent le commencement de la phase de l’arc en retour [26]. Figure I.13 : Champ électrique vertical mesuré à 30 m du point d’impact de la foudre. Les flèches indiquent le commencement de la phase de l’arc en retour [26]. I.4 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté un rappel théorique relatif à la physique du phénomène de foudre, et aux différentes observations expérimentale qui s’y rattachent en vue de mettre en évidence les principales caractéristiques des grandeurs mesurables à savoir le courant d’arc en retour, sa vitesse de propagation le long du canal de foudre, et le champ électromagnétique associé. Du point de vu des décharges orageuses, les seuls éléments pour lesquels on possède suffisamment d’informations sont les courants mesurés au sol et la signature 23 Chapitre I Phénoménologie de la foudre et observations expérimentales électromagnétique des arcs en retour mesurées aux différentes distances. Ces deux grandeurs expérimentales sont souvent utilisées dans la littérature pour tester la validité des modèles mathématiques établis pour la représentation de la phase d’arc en retour et de son rayonnement électromagnétique. Le modèle ainsi testé peut être considéré comme valable s’il permet d’obtenir une bonne approximation de toutes les grandeurs mesurables. Dans le chapitre suivant nous allons présenter une revue générale sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre 24 Chapitre II
Synthèse sur la modélisation du
rayonnement électromagnétique
de la foudre
Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre II.1 Introduction En plus des dommages importants que peuvent provoquer les coups de foudre directs sur l’environnement (lignes de transport d’énergie électrique, systèmes de télécommunications, sous – stations, aéroports, centres de contrôle …), les champs électromagnétiques rayonnés par des décharges de foudre constituent une importante contrainte à laquelle les systèmes électriques et leurs composants sont exposés. Par conséquent, la connaissance des champs électromagnétiques rayonnés par la foudre et particulièrement lors de la phase de l’arc en retour à cause de sa forte agressivité électromagnétique, est très utile pour mieux dimensionner les systèmes de protection vis‐à‐vis cette agression électromagnétique. Expérimentalement, l’étude de la foudre est très délicate à mener vu l’aspect aléatoire qui caractérise ce phénomène et l’impossibilité de contrôler l’instant et le lieu où elle peut frapper. Bien qu’il soit possible depuis quelques années de déclencher artificiellement la foudre, la physique du phénomène n’est pas encore maîtrisée et beaucoup de questions restent encore sans réponses. De plus, les essais en grandeur nature sont coûteux et lourds à mettre en œuvre. C’est pourquoi, disposer d’un modèle prédictif du rayonnement électromagnétique de la foudre serait très utile pour une caractérisation bien détaillée sur le plan spatio‐temporel. En effet, l’intérêt de la modélisation de la foudre réside dans sa capacité à prédire les caractéristiques de cette dernière de la façon la plus conforme possible aux caractéristiques expérimentales. Cela permet ainsi de réduire les temps et les coûts de l’expérimentation de la foudre. La validation d’un modèle passe donc par la comparaison des résultats de simulation qu’il fournit avec les résultats expérimentaux. Dans ce chapitre, nous présentons une synthèse de l'ensemble des modèles décrivant le rayonnement électromagnétique associé aux phases d'arcs en retour (premier et subséquent) de la foudre, ainsi qu’une représentation des méthodes de calcul des champs électromagnétiques produits par la foudre, au‐dessus et en dessous du sol. 26 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre II.2 Modélisation du canal de foudre lors de la phase d’arcs en retour II.2.1 Classification des modèles d’arc en retour [17] Durant les dernières décennies, plusieurs modèles de l’arc en retour avec différents degrés de complexité ont été développés afin de permettre d’évaluer son rayonnement électromagnétique. L’une des difficultés majeures liée à la modélisation du canal de foudre réside dans le fait que le courant ne peut être mesuré qu’à la base du canal ; or, pour déterminer le champ électromagnétique rayonné, il est nécessaire de connaître la distribution spatio‐temporelle du courant dans le canal. Ces modèles ont fait l’objet de plusieurs revues durant ces dernières années (voir par exemple : [27 ‐ 34]). Ainsi, dans la référence [30], les modèles de l’arc en retour sont classés en quatre catégories : a) Modèles physiques : Ils sont basés sur les études réalisées dans des laboratoires de recherches sur les décharges électriques depuis une cinquantaine d’années, leurs applications sur le mécanisme de la foudre se distinguent d’être, du point de vue conceptuel, comme les modèles les plus complets et les plus performants. Ils utilisent une approche physico‐
chimique décrivant l’évolution d’une décharge électrique dans un plasma contenu dans un volume cylindrique. Ils font intervenir les équations de conservation de masse et d’énergie, les équations d’état et les équations de Maxwell. Cependant, en dépit de leur rigueur théorique, ces modèles n’ont jamais donné une entière satisfaction de point de vue prédiction des champs électromagnétiques rayonnés. De plus ils sont connus pour être des modèles lourds [7], [27], car ils nécessitent une connaissance des différents paramètres physiques difficiles à déterminer avec précision tels que les coefficients d’ionisation et de recombinaison de l’air, les propriétés thermodynamiques du canal, les conductivités thermiques et électriques du canal,…etc. b) Modèles électromagnétiques : Dans ces modèles, la théorie des Antennes est adoptée pour simuler le canal de foudre. La distribution spatio‐temporelle du courant le long du canal est obtenue par le biais de la résolution numérique des équations de Maxwell. Le calcul du champ électromagnétique s’effectue, en général, par l’utilisation de la méthode des moments [35], [36]. 27 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre c) Modèles RLC : Ces modèles sont aussi connus sous le nom « modèles des lignes de transmission ». La décharge de foudre est représentée comme un processus transitoire sur une ligne de transmission caractérisée par une résistance, une inductance et une capacité. Ce type de modèles est utilisé pour déterminer le courant de foudre en fonction du temps et de la hauteur et par la suite le calcul du champ électromagnétique rayonné [34], [37]. d) Modèles d’ingénieur : Ce sont les modèles les plus utilisés par la communauté scientifique. Dans ces derniers, la distribution spatio‐temporelle du courant de foudre est basée sur les observations expérimentales des caractéristiques de l’arc en retour comme le courant à la base du canal, la vitesse de l’arc en retour et la luminosité [27]. Ces modèles sont connus par leur simplicité, l’aspect physique de l’arc en retour n’est pas pris en compte, l’objectif de l’utilisation de ces modèles est de reproduire le plus fidèlement possible les courbes expérimentales du champ électromagnétique pour des distances allant de quelques dizaines de mètres à quelques centaines de kilomètres [38]. Dans la partie qui suit, nous nous limiterons aux modèles selon lesquels il existe une relation relativement simple entre la distribution du courant le long du canal et le courant à la base du canal. C’est alors cette dernière catégorie (modèles d’ingénieur) qui permet d’utiliser le courant à la base du canal comme donnée initiale du problème, ce qui constitue une démarche légitime étant donné que ce dernier est une grandeur mesurable. Il est à noter cependant, que les autres catégories des modèles citées au paragraphe précédant ont quand à elles été étudiées dans plusieurs travaux, en particulier, dans les références [8], [9], [39], [40] et [41]. Avant de présenter les modèles d’ingénieur, il nous a paru commode d’étudier en premier lieu la forme analytique du courant à la base du canal en raison de la dépendance commune des différents modèles d’ingénieur de ce dernier. II.2.2 Formes analytiques du courant d’arc en retour à la base du canal Pour calculer le champ électromagnétique rayonné par l'arc en retour d'une décharge 28 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre orageuse, il importe de connaître en premier lieu le courant situé à la base du canal. En effet, il existe différentes expressions analytiques qui peuvent être utilisées afin de simuler l’allure temporelle du courant d’arc en retour. La forme analytique de ce courant, généralement rencontrée au sein de la littérature, se compose d’une soustraction entre deux fonctions exponentielles. Ce type de fonction bi‐exponentielle présente l’intérêt d’avoir une transformée de Fourier pouvant être calculée de manière analytique, ce qui facilite l’analyse dans le domaine fréquentiel. Ainsi, les courants du premier arc en retour et celui de l’arc en retour subséquent ont été modélisé respectivement par les expressions suivantes [42]: Premier arc en retour : 0,
.
(II.1) Où : Io : Amplitude du courant, α : Inverse du temps de montée de l’impulsion du courant β : Inverse de la durée de l’impulsion du courant. Arc en retour subséquent : 0,
0,
0,
(II.2) Avec : 0,
.
(II.3) 0,
.
(II.4) Et : I1 : Amplitude du courant i1, α1 : Inverse du temps de montée de l’impulsion du courant i1, β1 : Inverse de la durée de l’impulsion du courant i1. 29 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre Même définitions pour le courant i2. Le tableau II.1 présente les paramètres de ces deux fonctions. Ces paramètres, liés au temps de montée, à la valeur de crête et à la durée de l’impulsion du courant, ont été déterminés de manière à reproduire le plus fidèlement possible les courbes expérimentales moyennes, obtenues par Berger et al. publiées dans [5]. Tableau II.1 Paramètres des fonctions bi‐exponentielles simulant le courant de foudre à la base du canal [42]
Premier arc en retour Arc en retour subséquent I01 (kA) 37.7 α1 (s­1) β 1 (s­1)
9.2×103 4×105 14.3 18×104 3×106 I02 (kA) α 2(s­1) _ _ 10 104 β 2 (s­1) _ 9.4×104 Dans la figure II.1, nous présentons les formes d’ondes normalisées du courant du premier arc en retour et celui de l’arc en retour subséquent sur une durée de 50 μs. Ces formes sont obtenues en utilisant le modèle bi‐exponentiel du courant à la base du canal de foudre et en adoptant les paramètres du tableau II.1. 1
0.8
0.6
i/imax 0.4
Premier arc en retour
0.2
Arc en retour subséquent
0
0
10
20
t (µs) 40
50
Figure II.1 Courant à la base du canal (normalisé) correspondant au premier arc en retour et à l’arc en retour subséquent calculés à l’aide du modèle bi‐exponentiel. 30 30
Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre Cependant on retrouve dans la littérature une deuxième expression analytique proposée par Heidler [43]. Cette expression connue sous le nom « fonction d’Heidler » présente l’intérêt d’obtenir une allure plus proche à la réalité. Ainsi, le courant à la base du canal est exprimé comme suivant : /
0,
/
/
(II.5) Avec : I0 : Amplitude du courant, τ1 : Temps de montée de l’impulsion du courant, τ2 : Durée de l’impulsion du courant, n : Exposant variant de 2 à 10, η : Facteur de correction de l’amplitude du courant donné par : /
/
(II.6) Le courant d’arc en retour subséquent est modélisé par une sommation des deux fonctions d’Heidler : 0,
0,
0,
(II.7) Où : 0,
/
0,
/
/
(II.8) /
(II.9) /
/
Avec : I01 : Amplitude du courant i1, τ11 : Temps de montée de l’impulsion du courant i1, τ12 : Durée de l’impulsion du courant i1, n1 : Exposant variant de 2 à 10, η1 : Facteur de correction de l’amplitude du courant i1 donné par une expression de type (II.6) 31 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre Même définitions pour le courant i2. Le tableau II.2 présente les paramètres des deux fonctions d’Heidler qui modélisent le courant à la base du canal correspondant à un arc en retour subséquent. Ces paramètres issus de la référence [44] ont été ajustés pour simuler un courant à la base du canal mesuré lors d’une compagne expérimentale effectuée en Août 1995 au Centre Spatial Kennedy, en Floride. Tableau II.2 Paramètres des deux fonctions d’Heidler simulant le courant de foudre à la base du canal [44]. Paramètres de la deuxième fonction d’Heidler I02 (kA) τ21 (µs) τ22 (µs) n1 4.9 4.2 41 3 Paramètres de la première fonction d’Heidler I01 (kA) τ11 (µs) τ12 (µs) n1 9.3 1.6 0.75 2 La figure II.2.a présente l’allure temporelle du courant à la base du canal obtenue à l’aide du modèle d’Heidler et en adoptant les paramètres du tableau II.2. La courbe mesurée lors de la compagne expérimentale au Centre Spatial Kennedy, est représentée dans la figure II.2.b. En comparant les deux allures, nous pouvons remarquer d’une part la bonne approximation entre la mesure du courant et la modélisation d’Heidler, et d’autre part la possibilité de reproduire la bosse caractéristique qui suit un pic initial observée lors des mesures. 5 4
i( kA) 3 2 1
0
0
(b) (a) 5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t(µs) Figure II.2 Courant à la base du canal correspondant à un arc en retour subséquent (a) Calculé à l’aide du modèle d’Heidler, (b) issu de la référence [44] 32 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre Par ailleurs, la modélisation d’ Heidler permet d’obtenir une dérivée nulle à t = 0, contrairement à la fonction bi‐exponentielle habituellement utilisée. Enfin, elle permet d’ajustement de l’amplitude du courant, de la dérivée maximale du courant, et de la charge transférée, en faisant varier respectivement les paramètres, τ1, τ2, et I0, et ceci presque indépendamment. Nous pouvons citer aussi une autre formulation analytique proposée en 1990 par Nucci et al. [45]. Cette formulation appartenant à un modèle connu sous le nom « Modèle hybride », du fait qu’elle constitue une sommation entre deux termes, l’un écrit sous la forme de la fonction d’Heidler (expression II.5), et l’autre écrit sous la forme bi‐
exponentielle (expression II.1). Cette formulation s’écrit comme suit : /
0,
/
/
.
/
/
(II.10) Afin de reproduire par simulation l’onde de courant à la base du canal obtenue expérimentalement par Leteinturier et al. [46], nous utilisons l’expression (II.10), et à travers le tableau II.3, nous adoptons les paramètres relatifs à cette l’expression. L’allure du courant résultant (figure II.3) est caractérisée par un pic initial de 11 kA et une valeur maximale de la dérivée d’environ de 105 kA/µs. Tableau II.3 Paramètres du modèle hybride simulant le courant de foudre à la base du canal [46].
Paramètres de la fonction d’Heidler I01 (kA) τ1 (µs) 9.9 0.072 τ2 (µs) 5 n 2 33 Paramètres de la fonction bi­
exponentielle I02 (kA) τ3 (µs) τ4 (µs) 7.5 100 6 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre 12 10
8 i( kA) 6 4 2
0
0
10
20
t(µs)
30
40
50
Figure II.3 Courant à la base du canal de foudre simulé à l’aide du modèle hybride II.2.3 Modélisation de la distribution spatio­temporelle du courant d’arc en retour le long du canal (Modèles d’ingénieur) La détermination de la distribution spatio‐temporelle du courant d’arc en retour le long du canal est une démarche nécessaire qui s’impose dans calcul du champ électromagnétique associé à un arc en retour. Dans cette optique, Différents modèles appartenant à la catégorie des modèles d’ingénieur ont été proposés depuis 1941. Ces derniers présentent l’avantage d’avoir une formulation mathématique relativement simple et facile à utiliser, ce qui a permis une nette amélioration dans la précision des résultats issus du calcul du champ électromagnétique rayonné et une reproduction valable des observations expérimentales provenant des éclairs naturels et artificiels. Cependant, la particularité commune de ces modèles réside dans le fait qu’on peut déduire à travers une simple relation mathématique, la distribution spatio‐temporelle du courant le long du canal, et ceci à partir des valeurs instantanées du courant à la base du canal. II.2.3.1 Modèle de Bruce et Golde BG Il a été développé par Bruce et Golde en 1941 [47]. En effet, ces chercheurs ont modélisé le canal de foudre par une antenne verticale de très faible section, parcourue par une impulsion de courant qui se propage à une vitesse inférieure à la vitesse de la lumière ; cette propagation ne subit ni déformation ni atténuation, le courant 34 ,
à des Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre hauteurs inférieures au front de l’arc en retour est égal au courant à la base du canal. Par ailleurs, à des hauteurs supérieures au front de l’arc en retour, comme dans tous les autres modèles, le courant est nul. Mathématiquement, ces hypothèses peuvent se traduire par l’expression suivante : ,
. (II.11) .
0, 0 Où est la vitesse du front de l’arc en retour La figure II.4 donne, à titre d’exemple, une représentation tridimensionnelle (courant dans le canal en fonction du temps et de la hauteur dans le canal) du modèle BG. Les paramètres du courant à la base du canal utilisés comme données initiales pour cette représentation sont ceux représentés dans le tableau II.2, avec une vitesse de propagation du courant le long du canal, 150 /µ . La discontinuité qui apparait au front d'onde de l'arc en retour implique une neutralisation instantanée des charges avant l'arrivée du courant. De plus le modèle présente une autre limitation. En effet Bruce et Golde proposent que le courant en tout point du canal soit identique à celui situé à la base du canal à ce même instant. Ceci exigerait une vitesse de propagation des charges infinie, résultats contraires à ceux obtenus par Nucci [42] presque 50 ans plus tard, en 1988 [45]. 5
4.5
4
6
4
3.5
i( kA) 3
2.5
2
60
1.5
0
8
40
1
6
20
4
z’(km) 2
0
t(µs)
0.5
0
Figure II.4 Distribution spatio‐temporelle du courant d’arc en retour subséquent le long du canal selon le modèle BG 35 2
Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre II.2.3.2 Modèle de la ligne de transmission TL (Transmission Line) Ce modèle proposé en 1961 par Uman et McLain [48], assimile le canal foudre à une ligne de transmission verticale sans pertes. Le courant de l’arc en retour se propage donc vers le haut du canal avec une vitesse constante (Figure II.5). Mathématiquement, le courant ,
sans subir de déformation à une hauteur du canal est décrit par la relation suivante : ,
0,
. .
0 (II.12) Pour montrer un exemple sur la représentation tridimensionnelle du modèle TL, nous adoptons les mêmes paramètres décrits au tableau II.2 et la même vitesse d’arc en retour utilisé dans l’exemple précédant. 5.5
5
4.5
4
3.5
i( kA) 6
4
3
2.5
2
2
50
0
8
40
30
6
20 t(µs)
4
z’(km) 1.5
1
0.5
10
2
0
0
Figure II.5 Distribution spatio‐temporelle du courant d’arc en retour subséquent le long du canal selon le modèle TL Le modèle TL n'est pas en accord avec les observations expérimentales. En effet, il ne prend pas en compte les distorsions et affaiblissements du courant de foudre le long du canal dû physiquement au transfert de la charge entre le traceur et l’arc en retour instantanément avec la propagation de celui‐ci. De plus, ce modèle ne permet pas l’intégration des variations de la vitesse de propagation le long du canal [22]. 36 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre II.2.3.3 Modèle de la source du courant mobile TCS (Travelling Curent Source) Proposé par Heilder en 1985 [49]. Ce modèle considère que les charges provoquées par le traceur sont neutralisées par l'arc en retour. Un courant de source, associe à l'arc en retour, propagé à la vitesse de la terre vers le sommet. Le courant injecte par une telle source à la hauteur se propage vers le bas à la vitesse de la lumière c. C'est alors après un temps égal à z'/c qu'il atteint le sol. La formulation spatio‐temporelle du courant de foudre, selon ce modèle, s’écrit : ,
0,
. .
0 (II.13) En adoptant toujours les mêmes paramètres du courant à la base du canal cités dans les exemples précédents, nous illustrons à la figure II.6 la représentation tridimensionnelle propre au modèle TCS. De cette représentation, nous pouvons remarquer la similarité de ce modèle au modèle BG (figure II.4), notamment, en ce qui consterne la discontinué présenté au front de l’onde de courant propagé du sol vers le nuage. La seule différence entre les deux modèles apparait dans la supposition des valeurs du courant en tout point dans le canal. 5
4.5
4
6
i( kA) 3.5
3
4
2.5
2
50
40
0
8
30
6
20 t(µs) 4
z’(km) 1.5
1
0.5
10
2
0
0
Figure II.6 Distribution spatio‐temporelle du courant d’arc en retour subséquent le long du canal selon le modèle TCS 37 2
Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre II.2.3.4 Modèle de la ligne de transmission modifié MTL (Modified Transmission Line) Afin de pallier les défauts du modèle TL tout en gardant sa simplicité qui permet une utilisation aisée dans les calculs champ électromagnétique associé à un arc en retour, plusieurs auteurs ont proposé deux modèles complémentaires, permettant de prendre en compte le transfert de charges entre le traceur et l’arc en retour. Ainsi, la distribution du courant le long du canal est exprimée selon ces deux modèles par la relation commune suivante : 0,
,
Où .
0 . .
(II.14) est une fonction de décroissance (ou bien fonction d’atténuation) de l’onde de courant le long du canal. Nous distinguons à travers deux expressions de cette fonction entre deux modèles à savoir : a) Le modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance linéaire MTLL (“Modified Transmission Line with Linear decay”) Proposé en 1987 par Rakov et Dulzon [50]. Ce modèle rajoute au modèle TL existant, une fonction de décroissance de courant le long du canal de forme linéaire. Cette fonction est exprimée comme suit : 1
(II.15) Avec la hauteur totale du canal de foudre. b) Le modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance exponentielle MTLE (“Modified Transmission Line with Exponential decay”) De même que le modèle MTLL, le MTLE proposé d’abord en 1988 par Nucci et al. [42], puis repris en 1990 par Rachidi et Nucci [51], suggère une fonction d’atténuation du courant le long du canal de forme exponentielle : (II.16) 38 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre Le paramètre représente le taux de décroissance de l’intensité du courant le long du canal. Sa valeur a été estimée par Nucci et Rachidi à 2 km [51]. Selon les travaux publiés par Lin et al. en 1979 [23]. Cette valeur est comprise entre 1.5 km et 2 km. A noter que le paramètre a été introduit dans la formulation du courant le long du canal afin de prendre en compte le transfert de charges entre le traceur et l’arc en retour. Les figures II.7 et II.8 présentent respectivement la représentation tridimensionnelle de la distribution du courant le long du canal selon les modèles MTLL et MTLE. Dans ces deux figures, nous pouvons distinguer entre les deux modèles à travers la décroissance du courant le long du canal qui est facilement remarquable sur ces deux exemples. Les données adoptées dans ces exemples sont celles utilisées précédemment pour une hauteur 8 pour le modèle MTLL et 2 pour le modèle MTLE. 5
4.5
4
6
i( kA) 3.5
3
4
2.5
2
2
50
0
8
40
30
6
20 t(µs)
4
z’(km) 1.5
1
0.5
10
2
0
0
Figure II.7 Distribution spatio‐temporelle du courant d’arc en retour subséquent le long du canal selon le modèle MTLL 39 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre 5
4.5
4
6
4
3.5
i( kA) 3
2.5
50
2
40
0
8
1
20 t(µs)
4
z’(km) 0.5
10
2
0
1.5
30
6
2
0
Figure II.8 Distribution spatio‐temporelle du courant d’arc en retour subséquent le long du canal selon le modèle MTLE II.2.3.5 Modèle de Diendorfer et Uman Présenté par Diendorfer et Uman en 1990 [52], il ajoute un terme au modèle TCS permettant de prendre en compte une décroissance exponentielle inverse du courant de front ascendant grâce à l’expression suivante: 0,
,
0,
.
.
0 . (II.17) .
Avec : (II.18) Et est une constante de temps supposée égale à 0.1 µs selon Thottappillil et al. [28]. Le modèle TCS constitue un cas particulier du modèle DU pour 0. II.2.3.6 Représentation générale de cinq modèles d’ingénieur A l’exception du modèle DU, Rakov et al [27] ont exprimé les modèles d’ingénieur citée auparavant par une relation commune qui permet de déterminer le courant à n’importe 40 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre quelle position verticale dans le canal, et à n’importe quel instant, à partir du courant à la base du canal. Cette relation est donnée par l’expression suivante : ,
.
.
0,
(II.19) Avec : : Fonction d’atténuation du courant le long du canal, : Vitesse de propagation de l’onde de courant, : Fonction échelon d’unité donné par : 1 0 0
(II.20) 0
Les cinq modèles d’ingénieurs exprimés par la relation (II.19) différent essentiellement l’un de l’autre par la description spatiale de la fonction d’atténuation du courant le long du canal : , et la vitesse de propagation de l’onde de courant . Le tableau II.4, décrit les différentes valeurs de cette vitesse, ainsi que les différentes expressions de la fonction pour chaque modèle. Tableau II.4 Paramètres et dans l’expression (II.19) pour cinq modèles d’ingénieur selon Rakov [27] Modèle MTLL 1
MTLE BG 1 ∞ TCS 1 41 1 TL Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre II.3 Approches d’évaluation du champ électromagnétique rayonné par la foudre La principale étapes intervenant dans modélisation du problème du rayonnement électromagnétique de la foudre est celle qui consiste en l’évaluation des cartographies du champ électromagnétique rayonné pour être utiles d’une part à la caractérisation spatio‐temporelle de ce champ, et d’autre part, à la prédiction des effets de la foudre à travers l’estimation du couplage de ce champ avec les différentes composantes électroniques et/ou électriques en déterminant les courants et les tensions induit dans ces composante. Aussi, différentes approches issues de la théorie relative à la propagation du champ électromagnétique ont été utilisées par la communauté scientifique. Nous essayons à travers cette partie de ce chapitre, de présenter ces différentes approches.
II.3.1 Calcul du champ électromagnétique au dessus du sol II.3.1.1 Formules générales Le problème du rayonnement électromagnétique d’un dipôle au dessus d’un plan conducteur a été traité par Baños en 1966 [53] en déterminant la solution analytique exacte des équations de Maxwell pour chaque milieu en accord avec les conditions aux limites sur l’interface air‐sol. En coordonnées cylindriques, les expressions du champ, créé par un dipôle électrique placé à une hauteur z’, sont données dans le domaine fréquentiel par l’expression suivante [17] (voir figure II.9) : , ,
, ,
, ,
,
(II.21) Avec : (II.22) (II.23) (II.24) 42 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre Et ; ; μ
Où, , ,
μ
, ; , ,
et μ
, ,
sont respectivement les composantes radiale et verticale du champ électrique et le champ magnétique azimutal. Les paramètres µ , et étant respectivement la permittivité diélectrique, la perméabilité magnétique et la conductivité électrique du sol, est la fonction de Bessel d’ordre 0, ,
désigne la transformée de Fourier de la distribution du courant le long du canal. Figure II.9 Modèle géométrique intervenant dans les équations du champ électromagnétique [17]. L’expression (II.21) contient les intégrales (II.22), (II.23) et (II.24) dites de Sommerfeld [54] qui présentent l’inconvénient d’être gourmandes en temps de calcul [2]. De plus, la nécessité d’effectuer une transformée de Fourier inverse afin de revenir dans le domaine temporel, n’est pas sans poser des problèmes d’ordre numérique [2]. 43 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre II.3.1.2 Approximation d’un sol parfaitement conducteur En adoptant l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur, le calcul du champ électromagnétique devient plus simple. Dans ce cas, les formes d’ondes du champ électromagnétique peuvent être obtenues dans le domaine temporel de deux manières différentes : D’une part, grâce à l’utilisation des équations de Maxwell et de la théorie des images (présentée par Uman dans la référence [1]), et d’autre part en faisant tendre la conductivité du sol vers l’infini dans les intégrales de Sommerfeld citées auparavant (Leteinturier [55]). On suppose que le courant de l’arc en retour se propage du sol vers le sommet du canal et répond aux différents modèles d’ingénieur présentés dans la section II.2.3. Le champ total rayonné en un point , ,
situé au‐dessus du sol, s’obtient donc par sommation des contributions de chaque dipôle et de son image de longueur Infinitésimal , situé à la hauteur , et traversé par un courant , comme représenté sur la Figure II‐9. En approximant le canal foudre à une antenne filaire rectiligne perpendiculaire à un sol parfaitement conducteur, on peut alors exprimer le rayonnement total du canal en point , ,
par l’intégration le long du canal des expressions (II.25), (II.26) et (II.27) : ,
, ,
contribution électrostatique
contribution induite (II.25) ,
,
contribution rayonnée
,
,
, ,
,
, ,
Avec : ,
contribution électrostatique
contribution induite (II.26) contribution rayonnée
contribution induite
,
contribution rayonnée
44 (II.27) Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre Où l’indice “P” indique que le sol est parfaitement conducteur, est la permittivité diélectrique du vide, μ la perméabilité magnétique du vide, c la vitesse de la lumière, R la distance du dipôle au point d’observation, r la distance radiale entre le canal de foudre et le point d’observation et z’ la hauteur du point d’observation par rapport au sol. Cependant, le champ électrique vertical et le champ électrique radial représentent la somme de trois contributions : 1. Une contribution électrostatique ayant pour source l’intégrale du courant de l’arc en retour et représentant la charge du canal, 2. Une contribution induite ayant pour source le courant de l’arc en retour. 3. Une contribution rayonnée ayant pour source la dérivée du courant de l’arc en retour. Le champ magnétique azimutal est, quand à lui, composé par une composante rayonnée (ayant pour source la dérivée du courant de l’arc en retour) et une composante induite (ayant pour source le courant de l’arc en retour). Bien que l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur permette une simplification importante des équations du champ, elle n’est pas toujours valable. Pour des distances ne dépassant pas quelques kilomètres, elle est une approximation raisonnable dans le calcul du champ électrique vertical et le champ magnétique azimutal comme il a été montré par plusieurs auteurs (Rachidi et al. [56], Rubenstein [57], Zeddam et Degauque [58]). Quant à la composante radiale du champ électrique, elle est beaucoup plus affectée par la conductivité finie du sol (voir les références [55], [59] et [60]). Pour les distances supérieures à plusieurs kilomètres, la propagation au dessus d’un sol de conductivité finie n’est plus négligeable et a pour conséquence majeure une atténuation des composantes hautes fréquences, qui se traduit par une diminution de la valeur de pic et de la raideur du front du champ [17]. II.3.1.3 Approximation de Cooray­Rubenstein La prise en compte rigoureuse de la conductivité du sol nécessite l’utilisation des Intégrales de Sommerfeld qui présentent l’inconvénient d’être lentement convergentes. 45 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre Ainsi, différents auteurs ont proposé des formules simplificatrices permettant de calculer le champ horizontal en tenant compte de la conductivité du sol [60]. La formule la plus simple est celle connue sous le nom « l’approximation de Cooray­Rubenstein » (Rubenstein [57], Cooray [61]) qui permet d’obtenir un bon compromis entre le temps de calcul et la précision. La formulation proposée considère que le champ électrique vertical et le champ magnétique azimutal sont indépendants de la conductivité du sol. Selon cette approximation le champ électrique radial est donné dans le domaine fréquentiel par l’expression suivante: , ,
, ,
,
0,
⁄
(II.28) Si la conductivité du sol est élevée, l’expression (II.28) peut être simplifiée comme suit : , ,
, ,
,
(II.29) 0,
Avec : δ désigne l’épaisseur de peau, Cette approche proposée indépendamment dans [57] et [61], est une des approches qui semble maintenant la plus prometteuse [2]. Elle a été établie dans le but d’avoir une bonne approximation du champ électrique radial dans certains cas significatifs. En effet, cette approche permet de retrouver les polarités positives et négatives du champ aux différentes distances du point d’impact de la foudre (champ proche et champ lointain). D’autre part les résultats obtenus à l’aide de cette approximation sont proches de ceux obtenus par des expressions rigoureuses. Récemment en 2002, Cooray [62] a rapporté qu’une erreur de plus de 25% est observée sur le pic initial du champ horizontal calculé par l’expression (II.28) à une hauteur de quelques dizaines de mètres. Et il a proposé une modification dans le terme du champ électrique radial correspondant au cas d’un sol parfaitement conducteur et intervenant à l’expression (II.28). Cette modification minimise l’erreur à moins de 5% : 46 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre , ,
, ,
, ,
0.4
, ,
(II.30) Les indices “s”, “i” et “r” désignent, respectivement, les contributions : électrostatique, induite et de rayonnée correspondantes au champ électrique radial calculé avec l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur. II.3.2 Champ électromagnétique en dessous du sol
Le problème de l’évaluation des perturbations induites par la foudre dans les câbles souterrains a récemment attiré plus d’attention des chercheurs comparé au passé, et ceci à cause de l’augmentation du nombre des installations électriques situées en dessous du sol durant ces dernière années. L’objectif a été le développement de modèles et d’outils de calcul du champ électromagnétique produit par la foudre en dessous du sol, Afin de permettre ensuite l’estimation des courants et des tensions induites par ce champ dans les câbles enterrés. La formule générale citée au paragraphe II.3.1.1 (expression II.21) et qui a été développée par Baños [53], est mathématiquement adaptable au problème du rayonnement électromagnétique de la foudre en un point situé en dessous du sol, mais malheureusement, du point de vue numérique, elle présente toujours les inconvénients cités auparavant. II.3.2.1 Approximation de Cooray En 2001, Cooray [63] a proposé des expressions simplifiées permettant le calcul des champs électriques pénétrant dans le sol et générés par une onde de type foudre. Ces expressions du champ se basent sur la connaissance du champ électrique dans le cas d’un sol de conductivité finie, au niveau de l’interface sol‐air. Ainsi dans le domaine fréquentiel, et sachant que la coordonnée verticale du point d’observation z est négative, ces expressions sont données par : , ,
,
0,
(II.31) , ,
,
0,
(II.32) , ,
,
0,
(II.33) 47 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre Avec μ
μ
En 2004, Petrache [7] a fait une comparaison entre les expressions simplifiées de Cooray et les solutions numériques exactes publiées par Zeddam [29]. Le point d’observation est situé à une distance de 100 m du canal de foudre à deux profondeurs en dessous du sol (1 m et 10 m) et pour deux valeurs de conductivités du sol : 0.01 S/m et 0.001 S/m. Il a trouvé que l’approximation de Cooray donne des résultats très satisfaisants. II.3.2.2 Algorithme de Delfino et al. Récemment, en 2006 Delfino et al. [64] ont proposé un algorithme efficace pour l’évaluation exacte du champ électromagnétique en dessous d’un sol imparfait. Ces auteurs ont présenté l’expression (II.21) à une autre forme connue sous le nom « fonction de Green » [64] qui s’écrit de la manière suivante : , ,
∞
, ,
∞
,
exp
∞
,
exp
, ,
,
exp
(II.34) Avec : Le paramètre désigne le nombre de réfraction complexe, et désignent les nombres d’onde dans le sol et l’air respectivement, est la fonction de Bessel d’ordre 1. En effet, les auteurs de cette même référence [64] ont remédié à l’inconvénient de la semi‐infinité de l’intervalle d’intégration par rapport à la variable complexe λ intervenant dans l’expression (II.34), par une technique mathématique qui consiste à trouver un point M appartenant à cette intervalle et qui peut minimiser l’écart entre l’intégration sur l’intervalle semi‐infini et celle sur la sous‐intervalle limité par ce point M, ce dernier est obtenu par des procédures itératives (pour plus de détails voir la référence [64]). Par ailleurs, l’algorithme de Delfino et al., développé sur la base des expressions (II.34) a été utilisé pour tester la validité de la formule de Cooray. Cette dernière utilisée pour la 48 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre prédiction du champ électromagnétique permet l’obtention d’un bon accord avec la solution exacte pour les grandes valeurs de la conductivité du sol (≈ 0.01 S/m). Cependant, pour les petites valeurs de la conductivité (≈ 0.001 S/m), la formule de Cooray donne des résultats moins satisfaisants par rapport à la formulation exacte. II.3.2.3 Approximation par la méthode FDTD La méthode numérique des différences finies points contrés dite, FDTD (Finite‐
Difference Time‐Domain) à été introduite dans le domaine de l’électromagnétisme en 1966 par Yee [65]. elle été ensuite raffinée et employée par beaucoup de chercheurs dans différents secteurs comportant des phénomènes de dispersion d’ondes électromagnétiques, et de couplage onde‐structure. Cependant, dans le domaine de recherche lié à la foudre, la méthode FDTD à été largement utilisé, pour calculer les surtensions et les courants induits dans les lignes aériennes causés par des coups de foudre indirects (voir par exemple : [40], [44], [66], [67], [68], [69], [70], et [71]). En revanche, pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre, cette méthode a été présentée dans plusieurs travaux sur la base des approches hybrides combinant la FDTD et d’autres méthodes analytiques (voir les références : [72], [73], [74], [75]). A notre connaissance, la méthode FDTD a été introduite pour la première fois d’une manière complète dans le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre, en 2007 par Mimouni et al. [76]. Le calcul à été effectué par ces auteurs au‐dessus et en dessous d’un sol caractérisé par une conductivité finie. En outre, cette méthode consiste à résoudre les équations de Maxwell par l’utilisation des différences finies et sera abordée plus largement dans le quatrième chapitre. Par ailleurs, les auteurs de la référence [77] ont présenté une comparaison entre les résultats du champ électrique radial obtenus à l’aide de la méthode FDTD, et ceux obtenus en utilisant deux approches, à savoir l’algorithme de Delfino et al. et l’approche de Cooray. La comparaison à été effectuée pour des points d’observation situés en dessous du sol à une distance radiale de 50m du canal de foudre, et pour deux valeurs de la conductivité du sol (0.01 S/m et 0.001 S/m). Contrairement à l’approximation de Cooray, cette comparaison a permet l’obtention d’un bon accord avec la solution exacte 49 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre pour les faibles valeurs de la conductivité (0.001 S/m) en plus de son accord dans le deuxième cas (0.01 S/m) . II.4 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons présenté une revue générale sur la modélisation du rayonnement électromagnétique associé à la phase d’arc en retour et celle de l’arc en retour subséquent d’une décharge de foudre dans le but de mettre en évidence les modèles décrivant le courant dans le canal de foudre. Parmi quatre catégories de ces modèles, nous avons donné une importance particulière aux modèles d’ingénieur qui présentent l’avantage de la description de la distribution spatio‐temporelle du courant le long du canal à partir des valeurs instantanées du courant à la base du canal, grâce à une simple formulation mathématique. Nous avons présenté ensuite, les différentes approches utilisées par la communauté scientifique afin de déterminer le champ électromagnétique rayonné par la foudre au dessus et en dessus du sol. En effet, la formule générale qui fait intervenir les intégrales de Sommerfeld, présente l’inconvénient d’être gourmande en temps de calcul. De plus, elle nécessite d’effectuer une transformée de Fourier inverse afin de revenir dans le domaine temporel, ce qui est relativement délicat du point de vue numérique. Pour remédier à ces inconvénients, plusieurs chercheurs ont utilisé l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur qui a un peut soulagé les calculs du fait qu’ils se déroulent dans le domaine temporel. De plus, cette hypothèse est une bonne approximation de la composante verticale du champ électrique et la composante azimutale du champ magnétique au dessus du sol, et pour les distances qui ne dépassent pas quelques kilomètres. Pour la composante radiale du champ électrique, cette approximation n’est pas valable à cause de la forte sensibilité de cette composante à la conductivité du sol. Cependant, il existe plusieurs approximations dans la littérature, utile pour le calcul de la composante radiale du champ électrique. Parmi celles‐ci, on trouve la formule de Cooray­Rubenstein qui permet d’obtenir une approximation assez satisfaisante de cette composante au dessus du sol et pour toutes les distances considérées. Concernant le calcul du champ électromagnétique en dessous d’un sol de conductivité finie, nous avons citée trois approches à savoir : 50 Chapitre II Synthèse sur la modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre 1. La formule de Cooray qui est une bonne approximation pour des grandes valeurs de la conductivité du sol soit les valeurs supérieures à 0.001 S/m. 2. L’algorithme de Delfino et al. qui donne la solution exacte du champ électromagnétique en dessous du sol pour toutes les valeurs considérées de la conductivité du sol. 3. La méthode FDTD qui présente l’intérêt d’être capable de calculer le champ électromagnétique rayonné dans n’importe quelle position du point d’observation considérées (au dessus ou bien en dessous du sol), tout en abordant le problème du rayonnement électromagnétique de la foudre avec moins d’hypothèses simplificatrices. 51 Chapitre III
Etude du rayonnement
électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié
(formulation de Wait)
Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) III.1 Introduction Comme nous avons vu dans le chapitre précédant, La résolution du problème de rayonnement électromagnétique de la foudre consiste en la détermination du champ électromagnétique rayonné à n’importe quel instant et en n’importe quel point d’observation autour du canal. En réalité, la foudre est un phénomène lié aux plusieurs paramètres physiques et géométriques qui rendent cette résolution très délicate, ce qui a obligé la plupart des chercheurs à utiliser des hypothèses simplificatrices en vue de diminuer la complexité du problème en supposant une géométrie relativement simple et abordable (par exemple : la supposition d’un canal rectiligne et vertical, sol parfaitement conducteur, sol homogène,…etc.). Cependant, cette démarche est légitime, vu que les résultats basés sur certaines hypothèses montrent parfois une bonne approximation lorsqu’on les compare à ceux obtenus par voie expérimentale. Par ailleurs, l’étude réaliste du rayonnement électromagnétique de la foudre nécessite l’élimination du maximum d’hypothèses afin de permettre la caractérisation de ce rayonnement avec un fondement physique plus proche de la réalité. Dans ce contexte, nous allons aborder l’étude du rayonnement électromagnétique de la foudre en abandonnant une hypothèse habituellement utilisée au sein de la communauté scientifique. Il s’agit de l’hypothèse d’un sol homogène et de conductivité finie. En effet, ce dernier ne se présente jamais sous cette forme simpliste. De ce fait, nous présentons dans ce chapitre, une formulation approximative connue sous le nom « formulation de Wait » qui a été utilisée dernièrement en Novembre 2009 par Shoory et al. [78] afin de calculer le champ électromagnétique en présence d’un sol stratifié, structure qui correspond mieux à la réalité physique. Avant de présenter la description de la théorie liée à cette formulation, nous rappelons en premier lieu l’état de l’art lié au domaine d’étude du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié. 53 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) III.2 Etat de l’art L’une des anciennes études de la propagation des ondes électromagnétiques le long d’un sol homogène et caractérisé par une conductivité finie, a été présentée en 1936 par Norton [79]. Plus tard, Wait et ses collaborateurs ont complété la formulation de Norton et l’ont généralisé pour l’étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans le cas d’un sol stratifié horizontalement ainsi que le cas d’un sol stratifié verticalement. Une revue historique et descriptive de cette formulation, ainsi que ses domaines d’application ont été présentés par Wait dans les références [80, 81]. Cet auteur a montré que le concept de la fonction d’atténuation peut être utilisé pour représenter l’atténuation des hautes fréquences de l’onde électromagnétiques lors de sa propagation le long de la surface du sol. En utilisant le concept de l’impédance mutuelle entre deux dipôles orientés verticalement sur la surface du sol, Wait [82] a déduit la fonction d’atténuation intervenant dans le calcul de la composante verticale du champ électromagnétique se propageant au dessus d’un sol stratifié. Cette théorie a été utilisée récemment en 2008 par Cooray et Cummins [83] pour évaluer les effets de la stratification du sol sur le champ électromagnétique rayonné par la foudre. L’idée principale de la formulation approximative pour le cas d’un sol homogène, était toujours l’utilisation du concept de l’impédance de la surface du sol qui est définie par le rapport entre le champ électrique et le champ magnétique tangentiels à cette surface. Cependant, ce principe a constitué la base théorique des formulations approximatives décrites dans le chapitre précédant à savoir l’approximation de Cooray­Rubenstein [57, 61] et celle de Cooray [63]. La validité de ces approximations a été encourageante pour utiliser ce même principe afin d’établir des approximations aussi valables pour le cas d’un sol stratifié. Plus récemment en Novembre 2009, Shoory et al. [78] ont utilisé la formulation simplifiée de Wait pour évaluer la composante verticale du champ électrique engendré par une décharge de foudre en présence d’un sol stratifie. Ces chercheurs ont considéré deux cas de stratification du sol à savoir : une stratification horizontale et une 54 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) stratification verticale. En effet, dans le cas d’un sol stratifié horizontalement, la composante verticale du champ électrique a été calculée à l’aide de deux approximations différentes. Aussi, les valeurs des paramètres électromagnétiques de la couche supérieure du sol tels que la conductivité électrique et la permittivité diélectrique relative, ont été fixées à des valeurs plus faibles que les paramètres de la couche inférieure. Cependant, pour le cas d’un sol stratifié verticalement, les auteurs dans la référence [78] ont utilisé une seule approximation, tout en considérant que les valeurs des paramètres de la couche proche du canal plus faible que celles des paramètres de la couche lointe. Les détails de ces approximations, ainsi que les résultats obtenus dans cette référence seront présentés le long de ce chapitre. Par ailleurs, dans la référence [84], les auteurs abordent le calcul du champ électrique vertical au dessus d’un sol stratifié en utilisant la formulation de Wait d’une part, et d’autre part en mettant en œuvre la méthode des différences finies à points centrés (FDTD). Une comparaison des résultats est présentée dans cette référence pour deux points d’observation situés à deux distances radiales (par rapport au canal de foudre) à savoir : 10 km et 100 km. Le calcul est effectué au niveau du sol (
0), la stratification adoptée à consisté en un sol à deux couches horizontales. La comparaison des résultats a montré une bonne concordance entre ceux obtenus à l’aide de la formulation de Wait, et ceux obtenus par la méthode FDTD. III.3 Cas d’un sol stratifié horizontalement En adoptant la géométrie illustrée dans la figure III.1, et en utilisant la même notation du chapitre précédent, l’expression dans le domaine fréquentiel du champ électrique vertical , , 0,
au niveau 0 d’un sol stratifié horizontalement est , 0,
(III.1) donnée par [78] : , , 0,
Nous rappelons que , 0,
.
désigne le champ électrique vertical au niveau d’un sol parfaitement conducteur non stratifié dans le domaine fréquentiel. 55 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) désigne la fonction d’atténuation correspondant au dipôle situé à la base du canal de foudre (voir le chapitre 7 de la référence [85]). Pour le cas d’un sol composé de deux couches horizontales, l’expression (III.1) s’écrit dans le domaine temporel sous forme d’une intégrale de convolution comme donné par l’expression suivante: , 0,
, , 0,
.
(III.2) Où , 0,
, et , 0,
sont respectivement les transformées de Fourier inverses du champ électrique vertical au niveau du sol pour le cas d’un sol stratifié et du champ électrique vertical pour le cas d’un sol parfaitement conducteur non stratifié. est la transformée de Fourier inverse de la fonction d’atténuation. H z’ R θ h1 ε0, µ0 r σ1, ε1, µ0 σ2, ε2, µ0 Figure III.1 Modèle Géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique propagé le long d’un sol stratifié horizontalement à deux couche [78]. 56 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) III.3.1 Première approximation L’expression de la fonction d’atténuation déduite par Wait [82] est donnée par : 1
(III.3) Où erfc est la fonction d’erreur complémentaire donnée par : (III.4) √
Et est appelé la distance numérique selon la référence [78] dont l’expression est donnée par: 0.5
(III.5) Avec est le nombre d’onde dans l’air défini par : μ
Et (III.6) l’impédance normalisée de la surface du sol stratifié à deux couches. Cette impédance est donnée par l’expression suivante : (III.7) Avec : (III.8) (III.9) (III.10) (III.11) μ
(III.12) 57 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) μ
(III.13) III.3.2 Seconde approximation En utilisant la même fonction d’atténuation donnée par l’expression (III.3), Wait [82] a défini la distance numérique effective par la relation suivante : 0.5
, Tel que , , (III.14) désigne l’impédance normalisée effective de la surface du sol pour une stratification horizontale à plusieurs couches. Cette impédance s’exprime comme suit : , Où (III.15) 1, 2 représente l’impédance d’onde complexe de la chaque couche donnée par la relation : (III.16) Avec 1, 2 paramètre défini par les expressions (III.12) et (III.13). Wait dans la référence [81] a montré que le courant de déplacement dans l’air peut être négligeable devant les courants de déplacement dans chaque couche dans le sol. III.4 Cas d’un sol stratifié verticalement De la même marinière que dans le cas d’un sol stratifié horizontalement, l’expression dans le domaine fréquentiel de la composante verticale du champ électrique , , 0,
au niveau du sol 0 pour le cas d’un sol stratifié verticalement (figure III.2) est donnée par l’expression : , , 0,
, 0,
.
(III.17) 58 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) H z’ R ε0, µ0 θ r dl σ1, ε1, µ0 σ2, ε2, µ0 Figure III.2 Modèle Géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique propagé le long d’un sol stratifié verticalement à deux couche [78]. Où désigne la fonction d’atténuation correspondant au dipôle situé à la base du canal pour le cas d’un sol stratifié verticalement. Dans le domaine temporel, l’expression (III.17) s’écrit sous forme d’une intégrale de convolution similaire à l’expression (III.2). Wait et Walters [86] ont donné deux expressions différentes pour la fonction d’atténuation dans le cas d’un sol stratifié verticalement à savoir : Où et (III.18) (III.19) sont les fonctions d’atténuation de chaque couche verticale dans le sol. Ces fonctions sont calculées à une distance horizontale variable appartenant à l’intervalle 0,
. 59 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) Les fonctions et sont exprimées comme suit : 1
(III.20) 1
(III.21) Avec : 0.5
(III.22) 0.5
(III.23) et Et sont les impédances de surface normalisées pour chaque couche verticale dans le sol. et sont définies par les relations suivantes : (III.24) (III.25) Hill et Wait [87] ont suggéré l’utilisation de l’expression (III.18) dans le cas où |
|
|
|, et l’expression (III.19) dans le cas où |
|
|
|. Ces auteurs ont montré qu’il y a des singularités dans les fonctions à intégrer dans les expressions (III.18) et (III.19). Aussi, ils ont apporté les modifications qui ont permis d’aboutir aux expressions suivantes: 2
60 (III.26) Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) 2
(III.27) Où représente la distance minimale permettant de considérer la fonction d’atténuation constante. III.5 Résultats obtenus par Shoory et al. [78] En utilisant la formulation citée ci‐dessus, les auteurs de la référence [78] ont présenté des résultats relatifs au comportement fréquentiel de la fonction d’atténuation, et au champ électrique vertical au niveau du sol évalué à une distance radiale de 100 km du point d’impacte de la foudre. Ces résultats sont obtenus en adoptant les deux géométries illustrées dans les figures III.1 et III.2, et qui correspondent respectivement à un sol stratifié horizontalement et à un sol stratifié verticalement. III.5.1 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié horizontalement Les auteurs de la référence [78] ont donné l’importance au cas où les paramètres électriques (permittivité diélectrique et conductivité électrique) de la couche inferieure du sol sont plus grands que ceux correspondants à la couche supérieure. Ceci a pour objectif de mettre en évidence l’élévation de l’amplitude du champ électrique vertical par rapport à celles obtenues dans le cas d’un sol homogène et celui d’un sol parfaitement conducteur (mono couche). Cette mise en évidence a été aussi présentée par Cooray dans la référence [85]. Les paramètres électriques relatifs à chaque couche du sol stratifié considéré, sont consignés dans le tableau III.1. Le comportement fréquentiel de l’amplitude et de la phase de la fonction d’atténuation (donnée par l’expression III.3 correspondant à la première approximation) étudié pour différentes épaisseurs est présenté dans la figure III.3. 61 de la couche supérieure, Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) Tableau III.1 Paramètres électriques des deux couches [78]
Paramètres Valeurs considérées /
0.001
/
10
Première couche /
4
/
30
Deuxième couche | |
(a) é (b) Figure III.3 représentation fréquentielle de la fonction d’atténuation pour le cas d’un sol stratifié horizontalement (a) amplitude, (b) phase [78]. 62 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) Le cas d’un sol homogène est représenté dans la figure III.3 par les allures fréquentielles de l’amplitude et de la phase de la fonction d’atténuation qui correspondent aux valeurs de l’épaisseur de la couche supérieure du sol égales à 0 et à 1000 m. Dans ces deux cas, l’amplitude de la fonction d’atténuation est toujours inferieure ou égale à l’unité. Ainsi, la phase de cette fonction montre une allure fréquentielle non oscillante. 2 ), l’amplitude de la Cependant, pour le cas d’un sol stratifié horizontalement (
fonction d’atténuation peut être supérieure à l’unité, et sa phase montre une variation fréquentielle de type oscillatoire. Par ailleurs, dans le but d’illustration d’effet de la stratification horizontale du sol sur le champ électrique vertical, les auteurs de la référence [78] ont tracé dans la même figure (figure III.4) trois courbes temporelles de ce champ obtenues à l’aide de la première approximation de Wait (expression III.3). en effet, ces courbes correspondent respectivement au cas d’un sol homogène caractérisé par des paramètres électriques très élevées (correspondant à 0), au cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques relativement faibles (correspondant à cas d’un sol stratifié horizontalement (correspondant à 2 1000 ), et enfin au . Le canal de foudre à été représenté dans cette référence par le modèle MTLE (voir le chapitre II), avec une vitesse de propagation du courant le long du canal décroissance de ce courant le long du canal 2 1.5
10 / , et un taux de . Quant au courant à la base du canal il a été représenté par la somme de deux fonctions d’Heidler dont les paramètres, sont ceux illustrés dans le tableau III.2. Dans la figure III.4, le champ électrique vertical est évalué pour une distance radiale 100 du point d’impact de la foudre, et à une hauteur 63 0. Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) Tableau III.2 Paramètres des deux fonctions d’Heidler utilisé pour calculer le champ électrique vertical [78]. Paramètres de la première fonction d’Heidler I01 (kA) τ11 (µs) τ12 (µs) n1 10.7 0.25 2.5 2 Paramètres de la deuxième fonction d’Heidler I02 (kA) τ21 (µs) τ22 (µs) n1 6.5 2.1 230 2 /
Temps (µs) Figure III.4 Variations temporelles du champ électrique vertical au niveau du sol à une distance radiale de 100 km du point d’impact de la foudre pour différentes valeurs de [78]. D’après ce résultat, on remarque que la réponse temporelle du champ électrique vertical dans le cas d’un sol stratifié horizontalement (
2 ), possède un comportement oscillatoire. De plus, l’amplitude maximale de ce champ est plus élevée que celle obtenue dans le cas d’un sol homogène et caractérisée par des paramètres électriques très élevées (
0). Ce dernier porte presque la même forme d’onde pouvant être obtenue dans le cas d’un sol parfaitement conducteur (mono couche). Cependant, la forme d’onde obtenue pour le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques relativement faibles (
64 1000 ), possède une amplitude Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) maximale inferieure à celles obtenues dans les autres cas. Le temps de monté est lent comparativement à celui obtenu dans les autres cas. D’autre part, les auteurs de la référence [78] ont effectué une comparaison entre la forme d’onde du champ électrique vertical obtenue par la première approximation (formulation décrite dans la section III.3.1), et celle obtenue à l’aide de la seconde approximation (formulation décrite dans la section III.3.2). La figure III.5 présente les deux formes d’onde pour 2 (sol stratifié horizontalement), ainsi que celle correspondant au cas d’un sol parfaitement conducteur. Perfect ground First formulation Second formulation /
Temps (µs) Figure III.5 Variations temporelles du champ électrique vertical au niveau du sol à une distance radiale de 100 km du point d’impacte de la foudre correspondant à la première approximation, la seconde approximation [78]. La forme d’onde du champ électrique vertical obtenue à l’aide de la seconde approximation, montre la même nature oscillatoire que celle obtenue par la première approximation, mais avec des amplitudes plus élevées et un amortissement plus faible. Par ailleurs, les deux formes d’ondes présentent une amplitude maximale plus élevée que celle relative au cas d’un sol parfaitement conducteur. 65 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) III.5.2 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié verticalement La géométrie utilisée est décrite à la figure III.2. Les paramètres du sol sont ceux consignés dans le tableau III.1. Les paramètres du courant de foudre sont ceux présentés dans le tableau III.2. Les auteurs de la référence de la référence [78] ont tracé dans la même figure (figure III.6) les allures temporelles du champ électrique vertical à une distance radiale de 100 km du point d’impact de foudre et pour une hauteur 0. Ces allures correspondent à différentes configurations du sol à savoir : Le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs très élevées (cas correspondant à 100 ), Le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs relativement faibles (cas correspondant à 0 ), Le cas d’un sol stratifié verticalement (cas correspondant à 25 ). Pour ce dernier cas, le champ électrique vertical est calculé en utilisant les deux expressions citées dans la section III.4 (expression III.26 et expression III.27). , en utilisant l’expression (III.26) , en utilisant l’expression (III.27) /
Temps (µs) Figure III.6 Variations temporelles du champ électrique vertical au niveau du sol à une distance radiale de 100 km du point d’impact de la foudre en présence d’un sol stratifié verticalement [78].
66 Chapitre III Etude du rayonnement électromagnétique de la foudre
en présence d’un sol stratifié (formulation de Wait) D’après ce résultat, on peut remarquer que les allures temporelles du champ électrique vertical obtenues à l’aide des deux expressions (expression III.26 et expression III.27) sont presque les mêmes. De plus, l’effet de la stratification verticale du sol, se traduit sur l’allure temporelle du champ électrique vertical par la diminution de l’amplitude maximale et du temps de montée de ce champ par rapport au cas correspondant à un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs très élevées (
100 ). Cependant, Par rapport au cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs relativement faibles (
0), l’effet de la stratification du sol se traduit sur l’allure temporelle du champ électrique vertical par l’augmentation de l’amplitude maximale et du temps de montée. III.6 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons présenté une formulation simplifiée adaptable au calcul du champ électrique vertical au niveau d’un sol stratifié horizontalement, ainsi que pour un sol stratifié verticalement. Cette formulation connue sous le nom « formulation de Wait », utilise le résultat du champ électrique vertical obtenu pour le cas d’un sol parfaitement conducteur comme donnée initiale pour calculer le champ électrique verticale correspondant au cas d’un sol stratifié. Ce calcul est obtenu grâce à un simple produit dans le domaine fréquentiel entre la fonction dite « fonction d’atténuation », et le champ électrique vertical au niveau d’un sol parfaitement conducteur. Dans ce même chapitre, nous avons présenté l’état de l’art correspondant au calcul du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié. Ainsi, nous avons passé en revue les travaux effectués dans ce domaine depuis 1936 à nos jours. La formulation théorique de Wait récemment présentée dans la référence [78], a été ensuite décrite. Les résultats obtenus dans cette référence ont été analysés. Nous avons ainsi montré, à travers ces résultats, que l’effet de la stratification est important et ne peut être négligé car parfois il peut provoquer l’augmentation de l’amplitude maximale du champ électrique vertical, aussi que l’apparition d’oscillations dans la forme d’onde de ce champ ce qui peut fausser le plan de prédiction établi pour faire face aux effets indirects de la foudre. 67 Chapitre IV
Application de la méthode FDTD
pour le calcul du champ
électromagnétique rayonné par la
foudre en présence d’un sol
stratifié
Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié IV.1 Introduction L’influence de la stratification du sol sur le champ électromagnétique est d’une importance capitale, car les transitoires induites par la foudre dans les réseaux électriques sont directement proportionnelles au champ électromagnétique rayonné. Ceci dit, des erreurs notables, sur les calculs de prédiction des effets de la foudre sur ces réseaux, peuvent être commises en supposant que le sol est homogène. La difficulté de prise en compte des spécifications topologiques et géologiques du sol est due à deux contraintes principales. La première contrainte est de nature théorique, en effet, il est très difficile d’introduire toutes les données du sol dans un modèle de prédiction des effets de la foudre. La deuxième, est de type numérique, car un tel calcul demanderait un temps de calcul prohibitif et une très grande place mémoire. Motivés par la robustesse et la flexibilité de la méthode FDTD, implantée dans nos codes de calcul développés au sein de notre laboratoire LDEE [17] et qui nous a permis de nous affranchir des approximations habituellement considérées pour prendre en compte la conductivité finie du sol, il nous a semblé intéressant de généraliser nos travaux par le développement de codes de calcul applicables pour des sols stratifiés. Dans ce chapitre, nous utilisons la méthode FDTD qui consiste en la résolution des équations de Maxwell, afin de déterminer le champ électromagnétique rayonné au voisinage d’un canal de foudre. Les composantes du champ électromagnétique seront évaluées au‐dessus et en dessous d’un sol stratifié horizontalement, ainsi que pour un sol stratifié verticalement. Nous présentons ensuite, les résultats obtenus en se basant sur cette méthode. IV.2 Géométrie du problème On considère un sol composé de plusieurs couches. Chacune de ces couches possède des propriétés électriques différentes des autres couches. Aussi, nous distinguons deux types de stratification du sol à savoir ; la stratification horizontale (figure IV.1.a), et la stratification verticale (figure IV.2.b). 69 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié z H
Canal de foudre Couche 0 : aire σ0 , ε0 , µ0 r
Couche 1 : σ1 , ε1 , µ1 Couche 2 : σ2 , ε2 , µ2 (a)
z H
Canal de foudre Couche 0 : aire σ0 , ε0 , µ0 r
Couche 1 : Couche 2 : σ1 , ε1 , µ1 σ2 , ε2 , µ2 (b)
Figure IV.1 Géométrie du problème du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié, (a) stratification horizontale, (b) stratification verticale. IV.3 Formulation du champ électromagnétique Les équations de Maxwell gouvernent tous les phénomènes électromagnétiques. Ainsi, l’utilisation de la méthode FDTD consiste à ramener la résolution de ces équations dans le domaine de calcul compte tenu des conditions aux limites, à celle d’un système d’équations algébriques dont la solution conduit à la distribution spatio‐temporelle du 70 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié champ électromagnétique rayonné aux nœuds d’un maillage spatio‐temporel prédéfini. La formulation standard des équations de Maxwell s’écrit comme suit : µ.
.
IV. 1 .
IV. 2 Avec : : Champ électrique; : Champ magnétique; µ : Perméabilité magnétique; : Permittivité diélectrique; : Conductivité électrique. Le développement mathématique des équations (IV.1) et (IV.2) en utilisant une représentation spatiale basée sur des coordonnées cylindriques conduit à un système d’équations aux dérivées partielles exprimé sous la forme suivante : 1
IV. 3 1
Avec : : Champ électrique radial ;
: Champ électrique vertical ;
: Champ magnétique azimutal.
: Distance radiale entre le point d’observation et le canal de foudre ;
: Hauteur (ou profondeur si 0 ) du point d’observation par rapport au sol.
71 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié IV.4 Principe de base de la méthode FDTD [17] IV.4.1 Discrétisation spatio­temporelle La résolution du système d’équations aux dérivées partielles (IV.3) est obtenue en mettant en œuvre l’approche FDTD. Tout d’abord, pour décrire le principe de base de cette résolution, on considère une fonction scalaire spatio‐temporelle tout point ,
, ,
définie en appartenant à un espace fini Ω et à chaque instant appartenant un intervalle temporel fini ψ. L’ensemble spatial Ω, et l’ensemble temporel ψ sont exprimés respectivement par les relations (IV.4) et (IV.5) : ,
ψ
Ω
0
0
IV. 4 IV. 5 La discrétisation spatiale (maillage) dans deux directions et avec des pas spatiaux ∆ et ∆ génère un réseau des nœuds dont la position de chacun est obtenue par : .∆
. ∆ IV. 6 Avec : : Incrément dans la direction de ; : Incrément dans la direction de . La discrétisation temporelle avec le pas ∆ est exprimée par la relation suivante : . ∆ IV. 7 : Incrément dans le temps. On peut donc évaluer la fonction à n’importe quel nœud et à n’importe quel instant comme suit: 72 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié , ,
∆ , ∆ , . ∆
, ,
IV. 8 Avec : 0
0
Le principe de base de la méthode FDTD, s’appui sur la discrétisation des dérivées partielles de la fonction , ,
à partir des approximations du premier ordre de ces dérivées. Cette discrétisation s’exprime de la marinière suivante : 1
,
2
, ,
∆
∆
1
2
,
, ,
∆
, ,
1
,
2
1
2 IV. 9 ,
∆
,
,
∆
∆
A partir des équations aux dérivées partielles du système (IV.3), et en utilisant les approximations du premier ordre des dérivées partielles décrites dans l’expression (IV.9), on peut obtenir un système d’équations algébriques linéaires dont les inconnues sont les valeurs des trois composantes du champ électromagnétique en chaque nœud du maillage résultant de la discrétisation spatiale, et à chaque instant résultant de la discrétisation temporelle. En effet, ces trois composantes s’écrivent de la manière suivante : Champ électrique vertical ,
,
,
,
.∆
.
,
IV. 10 .
,
73 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié Avec : 1
0
1
1 Et : ,
,
, et 2.
2.
,
,
, .Δ
IV. 11 , .Δ
2. Δ
2.
,
IV. 12 , .Δ
, désignent respectivement la permittivité diélectrique et la conductivité électrique qui caractérisent chaque nœud de la grille du maillage. Champ électrique radial ,
,
.
,
,
,
∆
IV. 13 ,
Avec : 0
1
0
1
Champ magnétique azimutal 1
,
2
1
2
1
,
2
Δ
.
.Δ
1
2
1
,
2
Δ
.
.Δ
1
,
2
1
Avec : 0
1
0
1 1
74 1,
1
2
,
1
2
IV. 14 Chapitree IV Appliccation de la méthod
de FDTD pour le calcul du champ électr
romagnétiqu
ue rayonné p
ar la foudre en présencee d’un sol stra
atifié IV.4.2 C
Conditionss aux limittes absorbantes (ABC) La mod
délisation d'un d
problèème électrromagnétiq
que en miliieu ouvert par une méthode m
finie, utilisant u
un
ne discréttisation de la région d'analyse,, nécessitee la troncature du domain
ne infini parr une fronttière fictivee. Pour reespecter l'aaspect non borné du problème du rayonnement élecctromagnéttique de la foud
dre, il est essentiel e
d''imposer su
ur cette frrontière dees condition
ns aux lim
mites qui prennent en com
mpte le do
omaine exxtérieur. Ces conditions aux llimites son
nt dites absorbaantes (“Ab
bsorbing Boundary Condition
ns” : ABC
C) (Figuree IV.2) caar elles minimisent, quand
d elles ne ssont pas exaactes, les rééflexions n
non physiqu
ues sur la frrontière de sorte que cellee‐ci apparaisse quasi ttransparen
nte aux ond
des sortantt du domaine et se propageant vers l'infini. l
Dan
ns leur forrme asymp
ptotique, où
ù le bord aartificiel esst rejeté vers l'in
nfini. Ces cconditions ssont aussi dénomméees conditio
ons transpaarentes, con
nditions non réffléchissantees, conditio
ons de rayo
onnement, conditionss d'espace llibre ou con
nditions ouvertees. Figure IV.2 Maillage 2
2D‐FDTD (coo
ordonnées cy
ylindriques). 75 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié Il existe dans la littérature plusieurs types de conditions aux limites absorbantes. Parmi celles‐ci, on peut citer : Les conditions aux limites de Mur [88] Ces conditions développées par Mur [88], possèdent l’avantage d’êtres faciles à implémenter numériquement. En effet, Elles consistent en l’extrapolation des valeurs du champ magnétique aux nœuds situés sur les limites du domaine discrétisé suivant le principe de discrétisation de la méthode FDTD (figure IV.2), à partir des valeurs du champ magnétique pré‐calculées aux nœuds situés au voisinage intérieur immédiat de ces limites. Si ces dernières sont suffisamment éloignées de la source du champ électromagnétique, les valeurs du champ magnétique sur les frontières du domaine sont obtenues par l’extrapolation du premier ou du deuxième ordre. La couche parfaitement absorbante PML (“Perfectly Matched Layer”) [89] Ce type de conditions aux limites a été présenté par Bérenger [89]. Son principe est basé sur l’utilisation d’une couche absorbante autour des frontières du domaine de calcul afin d’éviter toute réflexion d’ondes électromagnétiques sortantes à travers ces frontières. L’avantage de ce type de conditions réside dans la possibilité de les placer à des endroits extrêmement proches de la source du rayonnement électromagnétique vu que la couche extérieure (PML) qui entoure le domaine de calcul est parfaitement absorbante. Les conditions aux limites absorbantes CBO (“Complimentary Boundary Operator”) [90] Les conditions aux limites absorbantes CBO présentent une technique de troncature des domaines de calcul ouverts. Cette technique a été développée par Ramahi [90], elle est conçue proprement pour l’évaluation du champ proche, ainsi que pour l’analyse du rayonnement électromagnétique engendré par des courants caractérisés par une durée d’impulsion très courte. L’algorithme de limite à basse fréquence LFBA (“Low Frequency Boundary Algoritme”) [91] Ces conditions aux limites ont été présentées par Rudolph et al.[91] afin d’analyser les effets directs de la foudre sur les avions. L’avantage de cet algorithme est la facilité 76 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié d’implémentation sur le plan informatique notamment avec des codes de calcul basés sur la méthode FDTD. Cependant, cet algorithme présente aussi l’inconvenant d’avoir des problèmes liées à la stabilité numérique pour des temps d’analyse très lents. Dans le but de simplification de la mise en œuvre du code de calcul développé dans le cadre de ce travail, nous avons utilisé les conditions aux limites absorbantes au premier ordre développées par Mur [88]. Leurs approximations aux différences finies sont comme suit : Dans la direction radiale 1
,
2
1
2
2.
2.
1
,
2
1
,
2
2.
2.
1
,
2
1
,
2
1
1
1
.∆
2
1
.∆
2
1
.∆
2
1
.∆
2
∆
∆
1
,
2
1
1
∆
1
,
2
∆
1
,
2
1
2
1
2
1
IV. 15 2
Avec : 1
0
1
, désigne la vitesse de propagation du champ électromagnétique à chaque nœud de la grille du maillage. Cette vitesse est exprimée par la relation suivante : ,
,
IV. 16 c désigne la vitesse de la lumière. , est la permittivité relative correspondant à chaque nœud dans la grille du maillage. 77 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié Dans la direction verticale 1
,
2
1
,
2
1
2
1
,
2
1
,
2
1
.∆
2
1
.∆
2
1
2
1
,
2
∆
∆
1
.∆
2
1
.∆
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
2
IV. 17 1
,
2
1
,
2
1
2
1
2
IV. 18 1
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
2
∆
∆
Avec : 0
0
1
1
Dans la limite qui comporte le canal, et selon la loi d’Ampère, le champ électrique vertical peut être écrit sous la forme [73]: 0,
1
2
0,
1
.
2
4. ∆
∆
0,
4.
1
2
0,
∆
1
2
1
,
2
1
2
1
IV. 19 2
Avec : 0
1
1
Désigne le courant qui traverse chaque nœud appartenant à la limite qui comporte le canal, pour les valeurs de négatives (
0 ) ce courant est toujours nul. Ceci modélise bien le fait que le courant ne peut existe que dans le canal de foudre. Dans cette étude, le courant se propageant du sol vers le sommet du canal et répondant à la modélisation présentée dans le deuxième chapitre, est représenté par le modèle MTLE. Quant au courant à la base du canal de foudre 78 0 , il est modélisé Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié par la formule d’Heidler. Ainsi, la discrétisation spatio‐temporelle du courant de foudre lui permettant de s’adapter au calcul du champ électromagnétique effectué par la méthode FDTD, se fait à travers les expressions suivantes : ,
.
, .
IV. 20 Selon le modèle MTLE, le courant est obtenu à partir de l’expression suivante : .
0,
,
0 ,
0
.
.
IV. 21 0 Avec : 1
2
0
1
2
1
2
1
2 Enfin, il faut noter que le choix des pas spatiaux Δz et Δr, et du pas temporel Δt, doit répondre une condition de stabilité de calcul qui est exprimée par la relation : Δ
,
IV. 21 IV.5 Résultats de simulation et analyses IV.5.1 Validation expérimentale du code de calcul développé Dans le cadre de ce mémoire, nous avons développé un code de calcul sous environnement Matlab afin d’évaluer le champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié. Les calculs sont effectués en utilisant la méthode FDTD décrite auparavant. La validation expérimentale du code de calcul développé est réalisée à travers une comparaison entre les résultats de simulation obtenus en exploitant notre code de calcul développé, et des mesures issues de la référence [44] et qui ont été effectuées lors d’une compagne expérimentale en Août 1995 au Centre Spatial Kennedy, 79 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié en Floride. En effet, Cette comparaison est effectuée dans le cas d’un sol homogène (monocouche) puisqu’il est difficile de trouver dans la littérature des résultats expérimentaux qui prennent en compte des caractéristiques topologiques et géologiques du sol. Le courant à la base du canal est modélisé par la somme de deux fonctions d’Heidler dont les paramètres, sont ceux illustrés dans le tableau IV.1. La figure IV.3.a présente l’allure temporelle de ce courant obtenue à travers la simulation par notre code de calcul. La courbe mesurée du courant à la base du canal est représentée dans la figure IV.3.b. Tableau IV.1 Paramètres des deux fonctions d’Heidler simulant le courant de foudre à la base du canal [44]. Paramètres de la première fonction d’Heidler n1 I01 (kA) τ11 (µs) τ12 (µs) 10.5 0.6 0.9 2 Paramètres de la deuxième fonction d’Heidler I02 (kA) τ21 (µs) τ22 (µs) n1 7 1.4 14 2 10
8
i( kA) 6
4
(a) 2
0
0
10
20
t(µs) 30
40
(b) 50
Figure IV.3 Variations temporelles du courant à la base du canal (a) calculées par la méthode FDTD, (b) courbe mesurées référence [44]. A l'issue de cette comparaison, nous pouvons conclure que les résultats du courant à la base du canal obtenus à travers notre code de calcul, concordent avec les résultats obtenus expérimentalement (figure IV.3). 80 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié Les figures IV.4.a et IV.5.a présentent respectivement la forme d’onde du champ électrique vertical évaluée à une distance radiale (par rapport au canal de foudre) 62 , et à une hauteur (par rapport au sol) magnétique azimutal évaluée à une distance radiale 1 , ainsi que celle du champ 97 , et à une hauteur 1 . Le canal de foudre est représenté par le modèle MTLE, avec une vitesse de propagation du courant le long du canal le long du canal 1 0.8
10 / , et un taux de décroissance de ce courant . La forme d’onde mesurée du champ électrique vertical et celle du champ magnétique azimutal sont présentées respectivement dans les figure IV.4.b et IV.5.b. 35
30
25
/
20
15
10
5
0
0
(a) 10
20
30
40
(b) 50
t(µs) Figure IV.4 Variations temporelles du champ électrique vertical pour
62 , et (a) calculées par la méthode FDTD, (b) mesurées référence [44]. 1 18
14
12
10
/
16
8
6
4
0
0
(b) (a) 2
10
20
t(µs) 30
40
50
Figure IV.5 Variations temporelles du champ magnétique azimutal pour
97 , et (a) calculées par la méthode FDTD, (b) mesurées référence [44]. 81 1
Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié D’après cette comparaison, nous pouvons remarquer la bonne concordance entre les courbes calculées à l’aide de la méthode FDTD, et celles obtenues à travers des mesures effectuées lors de la compagne expérimentale au Centre Spatial Kennedy [44]. IV.5.2 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié horizontalement De même manière d’étude présentée dans la référence [78] et qui a été décrite dans le paragraphe III.5 du chapitre précédant, nous examinons dans ce paragraphe l’effet de la stratification horizontale du sol sur les formes d’ondes des trois composantes du champ électromagnétique rayonné par la foudre (le champ électrique radial, le champ électrique vertical et le champ magnétique azimutale). En effet, la stratification est représentée par un sol composé de deux couches. En adoptant la géométrie illustrée dans la figure IV.6, les trois composantes du champ électromagnétique sont calculées en deux points d’observation différents à savoir : un point situé au niveau du sol (
0) et à une distance radiale 5 par rapport au canal de foudre, et un autre point situé en dessous du sol à une profondeur à une distance radiale 50 . Canal de foudre Point d’observation Aire ε0, µ0 •
5 et Sol 0 Première Couche σ1, ε1, µ0 Deuxième couche σ2, ε2, µ0 Figure IV.6 Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique en présence d’un sol stratifié horizontalement à deux couches. 82 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié IV.5.2.1 Champ électromagnétique rayonné au niveau du sol Pour le premier point d’observation (
5 ,
0), nous examinons l’influence de la présence d’un couche inférieure caractérisée par des paramètres électriques de valeurs très élevées par rapport à ceux de la couche supérieure. A cet effet, nous avons calculé les variations temporelles des trois composantes du champ électromagnétique (champ électrique radial, champ électrique vertical et champ magnétique azimutal) pour trois cas à savoir : Le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs très élevées (cas correspondant à 0), Le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs relativement faibles (cas correspondant à 100 ), Le cas d’un sol stratifié horizontalement à deux couches (cas correspondant à 5 ). Les paramètres électriques relatifs à chaque couche du sol stratifié considéré, sont consignés dans le tableau IV.2. La région de calcul est délimitée par une distance radiale maximale par rapport au canal de foudre rapport au sol 5.1 6 et une hauteur maximale par et enfin par la profondeur 100 (voir la figure IV.6). Les pas de discrétisation spatiale utilisés lors de la simulation ainsi que celui de la discrétisation temporelle sont respectivement 5 et 5 . Tableau IV.2 Paramètres électriques des deux couches considérées Première couche Deuxième couche Paramètres Valeurs considérées /
0.001
/
10
/
4
/
30
83 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié Le canal de foudre est représenté par le modèle MTLE, avec une vitesse de propagation du courant le long du canal le long du canal 2 1.5
10 / , et un taux de décroissance de ce courant . Quant au courant à la base du canal, il est représenté par la somme de deux fonctions d’Heidler dont les paramètres, sont ceux illustrés dans le tableau IV.3. Tableau IV.3 Paramètres des deux fonctions d’Heidler utilisés dans le calcul du champ électromagnétique. Paramètres de la première fonction d’Heidler I01 (kA) τ11 (µs) τ12 (µs) n1 10.7 0.25 2.5 2 Paramètres de la deuxième fonction d’Heidler I02 (kA) τ21 (µs) τ22 (µs) n1 6.5 2.1 230 2 Les figures IV.7, IV.8 et IV.9, présentent respectivement les allures temporelles du champ électrique vertical, du champ électrique radial et du champ magnétique azimutal au premier point d’observation 5 ,
0 . Pour visualiser l’effet de la stratification horizontale du sol, nous avons tracé à nouveau chacune de ces allures correspondant aux trois cas décrits auparavant. 120
100
80
h1=0
h1=100 m
h1=5 m
60
/
40
20
0
0
2
4
6
8
t(µs)
10
12
14
16
18
Figure IV.7 Variations temporelles du champ électrique vertical au premier point d’observation (
5
,
0) pour différentes valeurs de . 84 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié 15
h1=0
h1=100 m
h1=5 m
10
5
/
0
­5
­10
0
2
4
6
8
t(µs)
10
12
14
16
18
Figure IV.8 Variations temporelles du champ électrique radial au premier point d’observation (
5
,
0) pour différentes valeurs de . 0.7
0.6
0.5
0.4
/
h1=0
h1=100 m
h1=5 m
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8 t(µs) 10
12
14
16
18
Figure IV.9 Variations temporelles du champ magnétique azimutal au premier point d’observation (
5
,
0) pour différentes valeurs de . L’analyse des variations temporelles du champ électrique vertical et du champ électrique radial ainsi que celle du champ magnétique azimutal présentées respectivement dans les figure IV.7, IV.8 et IV.9 montre que : L’allure temporelle du champ électrique vertical (figure IV.7) obtenue pour le cas d’un sol stratifié (
5 ), possède un comportement oscillatoire dans les premières microsecondes. De plus, cette allure présente un accroissement important 85 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié de l’amplitude maximale comparativement à celles obtenues pour les deux autres cas étudiés [correspondant à un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs très élevées (
0) et à un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques relativement faibles (
100 )]. A noter que ce comportement du champ électrique vertical par rapport à la stratification horizontale du sol, a été aussi montré par Shoory et al dans les références [78] et [84] et par Cooray dans la référence [85] (voir le paragraphe III.5.1 du chapitre précédent). Nous rejoignons donc, à travers nos simulations, les analyses effectuées par d’autres chercheurs dans ce domaine. L’allure temporelle du champ électrique radial (figure IV.8) obtenue pour le cas d’un sol stratifié (
5 ), possède aussi la même nature oscillatoire observée pour le champ électrique vertical. Ainsi, cette allure est atténuée par rapport à celle obtenue dans le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs relativement faibles (
100 ). Cependant, pour le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs très élevées, l’allure de ce champ est fortement atténuée. Ceci s’explique par la sensibilité particulière du champ électrique radial à la conductivité élevée du sol, notamment pour des points d’observation situés juste au niveau du sol (
0). L’allure temporelle du champ magnétique azimutal (figure IV.9), quant à elle, montre un comportement oscillatoire pour le cas d’un sol stratifié horizontalement (
5 ) ainsi qu’une augmentation importante de l’amplitude maximale par rapport à celle obtenue pour le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs relativement faibles. Cette amplitude est atténuée pour le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs très élevées. IV.5.2.2 Champ électromagnétique rayonné en dessous du sol Pour le deuxième point d’observation (
50 ,
5 ), nous mettons aussi en évidence l’effet de la présence d’un couche inférieure caractérisée par une conductivité électrique de valeur plus grande à celle de la couche supérieure. Le point d’observation 86 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié est placé cette fois ci en dessous sol (
5 ). Les variations temporelles des trois composantes du champ électromagnétique sont calculées pour les trois cas cités auparavant, en mettant la valeur de l’épaisseur de la couche supérieure 10 au lieu de 5 pour le cas d’un sol stratifié. Les paramètres électriques relatifs à chaque couche du sol stratifié considéré, sont présentés dans le tableau IV.4. Nous avons modifié cette fois ci la conductivité de la couche inférieure par rapport à celle présenté pour le premier point d’observation. Ceci afin de permettre une pénétration suffisante du champ électromagnétique rayonné en dessous du sol dans le cas correspondant à 0. ce qui va permet ensuite de visualiser clairement les formes d’ondes obtenues pour ce cas. Tableau IV.4 Paramètres électriques des deux couches considérées
Première couche Deuxième couche Paramètres Valeurs considérées /
0.001
/
10
/
0.01
/
10
La région de calcul est délimitée pour ce deuxième point d’observation (
50 ,
5 ) par une distance radiale maximale par rapport au canal de foudre 1 et une hauteur maximale par rapport au sol profondeur 1.5 et par la 100 (voir la géométrie présentée dans figure IV.6). Les pas discrétisation spatiale et temporelle utilisés lors de la simulation sont respectivement 1 et 1 . Le canal de foudre est représenté par le modèle MTLE, avec les mêmes paramètres utilisé auparavant ( 1.5
10 / et 2 ). Le courant à la base du canal est représenté par la somme de deux fonctions d’Heidler dont les paramètres, sont ceux illustrés dans le tableau IV.3. 87 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié Les figures IV.10, IV.11 et IV.12, présentent respectivement les variations temporelles du champ électrique vertical, du champ électrique radial et du champ magnétique azimutal au deuxième point d’observation (
50 ,
5 ) considéré dans cette étude. Nous avons tracé chacune de ces variations temporelles dans une même figure afin d’illustrer l’effet de la stratification horizontale du sol sur chaque composante du champ électromagnétique rayonné par la foudre en dessous du sol. 100
50
0
/
­100
­50
­150
­200
­250
­300
­350
0
h1=0
h1=100 m
h1=10 m
2
4
t(µs)
6
8
10
Figure IV.10 Variations temporelles du champ électrique vertical au deuxième point d’observation (
50 ,
5 ) pour différentes valeurs de . 200
0
­400
/
­200
­600
­800
­1000
­1200
­1400
0
h1=0
h1=100 m
h1=10 m
2
4
t(µs)
6
8
10
Figure IV.11 Variations temporelles du champ électrique radial au deuxième point d’observation (
50 ,
5 ) pour différentes valeurs de . 88 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié 35
30
/
25
20
15
10
h1=0
h1=100 m
h1=10 m 5
0
0
2
4
t(µs)
6
8
10
Figure IV.12 Variations temporelles du champ magnétique azimutal au deuxième point d’observation (
50 ,
5 ) pour différentes valeurs de . A la lumière des résultats présentés dans les figures IV.10, IV.11 et IV.12 et qui correspondent respectivement aux variations temporelles du champ électrique vertical et au champ électrique radial ainsi que celles du champ magnétique azimutal évaluées en un point d’observation placé en dessous du sol (
50 ,
5 ), nous pouvons souligner les observations suivantes : L’allure temporelle du champ électrique vertical (figure IV.10) obtenue pour le cas d’un sol stratifié horizontalement (
10 ), présente une amplitude maximale plus élevée que celles obtenues dans les deux autres cas. Ainsi, la comparaison entre l’allure du champ électrique vertical obtenue pour le cas d’un homogène correspondant à la valeur de correspondant à la valeur de 0, et celle obtenue pour le cas d’un sol homogène 100 , montre que ce champ est fortement atténué en point d’observation situé en dessous du sol par l’augmentation de la conductivité de ce dernier. Contrairement au comportement observé pour le champ électrique vertical, la stratification horizontale du sol se traduit sur l’allure temporelle du champ électrique radial (figure IV.11) par la diminution de l’amplitude maximale. Cependant, cette allure présente la même sensibilité à l’augmentation de la conductivité du sol observée sur l’allure temporelle du champ électrique vertical. 89 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié Le comportement du champ magnétique azimutal (figure IV.12) par rapport à la stratification horizontale du sol est similaire à ceux du champ électrique vertical. D’après ces observations, nous pouvons conclure que l’insertion d’une couche conductrice en dessous du point d’observation placé en dessous du sol donne lieu à l’existence d’une limite réfléchissante caractérisée par des coefficients de réflexion qui sont liées essentiellement d’une part aux propriétés électriques (permittivité, conductivité) des deux couches, et d’autre part au contenu fréquentiel du champ électromagnétique incident sur cette limite. Les champs (électrique radial, électrique vertical et magnétique azimutal) réfléchis par la couche inférieure inversent leurs polarités par rapport aux champs incidents à cette dernière si les coefficients de réflexion correspondantes à chacun de ces champs sont négatifs. Ces champs s’associent avec les champs incidents directement au point d’observation afin de composer les champs totaux, explique ainsi la diminution ou l’augmentation de l’amplitude maximale observée sur chaque composante. IV.5.3 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié verticalement Dans le but de mettre en évidence l’effet de la stratification verticale du sol sur les formes d’ondes des trois composantes du champ électromagnétique (le champ électrique vertical, le champ électrique radial et le champ magnétique azimutal) rayonné par la foudre, nous présentons dans La figure IV.13, la géométrie du problème du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié verticalement à deux couches. Cette géométrie est adoptée pour calculer les trois composantes du champ électromagnétique rayonné en un point d’observation placé au niveau du sol (
0) à une distance radiale par rapport au canal 5 . Les paramètres du sol sont ceux consignés dans le tableau IV.2. Les paramètres du courant de foudre sont ceux présentés dans le tableau IV.3. Les limites de la région de calcul ainsi que les pas spatial et le pas temporel utilisés lors de la simulation sont ceux présentés dans le paragraphe IV.5.2.1. Nous avons tracé respectivement dans les figures IV.14, IV.15 et IV.16, les formes d’ondes du champ électrique vertical, du champ électrique radial et du champ magnétique azimutal pour trois configurations du sol à savoir : 90 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié Le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs très élevées (cas correspondant à 5 ), Le cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs relativement faibles (cas correspondant à 0 ), Le cas d’un sol stratifié verticalement (cas correspondant à 200 ). Canal de foudre 0 Aire Point d’observation ε0, µ0 •
Sol dl Deuxième couche Première couche σ2, ε2, µ0 σ1, ε1, µ0 Figure IV.13 Modèle Géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique en présence d’un sol stratifié verticalement à deux couches. 80
60
50
/
dl=5 km
dl=0 dl =200 m
70
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
t(µs)
12
14
16
18
Figure IV.14 Variations temporelles du champ électrique vertical au point d’observation (
5
,
0) pour différentes valeurs de dl. 91 10
Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié 3.5
3
2.5
dl=5 km
dl=0
dl=200 m
/
2
1.5
1
0.5
0
­0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t(µs)
Figure IV.15 Variations temporelles du champ électrique radial au point d’observation (
5
,
0) pour différentes valeurs de dl. 0.2
0.18
0.16
dl=5 km
dl=0
dl=200 m
/
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
2
4
6
8
t(µs) 10
12
14
16
18
Figure IV.16 Variations temporelles du champ magnétique azimutal au point d’observation (
5
,
0) pour différentes valeurs de dl. L’analyse des figure IV.14, IV.15 et IV.16 correspondant respectivement aux variations temporelles du champ électrique vertical, du champ électrique radial et du champ magnétique azimutal évaluées pour les trois configurations du sol correspondants aux différentes valeurs de dl, montre que : 92 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié L’effet de la stratification verticale du sol, se traduit sur l’allure temporelle du champ électrique vertical (figure IV.14) par la diminution de l’amplitude maximale et du temps de montée de ce champ par rapport au cas correspondant à un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs très élevées (
5 ). Cependant, Par rapport au cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs relativement faibles (
0), l’effet de la stratification verticale du sol se traduit sur l’allure temporelle du champ électrique vertical par l’augmentation de l’amplitude maximale et du temps de montée. Ainsi, ces observations concordent avec celles montrées dans les références [78] et [84], et qui ont été décrites dans le chapitre précédent (voir le paragraphe III.5.2). L’allure temporelle du champ électrique radial (Figure IV.15) est fortement atténuée par la stratification verticale du sol. En effet cette atténuation est aussi observée sur cette allure dans le cas d’un sol homogène de conductivité très élevée. Par rapport au cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électrique de valeurs très élevées (
5 ), la stratification verticale du sol se traduit sur l’allure temporelle du champ magnétique azimutal (figure IV.16) par la diminution du temps de montée et de la durée d’impulsion. Cependant, par rapport au cas d’un sol homogène et caractérisé par des paramètres électriques de valeurs relativement faibles, l’effet de la stratification verticale du sol est presque négligeable. IV.6 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons utilisé la méthode aux différences finies points centrés dite “FDTD”, afin de déterminer le champ électromagnétique rayonné par une décharge de foudre en présence d’un sol stratifié horizontalement ainsi qu’en présence d’un sol stratifié verticalement. En effet, nous avons développé un code de calcul sur la base de cette méthode. La validation expérimentale de ce code de calcul a été réalisée à travers une comparaison entre les résultats obtenus à l’issue de la simulation, et des mesures tirées de la littérature et qui ont été effectuées lors d’une compagne expérimentale en Août 1995 au Centre Spatial Kennedy, en Floride. Ainsi, cette comparaison a montré clairement la bonne concordance entre résultats obtenus en exploitant notre code de calcul et ceux obtenus à travers des mesures. 93 Chapitre IV Application de la méthode FDTD pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié Dans ce même chapitre, nous avons étudié l’influence de la stratification du sol sur les formes d’ondes des trois composantes du champ électromagnétique rayonné au dessus et en dessous du sol. Les résultats obtenus notamment ceux relatifs au champ électrique vertical ont montré le même comportement observé par d’autres chercheurs, en particulier celui observé par Shoory et al dans les références [78] et [84], et par Cooray dans la référence [85]. Nous avons ainsi mis en évidence, à travers ces résultats, l’effet de la stratification horizontale et verticale du sol sur les allures temporelles du champ électromagnétique rayonné par la foudre. A noter que cet effet est important et peut provoquer l’augmentation de l’amplitude maximale de certaines composantes du champ électromagnétique, ainsi que l’apparition d’oscillations dans les formes d’ondes de ces composantes. 94 Conclusion et perspectives
Conclusion et perspectives Conclusion et perspectives Le travail présenté dans ce mémoire, s’inscrit dans le cadre général de l’étude de la compatibilité électromagnétique consistant en la caractérisation du rayonnement électromagnétique de la foudre. Nous nous sommes intéressés plus particulièrement à la l’étude du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié. Ainsi, cette étude a pour objectif de permettre une meilleure caractérisation du champ, ainsi que l’illustration de l’influence de la stratification du sol sur le champ électromagnétique rayonné. Pour cet objectif, et motivé par la flexibilité et la robustesse de la méthode aux différences finies points centrés FDTD implantée dans nos codes de calcul, notre travail de recherche a été orienté vers la généralisation de nos travaux par le développement d’un code de calcul applicable pour le cas d’un sol stratifié. Après avoir rappelé dans le premier chapitre la théorie relatif à la physique du phénomène de la foudre et aux différentes observations expérimentales qui s’y rattachent, nous avons présenté dans un deuxième chapitre une revue générale sur la modélisation du rayonnement électromagnétique associé à une décharge de foudre dans le but de mettre en évidence les modèles décrivant le courant dans le canal de foudre. Parmi quatre catégories de ces modèles, nous avons donné une importance particulière aux modèles d’ingénieur. Nous avons présenté dans ce même chapitre, les différentes approches utilisées par la communauté scientifique afin de déterminer le champ électromagnétique rayonné par la foudre au dessus et en dessus du sol. Le troisième chapitre a été consacré à la description théorique d’une formulation simplifiée connue sou le nom « formulation de Wait ». Cette dernière est adaptable au calcul du champ électrique vertical au niveau d’un sol stratifié horizontalement, ainsi que pour le cas d’un sol stratifié verticalement. Nous avons ainsi montré que l’effet de la stratification du sol ne peut être négligé car parfois il peut provoquer l’augmentation de l’amplitude maximale du champ électrique vertical, aussi que l’apparition d’oscillations dans la forme d’onde de ce champ ce qui peut fausser le plan de prédiction pour faire face aux effets indirecte de la foudre. Dans le dernier chapitre, nous avons utilisé la méthode FDTD afin de déterminer le champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié 96 Conclusion et perspectives (horizontalement ou verticalement). Le premier objectif fixé a été de valider le code‐
FDTD développé dans le cadre de ce travail. A cet effet, nous avons comparé nos résultats relatifs à la forme d’ondes du champ électrique vertical, et à celle du champ magnétique azimutal, avec ceux obtenus à travers des mesures tirées de la littérature. Nous nous sommes intéressés ensuite à l’étude de l’influence de la stratification du sol sur les formes d’ondes des trois composantes du champ électromagnétique rayonné au dessus et en dessous du sol. Les résultats obtenus notamment ceux relatifs au champ électrique vertical ont montré le même comportement observé par d’autres chercheurs, en particulier celui observé par Shoory et al dans les références [78] et [84], et par Cooray dans la référence [85]. Nous avons ainsi mis en évidence, à travers ces résultats, l’effet de la stratification horizontale et verticale du sol sur les allures temporelles du champ électromagnétique rayonné par la foudre. Enfin, la méthode FDTD mise en œuvre dans le cadre de ce mémoire constitue un outil appréciable pour la détermination du champ électromagnétique rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié. Ainsi, le travail présenté dans ce mémoire, complète d’une part les travaux de recherche effectués par notre groupe au niveau du laboratoire LDEE sur les effets indirects de la foudre, notamment le travail effectué dans la thèse de Mimouni [17], et d’autre par, il ouvre des perspectives intéressantes dans la continuation de ces travaux. Parmi ces perspectives nous pouvons citer : La parallélisation du code de calcul développé sur la base de la méthode FDTD en vue de l’implémenter sur des réseaux de calcul, L’introduction des conditions aux limites PML sur ce code de calcul, La détermination du couplage du champ électromagnétique rayonné par la foudre avec des lignes électriques aériennes et enterrées en prenant en considération la stratification du sol. Enfin, nous espérons par ce modeste travail avoir contribué à l’étude de la foudre sous un éclairage nouveau. 97 Références Bibliographiques
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‫دراﺳﺔ اﻹﺷﻌﺎع اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ ﻟﻠﺼﺎﻋﻘﺔ ﻓﻲ وﺟﻮد أرض ﻃﺒﻘﻴﺔ‬
‫ اﻟﺒﻨﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻮاﻗﻊ‬,‫هﺪف هﺬﻩ اﻟﻤﺬآﺮة هﻮ ﺗﻌﻴﻴﻦ و دراﺳﺔ اﻹﺷﻌﺎع اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ ﻟﻠﺼﺎﻋﻘﺔ ﻓﻲ وﺟﻮد أرض ﻃﺒﻘﻴﺔ‬
‫ هﺬا اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﻳﺘﻄﻠﺐ‬.‫ ﺣﺴﺎب اﻟﺤﻘﻞ اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ اﻟﻤﺸﻊ ﺑﺴﺒﺐ اﻟﺼﺎﻋﻘﺔ ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺖ وﻓﻮق اﻷرض‬.‫اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻲ ﺑﺸﻜﻞ أﻓﻀﻞ‬
‫ هﺬا اﻷﺧﻴﺮ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﻨﻈﻴﺮﻩ اﻟﻤﻮﺟﻮد أﺳﻔﻞ اﻟﻘﻨﺎة ﻣﻦ ﺧﻼل‬.‫ﻣﺴﺒﻘﺎ ﻣﻌﺮﻓﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺰﻣﻨﻲ و اﻟﻤﻜﺎﻧﻲ ﻟﻠﺘﻴﺎر اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻲ ﻟﻠﺼﺎﻋﻘﺔ‬
.« Modèles d’ingénieur » ‫ﻧﻤﺎذج ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻋﺎﺋﻠﺔ ﺗﺪﻋﻰ‬
‫ﻓﻲ اﻟﺒﺪاﻳﺔ ﻗﻤﻨﺎ ﺑﺼﻴﺎﻏﺔ ﻧﻤﻮذج اﻟﺘﻴﺎر اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻮزع ﻋﺒﺮ ﻗﻨﺎة اﻟﺼﺎﻋﻘﺔ و آﺬﻟﻚ اﻟﺘﻴﺎر اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻲ اﻟﻤﻮﺟﻮد أﺳﻔﻞ اﻟﻘﻨﺎة ﺛﻢ‬
‫ وآﺬﻟﻚ‬,‫ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ اهﺘﻤﻤﻨﺎ ﺑﻤﺤﺎآﺎة اﻹﺷﻌﺎع اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ ﻟﻠﺼﺎﻋﻘﺔ ﻓﻲ وﺟﻮد أرض ﻃﺒﻘﻴﺔ ﺑﺸﻜﻞ أﻓﻘﻲ‬.‫ﻣﺤﺎآﺎة آﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ‬
« FDTD » ‫ هﺬﻩ اﻟﺪراﺳﺔ ﺗﺘﻄﻠﺐ إﻋﺪاد ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ﺣﺎﺳﻮب ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺮﻗﻤﻴﺔ‬.‫ﻓﻲ وﺟﻮد أرض ﻃﺒﻘﻴﺔ ﺑﺸﻜﻞ ﻋﻤﻮدي‬
‫ ﻗﻤﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻌﺪ‬.‫ هﺬا اﻷﺧﻴﺮ ﺗﻢ اﻟﺘﺄآﺪ ﻣﻦ ﺻﺤﺘﻪ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﻨﺘﺎﺋﺞ ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ ﻣﺄﺧﻮذة ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﺟﻊ‬.
.‫ وﻃﺒﻘﻴﺘﻬﺎ اﻟﻌﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ أﺷﻜﺎل ﻣﻮﺟﺎت اﻟﺤﻘﻞ اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ اﻟﻤﺸﻊ ﺑﺴﺒﺐ اﻟﺼﺎﻋﻘﺔ‬,‫ﺑﺪراﺳﺔ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻃﺒﻘﻴﺔ اﻷرض اﻷﻓﻘﻴﺔ‬
,‫ إﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ أﻧﻨﺎ ﺗﻤﻜﻨﺎ‬.‫اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺘﻲ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ آﺎﻧﺖ ﻣﺆﻳﺪة ﻟﻠﺘﺤﻠﻴﻼت اﻟﺘﻲ أﻋﻄﻴﺖ ﻣﻦ ﻃﺮف ﺑﺎﺣﺜﻴﻦ ﺁﺧﺮﻳﻦ ﻓﻲ هﺬا اﻟﻤﻴﺪان‬
.‫ ﻣﻦ إﻟﻘﺎء اﻟﻀﻮء ﻋﻠﻰ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻃﺒﻘﻴﺔ اﻷرض ﻋﻠﻰ اﻟﺤﻘﻞ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻲ اﻟﻤﺸﻊ ﺑﺴﺒﺐ اﻟﺼﺎﻋﻘﺔ‬,‫ﻣﻦ ﺧﻼل هﺬﻩ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ‬
Résumé L’objectif de ce mémoire à été la détermination et l’étude du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié, structure qui correspond mieux à la réalité physique. Le calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre est effectué en dessous et au dessus du sol. Cette caractérisation nécessite au préalable la connaissance de la distribution spatio‐temporelle du courant d’arc en retour, ce dernier est lié au courant à la base du canal de foudre à travers les modèles d’ingénieur. Nous avons dans un premier temps abordé la modélisation du courant associé à la phase d’arc en retour ainsi que celle du courant au sol. Des simulations de ces deux courants ont été ensuite effectuées, sur la base de modèles appartenant à la famille des modèles d’ingénieur. La suite du travail a été consacrée à la simulation du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié horizontalement, ainsi qu’en présence d’un sol stratifié verticalement, L’étude a nécessité le développement d’un code de calcul sous environnement Matlab, basé sur la méthode des différences finies (FDTD). Le code développé a été ensuite validé à travers des comparaisons des résultats obtenus avec des résultats expérimentaux tirés de la littérature. Nous nous sommes ensuite intéressés à l’étude de l’influence de la stratification horizontale et de la stratification verticale du sol sur les formes d’ondes du champ électromagnétique rayonné par la foudre. Les résultats obtenus rejoignent les analyses effectuées par d’autres chercheurs dans ce domaine. Ainsi, nous avons mis en évidence, à travers ces résultats, l’effet de la stratification du sol sur le champ électromagnétique rayonné par la foudre.