République Algérienne Démocratique et Populaire Faculté des

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère d’enseignement supérieur et de recherche scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed Boudiaf
Faculté des sciences
Département de Physique
Mémoire
en vue de l’obtention du
DIPLOME DE MAGISTER
Spécialité : Physique
Option : Propriétés électroniques des Matériaux
Par
BENCHERIF Brahim
Intitulé :
Etude des fluctuations du champ local d'un
composite métal-diélectrique près du seuil
de percolation.
Soutenue le / /2010 devant le jury composé de :
Mr. ZEKRI Nouredine
Professeur
USTO
Examinateur : Mr. BELASRI Ahmed
Professeur
USTO
Examinateur : Mr. BOUAMRANE Rachid
Professeur
USTO
MC /A
USTO
Président :
Rapporteur :
Mr. ZEKRI Lotfi
Le résumé du sujet
Nous présentons un travail sur l’étude des seuils critiques dans les systèmes
binaires entre deux et trois dimensions représentant des matériaux composites de
différentes épaisseurs en nombre de couches (systèmes réelles). Ce travail a été très
peu étudié car les données sont concentrées soit à deux dimensions représentant des
couches minces ou trois dimensions correspondant à des corps épais. En outre, les
seuils et exposants critiques sont connus à la limite thermodynamique, or les
expériences sont réalisées sur des systèmes de taille finie, ce qui ne permettait pas
d’observer le seuil de percolation jusqu’à présent.
Après une étude statistique réalisée sur plusieurs centaines d’échantillons, Nous
montrons principalement et en utilisant trois différentes méthodes que le seuil de
percolation décroît fortement dès l’épaisseur du système commence à augmenter (un
nombre de couches faibles), et se stabilise à la valeur 3d bien avant que le système
atteigne sa forme cubique.
D’autres résultats concernant les fluctuations du champ local et l’analogie avec les
liens critiques sont discutés.
Mots clés : percolation, composites, champ local, réseau RC
1
Introduction générale ……………………………………………………...
5
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
I.1 Introduction ……………………………………………………………………..
11
I.2 L'approximation de milieu effective ………………………………………..
11
I.3 La théorie de percolation ……………………………………………………..
15
I.3.1 Notion de percolation ………………………………………………… ... 15
I.3.1.1 Percolation de sites…………………………………………………
16
I.3.1.2 Percolation de liens ………………………………………………...
16
I.3.2 Le seuil de percolation ………………………………………………….
17
I.3.2.1 Définition …………………………………………………………… 17
I.3.2.2 La valeur de seuil de percolation ………………………………... 19
I.3.3 Caractéristiques statiques ……………………………………………….
20
I.3.3.1 Grandeurs caractéristiques ………………………………………..
20
I.3.3.1.a Nombre d’amas de taille s normalisé par site…………… 21
I.3.3.1.b Le nombre total d’amas …………………………………… 21
I.3.3.1.c Probabilité d’appartenir à l’amas infini ………………….
21
I.3.3.1.d Taille moyenne des amas finis ……………………………
22
I.3.3.1.e Les longueurs caractéristiques ……………………………
23
I.3.3.2 Lois d’échelle et exposants critiques……………………………...
24
I.3.3.2 .a Lois d’échelle………………………………………………..
25
I.3.3.2 .b Exposants critiques ………………………………………...
26
I.3.4 Transport électrique et percolation……………………………………...
27
I.3.4.1 Conduction d’un réseau…………………………………………… 27
I.3.4.2 Conductivité et probabilité d’appartenance à l’amas infini …...
29
I.4 Bibliographie……………………………………………………………………
31
Chapitre II
Propriétés diélectriques des composites et modèles
II.1 Introduction…………………………………………………………………….. 34
II.2 Propriétés diélectriques des matériaux…………………………………….
34
II.2.1 Transport électrique dans les matériaux ……………………………...
34
II.2.2 Réponse en fréquence d’un conducteur ……………………………….
35
II.2.2.1 Domaine de conduction………………………….……………….. 37
II.2.2.2 Domaine de relaxation ……………………………………………
37
II.2.2.3 Domaine de transmission…………………………………………
38
II.2.3 Réponse en fréquence d’un diélectrique ……………………………...
38
II.2.4 Théorie de Debye ………………………………………………………..
39
II.3 Spectroscopie d’impédance …………………………………………………
42
II.4 Modélisation d’un matériau composite par des circuits électriques…… 43
II.4.1 Modèle RC ……………………………………………………………….
44
II.4.2 Modèle RLC ……………………………………………………………… 45
II.5 Bibliographie…………………………………………………………………… 51
Chapitre III
Champ local et Méthodes de calcul
III.1 Introduction……………………………………………………………………
54
III.2 La théorie de Champ local …………………………………………………... 55
III.2.1 Définition ………………………………………………………………..
55
III.2.2 Le rapport de participation inverse …………………………………...
60
III.3 Méthode de calcule ………………………………………………………….
61
III.3.1 La Méthode Exact ME …………………………………………………. 61
III.3.1.b Le cas de 2d ……………………………………………………… 61
III.3.1.b Le cas de 3d …………………………………… .……………….. 64
III.3.2 La Méthode de Frank et Lobb………………………………………….. 66
III.3.3 La méthode GRER……………………………………………………….
67
III.3.4 La Méthode de Matrice de Transfert…………………………………..
69
III.4 Bibliographie …………………………………………………………………
71
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
IV.1 Introduction…………………………………………………………………...
74
IV.2 Modèle RC et simulation…………………………………………………..
74
IV.3 Résultats et discussion………………………………………………………
75
IV.3.1 Comportement de la conductivité effective…………………………..
75
IV.3.2 Comportement de la probabilité de percolation …………………….
78
IV.3.3 Comportement du champ local………………………………………..
80
IV.3.4 Fluctuation du champ local ……………………………………………
82
IV.3.5 Effet de la taille…………………………………………………………..
83
IV.4 Bibliographie………………………………………………………………….
84
Conclusion générale…………………………………………………………
85
Introduction générale
Introduction générale
Les matériaux composites et granulaires ont permis ces dernières décades une
percée technologique importante dans des domaines comme l’électronique, la
mécanique et l’optique. En effet, ces mélanges montrent des propriétés physiques
inaccessibles avec les matériaux purs. Ainsi certains composites ont montré des
propriétés mécaniques et une résistance inégalable à la corrosion, ce qui a permis de
les choisir comme revêtement des bateaux [1]. D’autres mélanges métal-isolant ont
montré une absorption optique anormalement grande [2], suscitant l’intérêt des
militaires pour l’industrie antiradars. On peut
aussi citer certains mélanges
polymère-carbone qui atteignent une résistance électrique comparable au cuivre avec
toutes les conséquences sur la fabrication de batteries légères.
La construction des objets continus macroscopiques (les agrégats, les amas)
par la dispersion aléatoire des grains a été le sujet de plusieurs études durant ces
trois dernières décennies, et a été formalisée par divers modèles de percolation
[3,4,5,6].
La théorie de percolation est une transition de phase du deuxième ordre dont
la modification s’effectue sur la concertation p des sites ou liens actifs. La transition
de phase et les exposants critiques prédits par cette théorie n’ont jamais été mis en
évidence expérimentalement car les systèmes réels utilisés sont toujours de taille finie
alors que la théorie est basée sur des systèmes à la limite thermodynamique.
En effet, le modèle de percolation a bien été étudié depuis plusieurs décennies.
Les seuils ainsi que les exposants critiques ont été déterminés avec précision pour les
dimensions 1D, 2D, 3D etc.….
En particulier la structure fractale du bacbone et le nombre des liens
simplement connectés sont maintenant connus pour des systèmes infinis. Dans le cas
des systèmes finis, le problème reste encore ouvert et les distributions engendrées
sont complexes selon que la taille est supérieure à la longueur de corrélation. Les
systèmes réels sont en général finis et sont entre tridimensionnels et bidimensionnels
(une couche mince est quasi bidimensionnelle). Ceci nous incite à examiner la
percolation à la transition entre 2d et 3d ainsi que les exposants critiques et le nombre
de liens simplement connectés.
6
Introduction générale
Il semble que le champ électromagnétique local et ses fluctuations sont les
quantités principales liées à divers processus optiques dans les milieux composites
tels que la diffusion de Raman [7, 8,9] la diffusion de Rayleigh [10] et l’optique non
linéaire [7,11 ,12], aussi bien que les processus électromagnétiques dans les systèmes
mesoscopic [13]. Ces fluctuations ont été observées à pc pour des mélanges composite
métal - diélectrique sous la forme de couches minces et surfaces rugueuses [9, 10,16]
et ont été interprétées par la localisation [14,15].
Ces fluctuations sont aussi utilisées pour interpréter l'absorption anormalement
grande observée expérimentalement dans les régimes du visible, le proche infrarouge
et le micro-onde et près du seuil de la percolation d’un film composite métal diélectrique [17]. En outre, Il a été montré [18,21] pour ce type de mélange que la
distribution du champ local est asymptotiquement log - normal.
Notre travail consiste à étudier l’effet de l’épaisseur d’un système composite
métal-isolant
sur le seuil de percolation pc. Pour confirmer les résultats, trois
différentes méthodes sont utilisées, les deux premières sont basées sur le
comportement de la conductivité effective et la probabilité de percolation [3], la
troisième
méthode consiste à observer le comportement du champ local et ses
fluctuations autour de pc. Cette étude repose sur une modélisation de ces matériaux
en réseaux électriques RC. La détermination des grandeurs physiques caractérisant
ces systèmes (conductivité effective et champ local) consiste en la résolution exacte
des équations de Kirchhoff correspondantes.
Ce passage de 2d à 3d permet de donner une interprétation sur la transition de
phase pour les systèmes réels.
Dans le premier chapitre de cette thèse, une vue générale sur les théories
approximatives est présentée, comme la théorie du milieu effective et la théorie de
percolation avec ses propriétés et ses grandeurs caractéristiques essentielles (Le seuil
de percolation, les lois d’échelles et les exposants critiques).
Le deuxième chapitre présente des généralités sur les principales propriétés
des matériaux conducteurs et diélectriques,
7
suivie par une brève description de la
Introduction générale
technique de la spectroscopie d’impédance, et finalement une description
des
différents circuits utilisés dans la modélisation des matériaux composites.
Le troisième chapitre est consacré dans un premier temps à la théorie du
champ local, ensuite une description des différentes méthodes utilisées pour calculer
les grandeurs physiques caractérisant les systèmes étudiés.
Dans le dernier chapitre, les résultats obtenus montrent qu’après une légère
augmentation de l’épaisseur d’un système 2d, le pc baisse brusquement de la valeur
0.5 et se sature à la valeur correspondante à un système 3d bien avant que l’épaisseur
du système ne l’atteigne, ce qui explique pourquoi les valeurs théoriques de pc n’ont
jamais été observées expérimentalement. Les résultats montrent aussi un
comportement intéressant du champ local avec ses fluctuations autour du seuil de
percolation.
Bibliographie :
[1] C. Favoto, Thèse Université de Toulon (1997), C. Favoto, A. Margaillan and
M.Roubin, Ann. Chim. Fr 21 (1996) 13.
[2] P. Gadenne, Y. Yagil and G. Deutcher, J. Appl. Phys. 66, (1989) 3019; M. Gadenne,
J. Lafait and P. Gadenne, Physica A157, (1989) 400.
[3] D.Stauffer , A. Aharony, Taylor and Francis, London, 1992.
[4] M. Sahimi, application of percolation theory Taylor and Francis, London, 1994 .
[5] D. Stauffer, Phys. Rep. Lett. , 54, 9(1979).
[6] Essam J.W., Rep.Prog.Phys., 43 (1980) 833.
[7] Shalaev V 1996 Phys. Rep. 272 61.
[8] Poliakov E Y, Shalaev V M, Markel V A and Botet R 1996 Opt. Lett. 21 1628.
[9] Brouers F, Blacher S, Lagarkov A N, Sarychev A K, Gadenne P and Shalaev V M
1997 Phys. Rev. B 55 13 234.
[10] Brouers F, Blacher S and Sarychev A K 1998 Phys. Rev. B 58 15 897.
[11] Shalaev V M, Poliakov E Y and Markel V A 1996 Phys. Rev. B 53 2437.
[12] Poliakov E Y, Markel V A, Shalaev V M and Botet R 1998 Phys. Rev. B 57 14 901.
[13] Keller O Phys 1996. Représentant. 268 85.
[14] Zekri L,Bouamrane R,Zekri N and Brouers F 2000 J.Phys.:Condens.Matter12 283.
8
Introduction générale
[15] Gresillon S, Aigouy L, Boccara A C, Rivoal J C, Quelin X, Demarest C, Gadenne
P, Shubin V A, Sarychev A K and Shalaev V M 1999 Phys. Rev. Lett. 82 4520.
[16] Brouers F, Blacher S and Sarychev A K 1995 Fractals in the Natural and Applied
Sciences (London: Chapmanand Hall) p 237.
[17] Gadenne P, Beghadi A and Lafait J 1988 Opt. Commun. 65 17.
[18]Brouers F, Blacher S, et A.K.Sarychev dans Fractal in the naturel and applied Siences,
Ch et H,Londres (1995)p.237.
[19] L. Zekri , Int. J. Mod. Phys. C 16 issue 06 (2005) 991.
[20]J. P. Clerc, G. Giraud, S. Alexander and E. Guyon, Phys. Rev. B. 22, 2489 (1980).
[21] L. Zekri, R. Bouamrane and N.Zekri, J.Phys.A: Math. Gen. 12 (2000)283.
9
Chapitre I
Généralités sur la théorie des
milieux effectifs et percolation
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
I.1) Introduction :
Les matériaux composites font l’objet de plusieurs sujets d’actualité, car ils ont
des propriétés physiques (résistance mécanique, réflexion et absorption optique,
transport électronique etc.) qui leurs confirent des applications dans le domaine de
l’industrie et font de ces matériaux l’objet d’études intensives.
Les deux modèles de réseaux aléatoires les plus utilisés dans les études des
matériaux composites sont le modèle du milieu effectif et le modèle de percolation.
Les deux fournissent une impédance équivalente macroscopique en fonction de la
fréquence de l'excitation et de la proportion p de conducteurs que l'on appellera
dopage dans le mélange. Les résultats obtenus sont les mêmes pour une très grande
gamme de dopage, ils ne diffèrent essentiellement que dans le voisinage du seuil de
conduction.
La théorie du milieu effectif dans un plan, pour un réseau permet de
déterminer une impédance complexe totale. Lorsque le réseau est de taille infinie,
elle considère le milieu comme parfaitement homogène et attribue à chaque lien, la
même impédance complexe.
La théorie de percolation, elle, s'attache à décrire de façon précise le voisinage
du seuil de percolation. En effet, et c'est là le défaut du modèle du milieu effectif au
seuil de percolation, l'existence d'un "amas infini" de structure ramifiée complexe,
implique l'existence de liens dits critiques par lesquels passent la totalité du courant
injecté aux électrodes. Ces liens ne peuvent donc pas être considérés comme
"moyens" ou effectifs.
I.2) L'approximation de milieu effective :
L'AME est proposé pour la première fois par Bruggeman [1], et ensuite,
dans :un contexte différent, par Landauer [2]. Ces théories sont utilisées dans de
nombreux études des médias macroscopiquement non homogènes, c.-à-d., un milieu
dans lequel les quantités telles que la conductivité, la fonction diélectrique, ou le
11
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
module élastique varient dans l'espace. Beaucoup de matériaux se rangent dans cette
large catégorie, on peut citer comme exemples une roche poreuse, un échantillon
polycristallin d'un matériau anisotrope aussi dans notre cas un composite métal–
diélectrique, (des grains métalliques avec une concentration p1 et des grains
diélectriques avec une concentration p2 disposés d’une façon aléatoire).
L’AME sera présentée dans ce qui suit pour un cas simple [2]:
Soit un mélange aléatoire de deux types de composants, un composant 1 (conducteur
par exemple) et un composant 2 (isolant par exemple), ces composants sous forme de
grains remplissent complètement le volume dans le cas 3d (et la surface dans le cas
2d). L’effet de contact est ignoré dans ce cas (figure I.1.a).
La partie (1) de la figure est entourée par un assortiment de deux composants 1 et 2,
cette partie est supposée avoir une forme bien déterminée (sphère dans le cas de 3D
ou cercle dans le cas de 2D) et est fixé non pas dans un milieu d’origine mais dans
milieu homogène de conductivité σ e qui caractérise le mélange (figure I.1.b). Ceci
n’est réalisable que si la position de chaque composant est non corrélée.
Si E est le champ électrique appliqué au mélange représentant aussi le champ
du milieu homogène appliqué dans la région hachurée), sur la surface de cette région
apparaissent des charges créant un dipôle électrique de moment P :
P = Ea 3
σ1 − σ e
σ1 + σ e
(I.1)
S’il existe dans le mélange N1 composants par unité de volume, il y’aura donc une
densité de polarisation :
P1 = N1Ea 3
σ1 − σ e
σ −σe
= p1E 1
σ1 + σ e
σ1 + σ e
(I.2)
Avec p1 la concentration du composant 1 dans le mélange. De manière similaire,
nous obtenons pour le composant 2 :
P2 = p2 E
σ1 − σ e
σ1 + σ e
(I.3)
p2 : étant la concentration du composant 2 dans le mélange.
12
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
Considérant maintenant la situation représentée dans la figure (I.2). La région II
représente le mélange considéré de conductivité σ e soumis au champ E I , alors que
E II est le champ dans la région homogène I. Les deux régions sont soumises au
même courant et ont la même conductivité [2]. Nous aurons donc :
E I = E II
(I.4)
div ( E I ) = −4πdiv ( P )
(I.5)
où
Ce qui nous conduit à :
(I.6)
E I − E II = −4π ( P1 + P2 )
En combinant les équations I.4 et I.5 :
(I.7)
P1 + P2 = 0
Ce qui mène à l’équation suivant pour σ e :
p1
σ1 − σ e
σ −σe
+ p2 2
=0
σ 1 + 2σ e
σ 2 + 2σ e
(I.8)
Cette équation a comme solution :
σe =
1
(3 p2 − 1)σ 2 + (3 p1 − 1)σ 1 +
4
[(3 p2 − 1)σ 2 + (3 p1 − 1)σ 1 ]2 + 8σ 1σ 2
(I.9)
Cette équation conduite pour un composite bidimensionnel (métal - isolant), au seuil
de percolation à la relation :
σ e = σ métalσisolant
(I.10)
L’équation trouvée par Dykhne [1].
En note que l'approximation du milieu effective ne traite pas correctement les
fluctuations du champ local qui jouent un rôle important dans la réponse optique
pour les matériaux composites, elle diminue les fluctuations dans le système car elle
suppose que les champs électriques locaux sont les mêmes en volume occupé par
chaque composant d'un composé [3].
13
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
a)
b)
Figure I.1 : (a) le composant de type 1 hachuré dans le mélange (conducteurisolant),(b) Le composant est fixe dans un milieu homogène.
direction
du courant
Figure (I.2)- Milieu Homogène (I) et biphasé (II)
14
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
I.3) La théorie de percolation :
La percolation est l'un des modèles mathématiques les plus simples pour
produire des transitions non triviales de phase géométriquement. En raison de sa
simplification et abstraction elle pourrait être adaptée à plusieurs phénomènes.
On peut citer comme exemples, les épidémies comme propagation d'HIV dans le
corps et parmi les personnes, création de galaxie, les feux de forêt……etc.
Le tableau ci-dessous (Tableau I.1) résume les principaux domaines d’application de
cette théorie :
Formation aléatoire d’étoiles dans les galaxies spirales
Contagion d’une maladie dans une population
Réseaux de communisation et réseaux de résistances
Ecoulement d’un fluide dans un milieu poreux
Matériaux composites conducteur isolant conducteur
Films métalliques discontinus
Dispersion d’atomes métalliques dans un isolant
Matériaux composites métal/supraconducteur
Films minces d’Hélium sur les surfaces
Matériaux magnétiques dilué
Gels polymères, vulcanisation
Transition vitreuse
Seuil de mobilité dans les semi-conducteurs amorphes
Quarks dans la matière nucléaire
Non propagation / propagation
Contagion contenue/épidémie
Déconnectés /connectés
Mouillage localisé/étendu
Isolant/métal
Isolant / métal
Isolant / métal
Métal/ supraconducteur
Normal/superfluide
Para /ferromagnétique
Liquide /gel
Liquide /verre
Etats localisés/étendus
Confinement /non confinement
Tableau I.1 : principaux domaines d’application de la théorie de percolation.
I.3.1) Notion de percolation :
Le terme percolation a été introduit en 1957 par Broadbent et Hammesrslay [4]
dans une étude de problèmes mathématiques concernant l’écoulement du liquide
dans un labyrinthe aléatoire. Une description intéressante de la percolation faisant
une simulation de feu en foret est décrite par Stauffer [5]. La théorie de la percolation
traite les propriétés statistiques d’ensembles désordonnés d’objets déposés sur un
réseau régulier de dimension d.
15
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
Le concept de percolation permet de décrire les propriétés d'un système
désordonné d'une manière purement géométrique. La percolation est un type très
simple de situation où les propriétés physiques présentent un comportement critique
et des singularités lorsqu'un certain seuil (appelé point critique) est atteint.
Il existe deux types de percolation:
I.3.1.1) Percolation de sites :
Figure I.3 - percolation de sites
Plaçons aux intersections d'un maillage un certain nombre p (exprimé en
pourcentage) de points de façon aléatoire. Il reste (1-p) intersections vides.
Le regroupement des points p qui sont voisins, forme un amas (représenté par la
partie hachurée de la figure (I.3).
Un amas est dit infini s'il traverse l'échantillon de part en part.
Lorsque l'on augmente p pour obtenir un amas infini, la valeur obtenue de p est
appelée seuil de percolation pc.
I.3.1.2) Percolation de liens :
Figure I.4 - percolation de lien
16
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
Les liens sont des liaisons entre les sites les plus proches, ils sont soit conducteurs (les
traits pleins), soit isolants (les traits en pointillés). Un amas sera un ensemble de traits
pleins qui se touchent, c'est à dire de liens existants.
La notion d'amas infini et de seuil de percolation s'applique aussi dans la percolation
des liens.
I.3.2) Le seuil de percolation :
Pendant longtemps, la recherche s’est focalisée sur l’étude du seuil de
percolation. En conséquence, de nombreuses méthodes on été développées, et
plusieurs études sont faites pour déterminer la valeur de seuil de percolation.
I.3.2.1) Définition :
Au sein d’un réseau dans lequel les sites (figure I.5.1) ou les liens (figure I.5.2) sont
actifs avec une probabilité p et inactifs avec une probabilité q=1-p, le seuil de
percolation pc se définit comme la concentration p pour laquelle un amas de taille
infinie apparaît dans un réseau de taille infinie [6].
Pour tout p > pc, une chaîne s’étend d’un coté à l’autre du système alors que pour
p <Pc, il n’existe pas de « chemin » de ce type. La figure I.5.1 (b) montre l’apparition de
l’amas percolant à p =pc dans un réseau carré de sites. Au fur et à mesure que la
proportion d’activité p s’accroît, la taille des amas augmente mais reste de taille finie
(figure I.5.1 (a)).
À partir d’une valeur déterministe, on observe l’apparition d’un amas qui joint les
bords opposés (figure I.5.1 (b)). Cet amas est l’amas percolant et la valeur de cette
probabilité critique correspond au seuil de percolation (p =0,5928 pour un réseau carré
de sites). Les sites (éléments) de l’amas infini sont représentés cri noir pour mettre cri
relief la jonction des cotés opposés. Les sites cri gris sont les sites actifs distincts de
l’amas percolant. On constate que le nombre de sites séparés de l’amas infini
diminue lorsque p augmente (figure I.5.1 (c)).
17
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
(a) p=0.4
(b) p=0.6=pc
(c) p=0.8
Figure I.5.1 - Exemple de percolation sur un réseau carré de sites pour différents p
(a) (p=O,35)
(b) (p=O,5=pc)
(c) (p0,65)
25 x 25 sites)
Figure 1.5.2 -Exemple de percolation sur un réseau carré de liens pour différents p
18
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
Dans la théorie de la percolation, l’existence du seuil est fondamentale. Cette valeur
critique se caractérise par [7] :
= 0
si
p
pc
(I.11)
p(p )
0
si
p
pc
Le seuil de percolation pc se définit alors comme la première valeur de p où la
probabilité de percolation P(p) n’est pas nulle, ce qui se traduit de façon formelle
par:
PC = max
{
p : P( p) = 0
}
(I.12)
En conséquence, la forme générale de la fonction de probabilité de percolation P(p)
est présentée sur la (Figure I.6).
Figure I.6- Variation de la probabilité de percolation P(p)
I.3.2.2) La valeur de seuil de percolation :
Le seuil de percolation Pc dépend du modèle de percolation choisi, de la
géométrie ainsi que la dimension d du réseau et non de la façon dont on réalise
l’augmentation de p à partir de zéro [8]. Ceci est une des caractéristiques
fondamentales de l’aspect universel de la percolation.
19
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
Le (tableau I.2) indique les valeurs exactes (*) ou approchées des seuils de percolation
selon la forme du réseau, sa dimension et le modèle de percolation.(pb: percolation
de liens; ps: percolation de sites). Il précise également la coordinence z, c’est-à-dire le
nombre de plus proches voisins d’un site donné, pour différents réseaux [9].
On note que la valeur de seuil de percolation est cependant très difficile a estimé
avec précision.
Dimension
2D
3D
Réseau
p : Liens
P :Sites z
Nid d’abeille
(hexagonal)
Carré
Triangulaire
1—2
sin( π /18) *
0.5*
2 sin( π /18)*
0,697
0,593
1/2 *
3
4
6
Diamant
Cubique simple
Cubique centré
Cubique faces
centrées
Hexagonal
0,388
0,247
0,178
0,119
0,124
0,430
0,307
0,243
0,195
0,204
4
6
8
12
12
*valeurs exactes
Tableau I.2 - Valeurs du seuil de percolation pour quelques réseaux à 2D et 3D
I.3.3) Caractéristiques statiques :
I.3.3.1) Grandeurs caractéristiques :
Dans un contexte statique, la situation d’un problème de percolation se décrit à
travers quelques grandeurs fondamentales comme le nombre d’amas de taille s
normalisé par site. La probabilité d’appartenir à l’amas infini, la taille moyenne des
amas finis et les longueurs caractéristiques.
20
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
I.3.3.1.a) Nombre d’amas de taille s normalisé par site :
La plus simple des grandeurs caractéristiques du problème de percolation est le
nombre n d’amas de taille s, normalisé par site. Dans un échantillon fini comportant
N sites, n est la moyenne du nombre d’amas de taille s: (I.13). Pour le réseau infini,
n est la limite de cette moyenne lorsque le nombre de sites tend vers l’infini: (I.14) [6].
Pour un échantillon fini de N sites :
ns =
nombre total d ' amas de taille s
N
(I.13)
Pour un réseau de taille infinie
n s = lim
N → ∞
nombre total d ' amas de taille s
N
(I.14)
I.3.3.1.b) Le nombre total d’amas :
Le nombre total d’amas de toute taille, noté G(p), normalisé par site est [6] :
G ( p) =
(I.15)
ns
s
I.3.3.1.c) Probabilité d’appartenir à l’amas infini :
Soit P∞ ( p ) la probabilité qu’un site appartienne à l’amas infini. Dans un échantillon
de taille finie, la probabilité qu’un site soit un élément de l’amas percolant se
détermine en faisant le rapport du nombre de sites dans l’amas infini par le nombre
total de sites actifs:
P∞ ( p ) =
nombre de sites de l'amas infini
nombre de sites actifs
(I.16)
Lorsque p < Pc, il n’existe pas d’amas infini. Par conséquent, la probabilité d’y être
attaché est nulle. À p = pc le caractère lacunaire de l’amas infini suggère qu’il occupe
21
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
une fraction nulle du réseau [8]. Enfin, si p > pc, les simulations et les expériences
mènent à supposer un comportement critique. De façon formalisée, ceci se résume
par:
P∞ ( p ) = 0
si
P∞ ( p ) ≈ ( p − p c ) β
si
p ≤ pc
(I.17)
p ≥ pc
Selon la même logique que pour l’amas infini, il est possible de calculer la probabilité
d’appartenir à un amas fini. Dans un échantillon, cela revient à rapporter le nombre
de sites actifs en amas fini au nombre total de sites:
sn
s
=
s
nombre de sites en amas fini
nombre total de sites actifs ou non
(I.18)
Sachant P∞ ( p ) , la probabilité qu’un site ne soit pas élément de l’amas infini est
1 — P(p). Pour qu’un site appartienne à un amas fini, il faut qu’il soit actif. En
conséquence, la probabilité pour qu’un site fasse partie d’un amas fini est:
(I.19)
sn s = p (1 − P∞ ( p ) )
s
Pour p < pc, il n’existe pas d’amas infini d’où P∞ ( p ) = 0 . Dans (I.19), la probabilité
qu’un site arbitraire appartienne à un amas fini est alors égale à la probabilité p qu’il
soit occupé.
I.3.3.1.d) Taille moyenne des amas finis :
La probabilité qu’un site quelconque appartienne à un amas de taille s est nss,
et celle qu’il fasse partie de n’importe quel amas fini est
sns . Soit ws la probabilité
s
que l’amas auquel appartient un site actif arbitraire contienne exactement s sites:
w
s
nss
nss
=
(I.20)
s
22
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
De là, la taille moyenne des amas finis se calcule telle que:
s =
nss2
nss
wss =
s
s
(I.21)
s
Cette définition du nombre moyen de sites par amas fini reste valable à la condition
que l’amas infini, s’il existe, soit exclu de la somme. En intégrant (I.19), le calcul de la
taille moyenne des amas finis devient:
S ( p) =
s 2 n s / p (1 − P∞ ( p )) si p
pc
s 2 ns / p
pc
s
si p
(I.22)
s
I.3.3.1.e) Les longueurs caractéristiques.
D’autres grandeurs caractéristiques des systèmes à la percolation Nous pouvant
citer par exemple la longueur de corrélation ξ [10, 20,16].
ξ est définie par la probabilité g(x) de trouver à une distance x d’un point de l’amas
un autre point appartenant également a cet amas. La probabilité g(x) suit le
comportement :
g ( x) ∝ e − x / ξ
Pour
p < pc
(I.23)
Nous pouvons aussi définir cette grandeur comme étant la longueur pour laquelle la
masse de l’amas infini croit de manière uniforme.
Une autre grandeur qui suivant une loi en puissance c’est la distribution des taille
des amas à la percolation [10,11].
ns ( pc ) ∝ s −τ
(I.24)
Celle-ci est décroissante et monotone, ce qui implique qu’au seuil de percolation, il
23
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
existe des amas de toutes tailles. Ceci illustre bien l’identification de la transition de
percolation comme transition de phase ou l’on rencontre des interactions de toutes
portées.
Figure(I.7)-La longueur de corrélation définie à partir de la probabilité
d’appartenance à un amas.
I.3.3.2) Lois d’échelle et exposants critiques :
La valeur des grandeurs obtenues dans un problème de percolation dépend
des éléments microscopiques du système comme par exemple la coordinence.
Cependant au voisinage du seuil critique, la plupart de ces grandeurs ont des
comportements qui sont indépendants de la structure du réseau et des détails
microscopiques [14].
24
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
I.3.3.2.a) Lois d’échelle
Au voisinage de pc, l’insensibilité du comportement des grandeurs
caractéristiques d’un problème de percolation aux détails microscopiques de la
structure sur lequel il évolue, se résume dans les relations appelées « lois d’échelle ».
Celles-ci concernent principalement
( p ) , P∞ ( p ) ,S ( p ) et ns ( p ) . Le
degré de validité
de ces relations n’étant pas totalement connu, les termes des diverses équations
seront séparés par la relation logarithmique.
Pour des valeurs inférieures au seuil aussi bien que pour des valeurs supérieures, la
taille linéaire des amas finis se caractérise par la longueur de corrélation. Elle se
définit comme la distance moyenne entre deux sites du même amas. Au voisinage de
pc c’est-à-dire lorsque p — pc est faible, la longueur de corrélation augmente selon [12]
ξ ( p) ≈ p − pc
−ν
p
(I.25)
pc
L’exposant ν est identique pour p > Pc et p <Pc et il ne dépend que de la dimension
d. Autrement dit. la longueur de corrélation croît au dessous du seuil de la même
façon critique qu’elle décroît au dessus du seuil [6 ].
Pour un site, la probabilité d’appartenir à l’amas infini P∞ ( p ) dépend de la
proportion d’éléments actifs. Au voisinage du seuil critique, la décroissance de P∞ ( p )
vers 0 s’effectue selon une loi puissance de (p — Pc) au fur et à mesure que p tend
vers Pc par valeurs supérieures. De façon formelle, ceci se traduit par [13] :
P∞ ( p ) = ( p − p c ) β
(I.26)
Le coefficient β dépend lui aussi de la dimension d du modèle, mais contrairement à
la longueur de corrélation, la loi d’échelle n’est valide que pour des valeurs
supérieures au seuil. En effet, la probabilité d’existence d’un amas infini est nulle
pour p < pc d’où une probabilité nulle d’en faire partie.
La taille moyenne des amas finis S(p) suit également une loi d’échelle. Au voisinage
de pc , son évolution est supposée diverger selon la relation suivante [12] :
S ( p) ≈ p − pc
−γ
25
(1.27)
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
Là aussi, le coefficient γ dépend de la dimension où évolue le problème. De plus, la
valeur de γ est identique au dessus et au dessous du seuil de percolation.
Au voisinage du seuil de percolation, seuls ont une influence les amas de taille
voisine de
soit
S
, cette taille type suit loi en :
S ∝ p − pc
−1 /
(I.28)
Le nombre d’amas normalisé par site suit également une loi d’échelle selon la
relation suivante :
ns α p − pc
2 −α
(I.29)
s
Les lois d’échelles insistent sur le caractère critique de la transition de percolation.
Elles rendent compte de l’évolution de certaines grandeurs statistiques au voisinage
du seuil de percolation. La caractéristique principale de ces lois d’échelle est leur
universalité, car les exposants qui sont liés à chacune d’entre elles ne dépendent que
de la dimension du problème et pas des détails du réseau [7].
I.3.3.2.b) Exposants critiques :
Les exposants critiques attachés aux lois d’échelles ne sont pas indépendants
[7,14]. La théorie physique d’échelle suppose que ces exposants sont interdépendants
selon les relations d’échelle.
Les relations d’échelle sont les équations de correspondance entre exposants, elles
sont valide pour touts les réseaux :
γ =
β =
(3 − τ )
(I.30)
σ
(τ − 2
2 −α =
(I.31)
σ
(τ − 1 )
σ
26
(I.32)
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
Il existe d’autres relations comme [16]:
σ =
1
(β +γ )
τ =2+
2 −α =
(I.33)
β
(I.34)
(β + γ )
(τ − 1 )
σ
(I.35)
= 2β + γ
La validité de ses relations d’échelle n’est généralement pas contestée [13].
montrent
ainsi
que
tout
dépend
de
deux
exposants,
peu
Elles
importe
qu’il s’agisse de σ et τ ou β et γ car de ces deux exposants il est possible de déduire
tous les autres [15].
I.3.4) Transport électrique et percolation :
Le phénomène de transport dans la percolation peut s’effectuer par plusieurs
façons. Tout dépend du domaine étudié et selon leurs caractéristiques, le cas du
transport électrique dans les composites peut s’effectuer par exemple par L’analyse
de la conductivité électrique d’un mélange de deux composants, l’un isolant et
l’autre conducteur , la conductivité électrique qui dépendent de la concentration en
grain, leur taille, leur forme, et de certains paramètres extérieurs tels que la
température et la fréquence auxquelles est soumis le matériau.
I.3.4.1) Conduction d’un réseau
Dans un réseau carré, on définit chaque site actif comme un élément conducteur
et chaque site inactif comme un isolant [15]. A titre d’illustration, les sites actifs
peuvent être assimilés à des grains conducteurs et les sites inactifs à des grains de
matière isolante [16]. Dans un tel réseau, le courant électrique ne peut circuler que
sur les grains conducteurs. La propagation du courant se fait uniquement entre des
sites plus proches voisins, c’est-à-dire des sites ayant un coté en commun.
Un courant électrique de voltage unitaire est appliqué au réseau aléatoire de
résistance, par le biais de deux électrodes placées de part et d’autre du système. La
27
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
quantité de courant qui parvient à traverser ce labyrinthe de résistances correspond à
la conductance de l’échantillon.
Le réseau de résistances est définit selon une forme rectangulaire de taille N x L sites,
avec N le nombre de colonnes et L le nombre de lignes (figure 1.8).
Pour éliminer les effets de taille finie, les valeurs respectives de N et L sont
supposées relativement importantes. Une électrode de taille N est placée sur la
première et la dernière ligne du réseau. Un courant uniforme est ensuite appliqué au
système à partir de ces électrodes.
Si le réseau était uniforme et homogène, comme par exemple dans le cas d’une feuille
de cuivre, la conductance serait proportionnelle à N et inversement proportionnelle à
L [16]. De façon plus générale. La conductance d’un système en dimension d est
d −1
de l’échantillon [21]. Pour
inversement proportionnelle à la coupe transversale N
une dimensions ’’d’’, la conductance est alors, proportionnelle à N
à Σ( N
d −1
d −1
/ L , et égale
/ L ) . Le facteur de proportionnalité Σ , appelé conductivité du matériau, est par
conséquent indépendant de la taille et de la forme carrée ou cubique, les cotés étant
de même taille L, la conductivité du système est égale au rapport de la quantité de
d −2
courant produit avec une tension de un volt, sur L
.
Figure (I.8) : conductance sur un réseau aléatoire de résistance [16]
28
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
I.3.4.2) Conductivité et probabilité d’appartenance à l’amas infini :
Suivant la théorie de la percolation, la probabilité d’apparition d’un amas
percolant est nulle lorsque la proportion de sites conducteurs (p) est inférieure au
seuil critique ( pc ). Or, le courant ne peut pas traverser le réseau s’il n’existe pas
d’amas infini. Par conséquent, la conductivité du réseau est nul pour p < pc . Au
contraire, lorsque la proportion de sites conducteurs est plus grands que pc , les
grains conducteurs forment un amas percolant à travers le réseau de résistances. La
conductivité ( Σ ) et la probabilité pour un site d’appartenir à l’amas infini ( P∞ )
augmentent alors de façon quasi-linéaire avec la concentration p. lorsque tous les
sites sont conducteurs ( p = 1 ). La probabilité d’appartenance à l’amas percolant est
certaine pour chaque site : P∞ ( p ) = 1 . Tous les sites étant conducteurs, le réseau
transporte alors une unité de courant lorsqu’une tension de un volt est appliquée
entre les deux électrodes. Dans ces conditions, la conductivité est posée gale à
l’unité :
Σ ( p = 1) = P∞ ( p = 1) = 1 .
(I.36)
Ainsi, une relation semble exister entre la conductivité Σ ( p ) et la masse de
l’amas percolant, c’est-à-dire la probabilité pour un site d’appartenir à l’amas infini
P∞ ( p ) . Malheureusement, les vérifications empiriques ne confirment pas cette
hypothèse [,16]. L’évolution schématique de la conductivité d’une feuille de graphite
perforée, en fonction de la proportion d’emplacement non perforé, est représentée
par le trait plein sur la figure (I.9).
Figure (I.9)- Conductivité et probabilité d’appartenance à l’amas infini [16,21]
29
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
La courbe en pointillé représente l’évolution schématique de la probabilité pour un
site, d’appartenir à l’amas percolant selon le même protocole. Les deux courbes
semblent avoir la même limite au seuil de percolation. Cependant, alors que la pente
de la conductivité est nulle au point critique, la pente probabilité d’appartenance à
l’amas percolant y est infinie. Cette divergence s’explique par les diverses sortes de
liens qui composent le réseau. La figure représente un amas percolant au seuil, dans
un réseau carré de liens. Chaque lien représente une résistance. En appliquant une
tension entre le haut et le bas de l’échantillon, plusieurs types de liens se distinguent.
Une grande partie des liens ne porte aucun courant, car ils n’aboutissent nulle
part[16]. Ces chemins sans issues sont les « bras morts » du réseau électrique. Une fois
débarrassée de ces bras morts, il ne reste que les liens participant à la conduction du
courant. Cette structure correspond à l’ « épine dorsale » de l’amas percolant. Elle se
compose de liens sensibles et de boucles, respectivement représentés en gras et en
pointillé sur la figure (I.10). La suppression d’un lien situé sur une boucle de l’épine
dorsale fait diminuer la quantité de courant traversant le réseau. La suppression d’un
lien sensible, par contre, annule totalement le passage du courant dans le réseau, car
dés lors il n’existe plus d’amas percolant conducteur.
Figure (I.10)- Décomposition de l’amas percolant [21]
30
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
Ainsi, une grande partie de l’amas percolant est formée par des bras morts ne
participant pas directement à la conduction de l’échantillon. Dans un amas infini, la
plupart des éléments n’appartiennent pas à l’épine dorsale. Par conséquent, une
faible part de la masse d’élément pris en compte dans P∞
intervient dans la
conductivité. L’exposant critique associé à Σ est alors différent de
lié à la
probabilité pour un site d’appartenir à l’amas infini. L’exposant critique de la
conductivité est noté t, tel que [16, 17, 18,19]
Σ ∝ ( p − pc )t
Pour
p → pc
(I.37)
En l’absence de résultat précis, il ne semble pas exister de relation entre t et les autres
exposant [16]. De là, t est considéré comme un nouvel exposant de base indépendant.
Malgré le travail intensif accompli jusqu'ici, la percolation demeure un domaine de
recherche vif.
I.4) Bibliographie :
[1] Dykhne A M 1970 Zh.Eksp. Teor. Fiz. 59, 110(Engl.Transl.1971 Sov. Phys.-JETP
32 348). Bruggeman D A 1935 Ann. Phys.,Leipzig. 24 636.
[2] R. Landauer J.Appl. Phys. 23, 779 (1952)
[4] S. R. Broadbent and J. M. Hammersley, Proc. Cambridge Philos. Soc. 53 (1957) 629.
[5] D. Stauffer, Introduction to percolation theory (1985) Taylor et Francis, London.
[6] Clerc JR, Giraud G, Roussenq J, Blanc R, Carton JR, Guyon E, Ottavi H, Stauffer fl,
(1983), « La percolation modèles, simulations analogiques et numériques », Annales
de Physiques, vol. 8, 105 p.
[7] Kesten 11, (1987), « Percolation Theorv and First-Passage Percolation », Annals of
Pro bability, vol. 15, n° 4, pp. 1231 1271.
[8] Lesne A, (1996), Méthode de renormalisation Phénomènes critiques, chaos,
structures fractales, Paris, Eyrolles Sciences, 388 p.
[9] Thèse de Doctorat, Stéphane BAJOT, Percolation et économie,Université de
NANTES,soutenu le 10/10/2001.
31
Chapitre I
Généralités sur la théorie de milieux effective et percolation
[10] J. Hoshen, D. Stauffer, G. H. Bishop, R. J. Harrison, G. D. Quinn, J. Phys. A12
1285 (1979).
[11] A. Kapitunik, A. Aharony, G. Deutsher, D. Stauffer, J. Phys. A16, L269 (1983).
[12] Bunde A, Havlin S, (1991). « Percolation I », in Bunde A, Havlin S. (eds), Fractals
and Disordered Systems, Berlin, Springer-Verlag, pp. 51 95.
[13] Grimmett G, (1989) Percolation, New York, Springer-Verlag, 296 p.
[14] Sahimi M, (1994), Applications of Percolation Theory, London, Taylor et Francis,
258 p.
[15] Kirkpatrick S, (1973), « Percolation and Conduction », Review of Modem
Physics, vol. 45, n° 4, pp. 574 588.
[16] Stauffer D, Aharony A, (1992), Introdudion to Percolation Theory, second
edition, London, Taylor et Francis, 181 p.
[17] J. P. Clerc, G. Giraud, J. M. Luck, J. M. Laugier Advances in Physics Vol. 39.
N°3 191-309 (1990).
[18] TC. D. Mitescu, M. Allain, E. Guyon and J. P. Clerc, J. Phys. A 15, 2533 (1982).
[19] I. Webman, J. Jortner and M. H. Cohen, Phys. Rev. B 14, 4737 (1976).
[20] E. D. Dumm, J. W. Essam, J. M. Loveluck, J. Phys. C8 (1975) 743 et 4219.
[21] Last B.J and Thouless D. J., Phys. Rev. Lett. , 27, 1719 (1971).
32
Chapitre II
Propriétés diélectriques des
composites et modèles
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
II-1) Introduction :
Un matériau composite est un mélange constitué de deux ou plusieurs
composants
distincts
et
qui
est
décrit
par
son
échelle
macroscopique
d’inhomogénéité. Ce genre de matériaux existe depuis longtemps dans la nature
(certains produits miniers et d’hydrocarbures) [1]. Ils sont maintenant réalisés pour
plusieurs utilisations technologiques et font l’objet d’études intensives tant sur leur
propriétés mécaniques que celles électriques et optiques.
La réponse d’un matériau homogène à une excitation électromagnétique fait
appel trois paramètres : la permittivité électrique ( ), la conductivité électrique ( ) et
la perméabilité magnétique ( ). Ces grandeurs peuvent dépendre de la fréquence,
dans ce cas, elles sont complexes.
En réponse à une excitation électromagnétique, deux types de phénomènes
physiques peuvent avoir lieu dans le matériau :
Des phénomènes de transport : concernant le déplacement de charges libres sous
l’action d’un champ électrique.
Des phénomènes de polarisation : concernent les charges liées qui présentent un
moment dipolaire permanent ou induit.
II-2) Propriétés diélectriques des matériaux :
II-2-1) Transport électrique dans les matériaux :
Les matériaux solides sont classés en fonction de la grandeur de leur
conductivité électrique
σ en trois catégories :
-
4
−1
Conducteurs ( σ > 10 S .m ) comme cuivre, or.
-
semi conducteurs ( 10
-
isolants
−6
< σ < 10 4 S .m −1 ) comme Germanium et le Silicium.
−6
−1
( σ < 10 S .m ) comme certains verre et matières plastiques.
Cependant cette classification reste floue car, dans le même matériau, la
conductivité dépend de façon importante de la nature cristalline, de la pureté et de la
température. En fait, la véritable distinction réside dans les mécanismes mis en jeu
34
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
dans la conduction électrique. Ces mécanismes proviennent du fait que dans un
conducteur les charges mobiles ne sont pas totalement libres, car elles interagissent
entre elles et avec les charges fixes qui composent le matériau. Le modèle de Drude
permet de confirmer certains résultats expérimentaux.
Pour des fréquences de l’ordre de 100THz la conductivité électrique s’écrit:
→
j=
σ st
1 + iw τ
→
(II.1)
E
σ st : La conductance statique et τ le temps de relaxation du système.
II-2-2) Réponse en fréquence d’un conducteur :
La propagation électromagnétique étant régie par les équations de Maxwell :
Quatre quantités vectorielles décrivent les phénomènes électromagnétiques :
1) le champ électrique E (volts par mètre)
2) l’induction électrique D (coulombs par mètre carré)
3) le champ magnétique H (ampères par mètre)
4) l’induction magnétique B(Tesla)
Ces vecteurs sont dépendants et pour un milieu diélectrique à pertes, de permittivité
complexe
(pour le vide ε 0 =
1
F / m ) et de perméabilité magnétique
36 π .109
complexe µ (pour le vide µ 0 = 4π .10 − 7 H / m ) ils sont liés par les relations suivantes :
D = ε~ E
(II.2)
B = µ~ H
(II.3)
Les équations de Maxwell, dont les champs électromagnétiques sont solutions,
s’écrivent sous forme temporelle en tenant compte des équations (II.2) et (II.3) :
rot E = −
∂B
∂H
= − µ~
∂t
∂t
rot H = J +
(II.4)
∂D
∂E
= J + ε~
∂t
∂t
(II.5)
div D = ρ e
(II.6)
35
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
(II.7)
div B = 0
où :
J est le vecteur densité de courant.
ρ e est la densité de charges électriques libres (C/m3)
Les équations fondamentales (II.4) et (II.5) résultent respectivement de la relation de
Maxwell-Faraday et de la relation de Maxwell-Ampère. Les deux équations en
divergence (II.6) et (II.7) représentent respectivement le théorème de Gauss et la
caractéristique de l’induction magnétique (soumise à l’impossibilité de l’existence de
charges magnétiques libres).
En utilisant la transformée de Fourier des équations précédentes et en remplaçant la
densité de courant par la loi d’Ohm et en posant D ( ω ) = ε 0 ε ( ω ) E , on obtient la
conductivité σ~ en fréquence qui dépend de celle statique σ
σ~ = σ − jωε 0 ε = − jωε 0 ε~
(II.8)
Qui relie la conductivité électrique en fréquence à la permittivité diélectrique du
matériau. Ainsi avec des mesures électriques en fréquence de l’admittance (ou
l’impédance) on déduit la permittivité. Cette permittivité est complexe dans un
métal.
Pour le modèle de l’oscillateur harmonique, la polarisation électronique dépend
du déplacement de la charge effective :
p = e*s
(II.9)
Le déplacement s obéi à un mouvement de l’oscillateur harmonique :
..
.
2
0
s + γ s = −ω s +
e*
υ
E
(II.10)
γ : La constant d’amortissement (qui décrit la durée de vie finie des ondes normaux
de vibration) , ν : La masse réduite de l’ion.
ω 0 : La fréquence de résonance de l’oscillateur harmonique.
36
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
La polarisation P s’écrit :
P=
N *
N
e s + ε 0 αE
V
V
(II.11)
N : le nombre de particules
V : le volume occupé
α : est la polarisabilité électronique.
En appliquant la transformée de Fourier et en remarquant que P = ε 0 (ε − 1) E on
déduit l’expression de la permittivité:
ε (ω ) = ε ∞ +
ω02 (ε st − ε ∞ )
ω02 − ω 2 − jωγ
(II.12)
avec ε ∞ et ε st les valeurs de la permittivité diélectrique respectivement aux
fréquences infinie et nulle. Dans cette équation ω 0 est la fréquence plasmon et
correspond aux modes transverses alors que l’amortissement γ est directement relie
au temps de relaxation.
Selon la valeur de la fréquence on peut distinguer trois domaines :
II-2-2-1) Domaine de conduction :( w << 1/τ )
La fréquence de plasmon est de l’ordre de 3 × 1015 Hz , ce domaine qui s’étend
jusqu’à l’infrarouge lointain est appelé domaine de l’effet de peau classique.
Dans le cas ou la partie imaginaire de est très grande devant le module de la partie
réelle ( ε ' ' >> ε ' ou σ >> ωε ), et pour des gammes de fréquence supérieures au tétra
hertz l’équation précédente de Drude se réduit à a loi d’Ohm.
II-2-2-2) Domaine de relaxation : 1 / τ << ω < ω p
Dans cet intervalle ε ' est négatif. Le comportement du conducteur est
analogue à celui d’un plasma sans pertes (les collisions sont négligeables). L’onde
incidente sur le métal est réfléchie comme le serait une radioélectrique par un gaz
37
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
ionisé à une fréquence inférieure à la fréquence plasmon. Ce domaine de relaxation
peut être le siège d’un phénomène appelé effet de peau anomal. Ce phénomène se
produit quand la profondeur de pénétration de l’onde est très inférieure à sa
longueur. Cet effet de peau anomal diminue la conductivité électrique du matériau.
II-2-2-3) Domaine de transmission ( ω >> ω p )
Dans ce cas, la fréquence de collision
τ −1
est inférieure à la fréquence de
l’onde incidente. La partie réelle de la permittivité se réduit à ε ∞ alors que sa partie
imaginaire devient très faible. Le conducteur se comporte comme un diélectrique, il
est donc transparent à l’onde. Dans cette situation, le métal peut alors être utilisé
dans la gamme de l’ultraviolet notamment pour la réalisation de lentilles ou de
filtres [2,3]
II-2-3) Réponse en fréquence d’un diélectrique :
Sous l’action d’un champ électrique, un milieu diélectrique homogène et
isotrope, supposé sans charges de conduction, acquiert une polarisation P , définie
comme étant le moment dipolaire par unité de volume [2,3, 4] :
→
dm
P=
dV
N
→
m=
→
qi ri
(II.13)
i =1
m : est le moment dipolaire, N : le nombre de dipôles.
qi Et ri sont les charges et leurs coordonnées respectives.
De manière générale, le théorème de Gauss s’écrit sous sa forme locale :
div E = ρ / ε 0
ρ
(II.14)
: la distribution volumique de charges
E : le champ électrique à l’intérieur du matériau.
38
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
Comme un diélectrique est assimilable à la superposition d’une distribution
volumique de densité et d’une distribution surfacique de charges dans un milieu, on
définit alors le vecteur induction électrique D par la relation :
D = ε0 E + P
(II.15)
le vecteur D est parfois aussi appelé vecteur excitation ou déplacement électrique
dans le vide, ou la polarisation est nulle
D = ε0 E
(II.16)
Le vecteur polarisation P n’est pas indépendant du champ E à ‘intérieur du milieu.
Dans de très nombreux matériau, dits linéaires et isotropes, l’expérience montre que
p est colinéaire et proportionnel à E .
p = χ E = ε 0 χr E
χ = ε 0 χr
(II.17)
χ et χ r sont respectivement les susceptibilités absolue et relative du milieu.
La vectrice induction et polarisation s’écrivent alors [2,3, 4]
et
D = ε 0 (1 + χ r ) E
(II.18)
P = (ε − ε 0 ) E
(II.19)
II-2-4) Théorie de Debye :
Dans certain liquides formés de molécules polaires tels que l’eau ou
l‘alcool,etc …, la constante diélectrique statique a une valeur important. La différence
entre ε ∞ et ε s est due principalement à la polarisation par orientation des moments
dipolaires à basse fréquence, est négligeable pour une fréquence supérieure à
39
Chapitre II
environ 10
Propriété diélectriques des composites et modèles
10
Hz. La polarisation orientationelle se produit également dans certains
cristaux constitués de molécules polaires comme Hcl où H 2 O [3,4].
En 1929, P. Debye a expliqué les grandes valeurs de
ε s dans certain liquides
en supposant que les molécules de ces liquides possèdent des moments dipolaires
électriques permanents pouvant s’écarter de leur orientation d’équilibre. Le retour
vers l’équilibre étant caractérisé par un temps de relaxation
angulaire
. Si la fréquence
du champ électrique appliqué est très supérieure à 1/ , la molécule ne
peut plus suivre le champ. Debye propose ainsi d’écrire la polarisabilité ( ) sous la
forme :
α (ω ) =
Avec
α0
1 − iωτ
α0 polarisabilité orientationelle
(II.20)
statique.
Ce modèle s’applique particulièrement bien au cas des diélectriques liquides ou
gazeux dont chaque molécule (ou chaque agrégat moléculaire) peut être assimilée à
un dipôle. Sous un champ statique, les dipôles s’orientent dans la même direction,
tous les phénomènes de polarisation sont concernés : la permittivité relative est
représentée par
ε st .Aux fréquences très relatives, dans le domaine du rayonnement
infrarouge et au-delà, la contribution des phénomènes de relaxation dipolaire à la
polarisation est négligeable.
On peut supposer que seules les polarisations atomiques et ioniques subsistent et que
la réponse du diélectrique est instantanée. Dans ce domaine de fréquence. La
permittivité relative tend vers la valeur ε ∞ .
Selon Debye un diélectrique soumis à une excitation sinusoïdale à une permittivité
complexe de la forme suivante :
ε (ω ) = ε 0 +
(ε st − ε ∞ )
ωτ (ε st − ε ∞ )
−j
2 2
(1 − ω τ )
(1 + ω 2τ 2 )
(II.21)
40
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
Où
ε ′(ω ) = ε ∞ +
Et
ε ′′(ω ) =
(ε s − ε ∞ )
(1 + ω 2τ 2 )
ωτ (ε s − ε ∞ )
(1 + ω 2τ 2 )
est la partie réelle
(II.22)
la parie imaginaire
(II.23)
K.S.Cole et al [5] ont montré en 1941, à partir des équations de Debye, que la
représentation graphique de ε ′′ en fonction de ε ′ (diagramme Nyquist, Figure. (II.1))
sur tout le domaine de fréquence était un demi- cercle.
Pour la présentation et comparaison des données expérimentales il est approprie de
modifier les équations de Debye.
ε ′′
ω0 = 1 / τ
(ε s − ε ∞ ) / 2
ω=∞
ω=0
ε′
ε∞
εs
Figure (II.1)- Diagramme de Cole & Cole.
41
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
Des variantes de ce modèle ont été introduit par Davidson et cole, et Havriliak
et Negami en proposant des exposants dans le dénominateur de ε ′ comme suit :
Le modèle de Davidson et Cole [6]:
ε (ω ) = ε ∞ +
(ε s − ε ∞ )
(1 + jωτ ) β
Où
0 < β ≤1
(II.24)
Ainsi que le modèle de Havriliak et Negami [7] :
ε (ω ) = ε ∞ +
(ε s − ε ∞ )
(1 + ( jωτ )1−α ) β
Où
0 <α ≤1
(II.25)
II-3) Spectroscopie d’impédance :
La spectroscopie d’impédance est une technique d’analyse non destructive
qui a présenté une large contribution à la recherche et au
développement des
matériaux. (La corrosion [8], les propriétés diélectriques [9] et l’influence de la
composition sur la conductivité électrique des solides [10, 11,12]).
Cette technique consiste à mesurer l'impédance électrique Z en fonction de la
fréquence du signal d'entrée sur un grand
choix de fréquence. Les données
rassemblées peuvent être visualisées comme diagramme de Nyquist, représenté par
la composante imaginaire de l'impédance Z’’ en fonction de la composante
réelle Z’ (Figure II.1).
Dans la pratique, le résultat expérimental s’avère rarement un demi-cercle bien
centré sur l’axe des X, cela et généralement du à plusieurs cause liée a la structure
physique de l’échantillon.
La spectroscopie d’impédance est basée sur la modélisation
des résultats
obtenus par circuits électrique équivalents qui ont la même réponse en fréquence que
l’échantillon. Dans la construction de ces circuits électriques, certains composants
utilisés sont identiques à de véritables composants électriques, comme la résistance
R, la capacité C ou même l’inductance L. Chacun des composants utilisés, branchés
42
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
en série ou en parallèle, représente un phénomène physique particulier. Ces modèles
sont ensuite utilisés pour ajuster les diagrammes expérimentaux afin d’extraire les
paramètres nécessaires à la compréhension du système étudié. Bien entendu, cette
façon de faire est une simplification et suppose que les différents phénomènes sont
indépendants les uns des autres, ce qui n’est pas le cas dans la réalité. Toute fois,
l’erreur introduite par l’utilisation de cette forme de modèle est suffisamment faible
pour que cette simplification puisse être considérée comme acceptable.
II-4)Modélisation d’un matériau composite par des circuits électriques:
L'idée de modéliser les propriétés de propagation d'onde dans les milieux
matériels à partir de circuits est ancienne : "Equation des télégraphistes ", travaux de
Von Hippel. Elle conduit à de bons résultats pour des milieux homogènes et a été
généralisée aux cas des circuits hyperfréquences avec une représentation correcte des
composants passifs qui interviennent.
Sa généralisation sur des systèmes non homogènes, tels que des mélanges de
conducteurs et d'isolants est plus récente. Les premiers travaux sur ce thème ont été
effectués par l'école russe [13].
Divers principes entrent en jeux dans la modélisation des matériaux, parmi
eux on peut citer : les interfaces métal – semi conducteur (électrodes), les grains des
matériaux (propriétés intrinsèque et défauts extrinsèques) ainsi que les joints des
grains, à cela il faut ajouter les états de surfaces des grains (espaces adsorbées :
oxygène, groupements hydroxyles,………) et tenir compte des différentes activités
catalytiques des grains et des électrodes métalliques.
En plus il a été montré que la distribution des grains et le contact entre eux, joue un
rôle très important [12], Hertz a montré que la résistance électrique diminue avec
l’augmentation de la force appliquée. Si la distance inter grains et suffisamment
petite, l’effet tunnel quantique peut contribuer à la conduction électriques autour du
seuil de percolation.
43
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
Deux circuits, souvent utilisés pour modéliser ces matériaux composites,
sont : le modèle RC et le modèle RLC. Le choix du model est très important, afin de
reproduire une bonne modélisation des propriétés diélectrique. Le model RC est
applicable dans le cas ou on veut analyser le spectre de relaxation, mais dans le cas
ou on cherche à étudier les propriétés optiques qui sont obtenus essentiellement par
le spectre de résonance, le modèle RLC est beaucoup plus adéquat.
II-4-1) Modèle RC :
Dans cette section nous présentons les aspects essentiels du modèle RC et
son application dans les divers études physiques qui concerne l’étude de la
conductivité d’un composites binaire (conducteur/isolant) en régime alternative (ac),
ou la polarisabilité de la phase diélectrique à l’échelle microscopique est décrite par
une capacité C, et la phase conductrice par une résistance R.
En effet, l’analyse de la conductivité électrique dans de systèmes désordonnés peut
s’effectuer en étudiant le mélange de deux poudres [15, 16, 17] :l’une isolant et l’autre
conductrice [18]. Les grains étant de petite taille, l’amalgame est constituée d’une
fraction p de poudre conductrice et une fraction 1-p de poudre isolante .On étudie
ensuit la percolation du mélange en mesurant sa conductivité électrique .Si la poudre
conductrice ne représente qu’une faible part de l’amalgame, le mélange agit comme
un isolant. Au contraire, si on ne met que très peu de poudre isolante, l’alliage est
conducteur, c’est qu’il existe un continent (amas) de grain conducteur qui relie les
deux surfaces du matériau .La séparation entre état isolant et conducteur se fait pour
valeur précise du pourcentage de poudre conductrice noté p et qui correspond au
seuil de percolation du système.
Le modèle RC a été appliqué dans le problème de percolation de lien à 2d et
3d [15, 16] ou les liens conducteurs sont représentés par des résistances et les liens
isolants par des capacités. Cela bien sur en fonction de la proportion de R et C, et de
la fréquence appliquée, les conductivités des grains conducteurs ont étés définis par :
σr =
1
Zr
(II.27)
44
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
Et celles des grains isolants par :
σ d = iC ω
(II.28)
De la, une fréquence caractéristique apparaît et qui correspond à la fréquence de
relaxation du système :
ω0 =
τ = RC
1
τ
=
1
RC
(II.29)
h est défini comme le rapport entre les conductivités des conducteurs et isolants :
h=
Diverses études ont
σ c iω
=
σ d ω0
(II.30)
prouvé l’applicabilité du modèle RC [16,14,13,17] à
travers des simulations qui traitent le problème de la percolation de liens d’un
composite (conducteur /isolant).
On peut citer aussi les résultats obtenus pour les systèmes à 2d et 3d avec
l’algorithme de la matrice de transfert, les fractales, et le groupe de renormalisation
d’espace réel [15, 16, 21,22].
D’autres études expérimentales ont été faites sur des matériaux inhomogènes, où les
résultats ont été interprétés par le modèle RC dans la percolation géométrique.
Ce concept à été appliqué avec succès sur des matériaux composites binaire, tel que
les matériaux en poudre [23] les clusters métalliques [24] les couches minces de
matériaux granulaires [25], les microémulsions [26], céramique poreux [27].
II-4-2) Modèle RLC :
Ce modèle permet de d’écrire les propriétés optique des composites (métal
/diélectrique), des matériaux qui subissent une transition optique.
La modélisation ce fait pour des mélanges binaires de composant (R, L) pour les
grains conducteurs et C pour les grains isolants (Figure II.2).
45
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
Figure (II.2) - Circuit équivalant d’un grain conducteur RL et isolant C
La résistance R dans ce cas représente les dissipations électriques, tandis que
l’inductance L et la capacité C représentent le comportement inductif du métal et le
comportement capacitif des grains isolants respectivement. Un mélange qui contient
ces éléments inductifs et capacitifs, possède une impédance complexe. Il aura donc
une partie imaginaire qui peut être soit positive, soit négative et donc un passage par
zéro de celle-ci.
Un matériau, ayant ces propriétés, possède une transition optique, c'est à dire qu'il
passe d'un état réfléchissant (partie imaginaire positive de l'impédance) à un état
absorbant
(partie
imaginaire
négative
de
l'impédance),
ou
des
diverses
études incestes de déterminer la fréquence à laquelle se produit cette transition.
On noté σ m la conductance des grains métalliques et σ d la conductance des grains
diélectriques qui sont donnée par les relations suivantes :
σm =
1
R + iLω
(II.31)
σ d = iCω
(II.32)
On définit trois fréquences caractéristiques ω RL
ωRL =
R
L
ωRC =
1
RC =
ω LC
ωLC =
ω RC :
1
LC
(II.33)
Ce qui permet introduire une grandeur connue sous le nom de facteur de qualité
46
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
Q=
=
1
R
L
C
ωRC ωLC
ωRC
=
=
ωLC ωRL
ωRL
(II.34)
Suivant le vecteur de qualité, on peut distinguer deux cas :
Si le système est faiblement dissipatif avec un large facteur de qualité on aura :
Q >1
ω RL < ω LC < ω RC
(III.35)
Et s’il est fortement dissipative, ce facteur est définie par :
Q <1
ω RL > ω Lc > ω RC
(III.36)
On définie aussi deux grandeurs sans dimension qui représente le rapport entre les
fréquences caractéristiques :
x=
ω
ω RL
y=
ω
x
=
Q ω Lc
(III.37)
Et le rapport des deux conductivités h est défini par :
h = iCω ( R + iLω )
=
(III.38)
− x 2 + ix
iy
= − y² +
2
Q
Q
(III.39)
Donc pour ce modèle RLC, le rapport h dépend du facteur de qualité Q, tendit que
pour le modèle RC il est purement imaginaire.
Le modèle RLC est applicable dans le cas ou on veut explorer les propriétés
optique des matériaux, surtout les composites qui présentes certaines caractéristiques
optiques à haute fréquence, tel que la transition optique.
47
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
Expérimentalement ce modèle a été utilisé, dans l’étude des propriétés optique des
composites métal - isolant connus sous le nom de cermet [22]
Parmi les modèles utilisés pour l’étude les matériaux composites on peut citer
aussi le modèle de Zeng [14], ou le grain conducteur est représenté par un circuit
parallèle qui se compose d’une inductance L en série avec une résistance R, le tout en
parallèle avec une capacité C (Figure II.3). Plusieurs travaux se sont basés sur ce
modèle [15, 17,21 ,25] pour interpréter l’absorption optique anormale observer dans
le domaine du visible pour les composites métal /isolant.
Figure (II.3) - Circuit équivalant d’un grain conducteur dans le modèle de Zeng
Une comparaison est faite [19] entre le modèle de Zeng et un modèle contenant
seulement une self en parallèle avec une résistance. Ce travail a montré que les deux
modèle donnent des résultats identiques jusqu’à la fréquence
= 0.35
0
( avec
0
fréquence plasmon) .
Le tableau suivant résume les déférents circuits utilisés pour la modélisation des
composants d’un matériau composite. Ces modélisations dépendent de la nature des
grains (conducteurs ou isolants) et des fréquences appliquées.
48
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
Figure(II.4)- les différents circuits pour la modélisation des grains conducteur/ isolant
Il existe bien d’autres types de circuits équivalents, chacun d’entre eux
décrivant un système particulier. La manière dont est branché chaque composant
ainsi que l’ordre de leur apparition sont importants, à la fois pour le calcul de
l’impédance et pour la lisibilité du modèle. Il faut suivre la logique physique du
système : les processus successifs sont branchés en série alors que les processus
simultanés sont branchés en parallèle
Si on veut modéliser un matériau composite sous forme d’une couche
mince (2d) (voir figure (II.5)), on devra remplacer chaque grain par une impédance
adéquate qui caractérisera ces propriétés physique. Toutes ses impédances sont
connectées entre elles à travers un circuit électrique, afin de reproduire la
connectivité entre les grains.
49
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
On prendra un modèle simple, celui ou les grains ont quatre voisins, qui sont
disposés d’une façon périodique (absence du désordre), alors que chaque nœud du
réseau se compose de quatre impédances, donc sa modélisation donne un circuit
électrique carré (Figure II.6).
Figure (II.5)- matériau composite
Figure (II.6) - Circuit électrique carré
Ces modélisations ont pour but d’extraire des paramètres physiques comme la
conductivité effective, le constant diélectrique, le champ local etc…. Cependant, Pour
calculer ces paramètres, plusieurs méthodes de calcul sont utilisées. Ces méthodes
sont décrites dans le prochain chapitre avec leurs avantages et inconvénients.
50
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
II-5) Bibliographie :
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[3] C.Kittel, Physique du solide (Dunod-Paris) (1970).
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[11] Thèse Doctorat ‘caractérisation électrique de matériaux isotropes.’ Mohamed el
Kadiri-Unive Lille 1986.
[12]L.Zekri ,N.Zekri and J.P.Clerc’Modélling of impedance spectroscopy of
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[13]Efros A.L. & Shklovskii B.I. Phys. Stat. Solid. B 76, 2 47 (1976).
[14]X.E.Zeng,D.J.Bergman and Stroud “Numerical study of transport proprieties in
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[16] J. P. Clerc, G. Giraud, J. M. Luck, J. M. Laugier J. Phys A: Math 19 3153-3164
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51
Chapitre II
Propriété diélectriques des composites et modèles
[20]R.Bouamrane,D.P.Almond “The emergent scaling phenomenon and the dielectric
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52
Chapitre III
Champ local et Méthodes
de calcul
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
III.1) Introduction :
Dans divers systèmes comme les films composites, il a été trouvé
numériquement des fluctuations géantes du champ local, au seuil de la
percolation[1], il a été montré que les modes électromagnétiques sont localisés dans
ces systèmes, probablement a cause de ces fluctuations. En outre, il a été montré que
pour des films composites métal-isolant la distribution du champ local est
asymptotiquement log-normale [1 ,2]. D’autre part, les fortes valeurs du champ local
ou courant se comportent comme l’inverse de la transmission locale de la lumière [3].
Donc la transmission locale a aussi une distribution log-normale dans ces films. Par
conséquent, en utilisant l’analogie entre le champ électrique dans l’´equation de
Helmholtz et la fonction d’onde électronique dans l’équation de Schrödinger [4], la
transmission locale est équivalente à la conductance électronique à température
nulle [5]. La distribution log - normale est une signature de la localisation. Ceci
montre l’importance du champ local dans l’étude les systèmes composites.
Dans ce travail nous avons utilisé une méthode appelée Méthode Exacte (ME)
pour le calcul de la distribution du champ local d’un mélange composite métal –
diélectrique, ainsi que la conductivité effective. Cette méthode est basée sur la
résolution exacte des équations des Kirchhoff pour un réseau d’impédances qui exige
l’utilisation de matrices d’ordre N²×N² (où N est la taille du réseau carré). Ces
matrices sont impossibles à manipuler numériquement pour de grands échantillons à
cause de l’espace mémoire insuffisant et du temps de calcul très lent.
On peut citer comme exemple, un réseau carré de taille 256×256 exige un espace
mémoire de 128Gb. L’originalité de la ME est que cette dernière utilise l’avantage de
la configuration particulière de ces matrices sparces et leur organisation en blocks.
Ces matrices sont en réalité des matrices tri diagonales par bloques, le reste de la
matrice étant des zéros. La diagonalisation et l’inversion de la matrice initiale (très
grande matrice de taille N²xN²) revient simplement à manipuler et inverser des
bloques de taille NxN (les bloques constituant de la diagonale et la diagonale
supérieur
ou inférieur
de la matrice vue sous forme de bloques). Ceci réduit
considérablement la mémoire nécessaire et la consommation en temps de calcul.
54
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
En effet pour le même système considéré ci-dessus de taille 256 × 256, la mémoire de
stockage utilisée est de 250Mb au lieu de128Gb, ce qui est raisonnable pour les
calculateurs actuels. Notons que cette méthode donne les mêmes résultats sur la
conductivité effective que celles de Frank et Lobb et Groupe de Normalisation, mais
elle est la seule à calculer exactement le champ local pour des réseaux allant de 2d à
3d.
III.2) La théorie de Champ local :
III.2.1) Définition :
Pour définir la fonction diélectrique d’un milieu effectif (voir le chap I), il existe
plusieurs approches, dont une est basée sur la théorie de Mie adoptée par Nicklasson
[6, 7,8] qui a l’avantage de bien mettre en évidence la nature et la réalité physique du
milieu effectif. Une telle approche est mal adaptée aux milieux à deux dimensions.
Une autre approche, présentée ici, est basée sur le calcul du champ local polarisant
chaque inclusion et oblige à un passage par l’état mésoscopique de la matière [9].
Le concept de champ local s’applique quelle que soit la dimension du système,
même s’il a été très peu utilisé en dehors de la dimension trois.
La fonction diélectrique d’un milieu est définie par les équations (I.8et I.10.Chap I).
D = ε 0 E + ℘ = εE
(III.1)
℘ = (ε − ε 0 ) E = ε 0 χE
(III.2)
D’où
La polarisation ℘ est par définition la somme de tous les moments multipolaires
induits et peut donc être immédiatement reliée à une caractéristique des constituants
microscopiques du milieu (la polarisabilité).
Si on peut négliger les moments multipolaires d’ordre supérieur à deux, on obtient
une relation entre polarisation (dipolaire) P et la polarisabilité α de la forme :
N K α K ( Eloc ) K
P=
(III.3)
K
où la sommation s’effectue sur les différents types de dipôles. N K est le nombre de
55
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
dipôles k par unité de volume et E loc est le champ inducteur qui polarise le dipôle.
Cette équation va nous permettre de relier les caractéristiques microscopiques et
macroscopiques du milieu. Des deux équations (III.2 et III.3) on obtient:
(ε − ε 0 ) E =
N K α K ( Eloc ) K
(III.4)
K
Pour obtenir une relation entre ε , qui est une grandeur macroscopique
caractéristique du milieu, et α K , qui caractérise les constituants élémentaires, il faut
établir une relation entre le champ macroscopique appliqué E et le champ inducteur
local Eloc .
Supposons que l’équation(III.4) qui relie la fonction diélectrique ε à la polarisabilité α
s’applique aussi bien au cas des atomes et des molécules qu’à celui d’une inclusion
de plusieurs centaines d’Angstrom d’un matériau k caractérisé lui même par une
fonction diélectrique ε K . Il faut donc que la relation (III.4) soit applicable, ceci mène
à supposer:
a) que l’approximation dipolaire soit satisfaisante aussi bien pour l’atome que
pour l’inclusion. Ceci limite les formes acceptables de cette dernière.
b) et que le champ soit uniforme sur le dipôle. Ceci limite donc la taille
supérieure de l’inclusion (approximation quasi-statique).
Dans ces conditions la fonction diélectrique effective ε e est donnée par:
(ε e − ε 0 ) E =
N Kα K ( Em ) K
(III.5)
K
où N K est le nombre d’inclusions k par unité de volume, α K leur polarisabilité et
( E m ) K le champ inducteur sur l’inclusion k. α K est reliée à la fonction diélectrique du
matériau k par:
(ε K − ε 0 ) E = Na K α K ( E loc ) K
(III.6)
Na K est le nombre d’atomes k par unité de volume du matériau k et ( E loc ) K le champ
56
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
local dans le matériau pur. L’avant dernière équation devient alors:
( Em ) K
Na K
(ε K − ε 0
NK
( Eloc ) K
(ε e − ε 0 ) =
K
(III.7)
Na k
est la fraction volumique p K occupée par le matériau k dans le composite. Il
NK
faut déterminer la relation entre le champ inducteur mésoscopique ( E m ) K polarisant
l’inclusion et le champ local microscopique ( Eloc ) K polarisant ses atomes. Ce
problème est traité par Lorentz [9] et qui conduit à l’équation de Clausius-Mossotti
[10,11].D’autres approches plus simples sont cependant envisageables qui conduisent
à des théories au champ d’application réduit mais qui constituent parfois de très
bonnes approximations.
Le champ local [9, 12,13] Eloc est défini comme le champ régnant à l’emplacement
d’un dipôle i donné et qui est égal à la somme du champ macroscopique appliqué
E et les champs créés par tous les autres dipôles E j :
( Eloc ) i = E +
(III.8)
Ej
j ≠i
L’équation (I.4) devient:
(ε − ε 0 ) E =
N iα i E +
i
(III.9)
N iα i E j
i
j ≠i
Le premier terme représente l’interaction de chaque dipôle avec le champ appliqué,
le second représente l’interaction entre tous les dipôles qui doit être calculée
explicitement. Cette sommation peut être approximée par la méthode de Lorentz.
Une cavité sphérique centrée sur le dipôle de référence i sépare l’espace en
deux
régions.
Les
charges
proches,
à
l’intérieur
de
la
cavité,
agissent
individuellement sur i alors que les charges éloignées, extérieures à la cavité, agissent
57
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
comme un continuum caractérisé par des densités. La dimension de la cavité de
Lorentz est celle au-delà de laquelle on peut définir des grandeurs moyennes.
En appliquant cette démarche à des milieux inhomogènes de type cermet, le
rayon de la cavité devra être supérieur à la longueur de corrélation ξ .
On a donc trois contributions au champ local:
Eloc = E + E ind + E cont
(III.10)
E cont est le champ macroscopique créé par un milieu continu uniformément polarisé
P. Si la cavité est sphérique, ce champ est donné par un calcul électrostatique
élémentaire:
E cont =
P
3ε 0
(III.11)
E ind est la somme des champs individuels créés par les n dipôles situés à l’intérieur
de la cavité. Cette somme a été calculée pour la plupart des structures cristallines et
différentes valeurs de n. Pour de simples considérations cubiques et purement
aléatoires des dipôles ( n >> 1 ) l’équation (III.10) s’écrit:
P
3ε 0
(III.12)
P = (ε − ε 0 ) E
(III.13)
E loc = E +
Avec
E loc =
2ε 0 + ε
E
3ε 0
(III.14)
En reportant cette équation dans l’équation (III.4), nous obtenons l’équation de
Clausius-Mossotti:
ε − ε0
1
=
ε + 2ε 0 3ε 0
N Kα K
K
58
(III.15)
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
Figure (III.1) : La cavité de Lorentz. Elle distingue les contributions des régions éloignées)
du dipôle (les charges extérieures et le cristal au-delà de la cavité) des
régions proches.
‘’Proche” et ”éloigné” étant relatif à la dimension du dipôle ou à la distance moyenne entre les
dipôles (Figure 8-1 réf 29).
59
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
III.2.2) Le rapport de participation inverse :
Une des quantités les plus usuelles pour l’étude de la localisation dans les
systèmes électroniques est le rapport de participation inverse (RPI). Par analogie avec
les ondes électroniques, le champ électrique local dans l’équation de Helmoltz joue le
rôle de la fonction d’onde électronique dans l’équation de Shrodinger [4] et le RPI
s’écrit par l’équation suivante :
4
Ei
RPI =
(III.16)
i
(
Ei
2
)2
i
ou Ei est le champ électrique local du site i.
Le RPI a été défini pour les ondes électroniques afin de mesurer l’étendue spatiale
des états propres dominants et de caractériser les états électroniques dans les
matériaux désordonnés [15].
Pour les modes propres électromagnétiques cette quantité se comportera donc
comme:
IPR=O( N-d )
pour les modes propres étendus
(III.17)
IPR=O(N0)
pour les modes propres fortement localisés
(III.18)
d: représente la dimension du système (d = 2 dans ce cas) et N est la taille du système.
Ainsi, dans le cas de modes propres purement étendus, le champ à une valeur
Importante sur l’ensemble de la surface du film et le dénominateur sera N4|E|4 alors
que le numérateur se comporte comme N2|E|4 (en supposant le champ constant)
menant a une décroissance du RPI comme N−2.
Dans le cas de modes propres fortement localises, les champs les plus significatifs
sont localises dans une région limitée de taille moyenne Nc2 ou Nc est la longueur de
localisation. Il est donc clair que le RPI reste constant en dehors de cette région.
60
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
Nous pouvons donc estimer le degré de localisation de la lumière à partir de la
décroissance en puissance du RPI dont l’exposant varie de 0 (pour les modes
propres fortement localises) à −2 (pour les modes propres purement étendus).
Cet exposant est détermine par la pente de la variation du RPI en fonction de la taille
du système en échelle double logarithmique. Il mesure aussi la dimension fractale de
corrélation (−D(2)) du champ local [16,17].
III.3) Méthode de calcul :
La méthode utilisée dans notre travail (ME) sera présentée, et pour justifier
notre choix, une comparaison entre cette méthode et d’autres méthodes sera faite.
III.3.1) La méthode exacte ME [20, 21]:
III.3.1.a) Le cas 2d:
Considérons un réseau 2d rempli aléatoirement par deux différentes
conductivités complexes (dans notre cas une conductivité métallique σ m et une
conductivité diélectrique σ d avec des concentrations p et 1 - p respectivement). Les
deux extrémités du réseau sont connectées à une différence de potentiel (ici V=1
volt).
La figure (III.2) montre un réseau carré rempli aléatoirement par des
conductivités soit métalliques soit diélectriques. La différence de potentiel entre les
deux électrodes est de 1 volt ce qui veut dire que la conductivité effective du système
soit égale au courant total qui le traverse. Cette méthode sera comparée avec d’autres
méthodes comme la méthode de Frank et Lobb (FL) [22], et la méthode de la matrice
de transfert [23, 24, 25].
Description de la méthode :
Pour obtenir les champs locaux qui correspondent aux potentiel dans les
nœuds et la conductivité effective
σ ff
, qui est le courant entrant (ou sortant) du
61
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
réseau (car le voltage est égal à 1), nous utilisons les équations de Kirchhoff dans
chaque noeud i,j :
(Vk ,l − Vi , j )σ ki ,,lj = 0
k ,l
Figure (III.2) – exemple d’un réseau carré de taille 3
62
(III.19)
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
La sommation est sur les noeuds k,l connectés aux noeuds i,j par les
conductivités σ ki ,,lj .Pour les noeuds connectés à 1V, nous remplaçons Vk ,l par la
valeur 1. Nous obtenons donc N ( N − 1) équations de N ( N − 1) potentiels inconnus.
Nous pouvons réécrire l’équation (III.19) sous la forme matricielle :
P11
P12
0
...
0
V1
S1
P21
~
ΓV = ...
...
P22
P23
...
0
...
...
...
...
V2
...
S2
...
...
PN −1, N −2
PN −1, N −1
PN −1, N
VN −1
S N −1
...
...
0
PN , N −1
PN , N
VN
SN
=
(III.20)
~
La matrice Γ composée de ( N − 1) × ( N − 1) blocs Pi , j . Les bloques Pi , j sont des
matrices de dimension N × N . Les éléments Pi , j qui apparaissent dans la diagonale de
~
la matrice Γ sont des matrices tri diagonales dont les éléments sont les sommations
des conductivités des branches entourant les nœuds alors que les éléments qui
apparaissent dans les diagonales supérieure et inférieure sont des matrices
diagonales dont les éléments sont les conductivités des branches d’interactions entres
les noeuds et leurs voisins. Le vecteur V est composé de N - 1 éléments Vi . Les
éléments Vi sont des vecteurs de taille N et qui correspondent aux potentiels des
noeuds de la ligne i. Finalement, les éléments S i sont des vecteurs de même taille
que les Vi Ces vecteurs sont constitués d’éléments nuls excepté le premier élément
qui contient les conductivités de la ligne connectée à 1V. À première vue, l’équation
(III.20) parait impossible à résoudre pour de grands systèmes en raison de la
~
manipulation et le stockage de la matrice Γ qui exige une capacité énorme de
mémoire. Comme exemple, un système de taille 256×256 exige une mémoire de
128Gb. En fait, seulement cinq ensembles d’éléments ne sont pas nuls dans cette
matrice, alors que nous devons stocker seulement trois d’entre eux par raison de
symétrie. Nous allons reformuler ces équations de sorte que nous obtenons un
système de N - 1 équations en utilisant les matrices Pi , j :
63
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
(III.21)
Pi , jV j = S i
j
où i varie entre 1 et N - 1 .
~
Il faut noter que, vue la forme bien particulière de la matrice Γ , chaque équation
utilise au maximum trois matrices Pi , j , les autres sont des matrices nulles.
Nous résolvons ce système d’équations en utilisant la méthode de substitution ou, en
commentant par la dernière équation i = ( N − 1) , nous remplaçons à chaque étape le
vecteur Vi par le vecteur Vi −1 jusqu’à l’étape i = 1 où V1 est déterminé. Nous utilisons
ensuite la procédure inverse pour déterminer les autres vecteurs Vi .La procédure
inverse impose le stockage de toutes les combinaisons des matrices Pi , j impliquées
dans les étapes de substitution. Nous sauvegardons donc, pour résoudre ce système
d’équation, N matrices de taille N×N. Bien que la mémoire utilisée pour ce stockage
est large pour de grands systèmes, elle reste beaucoup plus faible que la taille de la
~
matrice Γ .Maintenant, pour le même système considéré ci-dessus de taille 256 × 256,
la mémoire de stockage utilisée est de 250Mb au lieu de 128Gb, ce qui est raisonnable
pour les calculateurs actuels. Si la mémoire RAM du calculateur n’est pas suffisante
pour ce stockage, les matrices seront stockées dans le disque dur. Pour vérifier la
précision des résultats nous calculons, systématiquement, le courant entrant et le
courant sortant qui doivent être identiques, ce qui confirme la conservation du
courant. Cette méthode est étendue à 3d quel que soit le nombre de composants du
système.
III.3.1.b) Le cas de 3 dimensions :
Dans le cas 3d, le système se compose de nbrf faces (plans) de taille N × N.
Dans ce cas le réseau reste comme dans
Figure (III.2) pour chaque plan mais avec
des liens reliant les plans (Figure III.3). En appliquant les équations de conservation
du courant dans tout le réseau, on aura le même système d’équation (III.20) à
résoudre sauf que les bloques Pi , j sont des matrices de dimension Nx nbrf × Nxnbrf.
La résolution de ce système est faite de la même manière que le cas 2d.
64
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
Avec cette méthode, un calcul avec un l'échantillon de taille 45×45×45 dure 5h et
nécessite 250 MB d’espace mémoire RAM sur un Pentium IV 2 GHZ.
Le nombre et le type des composants utilisés dans l'échantillon n'affectent ni le
temps de calcul ni l’espace mémoire utilisé. On peut donc générer des échantillons
avec n'importe quel nombre de composants [26].
Figure (III.3) – Exemple d’un réseau 3x3x2
65
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
III.3.2) La méthode de Frank et Lobb :
La méthode de Frank et Lobb consiste à transformer un réseau de
conductances en une unique conductance en se servant judicieusement des
transformations élémentaires exactes présentées sur la figure (III.4). La méthode est
bien schématisée dans la figure (III.5). Les conductances sont éliminées une par une
dans les différentes colonnes du réseau en propageant à travers le réseau les
transformations présentées dans les figures (III.4). Tout le réseau sera donc réduit à
une seule conductance.
Les transformations étoile triangle (Frank et Lobb) sont basées sur une grande
répétition d’opérations de divisions. Lorsque la taille de l’échantillon augmente ou
les valeurs des conductances sont très faibles ou bien très larges, les résultats obtenus
deviennent imprécis, ceci quelle que soit la précision utilisée dans la programmation
informatique. Ce problème n’apparaît pas pour la méthode ME (Méthode Exact), qui
ne contient pas de divisions multiples pour les mêmes variables. L’autre handicape
majeur est que cette technique est applicable seulement à des systèmes 2d et ne
permet pas d’obtenir le champ local.
Étoile (Y)
triangle ( ):
σ3
σ1
σC
σB
σ2
σA
σ 1 = (σ Aσ B + σ Aσ C + σ Bσ C ) / σ C
σ A = σ 1σ 2 /(σ 1 + σ 2 + σ 3 )
σ 2 = (σ Aσ B + σ Aσ C + σ Bσ C ) / σ B
σ B = σ 1σ 3 /(σ 1 + σ 2 + σ 3 )
σ 3 = (σ Aσ B + σ Aσ C + σ Bσ C ) / σ A
σ C = σ 2σ 3 /(σ 1 + σ 2 + σ 3 )
Figure (III.4)- étoile- triangle
66
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
Figure (III.5) – La méthode de Lobb et Frank appliquée sur un réseau carré
III.3.3) La méthode GRER:
Cette, méthode (Groupe de Normalisation a Espace Réel), abondamment
utilise par Brouers et al. [18,19], consiste en la transformation du circuit carré en pont
de Weatstone dans les directions x et y (voir figure III.6).
Chaque pont est transformé en une admittance équivalente jusqu’à l’étape finale ou
le circuit est réduit en deux admittances équivalentes dans ces directions. Il est alors
67
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
facile de calculer par cette transformation la conductivité effective alors que le champ
local peut être obtenu par la procédure inverse en commencent par les admittances
effective déjà calculées.
Figure (III.6)–Schématisation de la méthode Groupe de renormalisation espace réelle GRER.
68
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
Il faut noter que dans cette schématisation, certaines liaisons S3x et S2y (dans la
figure III.6) sont utilisées doublement suivant les deux direction x et y. D’autre part,
la transformation du circuit en ponts de Weatstone revient à shunter les liaisons dans
les directions différentes (par exemple S1x dans la direction y et S1y dans la direction
x). Quoique cette méthode est une approximation, elle donne des valeurs de la
conductivité effective autour du seuil de la percolation très proches de celles
obtenues par un calcul exact pour des composites à 2d [19] et les exposants critiques
ne sont pas très loin des valeurs connues de la théorie de percolation classique [27].
En outre, sur le plan numérique, cette méthode nécessite seulement quelques
matrices de l’ordre N ×N pour un échantillon de taille N×N ce qui réduit
considérablement la mémoire et le temps de calcul en comparaison avec d’autres
méthodes. Cette approximation, même si elle n’affecte pas sensiblement les calculs
de la conductivité effective et des exposants critiques, elle influe de manière
importante sur le champ local [28].
III.3.4) La Méthode de Matrice de Transfert: [30, 31]
Cet algorithme que nous décrivons est simplement une prolongation aux
admittances complexes de la matrice de transfert employé par Herrmann et al (1984)
[32], dans leur calcul de l'exposant s de superconductivité à 2d et 3d. On présente
brièvement cette méthode dans le cas bidimensionnel.
On considère une bande de longueur finie L et de la largeur n, avec des états de
frontière verticaux périodiques (afin de réduire au minimum des effets de taille fini).
La conductivité longitudinale de notre mélange d’impédances dans une telle
géométrie est calculée par le procédé itératif suivant :
Pour une fréquence
donnée, en utilisant la notation complexe standard, nous
imposons les tensions V = 0 à la première rangée verticale et Vi ( 1 ≤ i ≤ n ) à la
L iéme rangée verticale (voir la figure III.7). Les intensités (complexe), qui traversent
les points finaux de cette dernière rangée et des tensions Vi , être connexes par la
matrice Z d’impédance (complexe) :
vi =
Z ij I ij
i≤ j ≤n
69
(III.22)
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
Les règles pour mettre à jour cette matrice d'impédance sont comme suit :
Addition d'un lien horizontal de l'impédance z à la ligne k :
Z ij → Z ij + ξ ij( H )
ξ ij( H ) = zδ ik δ jk
avec
(III.23)
Où δ est le symbole de Kronecker
Addition d'un lien vertical de l'impédance z entre les lignes k et l :
Z ij → Z ij + ξ
(v)
ij
ξ ij( v ) =
avec
− ( Z ik − Z il )( Z kj − Z lj )
z + Z kk + Z ll − Z kl − Z lk
(III.24)
(Aucuns index répétés par excédent implicite d'addition !).
La conductivité complexe
n
( p, ω ) de la bande de longueur infinie et de la largeur
finie n est alors donné par la limite suivante :
n
( p, ω ) = lim
L →∞
L
Z ii
(III.25)
Ce qui est indépendant l'étiquette de noeud i, avec la probabilité une. Il n'est pas
nécessaire de faire la moyenne de
n
, au-dessus de différents échantillons.
D’un point de vue pratique, le calcul est poursuivi jusqu'à une plus grande valeur de
L afin de diminuer l'erreur.
Figure (III.7)- Bande bidimensionnelle de la largeur n, avec des conditions de frontière
périodiques dans la direction verticale, les voltages Vi et les intensités I i sont reliés à travers
la matrice d'impédance Z [33].
70
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
III.4) Bibliographie :
[1] F.Brouers, S.Blacher et A.K.Sarychev dans Fractals in the Natural and Applied
Sciences, Ch et H, Londres (1995) p. 237.
[2] L. Zekri, R. Bouamrane and N.Zekri, J.Phys.A: Math. Gen. 12 (2000)283.
[3] A.K.Sarychev, D.J.Bergman et Y.Yagil, Phys.Rev. B51, 5366 (1995).
[4] S.John, Comments Cond.Matt.Phys. 14, 193 (1988).
[5] R.Landauer, Phil.Mag. 21, 263 (1970).
[6] G. A. Nicklasson and C. G. Granqvist, J. Appl. Phys. 55, 3382 . (1984).
[7] R. J. Elliot, J. A. Krumslansl and P. L. Leath Rev. Mod. Phys. 46 .465. (1974).
[8] D. Stroud and F. P. Pan Phys. Rev B17. 1602. (1978).
[9] C. Domb Contemp. Phys 26 (1985) 49.
[10] H. A. Lorentz Ann. Phys. u. Chem (1880) 641.
[11] R. Clausius, (1879), Die Mechanische W¨armetheorie Vol II Braunschweich.
[12] I. T. Ritchie, (1978) Thése. Sydney.
[13] N. W. Ashcroft and N. D. Mermin Solid State Physics (1976) HRW, Philadelphie.
[14] A. Donnadieu Thin Sol. Films 6 (1970) 249.
[15] R.J.Bell et P.Dean, Discuss. Faraday Soc. 50, 55 (1970); B.Kramer et D.Weaire,
dans ”Amorphous Semiconductors” Editeur M.H.Brodsky (Berlin: Springer) p.9.
[16] F.Brouers, S. Blacher et A.K.Sarychev dans Fractals in the Natural and Applied
Sciences,Ch et H, Londres (1995) p. 237.
[17] C.Mato et A.Caro, J.Phys.:Condens.Matter 1, 901 (1989).
[18] A.K.Sarychev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72 (1977) 1001; P.J.Reynolds, W.Klein an
H.E.Stanley, J. Phys. C: Solid State Phys. 10 (1977) L167; J.Bernasconi, Phys. Rev. B18
1987) 2185.
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[20] L. Zekri, R. Bouamrane and N.Zekri, J.Phys.A: Math. Gen. 33 (2000) 649.
[21] L.Zekri, N.Zekri, J.P.Clerc J. Phys. A: Math. Gen 37 (2004) 5679-5687.
[22] D. J. Frank, C.J. Lobb Phys. Rev B Vol. 37N°1 (1988).
[23] B. Derrida and J. Vannimenus, J. Phys. A 15, L557 (1982) .
[24] H. J. Herrmann, B. Derrida and J. Vannimenus Phys. Rev. B30 4080. (1984).
71
Chapitre III
Champ local et méthodes de calcul
[25]B.Derrida,D.Stauffer,H.J.Herrmann,J.Vannimenus,J.Phys.Lett.France44,
L701(1983).
[26] L.Zekri1,N.Zekri1 et J.P.Clerc , ‘’2 Novel computational method for accurate
determination of the effective conductivity and the local field of multicomponent 3D
composites ‘’, J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004) 5679–5687
[27] D. J.Bergman and D. Stroud Solid state Physics 46 (1992) 147.
[28] L.Zekri,Thése de Doctorat ‘’étude de la spectroscopie d’impédance et application
aux proprietes dielectrique las materiaux composites a 2D 3D ‘’-USTO ,Oran(2002) .
[29] S. Berhier, Optique des milieux composites 1993 Polytechnica, Paris.
[30] J. P. Clerc, G. Giraud, J. M. Luck, J. M. Laugier Advances in Physics Vol. 39.
N°3 191-309 (1990).
[31] H. J. Herrmann, B. Derrida and J. Vannimenus Phys. Rev. B30 4080. (1984).
[32] J. P. Clerc,G. Giraud, J. M. Luck, J.M. Laugier J. Phys A: Math 19 3153-3164(1986).
[33] J. P. Clerc,G.Giraud, J. M. Luck, J. M. Laugier J.Phys A: Math 19 3153-3164 (1986).
72
Chapitre IV
Fluctuation du champ local
près du seuil de la percolation
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
IV.1) Introduction :
Il a été montré expérimentalement que les composites isolant - conducteur
présentent une absorption anormalement grande dans les régimes du visible, le
proche infrarouge et le micro-onde prés du seuil de la percolation [1].
Une étude antérieure, sur les mélanges métal – diélectrique à 2d et au seuil de
la percolation a montré que la localisation du champ électrique est due au désordre.
Cette localisation a été expliquée par l’élargissement des distributions log normales
du champ local.
Les systèmes réels sont en général finis et sont entre 2d et 3d (une couche mince
est en réalité quasi bi – dimensionnelle). Ceci nous incite à examiner l’effet de
l’épaisseur sur le seuil de percolation (l’objectif de ce travail qui est une continuité à
un précédent travail de magister). Pour cela on étudie le comportement de la
conductivité effective, la probabilité de percolation, et les fluctuations du champ
local autour du seuil de percolation.
IV.2) Modèle RC et simulation:
Un mélange composite métal - isolant est modélisé par un réseau cubique
(entre 2d et 3d). Le grain métallique et représenté par une résistance R et le grain
diélectrique par une capacité C (voir figure VI.1). Les calculs sont faits pour une
fréquence nulle (cas dc). Le grain métallique sera donc représenté par une
conductivité
m
=1, et le grain diélectrique par une conductivité
-15
d=10
(une
impédance très grande). Le réseau sera donc constitué d’une concentration p de
grains métalliques (
m)
et d’une concentration 1- p de grains diélectriques ( d). Les
grains métalliques et diélectriques sont générés aléatoirement.
La ME (présentée dans le chapitre III) est utilisée pour calculer la conductivité
effective et le potentiel en chaque noeud pour différentes concentrations p.
74
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
V=1volt
Figure IV.1- Application d’une ddp sur le réseau RC
IV.3) Résultats et discussions:
IV.3.1) Comportement de la conductivité effective :
Les calculs sont faits pour des réseaux de tailles allant de 60x60xnbrf jusqu’à
100x100xnbrf. Nbrf représente l’épaisseur du système. Comme exemple, 100x100x5
est un réseau RC quasi bidimensionnel constitué par 5 réseaux parallèles 100x100.
Comme prévu par la théorie de percolation la conductivité effective du
système suit une loi en puissance autour du seuil de percolation.
σ ( p) ∝ ( p − p c ) t
pour
p → pc
Nous avons utilisé le comportement de
(IV.1)
la conductivité effective comme une
première méthode, les résultats montrent que prés du seuil de percolation, la
conductivité se comporte suivant une loi en puissance (comme prévu par la théorie).
La conductivité électrique est caractérisée par un exposant critique t, qui ne
peut pas être considéré, d’un point de vue restreint, comme un exposant universel.
Dans un grand nombre de cas, sa dépendance la plus significative est liée à la
dimension [2].
75
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
La figure (IV.2) montre le comportement de la conductivité effective en fonction de la
concentration p pour un réseau RC de taille 100x100x3. Les calculs sont faits pour 300
échantillons pour chaque concentration p.
0,35
0,30
conductivité effective
0,25
0,20
la zone de p c
0,15
0,10
0,05
0,00
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
concentration p
Figure IV.2- conductivité effective en fonction de la concentration p pour un
réseau de taille100x100x3
La figure montre que
eff
est nulle jusqu'à une concentration p à partir de laquelle elle
commence à augmenter. Cette concentration p ne représente pas le seuil de
percolation pc. Ce dernier se trouve dans une zone appelée zone de pc (voir figure
IV.2). Pour trouver la valeur de pc il faut applique la seconde différentielle sur
l’équation (IV.1). Le pc représente donc la concentration pour laquelle une divergence
apparaît. Ceci est fait, comme cité plus haut, pour des tailles allant de 60x60xnbrf
jusqu’à 100x100xnbrf. Les valeurs choisies pour nbrf sont : 3, 5, 8, 15, 20.
Un travail similaire a été fait [3] il y deux ans, mais pour des tailles inférieurs à
60x60xnbrf. Nous avons pu atteindre ces tailles après optimisation du programme et
utilisation d’un système parallèle. Ceci nous a aussi permis d’investiguer l’effet
d’échelle.
76
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
La figure (IV.3) montre comment se comporte le seuil de percolation pc lorsque
l’épaisseur du système varie.
0,36
0,34
Pc
0,32
0,30
0,28
0,26
0
5
10
15
20
nbrf
Figure IV.3- le seuil de percolation en fonction du nombre de couche pour
les tailles 60 (cercle) ,70(carré), 80(triangle), 100(losange).
Cette figure montre une forte diminution de pc dés que l’épaisseur du système
commence à augmenter. Comme exemple, le seuil de percolation pour la taille 80,
passe de 0.34 pour 3 couches (nbrf=3) à 0.27 pour cinq couches supplémentaires.
Ceci montre la raison pour laquelle le seuil de percolation théorique n’a jamais été
vérifié expérimentalement. Aussi, les systèmes élaborés ont toujours une épaisseur
supérieure à une couche. On ne peut donc jamais obtenir un système 2d au vrais sens
du terme mais surtout des systèmes quasi bidimensionnels.
Un autre résultat important observé sur la même figure, et que le seuil de percolation
se sature prés de la valeur théorique de pc à 3d dès que l’épaisseur du système
dépasse 20 couches. Ce qui permet de considérer un système tri dimensionnel avant
d’atteindre la forme cubique.
77
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
Jusqu’à présent on n’a pas encore réussi à trouver une loi générale sur le
comportement de pc avec l’épaisseur du système.
IV.3.2) Comportement de la probabilité de percolation :
La deuxième méthode utilisée pour trouver le seuil de percolation est basée sur le
comportement de la probabilité de percolation en fonction de la concentration p.
On définie la probabilité de percolation comme le rapport entre le nombre des
échantillons percolant et le nombre total des échantillons.
PP =
Nombre d ' échantillons percolants
Nombre total d ' échantillons
La figure (IV.4) présente le comportement de la PP avec la concentration p.
La PP a la forme d’une marche d’escalier. Elle est nulle avant d’atteindre une zone
qui ressemble à la zone de pc (Figure IV.2). Cette zone correspond à la transition de la
probabilité de percolation de 0 à 1. En effet avant pc les échantillons percolant sont
plutôt rares, au fur et à mesure qu’on augmente la concentration p, la probabilité de
percolation augmente (c a d, le nombre d’échantillons percolant augmente). Le pc se
trouve dans la zone de transition de 0 à 1
Ce résultat ressemble à celui de Stauffer [2] (page 30), qui montre un comportement
en marche d’escalier de la taille de l’amas infini (ou la probabilité d’appartenir à
l’amas infini) avec la concentration p. Cette forme en marche d’escalier est due au fait
que, lorsqu’on augmente p à partir de zéro les amas sont encore de taille finie, et sont
disposés d’une façon aléatoire sur le système. Lorsqu’on arrive à la concentration
critique pc l’amas infini apparait et sa taille varie très lentement après pc.
On montre sur la figure (IV.4) la variation de la probabilité de percolation avec la
concentration pour des réseaux de tailles 60x60x3, 60x60x5 et 60x60x8. La forme de la
PP ne ressemble pas parfaitement à une marche d’escalier à cause de la taille finie du
système et le nombre limité d’échantillons. Si on compare cette forme avec celle d’un
78
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
réseau de taille plus grande (100 par exemple), la transition sera plus rapide et
s’approchera de la forme d’une marche d’escalier.
A partir de la figure (IV.4), on peut voir les zones qui contiennent les pc qui
correspondent aux trois tailles présentées (60x60x3, 60x60x5 et 60x60x8). En faisant
des différentielles d’ordre deux on peut obtenir les pc. Les valeurs de pc obtenues sont
en accord avec celles obtenues par la première méthode (la conductivité effective en
fonction de la concentration).
1,0
0,8
PP
0,6
0,4
taille 60x60x3
taille 60x60x5
taille 60x60x8
0,2
0,0
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
concentration p
Figure (IV.4) : La probabilité de percolation PP en fonction de la concentration p
79
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
IV.3.3) Comportement du champ local :
La troisième méthode utilisée pour trouver le seuil de percolation, est basée
sur l’étude du comportement du champ local autour de pc.
L’étude est faite dans le cas dc qui correspond à un réseau RC de taille NxNxnbrf sur
lequel on applique une tension continue. La méthode de calcul ME présentée dans le
troisième chapitre consiste à calculer le potentiel en chaque nœud du réseau, ou la
différence de potentielle dans chaque lien. La figure IV.5 est la forme générale
obtenue pour chaque cas.
Liens rouges
18000
16000
Bras morts
14000
Distribution
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
-2000
-25
-20
-15
-10
-5
0
log ddp
Figure IV.5 : la distribution du champ local
Pour toute les tailles et concentrations utilisées, la distribution du champ local
présente deux parties isolées. La première (celle de gauche) correspond bras morts
dans lesquels le courant ne circule pas. La valeur 10-15 au lieu de zéro vient du fait
que la valeur zéro ne peut pas être utilisée numériquement dans la ME pour éviter
des problèmes d’erreurs pendant les inversions des matrices. La deuxième partie est
donc la partie la plus importante.
Sur la figure (IV.6) on montre la distribution du champ local pour les tailles
60x60x5(b) et pour différentes concentrations autour de pc.
80
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
P=0.25
P=0.30
P=0.34
P=0.35
P=0.36
P=0.40
3000
distribution
2000
1000
0
-10
-5
0
5
log ddp
p=0.25
p=0.28
p=0.29
p=0.31
p=0.34
6000
distribution
4000
2000
0
-10
-5
0
5
log ddp
Figure IV.6- la distribution du champ local pour les tailles 60x60x3 (a),60x60x5(b) et pour
différentes concentrations
81
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
Lorsqu’on s’approche des concentrations p=0.34 pour le réseau 60x60x3 et p=0.29
pour le réseau 60x60x5 la largeur des distributions (qui correspond aux fluctuations
du champ local [4,5]) diminue et leurs formes paraissent log normales.
Les
concentrations p=0.34 et p=0.29 correspondent aux seuils de percolation obtenues par
les deux premières méthodes pour les réseaux 60x60x3 et 60x60x5 respectivement.
Ces résultats sont donc confirmés et on peut dire que le pc correspond à la
distribution la plus étroite. En plus, il a été montré [4] que l’élargissement de ces
distributions correspond à une augmentation du degré de localisation. Ceci est en
parfait accord avec nos résultats, puisque les distributions deviennent de plus en
plus larges lorsqu’on s’éloigne au dessous de pc, et la distribution la moins large
correspond à pc. Lorsqu’on s’éloigne au dessous de pc le système n’est pas percolant
et le courant n’est pas transmis de part en part, alors qu’à pc le système devient
percolant et contient en plus le plus grand nombre de liens critiques (les liens qui
font passer le maximum du courant) [6].
On remarque aussi sur cette figure que les distributions des concentrations
supérieures à pc ne s’éloignent pas trop de celle de pc en s’élargissant. Ceci sera
montré ci-après d’une façon plus claire en étudiant le comportement des fluctuations
du champ local en fonction des concentrations.
IV.3.4) Fluctuation du champ local :
Les fluctuations du champ local sont mesurées par un simple calcul de la
variance qui correspond à la largeur à mi hauteur de la distribution du champ local.
Le calcul de la variance ne prend en considération que le deuxième Pic.
Sur la figure (IV.7) présente le comportement des fluctuations du champ local
(qui correspondent aux largeurs des distributions) pour différentes concentrations
pour un réseau de taille 70x70x15.
On montre sur cette figure que la variance diverge au dessous de pc, elle se sature au
delà de pc et présente une faible fluctuation autour de pc (qui correspond à la valeur
minimale de la variance). Dans ce cas les fluctuations de la variance sont entre 0.26 et
0.28, passant la valeur minimale 0.27. Ce qui nous permet de dire que la valeur la
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Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
plus probable de pc est 0.27 en parfait accord avec les résultats trouvés par les deux
précédentes méthodes.
6
5
Variace
4
3
2
1
0
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
C o ncen tra tio n P
Figure IV.7 : fluctuation du champ local en fonction de la concentration p
pour un réseau de taille70x70x15
IV.3.5) Effet de la taille :
La figure (IV.8) présente le comportement du seuil de percolation pour des réseaux
de tailles différentes, mais ayant la même épaisseur nbrf=3.
Ceci est fait pour montrer l’effet de la taille sur le calcul du seuil de percolation et
trouver la taille à partir de laquelle le pc reste stable. On appellera cette taille, la
longueur de corrélation.
On peut facilement remarque sur cette figure qu’à partir de la taille 60x60x3 la valeur
de pc se stabilise avec une légère variation de 0.05. On peut donc estimer que la taille
60x60xnbrf représente la longueur de corrélation.
83
Chapitre IV
Fluctuation du champ local prés du seuil de percolation
0,40
0,39
Pc
0,38
0,37
0,36
0,35
0,34
20
40
60
80
100
Taille
Figure IV.8 - comportement de pc en fonction de taille pour nombre de couche égale 3
IV-4) Bibliographie :
[1] Gadenne et al Opt. Commun. 65 17
[2] D. Stauffer, Introduction to percolation theory (1985) Taylor et Francis, London.
[3] M. Mokhtari mémoire de magister (2007) USTO Dept Physique
[4] L.Zekri et al Journal of Physics: Condensed Matter 12, 283-291 (2000).
[5] ] L.Zekri et al Journal of Physics: Condensed Matter 12, 293-301 (2000).
[6] J.P.Clerc et al J. Phys. Letters A 338(2005)169-174
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Conclusion générale
Conclusion générale
Dans ce mémoire nous avons étudié le comportement du seuil de percolation
pour un système de dimension entre 2d et 3d.
Nous avons utilisé trois différentes méthodes pour confirmer nos résultats.
Les trois méthodes sont basées sur les comportements, de la conductivité effective, la
probabilité de percolation, et la distribution du champ local, avec la concentration p.
Les calculs sont faits grâce à une méthode basée sur la résolution exacte des
équations de Kirchoff.
La première méthode nous permet de trouver le seuil de percolation en appliquant
une différentielle d’ordre 2 sur le comportement de la conductivité en fonction de p
(qui est une transition de phase du second ordre).
La deuxième méthode qui est une étude statistique basée sur les probabilités de
percolation aux différentes concentrations p. Ces probabilités ont la forme d’une
marche d’escalier et à la transition de cette dernière nous pouvons obtenir le pc.
La troisième méthode est basée sur le comportement des fluctuations du champ local
autour de pc. Ces fluctuations sont représentées par la largeur des distributions du
champ local qui augmente lorsque la concentration p s’éloigne au dessous de pc et
qui diminue jusqu’à une valeur minimale à pc et pour laquelle la distribution du
champ local devient log normale. Au-delà de pc, cette largeur augmente légèrement
et se sature.
Nous avons par la suite montré que le seuil de percolation pc diminue brusquement
lorsque l’épaisseur du système commence à augmenter et se sature à une valeur qui
correspond au pc théorique d’un système 3d bien avant que le système atteigne une
forme cubique, ceci explique la raison pour laquelle le pc théorique n’a jamais été
mesuré expérimentalement.
En effet, les systèmes élaborés ont toujours une épaisseur supérieure à une couche,
on ne peut donc jamais obtenir un vrai système 2d.
Il sera aussi plausible d’étudier la corrélation spatiale du champ (moments d’ordres
supérieurs 3 et 4 skewness et kurtosis) avec des applications à la diffusion Raman et
l’optique linéaire.
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