DYN2 - TSI Ljf.html

DYN Dynamique
DYN-2
Théorème énergétique
Cours DYN-2 : Théorème de la puissance cinétique
Com pétences nécessaires (Prérequis):
B2
B2
B2
C2
C2
C2
C2
Associer un modèle à une action mécanique,
Associer aux liaisons un torseur cinématique,
Paramétrer les mouvements d’un solide indéformable,
Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique
Déterminer la loi entrée-sortie d’une chaîne cinématique simple
Déterminer la trajectoire d’un point d’un solide par rapport à un autre
Déterminer le vecteur vitesse d’un point d’un solide par rapport à un autre,
Com pétences nouvelles:
B2 Déterminer les caractéristiques d’un solide indéformable (masse, moment d’inertie),
C1 Proposer une démarche permettant de déterminer une loi de mouvement.
Le théorème de la puissance cinétique est privilégié lorsqu'il s'agit de :
- dimensionner un actionneur permettant d'assurer les performances attendues,
- établir ou valider la loi de commande d'un actionneur.
Le théorème de la puissance cinétique permet en isolant l'ensemble des pièces mobiles d'obtenir
une relation entre :
- l'inertie du système mécanique et les accélérations commandées,
- les actions mécaniques (dont notamment celle de l'actionneur).
Les hypothèses sont similaires à celle définies dans le cours précédent (solide à masse
conservative, liaisons sans jeu, liaisons parfaites sauf cas particulier, référentiel galiléen, vitesses
très inférieures à la vitesse de la lumière).
1 Energie cinétique
Par définition l'énergie cinétique d'un système mécanique S par rapport à un référentiel R est
, /
=
avec
, /
(
, /
) .
l'énergie cinétique du solide S observée par rapport au référentiel R : en J
, /
la vitesse d'un point P du solide S observée par rapport au référentiel R : en m/s,
dm la masse élémentaire du volume élémentaire du solide S centré sur le point P : en kg
La plupart des solides dans les mécanismes sont soit en translation, soit en rotation par rapport au
référentiel d'observation R.
1.1 Energie cinétique d'un solide en translation galiléenne
Le solide S étant en translation par rapport au référentiel R, la vitesse
peut donc sortir ce terme de l'intégrale.
, /
est uniforme sur S, on
Par ailleurs, la masse du solide m est bien la somme des masses élémentaires dm (
=
)
Pour un solide S en translation par rapport au référentiel R:
, /
=
avec
, /
.
, /
l'énergie cinétique du solide S observée par rapport au référentiel R : en J
m la masse du solide S : en kg
, / la vitesse d'un point P du solide S observée par rapport au référentiel R : en m/s.
Lycée Jules Ferry
Page 1 sur 4
TSI2
DYN Dynamique
DYN-2
Théorème énergétique
1.2 Energie cinétique d'un solide en rotation galiléenne d'axe fixe
Par analogie, on en déduit que l'énergie cinétique en rotation est le produit d'un terme qui
représente l'inertie du système avec un terme qui représente la vitesse du solide.
Pour un solide S en rotation d'axe ( , ) par rapport au référentiel R:
, /
=
,
avec
, /
.!
/
l'énergie cinétique du solide S observée par rapport au référentiel R : en J
"#,$ le moment d'inertie du solide S autour de l'axe ( , ): en kg.m²,
%
/
la vitesse de rotation du solide S observée par rapport au référentiel R : en rad/s.
1.3 Inertie équivalente
1.3.1 Inertie équivalente ramenée à l'axe moteur
En utilisant les relations cinématiques linéaires (rapport de transmission ou/et de rapport de
transformation de mouvement), on obtient l'énergie cinétique des parties mobiles sous la forme :
, /
=
avec
&'( . ) /
, /
l'énergie cinétique du système S observée par rapport au référentiel R : en J
"*+, le moment d'inertie équivalent aux parties mobiles ramené à l'axe moteur en kg.m²,
-,/ la vitesse de rotation du moteur observée par rapport au référentiel R : en rad/s.
Remarque : %
/
² = ω.//² avec 0%
/
= ω.// . u2 car u est un vecteur unitaire u² = 1.
1.3.2 Inertie équivalente ramenée à un axe de rotation de la transmission
On peut de la même façon déterminer l'inertie équivalente ramenée à n'importe quel point de la
chaine de transmission.
Exemple : sortie du réducteur :
, /
=
&'4 . )5/
où Jeqr est l'inertie équivalent ramenée à la sortie du réducteur : en kg.m².
1.3.3 Masse équivalente
On peut définir dans la même idée la masse équivalente aux parties mobiles ramenée au solide
S1 en translation galiléenne :
, /
= 6&' . 7
, /
avec
, /
l'énergie cinétique du système S observée par rapport au référentiel R : en J
8*+ la masse équivalente des parties mobiles ramenée au solide 1 en translation
galiléenne : en kg,
,9/ la vitesse de translation du solide 1 observée par rapport au référentiel R : en m/s.
Lycée Jules Ferry
Page 2 sur 4
TSI2
DYN Dynamique
DYN-2
Théorème énergétique
2 Théorème de la puissance cinétique galiléenne
Soit un système S (ensemble de solides) en mouvement par rapport au référentiel galiléen R.
L’énergie cinétique vérifie le théorème de la puissance cinétique galiléenne :
, /
:
Avec :
, /
B ̅→
BDEF
/
:
:
:
;
<=
+
=→ /
@A;
Energie cinétique galiléenne du solide en J
Puissance des actions mécaniques extérieures sur S en W
Puissance des actions mécaniques intérieures à S en W
Le théorème de la puissance cinétique se démontre comme son nom l'indique (théorème) à partir du principe
fondamental de la dynamique.
On rencontre souvent dans les énoncés ce théorème sous l'appellation "théorème de l'énergie cinétique" bien
que cette appellation soit plus adaptée à la forme intégrée du théorème (la forme intégré du théorème est adaptée
aux problèmes à forces conservatives dont l'énergie est indépendante du trajet, pas adapté donc aux problèmes
faisant intervenir des actionneurs).
2.1 Puissance des actions mécaniques extérieures
Les puissances faisant intervenir des solides indéformables se calculent par le comoment
=→ /
des torseurs statique et cinématique :
= GH=→ I × K7
/
L
En développant le comoment des torseurs cinétiques et cinématiques (le comoment est la somme
des 2 produits croisés entre les moments et les résultantes des 2 torseurs):
=→ /
(
=
=→ /
=→
.
= ∑A@O
, /
+6
N→ /
,=→
.!
/
où i sont des systèmes extérieurs à S)
La puissance est indépendante du point de réduction des torseurs qui doivent néanmoins être
réduit au même point. On choisit de préférence un point fixe ou un centre de liaison.
Cas particuliers fréquents :
=→ /
Cas d'une force en A :
=
=→
.
, /
Cas d'un couple moteur sur un solide en rotation galiléenne d'axe fixe : =→ /
= Q( . R
/
2.2 Puissance des actions mécaniques intérieures
La nature de l'action intérieure ou extérieure dépend de la frontière d'étude.
Les actions intérieures sont généralement les actions de liaisons entre les solides du système S.
On montre que pour un système S={1,2}, les puissances intérieures s'obtiennent à partir du
comoment des torseurs statiques et cinématiques:
B9→S/ +BS→9/ = B
↔
=
@A;
=
⟶ /
=
→
.
, /
+6
, →
.!
/
La composition des vitesses KVS/9 L# + KV9/S L# = G0I et le principe des actions mutuelles
GT9→S I# = −GTS→9 I# justifie l'égalité : B9↔S = BS↔9.
Cette puissance est aussi appelée puissance d'inter-liaison.
Lycée Jules Ferry
Page 3 sur 4
TSI2
DYN Dynamique
DYN-2
Théorème énergétique
Cas particuliers pour 2 éléments 1 et 2 de :
Liaison parfaite :
⟶ /
Liaison avec frottement :
= Z.
⟶ /
<Z
Puissance moteur (sur un solide 2 en pivot avec un solide 1) :
⟶ /
= Q(→ . R
/
Remarque concernant les puissances extérieures à S :
→\/ ≠ Z à priori avec une liaison parfaite ou non si 1 est extérieur à S.
Z→\/Z
= Z pour une liaison parfaite avec 0 un solide extérieur à S et 0 lié au repère galiléen
(notation comparable à une puissance d'inter-liaison).
Références :"Mécanique du solide: Application industrielles" de P.Agati, Y.Bremont, G.Delville. Edition Dunod.
"Sciences industrielles pour l'ingénieur : mécanique et automatique PSI" de R.Papanicola. Edition Ellipses.
"Mécanique des systèmes et des milieux indéformables" de L.Chevalier. Edition Ellipses
Lycée Jules Ferry
Page 4 sur 4
TSI2