1 Existence d`un champ d`interférences 2 Description de la figure d

MP1 Lycée Janson de Sailly
DM n°13
DM n°13
Pour le mardi 21 février 2017
On réalise, dans l’air, l’expérience des trous d’Young à l’aide du
dispositif décrit et schématisé ci-dessous. Un laser, de longueur d’onde
dans le vide λ, émet un faisceau lumineux cylindrique d’axe z 0 z.
On suppose par la suite que le faisceau du laser éclaire entièrement et de manière uniforme les différentes ouvertures qui sont placées sur son passage. Ce faisceau est constitué de rayons parallèles
qui semblent provenir d’une source ponctuelle S située à l’infini.
Figure 1 –
Une plaque opaque (P ), percée de deux trous circulaires S1 et S2 de
même taille et de faibles dimensions, est placée perpendiculairement
à l’axe z 0 z. On note O0 le milieu du segment [S1 S2 ]. Le point O0
appartient à l’axe z 0 z. La distance entre les centres des deux trous
S1 et S2 est notée a.
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Existence d’un champ d’interférences
1. En se référant uniquement aux lois de l’optique géométrique,
quelle devrait être l’allure de la figure observée sur l’écran (E) ?
Le phénomène d’interférences est observé sur un écran (E) placé
perpendiculairement à l’axe z 0 z. Soit O le point de l’écran (E) appartenant à l’axe z 0 z. La distance entre la plaque (P ) et l’écran (E) est
égale à D. On a ainsi D = O0 O.
2. Pour quelle raison l’optique géométrique ne permet-elle pas de
prévoir l’existence d’un champ d’interférences dans le cas du dispositif des trous d’Young ? À quel phénomène physique doit-on
faire appel pour en comprendre l’existence ?
L’espace est rapporté au repère cartésien (O, ~ex , ~ey , ~ez ) défini
comme suit :
? ~ez : vecteur unitaire de l’axe Oz, orienté de la plaque (P ) vers
l’écran (E).
−−→
? ~ex : vecteur unitaire de l’axe Ox, parallèle à S1 S2 et orienté de
S2 vers S1 .
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Description de la figure d’interférences
Les réponses aux questions suivantes seront justifiées. Une démonstration quantitative ne sera toutefois pas exigée.
? ~ey : vecteur unitaire de l’axe Oy tel que la base (~ex , ~ey , ~ez ) soit
orthonormée directe.
1. Qu’observe-t-on sur l’écran (E) ? Décrire précisément la figure
d’interférences obtenue.
Dans tout le problème, l’indice de réfraction de l’air sera pris égal
à 1.
2. Qu’observe-t-on sur l’écran (E) si l’on obture l’un des deux
trous ?
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3. Comment est modifiée la figure d’interférences si on translate la
plaque (P ) suivant l’axe Ox ? Suivant l’axe Oy ?
1. Quelle est la couleur de cette lumière ?
4. Comment est modifiée la figure d’interférences si on translate
l’écran (E) suivant l’axe z 0 z ?
3. Quelle est la largeur spectrale en fréquence ∆ν associée, ainsi que
la durée τc des trains d’ondes ?
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2. Quelle est sa longueur de cohérence Lc ?
4. On prend a = 0, 6 mm, D = 1,2 m. En déduire la valeur maximale
de x qui permet d’observer des interférences sur l’écran.
Différence de chemin optique
Soit un point M de l’écran (E), de coordonnées (x, y, 0) dans le
repère (O, ~ex , ~ey , ~ez ).
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Intensité lumineuse de l’onde résultante
Dans le cas où | δ(M ) | Lc , on peut modéliser les ondes par
!
2πc
des sinusoïdes. On suppose alors que s1 (t) = s2 (t) = s0 cos
t
λ
représente l’expression des ondes respectivement aux points S1 et
S2 . s0 représente l’amplitude de l’onde considérée et c représente la
célérité de la lumière dans le vide. On néglige l’atténuation de l’onde
entre les trous et le point M .
1. Exprimer les distances S1 M et S2 M , respectivement entre les
trous S1 et S2 et le point M . On exprimera S1 M et S2 M en
fonction de a, D, x et y.
En déduire l’expression de la différence de chemin optique
δ(M ) = S2 M − S1 M au point M entre les rayons issus de S1
et S2 .
On exprimera δ(M ) en fonction de a, D, x et y.
2. La distance a entre les deux trous étant petite par rapport à la
distance d’observation D, et le point M étant proche du point
O, on peut considérer que a, x, y sont très petits devant D.
1. Déterminer l’expression s1M (t) de l’onde issue du trou S1 lorsqu’elle arrive au point M . On exprimera s1M (t) en fonction de
s0 , S1 M , c, λ et t. Déterminer, de même, l’expression s2M (t) de
En faisant un développement limité au premier ordre de l’expression de δ(M ) obtenue précédemment, en déduire l’expression
simplifiée de δ(M ) en fonction de a, D et x. Cette hypothèse sera
conservée dans la suite.
l’onde issue du trou S2 lorsqu’elle arrive au point M . On exprimera s2M (t) en fonction de s0 , S2 M , c, λ et t.
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2. En déduire l’expression sM (t) de l’onde qui résulte de la superposition des deux ondes s1M (t) et s2M (t) au point M . On exprimera
sM (t) en fonction de s0 , S1 M , S1 M , c, λ et t.
Mettre l’expression de sM (t) sous la forme du produit d’un terme
indépendant du temps (amplitude de l’onde) et d’un terme dépendant du temps.
Longueur de cohérence
La lumière émise par le Laser est quasi-monochromatique, formée
de trains d’ondes de durée τc , de fréquence ν0 correspondant à une
longueur d’onde λ0 = 643,8 nm. La largeur spectrale en longueur
d’onde de cette lumière est ∆λ = 0,05 nm.
3. Sachant que l’intensité lumineuse I(M ) (appelée aussi éclairement) qui résulte, au point M , de l’onde sM (t) est proportionnelle à la valeur moyenne du carré de sM (t) avec K constante de
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proportionnalité, exprimer l’intensité lumineuse I(M ) au point
M en fonction de s0 , K, δ et λ puis en fonction de s0 , K, a, x,
λ et D.
3. Décrire le plus précisément possible comment est modifiée la figure d’interférences par rapport à l’étude précédente (rayons parallèles à z 0 z).
4. Calculer, en détaillant clairement le raisonnement effectué, l’expression de l’interfrange i de la figure d’interférences. Exprimer
i en fonction de a, λ et D.
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On revient au montage de la Figure 1 pour lequel les rayons lumineux incidents sont parallèles à l’axe z 0 z. Ces rayons ne sont plus émis
par un faisceau Laser mais proviennent maintenant d’une source ponctuelle S placée dans le plan focal objet d’une lentille mince convergente.
5. Tracer l’allure du graphe de I(M ) en fonction de x.
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Lumière polychromatique
Inclinaison du faisceau laser
Les rayons du faisceau laser ne sont plus parallèles à l’axe z 0 z. Ils
sont inclinés d’un angle α par rapport à cet axe. On se placera dans
le cas où l’angle α est petit.
Cependant, la source S n’est plus monochromatique : elle émet des
radiations possédant toutes les fréquences comprises entre ν0 − ν1 et
ν0 + ν1 où ν1 ν0 .
On suppose que, si on obture un des deux trous, l’intensité lumineuse sur l’écran produite par les radiations dont la fréquence est
comprise entre ν et ν + dν est : dI = J0 dν, où J0 est une constante
indépendante de la fréquence.
1. Justifier le plus précisément possible pourquoi il est possible
d’écrire l’intensité sur l’écran sous la forme :
Z ν0 +ν1
I(M ) =
ν0 −ν1
2J0
2πνδ
1 + cos
c
dν
2. En déduire que I(M ) peut se mettre sous la forme :
Figure 2 –
2πν0 δ
I(M ) = A 1 + V (δ) cos
c
1. Déterminer la nouvelle différence de marche δ(M ) en un point
M de l’écran de coordonnées x, y.
où A est une constante à déterminer en fonction de J0 et de ν1
et où V (δ) est une fonction appelée facteur de visibilité dont on
donnera l’expression en fonction de la différence de marche δ, de
2. Quelle est alors la position de la frange d’ordre p = 0 ?
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ν1 et de la vitesse de la lumière dans le vide c. On pourra faire
intervenir la fonction sinus cardinal sinc définie par :
sinc(x) =
sin(x)
x
p−q
p+q
On donne : sin(p) − sin(q) = 2 sin
cos
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3. Représenter V (δ) en fonction de δ. Pour quelle valeur de δ
obtient-on le premier brouillage de la figure d’interférence ?
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