Persistance Topologique pour fabriquer des Signatures Locales

Alexandre BOS
— INRIA Saclay
Titre
Persistance Topologique
pour fabriquer des
Signatures Locales
Il y a beaucoup
d’objets
à indexer
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Positionnement
actuel
Positionnement
actuel
Identification de formes 3D
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Persistance topologique
Plan de l’exposé
Procédé général
Signatures sur
un seul point
Signatures sur
plusieurs points
Procédé général
Procédé général
Du nuage de points au complexe simplicial
Choix d’une fonction
Construction d’une filtration
Fα
:= Rε f
−1
((−∞, α])
fixe
Fα
:= Rα
−1
f ((−∞, α])
variable
Fα
:= {Rα f
−1
((−∞, α])
,→
À Suivre. . .
−1
R2α f ((−∞, α]) }
Exploitation des diagrammes de persistance
mort
diag. 1
diag. 2
∞
naissance
Stabilité
d∞
B (Dg f, Dg g) ≤ 19c distdX ,dY (C) + distf,g (C)
Stabilité
d∞
B (Dg f, Dg g) ≤ 19c distdX ,dY (C) + distf,g (C)
f :X→R
g:Y →R
f et g sont c-lipschitziens.
C est une correspondance de X à Y .
distdX ,dY (C) <
1
20
min {%(X), %(Y )}
Approximation
g
∞
dB (Dg f, Dg Rδ→3δ )
≤ 3cδ + c distdX ,dY (C) + distf,g (C)
Approximation
g
∞
dB (Dg f, Dg Rδ→3δ )
≤ 3cδ + c distdX ,dY (C) + distf,g (C)
P est un espace métrique fini.
g:P →R
δ ∈ 3 dist(C),
{H∗ Rδ
1
20
(%(X) − dist(C))
Rgδ→3δ (α) :=
−1
−1
g ((−∞, α]) ,→ H∗ R3δ g ((−∞, α]) }
Approximation
g
∞
dB (Dg f, Dg Rδ→3δ )
≤ 3cδ + c distdX ,dY (C) + distf,g (C)
P est un espace métrique fini.
g:P →R
δ ∈ 3 dist(C),
{H∗ Rδ
1
20
(%(X) − dist(C))
Rgδ→3δ (α) :=
−1
−1
g ((−∞, α]) ,→ H∗ R3δ g ((−∞, α]) }
Avec un point
Signatures sur un seul point
Distance géodésique
Exemples de diagrammes
Stabilité et Approximation
Stabilité
Si (x, y) ∈ C [. . . ], alors
d∞
B (Dg dX (x, ·) Dg dY (y, ·)) ≤ 20 distdX ,dY (C)
Approximation
Si (x, p) ∈ C [. . . ], alors
d (p,·)
P
d∞
(Dg
d
(x,
·),
Dg
R
X
B
δ→3δ ) ≤ 3 distdX ,dP (C)
Avec plusieurs points
Signatures sur plusieurs points
Géodésique floue
|d(x, x0 ) + d(x, x1 ) − d(x0 , x1 )|
fx0 ,x1 (x) := exp −
σ
Conclusion
Conclusion
Conclusion
Conclusion
Merci !