Alexandre BOS — INRIA Saclay Titre Persistance Topologique pour fabriquer des Signatures Locales Il y a beaucoup d’objets à indexer Il y a beaucoup d’objets à indexer Positionnement actuel Positionnement actuel Identification de formes 3D Vous êtes ici Persistance topologique Plan de l’exposé Procédé général Signatures sur un seul point Signatures sur plusieurs points Procédé général Procédé général Du nuage de points au complexe simplicial Choix d’une fonction Construction d’une filtration Fα := Rε f −1 ((−∞, α]) fixe Fα := Rα −1 f ((−∞, α]) variable Fα := {Rα f −1 ((−∞, α]) ,→ À Suivre. . . −1 R2α f ((−∞, α]) } Exploitation des diagrammes de persistance mort diag. 1 diag. 2 ∞ naissance Stabilité d∞ B (Dg f, Dg g) ≤ 19c distdX ,dY (C) + distf,g (C) Stabilité d∞ B (Dg f, Dg g) ≤ 19c distdX ,dY (C) + distf,g (C) f :X→R g:Y →R f et g sont c-lipschitziens. C est une correspondance de X à Y . distdX ,dY (C) < 1 20 min {%(X), %(Y )} Approximation g ∞ dB (Dg f, Dg Rδ→3δ ) ≤ 3cδ + c distdX ,dY (C) + distf,g (C) Approximation g ∞ dB (Dg f, Dg Rδ→3δ ) ≤ 3cδ + c distdX ,dY (C) + distf,g (C) P est un espace métrique fini. g:P →R δ ∈ 3 dist(C), {H∗ Rδ 1 20 (%(X) − dist(C)) Rgδ→3δ (α) := −1 −1 g ((−∞, α]) ,→ H∗ R3δ g ((−∞, α]) } Approximation g ∞ dB (Dg f, Dg Rδ→3δ ) ≤ 3cδ + c distdX ,dY (C) + distf,g (C) P est un espace métrique fini. g:P →R δ ∈ 3 dist(C), {H∗ Rδ 1 20 (%(X) − dist(C)) Rgδ→3δ (α) := −1 −1 g ((−∞, α]) ,→ H∗ R3δ g ((−∞, α]) } Avec un point Signatures sur un seul point Distance géodésique Exemples de diagrammes Stabilité et Approximation Stabilité Si (x, y) ∈ C [. . . ], alors d∞ B (Dg dX (x, ·) Dg dY (y, ·)) ≤ 20 distdX ,dY (C) Approximation Si (x, p) ∈ C [. . . ], alors d (p,·) P d∞ (Dg d (x, ·), Dg R X B δ→3δ ) ≤ 3 distdX ,dP (C) Avec plusieurs points Signatures sur plusieurs points Géodésique floue |d(x, x0 ) + d(x, x1 ) − d(x0 , x1 )| fx0 ,x1 (x) := exp − σ Conclusion Conclusion Conclusion Conclusion Merci !