Algèbres amassées et algèbres de Hall Mikhail Gorsky Directeur de thèse: Bernhard Keller Université Paris-7 Paris - 12 Octobre 2013 Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 1 / 12 1 Répresentations des carquois 2 Algèbres de Hall 3 Algèbres amassées et algèbres de Hall Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 2 / 12 Carquois Q Algèbre de Hall H(RepFq Q) Algèbre amassée (quantique) Aq (Q) Groupe quantique U√q (g) Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 3 / 12 Carquois Q Algèbre de Hall H(RepFq Q) Algèbre amassée (quantique) Aq (Q) Groupe quantique U√q (g) Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 3 / 12 Un carquois Q = un graphe orienté. Q est fini si les ensembles des sommets et des flèches sont finis. Une répresentation de Q est une diagrame des espaces vectoriels de forme donné par Q. Example → Le carquois A3 : 1 o α 2 diagramme de Dynkin A3 : Une répresentation de → A3 β 1 / 3 est une orientation du 3 . 2 est un diagramme V1 o Vα V2 Vβ / V3 , où V1 , V2 , V3 sont des espaces vectoriels, Vα : V2 → V1 et Vβ : V2 → V3 sont des applications lineaires. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 4 / 12 Un carquois Q = un graphe orienté. Q est fini si les ensembles des sommets et des flèches sont finis. Une répresentation de Q est une diagrame des espaces vectoriels de forme donné par Q. Example → Le carquois A3 : 1 o α 2 diagramme de Dynkin A3 : Une répresentation de → A3 β 1 / 3 est une orientation du 3 . 2 est un diagramme V1 o Vα V2 Vβ / V3 , où V1 , V2 , V3 sont des espaces vectoriels, Vα : V2 → V1 et Vβ : V2 → V3 sont des applications lineaires. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 4 / 12 Un carquois Q = un graphe orienté. Q est fini si les ensembles des sommets et des flèches sont finis. Une répresentation de Q est une diagrame des espaces vectoriels de forme donné par Q. Example → Le carquois A3 : 1 o α 2 diagramme de Dynkin A3 : Une répresentation de → A3 β 1 / 3 est une orientation du 3 . 2 est un diagramme V1 o Vα V2 Vβ / V3 , où V1 , V2 , V3 sont des espaces vectoriels, Vα : V2 → V1 et Vβ : V2 → V3 sont des applications lineaires. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 4 / 12 Un carquois Q = un graphe orienté. Q est fini si les ensembles des sommets et des flèches sont finis. Une répresentation de Q est une diagrame des espaces vectoriels de forme donné par Q. Example → Le carquois A3 : 1 o α 2 diagramme de Dynkin A3 : Une répresentation de → A3 β 1 / 3 est une orientation du 3 . 2 est un diagramme V1 o Vα V2 Vβ / V3 , où V1 , V2 , V3 sont des espaces vectoriels, Vα : V2 → V1 et Vβ : V2 → V3 sont des applications lineaires. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 4 / 12 Un carquois Q = un graphe orienté. Q est fini si les ensembles des sommets et des flèches sont finis. Une répresentation de Q est une diagrame des espaces vectoriels de forme donné par Q. Example → Le carquois A3 : 1 o α 2 diagramme de Dynkin A3 : Une répresentation de → A3 β 1 / 3 est une orientation du 3 . 2 est un diagramme V1 o Vα V2 Vβ / V3 , où V1 , V2 , V3 sont des espaces vectoriels, Vα : V2 → V1 et Vβ : V2 → V3 sont des applications lineaires. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 4 / 12 Un morphisme de répresentations de Q est un morphisme de diagrammes. Repk (Q) = catégorie de répresentations de Q sur k . C’est une catégorie k −linéaire et abelienne. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 5 / 12 Un morphisme de répresentations de Q est un morphisme de diagrammes. Repk (Q) = catégorie de répresentations de Q sur k . C’est une catégorie k −linéaire et abelienne. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 5 / 12 Un morphisme de répresentations de Q est un morphisme de diagrammes. Repk (Q) = catégorie de répresentations de Q sur k . C’est une catégorie k −linéaire et abelienne. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 5 / 12 Soit E une catégorie exacte et finitaire, c’est à dire telle que pour chaque M, N ∈ E, on a Hom(A, B) < ∞, Ext1 (A, B) < ∞. L’algèbre de Hall H(E) est l’algèbre sur Q avec base uX indexée par les classes d’isomorphisme d’objets dans E; P | Ext1 (M,N)X | multiplication uM uN = | Hom(M,N)| uX . [X ]∈Iso(E) 1 Ici Ext (M, N)X est le sous-espace de Ext1 (M, N), engendré par les suites exactes courtes N K M, où le terme au milieu K est isomorphe à X . C’est une algèbre non-commutative, mais associative et unitaire. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 6 / 12 RepFq (Q) est une catégorie abelienne et finitaire ⇒ H(RepFq (Q)) est bien definie. De plus, H(RepFq (Q)) a une structure canonique de cogèbre (= objet dual d’une algèbre). Soit A l’algèbre de matrices triangulaire supérieures d’ordre n − 1 sur un corps fini Fq . Alors l’algèbre de Hall avec un certain twist de multiplication est isomorphe à la partie positive de l’algèbre envellopante quantique ∼ + (sln ). Htw (mod A) → U√ q Theorem (C.M.Ringel, J.Green) Soit Q un carquois acyclique, g l’algèbre de Kac-Moody correspondante. Alors on a + U√ (g) ,→ Htw (RepFq (Q)). q C’est un isomorphisme ssi Q est une orientation d’une diagramme de Dynkin. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 7 / 12 RepFq (Q) est une catégorie abelienne et finitaire ⇒ H(RepFq (Q)) est bien definie. De plus, H(RepFq (Q)) a une structure canonique de cogèbre (= objet dual d’une algèbre). Soit A l’algèbre de matrices triangulaire supérieures d’ordre n − 1 sur un corps fini Fq . Alors l’algèbre de Hall avec un certain twist de multiplication est isomorphe à la partie positive de l’algèbre envellopante quantique ∼ + (sln ). Htw (mod A) → U√ q Theorem (C.M.Ringel, J.Green) Soit Q un carquois acyclique, g l’algèbre de Kac-Moody correspondante. Alors on a + U√ (g) ,→ Htw (RepFq (Q)). q C’est un isomorphisme ssi Q est une orientation d’une diagramme de Dynkin. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 7 / 12 RepFq (Q) est une catégorie abelienne et finitaire ⇒ H(RepFq (Q)) est bien definie. De plus, H(RepFq (Q)) a une structure canonique de cogèbre (= objet dual d’une algèbre). Soit A l’algèbre de matrices triangulaire supérieures d’ordre n − 1 sur un corps fini Fq . Alors l’algèbre de Hall avec un certain twist de multiplication est isomorphe à la partie positive de l’algèbre envellopante quantique ∼ + (sln ). Htw (mod A) → U√ q Theorem (C.M.Ringel, J.Green) Soit Q un carquois acyclique, g l’algèbre de Kac-Moody correspondante. Alors on a + U√ (g) ,→ Htw (RepFq (Q)). q C’est un isomorphisme ssi Q est une orientation d’une diagramme de Dynkin. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 7 / 12 RepFq (Q) est une catégorie abelienne et finitaire ⇒ H(RepFq (Q)) est bien definie. De plus, H(RepFq (Q)) a une structure canonique de cogèbre (= objet dual d’une algèbre). Soit A l’algèbre de matrices triangulaire supérieures d’ordre n − 1 sur un corps fini Fq . Alors l’algèbre de Hall avec un certain twist de multiplication est isomorphe à la partie positive de l’algèbre envellopante quantique ∼ + Htw (mod A) → U√ (sln ). q Theorem (C.M.Ringel, J.Green) Soit Q un carquois acyclique, g l’algèbre de Kac-Moody correspondante. Alors on a + U√ (g) ,→ Htw (RepFq (Q)). q C’est un isomorphisme ssi Q est une orientation d’une diagramme de Dynkin. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 7 / 12 RepFq (Q) est une catégorie abelienne et finitaire ⇒ H(RepFq (Q)) est bien definie. De plus, H(RepFq (Q)) a une structure canonique de cogèbre (= objet dual d’une algèbre). Soit A l’algèbre de matrices triangulaire supérieures d’ordre n − 1 sur un corps fini Fq . Alors l’algèbre de Hall avec un certain twist de multiplication est isomorphe à la partie positive de l’algèbre envellopante quantique ∼ + Htw (mod A) → U√ (sln ). q Theorem (C.M.Ringel, J.Green) Soit Q un carquois acyclique, g l’algèbre de Kac-Moody correspondante. Alors on a + U√ (g) ,→ Htw (RepFq (Q)). q C’est un isomorphisme ssi Q est une orientation d’une diagramme de Dynkin. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 7 / 12 RepFq (Q) est une catégorie abelienne et finitaire ⇒ H(RepFq (Q)) est bien definie. De plus, H(RepFq (Q)) a une structure canonique de cogèbre (= objet dual d’une algèbre). Soit A l’algèbre de matrices triangulaire supérieures d’ordre n − 1 sur un corps fini Fq . Alors l’algèbre de Hall avec un certain twist de multiplication est isomorphe à la partie positive de l’algèbre envellopante quantique ∼ + Htw (mod A) → U√ (sln ). q Theorem (C.M.Ringel, J.Green) Soit Q un carquois acyclique, g l’algèbre de Kac-Moody correspondante. Alors on a + U√ (g) ,→ Htw (RepFq (Q)). q C’est un isomorphisme ssi Q est une orientation d’une diagramme de Dynkin. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 7 / 12 Algèbre amassée quantique Aq (Q) (A.Berenstein, S.Fomin, A.Zelevinsky): une algèbre importante construite à partir d’un carquois fini Q (sans boucles ni 2−cycles). C’est une algèbre non-commutative munie d’un système de générateurs distingués appelés variables d’amas. Ces générateurs sont regroupés dans des parties appelées amas qui sont de cardinal fixe et qui se recoupent en général. Les amas sont construits de facon récursive à partir d’une amas initiale et de Q. Aq (Q) est un module sur un certain tore quantique. La multiplication de Aq (Q) ≈ dual de la multiplication de H(RepFq (Q)). Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 8 / 12 Algèbre amassée quantique Aq (Q) (A.Berenstein, S.Fomin, A.Zelevinsky): une algèbre importante construite à partir d’un carquois fini Q (sans boucles ni 2−cycles). C’est une algèbre non-commutative munie d’un système de générateurs distingués appelés variables d’amas. Ces générateurs sont regroupés dans des parties appelées amas qui sont de cardinal fixe et qui se recoupent en général. Les amas sont construits de facon récursive à partir d’une amas initiale et de Q. Aq (Q) est un module sur un certain tore quantique. La multiplication de Aq (Q) ≈ dual de la multiplication de H(RepFq (Q)). Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 8 / 12 Algèbre amassée quantique Aq (Q) (A.Berenstein, S.Fomin, A.Zelevinsky): une algèbre importante construite à partir d’un carquois fini Q (sans boucles ni 2−cycles). C’est une algèbre non-commutative munie d’un système de générateurs distingués appelés variables d’amas. Ces générateurs sont regroupés dans des parties appelées amas qui sont de cardinal fixe et qui se recoupent en général. Les amas sont construits de facon récursive à partir d’une amas initiale et de Q. Aq (Q) est un module sur un certain tore quantique. La multiplication de Aq (Q) ≈ dual de la multiplication de H(RepFq (Q)). Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 8 / 12 Algèbre amassée quantique Aq (Q) (A.Berenstein, S.Fomin, A.Zelevinsky): une algèbre importante construite à partir d’un carquois fini Q (sans boucles ni 2−cycles). C’est une algèbre non-commutative munie d’un système de générateurs distingués appelés variables d’amas. Ces générateurs sont regroupés dans des parties appelées amas qui sont de cardinal fixe et qui se recoupent en général. Les amas sont construits de facon récursive à partir d’une amas initiale et de Q. Aq (Q) est un module sur un certain tore quantique. La multiplication de Aq (Q) ≈ dual de la multiplication de H(RepFq (Q)). Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 8 / 12 À partir d’un carquois Q et d’un objet supplementaire W (dit un potentiel générique) on construit une catégorie triangulaire Db (Q, W ). C’est une “rèfinement” de la categorie derivée bornée Db (RepFq (Q)) de RepFq (Q). Il y a une operation de mutation de carquois au potentiel µ : (Q, W ) → (Q 0 , W 0 ). Cettes mutations induisent des équivalences de categories ∼ Db (Q, W ) → Db (Q 0 , W 0 ). Compositions des mutations engendrent un action sur Db (Q, W ) du groupe de tresses associé à Q. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 9 / 12 À partir d’un carquois Q et d’un objet supplementaire W (dit un potentiel générique) on construit une catégorie triangulaire Db (Q, W ). C’est une “rèfinement” de la categorie derivée bornée Db (RepFq (Q)) de RepFq (Q). Il y a une operation de mutation de carquois au potentiel µ : (Q, W ) → (Q 0 , W 0 ). Cettes mutations induisent des équivalences de categories ∼ Db (Q, W ) → Db (Q 0 , W 0 ). Compositions des mutations engendrent un action sur Db (Q, W ) du groupe de tresses associé à Q. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 9 / 12 À partir d’un carquois Q et d’un objet supplementaire W (dit un potentiel générique) on construit une catégorie triangulaire Db (Q, W ). C’est une “rèfinement” de la categorie derivée bornée Db (RepFq (Q)) de RepFq (Q). Il y a une operation de mutation de carquois au potentiel µ : (Q, W ) → (Q 0 , W 0 ). Cettes mutations induisent des équivalences de categories ∼ Db (Q, W ) → Db (Q 0 , W 0 ). Compositions des mutations engendrent un action sur Db (Q, W ) du groupe de tresses associé à Q. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 9 / 12 Projet On espère trouver une algébre ≈ de Hall associée à Db (Q, W ) qui est associative et unitaire; contient un tore quantique canonique; est préservée par (un grand class d’) équivalences derivées. elle ou sa sous-àlgèbre a une structure de cogèbre qui n’est pas préservée par équivalences derivées; ce structure de cogèbre donne la multiplication de Aq (Q). Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 10 / 12 Résultats On construit une algèbre SDH(E) dite l’algèbre de Hall semi-derivée à partir de la catégorie de complexes bornées C b (E) sur une catégorie exacte E satisfaisant à certaines conditions de finitude. SDH(E) est associative et unitaire; SDH(E) contient un tore quantique canonique; SDH(E) est préservée par (un grand class d’) équivalences derivées. On a une analogue Z/2-periodiqué de SDH(E) avec le mêmes propriétés, mais aussi SDHZ/2 (E) a une structure de cogébre qui n’est pas préservée par équivalences derivées. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 11 / 12 Résultats On construit une algèbre SDH(E) dite l’algèbre de Hall semi-derivée à partir de la catégorie de complexes bornées C b (E) sur une catégorie exacte E satisfaisant à certaines conditions de finitude. SDH(E) est associative et unitaire; SDH(E) contient un tore quantique canonique; SDH(E) est préservée par (un grand class d’) équivalences derivées. On a une analogue Z/2-periodiqué de SDH(E) avec le mêmes propriétés, mais aussi SDHZ/2 (E) a une structure de cogébre qui n’est pas préservée par équivalences derivées. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 11 / 12 Résultats On construit une algèbre SDH(E) dite l’algèbre de Hall semi-derivée à partir de la catégorie de complexes bornées C b (E) sur une catégorie exacte E satisfaisant à certaines conditions de finitude. SDH(E) est associative et unitaire; SDH(E) contient un tore quantique canonique; SDH(E) est préservée par (un grand class d’) équivalences derivées. On a une analogue Z/2-periodiqué de SDH(E) avec le mêmes propriétés, mais aussi SDHZ/2 (E) a une structure de cogébre qui n’est pas préservée par équivalences derivées. Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 11 / 12 Inspiré par le résultat de T.Bridgeland: U√q (g) ,→ SDHtw Z/2 (RepFq (Q)). M.G.: Semi-derived Hall algebras and tilting invariance of Bridgeland-Hall algebras, arXiv:1303.5879 Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 12 / 12 Inspiré par le résultat de T.Bridgeland: U√q (g) ,→ SDHtw Z/2 (RepFq (Q)). M.G.: Semi-derived Hall algebras and tilting invariance of Bridgeland-Hall algebras, arXiv:1303.5879 Mikhail Gorsky (Université Paris-7) Algèbres amassées et algèbres de Hall Paris - 12 Octobre 2013 12 / 12