PHQ502 Physique Quantique 23 décembre 2008 Autiwa 2 TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 Rayonnement du Corps Noir 3 1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Loi de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Loi de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Eet Photo-électrique 2.1 Description du phénomène . . . . 2.2 Théorie d'Einstein . . . . . . . . 2.2.1 énergie inférieure au seuil 2.2.2 énergie supérieure au seuil 3 3 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Eet Compton 3 3 3 3 3 3.1 Description du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Relation de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Théorie de Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 4 Atome de BOHR 4 5 Dualité Onde-Corpuscule 4 5.1 Équation de Shrödinger . . . . . . . . . . . . 5.1.1 à 1 dimension pour une particule libre 5.1.2 à 3 dimensions . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Relation d'Incertitude d'Heisenberg . . . . . . 5.3 Normalisation de la fonction d'onde . . . . . 5.4 État stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Équation aux valeurs propres . . . . . 5.4.2 Densité de courant . . . . . . . . . . . 5.4.3 Facteur de réexion et de transmission 5.5 Valeur moyenne d'une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 3 EFFET COMPTON 1 3 Rayonnement du Corps Noir 1.1 Dénition Un corps noir parfait est, par dénition, un corps qui absorbe tout le rayonnement qu'il reçoit. À l'équilibre thermodynamique (T = cte ), un corps noir rayonnne autant d'énergie qu'il en reçoit. avec U (T ) la densité d'énergie. densité spectrale d'énergie u(ν, T ) = dU dν 1.2 Loi de Wien νmax = cte T (1.1) 1.3 Loi de Planck u(ν, T ) = ν 2 1 8πh × hν 3 c e kB T − 1 3 ! (1.2) Effet Photo-électrique 2.1 Description du phénomène Un rayonnement qui bombarde un métal arrache des électrons à celui-ci. Ce phénomène ne dépend pas de l'intensité du ux, mais de l'énergie des photons associés. l'énergie des photons est quantié selon la relation : E = hν (2.1) W0 h (2.2) 2.2 Théorie d'Einstein 2.2.1 hν < W0 Il n'y a pas d'eets, le seuil est : hνs = W0 d'où la relation : νs = 2.2.2 hν > W0 L'électron sort du métal avec une énergie cinétique : 3 Effet Compton 3.1 Description du phénomène Diusion des rayons X. 1 mv 2 2 = hν − W0 max (2.3) 4 3.2 Relation de Bragg 3.2 Relation de Bragg dans les cristaux, on a la relation, pour une onde incidente de longueur d'onde λ traversant un cristal de distance réticulaire d avec un angle d'incidence θ : (3.1) 2d sin(θ) = nλ 3.3 Théorie de Compton λ − λ0 = α sin ν c impulsion p = h = 2 θ 2 h λ h λ − λ0 = 2 sin mc longueur d'onde de Compton (3.3) h = 0.024Å mc (3.4) n2 ~2 me0 2 (4.1) Atome de BOHR Soit e0 = e2 4πε0 rn = Rayon de Bohr 5 2 θ 2 : λc = 4 (3.2) r1 = a0 = ~2 me0 2 Dualité Onde-Corpuscule m=0 Mécanique Classique c = pc λ p = λh = h νc λ = h Ec E = hν = h Tab. Ec = p2 2m m 6= 0 Mécanique Relativiste E = Ec + mc2 = √ p = 2mEc λ = hp p m2 c4 + p2 c2 1 Récapitulatif des Formules suivant les cas 5.1 Équation de Shrödinger 5.1.1 à 1 dimension pour une particule libre − ~2 ∂ 2 ψ(x,t) = i~ ∂ ψ(x,t) 2 ∂t 2m ∂x (5.1) 5 DUALITÉ ONDE-CORPUSCULE 5 5.1.2 à 3 dimensions → − → − → − ~2 ∆ + v( r ) ψ( r , t) = i~ ∂ ψ(∂tr ,t) − 2m (5.2) 5.1.3 Hamiltonien ~2 ∂ 2 2 + V (x) 2m ∂x → − ~2 H=− ∆+V(r) 2m H=− à 1 dimension (5.3a) à 3 dimensions (5.3b) Application à l'équation de Shrödinger : HΨ = i~ ∂∂tΨ (5.4) 5.2 Relation d'Incertitude d'Heisenberg ∆x∆px & ~ (5.5) 5.3 Normalisation de la fonction d'onde Onde plane : i Ψ(x, t) = Ae ~ (px−Et) (5.6) Interprétation statistique : 2 |Ψ(x, t)| = ρ(x, t) (5.7) La fonction ρ est la probabilité de présence de la particule. En toute logique, son intégrale sur tout l'espace doit être égale à 1. C'est pour celà qu'il faut normaliser les fonctions d'ondes pour que la relation suivante soit vériée : ˆ +∞ 2 |Ψ(x, t)| dx = 1 (5.8) −∞ Si cette condition est réalisée, alors on dit que la fonction d'onde est normée . a) En sphérique ˆ +∞ 2 |φ(r)| 4πr2 dr = 1 0 5.4 État stationnaire 5.4.1 Équation aux valeurs propres (5.9) Hφ = Eφ ψ(x, t) = φ(x)e t − iE ~ (5.10) 6 5.5 Valeur moyenne d'une grandeur 5.4.2 Densité de courant j= φ et dφ dx ~ 2mi φ∗ dφ∗ dφ −φ dx dx (5.11) doivent être continues. 5.4.3 Facteur de réexion et de transmission a) Facteur de réexion R= jr ji (5.12) T = jt ji (5.13) b) Facteur de transmission On a de plus R + T = 1. Si on a une onde de la forme (5.14) φ(x) = Aeikx + Be−ikx A est rattaché à ji et B à jr 5.5 Valeur moyenne d'une grandeur On suppose que Ψ est normée. De façon générale, on dénit la valeur moyenne d'une grandeur A dont l'état est décrit par la fonction d'onde Ψ : ˆ +∞ (5.15) Ψ∗ AΨ dx hAiΨ = −∞ h∆xiΨ = q hx2 iΨ − hxiΨ (5.16) 2 où h∆xiΨ est l'écart quadratique moyen de x dans l'état Ψ c) Fonction Hermitique On dit que A est hermitique s'il vérie la relation : ˆ ˆ +∞ +∞ ∗ Ψ∗ (AΨ) dx = −∞ Ψ(AΨ) dx (5.17) −∞ d) Commutateur On appelle commutateur de deux opérateurs A et B , l'opérateur suivant : [A, B] = AB − BA (5.18) 5 DUALITÉ ONDE-CORPUSCULE 7 e) Opérateurs (5.19a) (5.19b) (5.19c) X:x V (X) : V (x) ∂ P : −i~ ∂x P2 ~2 ∂ 2 :− 2 2m 2m ∂x H =T +V (5.19d) T = (5.19e) Lors des calculs, il convient de faire très attention avec les opérateurs. Les opérateurs s'appliquent à une fonction, les calculs eectués de manière générales sans utiliser de fonction derrière sont des abus de notations qui peuvent conduire à des erreurs dont voici un exemple. Prenons les deux opérateurs X et P . Soit l'opérateur P X , On peut être tenté de faire P X = −i~ ∂∂xx = −i~ Or, en prenant une fonction Ψ quelconque, on constate rapidement que ce n'est pas du tout le bon résultat. C'est pourquoi il est conseillé, du moins dans un premier temps, de calculer systématiquement les opérateurs en rajoutant la fonction derrière. Le bon résultat est : xΨ P XΨ = −i~ ∂∂x · Ψ + x ∂∂xΨ = −i~ Ψ + x ∂∂xΨ = −i~ ∂x ∂x f) Évolution temporelle de la valeur moyenne 1 d hAi = h[A, H]i + ∂∂tA dt i~ Théorème 1 (Théorème D'Erhenfest) (5.20) Les lois de la mécanique classique sont valables en valeur moyenne en mécanique ondulatoire (quantique). Index B Bohr atome de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 rayon de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 bragg (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 C commutateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 D dualité onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 E écart quadratique moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 eet compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 photo-électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 équation aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 de Shrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 5 état stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 F fonction d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I incertitude d'Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 L loi de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 longueur d'onde de Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 O opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 hermitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 valeur moyenne d'un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 T théorème D'Erhenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 theorie d'einstein Théorie d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8