Loi normale page 10

Calculatrices CASIO Graph25 & 6900 à 7699
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Eléments de base
1°) Calculs usuels
• Conseil : laissez votre calculatrice en radians et lorsque vous voulez un résultat en
degrés, multipliez-le par la constante 180/π. (Ex : 0,23 rad ≈ 13,178029288°)
• Règles de priorité : les formules doivent être tapées comme si on les écrivait sur une
feuille de papier. Par exemple,
3 → X EXE puis 2X LN(X) EXE permet de calculer 2 3 .ln ( 3 ) .
• On peut omettre les parenthèses fermantes situées immédiatement devant la touche
EXE . Il en est de même pour un signe x devant une parenthèse ouvrante ou un
nom de mémoire.
• La dernière formule frappée peut être modifiée en utilisant les touches de
déplacement horizontal.
• Utilisation des 28 mémoires (de A à Z puis ρ et θ) :
* 9 x 8 → ALPHA A EXE affiche 72 et le stocke dans la mémoire A.
* 2 ALPHA A → ALPHA B EXE affiche 144 et le stocke dans la mémoire B.
• SCI 3 permet d'afficher tous les résultats avec une incertitude relative de l'ordre de
10-2 (3 chiffres significatifs).
• Démarche à suivre pour écrire 11 h 34' 51" en heure décimale sur certaines
calculatrices : Shift Maths puis DMS puis 11 F1 34 F1 51 F1 EXE .
On obtient alors 11,5808333 h.
• Ecrivez la démarche à suivre pour écrire 3,74194445 h en notation traditionnelle :
(On obtient 3 h 44' 31")
2°) Opérations sur les complexes
• Pour la Graph 25, les fonctions "Pol" et "Rect" s'obtiennent par Option puis
Angle puis → puis → . Pour récupérer les résultats de ces fonctions , il faut
utiliser list Ans [1] puis list Ans [2] .
• Pour les autres modèles, les résultats des fonctions "Pol" et "Rect" se trouvent dans
les mémoires I et J.
• Les instructions suivantes permettent de compléter le tableau ci-dessous.
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IUT VESOUL
SIN(1) → A EXE
2 → B EXE Pol(A,B) EXE I → C EXE J → D
π → E EXE 4 → F EXE Pol(E,F) EXE I → G EXE J → H
A+E → K EXE B+F → L EXE Pol(K,L) EXE I → M EXE J → N
CG → Q EXE D+H → R EXE Rect(Q,R) EXE I → O EXE J → P
C/G → U EXE D - H → V EXE Rect(U,V) EXE I → S EXE J → T
C x y 3 → Y EXE 3D → Z EXE Rect(Y,Z) EXE I → W EXE J → X
G → M EXE H/2 → N EXE Rect(M,N) EXE I → K EXE J → L
Re (z)
A ≈ 0,8415
Im (z)
B ≈ 1,414
|z|
C ≈ 1,646
arg (z)
D ≈ 1,034
E ≈ 3,142
K ≈ 3,983
O ≈ - 3,013
F=4
L ≈ 5,414
P ≈ 7,809
G ≈ 5,086
M ≈ 6,721
Q ≈ 8,370
H ≈ 0,9050
N ≈ 0,9365
R ≈ 1,939
S ≈ 0,3209
T ≈ 0,04163
U ≈ 0,3235
V ≈ 0,1290
3
W ≈ - 4,453
X ≈ 0,1757
Y ≈ 4,456
Z ≈ 3,102
z2
K ≈ 2,028
L ≈ 0,9861
M ≈ 2,255
N ≈ 0,4525
z1 = sin(1) + j 2
z2 = π + 4j
z3 = z1 + z2
z4 = z1 . z2
z
z5 = z1
2
z6 = z1
z7 =
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3°) Représentation graphique d'une fonction
Ecrivez la démarche à suivre pour superposer les représentations graphique des
fonctions x → x2 - 3 et x → arg sh(x).
Remarque : arg sh(x) = sinh-1(x)
4°) Programmation
38 mémoires programme : P0 à P9 puis PA à PZ puis Pρ et Pθ.
3
4
IUT VESOUL
Résolution d'un système 3x3
a11x + a 12y + a13z = b1
On veut résoudre le système a21x + a 22y + a23z = b2 .
a31x + a 32y + a33z = b3
1°) Utilisation d'un programme spécifique
a) Programme utilisant la méthode des déterminants
"A11"? → A : "A12"? → B : "A13"? → C :
"A21"? → D : "A22"? → E : "A23"? → F :
"A31"? → G : "A32"? → H : "A33"? → I :
AEI+DHC+GBF-CEG-FHA-IBD → T :
Lbl 1 : "B1"? → J : "B2"? → K : "B3"? → L :
JEI+KHC+LBF-CEL-FHJ-IBK → X :
AKI+DLC+GJF-CKG-FLA-IJD → Y :
AEL+DHJ+GBK-JEG-KHA-LBD → Z :
"X=" : X T
"Y=" : Y T
"Z=" : Z T
Goto 1
b) Utilisation du programme ci-dessus
• Lancez le programme puis entrez les coefficients demandés.
• La calculatrice affiche le texte "x = ", la valeur de ∆ x , puis la valeur numérique de ∆.
• Appuyez sur EXE , la calculatrice affiche le texte "y = ", la valeur de ∆ y , puis la
valeur numérique de ∆.
• Appuyez sur EXE , la calculatrice affiche le texte "z = ", la valeur de ∆ z , puis la
valeur numérique de ∆.
• Entrez d'autres seconds membres ou appuyez sur AC pour interrompre la boucle
sans fin.
∆
∆
∆
• Si ∆ ≠ 0, le système admet une solution unique x = ∆x ; y = ∆y ; z = ∆z .
• Si ∆ = 0 et ( ∆ x ≠ 0 ou ∆ y ≠ 0 ou ∆ z ≠ 0), le système est impossible.
• Si ∆ = 0 et ∆ x = 0 et ∆ y = 0 et ∆ z = 0, le système admet une infinité de solutions.
Pour les obtenir, suivez la démarche du cours.
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c) Remarque
Le programme ci-dessus permet de résoudre un système 2x2
a11x + a 12y
suffit de le mettre sous la forme a21x + a 22y

a 11x

a 21x
+ a 12y = b1
+ a 22y = b2 . Il
= b1
= b2 .
z=0
 8x - 9y +7z = - 4
 x + 2y + 3z = -2
 x + 2y + 3z = -2
d) Exemples classiques - 6x + 5y - 9z = 7 ; 4x + 5y + 6z = 1 ; 4x + 5y + 6z = 1
 4x - 7y + 8z = - 5
7x + 8y + 9z = 4
7x + 8y + 9z = 3
 7x + 3y - 3z = a
e) Exemple où les seconds membres sont des paramètres : (S) - 8x + 5y - 4z = b
 5x - 7y + 5z = c
3
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31
• On résout le système S pour a = 1 ; b = 0 ; c = 0. On obtient x = 54 ; y = - 54 ; z = - 54 .
Ces solutions sont les coefficients de a dans les expressions de x ; y ; z.
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• On résout le système S pour a = 0 ; b = 1 ; c = 0. On obtient x = - 54 ; y = - 54 ;
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z = - 54 . Ces solutions sont les coefficients de b dans les expressions de x ; y ; z.
3
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• On résout le système S pour a = 0 ; b = 0 ; c = 1. On obtient x = - 54 ; y = - 54 ;
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z = - 54 . Ces solutions sont les coefficients de c dans les expressions de x ; y ; z.
• On en déduit, x =
3a - 6b - 3c
- 20a - 50b - 52c
- 31a - 64b - 59c
; y=
; z=
.
54
54
54
2°) Utilisation du calcul matriciel
a) Méthode de résolution
 a11 a12 a13
Entrez la matrice A =  a21 a22 a23 puis calculez son déterminant ∆.
 a31 a32 a33
• Si ∆ ≠ 0,
-1
* Inversez la matrice A (on la note A ).
 b1
-1
Multipliez
la
matrice
A
par
la
matrice
B
=
 b2 .
*
 b3
§ Attention, la multiplication des matrices n'est pas commutative.
* Le vecteur X obtenu est l'unique solution du système S.
• Si ∆ = 0, suivez la démarche du cours.
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IUT VESOUL
 8x - 9y +7z = - 4
 x + 2y + 3z = -2
 x + 2y + 3z = -2
b) Exemples classiques - 6x + 5y - 9z = 7 ; 4x + 5y + 6z = 1 ; 4x + 5y + 6z = 1
 4x - 7y + 8z = - 5
7x + 8y + 9z = 4
7x + 8y + 9z = 3
 7x + 3y - 3z = a
c) Exemple où les seconds membres sont des paramètres : (S) - 8x + 5y - 4z = b
 5x - 7y + 5z = c
 +7
• Le système s'écrit A.X = B avec A =  - 8
 +5
+3 - 3
+5 - 4 
- 7 +5
x 
; X = y 
z 
;
a
B = b .
c 
• dét(A) = - 54 ≠ 0, on peut donc inverser A.
 +0,056
A-1 =  - 0,370
 - 0,574
- 0,111 - 0,056
- 0,926 - 0,963 
- 1,185 - 1,093 
x 
; X =  y  = A-1B =
z 
 +0,056a - 0,111b - 0,056c
 - 0,370a - 0,926b - 0,963c  .
 - 0,574a - 1,185b - 1,093c 
• Pour deviner l'écriture fractionnaire, on multiplie A-1B par dét(A) = - 54.
 - 54x
 - 3a + 6b + 3c 
On obtient, - 54.X =  - 54y  = - 54A-1B =  20a + 50b + 50c .
 - 54z 
 31a + 64b + 59c
Résolution graphique d'un
système d'inéquations
Choisissez le mode "Graph Type" puis "Inéquation" puis entrez les inéquations.
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Produit vectoriel
"X1"? → A : "Y1"? → B : "Z1"? → C : "X2"? → D : "Y2"? → E : "Z2"? → F :
BF - CE→ G : CD - AF → H : AE - BD → I :
"X3=" : G
"Y3=" : H
"Z3=" : I
Programme fraction
"Valeur numérique" ? → X : 1 → P : 0 → Q : Int(X) → R : 1 → S : 1/(X-R) → Y :
Lbl 1 : Int(Y) → A : AR + P → T : AS + Q → U : Abs(X-T/U) ≤ 10-9 ⇒ Goto 2 :
1/(Y-A) → Y : R → P : S → Q : T → R : U → S : Goto 1 : Lbl 2 : "X=" :
T
U
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IUT VESOUL
Intégration : méthode de Gauss
1°) Principe de la méthode de Gauss-Legendre
b
• Le but du programme est de déterminer une valeur approchée de ∫f(x)dx.
a
• On développe f(x) dans une base de polynômes orthogonaux, les plus couramment
utilisés sont ceux de Legendre. Ils sont définis dans l'intervalle
b-a
b+a
[-1;+1], d'où le changement de variable x = 2 y + 2 .
b
b-a
On obtient la formule ∫f(x)dx = 2
a
n
∑w kf(x k)
k=1
b-a
b+a
avec xk = 2 yk + 2 .
Les réels y k et wk pour n = 10 figurent dans le tableau ci-dessous.
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yk
-0,973 906 528 5
-0,865 063 366 7
-0,679 409 568 3
-0,433 395 394 1
-0,148 874 339 0
0,148 874 339 0
0,433 395 394 1
0,679 409 568 3
0,865 063 366 7
0,973 906 528 5
wk
0,066 671 344 3
0,149 451 349 2
0,219 086 362 5
0,269 266 719 3
0,295 524 224 7
0,295 524 224 7
0,269 266 719 3
0,219 086 362 5
0,149 451 349 2
0,066 671 344 3
2°) Programme principal
"A"? → A : "B"? → B : (B+A)/2 → C : (B-A)/2 → D :
C - .9739065285D → X : Prog θ : .0666713443F → I :
C - .8650633667D → X : Prog θ : .1494513492F + I → I :
C - .6794095683D → X : Prog θ : .2190863625F + I → I :
C - .4333953941D → X : Prog θ : .2692667193F + I → I :
C - .148 874 339D → X : Prog θ : .2955242247F + I → I :
C + .148 874 339D → X : Prog θ : .2955242247F + I → I :
C + .4333953941D → X : Prog θ : .2692667193F + I → I :
C + .6794095683D → X : Prog θ : .2190863625F + I → I :
C + .8650633667D → X : Prog θ : .1494513492F + I → I :
C + .9739065285D → X : Prog θ : .0666713443F + I → I :
DI → I : "I=" : I
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3°) Exécution
• Dans le programme Pθ, entrez la fonction f(x) à intégrer en terminant par → F
(sin X → F par exemple).
• Lancez l'exécution du programme principal puis suivez les instructions.
• Remarque :
Comme la méthode de Gauss ne nécessite pas le calcul de f(a) ni de f(b), on peut
l'utiliser pour intégrer une fonction non bornée sur [a;b].
4°) Intégration sur un domaine infini (On suppose que l'intégrale converge)
a) Changement de variable
On peut ainsi transformer les bornes infinies en bornes finies.
b) Approximation par une intégrale sur un domaine fini
+∞
b
+∞
b
∫f(x)dx = a∫f(x)dx + b∫f(x)dx ≈ a∫f(x)dx
a
+∞
On peut négliger ∫f(x)dx lorsque b est suffisamment grand. Pour déterminer b, on
b
2b
calcule I(b) = ∫f(x)dx pour plusieurs valeurs de b.
b
c) Utilisation du développement asymptotique
f(x)
Si f et g sont positives et si lim g(x) = 1 .
x→+∞
+∞
Alors
b
+∞
∫f(x)dx ≈ a∫f(x)dx + b∫g(x)dx
a
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IUT VESOUL
Loi normale : fonction π
1°) Programmes
a) Programme principal
Lbl 0 :
Lbl 1 :
Lbl 2 :
Lbl 3 :
"M"? → M : "E"? → E :
"P(A<X<B) : TAPE 1" : "P(A<X) : TAPE 2" : "P(X<B) : TAPE 3" ? → R :
"A"? → A : "B"? → B :
R=1 => Goto 1 : R=2 => Goto 2 : R=3 => Goto 3 :
(B-M)/E → C : Prog "FPI" : P → F :
(A-M)/E → C : Prog "FPI" : "P(A<X<B)=" : F-P Goto 0 :
(A-M)/E → C : Prog "FPI" : "P(A<X)=" : 1-P Goto 0 :
(B-M)/E → C : Prog "FPI" : "P(X<B)=" : P Goto 0 :
b) Sous-programme "FPI"
- abs(C) → Y : 1/(1-0.2316419Y) → U :
e(-Y2/2)/ (2π) → Q :
Q* (0.31938153*U - 0.356563782*U ^ 2 + 1.78147937*U ^ 3 - 1.821255978*U ^ 4 +
1.330274429*U ^ 5 ) → P : C > 0 => 1 - P → P
2°) Exécution
Il suffit de suivre les instructions pour obtenir l'une des probabilités P(A<X<B) ;
P(A<X) ; P(X<B) où X est une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres
M et E.
Fonction réciproque de la fonction π
1°) Programme
• Ce programme utilise le sous-programme "FPI" ci-dessus.
• Lbl 3 : "B="? → B : 0 → X :
Lbl 1 : X → C : Prog "FPI" : X - (P - B)* (2π) / e(-X 2/2) → X :
ABS(X-C) < 0.0001 => Goto 2 : Goto 1 :
Lbl 2 : "T = " : X Goto 3
2°) Exécution
Pour un réel B vérifiant 0 < B < 1 , le programme donne le nombre t tel que π(t) = B.
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Loi binomiale
1°) Programme
"N"? → N : "P"? → P : "A"? → A : "B"? → B : 0 → M :
Lbl 0 : NCA → C : C*(P ^ A*(1-P) ^ (N-A)) + M → M :
A=B => Goto 2 :
Isz A :
Goto 0 :
Lbl 2 : "P(A≤X≤B)=" : M
Remarque : Shift Math puis Prb pour obtenir C (fonction nCr)
2°) Exécution
Il suffit de suivre les instructions pour obtenir la probabilité P(A≤X≤B) où X est une
variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres N et P.
Loi de POISSON
1°) Programme
"LAMBDA"? → L : "A"? → A : "B"? → B : 0 → M :
Lbl 0 : (L ^ A/A!)*e(-L) + M → M :
A=B => Goto 2 :
Isz A :
Goto 0 :
Lbl 2 : "P(A≤X≤B)=" : M
2°) Exécution
Il suffit de suivre les instructions pour obtenir la probabilité P(A≤X≤B) où X est une
variable aléatoire qui suit une loi de POISSON de paramètre LAMBDA.
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