Fiche Mécanique de Newton

Chapitre 11 – Mécanique newtonienne – (Cours) Cinématique newtonienne Page 1
I. Présentation de la cinématique
I.1. Définitions
La cinématique est l’étude du mouvement
indépendamment des causes qui le provoquent.
On étudiera des systèmes de petites dimensions
assimilés à un point (système ponctuel). On
considèrera implicitement le mouvement de leur
centre de gravité.
Le mouvement d'un objet est défini par :
1) le référentiel d'étude
2) la trajectoire de l’objet
3) son vecteur-vitesse en chaque instant
4) son vecteur-accélération en chaque instant
Chaque terme est défini par la suite.
I.2. Référentiel d’étude
Le référentiel est un endroit de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’un mobile.
A chaque référentiel est associé :
 un repère d’espace pour quantifier la position ;
 un repère de temps (une horloge) pour associer une date à chaque position.
Remarques :
 Le repère lié au référentiel est constitué de trois vecteurs unitaires orthogonaux et d'un point origine O.
Ex : le repère cartésien R orthonormé :
( , , , )O i j k
 Ne pas confondre le référentiel terrestre immobile à la surface de la Terre (ex : arbre) et le référentiel
géocentrique placé au centre de la Terre.
II. Vecteur-position (et trajectoire d’un objet)
La position d’un mobile M dans un repère
( , , , )O i j k
est
donnée par son vecteur-position
OM
:
()
( ) ( )
()
xt
OM t y t
zt
( ) ( ) ( ) ( )OM t x t i y t j z t k   
L’ensemble des points occupés successivement par le
mobile M au cours du temps est appelé trajectoire.
En effet, lorsqu’un mobile se déplace sur sa trajectoire, sa
position change au cours du temps. A chaque position
OM
est donc associée une date t.
Chapitre 11 : (Cours) Cinématique newtonienne
Référentiel géocentrique  et référentiel terrestre 
y
x
M (x, y, z)
O
OM
Trajectoire

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La position étant donc fonction du temps, on la notera :
()OM t
x(t), y(t) et z(t) sont les coordonnées du point M. Elles dépendent du temps t.
III. Vecteur-vitesse
III.1. Définition
Le vecteur-vitesse
()vt
caractérise la variation du vecteur-position en fonction du temps. Il s’exprime donc
comme la dérivée par rapport au temps de son vecteur position.
Le vecteur-vitesse instantanée au point Mi s’écrit donc :
dOM
vt dt
-1
en s
en m
en m.s
t
OM
v
( ) ( ) ( ) ( )
x y z
v t v t i v t j v t k x i y j z k
Notation :
()
xdx
v t x dt
;
()
ydy
v t y dt
;
()
zdz
v t z dt
III.2. Caractéristiques
Les caractéristiques du vecteur-vitesse sont les suivantes :
2 2 2
direction : tangent à la trajectoire
sens : celui du mouvement
valeur (norme) : x y z
vt
v v v v v
En pratique :
Pour des points Mi−1, Mi et Mi+1 suffisamment proches, dans
l’espace et dans le temps, on fait l’approximation qu’ils sont
pratiquement alignés (voir schéma).
Donc, le vecteur-vitesse s’écrit :
+1 1 +1 1
1 1 1 1
i i i i
ii i i i
OM OM M M
dOM OM
vM dt t t t t t
Sa norme s’écrit :
+1 1
11
ii
iii
MM
vM tt
Si τ est l’intervalle de temps entre 2 points successifs, alors la relation devient :
1 +1
2
ii
iMM
vM
Exemple : pour tracer
3()vt
on mesure le segment M2M4, on calcule la norme du vecteur en divisant cette longueur
par l’intervalle de temps qui s’est écoulé. Soit,
24
32
MM
v
Enfin, on trace le vecteur (direction, sens) en tenant compte de l’échelle (valeur).

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IV. Vecteur-accélération
IV.1. Définition
Le vecteur-accélération
()at
caractérise la variation du vecteur-vitesse en fonction du temps. Il s’exprime donc
comme la dérivée par rapport au temps du vecteur-vitesse.
Le vecteur-accélération au point Mi s’écrit donc :
2
2
dv d OM
at dt dt
-1
-2
en s
en m.s
a en m.s
t
v
( ) ( ) ( ) ( )
x y z x y z
a t a t i a t j a t k v i v j v k x i y j z k
Notation :
2
2
() x
xdv dx
a t x
dt dt
; De même pour
y
a
et
z
a
IV.2. Caractéristiques
Les caractéristiques du vecteur-accélération sont les suivantes :
2 2 2
direction : celle du vecteur
sens : celui du vecteur
valeur (norme) : x y z
vt
a t v t
v
a a a a a
t
En pratique :
Comme précédemment, on peut écrire :
+1 1
11
() ii
iii
v M v M
vM
aM t t t
Sa norme s’écrit :
()
2
ivM
aM
Exemple : pour tracer le vecteur
4
a
au point M4, on trace déjà le vecteur-variation de vitesse
4 5 3
v v v  
au
point M4, puis pour trouve la valeur de l’accélération a4 en divisant la norme
4
v
par l’intervalle de temps.
Soit,
4
42v
a
Enfin, on trace le vecteur (direction, sens) en tenant compte de l’échelle (valeur).
V. Inertie d’un système
V.1. Rappels et définitions
 Le mouvement d’un mobile est défini par :
 sa trajectoire
 sa vitesse

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 Une force exercée par un objet sur un autre objet peut :
 modifier son mouvement (trajectoire ou vitesse)
 déformer l’objet
Rem : Un système est dit pseudo-isolé lorsque la somme des forces extérieures qui s’appliquent sur lui est nulle :
0
ext
F
V.2. Le principe d’inertie
Le principe d’inertie constitue la première loi de la dynamique (première loi de Newton).
Enoncé par Newton en 1686, il précise :
« Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s’exercent
sur lui se compensent ».
Il faut ajouter que :
- le principe d’inertie s’applique au centre de gravité (centre d’inertie) du solide ;
- le principe d’inertie s’applique dans les référentiels que l’on appelle galiléens (ex : référentiels terrestre,
géocentrique, héliocentrique, …)
VI. Quelques mouvements
VI.1. Le repère de Frénet
Jean-Frédéric Frénet (1816 – 1900) était un mathématicien, astronome et météorologue français. Appelé parfois
« le génie des courbes », il a conçu un repère privilégié pour étudier les mouvements curvilignes et circulaires.
On retiendra l’expression de l’accélération dans le repère de Frénet :
T T N N
a a u a u
;
²
avec et
TN
dv v
aa
dt R
M
T
u
est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire.
N
u
est le vecteur unitaire normal à la trajectoire et R le rayon de
courbure de cette trajectoire au point considéré.
Il est alors commode de définir le repère (M ;
T
u
;
N
u
) de Frénet, un repère mobile lié au mouvement du point M.
VI.2. Le mouvement rectiligne uniforme
Un mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur-vitesse est constant :
v cte
Il garde même direction, même sens, et même valeur au cours du temps.
Il est donc caractérisé par une accélération nulle (aN = aT = 0) car le vecteur-vitesse est constant.
0
T N T T N N
a a a a u a u    
Sens de parcours de la trajectoire
R
Trajectoire

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Exemple :
35
2
t
OM t
3
2 v
0
0 a
VI.3. Le mouvement rectiligne accéléré
Un mouvement est rectiligne varié (accéléré ou décéléré) si l’accélération normale est nulle (aN = 0) et
l’accélération tangentielle est non nulle (aT  0).
0
T N T T N T T
a a a a u u a u    
T aa
D’une manière générale, le mouvement rectiligne implique une accélération normale nulle.
VI.4. Le mouvement circulaire uniforme
Un mouvement est circulaire uniforme si la trajectoire est un cercle
quelconque, et si la norme de la vitesse est constante.
Il est caractérisé par une accélération normale non nulle (aN  0) et une
accélération tangentielle nulle (aT = 0)
0
T N T N N N N
a a a u a u a u    
N aa
Ex : mouvement des planètes dans le référentiel héliocentrique (approximation)
D’une manière générale, le mouvement uniforme implique une accélération tangentielle nulle.
VI.5. Le mouvement circulaire varié
Un mouvement circulaire est varié si la trajectoire est un cercle
quelconque, et si la norme de la vitesse varie.
Il est caractérisé par une accélération normale et une accélération
tangentielle non nulles. (aT  0 et aN  0)
NaTaaaa NTNT 
Ex : mouvement de la masse d’un pendule dans le référentiel terrestre.
La trajectoire et le mouvement d’un mobile dépendent du référentiel choisi.
Par exemple, le mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique est circulaire uniforme alors qu’il est
immobile dans le référentiel géocentrique.
Bilan :
 aT = 0 : mouvement rectiligne ou curviligne uniforme
 aN = 0 : mouvement curviligne uniforme ou varié
uN
uT
a
uT
uN
a
uT
a
uN